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第一章 直角三角形的边角关系（北师大版）
选拔卷
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是AC边上的高线，DC＝1，则BD的长等于( )
A．2 B．3
C．4 D．√10
2．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形ABCD中， ， ，点C沿对角
线BD折叠，点C的对应点为E，线段BE交AD于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东广饶·九年级期中）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的
边长均为1，则 的值为（ ）A． B． C．1 D．
4．（2021·全国·九年级课时练习）如果 ，那么 ＝（ ）．
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（2021·河南永城·九年级期末）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据 米， ，
设树顶到地面的高度 米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·吉林二道·一模）如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：①在射线 上顺次
截取 ，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连结 、 、
，则下列说法错误的是（ ）
A． 为等边三角形 B． 的面积为
C． D．
7．（2021·河南镇平·九年级期中）如图给出了一种机器零件的示意图，其中 米、 米，则
的长为（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
8．（2021·陕西陇县·一模）如图，在 中， ， ， 平分 交 于
点 ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·重庆八中二模）在Rt ABC中，∠A＝90°，tan∠C＝ ，E为AC上一点，且CE＝
5AE，点D为BC中点，把 CDE沿ED翻折到 FDE，且EG＝ ，则DF的长度为（ ）
A． B． C． D．210．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）如图，已知 中， ， ，
分别为 ， 的中点，连结 ，过 作 的平行线与 的角平分线交于点 ，连结 ，
若 ， ，则 的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·广东花都·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个 ，∠ABO＝90°，
∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将 绕原点逆时针
旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA＝2OA）．得到 ，同理，将
1
绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到 ，…，依此规律，得
到 ，则 的长度为（ ）
A． B． ×22020 C． ×22021 D． ×22019
12．（2021·江苏·南通田家炳中学模拟预测）如图1， 为矩形 边 上一点，点P从点B出
发沿折线 运动到点C时停止，点Q从点B出发沿 运动到点C时停止，它们运动
的速度都是 ．若P，Q同时开始运动，设运动时间为 ， 的面积为 ．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．当 时， B．
C．当 时， D．当 时，
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．（2021·全国·九年级专题练习）已知 是锐角， ，则 ________．
14．（2021·湖南新邵·九年级期末）已知 是 的三个内角，若
，且 均为锐角，则 的度数为__________．
15．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级期中）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学
兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30
角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）
16．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）已知△ABC是以AB为一腰的等腰三角形，
AB＝5，tan∠BAC＝ ，则△ABC的底边长为_________．
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知菱形ABCD的对角线经过原点O，且∠B＝60°，A、C分别在双曲线y＝ 的图象上，若B在双曲线y＝ 的图象上，则k的值为_____．
18．（2021·重庆·字水中学九年级期中）如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边的中点，连接
AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接CE，若BC＝3 ，tan∠ECB＝ ，则△AEC的
面积为______．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在等腰Rt ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，
△
若tan∠DBA= ，则AD的长为多少?
20．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，BC＝ ，∠B＝
30°，∠C＝45°，求△ABC的面积．21．（2021·全国·九年级课时练习）（1）通过用计算器计算，比较下列各对数的大小，并提出你的
猜想：
① _______ ；
② _______ ；
③ _______ ；
④ _______ ；
⑤ _______ ．
猜想：已知 ，则 _______ ；
（2）如图，在 中， ，请根据提示，利用面积方法验证结论．
22．（2021·重庆一中九年级月考）如图，在建筑物 的左边有一个小山坡，坡底 、 同建筑底
端 在同一水平线上，斜坡 的坡比为 ，小李从斜坡底端 沿斜坡走了26米到达坡顶
处，在坡顶 处看建筑物的顶端D的仰角 为35°，然后小李沿斜坡 走了 米到达底部 点，
已知建筑物上有一点 ，在 处看建筑物 点的仰角 为18°，（点 、 、 、 、 、 在同
一平面内）建筑物顶端 到 的距离 长度为28.8米，（参考数据： ， ，
， ）（1）求小李从斜坡 走到 处高度上升了多少米．
（2）求建筑物 的高度．
23．（2021·甘肃·兰州市第五十五中学二模）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两
根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度，图2是这种升降熨烫台的平面示意图， 和 是两
根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点， ， ， 表示熨烫台的高度．
（1）如图2，若 ， ．
①点O到 的距离为__________ ， 的长为__________ （结果保留根号）；
②若 ，则熨烫台的高度h=__________ ；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为 时，两根支撑杆的夹角
是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆 的长度．
（参考数据： ， ， ，
24．（2021·山西·太原师范学院附属中学九年级月考）边长为4的正方形 与边长为 的正
方形 如图1摆放，将正方形 绕点 顺时针旋转，旋转角为 ，连接 ，
．（1）如图1， 与 的关系为______；
（2）如图2，连接 ， ，判断 是否为定值．若是，求这个定值；若不是，说明理
由；
（3）当旋转到 ， ， 三点共线时，请直接写出此时 的值．
