文档内容
2022 学年第二学期九年级学业质量调研
数学试卷
（练习时间：100分钟，满分：150分）
1．本练习含三个大题，共25题．答题时，学生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
3．本次练习不可以使用科学计算器．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 单项式 的次数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据单项式次数的定义，即单项式所含字母的指数和为单项式的次数，据此即可解答．
【详解】解：单项式 的次数为： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式次数的定义，熟练掌握和运用单项式次数的定义是解决本题的关键．
2. 上海某区3月 日至3月 日的气温（ ）如下表：
日期 20日 21日 22日 23日 24日 25日 26日
天气 多云 晴 晴 阴 多云 阴 小雨
最低气温 12 15 11 8 9 8 8
最高气温 16 22 23 13 15 13 13
那么这一周最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A. 13，13； B. 13，15； C. 8，15； D. 8，13．
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数和中位数定义解答即可．
为
【详解】一周最高气温分别 13、13、13、15、16、22、23
∴众数为13；中位数为15，
第1页/共29页
学科网（北京）股份有限公司故选B．
【点睛】本题考查了中位数及众数，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
3. 一次函数 的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的图像经过第一、二、三象限可知 ，然后问题可求解．
【详解】解：由一次函数 的图像经过第一、二、三象限可知 ，所以符合题意
的只有A选项；
故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 平行四边形的邻边相等； B. 平行四边形的对角线互相平分；
C. 平行四边形内角都相等； D. 平行四边形是轴对称图形．
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可进行求解．
【详解】解：由平行四边形的性质可知：平行四边形的两组对边相等；平行四边形的对角线互相平分；平
行四边形的对角相等；平行四边形是中心对称图形；
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及真命题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5. 在平面直角坐标系中，如果把抛物线 向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两
条抛物线的描述中不正确的是（ ）
A. 开口方向相同； B. 对称轴相同；
C. 顶点的横坐标相同； D. 顶点的纵坐标相同．
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的平移及性质可进行求解．
第2页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：把抛物线 向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为 ，
∴这两条抛物线的开口方向都是向上，对称轴都为直线 ，顶点的横坐标都为0，顶点的纵坐标一个为
0，一个为 ；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移及性质，熟练掌握二次函数的平移及性质是解题的关键．
6. 如图，在 中， ．用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线 ，那么下列作
法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的作图、角平分线的作图及直角三角形斜边中线定理可进行求解．
【详解】解：A、由作图可知 ，不满足点P是 的中点，故不符合题意；
B、由作图可知 ，不满足点P是 的中点，故不符合题意；
C、由作图可知点P是 的中点，故符合题意；
D、由作图可知 平分 ，故不符合题意；
故选C．
第3页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及线段垂直平分线的作图、角平分线的作图，熟练掌握尺
规作图是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
8. 因式分解： __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可．
【详解】解：原式
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法．
9. 已知关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】由题意得， ，计算求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
第4页/共29页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数
根时， ．
10. 方程 的根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程 ，解此一元二次方程得到 ， ，
结合二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案．
【详解】方程两边平方得：
∴ ，
∵
∴
∴ 不符合题意，故舍去
∴原方程的根为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的
性质，从而完成求解．
11. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果 ， ，那么 =_____（用 ， 表示）．
【答案】
【解析】
【详解】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD， = ，∴ =2 =2 ，∵ ，∴ = +
第5页/共29页
学科网（北京）股份有限公司=2 + ．故答案为2 + ．
12. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在问天实验舱内开讲．进行的太空实验有①毛细效应；②水
球变“懒”实验；③太空趣味饮水；④会调头的扳手．某校1500名学生在线观看了“天宫课堂”第三课，
并参与了关于“我最喜爱的太空实验”的问卷调查．如果从中随机抽取45名学生的问卷调查情况进行统计
分析，并将调查数据整理成下面的条形图，那么估计该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有________
名．
【答案】500
【解析】
【分析】根据该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有 （名），
故答案为：500．
【点睛】本题考查了条形统计图，用样本估计总体．解题的关键在于从条形统计图中获取正确的信息．
13. 为开展“学习二十大，奋进新征程”主题宣讲活动，某学校从甲、乙、丙三位宣讲员中随机抽取两人
参加，恰好选中甲、丙两人的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式解答即可．
【详解】从甲、乙、丙三位宣讲员中随机抽取两人的情况有：甲、乙；甲、丙；乙、丙，共三种情况，恰
好选中甲、丙两人的情况只有一种
∴选中甲、丙两人的概率为 ，
第6页/共29页
学科网（北京）股份有限公司故答案为 ．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
14. 如果正六边形的半径长为2，那么它的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点O作 于点G，证明 是等边三角形，求出 ，
得出 ，即可得出 ．
【详解】解：过点O作 于点G，如图所示：
∵六边形 为正六边形，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
第7页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，等边三角形的判定和性质，解
题的关键是证明 是等边三角形，求出 ．
15. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醐洒一斗直粟三斗，今持粟三
斛，得酒五斗，问清跴酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醐洒酒价值3斗谷子，现
在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清洒，醐洒酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设清酒x斗，则醐洒酒为（5-x）斗，一斗清酒价值10斗谷子，x斗清酒价值10x斗谷子；一斗醐
洒酒价值3斗谷子，（5-x）斗醐洒酒价值3（5-x）斗谷子．存在“换x斗清酒和（5-x）斗醐洒酒共用30
斗谷子”的等量关系，根据等量关系可列方程．
【详解】解：设清酒x斗，则醐洒酒为（5-x）斗．
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，准确分析出数量关系和等量关系是解决本题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，点A在直线 上，点A 的横坐标为1，点P是x轴正半轴上一
点，点B在反比例函数 图象上，联结 和 ．如果四边形 是矩形，那么k的值
是__________．
第8页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】当 ， ，即 ，如图，连接 交 于 ，过 作 于 ，则
， ， 是 中点，在 中，由勾股定理求 的值，证明 ，则
，求 的值，进而可得 的点坐标，将 点坐标代入反比例函数解析式求解 值即
可．
【详解】解：当 ， ，即 ，
如图，连接 交 于 ，过 作 于 ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ 是 中点，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ， ，
第9页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
将 代入 得， ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识．
解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17. 如图，在菱形 中， ， ，如果将菱形 绕着点D逆时针旋转后，点A恰
好落在菱形 的初始边 上的点E处，那么点E到直线 的距离为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】如图，旋转、菱形的性质可知， ，则 ，
， ，
，根据E到直线 的距离为 ，计算求解即可．
第10页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图，菱形 绕着点D逆时针旋转后为菱形 ，
由旋转、菱形的性质可知， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴E到直线 的距离为 ，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正弦等知识．解题
的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18. 阅读理解：如果一个三角形中有两个内角 、 满足 ，那么我们称这个三角形为特征三
角形．
问题解决：如图，在 中， 为钝角， ， ，如果 是特征三角形，那
么线段 的长为___________．
第11页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由题意可分：①设 ，则在 上截取一点D，使得 ，此种情况不符合
题意；②设 ，过点B作 于点E，过点C作 于点F，然后根据三角函
数及勾股定理可进行求解．
【详解】解：由题意可分：①设 ，则在 上截取一点D，使得 ，如图所示：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为钝角，故不存在 ；
②设 ，过点B作 于点E，过点C作 于点F，如图所示：
第12页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∵ 是特征三角形，即 ，且 ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
解得： ，
∴ ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】先分别计算绝对值，幂的乘方的逆运算与幂的乘方，负整数指数幂，分母有理化，然后进行加减
运算即可．
【详解】解：
第13页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了绝对值，幂的乘方的逆运算与幂的乘方，负整数指数幂，分母有理化．解题的关
键在于正确的运算．
20. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来；
【答案】 ，数轴见详解
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法可进行求解，然后再把解集在数轴上表示即可．
详解】解：
【
由①得： ，
由②得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
在数轴上表示如下：
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21. 如图，在 中， ， ， ，点D为 的中点，过点B作CD的垂线，
交CD的延长线于点E．
第14页/共29页
学科网（北京）股份有限公司（1）求线段 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 勾股定理可求得斜边，再由斜边中线可得 长度．
（2）通过相似三角形得到比例，求出 长度，再通过 勾股定理求出 长度，再计算比值即
可．
【小问1详解】
中 ，代入 ， ，
得
D为 的中点，
【小问2详解】
解法1：
D为 的中点，
第15页/共29页
学科网（北京）股份有限公司又 ，
中
解法2：
与 中
设 得
解得
【点睛】本题考查几何图形中长度 的计算，相似三角形，主要利用勾股定理进行长度关系计算，可以设元
列勾股方程或结合相似计算，通常几何长度的求解可采用3中方法（勾股、相似、面积法），常考直角三
角形和含有特殊角度的图形．在计算中灵活利用勾股定理是解题的关键．
22. 如图，在修建公路 时，需要挖掘一段隧道 ，已知点A、B、C、D在同一直线上， ，
， 米；
第16页/共29页
学科网（北京）股份有限公司（1）求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；
（参考数据： ， ， ）．
（2）原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了
20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？
【答案】（1）1200米
（2）原计划单向开挖每天挖100米
【解析】
【分析】（1）由题意易得 ，然后根据三角函数可进行求解；
（2）设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得方程 ，然后求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ， 米，
∴ 米；
答：隧道两端B、C之间的距离为1200米．
【小问2详解】
解：设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解且满足题意，
第17页/共29页
学科网（北京）股份有限公司答：原计划单向开挖每天挖100米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形及分式方程的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
23. 如图，在扇形 中，点C、D在 上， ，点F、E分别在半径 、 上， ，
连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）设点Р为 的中点，连接 、 、 ，线段 交 于点M、交 于点N．如果
，求证：四边形 是矩形．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）由题意易得 ，则有 ，然后可证 ，进而问题可求
证；
（2）由（1）可知： ， ，然后可得扇形 关于 对称，则有 ，进而问
题可求证．
【小问1详解】
证明：∵ ， 是公共弧，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
第18页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图所示：
由（1）可知： ， ，
∵点Р为 的中点，
∴ ，
∴扇形 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是矩形．
【点睛】本题主要考查垂径定理、圆的基本性质及矩形的判定，熟练掌握垂径定理、圆的基本性质及矩形
的判定是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 、 ，与x轴的负半轴交于
点C．
第19页/共29页
学科网（北京）股份有限公司（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接 ．
①如果 与线段 交于点E，且 ，求 的正切值；
②如果 与y轴交于点F，以 为半径的 ，与以 为半径的 外切，求点D的坐标．
【答案】（1） ，
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）把点 、 代入抛物线解析式可求解，然后令 可求点C的坐标；
（2）①根据题意作图，则过点E作 于点G，然后可得 ，则根据相似三角形
的性质可得点E坐标，进而问题可求解；②由题意可知 ，然后过点D作 于点H，设
点 ，则有 ，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：把点 、 代入抛物线解析式得：
，
第20页/共29页
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
令 ，则有 ，
解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①如图所示：
过点E作 于点G，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 、 ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，即 ，
第21页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示：
∵以 为半径的 与以 为半径的 外切，
∴ 与 相切于点F，即 ，
过点D作 于点H，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，则有 ， ，
∴ ，
第22页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ；
当点D在x轴的下方时，显然 ，所以以 为半径的 与以 为半径的 不会外切．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系及二次函数的综合，熟练掌握圆与圆的位置关系及二次函数的综
合问题是解题的关键．
25. 如图，在 中， ， ，以 为边作 （点D、A在直线 的异侧）
且满足 ， ．
（1）求证： ；
（2）设点E为边 的中点，连结 并延长交边 于点F，当 为直角三角形时，求边 的
长；
（3）设 ， ，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
【答案】（1）见详解 （2） 或
（3） ，
第23页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可知 ，然后根据三角形内角和可进行
求解；
（2）由题意可分：①当 时，②当 时，然后分别画出图形，进而根据含30度直
角三角形的性质及三角函数可进行求解；
（3）过点 D 作 于点 M，交 于点 N，过点 N 作 于点 Q，由题意易得
，则有 ， ，然后可得 ， ，进
而根据相似三角形的性质及三角函数可进行求解．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：由题意可分：①当 时，
∵点E为边 的中点，且 ，
∴ ，
第24页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 上取一点G，使得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，
过点C作 于点H，
∴ ， ，
由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第25页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点E为边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ;
综上所述：当 为直角三角形时， 或 ；
【小问3详解】
解：过点D作 于点M，交 于点N，过点N作 于点Q，如图所示：
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
第26页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，由（1）知 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
第27页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是斜边，
∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查函数解析式、等腰三角形 的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟
练掌握函数解析式、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
第28页/共29页
学科网（北京）股份有限公司第29页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
