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第 01 讲 因式分解概念与提公因式因式分解
课程标准 学习目标
①因式分解的定义 1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；
②提公式法的因式分解 2.会用提公因式法分解因式；
知识点01 因式分解的概念
因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，
也叫做把这个多项式分解因式.
【即学即练1】
1．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）下列各式从左到右是分解因式的是（ ）
A． B．C． D．
知识点02 提公因式法因式分解
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最
好能一次性提取完.
【即学即练2】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）把下列各式因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
题型01 判断是否因式分解
例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ）
① ；② ；③ ；④；⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 已知因式分解的结果求参数
例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若 可以分解为 ，那么 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式训练】
1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式 分解因式，结果是 ，则a，b的
值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于 的多项式 有一个因式为 ，则 的值
；
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式是 ，得
则
解得
∴另一个因式是 的值是
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值；
(2)若二次三项式 有一个因式是 ，求a的值．
题型03 已知因式分解中错题正解
例题：甲、乙两个同学分解因式 时，甲看错了 ，分解结果为 ；乙看错了 ，分解
结果为 ，则正确的分解结果为 ．
【变式训练】
1．在分解因式 时，小明看错了b，分解结果为 ；小张看错了a，分解结果为
，求a，b的值．题型04 公因式
例题：（24-25八年级上·山东青岛·期中）把多项式 分解因式，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）多项式 的公因式是 ．
2．（24-25九年级上·全国·期中）多项式 分解因式时应提取的公因式是 ．
3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）多项式 的公因式是 ．
题型05 提公因式法因式分解
例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）因式分解： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广西柳州·期末）因式分解： ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
题型06 利用提公因式法因式分解求值
例题：（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）先分解因式，再代入求值： ，其中 ，
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知 ， ，则多项式 的值为（ ）
A． B．15 C． D．2
2．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，长宽分别为 、 的长方形周长为16．面积为12，则
的值为（ ）A．193 B． C．384 D．
3．（24-25八年级上·北京·期中）已知实数a、b满足 ， ，
(1)求代数式 值；
(2)求代数式 的值．
一、单选题
1．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山东威海·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式 可因式分解为 ，则 的值为
（ ）
A． B．1 C． D．9
4．（23-24八年级下·广东清远·期末）已知 ， ，那么代数式 的值为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．70
5．（24-25七年级上·上海静安·期末）关于等式 和 从左到右的变
形，下列说法中（ ）
A．①和②都是因式分解
B．①和②都不是因式分解
C．①是因式分解，②不是因式分解
D．①不是因式分解，②是因式分解
二、填空题
6．（2025七年级下·全国·专题练习）因式分解：
（1） ；
（2） ．
7．（24-25八年级上·山东威海·期末）若 ， ，则 ．
8．（24-25七年级下·全国·周测）下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号）
； ；
① ； ② ．
③9．（24-25八年级上·山东烟④台·期末）将多项式 进行因式分解得到 ，则 的值
为 ．
10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）若实数a、b满足 ， ，则 的值是 ．
三、解答题
11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
12．（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知 ， ，求 的值．
14．（23-24八年级下·山东济南·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，则 ，
即 ，∴ ，解得 ．
故另一个因式为 ，m的值为-21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，则 ______；
(2)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
15．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式
有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，．
解得： ，
∴另一个因式为 ， 的值为 ，
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
解：设另一个因式为________，得： =________，
则
．
解得： =________， =________．
另一个因式为________， 的值为________．
(2)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
