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专题 16 三角形相似
1. 比例的基本性质
（1）两条线段的长度之比叫做两条线段的比.
（2）在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比
例线段.
（3）若a∶b=b∶c或 ,则b叫做a,c的比例中项.
（4）比例的基本性质: ⇔ad=bc.
（5）合比性质: .
（6）等比性质:
=…= (b+d+…+n≠0)⇒ .
（7）黄金分割:如图,点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，
AC= AB≈0.618AB，BC= AB，一条线段有2个黄金分割点.（8）平行线分线段成比例定理:
①平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
2. 相似三角形
（1）定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.
（2）似三角形的判定定理
① 相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似;
② 相似三角形的判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似;
③ 相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
④ 平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
⑤ 直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.kj
（3）性质:
①相似三角形的对应角相等;
②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;
③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
3. 相似多边形
（1）定义:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比.
（2）性质:
①相似多边形的对应角相等、对应边成比例.
②相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
4. 图形的位似
（1）位似图形定义:如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫
做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又称位似比.
（2）位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比,位似图形周长的比等于
相似比,面积比等于位似比的平方.【考点1】比例的有关概念和性质
【例1】（比例的性质） 已知a，b，c是非零实数，且 ，其中a＋b＋c≠0，则k
的值为________．
【答案】 ##0.5
【分析】先将原式写成整式的形式，然后再求解即可．
【详解】解： ，
，
．
当a＋b＋c≠0时，2k=1，即k＝ ．
故填： ．
【例2】（成比例线段）（2022·浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同
一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段 ，则线段 的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】过点 作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于 、 ，根据题意得 ，然
后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点 作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于 、 ，根据题意得 ，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ 故选：C
1．若 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵ ，
∴ = = ，
故选：D
2．（2020成都）如图，直线l∥l∥l ，直线AC和DF被l ，l ，l 所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的
1 2 3 1 2 3
长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解析】∵直线l∥l∥l，
1 2 3
∴ ，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴ ，
∴DE= ，
故选：D．
3．如图，直线 ，直线 和 被 ， ， 所截， ， ， ，则 的长
为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l∥l∥l，
1 2 3
∴ .
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴ .
.
∴DE=
故选：D．
4．已知 ，那么下列比例式中成立的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由 ，根据比例的性质，即可求得答案．
【详解】解： ，
或 ．
故选B．
5．已知 ，则 ＝______．
【答案】
【解析】
【分析】先把式子 变成 ，再代值计算即可得出答案．
【详解】∵ ，
∴
=
=
，故答案是：
【考点2】黄金分割
【例3】（2022·湖南衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，
等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，那么该
雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到 ．参考数据： ， ，
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得 求解即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m，
∴ ∴ ， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m， 故选：B．
黄金分割的概念和性质：若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC= AB≈0.618AB，BC= AB，一条线段有2个黄金分割点.
1．（2022·山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径
与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现
了数学中的黄金分割．故选：D
2．（2021·四川巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB
上一点（AP＞BP），若满足 ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，
例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从
舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【答案】A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则 ，即可求解．
【解析】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，∴ ，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
3．（2022·陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在
全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做 将矩形窗框 分为上下两部分，
其中E为边 的黄金分割点，即 ．已知 为2米，则线段 的长为______米．
【答案】 ##
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得 ，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，∴ ．
∵AB=2米，∴ 米．故答案为：（ ）．
4．已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝_____cm．（结果保留
根号）
【答案】5 ﹣5
【分析】根据黄金比值是 列式计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝ AB＝（5 ﹣5）cm，
故答案为：5 ﹣5．【考点3】相似图形的判定与性质
【例4】（三角形相似的判定）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
的
C、两三角形 对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意，
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
【例5】（补充条件使三角形相似的性质）如图， 是 边 上一点，添加一个条件后，仍不能使
的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：A、当 时，再由 ，可得出 ，故此选项不合题意；
B、当 时，再由 ，可得出 ，故此选项不合题意；
C、当 时，即 ，再由 ，可得出 ，故此选项不合题意；
D、当 时，无法得出 ，故此选项符合题意．
故选：D．
【例6】（三角形相似的性质求周长）如图，在 ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD AB于点D．则
△
BCD与 ABC的周长之比为（ ）
△ △
A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:5
【答案】A
【详解】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△BCD∽△BAC；①
∴∠BCD=∠A=30°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；
由①得：C ：C =BD：BC=1：2；
△BCD △BAC
故选：A
【例7】（三角形相似的性质求面积）（2022·广西）已知△ABC与△ABC 是位似图形，位似比是1：3，
1 1 1
则△ABC与△ABC 的面积比（ ）
1 1 1
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△ABC 是位似图形，位似比是1：3，
1 1 1
∴△ABC与△ABC 的面积比为1：9，故选：C．
1 1 1
【例8】（三角形相似的性质求线段长度）（2022·黑龙江哈尔滨）如图， 相交于点E，
，则 的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．
【详解】∵ ∴ ∴
∵ ，∴
∵ ∴ 故选：C．
判定三角形相似的几种思路方法
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
这是判定三角形相似的一种基本方法，当已知条件中有平行线时可考虑采用此方法.这里，相似的基本图形
可分别记为“A”型（如图①）和“X”型（如图②），在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图
形.
（2）三边法：三组对应边成比例的两个三角形相似.若已知条件中给出三组边的数量关系时，可考虑证明三边成比例.
（3）两边及其夹角法：两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似.
若已知条件中给出一对等角时，可考虑找夹边成比例；反之，若已知夹边成比例，可考虑找夹角相等.
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.
若已知条件中给出一对等角时，可考虑再找另一对等角.
1．如图，已知 ，添加下列一个条件，不能使 ∽ 的是
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先证出∠DAE=∠BAC，再根据三角形相似的判定方法即可得出△ADE∽△ABC．
【详解】解：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
若∠B=∠D或∠E=∠C或 ，
则有△ADE∽△ABC．
故选：A．
2．（2022·四川雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若 ＝ ，那么
＝（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解 再证明 可得
【详解】解： ＝ ，
DE∥BC， 故选D
3．（2022·内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，
与 相交于点E，连接 ，则 与 的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【答案】D
【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明 ，最后利相
似三角形周长的比等于相似比即可求出．
【详解】如图：由题意可知， ， ， ∴ ，
而 ，∴四边形DCBM为平行四边形，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ．故选：D．4．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交
于点M，已知AB=8 m，CD=12m，则点M离地面的高度MH为( )
A. 4 m B. C. 5m D.
【答案】B
【分析】根据已知易得 CMH∽△CAB， BMH∽△BDC，利用对应边成比例可得比例式，将比例式变形整
理，把相关数值代入求解△即可. △
【详解】解：由题意得，AB∥MH∥CD，
∴△CMH∽△CAB， BMH∽△BDC，
△
∴ ， ，
∴①+②得 ，
∴
∵AB=8，CD=12，
∴ ，∴ ，
∴MH= ，
故选：B.
5．（2022·广西贺州）如图，在 中， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理得到 ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，
得到答案．
【详解】解： ∴ ，
∴ ，故选：B．
6．如图，已知点D为 ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE
＝6，则EC的长度是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【分析】由在△ABC中，DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长，然后AC-AE即可求得答案．
【详解】解：∵在△ABC中，DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵AD：AB=2：3，AE=6，
∴AC= AE=9,
∴EC=AC-AE=9-6=3．
故选C．
7．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树 的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底
部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点 处，将
镜子放在点 处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2．8米，到达点 处，将镜子放在点 处
时，刚好看到在树的顶端（点 在同一条直线上），若测得 米， 米，测
量者眼睛到地面的距离为1．6米，求大树 的高度．
【答案】9.6米
【分析】设 的长为 米，根据相似三角形的性质得到 及 ，再根据 得
到 ，进而列出方程，解方程即可得到结论．【详解】解：设 的长为 米，则 米，
由题意，得 ，
∴ ，
∴ ，同理， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
答：大树 的高度为9.6米．
【考点4】位似图形
【例9】（位似的性质）（2022·山东潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知
圆，感悟数学之美．如图，正方形 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
，若 ，则四边形 的外接圆的周长为___________．【答案】
【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出 ，根据位似比求出 ，周长即可得出；
【详解】解： 正方形ABCD的面积为4，
，
，
，
，
所求周长 ；
故答案为： ．
【例10】（位似作图）如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍；
（2）分别写出A，B两点的对应点A′，B′的坐标．
【答案】（1）见详解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.
【分析】(1)把B、A的横纵坐标都乘以−2得到B′、A′的坐标，然后描点即可；
(2)分别求出点B、A的横坐标与纵坐标的2倍的相反数即可．【详解】解：(1)如图， OBꞌAꞌ为所作；
△
(2) ∵
∴A，B两点的对应点A′，B′的坐标为A′（-6,2），B′（-4，-2）.
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个
图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，点
， 的对应点分别为点 ， ．若 ，则 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．
【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：B．
2．（2022·重庆）如图， 与 位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则 与
的周长之比是（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9
【答案】A
【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵ 与 位似
∴
∵ 与 的位似比是1:2
∴ 与 的相似比是1:2
∴ 与 的周长比是1:2故选：A．
3．（2020重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，
1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则
线段DF的长度为（ ）A．√5 B．2 C．4 D．2
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【解析】∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：
1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF= ．
故选：D．
4．（2022·四川成都）如图， 和 是以点 为位似中心的位似图形．若 ，则
与 的周长比是_________．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质，得到 ，根据 得到相似比为
，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
【详解】解： 和 是以点 为位似中心的位似图形，
， ，， ，
根据 与 的周长比等于相似比可得 ，故答案为： ．
5．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知 ABC三个顶点分别为A(﹣2，1)、B(1，
2)，C(﹣4，4)．
（1）画出 ABC关于x轴对称的 ABC ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出 ABC ，使 ABC 与 ABC位似，且位似比为2，并写
2 2 2 2 2 2
出A，B，C 的坐标．
2 2 2
【答案】（1）△ABC 为所求作，画图见详解 ；（2）A （4，-2），B （-2，-4），C （8，-8），
1 1 1 2 2 2
△ABC 为所求作，画图见详解．
2 2 2
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标的特征，分别写出A、B、C三点关于x轴的对称点A、B、C
1 1 1
的坐标，然后分别描点，依次连接这三点即得符合要求的三角形；
（2）根据位似图形在x轴下方，结合位似比2，把A、B、C的横纵坐标分别乘-2，即得到A、B、C 的坐
2 2 2
标，描点得到△ABC ．
2 2 2
【详解】解（1）∵ ABC三个顶点分别为A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)． ABC关于x轴对称的
ABC ，
1 1 1
∴A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)关于x轴对称轴坐标为A（-2，-1），B（1，-2），C （-4,-4），
1 1 1
在平面直角坐标系中描出A（-2，-1），B（1，-2），C （-4,-4），
1 1 1
顺次连结AB， BC ， C A，
1 1 1 1 1 1为
如下图， ABC 所求作；
1 1 1
△
（2） ABC 与 ABC位似，且位似比为2， ABC三个顶点分别为A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．
2 2 2
A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)的位似点坐标为A（-2×（-2）,1×（-2））即（4，-2），
2
B（1×（-2），2×（-2））即（-2，-4），C （-4×（-2），4×（-2））即（8，-8）
2 2
在平面直角坐标系中描点A（4，-2），B（-2，-4），C （8，-8），
2 2 2
顺次连结AB， BC ，C A，
2 2 2 2 2 2
如下图，△ABC 为所求作
2 2 2
