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专题 06 相似三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A=∠CBD B．∠CBA=∠CDB
C．AB⋅CD=BD⋅BC D．BC2=AC⋅CD
【答案】C
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【详解】∵∠C是公共角，
∴再加上∠A=∠CBD或∠CBA=∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B可证明
△CAB∽△CBD，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明△CAB∽△CBD．
∵∠C=∠C，
CD BC
若再添加 = ，即BC2=AC⋅CD，可证明△CAB∽△CBD，故D可证明△CAB∽△CBD．
BC AC
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
DE 2
2．如图所示，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，并且DE∥BC， = ，△ADE的面
BC 3
积为8，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．18
【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】由相似三角形的判定可得△ADE~△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求
解即可得．
【详解】解： DE∥BC，
△ADE~△A∵BC，
∴
S
△ADE=
(DE) 2
=
4
，
S BC 9
△ABC
∴
S =8，
△ADE
∵ 4
S =8÷ =18，
△ABC 9
∴
故选：D．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
3．如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点F在DE上，CF＝CD，过点F作FG⊥FC交
AD于点G．下列结论：①GF＝GD；②AG＞AE；③AF⊥DE；④DF＝3EF；⑤∠ADF＝30°正确的
是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①③④⑤
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接CG．根据“HL”可证RtΔCFG≌RtΔCDG，利用全等三角形的对应边相等，可得
GF=GD，据此判断①；
（2）根据“ASA”可证ΔADE≌ΔDCG，可得AE=DG，从而可得AG=AE，据此判断②；（3）由
（2）知GF=GD=GA，可证∠AFD=90°，据此判断③；
（4）根据两角分别相等的两个三角形相似，由（3）可证ΔAEF∽ΔDAF∽ΔDEA，可得
EF AF EA 1
= = = ， 从而可得DF=2AF=4EF，据此判断④，
AF DF DA 2
（5）由（4）知DF=2AF，可得AD=√5AF，由此可判断⑤．
【详解】解：（1）连接CG， 如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，
∵FG⊥FC，
∴∠GFC=90°，
在Rt△CFG与Rt△CDG中，CG＝CG，CF＝CD
∴RtΔCFG≌RtΔCDG(HL)，
∴GF=GD，
故①正确．
（2）由（1），CG垂直平分DF，
∴∠EDC+∠2=90°，
∵∠1+∠EDC=90°，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB，∠DAE=∠CDG=90°，
∴ΔADE≌ΔDCG(ASA)，
∴AE=DG，
∵E为AB边的中点，
∴G为AD边的中点，
∴AG=AE，
故②错误．
（3）由（2），得GF=GD=GA，
180°
∴∠AFD=∠AFD+∠GFD= =90°，
2
故③正确．
（4）由（3），可得ΔAEF∽ΔDAF∽ΔDEA，
EF AF EA 1
∴ = = = ，
AF DF DA 2
∴DF=2AF=4EF，
故④正确．
（5）由（4）知DF=2AF，可得AD=√5AF，
∴∠ADF≠30°，故⑤错误．
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识，解
题的关键是熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定和性质与相似三角形的判定与性质．
4．如图，Rt△ABC与Rt△CDE，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC=∠DEC且
1
sin∠BAC= ，连接AE，若BD=2，AD=7，则AE长为（ ）
3
5 7
A． √2 B．3√2 C． √2 D．4√2
2 2
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】先利用勾股定理求出AC，然后证△BCD∽△ACE，接着利用相似三角形的性质和已知条
件即可求出AE的长．
【详解】解：∵BD=2，AD=7，
∴AB=BD+AD=9，
1
在Rt△ABC中，sin∠BAC= ，
3
1
∴BC= AB=3，AC=√AB2−BC2=√92−32=6√2，
3
在Rt△BCA与Rt△DCE中，
∵∠BAC=∠DEC，
∴tan∠BAC=tan∠DEC，
∴BC:AC=DC:CE，
∵∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠BCA−∠DCA=∠DCE−∠DCA，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CAE=∠B，BC:AC=BD:AE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°，3:6√2=2:AE，∴AE=4√2，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过
作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．
5．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，其坐标分别为(−6,0)、(0,−8)，AD=20，
将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．(10,12) B．(−10,−12) C．(−12,10) D．(12,−10)
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、求绕原点旋转90度的点的坐标、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转的规律型，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规
律，过点D作DT⊥x轴于点T，先根据勾股定理求得AB，再利用相似三角形的性质求出点D的坐
标，结合绕点O顺时针旋转90°探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：如图，过点D作DT⊥x轴于点T．
矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，其坐标分别为(−6,0)、(0,−8)，
∴OA=6，OB=8，
∴AB=√OA2+OB2=10，
∵∠ATD=∠AOB=∠BAD=90°，
∴∠DAT+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAT=∠ABO，
∴△ATD∽△BOA，
AD AT DT 20 AT DT
∴ = = ，即 = = ，
AB OB OA 10 8 6∴AT=16，DT=12，
∴OT=AT−OA=16−6=10，
∴D(10，12)，
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点D的坐标为(12,−10)；
则第2次旋转结束时，点D的坐标为(−10,−12)；
则第3次旋转结束时，点D的坐标为(−12,10)；
则第4次旋转结束时，点D的坐标为(10,12)；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2022÷4=505…2，
则第2022次旋转结束时，点D的坐标为(−10,−12)．
故选：B．
6．如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为(−4,2)，
点E的坐标为(−1,1)，则这两个正方形的面积之比为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:9
【答案】C
【知识点】坐标与图形、根据正方形的性质求线段长、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长
比或面积比
【分析】由点A，点E的坐标可知OF=1，OB=4，EF=1，AB=2，进而求得两个正方形的面积
即可求得面积之比．
【详解】解：∵点A的坐标为(−4,2)，点E的坐标为(−1,1)，四边形ABCD和四边形EFOG均是正
方形，
∴OF=1，OB=4，EF=1，AB=2，
则正方形ABCD的面积为：S =AB2=4
ABCD
正方形EFOG的面积为：S =EF2=1，
EFOG
∴两个正方形的面积之比为1:4，
故选：C．【点睛】本题考查的是图形与坐标，正方形的性质，位似变换，理解相关图形的性质是解决问题的
关键．
7．如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）120cm的C
处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（ ）
A．120cm B．80cm C．60cm D．40cm
【答案】B
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可．
【详解】解：如图，过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为x，
由题意得： GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝△AH：（GC−x），
则240：120＝160：（160−x），
解得：x＝80．
答：投射在墙上的影子DE长度为80cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确地构造直角三角形．
BD 1
8．如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕．若 = ，则
CD 2
DM
的值为（ ）
DN1 2 4 5
A． B． C． D．
2 3 5 7
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，由条件可以得
出 △BDM∽△CND,设BD=x,CD=2x,就有BC=AB=AC=3x,设
AM=DM=k,BM=3x−k,根据相似三角形的性质就可以表示出CN、DN，再根据
CN+DN=3x,就可以求出x与k的数量关系，从而求出结论，解答时运用相似三角形的性质建立方
程求解是关键．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠可知：△AMN与△DMN关于MN对称，
∴AM=DM,AN=DN，∠A=∠MDN=60° ，
∴∠BDM+∠CDN=120°，
∵∠BDM+∠BMD=120°，
∴∠BMD=∠CDN，
∵∠B=∠C，
∴△BDM∽△CND，
BD BM DM
∴ = = ,
CN CD ND
BD 1
∵ = ,
DC 2
设BD=x，
∴CD=2x，
∴BC=AB=AC=3x，
设AM=DM=k，
∴BM=3x−k，x 3x−k
∴ = ,
CN 2x
2x2
∴CN= ,
3x−k
3x−k k
∴ = ,
2x DN
2xk
∴DN= ,
3x−k
∵DN+CN=AN+CN=AC=3x，
2x2 2xk
∴ + =3x,
3x−k 3x−k
7
∴k= x,
5
7
2x x
5 7
∴DN= = x,
7 4
3x− x
5
DM AM 7x 4 4
∴ = = × = ,
DN AN 5 7x 5
故选：C．
9．在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点D为线段AB上一点，且BD=5AD，点E是线
段AC上的动点，DE⊥DF交BC所在直线于点F，连接EF，则EF的最小值（ ）
A．6 B．10 C．2√19 D．3√3
【答案】C
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】先根据直角三角形的性质可得BC、AC的长，过D作DG⊥AC垂足为G，DH⊥DG垂足为
D,即ED//BC，然后证得△ADG∽△ABC，再根据相似三角形的性质求得DG的长，再运用勾股定理
求出HG，从而得到EF的最小值．
【详解】解：∵在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12
∴BC=6,AC=6√3
∵AB=12，BD=5AD
∴AD=2,BD=10如图：过D作DG⊥AC垂足为G，DH⊥DG垂足为D
∴四边形DGCH是矩形
∴DG//BC, ，CH=DG
∵DG//BC,
∴△ADG∽△ABC
DG AD 1
∴ = =
BC AB 6
DG 1
∴ = ，解得：DG=1
6 6
∴DE的最小值为1，CH=DG=1
∴BH=BC-CH=6-1=5
∴DH=√102−52=5√3
∴HG=√DG2+DH2=√12+(5√3) 2=2√19
∴由勾股定理得EF2=DE2+DF2，显然当DE和DF最短时，即E和G重合，F和H重合时，EF的最
小值=GH=2√19．
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活
应用相关知识点成为解答本题的关键．
10．如图所示，已知AD:DB=7:2，AC:CE=4:3，则BF:FC=（ ）
A．5:4 B．4:5 C．3:2 D．2:3
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．过C作CG∥AD，交DE于G，根据相似三角形的
判定推出△ECG∽△EAD，△BDF∽△CGF，根据相似得出比例式，根据已知条件即可得出答案．
【详解】解：过C作CG∥AD，交DE于G，
∵CG∥AD，
∴△ECG∽△EAD，
CE CG
∴ = ，
AE AD
CE 3
∵AC:CE=4:3，即 = ，
AE 7
CG 3 AD 7
∴ = ，即 = ，
AD 7 CG 3
∵AD:DB=7:2，
DB 2
∴ = ，
CG 3
∵CG∥BD，
∴△BDF∽△CGF，
DB BF 2
∴ = = ，即BF:FC=2:3，
CG FC 3
故选：D．
11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于E，已知AD=AB，连接BE交AD于
F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④△≝∽△DAE，其中正确的有
（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、根据三线
合一证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】由题意知，CD垂直平分CB，则可判断①；过A作AG⊥BD于G，交BE于H，利用等腰
三角形的性质、外角与内角关系可判断②；设HG=a，利用△BGH∽△BDE，△CDE∽△CGA，
则可得AH=DE，从而证明△≝≌△AHF，则可判断③；由
∠≝=∠DEC=∠EDF+∠EAD>∠EAD，即可判断④．
【详解】解：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CD垂直平分CB，
∴BE=CE，
故①正确；
如图，过A作AG⊥BD于G，交BE于H，
∵AD=AB，
∴DG=BG，∠DAG=∠BAG；
∵AG⊥BD，ED⊥BC，
∴DE∥AG，
∴∠EDA=∠DAG=∠BAG，∠BED=∠BHG；
∵BE=CE，ED⊥BC，
∴∠BED=∠CED，CD=BD；
∴∠CED=∠BHG；
∵∠CAD=∠CED−∠EDA，∠ABE=∠BHG−∠BAG，
∴∠CAD=∠ABE，
故②正确；
设HG=a，
∵DE∥AG，
∴△BGH∽△BDE，△CDE∽△CGA，
HG BG 1 DE CD 2
∴ = = ， = = ，
DE BD 2 AG BG 3
3
∴DE=2a，AG= DE=3a，
2
∴AH=AG−HG=3a−a=2a，
即AH=DE；
∵∠EDA=∠DAG，∠DFE=∠AFH，
∴△≝≌△AHF(AAS)，
∴DF=AF，故③正确；
由∠≝=∠CED=∠EDF+∠EAD>∠EAD，
即△≝∽△DAE不成立，
故④错误．
故正确的有①②③三个；
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似
三角形的判定与性质等知识，通过作等腰三角形底边的垂线，利用三线合一的性质是解题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=12，BA0)的图象交于D，E两点，矩
x
形的顶点A，C在坐标轴上，OD:DE=10:21，∠ODE=90°，若点D的坐标为(2,5)，则下列结
论错误的是（ ）
441 BE 21 25 4
A．S =10 B．S = C． = D．点E的坐标为( , )
△OEC △DBE 20 EC 4 2 5
【答案】A
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合
【分析】先根据题意求得OA=5,AD=2,OD=√OA2+AD2=√29，再根据条件OD:DE=10:21求出
OA AD OD
DE,然后再证明△OAD∽△DBE可得 = = ，进而求得BD、BE，然后求出OC、EC，最后
DB BE DE
逐项排查即可．
【详解】解：∵四边形OABC为矩形，D(2,5)
∴OA=5，AD=2，OD=√OA2+AD2=√29
又∵OD:DE=10:2121
∴DE= √29
10
∵∠ODE=90°
∴∠ODA+∠BDE=90°
又∵∠ODA+∠AOD=90°
∴∠BDE=∠AOD
∵∠OAD=∠DBE=90°,
∴△OAD∽△DBE
OA AD OD 5 2 10
∴ = = ,即 = =
DB BE DE DB BE 21
21 21
∴BD= ，BE=
2 5
21 25 21 4
∴OC=AD+BD=2+ = ，EC=BC-BE=5− =
2 2 5 5
1 1 25 4
∴S OEC= OC·CE= × × =5,故A错误；符合题意；
2 2 2 5
△
1 1 21 21 441
S DEB= BD·BE= × × = ，故B正确；不符合题意；
2 2 2 5 20
△
21
BE 5 21
= = ,故C正确；不符合题意；
EC 4 4
5
25 4 25 4
CO= ，EC= ，则点E的坐标为( , )．正确，不符合题意；
2 5 2 5
故选：A.
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的结合、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活应用
相关知识成为解答本题的关键．
14．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD
交AE于点G，若AB=AE，则FG的长是（ ）
8 2√15 5
A．3 B． C． D．
3 3 2
【答案】B【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，则有BH=EH，由题意易得
AB=AE=AD=BC=4，BE=CE=2，设GF=x，则AG=x，¿=4−x，然后根据相似三角形的
性质与判定可进行求解．
【详解】解：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，
∵AB=AE，
∴BH=EH，∠ABE=∠AEB，
∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB=AE=AD=BC=4，AB∥DC，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=2，
1
∴BH=EH= BE=1，
2
∵AB∥DC，
∴∠B=∠MCE，
∵∠AEB=∠MEC，
∴∠MEC=∠MCE，
∴AE=AB=EM=CM=4，
∵FG∥AD，
∴∠DAF=∠AFG，
∵AF平分∠EAD，
∴∠GAF=∠DAF，
∴∠GAF=∠AFG，
∴AG=GF，
设GF=x，则AG=x，¿=4−x，MG=≥+EM=8−x，
由GF∥AD∥BC，
∴△MGF∽△MEC，
EC EM
∴ = ，
FG MG
2 4
∴ = ，
x 8−x
8
解得x= ．
3
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定
及菱形的性质是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且
∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．以下结论错误的
是（ ）
1
A．AB=√2 B．当点E与点B重合时，MH=
2
1
C．AF+BE=EF D．MG⋅MH=
2
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明、根据矩形的性质与判定求线段
长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】A由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
B如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一
步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
C如图2所示，根据SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
D易证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AE⋅BF=AC⋅BC=1，由题意知四边形
CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到√2 √2 1 1 1
MG•MH= AE× BF= AE•BF= AC•BC= ，依此即可作出判断.
2 2 2 2 2
【详解】解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=√AC2+BC2=√2 ，故A正确；
如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC,∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC,∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
1
∴GC= AC=MH，故B正确；
2
如图2所示，
∵AC=BC,∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．
将△ACF绕点C顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD,∠1=∠4,∠A=∠6=45°,BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，¿
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故C错误；
∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
AE AC
∴ = ，
BC BF
∴AE⋅BF=AC⋅BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC,MH=CG,MH∥AC，
CH AE CG BF
∴ = ； = ，
BC AB AC AB
MG AE MH BF
即 = ； = ，
1 √2 1 √2
√2 √2
∴MG= AE,MH= BF，
2 2
√2 √2 1 1 1
∴MG•MH= AE× BF= AE•BF= AC•BC= ，
2 2 2 2 2
故D正确．
故选C．
【点睛】此题是三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和
性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角
形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
二、填空题16．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE,BD相交于点F，则△≝¿的周长与△BCF
的周长之比C ．
△≝¿:C =¿
△BCF
【答案】1:2
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．由四边形ABCD是平行四边形，
点E是AD的中点得△≝∽△BCF且DE:BC=1:2，再根据周长比等于相似比即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ BC=AD,AD∥BC
∵点E是AD的中点
1
∴DE= AD
2
∴DE:BC=1:2
∵AD∥BC
∴△≝∽△BCF
∴ C ．
△≝¿:C =1:2¿
△BCF
故答案为：1:2．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AC的中点，点E是BC上一点，
AE与BD交于点F．若∠BFE=45°，则DF的长为 ．
2√5
【答案】
5
【知识点】三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据三角形外角的性质可以得出，∠DAF=∠ABD，从而得到△ADF∽△BDA，根据勾
股定理求出BD的长，从而可以求得DF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，根据三角形外
角和定理得出三角形相似，再根据勾股定理求出各边的长是本题解题的关键．
【详解】解：∵∠AFD=∠BFE=45°，∴∠ABD+∠BAF=45°，
又∵∠BAF+∠DAF=∠DAB=45°，
∴∠DAF=∠ABD，
又∵∠ADF=∠ADB，
∴△ADF∽△BDA，
AD DF
∴ = ，
BD AD
AD2
∴DF= ，
BD
∵D是AC中点，
∴AD=CD=2，
在Rt△BCD中，BD=√CD2+BC2=2√5，
4 2√5
∴DF= = ．
2√5 5
2√5
故答案为： ．
5
18．如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE=2，EC=3，则
BF
的值为 ．
BD
2
【答案】
7
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质．由平行四边形的性质可得
BF BE
AD∥BC，AD=BC=5，证明△BEF∽△DAF得出 = ，代数数值进行计算即可．
DF AD
【详解】解：∵BE=2，EC=3，
∴BC=BE+CE=2+3=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴△BEF∽△DAF，BF BE 2
∴ = = ，
DF AD 5
BF 2
∴ = ，
BD 7
2
故答案为： ．
7
19．如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=3，点D是AB边上一点（点D不与点A，B重合），连
接CD，将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连接A′B，当∠A′BC=90°时，AD的长为
．
5√34 5√34
【答案】 或
14 6
【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，分情况讨论即可．
【详解】解：①如图所示，设A′C，AB交于E，
在Rt△ABC中，AC=5，BC=3，∠ACB=90°，
∴AB=√AC2+BC2=√34，
由折叠的性质可得A′C=AC=5，A′D=AD，∠DA′E=∠A，
在Rt△A′BC中，由勾股定理得A′B=√A′C2−BC2=4，
∵∠ACB+∠A′BC=180°，
∴AC∥A′B，
∴△ACE∽△BA′E，∠A=∠A′BD，
BE A′B 4
∴ = = ，
AE AB 5
20
∴A′E=A′C=
，
9
∵∠DA′E=∠DBA′=∠A，∠A′DE=∠BDA′，
∴△DA′E∽△DBA′，4 √34−AD
A′B BD =
∴ = ，即20 AD ，
A′E A′D
9
5√34
解得AD= ，
14
②如图所示，过D作DE⊥A′B，交A′B于点E，
∴∠DEB=90°，
由于折叠，∠A=∠DA′C，A′C=AC=5，A′D=AD，
∵在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，AC=5，BC=3，
∴AB=√34，
∵△A′BC是直角三角形，即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∴A′B=4，
∵∠A′BC=∠ACB=90°，
∴AC∥A′B，
∴∠A=∠DBE，
∴△ABC∽△BDE，
AB BC AC
∴ = = ，
BD DE BE
AB BC AC
设 = = =x，即AB=xBD，BC=xDE，AC=xBE，
BD DE BE
√34 3 5
∴BD= ,DE= ,BE= ，
x x x
∵∠DEB=∠FBA′=90°，∠BA′F=∠EA′D，
∴△A′BF∽△A′DE，
A′B A′F′ BF
∴ = = ，
A′E A′D DE
A′B⋅DE 12
∴BF= = ，
A′E 4x+5∵在Rt△A′BF中，A′B2+BF2=A′F2，
4√9+(4x+5) 2
∴A'F= ，
4x+5
√34
∵A′D=AD=AB−BD=√34−
，
x
4√9+(4x+5) 2
4 4x+5
∴ = ，
5 √34
4+ √34−
x x
解得：x=6，
5√34
∴AD=A′D=
，
6
5√34 5√34
故答案为： 或 ．
14 6
20．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中点E，连接BE，过点C作BE的垂线，交
BE的延长线于点D，若BD=8，DC=2，则DE的长为 ．
13
【答案】
8
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定
与性质综合
【分析】作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足为点M、N．先由勾股定理求得BC的长，再由等腰三角
形“三线合一”与三角形中位线的逆定理可求得BM、MN的长，从而可知BN的长，最后利用△BNE∽△BDC可求得DE的长．
【详解】解：如图，过点A、点E分别作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足为点M、N．则AM∥EN，
∵∠BDC=90°，BD=8，DC=2，
∴BC=√BD2+DC2=√82+22=2√17．
∵AB=AC，AM⊥BC，
1
∴BM=CM= BC=√17，
2
∵E为AC的中点，AM∥EN，
1 √17
∴MN=CN= CM= ．
2 2
3√17
∴BN=BM+MN= ，
2
设DE=x，则BE=BD−DE=8−x．
∵∠BNE=∠BDC=90°，∠EBN=∠CBD，
∴△BNE∽△BDC，
3√17
BE BN
∴ = ，即： 8−x 2 ，
BC BD =
2√17 8
∴8(8−x)=51，
13
解得：x= ．
8
13
即：DE= ．
8
13
故答案为： ．
8
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理的逆定理、相似三角形的性质、勾
股定理等，解题的关键作出恰当的辅助线．
21．将边长为√5的正方形ABCD和边长为√2的正方形CEFG如图摆放，点G恰好落在线段DE上，
连接BE，则BE= ．【答案】√13
【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】连接BD，BG，设DC和BG相交于点O，利用△BOD∽△COG求出线段BO、OC、OD、
OG，在RT△BGE中利用勾股定理即可求BE．
【详解】解：（1）如图，连接BD，BG，设DC和BG相交于点O，
∵四边形ABCD、四边形CGEF都是正方形，
∴BC=CD=√5，CG=CE=√2，∠BCD=∠GCE=90°，∠DEC=∠CGE=45°，∠BDC=45°，
∴BD=√10，GE=2，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
¿，
∴△BCG≌△DCE，
∴∠BGC=∠DEC=45°，
∴∠BGE=∠BGC+∠CGE=90°，
∵∠DOB=∠GOC，∠BDO=∠OGC，
∴△BDO∽△CGO，
BD BO DO √10
∴ = = = ，
CG OC DG √2
设OC=k，则BO=√5k，
∵BO2=OC2+BC2，
∴5k2=5+k2，
√5
∴k= ，
2√5
∴OC=OD= ，BO=2.5，OG=0.5，
2
∴BG=BO+OG=3，
在Rt△BGE中，BG=3，EG=2，
∴BE=√BG2+GE2=√13，
故答案为√13．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、以及勾股定理的运用，正
确添加辅助线，灵活运用三角形全等或相似是解题的关键．．
22．如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作
NE⊥AM于点E，连接MN．请探究下列问题：
（1）sin∠ANE= ；
（2）当△NEM∽△ABM时，AN= ．
√5
【答案】（1） ；（2）5
5
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求角的正弦值
【分析】本题考查了求一个角的正弦值以及相似三角形的性质．（1）根据
∠BAM+∠MAD=90°,∠MAD+∠ANE=90°可得∠BAM=∠ANE，
BM
sin∠ANE=sin∠BAM= ，据此即可求解；（2）由△NEM∽△ABM可得
AM
∠NME=∠MAN, MN=AN，据此即可求解．
【详解】解：（1）在Rt△ABM中，AM=√AB2+BM2=2√5．
∵AB⊥AD,NE⊥AM，
∴∠BAM+∠MAD=90°,∠MAD+∠ANE=90°，
BM √5
∴∠BAM=∠ANE，sin∠ANE=sin∠BAM= = ．
AM 5
√5
故答案为：
5
（2）当△NEM∽△ABM时，∠BMA=∠NME．
∴∠NME=∠MAN,∴MN=AN
∵∠BMA=∠MAN,．
又∵NE⊥AM，
AE BM √5
∴AE=ME=√5．由（1）知 = = ,
AN AM 5
∴AN=5．
故答案为：5
23．如图，在Rt△ABC中，AB=AC=3，点D在AB上，BD=1，作DE∥BC交AC于点E，连接
CD，点F是CD的中点，则EF= ．
√5
【答案】
2
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判
定与性质综合
【分析】作DG∥EF交AC于G，根据平行线的性质和等边对等角得到∠ADE=∠AED，得到
FC EC EF 1
AE=AD=2，CE=AC−AE=1，然后证明出△CEF∽△CGD，得到 = = = ，然后
DC GC DG 2
求出∴CE=≥=1，AG=1，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作DG∥EF交AC于G，
∵AB=3 BD=1
， ，
∴AD=2，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB
∵AB=AC=3，
∴∠B=∠ACB
∴∠ADE=∠AED
∴AE=AD=2，CE=AC−AE=1
∵DG∥EF，点F是CD的中点，∴△CEF∽△CGD
FC EC EF 1
∴ = = =
DC GC DG 2
FC 1 EF 1
∴ = = =
DC GC DG 2
∴GC=2，DG=2EF
∴CE=≥=1，
∴AG=1，
在Rt△ADG中，由勾股定理得DG=√AD2+AG2=√5，
1 √5
∴EF= DG= ．
2 2
√5
故答案为： ．
2
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等边对等角性质，三角形中位线的性质，
平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
24．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，△ADE与△ABC的面积分别为S ，
△ADE
S ，则S :S = ．
△ABC △ADE △ABC
【答案】1:4
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合
1
【分析】根据三角形中位线定理得到 DE∥BC, DE= BC,得到△ADE∽△ABC,根据相似三
2
角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比
的平方是解题的关键．
【详解】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
1
∴DE∥BC,DE= BC,
2
∴△ADE∽△ABC,
(DE) 2 1
∴S :S = = ,
△ADE △ABC BC 4故答案为：1:4．
25．如图，一束光线从点A(−2,5)出发，经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n)，则2m−n
的值是 ．
【答案】−1
【知识点】求点到坐标轴的距离、相似三角形的判定与性质综合
【详解】∵点A(−2,5)关于y轴的对称点为A′(2,5)，
∴反射光线所在直线过点B(0,1)和A′(2,5)．
设A′B的表达式为y=kx+1，易得A′B的表达式为y=2x+1．
∵反射后经过点C(m,n)，
∴2m+1=n，
∴2m−n=−1．
三、解答题
26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，DE为AC边上的中线．
(1)若∠EDA=3∠BAD，求∠C的度数；
(2)若tan∠EDA=4，AB=5，求点A到BC的距离．
【答案】(1)22.5°
20√17
(2)
17
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性
质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到AE=DE=CE，可得∠EAD=∠EDA，结合
∠EDA=3∠BAD，从而求出∠BAD=22.5°，再根据同角的余角相等，得出答案；CD
（2）根据正切的定义得到tan∠EDA=tan∠EAD= =4，设AD=x，则CD=4x，证明
AD
△ACD∽△BCA，求出AC，再用勾股定理求出BC，最后利用面积法求解即可．
【详解】（1）解：∵AD⊥BC，DE为AC边上的中线，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴AE=DE=CE，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠EDA=3∠BAD，
∴∠EAD=3∠BAD，
∵∠BAC=90°，
∴3∠BAD+∠BAD=90°，
∴∠BAD=22.5°，
∴∠C=∠BAD=22.5°；
（2）解：由（1）可知：∠EAD=∠EDA，
CD
∴tan∠EDA=tan∠EAD= =4，
AD
设AD=x，则CD=4x，
∵∠BAC=∠ADC=90°，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
AD CD x 4x
∴ = ，即 = ，
AB AC 5 AC
∴AC=20，
∴BC=√AB2+AC2=5√17，
1 1
∴S = ×AB×AC= ×BC×AD，
△ABC 2 2
AB×AC 20√17
∴AD= = ，
BC 17
20√17
即点A到BC的距离为 ．
17
AF AD
27．如图，已知：点D、F在△ABC边AB上，点E边AC上，且DE∥BC， = ．
DF DB(1)求证：EF∥DC；
EF 2
(2)如果 = ，S =4，求S 的值．
CD 3 △AEF △ABC
【答案】(1)见解析
27
(2)S =
ΔABC 2
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，
AD AE AF AD AF AE
（1）根据平行线分线段成比例得到 = ，然后结合 = 即可得到 = ，进而求解
DB EC DF DB DF EC
即可；
（2）首先证明△AEF∽△ACD，然后结合
EF
=
2
得到
S
△AEF =
(EF) 2
=
4
，求出S =9，作
CD 3 S CD 9 △ACD
△ACD
1
CH⋅AD
S 2 AD
CH⊥AB，垂足为点H，然后得到 △ACD= = ，然后利用平行线分线段成比例得到
S 1 AB
△ABC CH⋅AB
2
AD EF 2
= = ，进而求解即可．
AB CD 3
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ，
DB EC
AF AD
∵ = ，
DF DB
AF AE
∴ = ，
DF EC
∴EF∥DC；
（2）∵EF//CD，
∴△AEF∽△ACD，EF 2
∵ = ，
CD 3
∴
S
△AEF =
(EF) 2
=
4
，
S CD 9
△ACD
∵S =4，
△AEF
∴S =9，
△ACD
作CH⊥AB，垂足为点H，
1
CH⋅AD
S 2 AD
则 △ACD= = ，
S 1 AB
△ABC CH⋅AB
2
∵EF∥CD，
EF AE
∴ = ，
CD AC
∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ，
AB AC
AD EF 2
∴ = = ，
AB CD 3
S AD 2
∴ △ACD= = ，
S AB 3
△ABC
27
∴S = ．
△ABC 2
28．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见
木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城
墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经
过点A，问FH多少里？
【答案】1.05里
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得
答案即可．【详解】∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，
∴△GEA∽△AFH，
GE AE
∴ = ．
AF HF
∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，
∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，
15 4.5
∴ = ，
3.5 HF
∴FH＝1.05里．
【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
29．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别为边CB、AD延长线上的点，连接EF，
∠ABE=∠CDF．
(1)如图1，求证：∠E=∠F；
(2)如图2，连接BD，∠BDC=90°，请直接写出图2中与∠DBC互余的所有角．
【答案】(1)详见解析
(2)∠ABE，∠C，∠A，∠CDF
【知识点】求一个角的余角、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，互余关系：
（1）根据AB∥CD，得到∠CDF=∠A，进而得到∠ABE=∠A，得到AF∥CE，即可得证；
（2）易得∠DBC+∠C=90°，再根据已知条件，和平行线的性质，进行推导即可．
【详解】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠A，
∵∠ABE=∠CDF，
∴∠ABE=∠A，
∴AF∥CE，
∴∠E=∠F；
（2）∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABE，∵∠A=∠ABE=∠CDF，
∴∠C=∠A=∠ABE=∠CDF，
∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠C=90°，
∴∠DBC+∠A=90°,∠DBC+∠ABE=90°,∠DBC+∠CDF=90°，
∴与∠DBC互余的角为：∠ABE，∠C，∠A，∠CDF．
30．小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
(1)如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP=∠B，
求证：△ACP∽△ABC；
(2)如图2，已知∠A=81°，AC2=AB⋅AD，BC=BD，求∠ABC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)66°
【知识点】三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查相似三角形，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判
定．
（1）根据相似三角形的判定定理求解即可；
（2）首先证明出△ACB∽△ADC，然后利用相似三角形的性质得到∠ACB=∠D，然后利用三角
形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC；
（2）∵AC2=AB⋅AD，
AC AD
∴ = ，
AB AC
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
∴∠ACB=∠BCD=∠D，∵∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，
∴3∠ACB+81°=180°，
解得∠ACB=33°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠ACB=66°．
31．如图1，点D为△ABC内一点，联结BD，∠CBD=∠BAC，以BD、BC为邻边作平行四边
形DBCE，DE与边AC交于点F，∠ADE=90°．
(1)求证：△ABC∽△CEF；
(2)延长BD，交边AC于点G，如果CE=FE，且△ABC的面积与平行四边形DBCE面积相等，求
AG
的值；
GF
(3)如图2，联结AE，若DE平分∠AEC，AB=5，CE=2，求线段AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)AE=5√2−2
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的
一半、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据平行的性质推导出∠E=∠BAC，即可证明；
（2）延长AD交BC于点H，由题意可得AH=2DH，，再由（1）可得∠ABC=∠ACB，从而得
DF GF 1
到△ABC是等腰三角形，H是BC的中点，由DF∥BC，可得 = = ，则AG=2GF，即可
BC GC 4
AG
求 =2；
GF
（3）延长BD交AE于点N，交AC于点M，根据平行四边形的性质和角平分线的定义，可得
∠NDE=∠DEA，则DN=EN，再由∠ADE=90°，可知N是AE的中点，M是AC的中点，求出
5 BC AC
= = 5√2
MN=1，证明△ABC∽△BMC，则有BM 1 BC，可求BM= ，再求
AC 2
25√2
DN=BM−BD+MN= −1，由此即可求出AE=2DN=5√2−2．
2
【详解】（1）解：证明：∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴∠ACB=∠EFC，∠CBD=∠E，
∵∠CBD=∠BAC，
∴∠E=∠BAC，
∴△ABC∽△CEF；
（2）解：延长AD交BC于点H，
∵△ABC的面积与平行四边形DBCE面积相等，
1
∴ ×BC×AH=BC×DH，
2
∴AH=2DH，
∵CE＝FE，
∴∠EFC=∠FCE，
∵△ABC∽△CEF，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴H是BC的中点，
1 1
∴DF= HC,HC= BC，
2 2
∵DF∥BC，
DF GF 1
∴ = = ，
BC GC 4
∴CF=3GF，
∵AF=FC，
∴AG=2GF，
AG
∴ =2；
GF（3）解：延长BD交AE于点N，交AC于点M，
∵DE平分∠AEC，
∴∠AED=∠CED，
∵BD∥CE，
∴∠NDE=∠DEC，
∴∠NDE=∠DEA，
∴DN=EN，
∵∠ADE=90°，
∴N是AE的中点，
∵MN∥CE，
∴M是AC的中点，
∵CE=2，
∴MN=1，
∵∠CBD=∠BAC，
∴△ABC∽△BMC，
AB BC AC
∴ = = ，
BM CM BC
∵AB=5，CE=2，
5 BC AC
= =
∴BM 1 BC，
AC
2
AC
∴ =√2，
BC
5√2
∴BM= ，
2
5√2
∴DN=BM−BD+MN= −1，
2
∴AE=2DN=5√2−2．
【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，中位线的性质是解题的关键．
32．已知：在△ABC中，点D是边BC上任意一点（不与点B、C重合）．
(1)如图1，联结AD，S :S =__________；（用图中已有线段表示）
△ABD △ADC
(2)如图2，O是线段AD上任意一点（不与点A、D重合），联结BO、CO，试猜想S 与S
△BOC △ABC
之应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
【答案】(1)BD:DC
(2)S :S =OD:AD，见解析
△BOC △ABC
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查三角形的面积计算以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质
是解题关键．
（1）作AE⊥BC于E点，根据三角形的面积公式表示出△ABD和△ADC的面积，即可求出
S :S ；
△ABD △ADC
（2）在（1）的基础之上，作OF⊥BC于F点，分别表示△BOC和△ABC的面积，得出
S OF OF OD
△BOC = ，然后确定△ODF∽△ADE，得出 = ，即可得出结论．
S AE AE AD
△ABC
【详解】（1）解：如图所示，作AE⊥BC于E点，
1 1
∵S = BD⋅AE，S = DC⋅AE，
△ABD 2 △ADC 2
1
BD⋅AE
S 2 BD
∴ △ABD = = ，
S 1 DC
△ADC DC⋅AE
2
故答案为：BD:DC；S OD
（2）解： △BOC = ，理由如下：
S AD
△ABC
如图所示，作AE⊥BC于E点，作OF⊥BC于F点，
1 1
∵S = BC⋅OF，S = BC⋅AE，
△BOC 2 △ABC 2
1
BC⋅OF
S 2 OF
∴ △BOC = = ，
S 1 AE
△ABC BC⋅AE
2
∵AE⊥BC,OF⊥BC，
∴OF∥AE，
∴△ODF∽△ADE，
OF OD
∴ = ，
AE AD
S OD
∴ △BOC = ．
S AD
△ABC
16
33．已知△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC，AB=8，AC= ．点D、E分别是边BC、
3
AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠ADE=∠ABC，AD、BG相交于点F．
(1)求BC的长；
(2)如图1，如果BF=2CE，求BF：GF的值；
(3)如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD长．
【答案】(1)10
27
(2)BF:FG=
832
(3)BD=
5
【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据角平分线的定义，得到∠C=∠CBG=∠ABG，进而得出BG=CG，证明
AB AG BG 20
△ABG∽△ACB，得到 = = ，求出AC=12，进而得到BG=CG= ，即可求出BC的
AC AB BC 3
长；
（2）由△ABG∽△ACB得到∠AGB=∠ABC，进而得出∠AFG=∠AED，证明
AB AF BF
△ABF∽△DCE，得到 = = =2，求出CD=4，BD=6，过点G作GH∥BC交AD于点
CD DE CE
16
H，得到△BDF∽△GHF，△AHG∽△ADC，求出GH= ，即可得出比值；
9
（3）根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出∠AGB=∠ABC=∠ADE=∠AED，
4 FG AG
AF=BF=AG,进而得出GF= ，证明△AFG∽△ADE，△CDE∽△CBG，得到 = ，
3 DE AE
DE CD 12 18
= ，先求出DE= ，再求出CD= ，即可得到BD长．
BG BC 5 5
【详解】（1）解：∵BG平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBG=2∠ABG，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠CBG=∠ABG，
∴BG=CG，
∵∠BAG=∠CAB，∠ABG=∠ACB，
∴△ABG∽△ACB，
AB AG BG
∴ = = ，
AC AB BC
16
∵AB=8，AG= ，
3
AB2
∴AC= =12，
AG
16 20
∴CG=AC−AG=12− = ，
3 3
20
∴BG= ，
3AB⋅BG
∴BC= =10；
AG
（2）解：由（1）可知，△ABG∽△ACB，
∴∠AGB=∠ABC，
∵∠ADE=∠ABC，
∴∠AGB=∠ADE，
∵∠FAG=∠DAE，
∴∠AFG=∠AED，
∵∠AFG+∠AFB=180°，∠AED+∠CED=180°，
∴∠AFB=∠CED，
∵∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△DCE，
AB AF BF
∴ = = =2，
CD DE CE
∵AB=8，
∴CD=4，
∴BD=BC−CD=10−4=6，
如图，过点G作GH∥BC交AD于点H，
∴△BDF∽△GHF △AHG∽△ADC
， ，
BF BD GH AG
∴ = ， = ，
GF GH CD AC
AG⋅CD 16
∴GH= = ，
AC 9
BF BD 6 27
= = =
GF GH 16 8 ，
9
∴BF:GF=27:8；
（3）解：△ADE是以AD为腰的等腰三角形，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵△ABG∽△ACB，
∴∠AGB=∠ABC，∵∠ADE=∠ABC，
∴∠AGB=∠ABC=∠ADE=∠AED，
∴DE∥BG，
∴∠AFG=∠ADE=∠AED=∠AGF，
∴AF=AG，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴CE=DE，
∵△ABF∽△DCE，
∴AF=BF=AG，
20 16 4
∴GF=BG−BF=CG−AG= − = ，
3 3 3
∵DE∥BG，
∴△AFG∽△ADE，△CDE∽△CBG，
FG AG DE CD
∴ = ， = ，
DE AE BG BC
∴DE⋅AG=FG⋅AE=FG⋅(AC−CE)=FG⋅(AC−DE)，
12
∴DE= ，
5
15
×10
DE⋅BC 2 18
∴CD= = = ，
BG 20 5
3
18 32
∴BD=BC−CD=10− = ．
5 5
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对
应边成比例是解题关键．
34．在矩形ABCD中，E是AB边上一点，连接CE，将△BCE沿CE翻折得到△FCE．(1)如图1，若AB=6，BC=8，当点F在矩形对角线AC上时，求BE的长．
(2)如图2，当点F在AD上时，CF=2EF，求证：AB=2AF．
CD 3 FH
(3)如图3，若 = ，延长EF，与∠DCF的平分线交于点G，CG交AD于点，求 的值．
BC 4 AD
8
【答案】(1)BE=
3
(2)见解析
√7
(3)
7
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形
的判定与性质综合
【分析】（1）设BE=x，根据折叠的性质可得CF=CB=8、EF=BE=x、AE=AB−BE=6−x，
再根据勾股定理可得AC=10，进而得到AF=2，最后在Rt△AEF中运用勾股定理即可解答；
（2）由矩形的性质可得∠A=∠D=∠B=90°、AB=CD，再结合折叠的性质可得
AF EF
∠AFE=∠DCF，进而说明△AEF∼△DFC即 = ，最后结合CF=2EF即可证明结论；
CD FC
（3）如图，过点H作HM⊥CF于点M，再证Rt△DCH≅Rt△MCH(AAS)可得CM=CD，进而
得到FM=CF−CM=CF−CD；设CD=3x、BC=4x，则CF=BC=4x、FM=x， 运用勾股
4√7x
定理可得DF=√7x；设FH=m，则DH=MH=√7x−m，运用勾股定理可得FH= ，最后
7
代入即可解答．
【详解】（1）解：设BE=x，根据折叠的性质可得CF=CB=8，EF=BE=x，
∴AE=AB−BE=6−x，
在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√62+82=10，
∴AF=AC−CF=2，
在Rt△AEF中，AE2=AF2+EF2，
8 8
∴(6−x) 2=22+x2，解得x= ，即BE= ．
3 3
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠B=90°，AB=CD，
∴∠DFC+∠DCF=90°，
根据折叠的性质可得：∠CFE=∠B=90°，
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AFE=∠DCF，∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∼△DFC，
AF EF
∴ = ，
CD FC
∵CF=2EF，
∴CD=2AF，
∴AB=2AF．
（3）解：如图，过点H作HM⊥CF于点M.
∵CG平分∠DCF，∠D=90°，
∴∠DCH=∠MCH，DH=MH.
∵∠HMC=∠D=90°，
∴Rt△DCH≅Rt△MCH(AAS)，
∴CM=CD，
∴FM=CF−CM=CF−CD.
CD 3
∵ = ，
BC 4
∴设CD=3x，BC=4x，
根据折叠的性质可得：CF=BC=4x，
∴FM=x，
在Rt△CDF中，DF=√CF2−CD2=√(4x) 2−(3x) 2=√7x，
设FH=m，则DH=MH=√7x−m，
在Rt△FMH中，FH2=FM2+M H2，
4√7x
∴m2=x2+(√7x−m) 2 ，解得m= ，
7
4√7x
∴FH=
74√7x
∴FH 7 √7．
= =
AD 4x 7
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三
角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
35．【背景】如图（1），点E，F分别是正方形ABCD的边AD,AB的中点，CE与DF相交于点
1
P，连接BP．同学们在研究图形时，作DH∥BP交CE于点H，发现：DH= BP．他们通过作三
2
1
角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段DH相等的线段，得到了多种方法证明DH= BP成
2
立．
【猜想】（1）若把正方形ABCD改成平行四边形ABCD，其余条件不变，如图（2），结论
1
DH= BP是否还成立？请说明理由．
2
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接BH，那么四边形BHDP的面积和△BPF的面积有什么关系？
请说明理由．
【答案】（1）成立，理由见解析（2）四边形BHDP的面积=△BPF面积，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、与三
角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）延长CE交BA的延长线于点N，取NP的中点M，连接AM，证明
1
△AEN≌△DCE(AAS)，推出AM为△PBN的中位线，得到AM∥PB,AM= PB，证明
2
△DEH≌△AEM(AAS)，即可得证；
（2）连接BD,AP,BH，证明△PCD∽△PNF，推出S :S =2:3，根据
△PBD △PFB
1
DH∥PB,DH= PB，得到S :S =1:2，设S =x，则S =2x，求出四边形BHDP
2 △DHB △PDB △DHB △DPB
的面积和△BPF的面积即可得出结果．【详解】解：（1）成立；
理由：延长CE交BA的延长线于点N，取NP的中点M，连接AM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD，
∴∠N=∠ECD,∠EDC=∠NAE，
又∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∴△AEN≌△DEC(AAS)，
∴AN=DC，
∴AN=AB，
∵MN=MP，
∴AM为△PBN的中位线，
1
∴AM∥PB,AM= PB，
2
∵DH∥PB，
∴AM∥DH，
∴∠DHE=∠AME,∠EDH=∠EAM，
∵AE=ED，
∴△DEH≌△AEM(AAS)，
∴DH=AM，
1
∴DH= BP；
2
（2）四边形BHDP的面积=△BPF面积．
理由：连接BD,AP,BH，
∵F为AB的中点，
1 1
∴AF= AB= AN，
2 2
2
∴AN= NF，
3
∵AB∥CD,AN=CD，∴△PCD∽△PNF，
CD PD 2
∴ = = ，
NF PF 3
∴S :S =2:3，
△PBD △PFB
1
∵DH∥PB,DH= PB，
2
∴S :S =1:2，
△DHB △PDB
设S =x，则S =2x，
△DHB △DPB
∴S =3x，
△PFB
∵S =S +S =3x，
四边形BHDP △DHB △DPB
∴S =S ．
四边形BHPD △BPF
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角
形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等和相似三角形，是解题的关键．
【能力提升】
36．如图，已知平行四边形ABCD中，AD=√5，AB=5，BD⊥AD，点E在射线AD上，过点E
作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，连接CE、CF，设AE=m．
(1)当点E在边AD上时，
①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）
②当S =4S 时，求AE:ED的值；
△DCE △BFG
(2)当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．
【答案】(1)① S =2√5m−m2；② AE:ED的值为3；
△CEF
3√5 6√5
(2)m的值为 或 ．
2 5
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解
直角三角形的相关计算
AE EF
【分析】（1）①先证明△AEF∽△ADB，BD=√AB2−AD2=√52−(√5) 2=2√5， = ，
AD DBm EF
即 = ，则EF=2m，再用勾股定理表示出AF，再判断出△AEF∽△BGF，得出比例式表示
√5 2√5
出CG，即可得出结论；
②先表示出FG，再用S =4S ，建立方程求出m，即可得出结论；
△DCE △BFG
1 √5
（2）分两种情况：①当 △AEF∽△CGF时，得出∠AFE=∠CFG，进而得出 BG= BC=
2 2
5
，FG=BGtan∠CBF=√5，再根据勾股定理得BF=√BG2+FG2=
，进而得出
2
5 15
AF=AB+BF=5+ = ，最后判断出△BGF∽△AEF，得出比例式建立方程求解即可得出结论；
2 2
②当△AEF∽△CGF时，先判断出∠AFC=90°，进而得出CF=2BF，再根据勾股定理得，求出
√5
BF=1，得出AF=AB+BF=6，同理BG= ，再判断出△BGF∽△AEF，得出比例式建立方程
5
求解即可得出结论；
此题主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：①∵BD⊥AD，EF⊥AD，
∴∠AEF=∠ADB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ADB，BD=√AB2−AD2=√52−(√5) 2=2√5，
AE EF m EF
∴ = ，即 = ，
AD DB √5 2√5
∴EF=2m，
根据勾股定理得，AF=√AE2+EF2=√5m，
∵AB=5，
∴BF=5−√5m，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=√5，AD∥BC，
∴∠G=∠AEF=90°，
∴△AEF∽△BGF，
AE AF
∴ = ，
BG BFm √5m
∴ = ，
BG 5−√5m
∴BG=√5−m，
∴CG=BC+BG=√5+√5−m=2√5−m，
1 1
∴S = EF⋅CG= ⋅2m⋅(2√5−m)=2√5m−m2 ；
△CEF 2 2
②由①知，△AEF∽△BGF，
FG BF
∴ =
EF AF
BF 5−√5m
∴FG= ⋅EF= ⋅2m=2(√5−m)，
AF √5m
∴EG=EF+FG=2m+2(√5−m)=2√5，
1 1
∴S = DE⋅EG= (√5−m)⋅2√5=5−√5m，
△CDE 2 2
1 1
S = BG⋅FG= (√5−m)⋅2(√5−m)=(√5−m) 2
△BFG 2 2
∵S =4S 时，
△DCE △BFG
∴5−√5m=4(√5−m) 2 ，
3√5
∴m=√5（舍去）或 m= ，
4
3√5 √5
∴DE=AD−AE=√5− = ，
4 4
3√5 √5
∴AE:ED= : =3，
4 4
∴AE:ED的值为3；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=√5，AD∥BC，
∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠AEF=∠CGF=90°，
∵△AEF与△CFG相似，
∴①当△AEF∽△CGF时，如图1，∴∠AFE=∠CFG，
∵EF⊥BC，
1 √5
∴BG= BC= ，
2 2
∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠A，
BD
∵由（1）得tanA= =2，
AD
∴tan∠CBF=2，
在Rt△BGF中， FG=BGtan∠CBF=√5，
5
根据勾股定理得，BF=√BG2+FG2=
，
2
5 15
∴AF=AB+BF=5+ = ，
2 2
∵BC∥AD，
∴△BGF∽△AEF，
BG BF
∴ = ，
AE AF
√5 5
2 2
∴ = ，
m 15
2
3√5
∴m= ；
2
②当△AEF∽△CGF时，如图2，∴∠EAF=∠GFC，
∵∠EAF+∠AFE=90°，
∴∠GFC+∠AFE=90°，
∴∠AFC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠A，
∴tan∠CBF=tanA=2，
在Rt△BFC中，CF=BF⋅tan∠CBF=2BF，
根据勾股定理得，BF2+CF2=BC2，
∴BF2+4BF2=(√5) 2 ，
∴BF=1，
∴AF=AB+BF=6，
√5
在Rt△BGF中，同理：BG= ，
5
∵AD∥BC，
∴△BGF∽△AEF，
AE AF
∴ = ，
BG BF
m 6
=
∴√5 1，
5
6√5
∴m= ，
5
3√5 6√5
综上：如果△AEF与△CFG相似，m的值为 或 ．
2 5
37．如图，将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A落在CD边上的点M处（点M不与C、D重合），
点B对应点为点N，AB=2，AD=4．
(1)当DM=1时，求EF的长；
(2)设DM=t，求四边形ABFE的面积S与t的函数表达式．（不要求写出自变量t的取值范围）√17
【答案】(1)EF= ；
2
1 1
(2)S= t2− t+4．
4 2
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
15
【分析】（1）设DE=x，BF= y，根据矩形性质、勾股定理、轴对称性质，得DE= ；根据相似
8
17
三角形性质，通过证明△DEM∽△CMG，得GM= ；再通过证明△DEM∽△NFG，得
15
8 y 13 13
NG= ；求得y= ，即BF= ，作EH⊥BC于H，根据勾股定理计算即可得到答案；
15 8 8
16−t2
（2）设DE=x，BF= y，根据矩形性质、勾股定理、轴对称性质，得x= ；根据相似三角形
8
(t2+16)(2−t)
性质，通过证明△DEM∽△CMG，得GM= ；再通过证明△DEM∽△NFG，得
16−t2
8 yt t2−4t+16
NG= ；求得y= ，根据梯形面积公式计算，即可得到答案．
16−t2 8
【详解】（1）解：∵AB=2，DM=1，
∴CM=2−1=1，
设DE=x，BF= y，
根据题意，得AE=EM，BF=FN= y，
∵AD=4，
∴AE=EM=4−x，
∵矩形纸片ABCD，
∴∠C=∠D=∠EMN=90°，
∴DE2+DM2=EM2，即x2+12=(4−x) 2，
15 15
∴x= ，即DE= ，
8 8
17
∴EM=AE=4−x= ，
8∵∠DME+∠CMG=90°，∠DME+∠DEM=90°，
∴∠CMG=∠DEM，
∴△DEM∽△CMG，
GM 1
GM CM =
∴ = ，即 17 15，
EM DE
8 8
17
∴GM= ，
15
∵∠NGF=∠CGM，
∴∠NGF+∠BMG=90°，
∴∠NGF=∠DME，
∴△DEM∽△NFG，
NG y
NG FN =
∴ = ，即 1 15，
DM DE
8
8 y
∴NG= ，
15
∵GM+NG=MN=AB=2，
17 8 y
∴ + =2，
15 15
13 13
∴y= ，即BF= ，
8 8
作EH⊥BC于H，
∵矩形纸片ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABHE是矩形，
17
∴BH=AE= ，
8
1
∴FH=BH−BF= ，
2√17
∴EF=√FH2+EH2=
；
2
（2）解：∵AB=2，DM=t，
∴CM=2−t，
设DE=x，BF= y，
根据题意，得AE=EM，BF=FN= y，
∵AD=4，
∴AE=EM=4−x，
∵矩形纸片ABCD，
∴∠C=∠D=∠EMN=90°，
∴DE2+DM2=EM2，即x2+t2=(4−x) 2，
16−t2
∴x= ，
8
t2+16
∴EM=AE=4−x= ，
8
∵∠DME+∠CMG=90°，∠DME+∠DEM=90°，
∴∠CMG=∠DEM，
∴△DEM∽△CMG，
GM 2−t
GM CM =
∴ = ，即t2+16 16−t2，
EM DE
8 8
(t2+16)(2−t)
∴GM= ，
16−t2
∵∠NGF=∠CGM，
∴∠NGF+∠BMG=90°，
∴∠NGF=∠DME，
∴△DEM∽△NFG，NG y
NG FN =
∴ = ，即 t 16−t2，
DM DE
8
8 yt
∴NG=
，
16−t2
∵GM+NG=MN=AB=2，
(t2+16)(2−t)
8 yt
∴ + =2，
16−t2 16−t2
t2−4t+16
∴y= ，
8
1 t2−4t+16 t2+16 1 1
∴S= (BF+AE)×AB= + = t2− t+4，
2 8 8 4 2
1 1
故答案为：S= t2− t+4．
4 2
【点睛】本题考查了矩形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、轴对称、梯形的知识；解题的关
键是熟练掌握矩形、勾股定理、相似三角形、轴对称的性质，从而完成求解．
38．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=1，点A ，B 为边AC，BC的
1 1
中点，连接A B ，将△A B C绕点C逆时针旋转α(0°≤α≤360°)．
1 1 1 1
BB
(1)如图1，当α=0°时， 1 =_________；BB ，A A 所在直线相交所成的较小夹角的度数是
A A 1 1
1
_________；
(2)将△A B C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出
1 1
证明；若不成立，请说明理由；
(3)当△A B C绕点C逆时针旋转过程中，请直接写出S 的最大值，S = _________．
1 1 △ABA △ABA
1 1
【答案】(1)2，60°；
(2)成立，证明见解析；3√3
(3) ．
4
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判
定与性质综合
【分析】（1）先求出BC，AA=AC，再求出BC，进而求出BB，即可得出结论；
1 1 1 1
BB BC
（2）先判断出△AC A ∽△BCB ，得出 1 = =2，∠CAA=∠CBB，进而求出
1 1 A A AC 1 1
1
∠ABD+∠BAD=120°，即可得出结论；
（3）当点A 落在AC的延长线上时，△ABA 的面积最大，利用三角形面积公式求解即可．
1 1
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AC=1，
∴∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2AC=2，
∵点A 为边AC的中点，
1
1 1
∴AA=AC= AC= ，
1 1 2 2
∵点A，B 为边AC，BC的中点，
1 1
∴AB 是△ABC的中位线，
1 1
∴AB∥AB，
1 1
∴∠BAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ABC=30°，
1 1 1 1
在Rt△ABC中，
1 1
BC=2AC=1，
1 1
∴BB =BC−B C=2−1=1,
1 1
BB
∴ 1 =2，
A A
1
∵∠ACB=60°，
∴BB，AA 所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB=60°，
1 1
故答案为：2，60°；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
证明：延长AA，BB 相交于点D，如图2，
1 1由旋转知，∠ACA=∠BCB，
1 1
1
AC= ，BC=1，
1 2 1
∵AC=1，BC=2，
AC BC
∴ =2， =2，
A C B C
1 1
AC BC
∴ = ，
A C B C
1 1
∴△AC A ∽△BCB ，
1 1
BB BC
∴ 1 = =2，∠CAA=∠CBB，
A A AC 1 1
1
∴
∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠CBB +∠BAC−∠CA A =∠ABC+∠BAC=30°+90°=120°，
1 1
∴∠D=180°−(∠ABD+∠BAD)=60°
1
（3）解：由题意得：AC=1，AB=√3，CA = ，
1 2
当点A 落在AC的延长线上时，△ABA 的面积最大，
1 1
1 3 3√3
最大值= ×√3× = ．
2 2 4
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股
定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题．
39．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q
沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，BD与PQ交于点E．若记点Q的运动路程
为x，线段BP的长记为y．(1)求y关于x的函数表达式．
BE
(2)如图2，当点Q在CD上时，求 ．
DE
(3)将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连结EF，当EF所在直线与△BCD的一边垂直时，
求BP的长．
4
【答案】(1)y=− x+8
7
4
(2)
7
56 40 200 20
(3) 或 或 或
9 11 77 11
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、（特殊）平行四边形的动点问题、相似三角形
——动点问题
7
【分析】（1）设点P的速度为a，点Q的速度为b，根据题意可得b= a，再设两点的运动时间为
4
7
t，则AP=at,x=BQ=bt= at，从而得到y=BP=8−at，即可求解；
4
4
BE BP − x+8
（2）证得△BPE~△DQE，可得 = ，再由 BP y 7 4，即可求解；
DE DQ = = =
DQ 14−x 14−x 7
（3）分四种情况讨论：当点Q在BC上，EF⊥CD时；当点Q在CD上，EF⊥BC时； 当点Q在CD
上，EF⊥BD时； 当点Q在CD上，EF⊥CD时，即可求解．
【详解】（1）解：设点P的速度为a，点Q的速度为b，根据题意：
8 6+8 7
= ，解得：b= a，
a b 4
7
设两点的运动时间为t，则AP=at,x=BQ=bt= at，
4
4
∴y=BP=8−at， at= x，
7
4
∴y=− x+8；
7（2）解：∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠DQP=∠BPQ，
∵∠BEP=∠DEQ，
∴△BPE~△DQE，
BE BP
∴ = ，
DE DQ
∵DQ=14-x，BP=y，
4
− x+8
∴ BP y 7 56−4x 4(14−x) 4，
= = = = =
DQ 14−x 14−x 98−7x 7(14−x) 7
BE BP 4
∴ = = ；
DE DQ 7
（3）解：如图，当点Q在BC上，EF⊥CD时，过点E作EG⊥BC于点G，
在矩形ABCD中，BC⊥CD，
∴EF∥BQ，
∴∠BQE=∠FEQ，
∵∠BEQ=∠FEQ，
∴∠BEQ=∠BQE，
∴BE=BQ，
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD=10，
设BE=BQ=m，
∵EF⊥BC，
∴EG∥CD，
∴△BCD∽△BGE，
BC 3
∴sin∠BEG=sin∠BDC= = ，
BD 5
3 3
∴BG= BE= m
5 54
∴EG= m，
5
2
∴QG= m，
5
∵EG∥BP，
2 4
m m
EG QG 5 5
∴ = ，即 = ，
PB QB m 4
− m+8
7
28
解得：m= ，
9
28 4 28 56
当m= 时，y=− × +8= ，
9 7 9 9
56
∴PB= ；
9
当点Q在CD上，EF⊥BC时，如图，
∵EF∥AB，
∴∠BPE=∠FEP，
∵∠BEP=∠FEP，
∴∠BPE=∠BEP，
∴BP=BE=y，
∵AB∥CD，
∴∠BPE=∠DQE，
∵∠DEQ=∠DQE，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ=14-x，
∴14-x+y=10，即x=4+y，
4 4 40 40
∴y=− x+8=− (4+ y)+8，解得：y= ，即BP= ；
7 7 11 11
当点Q在CD上，EF⊥BD时，过点P作PM⊥BD于点M，如图，则∠FEP=∠BEP=45°，∴∠PEM=∠EPM=45°，
∴PM=EM，
∵AB∥CD，
∴△BPE∽△DQE，
4
BE PB − x+8
∴ = = 7 4，
DE DQ =
14−x 7
4 4 40
∴BE= BD= ×10= ，
11 11 11
AD 3
∵tan∠ABD= = ，
AB 4
PM 3
∴ = ，
BM 4
设PM=3n，则BM=4n，EM=3n，
∴BP=5n，
∴BE=EM+BM=7n，
40 40
∴7n= ，解得：n= ，
11 77
200
∴PB=5n= ；
77
当点Q在CD上，EF⊥CD时，如图，
∵AB∥CD，∴△BPE∽△DQE，
4
BE PB − x+8
∴ = = 7 4，
DE DQ =
14−x 7
4 4 40 BE 4
∴BE= BD= ×10= ， = ，
11 11 11 BD 11
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
40
∵EF=BE= ，PB=PF，
11
设PB=PF=s，
∵EF∥AD，
∴△BME∽△BAD，
ME BM BE 4
∴ = = = ，
AD AB BD 11
4 32 4 24
∴BM= AB= ，ME= AD= ，
11 11 11 11
16
∴FM= ，
11
在Rt△FMP中，
16 2 32 2 20
( ) +( −s) =s2，解得：s= ，
11 11 11
20
即BP= ，
11
56 40 200 20
综上所述，BP的长为 或 或 或
9 11 77 11
【点睛】本题考查了矩形和折叠问题和三角形的全等，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，相似
三角形的综合运用，解题的关键熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
40．抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，点P为线段BC下方抛物
线上一动点，连接BP,CP．
（1）求抛物线解析式；（2）在点P移动过程中，ΔBPC的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点P的坐标，若
不存在，请说明理由；
（3）设点D为CB上不与端点重合的一动点，过点D作线段BC的垂线，交抛物线于点E，若ΔDCE
与ΔBOC相似，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）y=
2
x2−
8
x+2；（2）存在，
(3
,−
1)
；（3）
(37
,
377)
，(4,2)，
3 3 2 2 8 96
(25−√313 65−3√313)
,
4 8
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定综合、利
用相似三角形的性质求解
【分析】（1）由题意设y=a(x−1)(x−3)，结合抛物线y=ax2+bx+2，从而可得答案；
（2）过P作PQ// y轴，交BC于Q, 设点P的坐标为 ( m, 2 m2− 8 x+2 ) ，表示Q的坐标，求解PQ
3 3
1
长度，利用S = ×PQ×(x −x )可得答案；
ΔBPC 2 B C
（3）分情况讨论：当∠BCO=∠DCE时，过O作OM⊥BC交CE于N，求解N的坐标，利用函数
的交点求解E的坐标，当过点C作CE//OB，则有∠ECD=∠CBO，利用二次函数的对称性可得
答案，当作BC的垂直平分线，交抛物线于点E，则有∠ECD=∠OBC，利用函数的交点求得E的
坐标．
【详解】解：（1）∵ 点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,0)，
∴ 设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−3)=a(x2−4x+3)=ax2−4ax+3a,
∵ y=ax2+bx+2，
∴3a=2,
2
∴a= ,
3
2 8
∴ 抛物线解析式为：y= x2− x+2
3 3
（2）存在，理由如下：过P作PQ// y轴，交BC于Q,
设点P的坐标为 ( m, 2 m2− 8 x+2 ) ，
3 32 8
∵ 抛物线解析式为：y= x2− x+2
3 3
∴C(0,2),
∵ 点B的坐标为(3,0)，
设直线BC的解析式为：y=kx+b,
∴¿
解得：¿
2
∴ 直线BC的解析式为y=− x+2
3
( 2 )
故点Q的坐标为 m,− m+2
3
∴PQ= ( − 2 m+2 ) − (2 m2− 8 m+2 ) =− 2 m2+2m
3 3 3 3
∴S = 1 ×PQ×(x −x )= 1 × ( − 2 m2+2m ) ×3=− ( m− 3) 2 + 9
ΔBPC 2 B C 2 3 2 4
3 9
故当m= 时，ΔBPC有最大值为
2 4
(3 1)
此时点P的坐标为 ,−
2 2
(37 377) (25−√313 65−3√313)
（3）点E的坐标为 , ；(4,2)； , ；
8 96 4 8
理由如下：如图4，∠BCO=∠DCE，可得ΔCOB∽ΔCDE；
2
同上可知线段BC的解析式为y=− x+2，
3
过O作OM⊥BC交CE于N，∵直线OM⊥CD，
3
∴直线OM的解析式为y= x，
2
联立方程组¿，
解得¿
(12 18)
解得点M的坐标为 , ，
13 13
(24 36)
故点M关于BC的对称点N的坐标为 , ，
13 13
(24 36)
∵点C的坐标为(0,2)，点N的坐标为 , ，
13 13
设直线CN的解析式为：y=ex+f，
∴¿
解得：¿
5
∴ 直线CN的解析式为y= x+2
12
5 2 8
将y= x+2与y= x2− x+2联立方程可得：
12 3 3
¿，解得¿（舍），¿，
(37 377)
故点E的坐标为 , ；
8 96
如图5，过点C作CE//OB，
∴∠ECD=∠CBO,
∵∠EDC=∠COB=90°,
∴ ΔCOB∽ΔEDC，
2 8
此时点E,C关于抛物线y= x2− x+2的对称轴x=2对称，
3 3∵点C的坐标为(0,2)，故此时点E的坐标为(4,2)
如图6，作BC的垂直平分线，交抛物线于点E，
∴EC=EB,
∴∠ECD=∠OBC,
∵∠EDC=∠COB=90°,
∴ ΔDCE∼ΔOBC
∵点C的坐标为(0,2)，点B的坐标为(3,0)，
(3 )
∴中点D的坐标为 ,1 ，
2
(3 )
∵直线ED⊥BC，并经过点D ,1 ，
2
3
∴k = ,
ED 2
3
设直线DE的解析式为:y= x+c,
2
3 3
∴ × +c=1,
2 2
5
∴c=− ,
4
3 5
∴ 直线DE的解析式为y= x− ，
2 49 5 2 8
将y= x− 与y= x2− x+2
4 4 3 3
联立方程组可得
¿，
解得¿，¿（舍）
(25−√313 65−3√313)
故点E的坐标为 ,
4 8
(37 377) (25−√313 65−3√313)
综上可得点E的坐标为： , ；(4,2)； ,
8 96 4 8
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数解析式，列二次函数解析式，利用二次函数的
性质求面积的最大值，三角形相似的判定与性质，同时考查求解一次函数的解析式及函数的交点坐
标，是典型的压轴题，掌握以上知识是解题的关键．
