文档内容
西工大附中 2022-2023 学年上学期 1 月期末
高三文科数学
一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知角 的终边上有一点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图是两个同心圆，且小圆的内
接四边形是正方形，则该几何体的体积等于（ ） ．
A． B． C． D．
4．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；
“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化
知识；“数”，数学;某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“礼”排第一节课，“射”和“御”两门课程
不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有几种（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a＝﹣3，2a+3a＝9，则S 的值等于（ ）
1 4 7 7
A．21 B．1 C．﹣42 D．0
6．已知向量 与单位向量 所成的角为 ，且满足对任意的 ，恒有
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．设 为任一实数， 表示不超过 的最大整数， 表示不小于 的最小整数，例
如 ， ， ， ，那么“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线
上存在一点 满足 ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．设数列 的各项都为正数且 ， 内的点 均满足 和
的面积比为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等边三角形ABC的边长为 ，点P是该三角形外接圆上的动点，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．
11．在某互联网大会上，为了提升安保级别，将甲、乙等5名特警分配到3个不同的
路口执勤，每个人只能分配到1个路口，每个路口最少1人，且甲和乙不能安排在同
一个路口，则不同的安排方法有（ ）
A．180种 B．150种 C．96种 D．114种
12．下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题5小题，共20分。
13．已知 ，复数 且 ( 为虚数单位) ，则复数 的模为____．
14．曲线 在点 处的切线倾斜角为_______________
15．已知矩形 中， ，点 ， 分别为线段 的中点，现将
沿 翻转，直到与 首次重合，则此过程中，线段 的中点的运动
轨迹长度为____________．
16．若 ， ， 为 的三边，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值是
___________.
三、解答题：本题6小题，共70分。
17．在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（2b﹣a）cosC＝ccosA．
(1)求角△C的大小；
(2)若c＝3，求 ABC的周长取值范围．
18．近期，某公△交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时
间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线
路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用 表示活动推出
的天数， 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表一
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196根据以上数据，绘制了如下图所示的散点图.
（1）根据散点图判断，在推广期内， 与 （ ， 均为大于零的常
数）哪一个适宜作为扫码支付的人次 关于活动推出天数 的回归方程类型？（给出
判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求 关于 的回归方程，并预测活动推出
第8天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2
表2
支付方式 现金 乘车卡 扫码
比例 10% 60% 30%
已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客
享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，
享受7折优惠的概率为 ，享受8折优惠的概率为 ，享受9折优惠的概率为 ．根据
所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均
费用.
参考数据：
62.14 1.54 2535 50.12 3.47其中 ，
参考公式：对于一组数据 ， ，…… ，其回归直线 的斜
率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， .
19．如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角形， ，
， ， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．已知抛物线 ，点 ， 为抛物线上的动点，直线 为抛物
线的准线，点 到直线 的距离为 ， 的最小值为5．
(1)求抛物线 的方程；
(2)直线 与抛物线相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，当直线 ，
的斜率存在，设直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，是否存在实数 ，使
得 ，若存在，求出 ；若不存在，说明理由．21．已知函数 .
（1）求函数 的最小值；
（2）求函数 的单调区间；
（3）若函数 在 单调递增，求实数 的取值范围.
22．已知在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标
原点为极点，以 轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程以及曲线 的直角坐标方程；
（2）求曲线 上的点到曲线 距离的最大值.
23．已知函数 ， .
（1）若关于x的不等式 的整数解有且仅有一个值 ，当 时，求不等式
的解集；
（2）若 ，若 ，使得 成立，求实数k的取
值范围.参考答案：
1．C
根据集合的概念判断．
集合 是由小于3的自然数组成，0 ， ，只有C正确，
故选：C．
2．D
利用任意角的三角函数的定义，求得 的值利用正弦二倍角公式可得答案．
由角 的终边经过点 ，
则 ， ，
所以 .
故选：D．
3．C
由几何体的三视图可得，几何体是一圆台挖了一个内接正四棱柱，用圆台的体积减去正四
棱柱的体积即可求得答案.
圆台的体积为 ，设正四棱柱的底面边长为 ，
则 ，得 ，则正四棱柱的体积 ，
故几何体的体积为 .
故选：C
本题考查了三视图的理解和圆台、正四棱柱的体积公式，还考察了空间想象能力.
4．B
根据“礼”确定排在第一节，先排“乐”、“书”、“数”三门课程，再由“射”和
“御”插空排序，结合乘法原理即可求解.
由题意，“礼”排在第一节，1种排法，“射”和“御”两门课程不相邻，可先排“乐”、
“书”、“数”三门课程，有 种排法，再由“射”和“御”插空排序，有 种
排法，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有 种不同的排法.故选：B.
5．D
利用等差数列{an}的通项公式求出d＝1，由此能求出S．
7
解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a＝﹣3，2a+3a＝9，
1 4 7
∴2（﹣3+3d）+3（﹣3+6d）＝9，
解得d＝1，
∴S＝7×（﹣3）+ ＝0．
7
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运
算求解能力，是基础题．
6．C
将 两边同时平方，将模的平方转化为向量的平方，通过不等式恒成立可求 ，
再将 平方，还是将模的平方转化为向量的平方，把 代入，可将问题
转化为关于 的二次函数最值问题.
∵已知向量 与单位向量 所成的角为 ，
∴ ， ，
又∵对任意的 ，恒有 ，
∴
即
∴ ，对任意的 恒成立，
∴
即∴ ，
且
，
即 ，
，
∴ 的最小值为 ，
故选：C.
本题考查数量积的定义运算和数量积的性质运算，关键要通过将模的平方转化为向量的平
方，把不等式恒成立问题转化求二次函数的最值问题，考查运算求解能力和转化与化归思
想，是中档题.
7．B
直接利用充分条件和必要条件的定义判断.
设 ，由 和 的定义得： ，
所以 ，即 ，故充分；
当 时， ， ， ，故不必要；
故选：B
8．C
取 中点Q，可转化 为 ，即 ，可求得 ，
，求解即得.取 中点Q，由 得 ，
故 ，
故三角形AFP为等腰三角形，即 ，
且 ，所以 ，
由于P在直线 上，故
即 ，
解得： 或 ，又
故 ，
故选：C
本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中
档题.
9．D
由 得到 ，作出图像，利用三
角形面积的关系，得到数列的递推式，然后构造等比数列，即可求出结果.
由 得： ，
设 ，延长 至 ，使 ，则 与 面积相等，
以线段 、 为邻边作平行四边形 ，如图，
则 ，
所以 ，因此 ，
又 ，所以 ，
则 ，所以 ，
因此 ，
故数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
故选：D
本题主要考查数列与向量的综合，熟记构造法求数列的通项公式，以及平面向量基本定理
即可，属于常考题型.
10．C
建立平面直角坐标系，设点A、B、C、P的坐标，求出 的坐标，利用数量积的坐标表示和辅助角公式求得 为关于 的三角函数，结合正弦函数的性质即
可求解.
以 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，
因为等边 的边长为 ，则 ，
设 ，
则 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的最小值0.
故选：C.
11．D
先考虑甲乙不在同一个路口的情况，再考虑甲乙再同一路口的情况，进而根据分配法求得
答案.
先不考虑条件“甲和乙不能安排在同一个路口”，则有两种情况：①三个路口人数分别为
3，1，1时，安排方法共有 （种）；②三个路口人数分别为2，2，1时，安排方法共有 （种）．若将甲、乙安排在同一路口，可以把甲、乙看作一个整体，
则相当于将4名特警分配到3个不同的路口，安排方法共有 （种）．故甲和乙不
安排在同一个路口的安排方法共有 （种）．
故选：D．
12．D
A.利用基本不等式判断； B.利用二次函数的性质判断； C. 利用二次函数的性质判断；
D.利用基本不等式判断.
A.当 时， ，当且仅当 ，即 时，等
号成立；当 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立；故错
误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，当且仅当 ，即 时，
等号成立，故正确
故选：D
13．
将 代入 中化简，再根据复数相等的条件可求出 ，从而可求出复数 ，
进而可求得复数 的模
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以
所以 ，
故答案为：
14．
∵ ，∴ ，∴曲线 在点 处的切线斜率为
，设切线的倾斜角为 ，则 ，又 ，∴
15． ##
先分析出点 的轨迹是一个半圆，再结合三角形中位线定理可得 中
点的轨迹也是一个半圆，即可得出结果
由已知得:
四边形 是正方形， 沿DM翻转的过程中，点 的轨迹为
以 为圆心， 为半径的半圆，其半径为 ，这个半圆与DM垂直
设线段 的中点 ，线段 的中点 ，线段EF的中点为 ，在以
为半径的半圆上取一点 ，连接 ，并取 的中点 ，连接 ， ，
由三角形中位线定理可得： ， ， ，
，则点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆，其半径为 ，
线段AC的中点的运动轨迹长度为 ．故答案为：
16．
将等差中项代入余弦定理，利用不等式放缩可得 的最小值．
，
则 的最小值是
故答案为：
17．(1)
(2)（6，9]
（1）由正弦定理、正弦的两角和公式可求解；（2）由正弦定理、辅助角公式及三角函数求范围可求得结果.
（1）
由于（2b﹣a）cosC＝ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，
即2sinBcosC＝sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC＝sin（A+C），可得：2sinBcosC＝sinB，
因为sinB≠0，
所以 ，因为 ，所以 ．
（2）
因为 ， 由正弦定理可得 ，
于是， ＝ ＝ ，
因为△ABC中， ，
所以 ， ，
所以 ，可得： ，
所以△ABC周长的取值范围为：（6，9]．
18．(1) 适宜 (2) ；3470；(3)1.66元
（1）根据散点图可以判断 拟合较好（2）两边取对数转化为线性回归方程问题
，根据数据计算求出 ，再转化为 ，代入 预
测即可（3）记一名乘客乘车支付的费用为 ，写出 的可能取值，并计算其概率，根据分
布列求其期望即可.
（1）根据散点图判断， 适宜作为扫码支付的人数 关于活动推出天数 的回归方
程类型；（2）∵ ，两边同时取常用对数得： ；
设 ，∴
∵ ， ， ，
∴ ，
把样本中心点 代入 ，得： ，
∴ ，∴ ，
∴ 关于 的回归方程式： ；
把 带入上式， ；
活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；
（3）记一名乘客乘车支付的费用为 ，则 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；
； ；
； .
分布列为：
2 1.8 1.6 1.4
0.1 0.15 0.7 0.05
所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：
（元）
本题主要考查了非线性回归与线性回归方程的转化，散点图，分布列及期望，属于中档题.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析(3)
（1）取 中点 ，连 ， ，由线面平行的判定定理可得 平面 ，
平面 ，再由面面平行的判定定理可得平面 平面 及性质定理可得答案；
（2）过 作 交 于 ，利用 得 ，由线面垂直的判定
定理可得 平面 ，面面垂直的判定定理可得答案；
（3）以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，由线面角的向量求法可
得答案.
（1）如图，取 中点 ，连 ， ，∵ 为中位线，∴ ，又 平面
， 平面 ，∴ 平面 ，同理，在梯形 中， ，又
平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，且 平面 ， 平面
， ，∴平面 平面 ，又 平面 ，所以 平面
．
（2）如上图，在四边形 中，过 作 交 于 ，在 中，得 ，， ，则 ，得 ，∵ ，∴ ，
又由已知条件 ， ， 平面 ，故 平面 ，又
平面 ，∴平面 平面 ．
（3）∵ 为等腰三角形，∴ ，又因为 平面 ，以 为原点建立空
间直角坐标系，如图：可得 ， ， ， ， ，
， ，设平面 的法向量为 ， ，
，根据 ，得 ，解得 ，
，设直线 与平面 所成角为 ，则
，故直线 与平面 所成角的正弦值．
20．(1)
(2)存在；
（1）根据抛物线的定义以及共线时距离最小即可求解 .
（2）联立直线与抛物线方程，进而根据两点斜率公式表达 ，即可求解.
（1）设抛物线 的焦点为 ，根据抛物线的定义得 ，
，由于 ，解得 ，
则拋物线 的方程为
（2）设 ，将 代入抛物线 的方程，
整理得 所以
，同理 ，则 ,
所以 ，
21．（1） ；（2）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（3） .
（1）求导可得 ，令 得 ，分别讨论 和 时导函
数的正负，可得 的单调性，即可求得最小值；
（2）求导可得 ，由 得 ，分别讨论 和 时导函
数的正负，可得 单调区间；
（3）所求等价于 在 单调递增，即 恒成立，根据x的
范围，即可求得 的最小值，即可得答案.
（1）函数 的定义域为 ， ，
由 得 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以函数 的最小值为 ；
（2） ， ，
由 得 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（3） ，因为函数 在 单调递增，
所以 在 恒成立，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数的单调区间、极值（最值）的方法，并灵活应用，
在已知单调区间求参数时，可转化为恒成立问题，若 ，需要 ，若
，需 ，考查计算化简的能力，属中档题.
22．（1）曲线 ： ；曲线 ： ；（2）
（1）消去参数t，得到曲线 的普通方程；由 ， ，将极坐标方程化
为直角方程；
（2）圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径，从而求得最大值.
（1）由题知，消去参数t，得到曲线 的普通方程 ；
由 ，
由 ， ，将极坐标方程化为直角方程 ，
即曲线 的直角坐标方程为 .
（2）圆心 到直线 的距离为 ，
则曲线 上的点到曲线 距离的最大值为 .
23．（1）[-4，4]（2）
（1）由不等式 ，解得 ，得到 ，分类讨论，即可求解不等式的解集；（2）由绝对值三角不等式得 ，利用二次函数的性质求得 ，再由
，使得 成立，得到则 ，即可求解.
（1）由题意，不等式 ，即 ，所以 ，
又由 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，
不等式 等价于 ，或 ，或 ，
即 ，或 ，或 ，
综上可得 ，故不等式 的解集为[-4，4] .
（2）因为 ，
由 ， ，可得 ，
又由 ，使得 成立，
则 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围为 .
本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含
绝对值不等式的求解方法，合理应用绝对值三角不等式求最值是解答的关键，着重考查了
转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
