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第一章 直角三角形的边角关系
提分小卷
（考试时间：30分钟 试卷满分：50分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．（2021·辽宁铁东·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），则sinα的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．
【详解】
如图：作AB⊥x轴于点B，
∵点A坐标为（3，1），
∴OB=3，AB=1，在RtABO中，根据勾股定理AO= ,
∴sinα= ，
故选B．
【点睛】
此题考查锐角三角函数，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻
边比斜边，正切为对边比邻边．
2．（2021·全国·九年级课时练习）如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合
巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化
结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离
为（ ）
A．14cm B．14 cm C．7cm D．7 cm
【答案】D
【分析】
根据OA=OB，可知△AOB是等腰三角形，作OG⊥AB于点G，从而可以得到AG=BG，
∠AOB=2∠AOG，从而可以得到OG的长．
【详解】
解：作OG⊥AB于点G，
∵OA=OB=14厘米，∠AOB=60°，
∴∠AOG=∠BOG=30°，AG=BG，
∴OG=OA•cos30°= 厘米，
故选D．【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角
三角函数解答．
3．（2021·山东莱州·九年级期中）如图，一根3米长的竹竿AB斜靠在墙边（∠O=90°），倾斜角
为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，底端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β，则BB'的长为（
）
A．（3sinα－3sinβ）米 B．（3sinβ－3sinα）米C．（3cosα－3cosβ）米
D．（3cosβ－3cosα）米
【答案】D
【分析】
根据三角函数表示出 ，根据 即可求得
【详解】
又
故选D
【点睛】
本题考查了余弦的定义，理解余弦的定义是解题的关键．
4．（2021·山东即墨·九年级期末）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分
别为OB、OC的中点，则sin∠OMN的值为（ ）A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质可知∠MON＝90°，OB＝0C，又知点M、N分别为OB、OC的中点，可知ON＝
OM，从而得到△OMN为等腰直角三角形，求出∠OMN＝45°，据此即可得到sin∠OMN的值．
【详解】
解：在正方形ABCD中，
OB＝OC，∠MON＝90°，
又∵点M、N分别为OB、OC的中点，
∴ON＝OM，
∴∠OMN＝45°，
∴sin∠OMN＝sin45°＝ ．
故选：C．
【点睛】
此题结合正方形的性质考查了特殊角的三角函数值，要注意等腰直角三角形的判定和性质．
5．（2021·浙江·宁波市第七中学九年级月考）如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角
不是直角）的菱形 ，也可以拼成正方形 ，则菱形 面积和正方形 面积之
比为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
设直角三角形的长直角边长为 ，短直角边长为 ，根据菱形的性质可得 ，从而得到
， ，即可解答．
【详解】
解：设直角三角形的长直角边长为 ，短直角边长为 ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了本题考查了菱形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解
题的关键．
6．（2021·重庆南开中学九年级期中）如图，小敏在参观大风车时，想测一下风叶AB的长度．她
首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，再沿
着斜坡DE走了35米到达E处，她站在E处当风叶AB转到铅垂方向时测得点A的仰角为68°；当
风叶AB转到水平方向A′B时测得点A′的仰角为45°，若斜坡DE的坡度i＝1：0.75，则风叶AB的长度约为（ ）米．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）
A．25 B．30 C．32 D．35
【答案】B
【分析】
过E作EF⊥CD于F，作EG⊥AC于G，A′H⊥EG于H．分别在Rt DEF和Rt ABD中，通过解直
角三角形求出EF的长，可得BG的长，在Rt A′EH中，∠A′EH＝4△5°，则EH＝△A′H，设AB＝A′B＝
x米，则EG＝（70﹣x）米，AG＝（70+x）米△，在Rt AEG中，解直角三角形得到关于x的方程，
解方程即可求得． △
【详解】
解：过E作EF⊥CD于F，作EG⊥AC于G，A′H⊥EG于H．
∵斜坡DE的坡度i＝1：0.75，DE＝35米，
∴EF＝28米，DF＝21米，
∵BC＝98米，
∴A′H＝BG＝98﹣28＝70米，
∵∠A′EH＝45°，
∴EH＝A′H＝70米，
设AB＝A′B＝x米，
∴EG＝（70﹣x）米，AG＝（70+x）米，
在Rt AEG中，tan∠AEG＝ ，
△
∴tan68°＝ ≈2.5，
解得x＝30（米），
∴AB的长度约为30米，
故选：B．【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
7．（2021·内蒙古东胜·二模）如图1，在平行四边形 中， ， ；动点P以
每秒1个单位的速度从点A出发沿线段 运动到点B，同时动点Q以每秒4个单位的速度从点B
出发，沿折线 运动到点D．图2是点P、Q运动时， 的面积S随运动时间t变化关
系的图象，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意计算得 ；再结合题意，得当动点Q在 上时， 的面积S随运动时间t变化
呈现二次函数关系；当动点Q在 上时， 的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，
从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算 ，即可得到答案．【详解】
根据题意，得 时到达点B
∵动点P以每秒1个单位的速度从点A出发沿线段 运动到点B
∴
∴
结合题意，当动点Q在 上时， 的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系
当动点Q在 上时， 的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系
∴a对应动点Q和点C重合，如下图：
∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发
∴
∴
∴
∴
如图，过点A作 ，交 于点M
∵ ，
∴ ,
∴∴ ，即
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形、二次函数、一次函数、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、
一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．
8．（2021·河南封丘·九年级期中）如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，
连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，则FG的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】
作EM⊥DA延长线于M，先求出AE，再利用三角函数求出AM、EM进而求出MF，再利用勾股定
理求出EF，过点E作 交AC于点N，证出△AEN是等边三角形，再利用 得到
，进而得到 即可求解．
【详解】
解：作EM⊥DA延长线于M，∵∠BAD＝120°，
∴ ，
∵菱形ABCD的边长为4，BE＝1，
∴ ，
在 中 ，
∴ ，
在 中， ，
过点E作 交AC于点N，
∵ ，
∴ 则 ，
∵ ，
∴ ，
∴△AEN是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选：A ．
【点睛】
本题考查三角函数、勾股定理、菱形的性质及相似三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助
线证出 ．
二、填空题：本题共4个小题，每小题3分，共12分。
9．（2021·河南原阳·九年级期中）在Rt ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，BC＝8，则AB的长为
△
_____．
【答案】10
【分析】
先利用tanA= 求出AC，再利用勾股定理求解AB即可．
【详解】
解：∵Rt ABC中，∠C＝90°，
△
∴tanA= ，
∵tanA＝ ，BC＝8，
∴AC= = =6，
∴ ，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查正切、勾股定理，理解正切的概念是解答的关键．
10．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如果等腰三角形中的两条边长分别是2和5，
那么底角的余弦为_________．
【答案】
【分析】
先分类讨论得到该等腰三角形的三边为 ，根据题意，画出图形，作AD⊥BC于点D，则
BD=CD=1，再根据锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：若2为腰长，该等腰三角形的三边为 ，
∵ ，
∴此种情况不成立，
若5为腰时，该等腰三角形的三边为 ，
如图，AB=AC=5，BC=2，
作AD⊥BC于点D，则BD=CD=1，
在 中，
，
即底角的余弦为 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的定义，锐角三角函数，熟练掌握有两边相等的三角形时等腰三角形，
并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
11．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人
机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部
仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝____米．（结果保留根号）【答案】 ##
【分析】
过A点作AD⊥BC交BC于D点，根据题意得到四边形APBD是正方形，求出DB的长度，然后根
据仰角β＝60°的三角函数值和AD=30求出DC的长度，即可求出大楼的楼高BC的长度．
【详解】
解：如图所示，过A点作AD⊥BC交BC于D点，
∵ ， ， ，
∴四边形APBD是矩形，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形APBD是正方形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了解直角三角形，三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线AD，根据三角函
数值求解．
12．（2021·全国·九年级专题练习）在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，
若线段MA绕点M旋转得线段MA′．
（1）如图①，线段MA'的长＝___．
（2）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是___．
【答案】1
【详解】
思路引领：（Ⅰ）由中点的定义和旋转的性质可求解；
（Ⅱ）当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三
角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的
长即可求解．
答案详解：（Ⅰ）∵M是AD边的中点，
∴MA＝1，
∵线段MA绕点M旋转得线段MA'．
∴MA'＝1，
故答案为：1；（Ⅱ）如图②，作ME⊥CD于点E．
∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴∠EDM＝60°，
在直角△MDE中，DE＝MD•cos∠EDM 1 ，ME＝MD•sin∠EDM ，
则EC＝CD+ED＝2 ，
在直角△CEM中，MC ，
当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是： 1，
故答案为 1．
三、解答题：本题共3个小题，每小题分别6分、8分、8分，共22分。
13．（2021·全国·九年级课时练习）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）1．
【分析】
先代入特殊角的三角函数值： ， ， ， ，
， ， ，然后再计算即可．
【详解】
（1）原式= ；（2）原式= ；
（3）原式= ．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值．
14．（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中）如图．已知 中， ．
（1）若 ，求 的长度．
（2）若 ，求 的长度．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1） ， ， ，即可求得 的长；
（2）根据 ，设 ， ，进而勾股定理求得 ，求得 的值，进而求得 ．
【详解】
（1） 中， ， ，
（2）在 中
，设 ，
勾股定理可得
【点睛】
本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．（2021·山西灵石·九年级月考）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表
示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转
时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝
35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC＝70°，BC OE．
①填空：∠BAO＝_______°．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求
∠ABC的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
【答案】（1）①160；②27.0cm；（2）∠ABC＝33.2°．
【分析】
（1）①过点A作AG BC，根据平行线的性质解答便可；②过点A作AF⊥BC于点F，解直角三角
形求出AF，进而计算AF+OA﹣CD使得结果；
（2）过点点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作
AF⊥BM于点F，求出CM，再解直角三角形求得∠MBC便可．
【详解】
解：（1）①过点A作AG BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，∵BC OE，
∴AG OE，
∴∠GAO＝∠AOE＝90°，
∴∠BAO＝90°+70°＝160°，
故答案为：160；
②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，
则AF＝AB•sin∠ABF＝30×sin70°≈28.2（cm），
∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+OA﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27.0（cm）；
（2）作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点
F，如图3，
则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝35cm，CD＝8cm，
∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），
∴sin∠MBC＝ ，
∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．
【点睛】
此题主要考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据图形的特点构造直角三角形，根据三角
函数的定义即可求解．
