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2022 学年九年级数学阶段性质量调研试卷
一、选择题
1. 已知线段 、 、 、 是成比例线段，如果 ， ， ，那么 的值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用成比例线段的定义得到 ，然后根据比例的性质求d的值．
【详解】解：根据题意得： ，
即 ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与
另两条线段的比相等，如 （即 ），我们就说这四条线段是成比例线段．
2. 下列各组图形中一定是相似形的是（ ）
A. 两个等腰梯形 B. 两个矩形 C. 两个直角三角形 D. 两个等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的
性质与特点逐项排查即可．
【详解】解：A、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
B、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
D、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，理解相似形的形状相同、大小不同的特点成为解答本题的关键．
3. 将抛物线 向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象平移的方法：左加右减，上加下减计算即可．
【详解】解：将抛物线 向右平移1个单位得到 ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确运用平移方法求解是解题的关键．
4. 在 中， ，已知 ， ，那么 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用锐角三角函数求出结果即可．
【详解】解：如图，
在 中， ， ， ，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数 的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦是解题
的关键．
5. 已知 是线段 的黄金分割点，且 ，那么 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】将 关于 对称得 ，可知 是 的黄金分割点，可得
【详解】解：将 关于 对称得 ，根据黄金分割的定义可知 是 的黄金分割点，
答案：C
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
6. 某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A. ﹣1 B. ﹣3 C. 0 D. ﹣4
【答案】A
【解析】
【分析】假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然
后判断其他两点即可得答案．
【详解】解：假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，
把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函数解析式，得 ，
解得 ，
函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝0，
当x＝﹣2时，y＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，
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学科网（北京）股份有限公司解题的关键是能正确求出二次函数的解析式．
二、填空题
7. 已知 ，那么 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由 得 把 代入 化简即可得出结果．
【详解】解：由 得
把 代入
故答案为：
【点睛】本题主要考查求分式的值，求出 之间的关系，然后代入分式中求解即可．
8. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】依据向量的加减计算即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查向量的加减，掌握向量加减的法则是解答此题的关键．
9. 两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为_____．
【答案】1：3
【解析】
【分析】相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方．
【详解】已知两个相似三角形的面积比为1：9，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于
相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1：3，故答案为1：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进行考查的，难度不
大．
10. 如果向量 与单位向量 的方向相反，且 ，那么用向量 表示向量 为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的表示方法可直接得出答案．
【详解】解： ，向量 是单位向量，
，
向量 与单位向量 的方向相反，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面向量有关知识，难度较小，解题的关键是掌握单位向量的定义．
11. 小杰沿着坡度 的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了______米．
【答案】50
【解析】
【分析】如图，由坡度易得 与 的比为 ，设出相应未知数，利用勾股定理可得 的长度．
【详解】解：设他距离地面的垂直高度升高了 米，
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学科网（北京）股份有限公司如图，在 中， ，坡度： ， ，
∴ 与 的比为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ， （负值不符合题意，舍去），
∴他距离地面的垂直高度升高了 米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理，理解坡度的意义是解题的关键．
12. 已知抛物线 在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则 ，然后解不等式即可．
【详解】解：∵抛物线 在y轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当
时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下．
13. 已知抛物线 经过点 ， ，试比较 和 的大小： ______ ．
（填“>”，“<”或“=”）
【答案】>
【解析】
【分析】比较三个点离直线 的远近即可得到 、 的大小关系．
【详解】∵
∴抛物线对称轴为直线 ，开口向上，
∵
∴ 离对称轴较近，
∴ ．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，
但是一道比较容易出错的题目．
14. 如图 ，已知 ， ， ，那么 的长等于______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据平行线分线段对应成比例，列式计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键．
15. 如图，在 中， ，点G为 的重心，若 ， ，那么
的长等于______．
【答案】
【解析】
【分析】点G为 的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长 ， 交 、 于点D，
E，即可得解．
【详解】解：延长 ， 交 、 于点D，E，
∴ ， ， ，
则 ，
答案： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查重心概念以及性质内容，这是做辅助线的线索，也是本题解题的关键．
16. 如图，在 中， ，正方形 的边 在 的边 上，顶点 、 分别在
边 、 上，如果其面积为24，那么 的值为______．
【答案】24
【解析】
【分析】通过证明 ，则 ，即可得到答案．
【详解】 ，正方形 的四个顶点在三角形的边上，
，
，
，
．
故答案为24．
【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题
的关键．
17. 如图，点 在正方形 的边 上， 的平分线交 边于点 ，连接 ，如果正方形
的面积为12，且 ，那么 的值为______．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】过点E作 交 于点G，证明 ，根据正方形的面积求出
，然后求出结果即可．
【详解】解：过点E作 交 于点G，如图所示：
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵正方形 的面积为12，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
答案： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行线的性质，三角函数的计算，解题的关键是作出辅助线，求
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学科网（北京）股份有限公司出 ．
18. 如图，在平面直角坐标系 中， ， ，点 为图示中正方形网格交点之一（点 除
外），如果以 、 、 为顶点的三角形与 相似，那么点 的坐标是______．
【答案】 、 、
【解析】
【分析】根据 是直角三角形，构造K字形相似即可得出以 、 、 为顶点的三角形与 相
似的点C坐标．或直接作出全等三角形．
【详解】解：以 为共同的斜边时， ，得 坐标为 ，
过点 作 的垂线，当 时， ，得 ，
过点 作 的垂线，当 时， ，得 ．
故答案为： 、 、
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论．
三、解答题
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
20. 如图，已知 是 边 上一点，且 ，设 ， ．
（1）试用 、 表示 ；
（2）直接在图中作出向量 分别在 、 方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指
出所作图中表示结论的分向量）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【详解】解：（1）∵
∴
∵
∴
∴
（2）如图， 与 即为 在 与 方向上的分向量.
21. 已知 关于 的函数 是二次函数．
（1）求 的值并写出函数解析式；
（2）用配方法把该二次函数的解析式化为 的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、
顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）2，
（2） ，开口向上，顶点 ，对称轴：
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据二次函数定义直接列式求解即可得到答案；
（2）将（1）中解析式配方结合函数性质即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵函数 是二次函数，
∴ ，
∴ ，
∴函数解析式为： ；
【小问2详解】
解：由（1）得，
，
∵ ，
∴开口向上，顶点 ，对称轴： ．
【点睛】本题考查二次函数定义及二次函数的性质，解题的关键是根据定义列式求出t值及熟练掌握函数
的性质．
22. 某校开展数学周系列活动，举办了“测量”为主题的实践活动．小杰所在小组准备借助无人机来测量
小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得
大楼底部C的俯角为30°，测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，
此时测得大楼顶部D的俯角为45°．已知A，C两点在同一水平线上，根据以上信息，请帮小杰小组计算大
楼的高度．（结果保留根号）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 米
【解析】
【分析】分析图形，根据题意作辅助线构造直角三角形，即作 ， ，由题意可以得到
是等腰直角三角形，利用其性质求出 ， 的长，然后解直角三角形 ，求出 的长，
从而可求出大楼的高度．
【详解】如图，过点D作 交 于点G，过点B作 交 于点H，
则四边形 是矩形，
∴ ， ．
由题意可知 ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 为 的中线，
∴ （米），
∴ 米．
由题意可知 ，
∴ （米）．
∴ （米）．
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学科网（北京）股份有限公司答：大楼的高度为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，解直角梯形可以通过作垂线转化为解直角
三角形和矩形的问题．
23. 已知：如图，在 中，点 在边 上，且 ，边 的垂直平分线 交边 于点
， 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）如果 的面积为 ，且 ， ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由 得 ，由垂直平分线 的性质得到 ，即可证明
；
（2）根据相似三角形的性质得到 ，则 ， ，作 于点H，分别求
得 和 ，即可得到 的面积．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵边 的垂直平分线 交边 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
作 于点H，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握
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学科网（北京）股份有限公司相似三角形的判定和性质是解题的关键
24. 已知：在 中， ， ，点 、 分别在射线 、射线 上，且满足
．
（1）当点 在线段 上时，如图1．
①如果 ，求 的长：
②设 、 两点的距离为 ， ，求 关于 的函数关系式，并写出定义城．
（2）当 时，求 的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）
【答案】（1）① 为4或12；②
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①设 ， ，证明 ，再根据相似三角形的性质，即可求
解；②过点A作 于点G，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得 ， ，
，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当点 在线段 上时；当点 在 延长线上时，结合相似三角形的性质，即可
求解．
【小问1详解】
解：①设 ， ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ 为4或12
②过点A作 于点G，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
【小问2详解】
解：当点 在线段 上时，此时 ，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当点 在 延长线上时， ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ；
综上所述， 的面积 或 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，列函数关系式等知识，
熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
25. 已知抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴交于点 ， 为坐标原点
且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点 是线段 上的一个动点（不与点 、 重合），过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，
连接 ．当四边形 恰好是平行四边形时，求点 的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下， 是 的中点，过点 的直线与抛物线交于点 ，且
，在直线 上是否存在点 ，使得 与 相似？若存在，求点 的坐
标：若不存在，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）抛物线 的解析式为 ；
（2）
（3）存在， ，
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线 的解析式，利用 ，得出方程，解方程即可求解；
（3）证明 ，分两种情况讨论，当 时，当 时，利用
相似三角形的性质列式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为 ，
∵ ， ，
∴
代入 ，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：设直线 的解析式为 ，
代入 得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
设， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
∵ 是平行四边形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：由题意得 ， ， ，
∴点D、A、Q在同直线上，
设 ， ，
∴ ， ，
作 轴，故 轴，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
可知 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司同理可得直线 的解析式为 ，
解方程 ，得 或 ，
∴ ，
连接 ，作 轴，
可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，故 在 的左侧，
此时： ，
设 ，
∵ ， ， ， ，
I．当 时，
，
∴ ， ，
∴ ，
II．当 时，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的判定和
相似三角形的性质等．解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的
意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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学科网（北京）股份有限公司第26页/共26页
学科网（北京）股份有限公司
