文档文本内容
高 2024 级高一下月考数学试题
（总分：150分； 时间：120分钟）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的。
2
1.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是( )
1-i
A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i
2.已知向量⃗ ，⃗ ，则“ ”是“ ”的( )
a=(n,2) b=(-1,2n-4)
n=1 ⃗a//⃗b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知点A(1,0)，B(0,2)，C(3,2)，则⃗AB在⃗AC上的投影向量的坐标为( )
1 1 1 1 1 1 1 1
A. ( , ) B. ( ,- ) C. (- , ) D. (- ,- )
2 2 2 2 2 2 2 2
sin A-2sinB
4.ΔABC中，三边之比a:b:c=2:3:4，则 等于( )
sinC
1 1
A. B. - C. 1 D. -1
2 2
| ⃗ ⃗ |
5.在
ΔABC
中，已知
sin2A+sin2C+cos2B=sinCsin A+1
，且满足 AB
+
AC
=√3
，则
ΔABC
的形
| ⃗ | | ⃗ |
AB AC
状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6.在ΔABC中，AB=2，cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，P为ΔABC所在平面内的动点，且
PA=1 ，则 ⃗ ⃗ 的取值范围是( )
PB⋅PC
3 9 1 11
A. [- , ]B. [3-2√3,3+2√3]C.[- , ]D. [3-√3,3+√3]
2 2 2 2
7.已知 是 内的一点， ⃗ ⃗ ⃗ ， 且 ⃗ ⃗ ，则
M ΔABC 2AM=λAB+(1-λ)AC λ∈R bc=2√2,AB⋅AC=2
1 1
+ 的最小值是( )
S S
△MAB △MAC
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
高一数学第 页，共 页
1 18.如图所示，已知在四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，且点A，B，C，D共圆，点
⃗ ⃗
M，N分别是AD和BC的中点，则 的值为( )
MN⋅BC
36 36 48 48
A. B. - C. D. -
7 7 7 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z =2+3i，z =3-4i，z ，z 在复平面内对应的点分别为Z ，Z ，则( )
1 2 1 2 1 2
A. |z +z |=|z |+|z |
1 2 1 2
B.
|⃗Z Z |=5√2
1 2
C. 满足|z|=|z |的复数z对应的点Z形成的图形的周长是10π
2
D. 满足|z |<|z|<|z |的复数z对应的点Z形成的图形的面积是10π
1 2
10.如图，在直角三角形ABC中，AB=BC=√2，AO=OC，点P是以
⃗ ⃗ ⃗
AC为直径的半圆弧上的动点，若 BP=xBA+ yBC ，则( )
⃗ 1 ⃗ 1 ⃗
A. BO= BA+ BC
2 2
⃗ ⃗
B. 最大值为1+√2
BP⋅BC
⃗ ⃗
C. CB⋅BO=1
D. B，O，P三点共线时，x+ y=2
11.△ABC的三个内角A，B，C 所对边的长分别为a，b，c ，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，
R
r=3，满足acosA+bcosB+ccosC= ，△ABC的面积为6，则( )
3
1
A. sin2A+sin2B+sin2C= B. a+b+c=4
3
1
C. sin A+sinB+sinC= D. R=6
6
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数3-5i，1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直
线上，则实数a的值为 ．
13.“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍
学识渊博、才华横溢的赞叹.李时珍是湖北省蕲春县人，明
高一数学第 页，共 页
2 1代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为
“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示.某数学学习小组为
测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A、B、C，分别测得雕像顶的仰角为60∘、45∘、30∘，
且AB=BC=10√6米，则雕像高为 米.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
14.已知⃗a，⃗b，⃗c为单位向量，且|2a-b|=√7 ，则|3a-c|+|b-c|的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设复数z =1+ai(其中a∈R)，z =2-3i．
1 2
(1)若z +z 是实数，求z ⋅z 的值；
1 2 1 2
若z 是纯虚数，求 ．
(2) 1 |z |
z 1
2
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，且AD=4DC．
(1)求BD的长；
(2)求sin∠BDC的值．
17.(本小题15分)
如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=2BC=2CD=2DA，M为线段BC中点，AM与BD交
于点N，
A D N C B
(1)用⃗AB和⃗AD表示⃗AM；
M
高一数学第 页，共 页
3 1求
|⃗AN|
；
(2)
|⃗NM|
18.(本小题17分)
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且sin2A-sinAsinB ．
△ABC A B C a b c =1
cos2B-cos2C
(1)求C；
(2)若c=√3，a+b=√6，求边AB上的角平分线CD的长；
√3CF-AF
(3)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，CF=6，求 的取值范围．
BF
19.(本小题17分)
若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：① → → ；②存在异于
|AB|=|AC|
→ →
点A的点G使得： → 与 → → 同向且
AG⋅AB
=
√3
|A
→
G|，则称点A，B，C为可交换点组．
AG AB+AC → 2
|AB|
已知点A，B，C是可交换点组．
（1）求∠BAC；
（2）若A（﹣1，0），B(2，√3)，C（x，y）（y＞0），求C的坐标；
高一数学第 页，共 页
4 1→ → 1 → →
（3）记a，b，c中的最小值为min{a，b，c}，若
|AB|=2√3
，AG= (AB+AC)，点P为平面内
3
一点且满足 → ，求min{ → → → → → → }的取值范围．
|PG|=1 PA⋅PB，PB⋅PC，PC⋅PA
高一数学第 页，共 页
5 1
