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第十八章 平行四边形全章题型总结【5 个知识点 15 个题型】
【人教版】
【知识点1 平行四边形的定义及其性质】
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
性质1：平行四边形的对边平行且相等；
性质2：平行四边形的对角相等；
性质3：平行四边形的对角线互相平分．
另外，由平行四边形的性质可以得出三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等
于第三边的一半.
【拓展延伸】
（1）平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点；连接四边上任意一点和平行四边形
的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称；并且这条线段将平行四边形面积分成相等的两部分．
（2）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（3）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形
面积的四分之一；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
【知识点2 矩形的定义及其性质】
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质：
性质1：矩形的四个内角都相等，且为90°．
性质2：矩形的两条对角线相等．
性质3：矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线．
另外，由矩形的性质可以得出：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）矩形的对角线把矩
形分成四个小的等腰三角形．
【拓展延伸】
（1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都
是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等.
（2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点.
（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等.
【知识点3 菱形的定义及其性质】
1.菱形的定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：
性质1：菱形的四条边相等．
性质2：菱形的对角线互相垂直平分．
性质3：菱形的对角线平分一组对角．
性质4：菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线．
另外，由菱形的性质可以得出：
（1）菱形的面积除了可以用平行四边形面积的求法外，还可用对角线乘积的一半来计算．
（2）菱形的对角线把菱形分成四个小的直角三角形．
【知识点4 正方形的定义及其性质】
1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.正方形的性质：
性质1：正方形的四个内角都相等，且都为90°，四条边都相等．
性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角．性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线．
另外，由正方形的性质可以得出：
（1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形．
（2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半．
【题型1 利用四边形的性质求角的度数】
【例1】如图，E、F在平行四边形ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝66°，则
∠ADE的大小为（ ）
A．33° B．23° C．22° D．18°
【例2】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，
若∠CAD＝20°，则∠BHO的度数是（ ）
A．40° B．70° C．50° D．65°
【变式1】如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AEO＝30°，则∠COE的度数为（
）
A．48° B．45° C．40° D．36°
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，点E、点F分别是
OC、AB的中点，连接BE、FE，若∠ABE＝42°，则∠AEF的度数为（ ）A．42° B．45° C．46° D．48°
【变式3】如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥ED交AB于点F，连接BE，
DF，若∠ADF＝ ，则∠BEF的度数是（ ）
α
A．2 B．45°+ C．90°﹣2 D．3
【题型2α 利用四边形的性质求线α段的长度】 α α
【例1】如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连接AE，若AB＝2，
则AE的长为（ ）
A．2❑√2 B．4 C．❑√17 D．❑√15
【例2】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE
的长为（ ）12 18 24
A． B． C．4 D．
5 5 5
【变式1】如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝
2DE，则AD的长为（ ）
A．5❑√6 B．6❑√5 C．10 D．6❑√3
【变式2】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD
中点，若AD＝4▱，CD＝6，则EO的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接
AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
12
A．2 B．❑√5 C．❑√6 D．
5
【题型3 利用四边形的性质求面积】
【例1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连
接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）A．10 B．12 C．16 D．18
【例2】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则
四边形ABCD的面积为（ ）
A．4❑√2 B．6❑√2 C．8❑√2 D．5
【变式1】如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，
且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（ ）
1
A．4 B．2 C．1 D．
2
【变式2】如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．
若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（ ）
A．7 B．3+❑√13 C．8 D．3+❑√15【变式3】如图，点E、F分别是平行四边形ABCD边BC、CD上一点，连接AE、DE，连接AF交ED于
点P，连接BF分别交AE、DE于点G、H，设△BGE的面积为S ，△PDF的面积为S ，四边形CEHF
1 2
的面积为S ，若S ＝4，S ＝3，S ＝18，则阴影部分四边形AGHP的面积为（ ）
3 1 2 3
A．17 B．19 C．18 D．25
【题型4 四边形的性质与折叠问题】
【例1】在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片
ABCD如图所示，点N在边AD上．现将矩形沿BN折叠，点A对应的点记为点M，点M恰好落在边
DC上．若AB＝10，BC＝8，则图中DN的长为（ ）
A．3 B．3❑√2 C．4 D．5
【例2】如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点
F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
【变式1】如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠
到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（ ）A．10−3❑√3 B．4 C．10−2❑√3 D．3
【变式2】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，将菱形折叠，使点B落在BC的延长线上的点
B′处，折痕为AE，AB′交CD于点F，则FB′的长为 ．
【变式3】如图，矩形ABCD中，BC＝5，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折
叠，当点D对应点D′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为 ．
【题型5 三角形中位线定理的应用】
3
【例1】如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE= ，AB＝4，则AC的值为（ ）
2
13
A．6 B． C．7 D．8
2
【例2】如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为
（ ）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【变式1】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为
（ ）
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
【变式2】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上
一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝ ．
【变式3】如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中
点，连接EF，则EF的长是 ．【题型6 直角三角形斜边中线的应用】
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，
BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
【例2】如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，
BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为 ．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的
动点，连接EF．若AC＝6，BD＝4，则EF的最小值为 ．
【例2】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中
点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（ ）7 5
A． B． C．3 D．4
2 2
【例3】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，
（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．
【知识点5 四边形的判定定理】
1.平行四边形的判定：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2.矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形．
③有三个角是 的四边形是矩形．
④对于平行四边形 ，若存在一点到两对对顶点距离的平方和相等，则为矩形．
3.菱形的判定：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
③四条边相等的四边形是菱形．
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
4.正方形的判定：
①判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法：
②先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直．
③先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等．【题型7 四边形的判定定理】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【例2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，AD∥BC，则下列说法错误的是（
）
A．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
B．若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是菱形
C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
【变式1】已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
【变式2】已知：E、F、G、H分别为四边形ABCD四边中点，顺次连接EF、FG、GH、HE得到四边形
EFGH，我们把这种四边形叫做中点四边形，有下列说法：①四边形EFGH是平行四边形；②当四边
形ABCD为平行四边形时，四边形EFGH是菱形；③当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱
形；④当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形；⑤若四边形EFGH是正方形，则四边形ABCD一定是正
方形．其中正确的是（ ）A．②④⑤ B．①④⑤ C．①③④ D．①③④⑤
【变式3】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种
说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有 （只填写序号）
【题型8 四边形的判定与性质综合】
【例1】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长
线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【例2】如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对
角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过
点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
1
【变式2】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE．
2
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE．若 BD＝4，AE＝2❑√10，求菱形ABCD的面积．
【变式3】四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点
F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE=❑√2，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．【题型9 四边形的判定与动态问题】
【例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右
侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向
以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 t的值；若
不存在，请说明理由．
【例2】如图1，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分
线于点E，交∠DCA的平分线于点F．
（1）线段CE与CF的位置关系是 ；
（2）探究：线段OE与OF的数量关系，并加以证明；
（3）如图2，当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并说明理由；
（4）在（3）的前提下，直接写出△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作
DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由；（3）若D为AB中点，则当∠A＝ 时，四边形BECD是正方形？
【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出
发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，
另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝ ，BQ＝ （分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值；
（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【变式3】在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相
向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
答： ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边
形EGFH为菱形，求t的值．
【题型10 与四边形有关的最值问题】
【例1】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于
F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）5 5 5 6
A． B． C． D．
4 2 3 5
【例2】如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接
PB，则PB的最小值是 ．
【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿
AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点
G，连接AG，则AG长的最小值为 cm．
【变式2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝
CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 ；连接CP，线段CP的最小值为 ．
【变式3】如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 ．
【题型11 四边形中多结论问题】
【例1】已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点
P．若AE＝AP＝1，PB=❑√5．下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为❑√2；
③EB⊥ED；
④S△APD +S△APB ＝1+❑√6；
⑤S正方形ABCD ＝4+❑√6．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【例2】如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，
连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，
1 1
②GH= BC，③OD= BF，④∠CHF＝45°．正确结论的个数为（ ）
4 2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1】如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列
结论：①∠ABE＝∠DCE；
②AG⊥BE；
③S△BHE ＝S△CHD ；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【变式2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点
1
E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB= BC=1，则下列结论：①∠CAD＝30°②BD=❑√7③S平行四边形
2
1
＝AB•AC ④OE= AD，正确的个数是（ ）
ABCD 4
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，
AF交BD于N点．下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②AE＝AF；③EA平分∠BEF；④△CEF的周长
等于2AB，其中正确结论的序号是 ．（把你认为所有正确的都填上）
【题型12 四边形综合题（旋转类）】
【例1】【问题呈现】
如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F（点F与点C，D不重合）．
探索线段DE、DF、AD之间的数量关系．
【问题初探】
（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段DE、DF、AD之
间的数量关系，并说明理由；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，∠EPF＝60°，其他条件不变，请你
帮小悦得出此时线段DE、DF、AD之间的数量关系是 ；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为 8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且
∠EPF旋转至DF＝1时，DE的长度为 ．
【例2】如图1，点M、N别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，连接MN．
（1）求证：MN＝BM+DN．下面提供解题思路，请填空：
如图2，把△ADN绕点A顺时针旋转 度至△ABE，可使AD与AB重合．
由∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝180°，则知E、B、C三点共线，从而可证△AEM≌ ，从而得MN＝
BM+DN．
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你
的猜想，并证明．（3）如图4，四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠MAN＝45°，且
BC＝7，DC＝13，CN＝5，求BM的长．
【变式1】在菱形ABCD中，∠B＝ （0°＜ ≤90°），点O′在对角线AC上运动（点O′不与点A，点C
α α
O′C
重合）， =k，以点O′为顶点作菱形A'B'C'O'；且菱形A'B'C'O'与菱形ABCD的形状、大小完全相
AC
同，即A′B′＝AB，∠B′＝∠B，在菱形A'B'C'O'绕点O′旋转的过程中，O'A'与边BC交于点E，
O′C′与边CD交于点F．
【特例感知】
1
（1）如图1，当 ＝90°，k= 时，则CE，CF，BC之间满足的数量关系是 ；
2
α
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8， ＝60°，求CE+CF的值（用含k的代数式表示）；
【拓展应用】 α
7
（3）在（2）的条件下，连接O′B，O′B＝7，CF= ，求CE的长度．
5
【变式2】【初步感知】
如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，求出图中线段EF，AE，
FC之间的数量关系．
①小盐同学经过分析后，将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM位置，如图1，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段EF，AE，FC之间的数量关系；
②小田同学经过分析后，将∠EDF沿DF进行翻折，得到∠MDF，射线DM交边BC的延长线于点M，
如图2，根据全等的性质也得到了线段EF，AE，FC之间的数量关系．
任选一位同学的分析，可以得到线段EF，AE，FC之间的数量关系是 ．
【类比探究】
如图3，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD的延长线上，且∠EAF＝45°，连接EF，试问线段
EF，BE，DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【拓展应用】
如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝10，CF
＝6，直接写出BE的长．
【变式3】【课本再现】
（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个顶点，而且这两个
1 1 1
正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分．正方形A B C O可绕点O转动．则下列结
1 1 1
论正确的是 （填序号即可）．
①△AEO≌△BFO；
②OE＝OF；
1
③四边形OEBF的面积总等于 S ；
4 正 方形ABCD
④连接EF，总有AE2+CF2＝EF2．【类比迁移】
（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A B C O的一个顶点，A O与边AB相交于点E，C O与边CB
1 1 1 1 1
相交于点F，连接EF，矩形A B C O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证
1 1 1
明；
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点
处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝2cm
时，求线段EF的长度．
【题型13 四边形综合题（折叠类）】
【例1】如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕
为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
【例2】问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动．
动手实践：
（1）如图①，已知正方形纸片ABCD，勤奋小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方
形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重
合，折痕为AF，易知点E、M、F共线，则∠EAF＝ 度．
拓展应用：（2）如图②，腾飞小组在图①的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿EF继续折叠，使得点C的对
应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边的某一位置时，点
N恰好落在折痕AE上．
①则∠CFE＝ 度．
②设AM与NF的交点为点P，运用（1）、（2）操作所得结论，求证：△ANP≌△FNE．
解决问题：
（3）在图②中，若AB＝3，请直接写出线段MP的长．
【变式1】综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含
着丰富的数学知识．
实践操作：如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝4cm．
第一步：如图2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．同时，得到
了线段BN．
解决问题
（1）在图3中，EN与AB的关系是 ．EN＝ cm．
（2）在图3中，连接AN，试判断△ABN的形状，并给予证明．
拓展应用
（3）已知，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，点P在边AD上，将△ABP沿着BP折叠，若点A的对应点A'恰落在矩形ABCD的对称轴上，则AP＝ cm．
【变式2】如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＝b（a＞b）．
（1）如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点A′处，折痕DE交边
AB于点E．求证：四边形AEA′D是正方形．
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，使点C落在AD边上的点C′处，点B落在点
B′处，折痕EF交边DC于点F，连结EC′，如图2．
①求证：AC′＝B′E．
②若a＝8，b＝6，求折痕EF的长．
③当△EFC′为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．
【变式3】如图1，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别与AD，BC交于点E，
F，将四边形ABFE▱沿EF折叠得到四边形MNFE，点M在AD上方，MN交线段CD于点H，连接OH．
（1）求证：EM＝FC；
（2）求证：OH⊥EF；
（3）如图2，若MN⊥CD，∠ABC＝60°，BF=4+2❑√3，FC＝2，求OH的长．
【题型14 四边形综合题（动点类）】
【例1】在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，
E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量
关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成
立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2❑√3，BE＝2❑√19，请直接写出△APE
的面积．
【例2】已知：四边形ABCD是正方形，AB＝20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
（1）如图1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度数；
（2）如图2，若∠EDF＝45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；
（3）如图3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于点O，且∠EOF＝45°，求EH的长度．
【变式1】如图1，已知正方形ABCD，AB＝3，E是边BC上的一个动点（不与点 B，C重合），连接
AE，点B关于直线AE的对称点为F，连接EF并延长交CD于点G，连接AG，AF．
（1）求∠EAG的度数；
（2）如图2，连接CF，若CF∥AG，求线段BE的长；
（3）如图3，在点E运动过程中，作∠GEC的平分线EH交AG延长线于H，若S△AGE ：S△EGH ＝4：1，
请直接写出线段BE的长．【变式2】已知四边形ABCD是正方形，点E是射线CD上的动点（与点C，D不重合），连接BE，点G
在射线BE上（与点B不重合），且∠AGC＝90°．
（1）如图1，当点E在CD上时，猜想线段GA，GB，GC之间的数量关系，请直接写出你的猜想；
（2）如图2，当点E在CD的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成
立，请写出正确的结论并说明理由；
（3）当AB＝4，DE＝2时，请直接写出BG的长．
【变式3】综合与实践
探究几何元素之间的关系
问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C，
O，A都不重合），过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F，G，连接OF，OG．
（1）初步探究：
如图1，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证AF＝BG；
（2）深入思考：请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择 题．A．探究图1中OF与OG的数量关系并说明理由；
B．如图2，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究OF与OG的数
量关系并说明理由；
（3）拓展延伸：请从下面AB两题中任选一题作答，我选择 题．
如图3，已知四边形ABCD为矩形，且AB＝4，∠BAC＝60°．
A．点E在直线AC上运动的过程中，若BF＝BG，则FG的长为 ．
B．点E在直线AC上运动的过程中，若OF//BC，则FG的长为 ．
【题型15 四边形综合题（新定义类）】
【例1】我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的
是 （填序号）；
（2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点
G，连AG、EG．
①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；
②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边
形”；
（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对
应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．
【变式1】定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．
（1）下列选项中一定是“等补四边形”的是 ；
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形D．正方形
（2）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E为CD边上一动点（E不与C、D重合），AE交BD于
点F，过F作FH⊥AE交BC于点H．
①试判断四边形AFHB是否为“等补四边形”，并说明理由；
②如图2，连接EH，求△CEH的周长；
③若四边形ECHF是“等补四边形”，求CE的长．
【变式2】【综合与实践】
定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形ABCD是垂美四边形．
【概念理解】
①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是 ；（填序号）
【性质探究】
小明说：在如图①的垂美四边形ABCD中AD2+BC2＝AB2+CD2，请你判断他的说法是否正确，并说明
理由；
【问题解决】
如图②，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE
交AB于点M，连接BG交CE于点N，连接GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【变式3】定义图形
如图1，在四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，连接MN．若MN两侧的图形面积相等，
则称MN为四边形ABCD的“对中平分线”．
提出问题有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢？
分析问题
（1）如图2，MN为四边形ABCD的“对中平分线”，连接AN，DN，由M为AD的中点，已知△AMN
与△DMN的面积相等，则AD，BC有怎样的位置关系呢？请说明理由．
（2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是 ．（请把你认为假命题的
序号都填上）
①若MN∥AB，则四边形ABCD是平行四边形；
②若MN＝AB，则四边形ABCD是菱形；
③若MN⊥BC，则四边形ABCD是矩形．
深入探究
如图3，四边形ABCD有两条对中平分线，分别是MN，EF，且相交于点O，若MN＝EF．请探索四边
形ABCD的形状，并说明理由．
