文档内容
2025 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．未来将是一个可以预见的 时代． 一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智
能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中
是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的
图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其外角和是
B．打开电视，正在播放跳水比赛
C．经过有交通信号的路口时遇见绿灯
D．若 ，则
【答案】A
【分析】本题考查了必然事件，掌握三角形的外角和定理、不等式的性质是解题的关键；
根据必然事件的定义逐项判断即可求解．【详解】解： 、任意画一个三角形，其外角和是 ，是必然事件，该选项符合题意；
、打开电视，正在播放跳水比赛，是随机事件，该选项不合题意；
、经过有交通信号的路口时遇见绿灯，是随机事件，该选项不合题意；
、若 ，当 时，则 ；当 ，则 ；当 ，则 ，
∴该选项事件是随机事件，不合题意；
故选： ．
3．榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，
实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系．如下图是其中一种卯，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．
【详解】
解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，
即
故选：D．
4．人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百
亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值 时，n是负整数．据此解答即可．
【详解】解：140 亿 ，
故选：C．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查幂的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方计算后判断即可．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算正确，符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
6．将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形
水杯，如图所示，则小水杯水面的高度 与注水时间 的函数图象大致为图中的（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容
器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度 与注水时间 的函
数图象．
【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来
的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入
小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，
当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， ，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点
．再分别以点 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，作射线 ，交 于点
，若 ，则点 到 的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，如图，过点 作 于点 ，由作图过程可知 平
分 ，根据角平分线的性质得 ，再根据 确定 的长，即可得出结论．解题的关
键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，由作图过程可知： 平分 ，
∵∠B=90°，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点 到 的距离等于 ．
故选：C．
8．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫
猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法
列出所有等可能的结果是解题的关键．根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后
利用概率公式计算概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种，
和是偶数的概率为 ，故选：D．
9．如图，△ABC内接于 ，连接 ，过点C作 的切线，交 的延长线于点M， ，
，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，连接 ，根据圆周角定理求出
，证明 是等边三角形，根据切线的性质求出 ，解直角三角形求出
即可．
【详解】解： 连接 ，
，
，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵过点C作 的切线，交 的延长线于点M，
，
∵ ，
，
故选：A
10．观察规律 ，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点 作 轴的垂线，交 的图象于点 ，交直线 于点 ．则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结
方法．由 可得： ， ，则可得 ，则可得
，再利用 ，进行计算即可．
【详解】解：∵过点 的垂线，交 的图象于点 ，交直线 于点 ；
∴令 ，可得： 纵坐标为 ， 纵坐标为 ，
， ，
．
，．
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮
食记为“ ”，则“ ”表示 ．
【答案】运出30吨粮食
【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解： 粮库把运进30吨粮食记为“ ”，根据正数和负数是一组具有相反意义的量．
“ ”表示粮库运出30吨粮食，
故答案为：粮库运出30吨粮食．
12．已知点 、 是反比例函数 （ ）图象上两点．当 时， ，
则 的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数 的性质：当
时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 时，图象在二、四象限，在每
一象限内，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
【详解】解：∵点 、 是反比例函数 （ ）图象上两点，且 时，
，∴ ，
∴ ，
∴ 的值可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
13．方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同乘 ，将分式方程化为整式方程求解即可．
【详解】解： ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
所以分式方程的解是 ，
故答案为： ．
14．如图，下左图为《天工开物》记载的用于舂（ ）捣谷物的工具——“碓（ ）”的结构简图，
如图为其平面示意图．已知 于点B， 与水平线l相交于点O， ．若 ，
， ，则点C到水平线l的距离 为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解三角形，熟练利用三角函数解三角形是解题的关键．
延长 交l于点H，连接 ，证明 ，进而得到 ，再利用三角函数解 和
即可求得答案．
【详解】解：如图，延长 交l于点H，连接 ，∵ ， ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
15．如图，有一张长方形纸片 ，其中边 的长为2，将长方形沿对角线 对折，折叠后得到
，点C的对应点为E， 与 交于点F，再将 沿 对折，使点E落在长方形纸片的内部
点G处，若 平分 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，折叠问题．由矩形的性质推出 ， ，由平行线的性质推
出 ，由折叠的性质得到 ， ， ， ，
， ，判定 ，推出 ，判定四边形 是正方形，得到 是等腰直角三角形，求出 ，据此求解即可得到 的长．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠的性质得到： ， ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
16．二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，下列结
论： ； ；（3）若点 ，点 ，点 在该函数图象上，则；（4）若 ，则 ，其中正确的结论的序号是 ．
【答案】（1）（4）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴，抛物线与x轴交点情况，函数的增减性，特殊点的函数值等进行推理，进而对所求结论进行判断．
【详解】解：∵称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故 正确，
∵二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴ ，故 错误，
∵点 ，点 ，点 在该函数图象上，对称轴为直线 ，图象开口向下，离对称
轴越远，函数值越小
∴ ，故（3）错误，
∵当 时， 取得最大值，
∴当 时， ，
∴ ，故（4）正确，
故答案为：（1）（4）．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解不等式组 ，并写出它的所有正整数解．
【答案】不等式组的解是 ，不等式组的正整数解为1，2，3．
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、
同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再写出整数解即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ；
解不等式 ，得 ．
原不等式组的解是 ，
不等式组的正整数解为1，2，3．
18．（8分）如图，AC∥DF，AC＝DF．下列三个条件：
①AE＝DB；②BC＝EF；③∠C＝∠F．
请你从①②③中选一个条件，使△ABC≌△DEF．
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明△ABC≌△DEF．
【分析】（1）由全等三角形的判定即可得到答案；
（2）由SAS或ASA即可证明△ABC≌△DEF．
【详解】（1）解：添加的条件是①或③；
（2）证明：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
先证明添加的条件①，
∵AE＝DB，
∴AB＝DE，在△ABC和△DEF中，
{
AC=DF
∠A=∠D，
AB=DE
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
下面证明添加的条件③，
在△ABC和△DEF中，
{∠C=∠F
AC=DF ，
∠A=∠D
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，
HL．
19．（8分） 年 月4日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多
样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级
学生中各随机抽取 名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四
组：
． ， ． ， ． ， ． ，得分在 分及以上为优秀），下面给出
了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩是：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
八年级 名学生竞赛成绩在B组的数据是： ， ， ， ， ， ， ．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 a
八年级 b根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的 __________， __________， __________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；
（写出一条理由即可）
(3)该校八年级有学生 人，七年级有学生 人，估计该校七、八年级学生中中华民族优秀传统文化
知识为优秀的学生人数总共有多少人？
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
(3)估计该校七、八年级学生中优秀的学生人数总共有 人
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数以及扇形统计图的概念以及用样本估计总体．熟练掌握平均数，
中位数，众数以及扇形统计图的概念以及用样本估计总体是解题的关键．
（1）根据众数，中位数，扇形图统计图的概念求解即可；
（2）根据平均数，方差的意义求解即可（答案不唯一）；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可求解．
【详解】（1）解：七年级20名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是 ，故 ；
八年级 名学生竞赛成绩在 组 的数据是： ， ， ， ， ， ， 共7个数据，
八年级 组 占 ，则 组人数为： 人．剩余 组， 组共5人，中位数为第
位，第 位的平均数，则第 位，第 位在 组内： ；
，则 ；
故答案为： ， ， ．
（2）解：八年级成绩更好．
由表中数据可知，七、八年级成绩的平均数相等，而八年级的方差较小，所以八年级的成绩更稳定，成绩
更好；（3）解： 人，
计该校七、八年级学生中中华民族优秀传统文化知识为优秀的学生人数总共有 人．
20．（8分）如图是由小正方形组成的8×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC三个顶点均在格点
上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务,每个任务的画线不得超过四条.
（1）在图(1)中，先画格点D,使得BD⊥AC干E；
（2）在(1)的基础上，在射线BE上画一点E,使得AF=AB；
（3）在图(2)中，先画点P，使点A绕点P逆时针旋转90°得点C，连接BP交AC于G；
（4）在(3)的基础上，将线段BC绕点G旋转180°，画出对应线段MN(点B与点M对应,点C与点N对应).
【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质及垂直的定义即可得到结论;
（2）将AC向右平移4个单位交射线BE于点F，连接AF,则AF=AB；
（3）作线段AC的垂直平分线得点P,连接BP交AC于G；
（4）将AC向右平移4个单位交射线BG于点M,过点M作MNIBC,交AC于点N,线段MN即为所求作的线
段.
【详解】解：(1)(2)如图(1)所示，(3)(4)如图(2)所示.
21．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上一点，以CD为直径的 O与边AC交于点
E，连接BE，AB＝BE． ⊙
（1）求证：BE是 O的切线；
⊙1
（2）若tan∠ACB= ， O的直径为4，求BD的长．
2
⊙
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠AEB，∠C＝∠OEC，求得∠BEO＝90°，
根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠CED＝90°，由（1）知，∠BEO＝90°，根据相似三角形的性质
BD DE BD 1
得到 = ，求得 = ，设BD＝x，BE＝2x，根据三角函数的定义即可得到结论．
BE CE BE 2
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AB＝BE，
∴∠A＝∠AEB，∵OE＝OC，
∴∠C＝∠OEC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠AEB+∠CEO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∵OE是 O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解⊙：连接DE，
∵CD为 O的直径，
∴∠CED⊙＝90°，
由（1）知，∠BEO＝90°，
∴∠BED＝∠CEO＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEC，
BD DE
∴ = ，
BE CE1
∵tan∠ACB= ，
2
DE 1
∴ = ，
CE 2
BD 1
∴ = ，
BE 2
设BD＝x，BE＝2x，
∴AB＝2x，
AB 2x 1
在Rt△ABC中，tan∠ACB= = = ，
BC x+4 2
4
解得x= ，
3
4
故BD的长为 ．
3
22．（10分）综合与应用
为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩
到最高处时的形状是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
9
若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为 米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者
10
A的水平距离1.5米处，绳子刚好经过她的头顶．
【阅读理解】
（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）
【问题解决】
（2）体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；
（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最
多可供几人齐跳．9 b
【分析】（1）易得 c= ，抛物线的对称轴为直线 x＝3，那么− =3；抛物线经过点（1.5，
10 2a
1.575），代入抛物线解析式可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式可得二次函数的最大值，与1.82米比较可得老师能否参加活动；
（3）取二次函数的y的值为1.7，求得对应的x的值，进而求得两个x之间的间距，除以两个人之间最
小的间距0.6，算出合适的人数即可．
9
【解答】解：（1）∵摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为 米，
10
∴抛物线的对称轴为直线x＝3．
9
由题意得：抛物线经过点（0， ），（1.5，1.575）．
10
9
{ c=
10
∴ b ．
− =3
2a
2.25a+1.5b+c=1.575
{a=−0.1
解得： b=0.6 ．
c=0.9
∴图中抛物线的解析式为：y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9；
（2）∵﹣0.1＜0，
4ac−b2 4×(−0.1)×0.9−0.62 −0.72
∴二次函数有最大值 = = =1.8．
4a 4×(−0.1) −0.4
∵1.8m＜1.82m，
∴他不适合参加本次运动；
（3）当y＝1.7时．
﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.7．
0.1x2﹣0.6x+0.8＝0．x2﹣6x+8＝0．
（x﹣2）（x﹣4）＝0．
∴x ＝2，x ＝4．
1 2
∴4﹣2＝2（米）．
∵相邻两人之间间距至少为0.6米，
1
∴间距个数为：2÷0.6＝3 ．
3
∴最多可供4人齐跳．
答：最多可供4人齐跳．
23．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在
△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，
连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=√2AE；
（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方
时，若AB＝4√5，CE＝4，求线段AE的长．
【分析】（1）依据AE＝EF，∠DEC＝∠AEF＝90°，即可证明△AEF是等腰直角三角形；
（2）连接EF，先证明△EGF≌△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）当AD＝AC＝AB时，四边形ABFD是菱形，先求得EH＝DH＝CH＝2√2，在Rt△ACH中，AH＝6
√2，即可得到AE＝AH+EH＝8√2．
【详解】（1）证明：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB＝DF．
在等腰 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点 A、C重合），在△ABC的外部作等腰
Rt△CED，使∠CED＝90°，∵AB＝AC，
∴AC＝DF．
∵DE＝EC，
∴AE＝EF．
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）证明：连接EF，如图2，
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DGE＝∠ABC＝45°，
∴∠EGF＝180°﹣∠DGE＝135°，EG＝ED．
∵∠ADE＝180°﹣∠EDC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EGF＝∠ADE．
∵∠DGC＝∠C，
∴DG＝DC．
∵DF＝AB＝AC，
∴GF＝AD．
在△EGF和△EDA中，
{
EG=ED
∠EGF=∠ADE，
GF=AD
∴△EGF≌△EDA（SAS），
∴EF＝EA，∠GEF＝∠AED，
∴∠FEA＝∠BED＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=√2AE；
（3）解：当AD＝AC＝AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD＝AC，ED＝EC，可得AE垂直平分CD，
∵CE＝4，
√2 √2
在等腰直角△CDE中，EH＝DH＝CH= CE= ×4＝2√2，
2 2
在Rt△ACH中，AC＝AB＝4√√5，
由勾股定理得AH=√AC2−CH2=√(4√5) 2−(2√2) 2=6√2，
∴AE＝AH+EH＝8√2．
24．（12分）综合与探究：
5 1 5
如图1，抛物线y=ax2+bx+ 与x轴相交于A( ，0)，B( ，0)两点，与y轴交于点C，连接BC，
4 2 2
抛物线顶点为点M．
（1）求抛物线解析式及点M的坐标；
（2）平移直线BC得直线y＝mx+n．
7
①如图2，若直线y＝mx+n过点M，交x轴于点D，在x轴上取点E( ，0)，连接EM，求∠DME的
6
度数．
5
②把抛物线y=ax2+bx+
在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3中的“W”形曲线）．当直
4
线y＝mx+n与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）将A，B两点的坐标代入抛物线解析式，求出 a和b的值，然后利用配方法求出顶点M
的坐标即可；
（2）根据平移的性质，可以求出m的值；
①将M点坐标代入一次函数解析式，求出n的值，过M作x轴垂线，过E作DM垂线，根据三角函数
值的定义和勾股定理来求解即可；
②当直线经过A时，有一个公共点，当直线经过B时，有三个公共点，在这之间平移的时候，有两个公共点；当直线与抛物线中间部分相切时，有三个公共点，直线继续向上平移时，有两个公共点，据此
解答．
【详解】解：（1）将A，B两点的坐标代入抛物线解析式：
1 1 5
{ a+ b+ =0
4 2 4
，
25 5 5
a+ b+ =0
4 2 4
解得：a＝1，b＝3，
5 3
∴y＝x2﹣3x+ =（x− ）2﹣1，
4 2
3
∴M（ ，﹣1）；
2
5
（2）①设直线BC的解析式为：y＝kx+ ，
4
5 5 5
把B（ ，0）代入得：0= k+ ，
2 2 4
1
解得：k=− ，
2
1 5
∴直线BC的解析式为：y=− x+ ，
2 4
1
∴直线BC平移后的解析式为：y=− x+n，
2
3 1 1 3
把点M（ ，﹣1）代入y=− x+n，得：﹣1=− × +n，
2 2 2 2
1
解得：n=− ，
4
1 1
∴直线DM的解析式为：y=− x− ，
2 4
1
令y＝0，得：x=− ，
2
1
∴D（− ，0），
2
过点E作EF⊥DM于F，过点M作MH⊥x轴于H，如图：3
∴H（ ，0），
2
∴MH＝1，DH＝2，
在Rt△DHM中，DM=√M H2+DH2=√5，
7
∵E（ ，0），
6
5
∴DE= ，
3
HM EF
∵sin∠BDM= = ，
DM DE
√5
∴EF= ，
3
2√5
∴DF=√DE2−EF2= ，
3
√5
∴FM＝DM﹣DF= ，
3
∴EF＝FM，
又∵EF⊥FM，
∴∠DME＝45°；
②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到的新图象，如图：
1
由平移的性质可知，当直线y=− x+n在l 和l 之间以及l 上方时，直线与新图象有两个交点，
2 1 2 31 5
∵l 的解析式即为直线BC的解析式：y=− x+ ，
2 2 4
5
∴n = ，
2 4
1 1 1
将A（ ，0）代入直线解析式得：0=− × +n ，
2 2 2 1
1
∴n = ，
1 4
5
翻折后，AB之间的函数解析式为：y＝﹣x2+3x− ，
4
7 5
与直线解析式联立得：x2− x+n + =0，
2 3 4
此时，一元二次方程有相同的实数根，
7 5 29
∴Δ＝（− ）2﹣4（n + ）＝﹣4n + =0，
2 3 4 3 4
29
∴n = ，
3 16
1 5 29
∴当直线y＝mx+n与新图象有两个公共点时， ＜n＜ 或n＞ ．
4 4 16
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次
函数解析式、二次函数的性质、翻折的性质以及二次函数与一元二次方程的关系是本题解题的关键．
