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（人教版）八年级第二学期数学期中试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A． ，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合
题意；
B． 的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，故本选项符合题意；
D． 的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列
两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能
开得尽方的因数或因式．
2. 化简 的正确结果是（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用 直接化简即可得到答案．
【详解】解：
故选：
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握积的算术平方根的含义是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司3. 边长为5cm的菱形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．
【详解】解：∵菱形的各边长相等，
∴边长为5cm的菱形的周长是：5×4=20（cm）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键．
4. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方
形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S，S，S，若S＋S＋S＝60，则S 的值是（ ）
1 2 3 1 2 3 2
A. 12 B. 15 C. 20 D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S=4m+S，S=S-4m，依据S+S+S=60，可得4m+S+S+S-
1 2 3 2 1 2 3 2 2 2
4m=60，进而得出S 的值．
2
【详解】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S=4m+S，S=S-4m，
1 2 3 2
∵S+S+S=60，
1 2 3
∴4m+S+S+S-4m=60，
2 2 2
即3S=60，
2
解得S=20．
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用m表示出S，S，再利用S+S+S=60求出是解决
1 3 1 2 3
问题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司5. 估算 的结果最接近的整数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先根据实数的混合运算化简可得 ，再估算 的值即可解答．
【详解】解：
=
=
=
∵
∴
∴
∴ 最接近的整数是3，即 的结果最接近的整数是3
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数大小的知识，注意夹逼法的运用是解题关键．
6. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则
∠EDF的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 34° B. 56° C. 62° D. 28°
【答案】A
【解析】
【分析】先利用互余计算出∠FDB＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD＝∠FDB＝28°，接着根据折叠的
性质得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∵∠BDC＝62°，
∴∠FDB＝90°﹣∠BDC＝90°﹣62°＝28°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠FDB＝28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°，
∴∠DFE＝∠FBD+∠FDB＝28°+28°＝56°．
∴∠EDF＝90°﹣∠EFD＝90°﹣56°＝34°，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本
题的关键．
7. 估计 的值应在（ ）．
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法解答即可．
【
详解】解： ＝ ＝ ，
∵9<12<16，
∴3< 4，
<
∴5＜ ＜6，
的
∴ 值应在5和6之间．
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及
估算无理数的大小的方法．
8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一
定正确的是（ ）
A. AB＝AD B. OE AB C. ∠DOE＝∠DEO D. ∠EOD＝∠EDO
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE=DE=CE= CD= AB，
即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故选项A不合题意，
∵点E是CD的中点，
∴OE=DE=CE= CD= AB，故选项B不合题意；
∴∠EOD=∠EDO，故选项D不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点
E为对角线的交点，点F与点E关于y轴对称，则点F的坐标为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点D作DH⊥y轴于H，根据正方形的性质得到AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，根据余角的
性质得到∠ADH＝∠BAO，根据全等三角形的性质得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，求得E（3，3），于
是得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
过D作DH⊥y轴于H，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，
∵∠AHD＝∠AOB＝90°，
∴∠DAH+∠AHD＝∠AHD+∠BAO＝90°，
∴∠ADH＝∠BAO，
∴△ADH≌△BAO（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，
∴OH＝6，
∴D（2，6），
∵点E是BD的中点，点B的坐标为（4，0），
∴点E的坐标是（ ， ）,
∴E（3，3），
∵点F与点E关于y轴对称，
点F的坐标为（﹣3，3），
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于y轴对称的点的坐标，正确的作出辅
助线是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司10. 如图，在 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，若
，则 的长是（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，
∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1，
∴EF＝4−1−1＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角
形的性质解题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 如图，在等腰直角三角形 中， 于点O，中线 与 相交
于点F，则 的值为________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由等腰直角三角形的性质得到点 是 的中点，即可得到 ，然后由中线 得到点
是 的中点，进而得到点 是 的重心，从而得到 ，最后得到 的值．
【详解】解： 是等腰直角三角形， ，
是 斜边 上的中线，
，
是 的中线，
点 是 的重心，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的重心的性质，解题的关键是熟知三角形重心的性质．
12. 如图，菱形ABCD边长为4，∠B=60°， ， ，连接EF交菱形的对角线AC于点
O，则图中阴影部分面积等于________________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由菱形的性质可得 ， ， ，由“ ”可证
，可得 ，由面积的和差关系可求解．
【详解】解：连接 ，
四边形 是菱形，
， ， ，
是等边三角形， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
， ，
，
，
阴影部分面积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
13. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S、S，则S＋S＝
1 2 1 2
______
【答案】17
【解析】
【分析】设正方形S 的边长为x，可得 ， ，可得 ，CD=2， ，
1
由图可得，S 的边长为3，分别算出S、S 的面积，据此即可解答．
2 1 2
【详解】解：如图，
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学科网（北京）股份有限公司设正方形S 的边长为x，
1
根据等腰直角三角形的性质知， ， ，
，
∵AC+CD=6，
∴2CD+CD=6，CD=2，
∴EC2=22+22，即 ，
∴S 的面积为EC2=8，
1
∵由图可知，S 的边长为3，S 的面积为3×3=9，
2 2
∴S+S=8+9=17，
1 2
故答案为：17．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的运用，根据等腰三角形的性质
及勾股定理求得EC的长是解决本题的关键．
14. 在 中，若两直角边 ， 满足 ，则斜边 的长度是______．
【答案】13
【解析】
【分析】利用非负数的和为0，求出a与b的值，再利用勾股定理求即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得c= ．
故答案为：13．
【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理，掌握非负数的性质，勾股定理是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. （1）计算：
① ；
② ；
（2）解方程： ．
【答案】（1）① ；② ；（2）
【解析】
【分析】（1）①根据二次根式的运算法则运算即可；
②首先利用平方差公式、二次根式的乘法以及零指数幂对式子化简，再计算即可得出结果；
（2）首先去分母，把分式方程化成整式方程，再解整式方程，最后检验．
【详解】解：（1）①原式
②原式
（2）解：方程两边都乘 ，得
，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了实数的混合运算以及解分式方程，掌握二次根式的运算法则以及解分式方程的方法是
解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司16. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据分式 混合运算的运算法则把原式化简为 ，再代入求值．
的
【详解】解：
．
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 求值
（1）先化简，再求值： ，其中 ；
（2）已知：a+ ＝1+ ，求 的值；
（3）已知实数m、n满足 ，求 的值．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3）7
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）先把分式进行化简，得到最简分式，然后把 代入计算，即可得到答案；
（2）利用完全平方公式变形求值，即可得到答案；
（3）由二次根式的定义和分式有意义的条件，求出n的值，然后得到m的值，再代入计算，即可得到答
案．
【详解】解：（1）
=
=
= ；
∵ ，
∴原式=
=
= ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴
=
=
=7；
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，分式的化简求值，完全平方公式的变形求值，
绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
18. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 的值代入计算即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司当 时，
原式
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，
F，连结AE，CF．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）当∠OAF＝∠OFA时，求证：四边形AECF是矩形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据四边形 为平行四边形形，可得 ，所以 ，
，再根据 是对角线 的中点，可得 ，进而证明 ；
（2）根据矩形的判定可得出答案．
【小问1详解】
解：证明： 四边形 为平行四边形，
，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
是对角线 的中点，
，
在 和 中，
，
；
【小问2详解】
解：证明： ，
，
，
， ，
四边形 为平行四边形， ，
四边形 为矩形．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用三角形和四边形的知
识．
20. 先化简，再求值： ，其中
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司，
当 时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．
六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
21. 如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°， ，点E是AB的中点，连接EC，过点E作
EF⊥AD，垂足为F，已知 ．
（1）求证：四边形AECD是菱形：
（2）若AB＝25，BC＝15，求线段EF的长
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】（1）先证明四边形AECD是平行四边形，由∠ACB=90°，E是AB的中点，得到
，即可证明平行四边形AECD是菱形；
（2）先求出AC，即可求出△ABC的面积，从而得到△AEC的面积，由菱形的性质即可得到菱形的面积，由
此即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴四边形AECD 是平行四边形，
∵∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴ ，
∴平行四边形AECD是菱形；
【小问2详解】
解：∵∠ACB=90°，AB=25，BC=15，
∴ ，
∴ ，
∵E是AB的中点，
∴ ， ，
∵四边形AECD是菱形，
∴ ， ，
∴EF=12．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知菱形的性质
与判定条件是解题的关键．
七、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
22. 如图，P为正方形ABCD的边BC上的一动点（P不与B、C重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交
CD于点Q，将 沿着BQ所在直线翻折得到 ，延长QE交BA的延长线于点M．
（1）探求AP与BQ的数量关系；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， ，求QM的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）只需要证出 ，即可解题．
（2）过点Q作 于点H，易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1运用勾股定理可以求得AP，又因为
DC//AB，可得 ，由折叠知识得 ，所以 ，可得MQ=MB．通
过设定未知数，在 中我们通过勾股定理就可以解决问题．
【小问1详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴ ，
∵BQ⊥AP
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
过点Q作 于H，如图
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形ABCD 是正方形，
∴QH=BC=AB=3，
∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC//AB
∴ ，
由折叠知识得 ，
∴ ，
∴MQ=MB，
设QM=x，则有MB=x，MH=x-2，
在 中，
根据勾股定理可得 ，
解得x= ，
∴QM的长为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠之后完全相同，包括
边的长度还有角的度数完全相等，再设未知数，然后运用勾股定理建立方程，这是求线段长度最常用的方
法．
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学科网（北京）股份有限公司八、（本大题共1小题，每小题1分，共14分）
23. 如图，在 中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B=60°，BC=8，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）平行四边形ABCD的面积为 ．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由已知条件得出AM∥CN，AM=CN，证出四
边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质得出∠CMA=90°，即可得出四边形AMCN是矩形；
（2）根据∠B=60°，BC=8，即可得到CM和BM的长，再根据等腰三角形的性质即可得到AB的长，进而
得出 的面积．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM=BM，AM∥CN，AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA=90°，
∴四边形AMCN是矩形；
【小问2详解】
解：∵∠B=60°，BC=8，∠BMC=90°，
∴∠BCM=30°，
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学科网（北京）股份有限公司∴Rt△BCM中，BM= BC=4，CM=4 ，
∵AC=BC，CM⊥AB，
∴AB=2BM=8，
∴ 的面积为AB×CM=8×4 =32 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的
性质，由等腰三角形的性质得出CM⊥AB是解决问题的关键．
第23页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
