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2020 年全国高考数学真题试卷及解析（上海卷）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合A={1，2，4}，集合B={2，4，5}，则A B= ．
I
n+1
2．计算：lim = ．
n®¥3n-1
3．已知复数z=1-2i(i为虚数单位），则|z|= ．
4．已知函数 f(x)=x3， f¢(x)是 f(x)的反函数，则 f¢(x)= ．
ìx+ y-2…0
ï
5．已知x、y满足íx+2y-3„ 0，则z= y-2x的最大值为 ．
ï
îy…0
1 a b
a b
6．已知行列式 2 c d =6，则 = ．
c d
3 0 0
7．已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab= ．
a +a +¼+a
8．已知数列{a }是公差不为零的等差数列，且a +a =a ，则 1 2 9 = ．
n 1 10 9 a
10
9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，
第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
x2 y2
10．已知椭圆C: + =1的右焦点为F ，直线l经过椭圆右焦点F ，交椭圆C于P、Q
4 3
两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q¢，且满足PQ^FQ¢，求直线l的方程
是 ．
11．设aÎR，若存在定义域为R的函数 f(x)同时满足下列两个条件：
第1页 | 共16页（1）对任意的x ÎR， f(x )的值为x 或x2；
0 0 0 0
（2）关于x的方程 f(x)=a无实数解，
则a的取值范围是 ．
uur uur ur uur uur
12．已知 a ， a ， b ， b ，¼， b (kÎN*)是平面内两两互不相等的向量，满足
1 2 1 2 k
uur uur uur uur
|a -a |=1，且|a -b |Î{1，2}（其中i=1，2， j=1，2，¼，k)，则k的最大值是 ．
1 2 i j
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．下列等式恒成立的是( )
A．a2 +b2„ 2ab B．a2 +b2… -2ab C．a+b…2 |ab| D．a2 +b2„ -2ab
14．已知直线方程3x+4y+1=0的一个参数方程可以是( )
ì x=1+3t ìx=1-4t
A．í (t为参数） B．í (t为参数）
îy=-1-4t îy=-1+3t
ìx=1-3t ìx=1+4t
C．í (t为参数） D．í (t为参数）
îy=-1+4t îy=1-3t
15．在棱长为10的正方体ABCD-ABCD 中，P为左侧面ADDA 上一点，已知点P到AD
1 1 1 1 1 1 1 1
的距离为3，P到AA 的距离为2，则过点P且与AC平行的直线相交的面是( )
1 1
第2页 | 共16页A．AABB B．BBCC C．CCDD D．ABCD
1 1 1 1 1 1
16．命题 p：存在aÎR且a¹0，对于任意的xÎR，使得 f(x+a)< f(x)+ f （a）；
命题q : f(x)单调递减且 f(x)>0恒成立；
1
命题q : f(x)单调递增，存在x <0使得 f(x )=0，
2 0 0
则下列说法正确的是( )
A．只有q 是 p的充分条件 B．只有q 是 p的充分条件
1 2
C．q ，q 都是 p的充分条件 D．q ，q 都不是 p的充分条件
1 2 1 2
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积；
p
（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转 至ABCD ，求线段CD 与平面ABCD所成的角．
2 1 1 1
18．（14分）已知函数 f(x)=sinwx，w>0．
1
（1） f(x)的周期是4p，求w，并求 f(x)= 的解集；
2
p p
（2）已知w=1，g(x)= f2(x)+ 3f(-x)f( -x)，xÎ[0， ]，求g(x)的值域．
2 4
第3页 | 共16页19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除
以时间，车辆密度是该路段一定
q
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v= ，x为道路密度，q为车
x
辆密度．
ì 1
v= f(x)= ï í 100-135 g ( 3 )x,095，求道路密度x的取值范围；
（2）已知道路密度x=80，交通流量v=50，求车辆密度q的最大值．
x2 y2
20．（16分）已知双曲线G : - =1与圆G :x2 + y2 =4+b2(b>0)交于点A(x ，y )（第
1 4 b2 2 A A
第4页 | 共16页一象限），曲线G为G 、G 上取满足x>|x |的部分．
1 2 A
（1）若x = 6，求b的值；
A
（2）当b= 5，G 与x轴交点记作点F 、F ，P是曲线G上一点，且在第一象限，且
2 1 2
|PF |=8，求ÐFPF ；
1 1 2
b2 b
（3）过点D(0, +2)斜率为- 的直线l与曲线G只有两个交点，记为M 、N，用b表示
2 2
uuuur uuur uuuur uuur
OM ON，并求OM ON的取值范围．
g g
21．（18分）已知数列{a }为有限数列，满足|a -a |„ |a -a |„ ¼„ |a -a |，则称{a }
n 1 2 1 3 1 m n
满足性质P．
（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；
（2）若a =1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；
1
（3）若{a }是 1，2，3，¼，m的一个排列(m…4)，{b }符合b =a (k =1，2，¼，
n n k k+1
m-1)，{a }、{b }都具有性质P，求所有满足条件的数列{a }．
n n n
第5页 | 共16页参考答案
1．{2，4}
【解析】因为A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A B={2，4}．故答案为：{2，4}．
I
1
2．
3
1 1
1+ 1+lim
【解析】lim
n+1
=lim
n
=
n®¥n
=
1+0
=
1
，故答案为：
1
．
n®¥3n-1 n®¥ 1 1 3-0 3 3
3- 3-lim
n n®¥n
3． 5
【解析】由z=1-2i，得|z|= 12 +(-2)2 = 5．故答案为： 5 ．
4．3 x
【解析】由 y= f(x)=x3，得 x= 3 y ，把 x与 y互换，可得 f(x)=x3的反函数为
f-1(x)= 3 x．
故答案为：3 x．
5．-1
ìx+ y-2…0
ï
【解析】由约束条件íx+2y-3„ 0作出可行域如图阴影部分，
ï
îy…0
第6页 | 共16页化目标函数z= y-2x为 y=2x+z，由图可知，当直线 y=2x+z过A时，直线在y轴上的
ìx+ y-2=0 ìx=1
截距最大，联立í ，解得í ，即A(1,1)．
îx+2y-3=0 îy=1
z有最大值为1-2´1=-1．故答案为：-1．
6．2
1 a b
a b a b
【解析】行列式 2 c d =6，可得3 =6，解得 =2．
c d c d
3 0 0
故答案为：2．
7．36
【解析】因为四个数的平均数为4，所以a+b=4´4-1-2=13，
2+a
因为中位数是3，所以 =3，解得a=4，代入上式得b=13-4=9，
2
所以ab=36，故答案为：36．
27
8．
8
【解析】根据题意，等差数列{a }满足a +a =a ，即a +a +9d =a +8d，变形可得a =-d，
n 1 10 9 1 1 1 1
9´8d
9a +
a +a +¼+a 1 2 9a +36d -9d +36d 27
所以 1 2 9 = = 1 = = ．
a a +9d a +9d -d +9d 8
10 1 1
第7页 | 共16页27
故答案为： ．
8
9．180
【解析】根据题意，可得排法共有C1C1C2 =180种．
6 5 4
故答案为：180．
10．x+ y-1=0
x2 y2
【解析】椭圆C: + =1的右焦点为F(1,0)，
4 3
直线l经过椭圆右焦点F ，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），
若点Q关于x轴对称点为Q¢，且满足PQ^FQ¢，
可知直线l的斜率为-1，所以直线l的方程是：y=-(x-1)，
即x+ y-1=0．
故答案为：x+ y-1=0．
È È
11．(-¥，0) (0，1) (1，+¥)
【解析】根据条件（1）可得 f(0)=0或 f （1）=1，
又因为关于x的方程 f(x)=a无实数解，所以a¹0或1，
第8页 | 共16页È È
故aÎ(-¥，0) (0，1) (1，+¥)，
È È
故答案为：(-¥，0) (0，1) (1，+¥)．
12．6
uuur uur uuuur uur
【解析】如图，设OA =a ，OA =a ，
1 1 2 2
uur uur uur uur
由|a -a |=1，且|a -b |Î{1，2}，分别以A，A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任
1 2 i j 1 2
意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．
13．B
【解析】A．显然当a<0，b>0时，不等式a2 +b2„ 2ab不成立，故A错误；
B． (a+b)2…0，\a2 +b2 +2ab…0，\a2 +b2… -2ab，故B正确；
Q
C．显然当a<0，b<0时，不等式a+b…2 |ab|不成立，故C错误；
D．显然当a>0，b>0时，不等式a2 +b2„ -2ab不成立，故D错误．
故选：B．
14．B
ì x=1+3t x-1 3
【解析】í (t为参数）的普通方程为： =- ，即4x+3y-1=0，不正确；
îy=-1-4t y+1 4
第9页 | 共16页ìx=1-4t x-1 4
í (t为参数）的普通方程为： =- ，即3x+4y+1=0，正确；
îy=-1+3t y+1 3
ìx=1-3t x-1 3
í (t为参数）的普通方程为： =- ，即4x+3y-1=0，不正确；
îy=-1+4t y+1 4
ìx=1+4t x-1 4
í (t为参数）的普通方程为： =- ，即3x+4y-7=0，不正确；故选：B．
îy=1-3t y-1 3
15．D
【解析】如图，
由点P到AD 的距离为3，P到AA 的距离为2，
1 1 1
可得P在△AAD内，过P作EF //AD，且EF AA于E，EF AD于F ，
1 1 I 1 I
在平面ABCD中，过F 作FG//CD，交BC于G，则平面EFG//平面ADC．
1
连接AC，交FG于M ，连接EM ， 平面EFG//平面ADC，平面AAC Ç平面ADC = AC，
Q 1 1 1 1
平面AAC Ç平面EFM =EM ，\EM //AC．
1 1
在DEFM 中，过P作PN //EM ，且PN FM 于N，则PN //AC．
I 1
线段FM 在四边形ABCD内，N在线段FM 上，\N 在四边形ABCD内．
Q
第10页 | 共16页\过点P且与AC平行的直线相交的面是ABCD．故选：D．
1
16．C
【解析】对于命题q ：当 f(x)单调递减且 f(x)>0恒成立时，
1
当a>0时，此时x+a>x，又因为 f(x)单调递减，所以 f(x+a)< f(x)
又因为 f(x)>0恒成立时，所以 f(x)< f(x)+ f （a），所以 f(x+a)< f(x)+ f （a），
所以命题q Þ命题 p，对于命题q ：当 f(x)单调递增，存在x <0使得 f(x )=0，
1 2 0 0
当a=x <0时，此时x+a0，
当40„ x„ 80时，v最大为85，
1
于是只需令100-135 ( )x >95，解得x>3，
g
3
故道路密度x的取值范围为(3,40)．
（2）把x=80，v=50代入v= f(x)=-k(x-40)+85中，
7
得50=-k 40+85，解得k = ．
g
8
ì 1
100x-135 ( )x x,04000．
8 7 7 7
28800
故车辆密度q的最大值为 ．
7
ìx 2 y 2
ï A - A =1
20．【解析】（1）由x = 6，点A为曲线G 与曲线G 的交点，联立í 4 b2 ，解
A 1 2
ï îx 2 + y 2 =4+b2
A A
得y = 2 ，b=2；
A
（2）由题意可得F ，F 为曲线G 的两个焦点，
1 2 1
由双曲线的定义可得|PF |-|PF |=2a，又|PF |=8，2a=4，
1 2 1
所以|PF |=8-4=4，因为b= 5，则c= 4+5 =3，
2
|PF |2 +|PF |2 -|FF |2
所以|FF |=6，在△PFF 中，由余弦定理可得cosÐFPF = 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2|PF ||PF |
1 g 2
64+16-36 11 11
= = ，由0<ÐFPF 2时，直线l才能与曲线G有两个交点，
A
ìx 2 y 2
ï A - A =1 b4
由í 4 b2 ，可得y2 = ，
A a+b2
ï îx 2 + y 2 =4+b2
A A
b4
所以有4< ，解得b2 >2+2 5或b2 <2-2 5（舍去），
4+b2
uuuur uuur uuuur uuuur uuur
因为OM 为ON在OM 上的投影可得，OM ON =4+b2，
g
uuuur uuur uuuur uuur
所以OM ON =4+b2 >6+2 5，则OM ONÎ(6+2 5，+¥)．
g g
21．【解析】（1）对于数列3，2，5，1，有|2-3|=1，|5-3|=2，|1-3|=2，满足题意，该
数列满足性质P；
对于第二个数列4、3、2、5、1，|3-4|=1，|2-4|=2，|5-4|=1．不满足题意，该数列不
满足性质P．
（2）由题意：|a -aqn |… |a -aqn-1|，可得：|qn -1|… |qn-1-1|，nÎ{2，3，¼，9}，
1 1 1 1
两边平方可得：q2n -2qn +1…q2n-2 -2qn-1+1，
整理可得：(q-1)qn-1[qn-1(q+1)-2]…0，当q…1时，得qn-1(q+1)-2…0此时关于n恒成立，
所以等价于n=2时，q(q+1)-2…0，
所以，(q+2)(q-1)…0，所以q„ -2，或q…1，所以取q…1，
当 0
