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2003年数学（三）真题解析
一、填空题
（1）【答案】（2*,+ ）.
【解】 当力 HO 时 9 ff (x ) = A jca_1 cos — + j?A_2sin —；
JC JC
当工=0时9由厂(0) = lim I'")----/⑹ =limjrA_1 cos丄存在，得入〉1且十(0) = 0,
H-*0 x x->0 X
(0, 工=O9
于是八乂)=] — 1 -2 ・ 1 因为 lim/(^) =/70) =0,所以 A > 2.
Ajc cos-----x sin —,力工 0, 工〜。
I x JC
(2) 【答案】4J.
【解】 设切点为(无()90)，令= 3jc2 — 3a2 = 0,得工舟=aS
由 0=云一3<22 6 ,得 b = (3a2 —工約=2a $工09 故快二仏'.
(3) 【答案】 /.
【解】令0()= {(工9夕)|0 =工£1，0£夕一工£1} 9
则 —工)山 dy h/jjdz dy =/J dr J dy = a2 ・
D D0
(4) 【答案】一1.
【解】 由 AB = (E—aa r)(E + —aaT) =E+ ( —l}aa 1— aa aaT
\ q / \ a 丿 a
=E+ ( —1}aaT — 2aaa r = E + ------1 — 2a )aa r =E
得----1 — 2a = 0,解得 a = — 1 或 q=£ 9 因为 a 0 JC H->0 3C
故工=0为g（_z）的可去间断点，应选（D）.
方法点评：本题考查函数间断点及其类型.
注意如下知识点：
（1） 若/（^）可导且为奇函数，则/（0） =0 JL /（X）为偶函数；
（2） 若fd）可导且为偶函数，则f\x）为奇函数且/70） =0.
（2） 【答案】（A）.
【解】 因为f^,y）可微且在（工。，九）处取极小值，
所以 （乂0，》o）=0,于；（Zo ,$0）=0 ,
而-j-fCjc0 ,y） I =于；（力0 ,夕0）=0,应选（A）.
d_y I y=y0
（3） 【答案】（B）.
oo oo
【解】 若 »”绝对收敛，即S山”丨收敛，
n = 1 n = l
因为o w乜#也Wlsl， 0W W" w山”丨，
所以由正项级数的比较审敛法得s山”严上与s ◎」严 都收敛,
n=l / n=\ /
oo oo oo OO
即 工久与一工q”都收敛，于是 工仇与 都收敛，应选（E）.
»= 1 71 = 1 n = 1 n = 1
OO oo oo I I | 8 I I ___
事实上，若工S条件收敛，则工山”丨发散，于是S S ? 及S 都
n = 1 n = 1 n = 1 / n = 1
发散.
（4） 【答案】（C）.
【解】由厂（A* ） = l,得厂（A）=2<3,于是IA | =0.
由 \A | = （a+26）（tz—6）2=0,得 a+2b= 0 或a =b .
而当a=b时，广（A ） = 1,故a + 26 = 0,应选（C）.方法点评：本题考查矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系.
X 9 r (A ) —n ,
设A为九阶矩阵9则r (A x ) =5 1, r (A ) =zz — 1,
[o, r(A)sin(H2 + 3/2 ) dj? dj/
D D
C2n '*/n 2 '麻 2
e d0 re~r sin r2 dr = ire e_r sin r2 d(r2 )
J 0 0 0
=7re e_/ sin tdt 9
0
令 e_z sin tdt =人，由分部积分法得
o
一 J「d ( cos £ ) = - e~l cos t
11 = 「sin tAt 「cos tdt
0 0
=e_K + 1 一 e~l cos tdt — e_K + 1 一 eTl d(sin t)
o 0
—it I 1 —t •_
=e + 1 一 e sin e_z sin t dt= e-Tr + 1 一 11 ?
0
★+1),
所以I】
故 +，f sin(工2 y2)dx dy = ( e~n + 1) = -^-(en + 1)・
D
六、【解】方法一
8 2n 0 0 0 0 (_ ])”_]
= l*ln_(l+_z2 )(—l Vh < 1)
/■(•z ) = 1 + 丫( — 1)" (•T 2 )
n = l 乙71 乙n = l n由 y'(z) = — —° = 0 得 工=0,
1十工
当一 1 Vh < 0 时，/(^) > 0；当 0 <工 V 1 时,/7^) < 0,
则z = 0为/(j:)的极大值点，极大值为/(0) =1.
00 2n
方法二 令/(工)=1+》(一1)"丨,/'(0) =1,
” =i 2n
则 /(J： ) =/(0) + [ )d:r =1----ln( 1 + je 2 ).
Jo 2
由 (攵)=——~2 = 0 得 2 =0,
1 + JC
当一 1 V 0 时，/■'(#)> 0；当 0 <工 C 1 时，/•'©) < 0,
则z = 0为/(jc )的极大值点，极大值为/(0) = 1.
七、【解】(1)由 f'(z)=y,(j?) + f (工)g'o = /2(x)+ g2(X)
=[/(a-) + g (z )了 — 2/(jt )g (j：) = (2ex )2 — 2F(z ),
得FQ )满足的一阶微分方程为F'(z) +2F(z) =4e".
(2)由 F'(h) +2F(工)=4疋工,得
FQ)=("孑• e『込clz +C)e^2dj =Ce~2x +孑,
由 F(0) = /(0)g(0) = 0,得 C - — 1,故 FQ) = e2x — e_2x .
八、【证明】 因为于(工)在［0,2］上连续，所以于(工)在［0,2］上取到最小值加和最大值M ,
于是 3m < f (0) +/(1) +/X2) £ 3M ,即 m < 1
