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第一次月考难点特训（三）和小立方体个数有关的压轴题
1．如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据主视图和左视图分析即可．
【详解】
解：∵主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成，
∴几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体的个数为 个，
故选： ．
【点睛】
本题考查由几何体判断三视图，考查了对三视图的熟练掌握程度，也体现了对空间想象能力的考
查，解题的关键是掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．
2．由 个相同的小正方体搭成的几何体，其主视图和俯视图如图所示，则 的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
根据主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形即可求出答案．
【详解】
由俯视图知，最少有7个立方块，∵由正视图知在最左边前后两层每层3个立方体，中间3个每层2个立方体和最右边前两排每层3
个立方体，
∴n的最小值是：7+5＝12，
故选C.
【点睛】
此题主要考查了由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀
“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
3．由 个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，
则 的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据主视图和俯视图可先确定该几何体右侧只有一个正方体，再判断左侧可能的结果数即得答案．
【详解】
解：由主视图可知该几何体共两列，且左侧一列高两层，右侧一列高一层；
由俯视图可知该几何体左侧两行，右侧一行，于是，可确定右侧只有一个小正方体，而左侧可能
是一行单层一行两层，也可能两行都是两层．
所以图中的小正方体最少4块，最多5块．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了几何体的三视图和空间观念，熟练掌握几何体的三视图、把平面图形和立体图形
有机结合是解答的关键.
4．由n个大小相同的小正方形搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则n的最大值为
（ ）A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，3列，先看第一层正方体可能的最多个数，再
看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．
详解：根据主视图和左视图可得：
这个几何体有2层，3列，最底层最多有3×3=9个正方体，第二层有4个正方体，则搭成这个
几何体的小正方体的个数最多是9+4=13个．
故选C．
点睛：本题考查了由三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列
数．
5．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是 的正方形，若拿掉若干
个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为 的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数
为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为3 3的正方形，所以最底下一层必
须有9个小立方块，这样能保证俯视图仍为3 3的正方形，为保证主视图与左视图也为3 3的正
方形，所以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方
块的个数.
【详解】
根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为3 3的正方形，
则最多能拿掉小立方块的个数为6 +6 = 12个，
故选：C.
【点睛】
此题考查简单组合体的三视图，空间想象能力，能依据立体图形想象出拿掉小立方块后的三视图
是解题的关键.6．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其从正面和上面看到的形状如图所示，则n的最大值是
（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】A
【解析】
【分析】
根据主视图、俯视图是分别从物体的正面和上面看所得到的图形，即可求得答案．
【详解】
由俯视图知，最少有7个立方块，
∵由正视图知在最左边前后两层每层3个立方体，中间3个每层2个立方体和最右边前两排每层3
个立方体，
∴n的最大值是：3×2+3×2+3×2＝18，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，如果掌握口诀
“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
7．已知一个物体由x个相同的正方体堆成，从它的正面看到的形状图和从左面看到的形状图如图，
那么x的最小值、最大值是（ ）
A．5，12 B．6，11 C．7，10 D．8，12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据主视图可知正方体堆成有2层，3列，上层有2个正方体，根据左视图可知正方体堆成有3排，
2层，上层有1个正方体，可知上层只有2个正方体，且2个正方体在第三排上，下层最多有9个正方体，最少有4个正方体，即可得答案．
【详解】
由左视图可知正方体堆成有3列，2层，上层有2个正方体，
左视图可知正方体堆成有3排，2层，上层有1个正方体，
∴上层只有2个正方体，且2个正方体在第三排上，
∴当第一排、第二排的正方体错位摆放时，下层正方体数量最少为2+2=4个，
当下层全摆放时，正方体数量最多为3×3=9个，
∴x的最小值是4+2=6个、最大值是9+2=11个，
故选：B．
【点睛】
本题考查三视图，正确判断下层正方体的个数的最大值和最小值是解题关键．
8．如图为一个用正方体积木搭成的几何体的三视图，俯视图中方格上的数字表示该位置上积木累
积的个数．若保证正视图和左视图成立，则a＋b＋c＋d的最大值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上
面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状，依此即可求解．
【详解】
解：由正视图第1列和左视图第1列可知a最大为3，由正视图第2列和左视图第2列可知b最大
为3，由正视图第3列和左视图第1列和第2列可知c最大为4，d最大为3，
则a＋b＋c＋d的最大值为3＋3＋4＋3＝13.
故选：B．
【点睛】
此题考查了由三视图判断几何体，关键看学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了
对空间想象能力方面的考查，用到的知识点是三视图．
9．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如图所示，则n的最大值是________．【答案】13
【解析】
【分析】
根据主视图和俯视图得出几何体的可能堆放，从而即可得出答案．
【详解】
综合主视图和俯视图，从上往下数，底面最多有 2+2+3=7 个，第二层最多有1+1+2=4 个，第三
层最多有1+0+1=2 个，则n的最大值是 7+4+2=13
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了三视图中的主视图和俯视图，掌握三视图的相关概念是解题关键．
10．n个单位小立方体叠放在桌面上，所得几何体的主视图和俯视图均如图所示．那么n的最大值
与最小值的和是_____．
【答案】23
【解析】
【分析】
由主视图和左视图可得：这个几何体有3层，3列，3行，最底层有1+2+3＝6个正方体，第二层
最多有5个，最少有2个，第三层最多有3个，最少有1个，求出最大值与最小值，再求和即可．
【详解】
解：综合主视图和俯视图，
底面有3＋2＋1＝6个，第二层最多有5个，最少有2个，第三层最多有3个，最少有1个，最多有：6+5+3=14，
最小有：6+2+1=9，
那么n的最大和最小值的和是14＋9＝23．
故答案为：23．
【点睛】
本题考查由几个相同的小正方形搭成的几何体个数问题，视图的形状决定几何体行与列和层，正
视图决定层数与列数，左视图决定行数与层数，而俯视图决定行数与列数，图形的形状除了决定
行、列、层外，还有位置．
11．如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体
的小正方体的块数为n，则n的最小值与最大值的和为______．
【答案】26
【解析】
【分析】
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，由主视图可以看出每一列的最大层数和个数，
从而算出总的个数
【详解】
解：根据主视图和俯视图可知，该几何体中小正方体最少分别情况如下：
故n的最小值为1+1+1+1+3+2+1=10，
该几何体中小正方体最多分别情况如下：该几何体中小正方体最大值为3+3+3+2+2+2+1=16，
故最大值与最小值得和为10+16=26
故答案为：26
【点睛】
本题主要考查了由三视图判断几何体中小正方体的个数问题，可从主视图上分清物体的上下和左
右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的可能个数．
12．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则n的最大值是_____．
【答案】18
【解析】
【分析】
根据主视图和俯视图得出几何体的可能堆放，从而即可得出答案．
【详解】
综合主视图和俯视图，底面最多有 个，第二层最多有 个，第三层最多有
个
则n的最大值是
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了三视图中的主视图和俯视图，掌握三视图的相关概念是解题关键．
三、解答题(共0分)
13．（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图1，请在图2的方格中画出该几何体的俯视图
和左视图．
（2）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与你在方格中所画的一致，则这样的几
何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块．【答案】（1）答案见解析；（2）9，14．
【解析】
【分析】
（1）根据三视图的性质，作出该几何体的三视图即可．
（2）通过几何体的三视图确定每层可加的小立方体的个数，即可求解．
【详解】
（1）如图所示：
（2）由俯视图易得最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立
方块，所以最少有6+2+1=9个小立方块；
最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块，所以最多有
6+5+3=14个小立方块．
故答案为：9；14．
【点睛】
本题考查了几何体三视图的问题，掌握几何体三视图的性质是解题的关键．
14．一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从三个方向看到的几何体的形状图如图所示．
（1）求A，B，C，D这4个方格位置上的小立方体的个数；
（2）这个几何体是由多少块小立方体组成的？
【答案】（1）A小立方体的个数是2，B小立方体的个数是1，C小立方体的个数是3，D小立方
体的个数是2；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据三视图解答即可；
（2）根据三视图得出正方体的个数即可．【详解】
（1）由三视图可得：从正面看有3列，每列小正方形数目分别为1，2，1，从左面看有2列，每
列小正方形数目分别为1，2．从上面看有3列，每列小正方形数目分别为1，2，2．
所以A小立方体的个数是2，B小立方体的个数是1，C小立方体的个数是3，D小立方体的个数是
2，
（2）这个几何体是由1+2+1+1＝5块小立方体组成的.
【点睛】
此题考察立体图形的构成，学生的空间观念很主要，在此类题型中，可以将从上面看的图形为主
图形，分别根据从正面看、从左面看的图形依次写成每个小正方形中的几何体的个数，从而得到
构成该立体图形的总个数.
15．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．
（1）请画出这个几何体的左视图和俯视图；（用阴影表示）
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，
那么最多可以再添加几个小正方体？
【答案】（1）见解析
（2） 4
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列
小正方数形数目分别为3，2，1，据此可画出图形．
（2）可在最底层第二列第三行加一个，第三列第二行加2个，第三列第三行加1个，共4个．
【详解】
（1）画图如下：（2）最多可再添加4个小正方体．
在第2层的第2行第2列和第3行第2列各添加1个小立方块，第3层的第3行第2列和第3行第3
列各添加1个小立方块，这个几何体的俯视图和左视图不变， ，故最多可再添加4个小
立方块．
【点睛】
本题考查三视图的画法，以及根据三视图求立方体个数，属于中等难度题
16．用若干大小相同的小立方体块搭一个几何体，使得从正面和上面看到这个几何体的形状图如
图所示，其中从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示该位置小立方体的个数.请解答：
（1） 表示几？ 的最大值是多少？
（2）这个几何体最少是用多少个小立方体搭成的？最多呢？
【答案】（1） 表示3， 的最大值为2；（2）最少是用11，最多是用16
【解析】
【分析】
（1）根据从正面、上面看到的几何体进行判断；
（2）第一列小立方体的个数最多为3+3+3=9，最少为3+1+1=5，那么加上其他两列小立方体的个
数即可；
【详解】
解：（1）由从正面和上面看到的这个几何体的形状图可知， 表示3， 的最大值为2；
（2）这个几何体最少是用 个小立方体搭成的，
最多是用 个小立方体搭成的．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到
的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．17．一个几何体是由若干个棱长为3cm的小正方体搭成的，从左面、上面看到的几何体的形状图
如图所示：
（1）该几何体最少由 个小立方体组成，最多由 个小立方体组成．
（2）将该几何体的形状固定好，
①求该几何体体积的最大值；
②若要给体积最小时的几何体表面涂上油漆，求所涂油漆面积的最小值．
【答案】（1）9，14；（2）①答案见解析，②答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）由俯视图可得该几何体的最底层的立方体的个数；由左视图第一列至第三列的正方形的个数
可得该几何体最少和最多的立方体的个数；（2）①由（1）求最多立方体个数时该几何体的最大
值；②由(1)求最少立方体个数时几何体的表面积．
【详解】
解：（1）观察图象可知：最少的情形有2+3+1+1+1+1＝9个小正方体，
最多的情形有2+2+3+3+3+1＝14个小正方体．
故答案为9，14．
（2）①该几何体体积的最大值为33×14＝378cm3．
②体积最小时的几何体表面涂上油漆，共需涂36个面，所涂油漆面积的最小值＝9×36＝324cm2．
【点睛】
本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
18．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的
形状图．
（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从
上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块
的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最
少组成该几何体的小立方块的个数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分
左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯
视图中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，
左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可；
（2）根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中
间列1个正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个
正方形，左列前行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正
方体，右边列前行2个正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少
8个正方体如图2在俯视图中标出个数即可．
【详解】
解：（1）从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正
方形，如图
从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形，如图所示：
（2）从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，
从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，
左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，
右边列前行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如
图2．
根据题意，填图如下：
【点睛】
本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从
立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本
题难度较大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键．
19．用棱长都为5cm的小立方块搭成几何体，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正
方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．
（1）请你分别画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图；
（2）若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加大小相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要_______个小立方块；
（3）①图中的几何体的表面积（包括与桌面接触的部分）为_______ ；
②若新搭一个几何体，且满足如下三个条件：图中从上面看到的几何体的形状图不变，小立方块
的总数不变，从上面看到的小正方形中的数字可以改变，则新搭几何体的表面积（包括与桌面接
触的部分）最小值和最大值分别为_______ ，_______ ．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）①1400；②1250，1550．
【解析】
【分析】
（1）根据三视图可画出几何体的形状图；
（2）根据正方体的性质，每行每列的小正方体都相等，都是3个，这样正方体的小正方体的个数
应该为27个，现在已有15个，这样再补12个即可；
（3）①从上面看到的几何体的形状图不变，小立方块的总数不变，表面积最小时，每个位置数量
尽量相等，可见解析中图，按图计算即可；②从上面看到的几何体的形状图不变，小立方块的总
数不变，表面积最大时，每个位置数量尽量相差最大，可见解析中图，按图计算即可．
【详解】
解：（1）由已知可得：
（2）根据正方体的性质，每行每列都是3个小正方体，
已知有 （个）
∴ （个），
故答案为：12；
（3）①∵小正方体的棱长为5cm，
∴小正方形的面积为 ，
∴几何体表面积为 ，
故答案为： ；
②如图搭建此时表面积为最小，几何体最小表面积为 ；
如图搭建此时表面积为最大，
几何体最大表面积为 ；
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图，根据三视图计数，计算表面积，根据小正方体的数量计算表面积是
本题的难点，了解什么情况表面积最小，什么情况表面积最大是解题关键．
20．小明是魔方受好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，
小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一
个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整
数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体
（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n ）．问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，
最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几
何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体
组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体
共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．
如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有
2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个
长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝
5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可
以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三： ；探究四： ；探究
五：72，124或142或158或164
【解析】
【分析】
探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有 个长方体，
由此求解即可；
探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么
它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有 条线段，宽有 条
线段，宽有 条线段，由此求解即可；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有
个长方体；
探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示
求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类
讨论即可.
【详解】
解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，
∵有1个小正方体组成的几何体有 个长方体，有2个小正方体组成的几何体有 个
长方体，有3个小正方体组成的几何体有 个长方体．．．．．．
∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有 个长方体，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去），
故答案为：6，20；
探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，
图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
故答案为：18；
探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成，
∴该几何体有长有 条线段，宽有 条线段，宽有 条线段，
∴图1中一共包含 个长方体，故答案为： ；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有
个长方体；
探究五：∵拿走前后的三视图需要一样，
∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个
小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求，
∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体，
①当剩下正方体按如下俯视图摆放时，
表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124
②当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142
③同理，当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158
④当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164故答案为：124或142或158或164
【点睛】
本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意．
