精品解析：上海市上海中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_上学期_2：期中

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上海中学 2023 学年第一学期期中考试
数学试题
一．填空题（每题 3分，共 36分）
 6 
x xN且 N
 x2 
1. 集合 可用列举法表示为______．
【答案】{0,1,4}
【解析】
【分析】根据集合描述法与列举法的定义求解.
 6  6
【详解】由x xN且 N可知， N
 x2  x2
所以x2只能取1,2,3,6，又xN，所以x0,1,4，
即集合中的元素为0,1,4，故列举法表示为{0,1,4}.
故答案为：{0,1,4}
625
2. 的四次方根是______．
16
5
【答案】
2
【解析】
【分析】利用一个数的n次方根的定义求解即可.
4
 5 625
【详解】因为



 ，
 2 16
625 5
所以 的四次方根是 .
16 2
5
故答案为： .
2
3. 用反证法证明命题“若x y 2，则x1或y1”的过程中，应当作出的假设是______________．
【答案】x1且y1
【解析】
【分析】根据反证法的基本思想求解即可.
【详解】用反证法证明命题“若x y 2，则x1或y1”，
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应假设x1且y1.
故答案为：x1且y1.
4. 若1a3且2b1，则2a3b的取值范围是______．
【答案】
5,12
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质得到22a6，33b6，相加后得到答案.
【详解】因为1a3且2b1，所以22a6，33b6，
故2a3b23,665,12
.
故答案为：
5,12
5. 已知全集U R，A  x x1x2x30  ，则A______．
【答案】  x 2 x1或x3
【解析】
【分析】先求出集合A，再根据补集的定义求解即可.
【详解】因为A  x x1x2x30    x x2或1 x3 ，
所以A  x 2 x1或x3 .
故答案为：  x 2 x1或x3 .
6. 若集合A  x|ax2 x10  有且仅有一个元素，则实数a ______．
1
【答案】0或
4
【解析】
【分析】分a0和a0两种情况讨论求解即可.
【详解】当a0时，Ax|x101
，符合题意；
1
当a0时，14a10，即a  ，
4
1
综上所述，a0或 .
4
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1
故答案为：0或 .
4
7. 若1  x2,2x,log x  ，则实数x______．
2
【答案】1
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论求解即可.
【详解】由1  x2,2x,log x  ，
2
若x2 1，则x1，
当x1时，集合为 1,2,0 ，符合题意，
当x=1时，log 1 无意义，不符合题意，舍去，
2
所以x1.
若2x 1，则x0，此时log 0无意义，不符合题意，舍去.
2
若log x1，则x2，此时集合为 4,4,1 ，不满足互异性，舍去.
2
综上所述，x1.
故答案为：1.
8. 已知a log 5,blog 3，则log 6可用a，b表示为______．
2 2 5
22b
【答案】
a
【解析】
【分析】根据对数的运算性质求解即可.
【详解】因为a log 5,blog 3，
2 2
log 6 log 2log 3 1b 22b
log 6 2  2 2  
所以 5 log 5 1 1 a .
2 log 5 a
2 2 2
22b
故答案为： .
a
   
9 . 已知集合A x| y 3x 1 ,B y| y 3x 1 ，则A  B______．
【答案】
x|0 x3
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【解析】
【分析】先求出集合A,B，再根据交集的定义求解即可.
   1 
【详解】因为A x| y 3x 1 x| y  =x|x3 ，
 3x
   1 
B y| y 3x 1 y| y  y| y 0 ，
 3x
所以A  Bx|0 x3 .
故答案为：
x|0 x3
.
1
10. 若对于任意实数x，代数式 log  2ax2 4xa 均有意义，则实数a的取值范围是______．
3
【答案】2,
【解析】
【分析】分析可知，对任意的xR，2ax2 4xa 0且2ax2 4xa1，当a0时，不合乎题
意，进而可知，对任意的xR，2ax2 4xa10，可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数
a的取值范围.
1
【详解】对任意的xR，代数式 log  2ax2 4xa 有意义，
3
则对任意的xR，2ax2 4xa 0且2ax2 4xa1，
1
当a0时，则4x0且4x1，解得x 0且x   ，不合乎题意；
4
当a0时，由题意可知，必有2a0，由二次函数的基本性质可知，
对任意的xR，2ax2 4xa 1，则2ax2 4xa10，
2a0
所以， ，解得a2.
Δ168aa10

因此，实数a的取值范围是2,
.
故答案为：2,
.
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2xy yz
11. 若x，y，z均为正实数，则 的最大值是______．
4x2 4y2 3z2
3
【答案】
6
【解析】
【分析】将4y2拆开为3y2  y2，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.
【详解】4x2 4y2 3z2 4x2 3y2  y2 3z2
2 4x23y2 2 y23z2 2 32xy yz，
2xy yz 2xy yz 3
所以   ，
4x2 4y2 3z2 2 32xy yz 6
当且仅当2x 3y 3z时取到等号，
3
故答案为：
6
12. 已知实数a，b，c，d满足a2 ab40,c2 d2 1，则当(ac)2 (bd)2取得最小值时，abcd 
______．
【答案】 21##1 2
【解析】
【分析】将(ac)2 (bd)2转化为 a,b 与 c,d 两点间距离的平方，进而转化为 a,b 与圆心 0,0 的
距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.
【详解】可将(ac)2 (bd)2转化为 a,b 与 c,d 两点间距离的平方，
4
由a2 ab40，得ba ，
a
而c2 d2 1表示以 0,0 为圆心，1为半径的圆， c,d 为圆上一点，
则
a,b
与圆心
0,0
的距离为：
2
 4 16 16
a2 b2  a2  a  2a2  8  2 2a2 8  8 28，
 
 a a2 a2
16
当且仅当2a2  ，即a4 8 时等号成立，
a2
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此时
a,b
与圆心
0,0
的距离最小，即
a,b
与
c,d
两点间距离的平方最小，
即(ac)2 (bd)2取得最小值.
当a  4 8时，aba2 442 2，
d b ab 42 2  
因为     21，即d  21 c，
c a a2 2 2
d
cd c 21 21
cd    
所以 ，
c2 d2 d  2 1  21 2 42 2
1
 
 c 
  21
所以abcd  42 2   21.
42 2
21
同理，根据对称性可得，当a 4 8时，aba2 442 2，cd  ，
42 2
即abcd  21.
综上所述，abcd  21.
故答案为： 21.
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4
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆c2 d2 1上的点到ba 上的点的距
a
离的最小值的求解问题，进而求解.
二．选择题（每题 4分，共 16分）
13. 下列关于集合的符号表述中，正确的是（ ）
A.
11,2
B. 3R C.
10,1
D.
0
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合间的关系判断即可.
【详解】对于A，
11,2
，故A错误；
对于B， 3R，故B错误；
对于C，10,1
，故C错误；
对于D，空集是任何集合的子集，故D正确.
故选：D.
14. 已知集合 A1,1,2,B  y| y  x2,xA  ，则满足 A  B S A  B 的集合 S 共有（ ）
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个
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合B，进而求得AB，AB，进而根据集合间的包含关系求解即可.
【详解】因为A1,1,2 ，B  y| y  x2,xA  1,4 ，
所以AB1 ，A  B1,1,2,4 ，
所以满足条件的集合S为：
1
，
1,1
，
1,2
，
1,4
，
1,1,2
，
1,1,4
，
1,2,4 ，1,1,2,4，共8个.
故选：D.
a2 b2 ab ab 2ab
15. 已知集合 p:a 0,b0；q :  ；q :  ab；q : ab  ，则（ ）
1 2 2 2 2 3 ab
A. p是q 的充要条件 B. p是q 的充要条件
1 2
C. p是q 的充要条件 D. 以上都不对
3
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式和重要不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】对于A，当a 0,b0时，有a2 b2 2ab（当且仅当a b时等号成立），
所以2  a2 b2 ab2 ，即 a2 b2    ab  2 ，即 a2 b2  ab ；
2  2  2 2
a2 b2 ab
当a b1时，满足  ，但a0,b0，
2 2
所以p是q 的充分不必要条件，故A错误.
1
ab
对于B，当a 0,b0时，有  ab （当且仅当a b时等号成立）；
2
ab
当a =b=0时，满足  ab 时，但a 0,b0，
2
所以p是q 的充分不必要条件，故B错误；
2
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ab
对于C，当a 0,b0时，有  ab （当且仅当a b时等号成立），
2
2 1 2ab
即  ，即 ab  ；
ab ab ab
2ab
当a b1时，满足 ab  ，但a0,b0，
ab
所以p是q 的充分不必要条件，故C错误.
3
故选：D.
16. 已知实数x，y，z满足x2  y2 z2 xy yzzx1，则下列说法错误的是（ ）
6 6
A.
xyz的最大值是
B.
x yz的最大值是
6 2
6
C. x的最大值是 D. x y的最大值是 2
2
【答案】A
【解析】
【分析】利用判别式非负可判断C选项；利用基本不等式及不等式性质可判断BD选项；利用特例判断A
选项.
【详解】对于C，由x2  y2 z2 xy yzzx1，
整理得，y2 xzyx2 z2 zx10，可以看作关于y的一元二次方程，
所以 xz2 4  x2 z2 zx1  0，
1
即3z2 2xz3x2 40，可以看作关于z的一元二次不等式，
所以 4x2 12  3x2 4  0，解得 6  x 6 ，
2
2 2
6 6 6
当x 时，z  ，y  ，
2 6 6
6
所以x的最大值是 ，故C正确；
2
对于B，由x2  y2 z2 xy yzzx1，
即2  x2  y2 z2 2xy2yz2zx2，
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即x y2 xz2 yz2 2，
令a x y，b xz，c yz，则a2 b2 c2 2，
abc2
2
即abc2 2abacbc2，即abacbc ，
2
由a2 b2 2ab，当且仅当a b时等号成立，
a2 c2 2ac，当且仅当ac时等号成立，
b2 c2 2bc，当且仅当bc时等号成立，
所以2  a2 b2 c2 2ab2ac2bc，当且仅当abc时等号成立，
即2  a2 b2 c2 2ab2ac2bc ，
所以abc2 2  a2 b2 c2 abc2 2ab2ac2bc
即abc2 222，即abc2
6，
所以abc 6 ，
即x yxz yz  6 ，
6 6
即x yz  ，当且仅当x y  xz  yz，即x y  z  时等号成立，
2 6
6
对于D，所以x yz的最大值是 ，故B正确；
2
由a2 b2 c2 2，即x y2 xz2 yz2 2，
所以x y2 2，即x y 2，
2 2
当且仅当x= y= ，z 时等号成立，
2 2
所以x y的最大值是 2 ，故D正确；
4 1 17
对于A，取x1，y  ，z  ，
5 10
16 182 17 4 44 17 1 17
则x2  y2 z2 xy yzzx1     1，
25 100 5 50 10
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 
 4  1 17  2 1 17
而xyz 1          ，
 5  10  25
 
2 1 17
6 1212 1725 6
又
 
，
25 6 150
而
 2  2
1212 17  25 6 144288 17 144176256288 17 1158 1410048 1340964 0
，
 
2 1 17
6
所以
xyz  
，故A错误.
25 6
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于多变量的恒等关系，可利用基本不等式进行转化，也可以将其中一个变量看成主
变量，从而可判断方程有解的角度分析问题.
三．解答题（17-19每题 8分，20-21 每题 12分）
17. 求下列方程或不等式的解集：
（1） x1 x4  2x3
（2） 5x2  x1
【答案】（1）  x x4或x1
 
（2） x  5  x1或2 x 5
【解析】
3 3
【分析】（1）分x4，4 x ，  x1，x1四种情况讨论求解即可；
2 2
5x2 0

（2）转化不等式为 ，进而求解即可.

5x2 x12
【小问1详解】
当x4时，方程为x1x42x3 ，即33恒成立，符合题意；
3
当4 x 时，方程为x1x42x3 ，解得x4，舍去；
2
3
当  x1时，方程为x1x42x3 ，解得x1，舍去；
2
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当x1时，方程为 x1x42x3 ，即33恒成立，符合题意.
综上所述，方程的解集为  x x4或x1 .
【小问2详解】
由 5x2  x1，
5x2 0

得 ，解得 5  x1或2 x 5，

5x2 x12
 
所以不等式的解集为 x  5  x1或2 x 5 .
8 1 4
18. 已知正实数x，y满足x y 1，若不等式t   恒成立，求实数t的取值范围．
t x y
【答案】  t t 0或1t 8
【解析】
1 4
【分析】先根据基本不等式求得   ，进而分t0和t 0两种情况求解不等式即可.
 x y
min
1 4 1 4 y 4x y 4x
【详解】因为      x y5  52  9，
x y  x y x y x y
y 4x 1 2
当且仅当  ，即x ，y  时，等号成立，
x y 3 3
1 4
所以   9，
 x y
min
8
所以t 9，
t
8
当t0时，t 0，符合题意；
t
当t 0时，t2 89t，解得1t 8.
综上所述，实数t的取值范围为  t t 0或1t 8 ．
19. 已知全集U R，集合 A1,4,Bx|2t3 xt1 ，若 A B，求实数 t 的取值范围．

【答案】1t 3或t 4
【解析】
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【分析】由A B得BA，再分类讨论讨论B和B，从而得解.

【详解】因为A B，所以BA，

因为A1,4,Bx|2t3 xt1
，
当B时，2t3t1，则t 4，此时满足BA；
2t31
当B时，t  4，则 ，解得1t 3；
t14
综上，1t 3或t 4.
20. 考查关于x的方程x2 (3t)x2t 0．
（1）若该方程的两个实数根x，x 满足(x x )x x 6，求实数t的值；
1 2 1 2 1 2
（2）若该方程在区间
0,2
上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围．
【答案】（1）3
（2） 2,0   52 6 
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式及韦达定理求解即可；
6 6
（2）化简方程为t  x1 5，令m x11m3 ，转化问题为方程5t m 有且仅有
x1 m
一个实数根，进而结合对勾函数图象求解即可.
【小问1详解】
Δ3t2 42t0

由题意，得x x 3t ，即t 52 6或t 52 6，
1 2

x x 2t
 1 2
因为(x x )x x 6，所以 3t2t6，
1 2 1 2
解得t 3或4（舍去），
所以t 3
.
【小问2详解】
由x2 (3t)x2t 0，x0,2 ，
x2 3x2 x12 5x16 6
即t    x1 5
x1 x1 x1
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6
即5t  x1 ，
x1
令m x11m3 ，
6
则5t m ，
m
6    
因为函数 y  x 在 1, 6 上单调递减，在 6,3 上单调递增，
x
且x1时，y 7；x3时，y 5；x 6 时，y 2 6 ，如图，
6
所以要使方程5t m 只有一个实数根，
m
则55t 7或5t 2 6，
解得2t 0或t 52 6，
所以实数t的取值范围为 2,0   52 6  ．
x1 y1
21. 已知非空实数集S，T 满足：任意xS ，均有 S ；任意 yT ，均有 T ．
x y1
（1）直接写出S中所有元素之积的所有可能值；
（2）若T 由四个元素组成，且所有元素之和为3，求T ；
（3）若S

T 非空，且由5个元素组成，求S

T 的元素个数的最小值．
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【答案】（1）1或1
 1 5 1 5
（2）T 2 5,2 5, , 
 2 2 
（3）18
【解析】
 x1 1 
【分析】（1）根据集合S中的元素构成可得集合S中的元素是以x, , 的形式，三个数为一组出
 x 1x
现，从而可得结论；
 y1 1 1 y
（2）根据集合T 中的元素构成可得集合T 中的元素是以y, , , 的形式，四个数为一组出
 y1 y 1 y
现，从而可得结论；
（3）由（1）（2）可得集合S,T 的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，从而根据S T 得元素个

数，可确定S

T 的元素个数的最小值．
【小问1详解】
x1 x1 x1
已知非空实数集S满足：任意xS ，均有 S ，且x 在实数范围内无解，所以x ，
x x x
x1 1
1 1
x 1 1x
所以  S ，又  xS
x1 1x 1
x 1x
 x1 1 
则集合S中的元素是以x, , 的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且0,1S，
 x 1x
x1 1
又x  1，则S中所有元素之积的所有可能值为1或1；
x 1x
【小问2详解】
y1 y1
已知非空实数集T 满足：任意 yT ，均有 T ，且  y
y1 y1
y1 1 1 y
1  1 1
y1 1 y 1 y 1 y
所以  T ，且  T ，又  yT
y1 y 1 1 y 1 y
1  1 1
y1 y 1 y
 y1 1 1 y
则集合T 中的元素是以y, , , 的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且
 y1 y 1 y
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1,0,1T ，
 y1 1 1 y
若T 由四个元素组成，则T y, , , ，且所有元素之和为3
 y1 y 1 y
y1  1 1 y
所以y      3，整理得  y2 4y1  y2  y1  0
y1  y 1 y
1 5
解得 y 2 5或 y 
2
1 5 1 5  1 5 1 5
当y 2 5或y 2 5 或y  或y  时，T 2 5,2 5, , 
2 2  2 2 
 1 5 1 5
综上，T 2 5,2 5, , ；
 2 2 
【小问3详解】
由（1）（2）集合S,T 的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，
且当x y时，同一周期内其余元素不相等，
因而3和4互素，所以S和T 中的各组最多只能有一个公共元素，
因为S

T 有五个元素，若要使S

T 的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，
 x 1 1 x 1 1 
若x , 0 , ,x , 1 , S，此时从S中选出5个元素属于T ，此时T包含20个元素，
0 x 1x 1 x 1x
 
0 0 1 1
S

T 中包含620521，
 y 1 1 1 y y 1 1 1 y 
若T y , 0 , , 0 ,y , 1 , , 1，此时从T 中选出5个元素属于S，此时S包含
0 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y
 
0 0 0 1 1 1
15个元素，S

T 中包含815518，
所以S

T 的元素个数最小值为18.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元
 x1 1 
素个数关系，例如本题中集合S中的元素是以x, , 的形式，三个数为一组出现，集合T 中的元
 x 1x
 y1 1 1 y
素是以y, , , 的形式，四个数为一组出现，组和组不相交.
 y1 y 1 y
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