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2025 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣2025的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．﹣2025
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．
只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解．
【详解】解：﹣2025的相反数是 ，
故选：C ．
2．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从左面看，第一层有2个正方形，第二层左侧有1个正方形．
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题
的关键．
分别根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算即可．
【详解】解：A， ，原计算错误，故本项不符合题意；
B， ，原计算错误，故本项不符合题意；
C， ，原计算错误，故本项不符合题意；
D， ，故本项符合题意；
故选：D．
4．如图，直线 ，将一直角三角尺的直角顶点放在直线 上，已知 ，则 的度数为（ ）
A．135° B．145° C．125° D．120°
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠4，根据余角的性质求出∠3，再根据补角的性质求解即可．
【详解】如图：
∵ ，∠1=35°，
∴∠4=∠1=35°（两直线平行，内错角相等），∴∠3=90°-∠4=90°-35°=55°，
∴∠2=180°-∠3=180°-55°=125°．
故选：C．
5．不等式 的最大整数解为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后在解集中确定最大整数解即可．
【详解】解：移项、合并同类项得： ，
系数化成1，得：x≤4.5，
则不等式 的最大整数解是：4．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应
根据不等式的基本性质．
6．下列说法正确的是（ ）
A．将580000用科学记数法表示为：
B．在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8
C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差
，乙组同学成绩的方差 ，则甲组同学的成绩较稳定
D．“四边形的内角和是 ”是必然事件
【答案】D
【分析】本题考查了多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义等知识．根据
多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义判断即可．
【详解】解：A、将580000用科学记数法表示为： ，故本选项不符合题意；
B、这列数据从小到大排列为 ， ， ， ， ， 中，8出现了3次，故众数是8，中位数是 ，故
本选项不符合题意；
C、 ，则 ，则乙组同学的成绩较稳定，故本选项不符合题意；
D、“四边形的内角和是 ”是必然事件，故本选项符合题意．故选：D．
7．《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．
问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，
则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有 个人，物品价格为 钱，则下列方程组中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据每人出8钱，则多出3钱，可得 ，根
据每人出7钱，则还差4钱，可得 ，从而可以列出相应的方程组．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
8．如图， 是 的弦，分别以 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点 ，连
接 ，交 于点 ，连接 ．若 ，则 的度数是（ ）
A．35 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，圆周角定理，由作图可知 垂直平分 ，即得，即可得 ，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题
的关键．
【详解】解：由作图可知， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
9．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知 ，点A的坐标是
，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转 ，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据点A
的坐标求出 的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出 的长，进而得到 的长，求出
，进而可求出 的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，设点B的对应点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D，
∵点A的坐标是 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
故选：B．
10．抛物线 的顶点为 ，与x轴的一个交点A在点 和 之间，其部
分图象如图，则以下结论：① ；②当 时，y随x增大而减小；③ ；④若方程
没有实数根，则 ；⑤ ，中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】①根据抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，据此解答即可． ②根据抛物线的对称轴
x=-1，可得当x＞-1时，y随x增大而减小，据此判断即可． ③根据抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，
0）和（-2，0）之间，可得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以 ，
据此判断即可． ④根据y=ax2+bx+c的最大值是2，可得方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2，据此判
断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，
∴结论①不符合题意．
∵抛物线的对称轴x=-1， ∴当x＞-1时，y随x增大而减小，
∴结论②符合题意．
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当 时，
∴结论③符合题意．
∵y=ax2+bx+c的最大值是2，
∴方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2，
∴结论④符合题意．
综上，可得 正确结论的序号是：②③④．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若 在实数范围内有意义，写出一个符合条件的 的值： ．
【答案】4
【分析】此题考查了二次根式的有意义的条件．二次根式被开方数大于等于零时，二次根式有意义，据此
解答．
【详解】解：要使若 在实数范围内有意义，
则 ，
即 ，则写出一个满足条件的 的值为4．
故答案为：4（答案不唯一）．
12．小明从四大名著《红楼梦》，《西游记》，《水浒传》，《三国演义》四本书中随机挑选一本，其中
拿到《西游记》这本书的概率为 ．
【答案】
【分析】根据简单概率公式计算概率即可．
本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：一共有4种等可能性，其中拿到《西游记》这本书可能性有1种，
故拿到《西游记》这本书的概率为 ．
故答案为： ．
13．化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的减法，解题的关键是掌握分式的性质，根据题意，先通分，然后做减法计算即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
14．如图，将规格相同的某种盘子，整齐地摞在一起，4个这种盘子摞在一起的高度为 ，7个这种盘子
摞在一起的高度为 ．若设x个这种盘子摞在一起的高度为 ，则当 时，y的值为 ．【答案】17
【分析】本题考查了一次函数的应用以及求一次函数表达式，解答本题的关键是读懂题意，根据图示找出
合适的等量关系，列方程组求解．
【详解】解：设x与y的关系式为
由题意得∶
解得∶
∴x与y的关系式为： ，
当 时，
故答案为： ．
15．如图，点M，N分别是矩形ABCD的边AD和对角线BD上的点，连接BM，MN， ，BC＝2
（1） ；（2） 的最小值为 ．
【答案】
【分析】（1）首先根据矩形的性质得到 ，然后利用勾股定理求出BD的长度，然后即可求出
的值；
（2）作点B关于AD的对称点 ，连接 ， ， ， ．过 点作 于点E．可知
，可得 的最小值即 的长度，然后利用等面积法即可求出
．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ；
（2）作点B关于AD的对称点 ，连接 ， ， ， ．过 点作 于点E．
∴ ，
∴ 的最小值为 的长．
∵ ， ，
∴ 得，
解得： ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算： ；
【答案】
【分析】先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算
加减法即可得到答案；
【详解】解：；
17．（6分）如图，点 均在菱形 的对角线 上， ， 交 于点 ，
交 于点G，连接 ．求证：四边形 为矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质．先证明 ，
推出 ，证明四边形 为平行四边形，由 ，即可证明四边形 为矩形．
【详解】证明：∵菱形 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，即 ，
∴四边形 为矩形．
18．（6分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余实践进行测量活动．
问题解决：请你根据测量数据计算钢缆 和 的总长度（结果精确到 ）．
活动主题 测算观光缆车的钢缆长度测量工具 无人机、测角仪、皮尺、计算器等
如图， 表示某景区一座比较险峻的山上的三个缆车站的位置，
表示连接缆车站的钢缆．
模型
抽象
活
动
过
程
①用无人机在 三处测得海拔 ，
；
测绘
过程 ②在 处使用测角仪测得缆车站点 的仰角 ；
与数
据信 ③在 处使用测角仪测得缆车站点 的仰角 ；
息
（参考数据： ，
）
【答案】钢缆 和 的总长度大约是 米
【分析】本题主要考查了仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是关键．
根据题意得到 ， ，在 中，
，在 中， ，根据
即可求解．
【详解】解：由图知 ，∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
答：钢缆 和 的总长度大约是 米．
19．（8分）为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取 名学生进行视力检查，并对
其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分 组： ．视力 ，视力正常； ．视力 ，轻
度视力不良； ． 视力 ，中度视力不良； ．视力 ，重度视力不良．下面给出了部分信
息：
抽取的八年级学生的视力在 组的数据是： ， ， ， ， ， ；
抽取的九年级学生的视力在 组的数据是： ， ， ， ， ， ， ， ；
被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如表：
平均 中位 众
年级
数 数 数
八年
级
九年
级(1)填空： ________， ________， ________，并直接补全条形统计图；
(2)该校八年级共有学生 人，九年级有 人，请估计八、九年级学生视力正常的总人数；
(3)根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由
即可）．
【答案】(1) ， ，
(2) 人
(3)八年级学生的视力情况更健康，理由见解析（不唯一）
【分析】本题主要考查了求中位数，求扇形统计图的某项数目，频数分布直方图，运用中位数做决策，运
用众数做决策，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图和频数分布直方图
是解题的关键．
（1）由中位数的定义结合题意即可得出 、 的值，由扇形统计图中各组比例之和为即可得出 的值；
（2）利用样本估计总体即可得出答案；
（3）根据中位数、众数的意义解答即可．
【详解】（1）解：∵抽样调查的人数为 人，
∴八、九年级学生视力的中位数是从小到大排列后第 、 人视力的平均数，
∵八年级学生视力频数分布直方图可知 组 人， 组人数为 （人），且 组视力 ，
∴八年级学生视力从小到大排列后第 、 人视力分别是 ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴九年级学生 组人数为 （人）， 组人数为 （人），
∴九年级学生视力从小到大排列后第 、 人视力分别是 ， ，∴ ，
补图如下：
故答案为： ， ， ；
（2）解： （人），
答：估计八、九年级学生视力正常的总人数约为 人；
（3）解：八年级学生的视力情况更健康，理由如下：因为八、九年级学生视力情况的平均数相等，而八
年级学生视力情况的中位数 大于九年级学生视力情况的中位数 ，同时八年级学生视力情况的众数
也大于九年级学生视力情况的众数 ，所以八年级学生的视力情况更健康（理由不唯一，合理即可）．
20．（8分）如图，一次函数 的图象与反比例函数为 的图象交于 ，
两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出 时x的取值范围：
(3)过线段 上的动点 ，作 轴的垂线，垂足为点 ，其交函数 的图象于点 ，若 ，求点
的坐标．【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问
题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关
键．
（1）先把 、 代入 得 ，再代入 ，解二元一次方程组得
， ，即可得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据函数的图象即可求解；
（3）设 ，得 ， ，根据题意列方程，求出 ，即可求解．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象与反比例函数为 的图象交于 ，
两点，
， 解得： ，
， 解得： ，
一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ．
（2）解： ，
，
由（1）得 ，
观察图象，得： 时， 的取值范围为 或 ，时， 的取值范围为 或 ．
（3）解：设 ，
轴，
， ，
，解得： ，
．
21．（8分）如图，在四边形 中， ， ， 平分 ，以 为直径作
交 于点 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析;(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的定义，正确的作
辅助线是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到 ，由等腰三角形的性质得到 ，继而得到
, ，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接 ，得到 ，进而得出 ，得到 ，根据勾股定理
得到 ,即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
，，
，
，
，
，
是 的直径，
为 的切线；
（2）解：如图，连接 ，
为 直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为 ．
22．（10分）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的 部分为一段抛物线，顶点 的高
度为8米，它两侧 和 是高为 米的支柱， 和 为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段 和 为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为 ．以 所在直线
为 轴，横断面的对称轴为 轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱 所在抛物线的解析式及 的长；
(2) 和 为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的 和 为两个方向的行人及非机动车通行区，
直接写出宽 的长度；
(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于 米．今有一大型运货汽车，装
载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？
请说明理由．
【答案】(1) ，37米
(2)6米
(3)该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由见详解
【分析】本题主要考查了抛物线的解析式，坡度的定义，通过解析式求点的坐标等知识点，解题的关键是
熟练掌握抛物线图象的性质．
（1）抛物线的对称轴是 轴，因而解析式一定是 的形式，根据条件可以求得抛物线上 ， 的
坐标分别是 和 ，利用待定系数法即可求解；
（2）根据坡度的定义，即垂直高度与水平宽度的比，即可求解；
（3）在抛物线解析式中，令 ，得到的函数值与 米，进行比较即可判断．
【详解】（1）解：设 所在的抛物线的解析式 ，
由题意得 ， ，代入抛物线解析式得，
，
解得 ，所在的抛物线的解析式为 ，
，且 ，
（米），
（米）；
（2）解： ， ，
，
（米），
所以，AB的宽是6米；
（3）解：该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由如下：
在 中，当 时， ，
∴该大型货车可以从桥下区域安全通过．
23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接
CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 ，EH与AD的位置关
系是 ．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅
就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2√2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE
的面积．1
【答案】（1）EH= AD，EH⊥AD．（2）见解析；（3）4﹣2√3或4+2√3．
2
【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
（2）结论仍然成立：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．证明△ACD≌△BCF
（SAS），再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．如图3﹣2中，
当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．分别求出AD，EH即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴点E在线段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∵DH＝HB，
1 1
∴EH⊥DB，EH= DB= AD，
2 2
1
故答案为EH= AD，EH⊥AD．
2（2）结论仍然成立：
理由：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．
∵DE＝EF．CE⊥DF，
∴CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∴∠ECF＝∠ECD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∵DE＝EF，DH＝HB，
1
∴EH= BF，EH∥BF，
2
1
∴EH⊥AD，EH= AD．
2
（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．
∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，∴∠ACE＝30°，
∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝2√2，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠EAH＝30°，
∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝150°，
∴∠EDB＝∠EBD＝15°，
∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝15°，
∴AD＝AE，设EH＝x，则AD＝AE＝2x，AH=√3x，
∵EH2+DH2＝DE2，
∴x2+（2x+√3x）2＝8，
∴x=√3−1，
∴AD＝2√3−2，
1 1
∴S△ADE =
2
•AD•EH =
2
×（2√3−2）•（√3−1）＝4﹣2√3．
如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．
同法可求：EH=√3+1，AD＝2√3+2，
1 1
∴S△ADE =
2
•AD•EH =
2
×（2√3+2）（√3+1）＝4+2√3，
综上所述，满足条件的△ADE的面积为4﹣2√3或4+2√3．
24．（12分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 （ 是常数）交 轴于点 ，交轴于点 ，点 坐标为 ，点 为抛物线的顶点，点 为抛物线上一动点，且点 的横坐标为 ．
(1)求该抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)如图②，连接 ，当点 在抛物线上点 之间运动时（不与点 重合），过点 作直线
轴于点 ，交 于点 ．若 ，求 的值；
(3)若点 在抛物线对称轴的左侧，以点 为对称中心，构造正方形 ，且 在 轴上（点 在点
的下方），直接写出抛物线与正方形 的边只有2个公共点时 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 ．
【分析】（1）将点 ， 代入抛物线的解析式用待定系数法即可求解；
（2）令 ，解之可得 ，进而可求直线 解析式为 ． 由点E在抛物线上
的点A，C之间，点 ， ， ，求得 ，
，根据题意建立方程求解即可；（3）由题可得， ，则 ，即 ，根据题意
画出图形，结合图形建立方程，根据题意写出取值范围即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 交y轴于点 ，
将 代入 得： ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式是 ．
∵ ，
．
（2）解：令 ，解得 ， ，
，
设直线 的解析式为 ，将 代入，解得 ，
∴直线 解析式为 ．
∵点E在抛物线上的点A，C之间，
∴ ．
由点 ， ， ，
，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，而 ，
∴
（3）解：由题可得， ，则 ，即 ，
如图所示：此时边 经过点 ，正方形与抛物线有3个交点， ，
解得， 或 ，
，
，
正方形与抛物线有2个交点时， ；当点 与点 重合时，正方形与抛物线有3个交点，如图所示：
此时 ，
解得， （舍去）或 ，
当 时正方形与抛物线有2个交点，
综上所述，正方形与抛物线有2个交点时， 的取值范围是：
或 ．
