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第四章 几何图形初步压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C
地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C
地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取
完两批货后再出发至A点．已知： ，则直至两车都各自到达终点时，
两车相遇的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由题意可求出 ， ， ， ．再根据题意
结合速度=路程÷时间讨论即可．
【详解】解：由题意可知 ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
当大货车第一次到达D地时，用时 ，
∴此时小车行驶路程为 ．
∵ ，
∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，
∵ ，
∴大货车到达C地用时 ．
假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，
则 ，
解得： ，即说明大货车到达C地之前没相遇；
当大货车继续由C地返回B地时，
∵ ，
∴大货车到达B地用时 ．此时大货车共行驶 ．
∵小车到达C地用时 ，
∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠 ．
∵小车中途在C地停靠3分钟，即 ，
∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠 ．
当大货车又从B地出发前往D地时，用时 ，
∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，
∴此时小车剩余停靠时间 ，
∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了 ．
假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为 ，
则 ，
解得： ，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，
∴此过程两车没相遇．
当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，
∴两车此过程必相遇．
综上可知，两车相遇的次数为2次．
故选A．
【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，
列出算式或方程是解题关键．
2．如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（ ）
A．4cm B．2cm C．4cm或2cm D．小于或等于4cm，
且大于或等于2cm
【答案】D
【详解】试题分析：①当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在
A、B之间两种情况讨论；
②当A，B，C三点不在一条直线上时，根据三角形三边关系讨论.
解：当点A、B、C在同一条直线上时，①点B在A、C之间时：AC=AB+BC=3+1=4；②点
C在A、B之间时：AC=AB-BC=3-1=2，
当点A、B、C不在同一条直线上时，A、B、C三点组成三角形，根据三角形的三边关系
AB-BC ＜AC＜AB+BC，即2＜AC＜4，综上所述，选D.
故选D.
点睛：本题主要考查点与线段的位置关系..利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键，
3．用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形(如图)．方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD剪开，使展
开后的图形为正五边形，则∠OCD等于( )
A．108° B．90° C．72° D．60°
【答案】B
【分析】根据折叠可知∠DOC为36°，根据正五边形内角为108°可知∠ODC为54°，由三角
形内角和为180°即可得.
【详解】由折叠可知周角被平分为10份，所以∠DOC为36°，
由正五边形一个内角为108°，所以∠ODC为 108°=54°，
所以∠OCD=180°-54°-36°=90°，
故选B.
【点睛】此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解本题关键.
4．如图，点 、 、 在同一直线上， 为 的中点， 为 的中点， 为 的中
点，则下列说法：
，其中正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算 即可.
【详解】① ∵H是 的中点，
∵ 分别是 的中点，
.∴①正确.
② 由①知
∴②错误.
③
∴③正确.
④
∴④正确.
综上，①③④正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差.根据线段的和差进行求解是解题的
关键.
5．如图1，线段 表示一条拉直的细线， 、 两点在线段 上，且 ，
.若先固定 点，将 折向 ，使得 重叠在 上；如图2，再从图2的
点及与 点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段
为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.
【详解】设OB=3x，则BP=7x，
∴OP=OB+BP=10x，
∵ ，
∴OA=4x，AP=6x，
∴AB=OA-OB=x，
将 折向 ，使得 重叠在 上，再从点 重叠处一起剪开，
得到的三段分别为：2x、3x、5x，
故选：D.
【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意
折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可.
6．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（ ）
A．7个 或8个 B．8个或9个
C．7个或8个或9个 D．7个或8个或9个或10个
【答案】D
【详解】如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点
个数分别为：7个、8个、9个或10个.
故选D.
评卷人 得分
二、填空题
7．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、
OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 ．
【答案】 或
【分析】先根据题意画出图形，再分OD在 内和OD在 外，根据角的和差关系、角平分线的定义可求 的度数．
【详解】（1）如图1，OD在 内，
， ,
，
射线OE平分 ，
，
射线OF平分 ， ，
，
；
（2）如图2，OD在 外，
， ,
，
射线OE平分 ，
，
射线OF平分 ， ，
，
.
则 的度数是 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查了角的和差关系、角平分线的定义， OD在 外的情形易被忽略，
从而出现漏解是本题的难点．
8．已知一条射线OA由点O引射线OB，OC，∠AOB=72°，∠BOC=36°，则∠AOC等于 ．【答案】36°或108°
【详解】根据题意画图，可知：当OC在∠AOB的外部时，
∠AOC=∠AOB+∠BOC=72+36°=108°；当OC在∠AOB的内部，∠AOC=∠AOB-∠BOC=72-
36°=36°.
故答案为36°或108°.
9．如图，已知∠AOB＝40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，OC与∠AOB
的平分线所成的角的度数为 ．
【答案】4°或100°．
【分析】由题意∠AOC：∠COB=2：3，∠AOB=40°，可以求得∠AOC的度数，OD是角平分
线，可以求得∠AOD的度数，∠COD=∠AOD-∠AOC．
【详解】解：若OC在∠AOB内部，
∵∠AOC：∠COB＝2：3，
∴设∠AOC＝2x，∠COB＝3x，
∵∠AOB＝40°，
∴2x+3x＝40°，
得x＝8°，
∴∠AOC＝2x＝2×8°＝16°，∠COB＝3x＝3×8°＝24°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝20°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°﹣16°＝4°．
若OC在∠AOB外部，∵∠AOC：∠COB＝2：3，
∴设∠AOC＝2x，∠COB＝3x，
∵∠AOB＝40°，
∴3x﹣2x＝40°，
得x＝40°，
∴∠AOC＝2x＝2×40°＝80°，∠COB＝3x＝3×40°＝120°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝20°，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝80°+20°＝100°．
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
【点睛】本题考查角的计算，结合角平分线的性质分析，当涉及到角的倍分关系时，一般
通过设未知数，建立方程进行解决．
10．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，
∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三
角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒
（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝ ．
【答案】 或
【分析】由题意，分两种情况讨论，当 平分 时，当 平分 时作出图
形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可．
【详解】 平分 ，
，以每秒 的速度绕点O逆时针旋转， 以每秒 的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当 平分 时，
解得
，
②如图2，当 平分 时，
解得故答案为： 或
【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间
可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键．
评卷人 得分
三、解答题
11．如图， 内部有一射线OC， ， 与 的度数比为 ，射
线 从 出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线 从 出发以20
度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线 与射线 重合后，立即以原速逆时针旋转，
当 与 重合后再次改变方向顺时针向 旋转（即 在 与 之间来回摆动），
当 与 重合时， 与 都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
(1) 时， ；
(2)当t为何值时， 恰好是 的平分线；
(3)在旋转的过程中，作 的角平分线 ，是否存在某个时间段，使得 的度数
保持不变？如果存在，求出 的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请
说明理由．
【答案】(1)100
(2)3或7
(3)存在， 时， 的度数保持不变， ； 时， 的度数
保持不变，
【分析】（1）当 时， ， ，故 ，
即得 ；
（2） ， 与 的度数比为 ，知 ， ，故
从 旋转到 （或从 旋转到 需要 （秒）， 从 旋转到
需要 （秒），当 时， ；当 时，
；当 时， ，解方程可得答案；
（3）当 时， ；当 时，
；当 时，，即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）当 时， ， ，
，
；
故答案为：100；
（2） ， 与 的度数比为 ，
， ，
从 旋转到 或从 旋转到 需要 （秒）， 从 旋转到
需要 （秒），
当 时， ， ，
恰好是 的平分线，
，
解得 ；
当 时， ， ，
恰好是 的平分线，
，
解得 （舍去）；
当 时， ， ，
恰好是 的平分线，
，
解得 ；
综上所述，当 为3或7时， 恰好是 的平分线；
（3）存在某个时间段，使得 的度数保持不变，理由如下：
当 时， ， ，
平分 ，
，
，
时， 的度数保持不变， ；
当 时， ， ，
平分 ，
，
，
时， 的度数随 的改变而改变；
当 时， ， ，平分 ，
，
，
时， 的度数保持不变， ；
综上所述， 时， 的度数保持不变， ； 时， 的度
数保持不变， ．
【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是读
懂题意，能应用分类讨论思想解决问题．
12．已知：如图1，点A、O、B依次在直线 上，现将射线 绕点O按顺时针方向以
每秒 的速度旋转，同时射线 绕点O按逆时针方向以每秒 的速度旋转，如图2，
设旋转时间为t（0秒 秒）
（1）用含t的代数式表示 的度数．
（2）在运动过程中，当 第二次达到 时，求t的值．
（3）如果让射线 改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，
用时多少秒，能使得 ，请直接写出t的值．
【答案】（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t，当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t，当18＜t≤27
时，∠MOA＝20t-360°，当27＜t≤30时，∠MOA＝ ；（2）5；（3）7.5或10.5或
25.5或28.5
【分析】（1）分四种情况，分别求出∠MOA的度数，即可；
（2）当∠AOB第二次达到120°时，射线OB在OA的左侧，∠AOM与∠BON重叠部分为
∠AOB，故有等量关系∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°，列方程求解可得t．
（3）OA、OB都是逆时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一
次达到30°时，即OB差30°追上OA，路程差为（180−30）°，即40t−20t＝180−30；第二次
达到30°时，即OB追上OA且超过30°，路程差为（180＋30）°；第三次达到30°时，OB再
走一圈差30°追上OA，路程差为（180＋360−30）°；第四次达到30°时，OB再次追上且超
过30°，路程差为（180＋360＋30）°，此时求出的t已接近30，故不需再求第五次．
【详解】解：（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t，
当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t，
当18＜t≤27时，∠MOA＝20t-360°，当27＜t≤30时，∠MOA＝ ，
（2）当∠AOB第二次达到120°时，如图1，得：
∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°
∴20t＋40t−120＝180，解得t＝5；
（3）如图2，当∠AOB第一次达到30°时，OB比OA多转了（180−30）°，得：
40t−20t＝180−30
解得：t＝7.5
如图3，当∠AOB第二次达到30°时，OB比OA多转了（180＋30）°，得：
40t−20t＝180＋30
解得：t＝10.5
当∠AOB第三次达到30°时，OB比OA多转了（180＋360−30）°，得：
40t−20t＝180＋360−30
解得：t＝25.5
当∠AOB第四次达到30°时，OB比OA多转了（180＋360＋30）°，得：
40t−20t＝180＋360＋30
解得：t＝28.5
综上所述，t＝7.5或10.5或25.5或28.5时，∠AOB＝30°．
【点睛】本题考查了角度计算，一元一次方程的应用．第（3）题转化为追及问题来思考，
可把每次∠AOB达到30°的分类计算方法更统一且好理解．
13．已知线段 ， ( ， 为常数，且 )，线段 在直线 上运动(点
B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段 的中点，Q是线段 的中点．(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段 的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段 运动到点B，M重合时，求线段 ， 之间的数量关系；
(3)当线段 运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段 ， ， 三者之间的
数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据题意表示出 和 的长度，然后即可求出 ；
（2）根据题意表示出 和 的长度，再表示出 和 的长度，即可发现 和 之
间的数量关系；
（3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出 和 ，
即可发现 ， ， 三者之间的数量关系．
【详解】（1）因为P是线段 的中点，Q是线段 的中点，所以 ， ，
∴ ．
（2）因为P是线段 的中点，Q是线段 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（3）如图①，
当点M在点B的左侧时 ， ，
所以 ；
如图②，当点M在点B的右侧时 ， ，
所以 ．
综上所述， 或 ．【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．
14．如图，射线 上有三点 、 、 ，满足 ， ， ，点
从点 出发，沿 方向以 的速度匀速运动，点 从点 出发在线段 上向点 匀
速运动，两点同时出发，当点 运动到点 时，点 、 停止运动.
（1）若点 运动速度为 ，经过多长时间 、 两点相遇？
（2）当 时，点 运动到的位置恰好是线段 的中点，求点 的运动速度;
（3）设运动时间为 ，当点 运动到线段 上时，分别取 和 的中点 、 ，则
____________ .
【答案】（1）经过 ， 、 两点相遇（2）答案不唯一，具体见解析（3）
【分析】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，根据OP+CQ=OA+AB+AC列出方程即可解决
问题；
（2）分两种情形求解即可；
（3）用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；
【详解】（1）设运动时间为 ，则 ， ；所以经过 ， 、 两点相遇
（2）当点 在线段 上时，如下图,
AP+PB=60,
∴AP=40,OP=50,
∴P用时50s,
∵Q是OB中点,
∴CQ=50,
点 的运动速度为 ；
当点 在线段 的延长线上时，如下图,
AP=2PB,
∴AP=120,OP=140,
∴P用时140s,
∵Q是OB中点,∴CQ=50,
点 的运动速度为 ；
（3）如下图,
由题可知,OC=90,
AP=x-20,
EF=OF-OE=OF- OP=50- x,
∴ 90-（x-20）-2(50- x)=10
【点睛】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解
题意，找到等量关系，注意分类讨论是解题关键．
15．如图，线段 ， ，点 以 的速度从点 沿线段 向点
运动；同时点 以 从点 出发，在线段 上做来回往返运动（即沿
运动），当点 运动到点 时，点 、 都停止运动，设点 运动的
时间为 秒．
(1)当 时， ______ ；
(2)当 为何值时，点 为线段 的中点？
(3)若点 是线段 的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使 的长度保
持不变？如果存在，求出 的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在，当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ；当 时，
的长度保持不变，此时 的长度为【分析】（1）先求出 ，再根据速度和时间分别求出 的长，然
后根据线段和差即可得；
（2）先分别求出点 运动到点 所需时间为 ，点 第一次运动到点 所需时间为 ，
再分① ，② 和③ 三种情况，分别利用线段中点的定义建立方程，
解方程即可得；
（3）参照（2）分① ，② 和③ 三种情况，先求出 的长，从
而可得 的长，再根据 进行分析即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
，
当 时， ，
，
，
故答案为： ．
（2）解：点 运动到点 所需时间为 ，点 第一次运动到点 所需时间为
，
则分以下三种情况：
①当 时，则 ，
点 为线段 的中点，
，即 ，
解得 ，符合题设；
②当 时，则 ，
点 为线段 的中点，
，即 ，
解得 ，不符题设，舍去；
③当 时，则 ，
点 为线段 的中点，
，即 ，
解得 ，符合题设，
综上，当 或 时，点 为线段 的中点．
（3）解：①当 时，则 ，
点 是线段 的中点，，
，
即当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ；
②当 时，则 ，
点 是线段 的中点，
，
，
此时 的长度随着 的变化而变化；
③当 时，则 ，
点 是线段 的中点，
，
，
即当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ；
综上，存在这样的时间段，当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ；
当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算、一元一次方程的应用，较难的是题（2）和
（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
