精品解析：上海市上海中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 上海中学 2023 学年第一学期期中考试 数学试题 一．填空题（每题 3分，共 36分）  6  x xN且 N  x2  1. 集合 可用列举法表示为______． 【答案】{0,1,4} 【解析】 【分析】根据集合描述法与列举法的定义求解.  6  6 【详解】由x xN且 N可知， N  x2  x2 所以x2只能取1,2,3,6，又xN，所以x0,1,4， 即集合中的元素为0,1,4，故列举法表示为{0,1,4}. 故答案为：{0,1,4} 625 2. 的四次方根是______． 16 5 【答案】 2 【解析】 【分析】利用一个数的n次方根的定义求解即可. 4  5 625 【详解】因为     ，  2 16 625 5 所以 的四次方根是 . 16 2 5 故答案为： . 2 3. 用反证法证明命题“若x y 2，则x1或y1”的过程中，应当作出的假设是______________． 【答案】x1且y1 【解析】 【分析】根据反证法的基本思想求解即可. 【详解】用反证法证明命题“若x y 2，则x1或y1”， 第 1 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 应假设x1且y1. 故答案为：x1且y1. 4. 若1a3且2b1，则2a3b的取值范围是______． 【答案】 5,12 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质得到22a6，33b6，相加后得到答案. 【详解】因为1a3且2b1，所以22a6，33b6， 故2a3b23,665,12 . 故答案为： 5,12 5. 已知全集U R，A  x x1x2x30  ，则A______． 【答案】  x 2 x1或x3 【解析】 【分析】先求出集合A，再根据补集的定义求解即可. 【详解】因为A  x x1x2x30    x x2或1 x3 ， 所以A  x 2 x1或x3 . 故答案为：  x 2 x1或x3 . 6. 若集合A  x|ax2 x10  有且仅有一个元素，则实数a ______． 1 【答案】0或 4 【解析】 【分析】分a0和a0两种情况讨论求解即可. 【详解】当a0时，Ax|x101 ，符合题意； 1 当a0时，14a10，即a  ， 4 1 综上所述，a0或 . 4 第 2 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 故答案为：0或 . 4 7. 若1  x2,2x,log x  ，则实数x______． 2 【答案】1 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论求解即可. 【详解】由1  x2,2x,log x  ， 2 若x2 1，则x1， 当x1时，集合为 1,2,0 ，符合题意， 当x=1时，log 1 无意义，不符合题意，舍去， 2 所以x1. 若2x 1，则x0，此时log 0无意义，不符合题意，舍去. 2 若log x1，则x2，此时集合为 4,4,1 ，不满足互异性，舍去. 2 综上所述，x1. 故答案为：1. 8. 已知a log 5,blog 3，则log 6可用a，b表示为______． 2 2 5 22b 【答案】 a 【解析】 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为a log 5,blog 3， 2 2 log 6 log 2log 3 1b 22b log 6 2  2 2   所以 5 log 5 1 1 a . 2 log 5 a 2 2 2 22b 故答案为： . a     9 . 已知集合A x| y 3x 1 ,B y| y 3x 1 ，则A  B______． 【答案】 x|0 x3 第 3 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】先求出集合A,B，再根据交集的定义求解即可.    1  【详解】因为A x| y 3x 1 x| y  =x|x3 ，  3x    1  B y| y 3x 1 y| y  y| y 0 ，  3x 所以A  Bx|0 x3 . 故答案为： x|0 x3 . 1 10. 若对于任意实数x，代数式 log  2ax2 4xa 均有意义，则实数a的取值范围是______． 3 【答案】2, 【解析】 【分析】分析可知，对任意的xR，2ax2 4xa 0且2ax2 4xa1，当a0时，不合乎题 意，进而可知，对任意的xR，2ax2 4xa10，可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数 a的取值范围. 1 【详解】对任意的xR，代数式 log  2ax2 4xa 有意义， 3 则对任意的xR，2ax2 4xa 0且2ax2 4xa1， 1 当a0时，则4x0且4x1，解得x 0且x   ，不合乎题意； 4 当a0时，由题意可知，必有2a0，由二次函数的基本性质可知， 对任意的xR，2ax2 4xa 1，则2ax2 4xa10， 2a0 所以， ，解得a2. Δ168aa10  因此，实数a的取值范围是2, . 故答案为：2, . 第 4 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2xy yz 11. 若x，y，z均为正实数，则 的最大值是______． 4x2 4y2 3z2 3 【答案】 6 【解析】 【分析】将4y2拆开为3y2  y2，同时用两次均值不等式构造相同结构即可. 【详解】4x2 4y2 3z2 4x2 3y2  y2 3z2 2 4x23y2 2 y23z2 2 32xy yz， 2xy yz 2xy yz 3 所以   ， 4x2 4y2 3z2 2 32xy yz 6 当且仅当2x 3y 3z时取到等号， 3 故答案为： 6 12. 已知实数a，b，c，d满足a2 ab40,c2 d2 1，则当(ac)2 (bd)2取得最小值时，abcd  ______． 【答案】 21##1 2 【解析】 【分析】将(ac)2 (bd)2转化为 a,b 与 c,d 两点间距离的平方，进而转化为 a,b 与圆心 0,0 的 距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可. 【详解】可将(ac)2 (bd)2转化为 a,b 与 c,d 两点间距离的平方， 4 由a2 ab40，得ba ， a 而c2 d2 1表示以 0,0 为圆心，1为半径的圆， c,d 为圆上一点， 则 a,b 与圆心 0,0 的距离为： 2  4 16 16 a2 b2  a2  a  2a2  8  2 2a2 8  8 28，    a a2 a2 16 当且仅当2a2  ，即a4 8 时等号成立， a2 第 5 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 此时 a,b 与圆心 0,0 的距离最小，即 a,b 与 c,d 两点间距离的平方最小， 即(ac)2 (bd)2取得最小值. 当a  4 8时，aba2 442 2， d b ab 42 2   因为     21，即d  21 c， c a a2 2 2 d cd c 21 21 cd     所以 ， c2 d2 d  2 1  21 2 42 2 1    c    21 所以abcd  42 2   21. 42 2 21 同理，根据对称性可得，当a 4 8时，aba2 442 2，cd  ， 42 2 即abcd  21. 综上所述，abcd  21. 故答案为： 21. 第 6 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆c2 d2 1上的点到ba 上的点的距 a 离的最小值的求解问题，进而求解. 二．选择题（每题 4分，共 16分） 13. 下列关于集合的符号表述中，正确的是（ ） A. 11,2 B. 3R C. 10,1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合间的关系判断即可. 【详解】对于A， 11,2 ，故A错误； 对于B， 3R，故B错误； 对于C，10,1 ，故C错误； 对于D，空集是任何集合的子集，故D正确. 故选：D. 14. 已知集合 A1,1,2,B  y| y  x2,xA  ，则满足 A  B S A  B 的集合 S 共有（ ） 第 7 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 个 A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B，进而求得AB，AB，进而根据集合间的包含关系求解即可. 【详解】因为A1,1,2 ，B  y| y  x2,xA  1,4 ， 所以AB1 ，A  B1,1,2,4 ， 所以满足条件的集合S为： 1 ， 1,1 ， 1,2 ， 1,4 ， 1,1,2 ， 1,1,4 ， 1,2,4 ，1,1,2,4，共8个. 故选：D. a2 b2 ab ab 2ab 15. 已知集合 p:a 0,b0；q :  ；q :  ab；q : ab  ，则（ ） 1 2 2 2 2 3 ab A. p是q 的充要条件 B. p是q 的充要条件 1 2 C. p是q 的充要条件 D. 以上都不对 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式和重要不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，当a 0,b0时，有a2 b2 2ab（当且仅当a b时等号成立）， 所以2  a2 b2 ab2 ，即 a2 b2    ab  2 ，即 a2 b2  ab ； 2  2  2 2 a2 b2 ab 当a b1时，满足  ，但a0,b0， 2 2 所以p是q 的充分不必要条件，故A错误. 1 ab 对于B，当a 0,b0时，有  ab （当且仅当a b时等号成立）； 2 ab 当a =b=0时，满足  ab 时，但a 0,b0， 2 所以p是q 的充分不必要条件，故B错误； 2 第 8 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ab 对于C，当a 0,b0时，有  ab （当且仅当a b时等号成立）， 2 2 1 2ab 即  ，即 ab  ； ab ab ab 2ab 当a b1时，满足 ab  ，但a0,b0， ab 所以p是q 的充分不必要条件，故C错误. 3 故选：D. 16. 已知实数x，y，z满足x2  y2 z2 xy yzzx1，则下列说法错误的是（ ） 6 6 A. xyz的最大值是 B. x yz的最大值是 6 2 6 C. x的最大值是 D. x y的最大值是 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用判别式非负可判断C选项；利用基本不等式及不等式性质可判断BD选项；利用特例判断A 选项. 【详解】对于C，由x2  y2 z2 xy yzzx1， 整理得，y2 xzyx2 z2 zx10，可以看作关于y的一元二次方程， 所以 xz2 4  x2 z2 zx1  0， 1 即3z2 2xz3x2 40，可以看作关于z的一元二次不等式， 所以 4x2 12  3x2 4  0，解得 6  x 6 ， 2 2 2 6 6 6 当x 时，z  ，y  ， 2 6 6 6 所以x的最大值是 ，故C正确； 2 对于B，由x2  y2 z2 xy yzzx1， 即2  x2  y2 z2 2xy2yz2zx2， 第 9 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 即x y2 xz2 yz2 2， 令a x y，b xz，c yz，则a2 b2 c2 2， abc2 2 即abc2 2abacbc2，即abacbc ， 2 由a2 b2 2ab，当且仅当a b时等号成立， a2 c2 2ac，当且仅当ac时等号成立， b2 c2 2bc，当且仅当bc时等号成立， 所以2  a2 b2 c2 2ab2ac2bc，当且仅当abc时等号成立， 即2  a2 b2 c2 2ab2ac2bc ， 所以abc2 2  a2 b2 c2 abc2 2ab2ac2bc 即abc2 222，即abc2 6， 所以abc 6 ， 即x yxz yz  6 ， 6 6 即x yz  ，当且仅当x y  xz  yz，即x y  z  时等号成立， 2 6 6 对于D，所以x yz的最大值是 ，故B正确； 2 由a2 b2 c2 2，即x y2 xz2 yz2 2， 所以x y2 2，即x y 2， 2 2 当且仅当x= y= ，z 时等号成立， 2 2 所以x y的最大值是 2 ，故D正确； 4 1 17 对于A，取x1，y  ，z  ， 5 10 16 182 17 4 44 17 1 17 则x2  y2 z2 xy yzzx1     1， 25 100 5 50 10 第 10 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )    4  1 17  2 1 17 而xyz 1          ，  5  10  25   2 1 17 6 1212 1725 6 又   ， 25 6 150 而  2  2 1212 17  25 6 144288 17 144176256288 17 1158 1410048 1340964 0 ，   2 1 17 6 所以 xyz   ，故A错误. 25 6 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于多变量的恒等关系，可利用基本不等式进行转化，也可以将其中一个变量看成主 变量，从而可判断方程有解的角度分析问题. 三．解答题（17-19每题 8分，20-21 每题 12分） 17. 求下列方程或不等式的解集： （1） x1 x4  2x3 （2） 5x2  x1 【答案】（1）  x x4或x1   （2） x  5  x1或2 x 5 【解析】 3 3 【分析】（1）分x4，4 x ，  x1，x1四种情况讨论求解即可； 2 2 5x2 0  （2）转化不等式为 ，进而求解即可.  5x2 x12 【小问1详解】 当x4时，方程为x1x42x3 ，即33恒成立，符合题意； 3 当4 x 时，方程为x1x42x3 ，解得x4，舍去； 2 3 当  x1时，方程为x1x42x3 ，解得x1，舍去； 2 第 11 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 当x1时，方程为 x1x42x3 ，即33恒成立，符合题意. 综上所述，方程的解集为  x x4或x1 . 【小问2详解】 由 5x2  x1， 5x2 0  得 ，解得 5  x1或2 x 5，  5x2 x12   所以不等式的解集为 x  5  x1或2 x 5 . 8 1 4 18. 已知正实数x，y满足x y 1，若不等式t   恒成立，求实数t的取值范围． t x y 【答案】  t t 0或1t 8 【解析】 1 4 【分析】先根据基本不等式求得   ，进而分t0和t 0两种情况求解不等式即可.  x y min 1 4 1 4 y 4x y 4x 【详解】因为      x y5  52  9， x y  x y x y x y y 4x 1 2 当且仅当  ，即x ，y  时，等号成立， x y 3 3 1 4 所以   9，  x y min 8 所以t 9， t 8 当t0时，t 0，符合题意； t 当t 0时，t2 89t，解得1t 8. 综上所述，实数t的取值范围为  t t 0或1t 8 ． 19. 已知全集U R，集合 A1,4,Bx|2t3 xt1 ，若 A B，求实数 t 的取值范围．  【答案】1t 3或t 4 【解析】 第 12 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】由A B得BA，再分类讨论讨论B和B，从而得解.  【详解】因为A B，所以BA，  因为A1,4,Bx|2t3 xt1 ， 当B时，2t3t1，则t 4，此时满足BA； 2t31 当B时，t  4，则 ，解得1t 3； t14 综上，1t 3或t 4. 20. 考查关于x的方程x2 (3t)x2t 0． （1）若该方程的两个实数根x，x 满足(x x )x x 6，求实数t的值； 1 2 1 2 1 2 （2）若该方程在区间 0,2 上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围． 【答案】（1）3 （2） 2,0   52 6  【解析】 【分析】（1）根据根的判别式及韦达定理求解即可； 6 6 （2）化简方程为t  x1 5，令m x11m3 ，转化问题为方程5t m 有且仅有 x1 m 一个实数根，进而结合对勾函数图象求解即可. 【小问1详解】 Δ3t2 42t0  由题意，得x x 3t ，即t 52 6或t 52 6， 1 2  x x 2t  1 2 因为(x x )x x 6，所以 3t2t6， 1 2 1 2 解得t 3或4（舍去）， 所以t 3 . 【小问2详解】 由x2 (3t)x2t 0，x0,2 ， x2 3x2 x12 5x16 6 即t    x1 5 x1 x1 x1 第 13 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 6 即5t  x1 ， x1 令m x11m3 ， 6 则5t m ， m 6     因为函数 y  x 在 1, 6 上单调递减，在 6,3 上单调递增， x 且x1时，y 7；x3时，y 5；x 6 时，y 2 6 ，如图， 6 所以要使方程5t m 只有一个实数根， m 则55t 7或5t 2 6， 解得2t 0或t 52 6， 所以实数t的取值范围为 2,0   52 6  ． x1 y1 21. 已知非空实数集S，T 满足：任意xS ，均有 S ；任意 yT ，均有 T ． x y1 （1）直接写出S中所有元素之积的所有可能值； （2）若T 由四个元素组成，且所有元素之和为3，求T ； （3）若S  T 非空，且由5个元素组成，求S  T 的元素个数的最小值． 第 14 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】（1）1或1  1 5 1 5 （2）T 2 5,2 5, ,   2 2  （3）18 【解析】  x1 1  【分析】（1）根据集合S中的元素构成可得集合S中的元素是以x, , 的形式，三个数为一组出  x 1x 现，从而可得结论；  y1 1 1 y （2）根据集合T 中的元素构成可得集合T 中的元素是以y, , , 的形式，四个数为一组出  y1 y 1 y 现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合S,T 的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，从而根据S T 得元素个  数，可确定S  T 的元素个数的最小值． 【小问1详解】 x1 x1 x1 已知非空实数集S满足：任意xS ，均有 S ，且x 在实数范围内无解，所以x ， x x x x1 1 1 1 x 1 1x 所以  S ，又  xS x1 1x 1 x 1x  x1 1  则集合S中的元素是以x, , 的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且0,1S，  x 1x x1 1 又x  1，则S中所有元素之积的所有可能值为1或1； x 1x 【小问2详解】 y1 y1 已知非空实数集T 满足：任意 yT ，均有 T ，且  y y1 y1 y1 1 1 y 1  1 1 y1 1 y 1 y 1 y 所以  T ，且  T ，又  yT y1 y 1 1 y 1 y 1  1 1 y1 y 1 y  y1 1 1 y 则集合T 中的元素是以y, , , 的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且  y1 y 1 y 第 15 页 共 16 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1,0,1T ，  y1 1 1 y 若T 由四个元素组成，则T y, , , ，且所有元素之和为3  y1 y 1 y y1  1 1 y 所以y      3，整理得  y2 4y1  y2  y1  0 y1  y 1 y 1 5 解得 y 2 5或 y  2 1 5 1 5  1 5 1 5 当y 2 5或y 2 5 或y  或y  时，T 2 5,2 5, ,  2 2  2 2   1 5 1 5 综上，T 2 5,2 5, , ；  2 2  【小问3详解】 由（1）（2）集合S,T 的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环， 且当x y时，同一周期内其余元素不相等， 因而3和4互素，所以S和T 中的各组最多只能有一个公共元素， 因为S  T 有五个元素，若要使S  T 的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，  x 1 1 x 1 1  若x , 0 , ,x , 1 , S，此时从S中选出5个元素属于T ，此时T包含20个元素， 0 x 1x 1 x 1x   0 0 1 1 S  T 中包含620521，  y 1 1 1 y y 1 1 1 y  若T y , 0 , , 0 ,y , 1 , , 1，此时从T 中选出5个元素属于S，此时S包含 0 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y   0 0 0 1 1 1 15个元素，S  T 中包含815518， 所以S  T 的元素个数最小值为18. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元  x1 1  素个数关系，例如本题中集合S中的元素是以x, , 的形式，三个数为一组出现，集合T 中的元  x 1x  y1 1 1 y 素是以y, , , 的形式，四个数为一组出现，组和组不相交.  y1 y 1 y 第 16 页 共 16 页