文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由集合 ，
根据集合交集的运算，可得 .
故选：C.
2．若 为虚数单位，复数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由复数 ，所以 .
故选：A.
3．已知双曲线 的一条渐近线的斜率为2，则 （ ）
A．－4 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】根据 ,得到 ,则焦点在 轴，故渐近线为 ，
则 ，故 .
故选：A
4．函数 的部分图象如图，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由图及题设知 ，把点 代入，得 ，
由五点描图法可得 ，所以 ，故 ，
所以 .
故选：A
5．据中国地震台测定，2023年11月20日在宁夏灵武市发生了4级地震，里氏震级 可以测出最大振幅，
其计算公式为 .其中 是被测地震的最大振幅， 是0级地震的振幅，则8级地震的最大振幅
是4级地震的最大振幅的几倍（ ）
A．400 B． C．1000 D．10000
【答案】D
【详解】由 ， 则8级地震时有： ，即 ，同理4级地震时有 ，
则 ，即 ，
即 .
故选：D.
6．对任意的实数x， ，则 值为（ ）
A．60 B．120 C．240 D．480
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
7．如图，AB是圆O的一条直径，且 ．C，D是圆O上的任意两点， ．点P在线段CD上，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知，连接 ， 为 的中点，则 ， ，所以 ，
又 ，
所以圆心O到直线CD的距离为 ，
又点P在线段CD上，所以 ，则 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
故选：D.
8．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学
习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台
的上、下底面半径之比为 ，母线长为 ，其母线与底面所成的角为 ，则这个圆台的体积为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图所示：过点 作 与点 ，不妨设上下底面圆圆心分别为 ，半径分别为 ，圆台的高
，
由题意母线 长为 ，其母线 与底面所成的角为 ，即 ，
从而 ， ，
又圆台的上、下底面半径之比为 ，即 ，
所以 ，圆台上下两个底面的面积分别为 ，
由圆台体积公式可知 .
故选：A.
9．设 为等差数列 的前n项和，则对 ， ，是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若对 ，都有 ，可得 ，
因为 恒成立，所以 ，即数列 为递增数列，
，
所以 ，即 成立，所以充分性成立；
反之：若对 ，都有 ，即 ，可得 ，解得 ，所以 ，
即数列 为递增数列，
例如：数列 为递增数列，可得 ，
此时 不成立，即必要性不成立；
所以对 ， ，是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
10．在平面直角坐标系 中， ， ， ，动点P满足 ，则 的最大
值是（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】A
【详解】由 ，得动点P的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆，其方程为 ，设
，则 ，表示圆C上的点P到点 的距离，所以
.
故选：A.
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数 的对称中心为 ．
【答案】
【详解】因为 ，则 的图象可以由函数 向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
因为 为奇函数，函数图象关于原点 对称，所以 关于 对称.
故答案为：
12．已知抛物线 的焦点是 ，点 是抛物线上的动点，若 ，则 的最小值为 ，
此时点 的坐标为 ．
【答案】 /3.5
【详解】易知点 在抛物线内部，设抛物线的准线为 ，则 的方程为 ，过点 作 于点 ，则
，当 ，即 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为 ，此时
点 的纵坐标为2，代入 ，得 ，所以此时点 的坐标为 ．
故答案为： ； ．
13．已知a，b为正实数，直线 与曲线 相切，则a与b满足的关系式为
． 的最小值为 ．
【答案】【详解】解：由 ，得 ，
因此曲线 在切点处的切线的斜率等于2，
，即 ，此时 ．
则切点为 ，
所以相应的切线方程为 ，
则 ， ．
又 ， ， ．
当且仅当 时上式等号成立．
故答案为： ； ．
14．已知函数 ，其中 ，且 恒成立， 在 上单调，则 的
取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意知， ，则 ，即 ，解得 .
由 ， ，得 ，
即 ，
若函数 在 上单调递增，则 ，
即 ， ，解得 ，则不等式组无解；若函数 在 上单调递减，则 ，
即 ， ，解得 ，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
15．已知函数 给出下列四个结论：
①当 时， 的最小值为0；
②当 时， 不存在最小值；
③ 零点个数为 ，则函数 的值域为 ；
④当 时，对任意 ， ， ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【详解】①当 时， ，在 上的值域为 ，在 上值域为 .
所以 的最小值为0，故①正确；
②在 上 的值域为 ，
当 时，在 上值域为 ；
当 时，在 上值域为 ；要使 不存在最小值，则 或 ，
解得 或 ，故②正确；
③ 至多一个零点， 至多有两个零点，
当 时，若 ，则由 ，
可得 或 ，故 恒有两个零点；
时，若 ，则 存在一个零点；
若 ， 不存在零点，
所以 时， 零点个数可能为2或3个；
若 ，则 ，此时 ，即 上无零点，
而 ，故 有一个零点，即 ；
若 ，则 ，此时 上 ，无零点，
时， 也无解，故 无零点，即 ；
综上， 的值域为 ，故③正确；
④当 时， ，则 ，
所以 ，故④错误.
故答案为：①②③.
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， ， ，
.(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 为 的中点，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：在 中，由 ，得 ， ，
所以 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，又 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为四边形 为正方形，则 ，
又因为 平面 ，则 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为x、y轴，
平面 内过点 且与直线 垂直的直线为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，所以， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，可得 ，
设二面角 的平面角大小为 ，
则 ，
所以，二面角 的余法值为 .
17．在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在下面
的问题中并作答.
在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，________.
(1)求角 ；
(2)若 ， ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
【 详解】（1）选择①： ，
由余弦定理知： ，即 .
∴ ，即 ，结合正弦定理可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ .
选择②：∵ ，
∴由正弦定理得 .
由余弦定理得 .
∵ ，
∴ .
（2）由（1）知 .
又因为 ， ，
∴由余弦定理得： ，即 ，
∴ ，
∴ 的面积 .
18．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一
个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：
到校时间 7：30之前 7：30-7：35 7：35-7：40 7：40-7：45 7：45-7：50 7：50之后
乘地铁 0.1 0.15 0.35 0.2 0.15 0.05
乘汽车 0.25 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为
0.35.）
(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，
反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；
(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当
天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校
的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前
坐地铁的次数为 ，求 ；
(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早
于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐
汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐
地铁去学校.记 为王老师第 天坐地铁去学校的概率，求 的通项公式.
【答案】(1)0.15
(2)
(3)
【详解】（1）记事件 “硬币正面向上”，事件 “7：40-7：45到校”
则由题有 ， ， ，
故 .
（2） 可取1，2，3，…，9，10，
由题：对于 ， ； ，
故 ，，
以上两式相减得： ，
故 .
所以 .
（3）由题意： ， ，则 ，
这说明 为以 为首项， 为公比的等比数列.
故 ，所以 .
19．已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B，其离心率为 ，点P是C上的一点
（不同于A，B两点），且 面积的最大值为 ．
(1)求C的方程；
(2)若点O为坐标原点，直线AP交直线 于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y
轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由
【答案】(1) ；(2)是定值， .【详解】（1）由题意 ，故 .
（2）由（1）及题设知： ，直线 的斜率存在且不为0，
设 ，则 ，即 ，
所以 ，又过点O且与直线BG垂直的直线记为l，则 ，
故直线 ，而直线 ，则 ，
联立 ，而 ，可得 ，
所以 ，故 ，过 作 轴，如图，
所以 为定值.20．已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)若 ，求函数 的最小值；
(3)若 有两个零点 ， ，证明： .
【答案】(1)极大值为 ，无极小值
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知函数 的定义域为 ， ，
， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值.
（2）由题意知函数 的定义域为 .
，
则 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
（3）不妨设 ，则由（2）知 ， .
设 ，由 ，得 ，
即 ，因为函数 在R上单调递增，所以 成立.
构造函数 ，则 ，
， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
构造函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，即当 时， ，
所以 ，
又 在 上单调递减，
所以 ，即 .
21．若存在常数 ，使得数列 满足 （ ， ），则称数列 为“ 数
列”.
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)若数列 是首项为 的“ 数列”，数列 是等比数列，且 与 满足
，求 的值和数列 的通项公式；
(3)若数列 是“ 数列”， 为数列 的前 项和， ， ，试比较 与 的大小，并
证明 .
【答案】(1)不是“ ”数列(2) ，
(3) ，证明见解析
【详解】（1）根据“ 数列”的定义，则 ，故 ，
因为 成立， 成立， 不成立，
所以 不是“ 数列”.
（2）由 是首项为 的“ 数列”，则 ， ，
由 是等比数列，设公比为 ，
由 ，
则 ，
两式作差可得 ，
即
由 是 “ 数列”，则 ，对于 恒成立，
所以 ，
即 对于 恒成立，
则 ，即 ，
解得， ， ，
又由 ， ，则 ，即
故所求的 ，数列 的通项公式（3）设函数 ，则 ，令 ，
解得 ，当 时， ，
则 在区间 单调递减，
且 ，
又由 是 “ 数列”，
即 ，对于 恒成立，
因为 ，则 ，
再结合 ，
反复利用 ，
可得对于任意的 ， ,
则 ，
即 ，则 ，
即 ， ， ， ，
相加可得 ，
则 ,
又因为 在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
故 .
