文档内容
专题 10 用三角函数解决实际问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 仰角俯角求距离问题】....................................................................................................................1
【考向二 情景模拟抽象出三角形求解】........................................................................................................9
【直击中考】
【考向一 仰角俯角求距离问题】
例题：（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我市里运河风光带的国师塔，高大挺拔，古朴雄
浑，别具一格．小明想知道国师塔的高度，在附近一高层小区顶楼A处，测得国师塔塔顶D处的俯角
，塔底C处俯角 ，小明所在位置高度 m．
(1)求两栋建筑物之间的水平距离 ；
(2)求国师塔高度 ．（结果精确到1m）（参考数据：
）
【答案】(1)190m
(2)63m
【分析】（1）延长 交 于点 ，根据题意得： ，从而在 中，利用
，求得两建筑物底部之间水平距离；
（2）在 中利用 ，求得 ，然后即可求得 的长．
【详解】（1）解：延长 交 于点 ，根据题意得： ，在 中， ，
，
，
m，
答：两建筑物底部之间水平距离 的长度为 m；
（2）解：在 中， ，
，
m，
（m）．
答：国师塔高度为 m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，保定市某中学在实施"五项管理"中，将学校的"五项管理"做成宣传
牌（ ），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部
D的仰角为 ，沿该中学围墙边坡 向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为 ．已知山坡 的坡
度为 ， m， m．
(1)求点B距水平面 的高度 ；
(2)求宣传牌 的高度．（结果保留根号）【答案】(1)2米
(2) 米
【分析】(1)根据 得到 ，设 ，利用勾股定理计算即可．
(2)过点B作 ，垂足为F，判定四边形 是矩形，解直角三角形计算 计算即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ m，
∴ ，
解得 （舍去），
∴ （m）．
（2）如图，过点B作 ，垂足为F，
则四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键．
2．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）王珊同学用航拍无人机帮小区物管测二号楼高，
如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面 的中点 垂直起飞到达点 处，测得一号楼顶部 的俯角为 ，测得二号楼顶部 的俯角为 ，此时航拍无人机的高度为 米，已知一号楼的高 为 米，
求二号楼的高 结果精确到 米 参考数据 ， ， ， ，
【答案】二号楼的高 约为 米
【分析】过点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，由题意可得 米，在
中，求出 ，从而求出 ，然后在 中，求出 ，从而求出 ，即可解答．
【详解】解：过点 、 分别作 、 ，垂足分别为 、 ，
由题意得， 米， ， ， ， 米，
米 ，
在 中， ，
（米），
米，
在 中， ，
（米），
米 ，答：二号楼的高 约为 米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解此题的关
键．
3．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在大楼 高（即 ，且 ）的窗口 处进行
观测，测得山坡上 处的俯角为 ，山脚 处的俯角为 ，已知该山坡的坡度 （即 ）为
（点 ， ， ， ， 在同一个平面上，点 ， ， 在同一条直线上）．
(1) 的度数等于________度（直接填空）
(2)求 ， 两点间的距离（结果精确到 ，参考数据： ， ）
【答案】(1)
(2)A、B两点间的距离约为52.0米
【分析】（1）根据坡度求得 ，结合题意，得出 ，进而得出
（2）根据 ，得出 ，解 即可求解．
【详解】（1）如解图所示；过点A作 于点F，
∵山坡的坡度i（即 ）为 ，
∴ ，
∴ ，
∵在窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为 ，山脚B处的俯角为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：90；
（2）∵
∴ ，
∵ 米， ，
解得： ，
故 （米），
答：A、B两点间的距离约为52.0米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的性质应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
4．（2022·浙江舟山·统考二模）我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，
将鱼竿 摆成如图1所示．已知 ，鱼竿尾端A离岸边 ，即 ．海面与地面 平
行且相距 ，即 ．（参考数据： ， ， ，
， ， ）
(1)如图1，在无鱼上钩时，鱼竿 与地面 的夹角 ，海面上方的鱼线 与海面 成一定
角度．求点B到海面 的距离；
(2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 ，此时鱼线被拉直，鱼线 ，点O恰
好位于海面．求点O到岸边 的距离．
【答案】(1)点B到海面 的距离为3米
(2)
【分析】（1）过点B作 ，垂足为F，延长 交 于E，垂足为E，首先根据 求
出 的长度，然后加上 的长度即可求出点B到海面 的距离；
（2）过点B作 ，垂足为N，延长 交 于点M，垂足为M，由 求出 ，即得 ， 由 求出 ，从而求出 的长，利用勾股定理求出 ，利用
即可求解．
【详解】（1）解：过点B作 ，垂足为F，延长 交 于E，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
答：点B到海面HC的距离为3米
（2）解：过点B作 ，垂足为N，延长 交 于点M，
由 ，
∴ ，∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即点O到岸边的距离为 ．
【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解决关键在于构造合适
的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系
求线段长度．
5．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如
图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪 和测速仪 到路面之间的距离 ，测速仪 和
之间的距离 ，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪 处测得小汽车在隧道
入口 点的俯角为25°，在测速仪 处测得小汽车在 点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点 行驶到点
所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．
(1)求 ， 两点之间的距离（结果精确到1m）；
(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点 行驶到点 是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：
， ， ， ， ， ）
【答案】(1)760米
(2)未超速，理由见解析
【分析】（1）分别解 ，求得 ，根据 即可求解；
（2）根据路程除以速度，进而比较即可求解．【详解】（1）
四边形 是平行四边形
四边形 是矩形，
在 中，
在 中，
答： ， 两点之间的距离为760米；
（2） ，
小汽车从点 行驶到点 未超速．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
【考向二 情景模拟抽象出三角形求解】
例题：（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品
介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段
AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，
解决下列问题；参考数据： ≈1．41， ≈1．73， ≈2．45．
(1)求AC的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）过 作 于 ，解直角三角形即可得到结论；
（2）过 作 交 的延长线于 ，根据等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：过 作 于
∴
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
（2）解：过 作 交 的延长线于
∴ ，
∴
∵ ，∴
答：拉杆箱点 到水平滑杆 的距离为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角形函数的基本概念和运算，关键是用数学知识解决
和实际问题．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用
工具，始见于 墨子 备城门 ，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图 所示的是桔槔示意图， 是垂
直于水平地面的支撑杆， 米， 是杠杆，且 米， ．当点A位于最高点时，
．
(1)求点A位于最高点时到地面的距离；
(2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A 时，求此时水桶B上升的高度．
1
（考数据： ）
【答案】(1)点A位于最高点时到地面的距离为 米；
(2)水桶 上升的高度为 米．
【分析】（1）作出如图的辅助线，在 中，利用正弦函数求解即可；
（2）作出如图的辅助线，在 中和在 中，分别利用三角函数求出 和 的长即可．
【详解】（1）解：过O作 ，过A作 于G，
∵ 米， ，
∴ 米， 米，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， （米），
点A位于最高点时到地面的距离为 （米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为 米；
（2）解：过O作 ，过B作 于C，过 作 于D，
∵ ，
∴ ， ，
∵ （米），在 中， （米），
在 中， （米），
∴ （米），
∴此时水桶B上升的高度为1.6米．
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．
2．（2022·江西赣州·统考二模）“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图
②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知 ， ．
(1)如图③，A处离地面多高？
(2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身
高 为 ，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为 ，求此时
的距离．（结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ，
）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，先证明 ，在 中，再根据 即可求解；
（2）过点B作 于点E，过点B作 于点F，则可得四边形 是矩形，即有 ，
，根据 ， ，可得 ，即有
，在 中， ，根据 即
可求解．
（1）
解：连接 ，图 ，∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴在 中，
，
即A处离地面 ；
（2）
解：过点B作 于点E，过点B作 于点F，图②，
根据题意有： ，则可得四边形 是矩形，
即有 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
答： 的长度约为 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，明确题意，找准对应关系，灵活运用三角函数是解答本题
的关键．
3．（2022·九年级单元测试）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小
的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在 点测得 点与塔底 点的距离为
，李华站在斜坡 的坡顶 处，已知斜坡 的坡度 ，坡面 长 ，李华在坡顶 处测
得轮毂 点的仰角 ，请根据测量结果帮他们计算：
(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；
(2)风力发电机塔架 的高度． 结果精确到 ，参考数据 ， ， ，
，
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）在 中， ，可得 ，根据解直角三角形进行求解即可；
（2）根据 求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，
则 为坡顶B到 所在直线的距离，
则 ， ，
在 中， ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
（2）由题意得，四边形 是矩形，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
答：塔架高度 约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，根据题意构造直角三角形是解本题的关键．
4．（2022·湖南株洲·统考模拟预测）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体
长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形
的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C
到水平地面的距离CE为59cm．设AF MN．
(1)求⊙A的半径长；
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，
．求此时拉杆BC的伸长距离．
【答案】(1)⊙A的半径长为8cm
(2)此时拉杆BC的伸长距离为30cm
【分析】（1）如图所示，过点B作BH⊥MN于H交AF于K，设⊙A的半径长为xcm，证明
△ABK∽△ACG，得到 ，即 ，由此求解即可；
（2）先解直角三角形ACG求出AC的长即可求出BC的长．
（1）
解：如图所示，过点B作BH⊥MN于H交AF于K，设⊙A的半径长为xcm，∵ ，AD⊥MN，
∴ ，四边形ADHK和四边形ADEG都是矩形，
∴AD=HK=GE=xcm，
∵BH=38cm，CE=59cm，
∴BK=（38-x）cm，CG=（59-x）cm，
∵ ，
∴△ABK∽△ACG，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴⊙A的半径长为8cm；
（2）
解：在Rt△ACG中，CG=CE-GE=72cm，
∵ ，
∴ ，
∴BC=AC-AB=30cm，
∴此时拉杆BC的伸长距离为30cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，切线的性
质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
5．（2022·湖南永州·校考模拟预测）某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品
牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为
32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现
将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置 ，求E 的长．
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【答案】(1)99.5cm
(2)3.9cm
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可；
（2）根据坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为80cm,求出BE′，进而求出
即可．
（1）
如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，
∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；
（2）
如图2所示，过点E′作 ⊥CD于点H，由题意知 ＝80×0.8＝64，
则E′C＝ ＝ ≈71.1（cm），
∴ ＝CE﹣ ＝75﹣71.1＝3.9（cm）．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数
的定义．
6．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨
会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 ，用绳子拉直 后
系在树干 上的点 处，使得 ， ， 在一条直线上，通过调节点 的高度可控制“天幕”的开合，
m， m．
(1)天晴时打开“天幕”，若 ，求遮阳宽度 （结果精确到0.1m）；
(2)下雨时收拢“天幕”， 从65°减少到45°，求点 下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据： ， ， ， ）
【答案】(1)遮阳宽度 约为
(2)点 下降的高度约为
【分析】（1）在 中，利用正弦可得 的长，由此即可得；
（2）设点 下降到点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先根据矩形的判定与
性质可得 ，从而可得 ，再分别解直角三角形
可得 的长，然后根据线段和差即可得．
【详解】（1）解：由题意得： 是轴对称图形，
，
， ，
，
，
答：遮阳宽度 约为 ．
（2）解：如图，设点 下降到点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形 和四边形 都是矩形，
，
，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
答：点 下降的高度约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、轴对称图形、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方
法是解题关键．
7．（2022·江苏盐城·统考中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂
成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图， 是垂直于工作台的移动基座， 、
为机械臂， m， m， m， ．机械臂端点 到工作台的距离 m．
(1)求 、 两点之间的距离；
(2)求 长．
（结果精确到0.1m，参考数据： ， ， ， ）
【答案】(1)6.7m
(2)4.5m
【分析】（1）连接 ，过点 作 ，交 的延长线于 ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即
可解决问题．（2）过点 作 ，垂足为 ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：如图2，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于 ．
在 中， ，
，所以 ，
，所以 ，
在 中， m， m，
根据勾股定理得 m，
答： 、 两点之间的距离约6.7m．
（2）如图2，过点 作 ，垂足为 ，
则四边形 为矩形， m， ，
所以 m，
在 中， m， m，
根据勾股定理得 m．m．
答： 的长为4.5m．
【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三
角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解
8．（2022·河南·统考中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的
比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环
⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．
当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位
置，此时点A距地面的距离AD最小，测得 ．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为
75cm，求此时AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)50 cm
【分析】（1）根据切线的性质可得 ， ，根据 ，可得 ，过点 作
，根据平行线的性质可得 ， ，进而即可得证；
（2）过点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，由（1）得到 ，在 ，
中，求得 ,进而求得 ，根据 即可求解．
【详解】（1）证明： ⊙O与水平地面相切于点C，
，
，
，
AB与⊙O相切于点B，
，
，
过点 作 ，，
，
，
即∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）如图，过点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，
，则四边形 是矩形，
， ，
，
在 中， ， ，
（cm)，
在 中， ， cm，
(cm)，
(cm)，
(cm)，
cm，
(cm)．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．
