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7.1 不等式的性质
思维导图
知识点总结
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
性质1 若a>b，则b<a.
性质2 若a>b，b>c，则a>c.
性质3 若a>b，则a＋c>b＋c.
性质4 若a>b，c>0，则ac>bc；
若a>b，c<0，则ac<bc.
性质5 若a>b，c>d，则a＋c>b＋d.
性质6 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
性质7 若a>b>0，则an>bn(n∈N*).
[常用结论]
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，则a>b <.
⇔ 典型例题分析
考向一 比较数(式)的大小
例1 (1)若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A.p＜q B.p≤q
C.p＞q D.p≥q
答案 B
解析 p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.
综上，p≤q.
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.
答案 eπ·πe＜ee·ππ
解析 ＝＝，
又0＜＜1，0＜π－e＜1，
所以＜1，即＜1，
即eπ·πe＜ee·ππ.
感悟提升 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
考向二 构造法比较大小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】例2 (1)若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A.A≤B B.A≥B
C.A＜B D.A＞B
答案 B
解析 由题意得B2－A2＝－2≤0，
又A≥0，B≥0，所以A≥B.
(2)若a＝，b＝，c＝，则( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
答案 B
解析 法一 易知a，b，c都是正数，
＝＝log 64<1，所以a>b；
81
＝＝log 1 024>1，所以b>c.
625
即c<b<a.
法二 构造函数f(x)＝，
则f′(x)＝，
由f′(x)>0，得0<x<e；
由f′(x)<0，得x>e.
∴f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
论．
考向三
不等式的基本性质
例3 (1)(多选)(2023·张家口一模)若a＞b，则下列不等式中正确的有( )
A.a－b＞0 B.2a＞2b
C.ac＞bc D.a2＞b2
答案 AB
解析 对于A，因为a＞b，所以a－b＞0，故A正确；
对于B，因为a＞b，且指数函数y＝2x在R上单调递增，所以2a＞2b，故B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，若c＜0，则ac＜bc，故C错误；
对于D，当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，故D错误.
(2)(多选)(2023·泰州调研)若a＞b＞0＞c，则( )
A.＞ B.＞
C.ac＞bc D.a－c＞2
答案 ABD
解析 对于A，因为a＞b＞0，所以＜，因为c＜0，所以＞，正确；
对于B，－＝＝＝，
因为a＞b＞0＞c，所以b－a＜0，a－c＞0，所以＞，正确；
对于C，因为c＜0，所以y＝xc单调递减，又a＞b，所以ac＜bc，错误；
对于D，a－c＝a＋(－c)≥2＞2，正确.
感悟提升 解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值排除法；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂
函数等函数的单调性进行判断.
考向四 不等式性质的综合应用
例 4 (1)已知－1<x<4，2<y<3，则 x－y 的取值范围是________，3x＋2y 的取值范围是
________.
答案 (－4，2) (1，18)
解析 因为－1<x<4，2<y<3，
所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.
由－3<3x<12，4<2y<6，
得1<3x＋2y<18.
(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________.
答案
解析 ∵a∈(－3，－2)，∴∈，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故＜－＜，
又∵2＜b＜4，∴＜－＜2，
则－2＜＜－.
迁移 在本例(1)中，把条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，求3x＋2y的取值范围.
解 设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，
即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，
于是解得
∴3x＋2y＝(x－y)＋(x＋y).
∵－1<x－y<4，2<x＋y<3，
∴－<(x－y)<2，5<(x＋y)<，
∴<(x－y)＋(x＋y)<.
故3x＋2y的取值范围是.
感悟提升 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用
不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径
是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运
算求解范围.
基础题型训练
一、单选题
1．若 ，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质逐一判断即可选出答案.
【详解】对于A选项：当 时， ，错误；
对于B选项：当 时， ，错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C选项：当 时， ，正确；
对于D选项：当 时， ，错误；
故选：C.
2．下列命题中成立的是（ ）
A．如果 ， ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ， ，那么
D．如果 ， ，那么
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项验证得出答案即可.
【详解】
时， ，所以选项 A错误；
时， ，所以选项 B错误；
取 ，此时， ，所以选项C错误；
时， ，又 选项D正确.
故选：D.
3．已知 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合不等式的性质，一一判断即可.
【详解】对于选项A，当 时， ，故A错；
对于选项B，由 ，得 ，故B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项C，当 时， ，故C错；
对于选项D，当 时， ，故D错.
故选：B.
4．已知 ，下列不等式中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】举反例可排除A、B、D，再证明C正确即可．
【详解】取 可得 ，故A错误； 取 可得 ，故B错误； 取 可得
，故D错误； 选项C，∵ ，∴ ，故正确．故选：C．
【点睛】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．
5．若关于x的不等式组 的解集为 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用一元一次不等式组的解法，求得不等式组的解集，对比系数求得 的取值范围.
【详解】由 得 ，由于不等式组的解集为 ，所以
，解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，属于基础题.
6．设 ， ， ， 为实数，满足 ， ， ， ，则下列不等式正确的是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求出 ， ， ， ，0之间的大小关系，对于选项AB：根据不等式性质求解即可；
对于选项CD：通过赋值找出反例即可求解.
【详解】已知 ， ， ， ，可得 ，对各选项逐一判断：
选项A：因为 ，由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得 ，即 ，故A
错误；
选项B：因为 ，所以 ，所以 ，故B正确；
选项C：取 ， ， ， ，则 ， ，此时 ，故C错误；
选项D：取 ， ， ， ，则 ， ，此时 ，故D错误.
故选:B.
二、多选题
7．若 ，则下列不等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据题干 ，逐一分析判断选项即可.
【详解】因为 ，对A，可得 ，所以 ，故A错；对B， 成立，故B正确；
对C， ，故C错误；对D， ，所以 成立，故D正确.
故选：AC
8．已知 ， ， 满足 ，且 ，则下列不等式中恒成立的有（ ）
A． ， B． C． D．
【答案】AB
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论．
【详解】解： ，且 ，
， ，故A成立；
所以
由 ，所以 恒成立，故B成立；
对于C：若 ， ，则 ，故C错误；
对于D：若 ， ，故D错误；
故选： ．
三、填空题
9．不等式组 的解集为________．
【答案】
【解析】解一元一次不等式组求得不等式的解集.
【详解】由 得 ，所以不等式组的解集为 .
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.
10．若 、 满足 ，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】因为 ，则 ， ，且 ，所以， ，
所以， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 的取值范围是 .
故答案为： .
11．已知实数x，y满足 ， ，则 的取值范围是___________．
【答案】
【分析】设 ，得 ， ，得到 ，计算范围得
到答案.
【详解】设 ，
故 ，解得 ， ， ， ，
故 ，故 .
故答案为： .
12．若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是__．
【答案】
【分析】分离参数 ，把不等式变形为 ，只需 小于等于 的最小值即可.
【详解】 关于 的不等式 在 上恒成立
∴ ，
（当且仅当 ，即 时取等号）
且 ，等号当且仅当 时成立；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的最小值为 （当且仅当 时取最小值）
，即实数 的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题以及绝对值不等式的解法、基本不等式在最值问题中的应用，本
题中要注意等号须同时成立．
四、解答题
13．（1）已知 ，求证： ；
（2）已知 ，求 的取值范围；
（3）已知 ，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据不等式的性质可证明该不等式.
（2）先求出 的范围，从而可求 的取值范围.
（3）根据 可求 的取值范围．
【详解】（1）因为 ，所以 ,则 ．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（3）已知 ，
因为 ，所以
14．已知 ， ，且满足 ，则 的取值范围是？
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】由 ，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】设 ，则 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
即 .
故 的取值范围为 .
15．证明下面的结论：
（1）如果 ， ，且 ，那么 ；
（2）如果 ， ，那么 ；
（3）如果 ， ，那么 ；
（4）如果 ， ， ，那么 .
【答案】见解析.
【分析】本题考查的是不等式的证明，先对原式进行转换，再利用不等式的性质进行证明即可.
【详解】（1） ， ，则有 ；
（2） ， ，则有 ；
（3） ， ， ；
， ， ；
那么 ；
（4）由（3）可得 ，且 ，那么 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．已知 ，求证： ；
【答案】证明见解析
【分析】先对 与 作差证明 ,同理证明 , ,再
求和即可得证
【详解】证明: ,
因为 ,所以 , ,
所以 ,即 ,
同理, , ,
所以 ,
即
【点睛】本题考查作差法证明不等式,考查推理论证能力
提升题型训练
一、单选题
1．若非零实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．-a>-b C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断B，C；举例说明判断A，D作答.
【详解】非零实数a，b满足a>b，
对于A，取 ，满足a>b，而 ，A不一定成立；
对于B，因a>b，则-a<-b，B不成立；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，由不等式的性质知，若a>b，则 ，C成立；
对于D，取 ，满足a>b，而 ，D不一定成立.
故选：C
2．若实数 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】代入特殊值可判断A、B、D是否正确，结合幂函数的单调性即可判断C选项，进而可选出正确答
案.
【详解】取 满足 ，则 ， ，
，则A、B、D错误；
因为函数 在定义域上单调递增，因为 ，所以 ，即 ，
故选:C．
【点睛】本题考查了不等式性质，考查了幂函数的性质，属于基础题.
3．已知 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断A；举反例即可判断B，C，D.
【详解】由 ，且 ，可得 ，A正确；
取 ，满足条件，但 ，B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取 ，满足条件，但 ， ，C，D错误；
故选：A
4．已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 无法确定，也可能为0，结合不等式的性质，即可求解.
【详解】因为 ，可得 无法确定，也可能为0，
对于A中，例如 ，此时不等式 不成立，所以A不符合题意；
对于B中，当 时，不等式 不成立，所以B不符合题意；
对于C中，由 ，可得不等式 一定成立，所以C符合题意；
对于D中，由 ，即 ，所以D不成立.
故选：C.
5．若 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用不等式的可加性，可判断A；由反比例函数的单调性，可判断D；由 ，可判断C；由二
次函数的单调性可判断B．
【详解】对于A，若 ，则 ，故A项错误；
对于D，函数 在 上单调递减，若 ，则 ，故D项正确；
对于C，当 时， ，即不等式 不成立，故C项错误；
对于B，函数 在 上单调递减，若 ，则 ，故B项错误，
故选D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】A
【分析】对于选项 ，由不等式性质得该选项正确；对于选项 ， 符号不能确定，所以该选
项错误；通过举反例说明选项 和选项 错误.
【详解】对于选项 ，若 ，所以 ，则 ，所以该选项正确；
对于选项 ， 符号不能确定，所以该选项错误；
对于选项 ，设 ，所以 ，所以该选项错误；
对于选项 ，设 ，所以该选项错误；
故选：A
【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-c>b-d B．若 ，则a>b
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BC
【分析】取特殊值排除AD，利用不等式性质判断BC正确，得到答案.
【详解】取 ， ，则 ，A错误；
， ，故 ，则 ，B正确；
，故 ，故 ，C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取 ， 不成立，D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生的推断能力，取特殊值排除是解题的关键.
8．已知 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，作差法以及特殊值法，即可求解.
【详解】对于 ，因为 ，所以 ，则 ，故选项 成立；
对于 ，作差： ，由已知可知： ，当
的符号不确定，故 与 的大小关系不确定，故选项 错误；
对于 ，作差： ，因为 ，所以 ， ，则
，即 ，故选项 正确；
对于 ，当 ， ， 时，满足 ，但 ，故选项 错误；
综上：不等式恒成立的是 ，
故选： .
三、填空题
9．已知 ， ，其中 均为正数，则 的大小关系为______.
【答案】
【分析】利用作差法即可比较大小.
【详解】由 ， ，且 均为正数，
则
，
即 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
【点睛】本题考查了作差法比较两式的大小，考查了基本运算能力，属于基础题.
10．已知 ， ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】结合不等式的性质即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，且 ，因此 ，
故答案为： .
11．已知 请比较下面两式大小: ________
【答案】
【分析】运用做差法因式分解即可得出大小关系.
【详解】解：因为
所以
，
所以
故答案为： .
【点睛】本题考查作差法、因式分解方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
12．请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖
为m克）．
【答案】
【分析】 克糖水中有 克糖 ，若再添 克糖 ，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖
前后的浓度进行比较即得．
【详解】 克糖水中有 克糖，
糖水的浓度为： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】克糖水中有 克糖 ，若再添 克糖 ，
则糖水的浓度为 ，
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
， ， ， ， .
故答案为： ，
四、解答题
13．已知 ，求证 .
【答案】见解析
【解析】利用作差法证明不等式即可.
【详解】证明： ，
.
【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式，属于基础题.
14．比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:
（1）2x2 3与x 2，x∈R；
（2）a 2与 ，a∈R，且a≠1.
【答案】（1）2x2 3 x 2；（2）当a 1时，a 2 ； 当a 1时，a 2
【分析】（1）对代数式作差，配方后判断结果的正负即可比较大小；
（2）对代数式作差，通分后结合对二次三项式配方，即可容易判断.
【详解】（1）因为( )-( )= =2 0，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）(a 2) .
由于a2 a 1= 0，
所以当a 1时， 0，即a 2 ;
当a 1时， 0，即a 2 .
故当a 1时，a 2 ； 当a 1时，a 2
【点睛】本题考查利用作差法比较大小，属基础题.
15．已知 ， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明： ．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【分析】（Ⅰ）由不等式的性质得出 ，将不等式平方得出 ，并在不等式左
边加上 ，右边加上 ，化简后可得出所证不等式；
（Ⅱ）在所证不等式两边同时除以 ，将所证不等式转化为 ，利用指数函数的单调
性证明出 和 ，于此可证明所证不等式．
【详解】（Ⅰ）由a＞b＞c＞d＞0得a－d＞b－c＞0，即(a－d)2＞(b－c)2，
由ad＝bc得(a－d)2＋4ad＞(b－c)2＋4bc，即(a＋d)2＞(b＋c)2，故a＋d＞b＋c．
（Ⅱ） .
因为 ，所以 ，故 .同理， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而 .即
【点睛】本题考查不等式的证明，常用方法有不等式的性质以及比较法，以及函数单调性等一些基本方法，
证明时应该根据不等式的结果选择合适的方法来进行证明，考查分析问题的能力，属于中等题．
16．（1）比较 和 的大小；
（2）已知 ， ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用作差法比较大小；
（2）直接利用不等式的性质求出 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
故 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
