文档内容
关
第 1 讲 整数计算综合
内容概述
熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加
减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。学会处理“定义新
运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题
兴趣篇
1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×125
2. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66.
3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。
4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.
5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.
6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).
7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.
8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给
定的数，按照由若干个 7 和 8 组成的口令进行一连串的变换。口令
“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令
“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例
如：给出的数是 1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变
成 995，在第二个口令“7”发出后变成 9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后
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依次得到的 6 个数的和是多少？
9. 规定运算“ ”为：a b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8 10; (2) 10
8.
10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：
(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)
拓展篇
1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(1000÷121).
2. 计算：(1) 555×445－556×444; (2) 42×137－80÷15+58×138－
70÷15.
3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.
4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.
5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－
3×2－2×1.
6. 在不大于 1000 的自然数中，A 为所有个位数字为 8 的数之和，B 为
所有个位数字为 3 的数之和. A 与 B 的差是多少？
7. 求图 1-1 中所有数的和.
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8. 已知平方差公式： ，计算：
9. 计算：951×949－52×48.
10. 规定运算“ ”为：a b=a+2b－2, 计算：(1) (8 7) 6; (2) 8
(7 6)
11. 规定运算“ ”为：a b=(a+1) ×(b－2). 如果 6 ( 5)=91, 那么方
格内应该填入什么数？
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12. 规定：符号“ ”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两
数中较小的数的运算，例如：3 5=5，3 5=3 请计算：1 2 3 4 5 6 7
… 100.（运算的顺序是从左至右）
超越篇
1. 观察下面算式的规律：
2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940
－1934+……一直这样写下去，那么最后 4 个自然数分别是哪 4 个？符
号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？
2. 从 1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相
乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？
3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－……+4950.
4. 已知平方差公式： , 计算：
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5. a b 表示从 a 开始依次增加的 b 个连续自然数的和，例如：4
3=4+5+6=15, 5 4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4 15 (2) 在算式（
7） 11=1056 中，方框里的数应该是多少？
6. 定义两种运算：a b=a－b+1, a b=a×b+1, 用“ ”、“ ”和括号
填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：73 4 5=2
7.现定义四种操作的规则如下：
①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以 2；如果是奇数，
就先加上 1， 然后除以 2. 例如从 16 可以得到 8，从 27 可以得到 14.
②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其
划掉，例如从 5304 可以得到 50，从 408 可以得到 8. （不含数字 3 和 4
的自然数不能进行“丢三落四”操作）
③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”
移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到
最右边。例如从 98707 可以得到 77908，从 802 可以得到 28. （不含数
字 7 和 8 的自然数不能进行“七上八下”操作）
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④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成 0. 例如从 111 可以得
到 110，从 905 可以得到 900. (个位是 0 的自然数不能进行“十全十
美”操作)
(1) 请写出对 4176 依次进行③①③②④操作后的结果：
(2) 从 655687 开始，最少经过几次操作以后可以得到 0？
(3) 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后
得到的结果是
8. 求有多少个这样的三位数.
图 1-2 是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是
多少？
第 2 讲 和差倍问题三
内容概述
数量关系复杂，需要深入分析的和差倍问题；由于数量大小改变，而产
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生倍数关系变化的问题；需要利用比较或分组的方法进行分析的问题。
典型问题
兴趣篇
1. 有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的 3 倍. 将它们插入
水塘中，插入水中的长度都是 40 厘米，而露出水面部分的总长为 160
厘米. 请问：短竹竿露在外面的长度是多少厘米？
2. 李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆.如果从甲
堆中拿出 15 个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿
出 15 个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的 3 倍. 问：甲堆原来
有零件多少个？李师傅这一天共生产零件多少个？
3. 一个六边形广场的边界上插有 336 面红旗和黄旗. 六边形的每个顶
点处都插有红旗，每条边上的红旗数目一样多，并且每两面红旗间插
有相同数目的黄旗. 已知每条边上黄旗比红旗的 2 倍还多 12 面，那么
每两面红旗间插有几面共旗？
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4. 爸爸和冬冬一起搬砖，爸爸所搬的砖头数是冬冬的 3 倍. 冬冬觉得
自己搬的砖头太少了，又搬了 24 块砖头，于是爸爸所搬的砖头数是科
科的 2 倍. 请问：最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖？
5. 四年级三班买来单价为 5 角的练习本若干. 如果将这些练习本只分
给女生，平均每人可得 15 本；如果将这些练习本只分给男生，平均每
人可得 10 本. 请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到
多少本？此时每人应付多少钱？
6. 有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参
赛人数比乙校多 5 人，比丙校多 7 人. 如果乙、丙两校一共有 40 人参加
比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？
7. 有三个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是 83 千克、85 千
克和 86 千克. 问：其中最轻的箱子重多少千克？
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8. 小悦和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅. 她们看中了两款，这两
款桌椅都包含一张桌子和若干把椅子.其中桌子的价钱一样，每把椅子
的价钱也一样. 第一款桌椅中有 6 把椅子，总价为 700 元；第二款桌椅
中有 9 把椅子，总价为 970 元. 请问：一张桌子的价钱是多少元？
9. 小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把
胡萝卜平分了. 小白兔当天吃了 4 个胡萝卜，小黑兔则一口气吃了 12
个胡萝卜. 小白免往后每天都吃 4 个胡萝卜；小黑兔因为第一天吃得
太多，往后每天只吃 2 个胡萝卜，最后它俩同时把自己的胡萝卜吃完.
小白兔与小黑兔一共采摘了多少个胡萝卜？
10. 一家汔车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售. 福特汽
车的数量是丰田汽车的 3 倍.如果每周销售 2 辆丰田汽车和 4 辆福特汽
车，丰田汽车销售完时还剩下 30 辆福特汽车. 请问：原有丰田汽车和
福特汽车各多少辆？
9 / 225关
拓展篇
1. 李师傅将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量乙零件
的 2 倍，每件产品需要 5 个甲零件和 2 个乙零件，生产 30 件产品后，剩
下的甲、乙零件数量相等，请问：李师傅还可以生产几件产品？
2. 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花. 其中黄花的盆数最多，既是
红花盆数的 4 倍，也是蓝花盆数的 3 倍，如果蓝花比红花多 20 盆，请问：
学校门口一共有多少盆花？
3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生. 如果只分给第一群，则每只猴
子可得 12 粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如果只分给
第三群，则每只猴子可得 20 粒，试问：现在将这些花生平均分给三群
猴子，每只可得多少粒？
10 / 225关
4. 养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的 3 倍. 一天有 10 只鸡
从西院跑到东院，这时西院鸡的数是是东院的 2 倍，那么现在东、西两
个院子各有多少只鸡？
5. 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖
头，父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数
是冬冬的 5 倍；如果冬冬帮爸爸搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬
冬的 2 倍. 请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？
6. 甲班和乙班共 83 人，乙班和丙班共 86 人，丙班和丁班共 88 人. 问：
甲班和丁班共多少人？
7. 小悦、冬冬、阿奇三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出
60 千克与 90 千克之间的重量，因此他们三人只能两个两个称重. 如果
小悦和冬冬一起称，总重量是 73 千克；冬冬和阿奇一起称，总重量是
80 千克；阿奇和小悦一起称，总重量是 75 千克，三人的体重分别是多
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少千克？
8. 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个数的总人数是
131 人；不算丁班，其余三个班的总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数
比甲、丁两班的总人数少 1 人. 问：这四个班共有多少人？
9. 某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满 30 天，工厂将给他一套
工作服和 70 玩钱，但由于学校另有安排，他工作了 20 天后便中止了合
同，工厂只给他一套工作服和 20 元钱. 请问：这套工作服值多少元？
10. 小悦和冬冬看同一本小说，小悦打算第一天看 50 页，接着每天看
15 页；冬冬则打算每天看 22 页，最后两人正好在同一天看完，这本小
说一共多少页？
11. 某食堂买来的大米的袋数是面粉的 4 倍，该食堂每天消耗面粉 20
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袋，大米 60 袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下 200 袋，这个食堂买
来大米多少袋？
12. 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖
的 3 倍还多 10 颗，售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了 3
颗巧克力糖和 7 颗水果糖，最后巧克力糖全部装完，水里糖还剩下 170
颗. 请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？
超越篇
1. 在一次速算比赛中，每道题的分数是一样的. 前 20 道题中，小时做
对了 15 道；余下的题中，他做对的题仅是做错的一半，最后一共得了
50 分. 如果满分是 100 分，那么小明做对了多少道题？
2. 有四个数，其中每三个数的和分别是 45、46、49、52，那么这四个数
中最小的一个数是多少？
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3. 小伟和小杰两人玩游戏牌，第一轮过后，小伟赢了小杰 13 张牌，这
时小伟的牌数是小杰的 2 倍少 10 张；由于得意忘形，小伟在第二、三轮
惨败，输了 29 张牌，结果小杰的牌数反而是小伟的 7 倍少 10 张. 求小
伟和小杰原来各有多少张牌？
4. 费叔叔买了一台电视机，购买时可以按以下两种方式付款：第一个
月付款 750 元，以后每月付 150 元；或前一半时间每月付 300 元，后一
半时间每月付 100 元. 两种付款方式的付款总数及时间都相同.问：这
台电视机的价格是多少元？
5. 甲、乙、丙三人乘坐飞机，三人所带行李的重量都超过了免费重量，
超出部分必须另付行李费. 甲付 20 元，乙付 40 元，丙付 60 元. 三人的
行李共重 150 千克，如果是一个人带这些行李出行，就需要支付 240 元
的超重费用. 请问：每人可以免费携带多少千克的行李？
6. 小楠的妈妈买回了若干个桔子和梨，其中桔子的个数是梨的 3 倍.
如果全家每天吃 5 个桔子和 2 个梨，那么一星期后，桔子的个数是梨的
14 / 225关
4 倍少 5 个. 原来桔子和梨分别有多少个？
7. 小真、小想和小看在讨论买《变形金刚》电影票的事，小真现有的钱
数是小想的 3 倍，是小看的 2 倍.
小真说：“如果小想给我 15 元钱，我就可以买 3 张电影票
小想说：“如果我给小真 15 元钱，剩下的钱恰好能买 3 个一样的汉
堡。”
小看说：“如果妈妈再给我 35 元钱，我就刚好能买 2 张电影票和 2 个
汉堡
请问：小真原有多少元钱？他们要买的电影票每张多少元？一个汉堡
多少元？
8. 现有三堆糖果，其中第一堆的块数比第二堆多，第二堆的块数比第
三堆多. 如果从每堆糖果中各取出一块，那么剩下的糖果中，第一堆的
块数是第二堆的 3 倍；如果从每堆糖果中各取出同样多块，使得第一堆
还剩下 32 块，则第二堆剩下的糖果数是第三堆的 2 倍. 问：原来三堆
糖果总共最多有多少块？
第 3 讲 还原问题与年龄问题
15 / 225关
内容概述
学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在
年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人
的年龄差保持不变。
典型问题
兴趣篇
1. 某数加上 6，再乘以 6， 再减去 6，再除以 6， 其结果等于 6，则这个
数是多少？
2. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝. 这个人出
门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝
下 8 两酒，这天他一共遇到 3 家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦
里的酒刚好喝完. 问：原来酒葫芦里有多少两酒？
3. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过
去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，
这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里
的钱增加一倍；这人一连走了 3 个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都
是 64 枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？
16 / 225关
4. 三棵树上共有 48 只鸟. 后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵
树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵
树上；最后，第三棵树上又有 10 只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树
上的鸟一样多. 问：一开始三棵树上各有几只鸟？
5. 1997 年张伯伯 45 岁，小方 9 岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄
的 4 倍？
6. 今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4 年后，小明的年龄等于他父
母年龄差的 3 倍. 今年小明多少岁？
17 / 225关
7. 今年，父亲年龄是儿子年龄的 5 倍；15 年后，父亲年龄是儿子年龄的
2 倍. 问：现在父子的年龄各是多少？
8. 兄弟两个年龄之和是 32 岁. 当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年
龄是当时弟弟年龄的 3 倍.求哥哥现在的年龄.
9. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 3 岁；当你
像我这么大时，我已经 39 岁了.” 求老师和学生现在的年龄.
10. 今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多 6 岁,
多少年后，费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少 6 岁？
拓展篇
1. 有一个数，把它加上 37，再乘以 18，减去 323，得到的结果用 23 去除，
商是 16，余数是 11.这个数原来是多少？
18 / 225关
2. 果园里有一棵桃树. 有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下
桃子的一半，最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半.
这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？
3. 地上有 26 地砖，兄弟二人争着去挑. 弟弟抢在前面，刚挑起一些砖，
哥哥赶到了，挑了剩下的砖. 哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢
过一半. 弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半. 哥哥不服，弟弟只好再给
哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑 2 块，请问：最初弟弟准备挑多少块砖？
4. 甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，
使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有 5 块糖，
乙有 12 块糖，两个人原来的糖数分别是多少？
5. 甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，
19 / 225关
使乙和丙的钱数都比原来增加了 2 倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一
些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了 2 倍，结果丙的钱最多；最后
丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数和增加 2 倍，结果三人的钱数
一样多，如果他们三人共有 81 元，那么三人原来分别有多少钱？
6. 今年张明 15 岁，他父亲 45 岁，请问：多少年后，父亲年龄是张明年
龄的 2 倍？多少年前，父亲年龄是张明年龄的 4 倍？
7. 12 年前，父亲的年龄是女儿年龄的 11 倍；今年，父亲的年龄是女儿
年龄的 3 倍. 请问：多少年后父亲年龄是女儿年龄的 2 倍？
8. 去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是
弟弟的 2 倍. 求哥哥和弟弟现在的年龄。
9. 今年父亲的年龄是 48 岁，哥哥的年龄是弟弟的 2 倍, 当弟弟长到哥
哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和，请问：今年哥
哥多少岁？
20 / 225关
10. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 5 岁；当你
像我这么大时，我已经 50 岁了。“求老师和学生现在的年龄。
11. 有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之
和；9 年后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又过了 3 年，老师年龄
为甲、丙学生年龄之和；再过 3 年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和，
求现在各人的年龄。
12. 1 年前，父母的年龄和兄弟二人年龄和的 7 倍；4 年后，父母的年龄
和是兄弟二人年龄和的 4 倍，已知爸爸比妈妈大 2 岁，妈妈今年多少岁？
超越篇
21 / 225关
1. 口渴的三个和尚分别捧着一个水罐，最初，老和尚的水最多，并且有
一个和尚没水喝，于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个
和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚；然
后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚. 就这样，三人
轮流谦让了一阵，结果太阳落山时，老和尚的水罐里有 10 升水，小和
尚的水罐则装着 20 升水. 请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？
2. 甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖
少的人一些糖，使其糖数增加 1 倍；经过 2005 次这样的操作以后，甲有
10 块糖，乙有 8 块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？
22 / 225关
3. 哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我
在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和
为 32 岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的 7 倍，求哥
哥获得博士学位的年龄是多少岁。
4. 小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：“当我的岁数是你爸现在的岁数
时，你才 5 岁呢.”小明对爷爷说：“我的岁数是您现在的岁数时，我爸
都 89 岁了.”请问：小明的爸爸今年多少岁？
5. 1996 年时，父母的年龄之和是 78 岁，兄弟二人的年龄之和是 17 岁；
4 年后，父亲年龄是弟弟年龄的 4 倍，母亲年龄是哥哥年龄的 3 倍，试
问：当父亲年龄是哥哥年龄的 3 倍时是公元多少年？
6. 全家 4 口人，父亲比母亲大 3 岁，姐姐比弟弟大 2 岁，4 年前全家人
的年龄之和是 58 岁，而现在是 73 岁，问：现在各人的年龄分别是多少
岁？
23 / 225关
7. 老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然
后在最后写上另两个数的平均数，如此做了 7 次，这时黑板上三个数的
和为 159. 如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为 2008，且所有
写过的数都是整数.请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？
8. ；甲、乙、丙三人现在年龄的和是 113 岁，当乙的岁数是丙的岁数的
一半时，甲是 17 岁，请问：乙现在多少岁？
第 4 讲 数阵图初步
内容概述
各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会
分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。
典型问题
兴趣篇
1. 在图 4-1 中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条
边上的三个数之和都等于 11.
24 / 225关
2. 请分别将 1，2，4，6 这四个数填在图 4-2 中的各空白区域内，使得每
个圆圈里四个数之和都等于 15.
25 / 225关
3. 如图 4-3 所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上
三个数之和都相等。
4. 把 1 至 8 分别填入图 4-4 的八个方格内，使得各列上两个数之和都
相等，各行四个数之和也相等。
5. 把 1 至 12 分别填入图 4-5 的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上
的六个数之和相等。
26 / 225关
6. 在如图 4-6 所示的 3×3 方格表内填入 1、2、3 这三个数字各三次，使
得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。
7. 把 1 至 6 分别填入图 4-7 的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点
的数之和都为 13.
8. 把 1 至 6 分别填入图 4-8 的六个方格内，使得横行三个数之和与竖
列四个数之和相等. 这个和最大是多少？最小是多少？
27 / 225关
9. 把 1 至 7 这七个数分别填入图 4-9 中各圆圈内，使每条直线上三个
圆圈内所填数之和都相等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同
一种填法，请写出所有可能的填法。
10.在图 4-10 的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是
与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？
拓展篇
1. 将 1 至 9 分别填入图 4-11 中的圆圈内，可以使得图中所有三角形
（共七个）的三个顶点上的数之和都等于 15. 现在已经填好了其中三个，
请你在图中填出剩下的数.
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2. 在图 4-12 中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形
每条边上三个数的和相等. 现在如果已经填好了五个数，那么每条边
上各数之和应该是多少？并将其补充完整。
3. 图 4-13 是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈. 请
你把 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每
个长方形上的四个数之和都相等。
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4. 在图 4-14 中的方格内填入三个 0、两个 2、两个 3、两个 4，使得每个
箭头所指的列中各方格内数字之和都是 6，并且使得从上到下第二行
与第三行的数字之和都是 7.
5. 请在图 4-15 的每个小圆圈内填入 1 或 2，使得每个大圆圈上四个数之
和两两不同，那么所填数的总和是多少？
6. 把 1 至 8 分别填入图 4-16 的八个圆圈内，使得任意两个有线段直接
相连的圆圈内的数字之差都不等于 1.
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7. 在图 4-17 的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈
内所填数之和都等于它们连线上的已知数. 请问：标有★的圆圈内填
的数是多少？
8. 小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的，她想把 1，2，3，4，5，6，7 这七个数
填入图 4-18 的七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数
之和恰好是 8，11，15，问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？
9. 把 1 至 6 这六个数字填入图 4-19 六个圆圈内，使得三角形每条边上
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三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？
10. 把 1 至 11 填入图 4-20 中“六一”图形的十一个空格内，使得每一
条直线上的两个或三个数之和都相等。
11. 请将 1 至 6 填入图 4-21 的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之
和都相等。
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12. 如图 4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十
件武器，各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总
数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？
武器 手枪 步枪 自动步 冲锋枪 轻机枪
枪
威力数 1 2 3 4 5
武器 重机枪 迫击炮 火箭筒 加农炮 榴弹炮
威力数 6 7 8 9 10
超越篇
1. 如图 4-23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有
数，请将 1 至 12 中的另六个数填入其他区域内，使得每个圆中四个数
之和都是 28.
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2. 如图 4-24，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个
数之和都等于大圆上三个数之和.
3. 把 1 至 8 填入图 4-25 中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每
个面上的四个数之和都相等。
4. 把 1 至 12 分别填入图 4-26 所示六角星图案的十二个圆圈内，使得
每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数，那么每条直线
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上各数之和应该是多少？并把下图补充完整。
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5. 把 1 至 8 填入图 4-27 的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数
字之和相等，且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和
的一半。
6. 图 4-28 中一共有 6 条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是 6）
填入其中的九个圆圈内，使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于 23.
7. 如图 4-29，5×5 的方格表被分成了五块，请你在每格中填入 1、2、3、
4、5 中的一个（其中两个格子已经分别填入 1 和 2），使得每行、每列、
每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等，请问：
是多少？
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8. 图 4-30 是奥林匹克五环标志，五个圆内共分成了九个部分，请在这
九个部分中填入 1 至 9 这九个数，使得每个圆环内的各数之和都相等，
请问：这个和最大是多少？最小是多少？
第 5 讲 竖式问题
内容概述
以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步
解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解
决问题。
典型问题
兴趣篇
1.如图 5-1 所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的
数字，其中“ G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表
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“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？
2. （1）在图 5-2 的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉
字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？
(2) 在图 5-3 的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字
代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？
3. 在图 5-4 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表
数字谜
不同的数字，如果 23+解+数+字+谜=30，那么“ ”所代表
的三位数是多少？
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北京奥运
4. 图 5-5 所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不
同的数字，那么“ ”代表的四位数是多少？
5. 已知图 5-6 所示的乘法竖式成立，那么 是多少？
6. (1) 在图 5-7 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代
表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？
(2) 在图 5-8 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表
不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？
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7. 如图 5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，
那么十个方框中数字之和是多少？
8. 在图 5-10 和图 5-11 中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式
成立.
9.在图 5-12 所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么
其中的商是多少？
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10. 有一个四位数，它乘以 9 后所得乘积恰好是将原来的四位数各位
数字顺序颠倒而得的新四位数，求原来的四位数.
拓展篇
1. 在图 5-13 和 5-14 中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表
不同的数字，求出它们使竖式成立的值.
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2. 如图 5-15，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母
代表不同的数字，那么数字 A、B、C 分别是多少？
3. 在图 5-16 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示
不同的数字，并且 A
