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2022 学年第二学期初三数学教学质量调研试卷
一、选择题
1. 下列实数中，比3大的有理数是（ ）
A. B. π C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的概念判断， ， 是无理数，再比较大小即可．
【详解】解：∵ ，而 ， ， 是无理数， 是有理数，
∴比3大的有理数是 ；
故选：C．
【点睛】本题考查的是有理数与无理数的识别，实数的大小比较，熟记无理数的概念是解本题的关键．
2. 用换元法解方程 时，如果设 ，那么原方程可化为关于y的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，则原方程可化为 ，去分母即可．
【详解】解： ，
设 ，
则原方程可化为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，解此题的关键是能正确换元．
3. 如图，已知 及其所在平面内的 个点．如果 半径为 ，那么到圆心 距离为 的点可能是
（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．
为
【详解】解：根据题意得， 半径 ，如图所示，连接 ，
∴ ，
∴到圆心 距离为 的点可能是点 ，
故选： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，理解并掌握点到圆心的线段与圆的半径的大小关系是解题的关
键．
4. 下列命题中，假命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D. 对角线平分一组对角的矩形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩等腰梯形、菱形和正方形的判定一一判断即可．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，为真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的梯形是等腰梯形，还有可能为直角梯形等其它梯形，为假命题，符合题意；
C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，为真命题，不符合题意；
D、对角线平分一组对角的矩形是正方形，为真命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题，等腰梯形、菱形和正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
5. 某抖音卖货小店专门营销一类货品，以八种型号销售，一段时间内的销售数据如下表所示：
货品型号 A B C D E F G H
销售数据（件） 2 4 5 13 8 7 3 1
如果每件货品销售利润都相同，该小店决定多进一些D型号货品，那么影响店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 标准差 D. 众数
【答案】D
【解析】
【分析】根据各种统计量的含义及性质进行选择即可．
【详解】这个问题中店主最关心的是货品的销售量，所以影响决策是统计量是众数．
故选：D
【点睛】本题主要考查平均数、中位数、标准差、众数的特点，理解题意是解题的关键．
6. 已知抛物线 经过点 ，那么 的值是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】把点 代入抛物线，解三元一次方程组即可求解．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合，掌握二次函数的代入法，解三元一次方程组的
方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： ________ ．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据单项式乘单项式法则计算．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握运算法则．单项式乘以单项式的法则：单项式乘
以单项式，就是把系数和相同字母分别相乘，作为积的因式．
8. 函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，列不等式求解即可．
【
详解】解：由题意得， ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达
式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函
数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9. 已知 ，那么 ______．
【答案】
【解析】
【分析】直接把 代入 中进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
10. 如果关于x的方程 有实数根，那么实数c的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次方程有实数根则 解答．
【详解】解：∵方程 有实数根，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程无实数根．
11. 不等式组 的正整数解是 ______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先分别求出每个不等式的解集，进而得出不等式组的解集，再确定整数解即可．
【详解】
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ，
所以不等式组的解集是 ．
可知整数解是3，4．
故答案为：3，4．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
12. 已知线段 ， ，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，
那么a，b，c不能组成三角形的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据三角形三边关系确定不能组成三角形的 的取值范围，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴线段a，b，c组成三角形时 的取值范围 ，即
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学科网（北京）股份有限公司∴当 或 时，线段a，b，c不能组成三角形，
∴在1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，不能组成三角形的是1，
7、8这三个数，
所以，a，b，c不能组成三角形的概率是 ，
故答案为：
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现
m种可能，那么事件A的概率 ．用到的知识点为：构成三角形的基本要求为两小边之和大于第
三边．
13. 为了解某区九年级3000名学生中“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数，区体测中心随机调查了其中
的200名学生，结果仅有45名学生未获满分，那么估计该区九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数
约为_______．
【答案】2325
【解析】
【分析】根据200名学生，结果仅有45名学生未获满分求得九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数所
占总数的百分比，即可得到结论．
【详解】解： （名），
答：估计该区九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为 2325名．
故答案为：2325名．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．
14. 已知点 在反比例函数 的图像上，点A关于y轴的对称点 恰好在直线 上，
那么k的值为_______．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由点A与点 关于y轴的对称，可得到 ，代入 即可求得m的值，从而求得
，进而即可求出k的值．
【详解】解：∵点A与点 关于y轴的对称，点 ，
∴ ，
∵点 恰好在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，一次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点
的坐标的特征，掌握方程思想是解题的关键．
15. 如图，在梯形 中， ， ，对角线 与 交于点O，设 ，
，那么 _______．（结果用 、 表示）
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由 ，即可证得 ，又由 ，即可求得 和 ，再运用向量
的和差即可求得 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查向量的和差、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想的应用以及明
确向量是有方向的是解题的关键．
16. 如图，在菱形 中，对角线 与 交于点O，已知 ， ，如果点E是
边 的中点，那么 ______．
【答案】5
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据菱形的性质得到 ，根据三角函数的定义得到
，根据勾股定理得到 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即
可得到结论．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E是边 的中点，
∴ ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
17. 如图， 的直径 与弦 交于点E，已知 ， ， ，那么
的值为_______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】过点O作 于点F，连接 ，过点D作 于点H，根据 ，求出
，根据勾股定理求出 ，得出 ，求出 ，
得出 ，即可求出结果．
【详解】解：过点O作 于点F，连接 ，过点D作 于点H，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，求余切值，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造
直角三角形，熟练掌握余切的定义．
18. 如图，将平行四边形 沿着对角线 翻折，点 的对应点为 ， 交 于点 ，如果
， ，且 ，那么平行四边形 的周长为______ ．（参考
数据： ）
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 ，四边形 为平行四边形，折叠的性质可得 是等腰三角形， ，
设 ，则 ，由三角形的内角和定理解得 ，由外角性质
可证明 为等腰三角形，继而得到 ，解得 ，分别过
点 作 ，利用余弦定理分别解得 的长，最后求得平行四边形的周长．
【详解】解： ，四边形 为平行四边形，
翻折
是等腰三角形
设 ，则
在 中，由三角形内角和定理可得
分别过点 作
在 中，
在 中，
平行四边形 的周长为
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形内角和定理、图形的翻折变换等知识，是重要考点，掌握相
关知识是解题关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
.
19 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据实数的混合运算法则，先计算分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，再计算乘
法，最后计算加减．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查实数的混合运算、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，熟练掌握实
数的混合运算法则、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根是解决本题的关键．
20. 解方程组：
【答案】 或
【解析】
【分析】利用平方差公式将 化为 ，进而利用加减消元法解二元一次方程
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学科网（北京）股份有限公司组即可解答．
【详解】解：
由②得： ，
∴ 或 。
从而有 或 ，
解得： ，
故原方程组的解是 ，
【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，平方差公式，加减消元法解二元一次方程，利用平方差公式
将二元二次方程将次是解题的关键．
21. 已知点 在双曲线 上，将点A向右平移5个单位得到点B．
（1）当点B在直线 上时，求直线 的表达式；
（2）当线段 被直线 分成两部分，且这两部分长度的比为 时，求b的值．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据点 在双曲线 上，求出点A坐标，根据点平移得到点B的坐标，将点
B的坐标代入直线解析式即可得到答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据 ， ，得到 ，根据线段 被分得的两段的长度比为 ，得到分割点
坐标分类讨论即可得到答案.
【小问1详解】
解：∵点 在双曲线 上，
∴ ，即 ，
又∵将点A向右平移5个单位得到点B，
∴ ，
当点B在直线 上时，有 ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵线段 被分得的两段的长度比为 ，
故分割点为 或 ，
当分割点为 时， ，得 ，
当分割点为 时， ，得 ，
综上， 或 ；
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合题，解题的关键是根据反比例函数求出点的坐标，代入直线
解出直线解析式．
22. 为了测量某建筑物的高度 ，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为 的
斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为 ，再从D处沿水平方向继续行走100
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学科网（北京）股份有限公司米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为 ，建筑物底端B的俯角为 ，如图，已知点A、B、
C、D、E在同一平面内，求建筑物 的高度与 的长．（参考数据： ）
【答案】建筑物 的高度为136.6米， 的长为130米
【解析】
【分析】如图，过点C、D分别作 的垂线，垂足分别为 ，则四边形 是矩形，
，由题意可得 米， ， ， ，则
， ， 米， 米，则
米， 米，根据 计算求解可得 的值，由坡比可得
，即 ，解得 米，在 中，由勾股定理可得：
，计算求解即可．
【详解】解：如图，过点C、D分别作 的垂线，垂足分别为 ，则四边形 是矩形，
，
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学科网（北京）股份有限公司由题意可得： 米， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 米，
∴ 米，则 米，
∴ 米，
∴ 米，
∵斜坡 的坡比为 ，
∴ ，即 ，解得 米，
在 中，由勾股定理可得： 米，
答：建筑物 的高度为136.6米， 的长为130米．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的外角性质，等角对等边，解直角三角形的应用，勾股定
理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23. 如图1，点E、F分别在正方形 的边 、 上， 与 交于点G．已知
．
（1）求证： ；
（2）以点G为圆心， 为半径的圆与线段 交于点H，点P为线段 的中点，联结 ，如图2所
示，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先根据正方形的性质证明 ，再证明 ，再根据等角的余
角相等即可得出结论；
（2）根据圆的知识证明 垂直平分 ，再根据等腰三角形的性质与判定即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是正方形， ，
，
∵ ， ，
∴ ，
故 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即
∴ ；
【小问2详解】
由题意可知： ，且（1）有： ，
∴ 垂直平分 ，故 ，
在 中， ， ，∴ ，
在 中， ，P为线段 的中点， ，
故 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是圆的知识、正方形的性质、全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，
掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
24. 已知抛物线 与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y
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学科网（北京）股份有限公司轴交于点C，且 ．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线 恰好平分 的面积，求点D的坐标；
（3）如图2，点E坐标为 ，在抛物线上存在点P，满足 ，请直接写出直线 的表
达式．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）首先由抛物线的解析式可求得点C的坐标，由 ，可求得点B的坐标，再把点B的
坐标代入解析式，即可求解；
（2）首先可求得点A的坐标，记直线 交 于点F，由直线 恰好平分 的面积，可知点F为
的中点，即可求得点F的坐标，即可求得直线 的解析式，再与抛物线的解析式联立成方程组，解
方程组，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况；当点P在x轴上方时，在y轴上取 ，连接
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学科网（北京）股份有限公司，过点B作直线 交抛物线于点P，交y轴于点M，使 ，则 ，过点
G作 于点H，根据角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，即可求得点M的坐
标，据此即可求解；同理可得点P在x轴下方时的解．
【小问1详解】
解：令 ，则 ，
， ，
∵ ，
，
，
把点B代入 得： ，解得： ，
故抛物线表达式为 ；
【小问2详解】
解：由（1）知抛物线的表达式为 ，
故令 得： 解得： ， ，
点A的坐标为 ，
如图：记直线 交 于点F，
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学科网（北京）股份有限公司直线 恰好平分 的面积，
点F为 的中点，
， ，
点F的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把点B、F的坐标分别代入，得
解得
直线 的解析式为 ，
解得 或 (舍去)，
故点D的坐标为 ；
【小问3详解】
解：当点P在x轴上方时，
如图：在y轴上取 ，连接 ，过点B作直线 交抛物线于点P，交y轴于点M，使
，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，过点G作 于点H，
点E坐标为 ，
，
， ， ，
，
又 ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ， (舍去)，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司把点M、B的坐标分别代入解析式，得
解得
故此时直线 的解析式为 ；
当点P在x轴下方时，
同理可得，直线 的解析式为 ，
综上，直线 的解析式为 或 ．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，采用分类求解是解决本题的关键．
25. 如图1，在△ABC中， ，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC
上，满足 ，过点E作 交AB于点F，垂足为点G．
（1）求证： ；
（2）延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当 时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理
由．
【答案】（1）见解析 （2）2
（3）外切，理由见解析
【解析】
【分析】（1）有等腰三角形的性质得到 ，再由余角定义解得
，然后根据AA即可证得 ；
（2）有同角的余角相等得到 ，由等量代换得到 ，继而证得 ，再代
入线段的比值计算即可；
（3）在CD延长线上取点N，使得 ，根据全等三角形的判定方法证得 ，
继而得到 ，再求得BE的长，最后由⊙A与⊙B的半径之和等于两圆的圆心距证明即可
【小问1详解】
解：（1） 由题意可得： ，∴ ．
又 且 ．∴ ，
故有 ．
又
∴ ．
【小问2详解】
在Rt△MCG中， ，又∵ ．
∴ ．
∵
∴ ．
故有 ．
又 ，
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴
【小问3详解】
如图，在CD延长线上取点N，使得 ，则 ，
又 ，故 ，
∴ ，从而有 ．
在△BCN与△CME中， ．
故
则 ，
∵ ，
∴ ，
故 ， ，则
从而 ．
此时有
即⊙A与⊙B的半径之和等于两圆的圆心距，
∴⊙A与⊙B外切．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定等知识，综合性较强，
掌握相关知识是解题关键．
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
