2024 年秋期六校第二次联考
高一年级数学参考答案
1．D
【命题意图】本题考查常用数集、不等式求法以及集合运算.
12
【解析】A={x∈N| ∈N}={0，2，3，4，5},B={x|x2−x−6>0}={x|x<−2或x>3}，
6−x
则A∩B ={4，5}.
2．B
【命题意图】本题考查方程的根与函数零点之间的关系以及零点存在性定理.
【解析】设f(x)=2x+1−x−5，则
f(0)=−3<0, f(1)=−2<0, f(2)=1>0, f(3)=8>0, f(4)=23>0.则函数 f(x)的零点
存在区间是(1,2).
3．C
【命题意图】本题考查指数函数模型.
【解析】分别设t =25和t =75时的体积为V,V .则由题意可知
1 2
2 2 8
V =a⋅e−25k = a即e−25k = .又当t =75时V =a⋅e−75k =a⋅(e−25k)3 = a.
1 3 3 2 27
4．C
【命题意图】本题考查函数的奇偶性的应用.
15 15
【解析】∵ f(5)=lg +a⋅55 +b⋅53 +2=5∴lg +a⋅55 +b⋅53 =3
5 5
5
∴ f(−5)=lg −a⋅55 −b⋅53+2=−3+2=−1.
15
5．A
【命题意图】本题考查样本的数字特征中的百分位数.
【解析】先将数据从小到大排列：46,48,51,53,54,56,57,58,60,64,66,71.12×30%=3.6，
可知30%分位数是53.由12×50%=6可知50%分位数是56.5.
6．B
【命题意图】本题考查方程的根与函数交点之间的关系以及学生应用数形结合的能力.
【解析】由正实数 a,b,c 分别满足 a+2a =b+lgb=c+lnc=2 可知 y =2−x ，
y =2x，y =lgx， y =lnx的交点的横坐标分别为a,b,c.画图可知a<c<b.
7．B
【命题意图】本题考查样本数据的均值与方差.
x +x +……+x
【解析】由 x = 1 2 10 =5 得x +x +……+x =50.由
0 10 1 2 10
1
s2 = [(x −5)2 +(x −5)2 +……+(x −5)2]=1.6得
0 10 1 2 10
(x −5)2 +(x −5)2 +……+(x −5)2 =16.设x =4,x =5,x =6.则
1 2 10 8 9 10
高一年级数学参考答案 第 1 页 （共 7 页）x +x +……+x
x= 1 2 7 =5，
7
1 1
s2 = [(x −5)2+(x −5)2+……+(x −5)2 −(4−5)2 −(5−5)2−(6−5)2]= ×(16−2)=2.
7 1 2 10 7
8．D
【命题意图】本题考查函数的单调性.
f(x )− f(x )
【解析】∀x ,x ∈[2,+∞),x ≠ x 时，都有 1 2 <2 恒成立.则不妨设x < x ，
1 2 1 2 1 2
x −x
1 2
则 f(x )−2x > f(x )−2x .设函数g(x)= f(x)−2x=ax2−x−3，则∀x ,x ∈[2,+∞)且x < x ,
1 1 2 2 1 2 1 2
即g(x )> g(x )，则函数g(x)在[2,+∞)上单调递减.①当a =0时，g(x)=−x−3在
1 2
1
[2,+∞)上单调递减，符合题意.②当a >0时，函数g(x)在[ ,+∞)上单调递增，不合题意
2a
1 1
舍去.③当a<0时，若使函数g(x)在[2,+∞)上单调递减，只需 ≤2即a≤ ,∴a<0.综
2a 4
上所述，a≤0.
9．AC
【命题意图】本题考查充分必要条件、函数概念以及函数最值问题.
【解析】A中若c=0，则ac2 =bc2，因此A正确；B中幂函数为偶函数，因此B错误；
x2 +3 1 3 2
C中强调函数定义，C正确；D中函数 y = = x2 +2+ 最小值是 .因
x2 +2 x2 +2 2
此D错误.
10．ACD
【命题意图】本题考查不同函数类型下的单调性问题.
ax+1 1−2a
【解析】A：函数递减区间是(−1,0)和(0,1)，因此A错误；B：f(x)= =a+ ，
x+2 x+2
1
则函数在(−2,+∞)递增时只需 1−2a<0即a> ，因此B正确；C：f(x)=log (x2 −ax+3a)
1
2
2
a
≤2
在区间[2,+∞)上单调递减，则
2
即−4<a≤4，因此C错误；D：
4−2a+3a >0
(2−a)x2 +3x+1, x≤1
f(x)= 是R 上的增函数，则当2−a≥0即a≤2时不满足函数在
ax, x>1
3
R 上时增函数；当2−a<0即a >2时， − 2(2−a) ≥1 则3≤a≤ 7 ，因此D错误.
2
2−a+3+1≤a
11．BD
【命题意图】本题考查抽象函数的性质的综合应用.
【解析】A：令x= y =1，则 f(1)=2f(1)−1，即 f(1)=1；令x= y =−1，则
f(1)=2f(−1)−1，则 f(−1)=1.令y =−1，则 f(−x)= f(x)+ f(−1)−1= f(x)，则函数 f(x)
高一年级数学参考答案 第 2 页 （共 7 页）是偶函数.因此A错误；B：任取x ,x ∈(0,+∞)且x < x ，则 x 2 >1,则f( x 2)>1，
1 2 1 2
x x
1 1
∵ f(x )= f(x ⋅ x 2)= f(x )+ f( x 2)−1∴f(x )− f(x )= f( x 2)−1>0 ∴ f(x )< f(x )，
2 1 x 1 x 2 1 x 1 2
1 1 1
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.又因函数 f(x)是偶函数，则函数f(x)在(−∞，0)上单调递减.
5 5 5 5 5
= log 2=log 22，因为6>22，所以log 6> >0，又由函数 f(x)在(0,+∞)上单
2 2 2 2 2 2
5
调递增可得 f(log 6)> f( )，因此B正确；C：因为 f(2)=3，所以 f(4)=2f(2)−1=5.
2 2
则不等式 f(log x+1)<5即为 f(log x+1)< f(4)，则−4<log x+1<4且log x+1≠0，则
2 2 2 2
1 1 1 1 1
<x<8且x≠ .因此C错误.D.令 y = ，则 f(1)= f(x)+ f( )−1=1 ，则 f(x)+ f( )=2.
32 2 x x x
1 1 1 1
则 f( )+ f( )+…+ f( )+ f( )+ f(1)+ f(2)+…+ f(2023)+ f(2024)=4047.因
2024 2023 3 2
此D正确.
12．π+20
【命题意图】本题考查指数与对数的综合运算.
4
【解析】log 3×log 8+4 (3−π)4 +(−8)3 +31+log32=log 3×log 23+ 3−π+16+3⋅3log 3 2
2 27 2 33
=1+π−3+16+3×2=π+20
13．(−∞,−9)∪(1,+∞)
【命题意图】本题考查基本不等式中“1”的活用和存在性问题.
1 2 1 2 2x 2y
【解析】∵x+2y = xy∴ + =1∴2x+ y =(2x+ y)( + )= + +5≥9
y x y x y x
∵
当且仅当x= y =3时取等号. 存在这样的x,y使不等式2x+ y<m2 +8m成立，
∴m2 +8m>9∴m<−9或m>1.
1 40
14．( ，1)（2分）；(12， )（3分）
2 3
【命题意图】本题考查分段函数的图象与性质在求参问题中的常用解法.
【解析】函数 f(x)的大致图象如下：
函数g(x)= f(x)+1−2m有4个不同的零点，即函数y = f(x)与 y=2m−1有4 个不同的交
1
点，如上图所示，则可知0<2m−1<1即 <m<1.设零点从小到大依次为 x ,x ,x ,x 则
1 2 3 4
2
高一年级数学参考答案 第 3 页 （共 7 页）1 10 40
x x =1，x +x =10，x ∈(1，3)，则x +x = x + ∈(2, )，则 x +x +x +x ∈(12， ).
1 2 3 4 2 1 2 2 x 3 1 2 3 4 3
2
15．【命题意图】本题考查集合的运算与不等式的解法，命题真假性转化.
【解析】
2
B ={x| <1}={x|x<2或x>4}………………………………………………2分
x−2
（1）由A∩B = A可知A⊆ B.………………………………………………………………3分
当A=φ时，a >3−2a即a >1；……………………………………………………4分
a≤3−2a a≤3−2a
当A≠φ时，有
或
3−2a<2 a >4
1
即 <a≤1.………………………………………………………………………………6分
2
1 1
综上所述，a > ，即a的取值范围是( ,+∞).………………………………………7分
2 2
（2）因为命题 p：“A∩B =φ”为假命题，所以A∩B ≠φ.
先假设A∩B =φ，则当 A=φ时，a >3−2a即a >1满足A∩B =φ；…………8分
a≤3−2a
当A≠φ时，有 a≥2 即a∈φ.…………………………………………………10分
3−2a≤4
综上可知若A∩B =φ，则a >1.……………………………………………………11分
则A∩B ≠φ时，a≤1，即a的取值范围是(−∞，1].………………………………13分
16．【命题意图】本题考查频率分布直方图的应用以及中位数和平均数的计算.
【解析】
5
（1）由题意可知n= =100.……………………………………………………………1分
0.05
∵0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1
∴a =0.030.……………………………………………………………………………3分
（2）由题意可知[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)抽取比例为1：2：4：6.
则若抽取26人，则
[40,50)
中抽取2人，[50,60)中抽取4人，[60,70)中抽取8人，[70,80)
中抽取12人.………………………………………………………………………………7分
（3）平均数：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1
=2.25+5.5+13+22.5+21.25+9.5=74.…………………………………11分
0.15
中位数：70+ ×10=75.…………………………………………………………15分
0.3
17．【命题意图】本题考查函数的奇偶性和单调性.
【解析】
（1）∵ f(x)是定义在(−2,2)上的奇函数
b
∴f(0)= =0即b=0.
2
高一年级数学参考答案 第 4 页 （共 7 页）x
∴f(x)= .
ax2 +2
1 2 1
∴f(1)= = . ∴a= . ……………………………………………………………4分
a+2 5 2
x 2x
（2）由（1）可得 f(x)= = ，且f(x)为奇函数满足题意. ………………………5分
1
x2+2
x2+4
2
函数 f(x)在区间(-2,2)上单调递增. ……………………………………………………6分
用定义法证明如下：任取x ,x ∈(−2,2)且x <x
1 2 1 2
2x 2x 2x (x2 +4)−2x (x2 +4) 2(x −x )(x x −4)
则 f(x )− f(x )= 1 − 2 = 1 2 2 1 = 2 1 1 2 …8分
1 2 x2 +4 x2 +4 (x2 +4)(x2 +4) (x2 +4)(x2 +4)
1 2 1 2 1 2
∵−2< x < x <2
1 2
∴x −x >0,x x −4<0
2 1 1 2
∴f(x )− f(x )<0即f(x )< f(x )
1 2 1 2
∴函数f(x)在区间(-2,2)上单调递增. …………………………………………………10分
（3）由 f(m2 −1)+ f(−5m−5)>0可得 f(m2 −1)>−f(−5m−5)= f(5m+5).……………11分
∵函数f(x)是定义在区间(-2,2)上的单调递增函数
−2<m2 −1<2
∴ −2<−5m−5<2……………………………………………………………………13分
m2 −1>5m+5
m<−1或m>6
7
即 − 3<m< 3 即− <m<−1.
7 3 5
− <m<−
5 5
7
则关于m的不等式解集为(− ,−1).……………………………………………………15分
5
18．【命题意图】本题考查指数函数与对数函数的值域问题.
【解析】
（1）∵ f(x)= 4x +1 =2x + 1 ≥2，当且仅当2x =1,即x=0时取等号.
2x 2x
∴函数f(x)的值域是[2,+∞).……………………………………………………………4分
（2）由题意可知函数g(x)的值域是函数 f(x)值域的子集.
设t =2x，当x∈[0,1]时，t∈[1,2].
1 5
则 y =t+ ∈[2, ].
t 2
5
即函数 f(x)在[0,1]上的值域是[2, ].…………………………………………………6分
2
x x m 1 m
∵g(x)=mlog ⋅log +1− =m(log x−1)( log x−1)+1− ，
2 2 4 4 2 2 2 2 2
高一年级数学参考答案 第 5 页 （共 7 页）∴设u =log x，当x∈[2,4]时，u∈[1,2]，
2
1 m 1 3 5
∴y =m(u−1)( u−1)+1− = m(u− )2 +1− m……………………………8分
2 2 2 2 8
5
①当m=0时，函数g(x)的值域为{1}⊄[2, ]，不合题意舍去.…………………10分
2
5 m 5
②当m>0时，函数g(x)的值域[1− m,1− ]⊆[2, ]，此时m∈φ.…………13分
8 2 2
m 5 5 12
③当m<0时，函数g(x)的值域[1− ，1− m]⊆[2, ]，此时m∈[− ,−2].…16分
2 8 2 5
12
综上所述，m的取值范围是[− ,−2].………………………………………………17分
5
19．【命题意图】本题考查新定义函数的综合问题，提升学生知识迁移能力.
【解析】
1 1 1
（1）当a =1时， f(x)= x2 −x− =(x− )2 −
4 2 2
7 1 1
则 f(x) = f(−1)= f(2)= ， f(x) = f( )=− .
max 4 min 2 2
1 7
因为[− , ]⊆[−1,2]，
2 4
所以函数 f(x)是“聚焦函数”.……………………………………………………………3分
a
（2）①当 ≤−1即a≤−2时，
2
a2 a2
f(x) = f(2)=4−2a− ≤2， f(x) = f(−1)=1+a− ≥−1.
max 4 min 4
此时a∈φ.………………………………………………………………………………5分
a
②当 ≥2即a≥4时，
2
a2 a2
f(x) = f(−1)=1+a− ≤2， f(x) = f(2)=4−2a− ≥−1.
max 4 min 4
此时a∈φ.………………………………………………………………………………7分
a 1
③当−1< ≤ 即−2<a≤1时，
2 2
a2 a a2
f(x) = f(2)=4−2a− ≤2， f(x) = f( )=− ≥−1.
max 4 min 2 2
此时a∈[−4+2 6,1].…………………………………………………………………8分
1 a
④当 < <2即1<a<4时，
2 2
a2 a a2
f(x) = f(−1)=1+a− ≤2， f(x) = f( )=− ≥−1.
max 4 min 2 2
高一年级数学参考答案 第 6 页 （共 7 页）此时a∈(1, 2].…………………………………………………………………………9分
综上所述，a的取值范围是[−4+2 6, 2].…………………………………………10分
a
（3）由2s<a<2t可得s< <t.
2
a s+t a a
①当 ≤ 即a≤s+t 时，t−s≥ f(x) − f(x) = f(t)− f( )=(t− )2.
2 2 max min 2 2
a s+t t−s
∵t− ≥t− =
2 2 2
t−s
∴t−s≥( )2
2
∴0≤t−s≤4.…………………………………………………………………………13分
a s+t a a
②当 ≥ 即a≥s+t 时，t−s≥ f(x) − f(x) = f(s)− f( )=(s− )2.
2 2 max min 2 2
a a s+t t−s
∵(s− )2 =( −s)2 ≥( −s)2 =( )2
2 2 2 2
t−s
∴t−s≥( )2
2
∴0≤t−s≤4.…………………………………………………………………………16分
−1+ 17 −1− 17
a= a=
t−s=4 2 2
综上所述，t−s的最大值为4.当且仅当 即 −9+ 17 −9− 17 时，
a=s+t s= 或 s=
f( a )=s 4 4
2 7+ 17 7− 17
t= t =
4 4
t−s取得最大值4.………………………………………………………………………17分
高一年级数学参考答案 第 7 页 （共 7 页）
