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2025 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．实数 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的意义进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴实数 的绝对值是 ，
故选：B
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对
称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后
两部分重合．
3．以下列每组数为长度（单位： ）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A. 2，2，4 B. 1，2，3 C. 3，4，5 D. 3，4，8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
B、 ，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
C、 ，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意；
D、 ，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第
三边、任意两边之差小于第三边．
4．已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（ ）
A. 89 B. 94 C. 95 D. 98
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇
数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是
这组数据的中位数）即可得．
【详解】解：将这组数据按从小到大进行排序为89，92，95，96，98，
则其中位数是95，故选：C．
【点睛】本题考查了中位数，熟记中位数的概念是解题关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的加减法计算法则，幂的乘方计算法则及同底数幂除法法则依次计算判断．
【详解】解：A、 ，故错误；
B、 ，故错误；
C、 ，故错误；
D、 ，故正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了整式的计算法则，熟练掌握整式的加减法计算法则，幂的乘方计算法则及同底数幂除
法法则是解题的关键．
6．《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x
辆车，则根据题意可列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人乘一车，最终剩余9人无车可乘，进而表示出总人
数得出等式即可；
【详解】由题意可列出方程 ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．7．在同一平面内，已知 的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到
直线l的最大距离是（ ）
A. 2 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】过点 作 于点 ，连接 ，判断出当点 为 的延长线与 的交点时，点 到直
线 的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
， ，
当点 为 的延长线与 的交点时，点 到直线 的距离最大，最大距离为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点 到直线 的距离最大时，点 的位置是解题关键．
8．一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是 ，如果分别按A、B、C面朝上将此物
体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为 、 、 （压强的计算公式为 ），则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性
质进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是 ，
∴长方体物体的A、B、C三面所对的与水平地面接触的面积比也为 ，
∵ ， ，且 一定，
∴ 随 的增大而减小，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．
9．如图，点A，B，C在 上， ，连接 ， ．若 的半径为3，则扇形
（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用圆周角定理求出 的度数，然后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又 的半径为3，∴扇形 （阴影部分）的面积为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一
半”是解题的关键．
10．定义：在平面直角坐标系中，对于点 ，当点 满足 时，称点
是点 的“倍增点”，已知点 ，有下列结论：
①点 ， 都是点 的“倍增点”；
②若直线 上的点A是点 的“倍增点”，则点 的坐标为 ；
③抛物线 上存在两个点是点 的“倍增点”；
④若点 是点 的“倍增点”，则 的最小值是 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证 即可；②点 ，根据“倍增点”定义，
列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点 是点 的“倍增点”，根据“倍增
点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点 ，根据“倍增点”定
义可得 ，根据两点间距离公式可得 ，把 代入化简并配方，即可得出 的最小值为 ，即可判断．
【详解】解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 是点 的“倍增点”；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 是点 的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点 ，
∵点A是点 的“倍增点”，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点 是点 的“倍增点”，
∴ ，整理得： ，
∵ ，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线 上存在两个点是点 的“倍增点”；
故③正确，符合题意；④设点 ，
∵点 是点 的“倍增点”，
∴ ，
∵ ， ，
∴
，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值是 ，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题
的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： =__________．【答案】（x+4）（x-4）
【解析】
【分析】
【详解】x2-16=(x+4)(x-4)，
故答案为：(x+4)(x-4)
【点睛】本题考查了因式分解的定义，利用平方差公式是解题的关键．
12．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在
格点上，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】取 的中点 ，连接 ，先根据勾股定理可得 ，再根据等腰
三角形的三线合一可得 ，然后根据正弦的定义即可得．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
，
，
又 点 是 的中点，
，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解
题关键．
13．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，
其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
14．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示， 表示塔的高度，
表示竹竿顶端到地面的高度， 表示人眼到地面的高度， 、 、 在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知 米， 米， 米， 米，人从点F远眺塔顶B，视
线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米．
【答案】 ##
【解析】
【分析】如图，过 作 于 ，交 于 ，可得 ，证明 ，
可得 ，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于 ，交 于 ，
则 ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，解得： ，经检验符合题意；
∴ （米）；
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键．
15．如图，在矩形 中， ．连接 ，在 和 上分别截取 ，使
．分别以点E和点F为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点G．作射线 交
的
于点H，则线段 的长是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】过H作 于Q，再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解．
【详解】解：设 ，
过H作 于Q，在矩形 中， ，
∴ ，
由作图得： 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，有 ，
即： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
16．如图，在 中，将 绕点 A 顺时针旋转 至 ，将 绕点 A 逆时针旋转 至
，得到 ，使 ，我们称 是
的“旋补三角形”， 的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
下列结论正确的有________．① 与 面积相同；
② ；
③若 ，连接 和 ，则 ；
④若 ， ， ，则 ．
【答案】①②③
【解析】
【分析】延长 ，并截取 ，连接 ，证明 ，得出 ， ，
根据 ， ，得出 ，证明 ，得出 ，即可判断①
正确；根据三角形中位线性质得出 ，根据 ，得出 ，判断②正确；根据
时， ，
得出 ， ， ， ，根据四边形内角
和得出
， 求 出
， 判 断 ③ 正 确 ； 根 据 ② 可 知 ， ， 根 据 勾 股 定 理 得 出
，求出 ，判断④错误．
【详解】解：延长 ，并截取 ，连接 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据旋转可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 面积相同，故①正确；
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
当 时， ，∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，故③正确；
∵ ，
∴根据②可知， ，
∵当 时， ， 为中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，勾股定理，四边形
内角和，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，在按照运算顺序进行计算即可．【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，实数的混合运算．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握相
关运算法则，正确的进行计算．
18．（8分）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是
_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变， ；任务二： ，
【解析】
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵ ，
∴ ；∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是
；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变， ；
任务二： ，
，
，
；
又 ，
∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，
注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
19.（8分）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算法则代简，再将 代入代简式计算即可．
【详解】解：，
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查分式化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算法则是解题
的关键．
20.（8分）已知：如图，点 为 对角线 的中点，过点 的直线与 ， 分别相交于点
， ．
求证： ．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ，进而得出 ，
，再证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，再利用线段的差
得出 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点 为对角线 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
21.（8分）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课，泥塑课，编
织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机
抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑
课的学生人数占所调查人数的 ．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹任课的学生共有多少名．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】根据最喜欢泥塑课的学生人数为 人，占所调查人数的 ，用 即可求解；
（2）根据总人数减去其他类型的人数，即可得出最喜欢编织课的学生人数进而补全统计图；
（3）根据最喜欢烹任课的学生的占比乘以 ，即可求解．【小问1详解】
解：最喜欢泥塑课的学生人数为 人，占所调查人数的 ，
∴这次调查中，一共抽取了 名学生
【小问2详解】
解：最喜欢编织课的学生人数为 人，
补全统计图如图所示，
【小问3详解】
解：估计该中学最喜欢烹任课的学生共有 名
【点睛】本题考查了条形统计图，样本估计总体，从统计图中获取信息是解题 的关键．
22．（10分）如图， ， 为 的直径， 为 上一点，过点 的切线与 的延长线交于点
， ，点 是 的中点，弦 ， 相交于点 ．（1）求 的度数；
（2）若 ，求 直径的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质，得出 ，再根据直角三角形两锐角互余，得出
，再根据等边对等角，得出 ，再根据等量代换，得出
，再根据 ，得出 ，即 ，
得出 ，进而计算即可得出答案；
（2）连接 ，根据圆周角定理，得出 ，再根据中点的定义，得出 ，再根据同弧
或同弦所对的圆周角相等，得出 ，再根据正切的定义，得出
，再根据 角所对的直角边等于斜边的一半，得出 ，进而即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；【小问2详解】
解：如图，连接 ，
∵ 是 直径，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ 的直径的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角
函数、含 角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．23．（10分） 某中学数学兴趣小组的同学们，对函数 （a，b，c是常数， ）的性质
进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当 ， 时，即 ，当 时，函数化简为 ；当 时，函数化简为
______．
（2）当 ， ， 时，即 ．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 6 2 0 2 4 6 …
其中 ______．
②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数 的图象．
（3）当 时，即 ．
①当 时，函数化简为 ______．
②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数 的图象．
（4）请写出函数 （a，b，c是常数， ）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
【答案】（1）
（2）4，图像见详解；
（3） ，图像见详解；
（4）答案见详解；
【解析】
【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案；
（2）将 代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案；
（3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案；
（4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案；
【小问1详解】
解：当 时，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：①当 时，
，
故答案为：4；
②根据表格描点再连接起来，如图所示，；
【小问3详解】
解：①当 时，
，
故答案为： ；
②当 时，
，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
描点如图所示，；
【小问4详解】
解：由解析式得，当 时，
，
当 时， 时，y随x增大而增大，
当 时， 时，y随x增大而减小，
当 时， ，
当 时， 时，y随x增大而减小，
当 时， 时，y随x增大而增大，
故答案为：当 时， 时，y随x增大而增大，当 时， 时，y随x增大而减小，当
时， 时，y随x增大而减小，当 时， 时，y随x增大而增大（写其中任意一条即
可）．
【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式．24．（13分）规定：若函数 的图像与函数 的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟
函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数① ；② ；③ ，其中与二次函数 互为“兄
弟函数”的是________（填写序号）；
（2）若函数 与 互为“兄弟函数”， 是其中一个“兄弟点”的横坐
标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；
（3）若函数 （m为常数）与 互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为 、
、 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）② （2） ； 、
（3）
【解析】
【分析】（1）在平面直角坐标系中作出 ； ； ； 图像，结合
“兄弟函数”定义即可得到答案；
（2）①根据“兄弟函数”定义，当 时，求出 值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即
可得到答案；
（3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由 ，按照讨论结果求解，
即可得到答案．【小问1详解】
解：作出 ； ； ； 图像，如图所示：
与 图像有三个不同的公共点，
根据“兄弟函数”定义，与二次函数 互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；
【小问2详解】
解：① 函数 与 互为“兄弟函数”， 是其中一个“兄弟点”的横
坐标，
，则 ，解得 ；
②联立 ，即 ，
是其中一个解，
因式分解得 ，则 ，解得 ，
另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；
【小问3详解】解：在平面直角坐标系中作出 （m为常数）与 图像，如图所示：
联立 ，即 ，
①当 时， ，即 ，当 时， ；
②当 时， ，即 ，由①中 ，则 ，
；
由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而 ，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为 、 、
，且 ，
， ， ，，
由 得到 ，即 ．
【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合
是解决问题的关键．
25．（13分） 在矩形 中， ， ，点 在边 上，将射线 绕点 逆时针旋转
90°，交 延长线于点 ，以线段 ， 为邻边作矩形 ．
（1）如图1，连接 ，求 的度数和 的值；
（2）如图2，当点 在射线 上时，求线段 的长；（3）如图3，当 时，在平面内有一动点 ，满足 ，连接 ， ，求 的最
小值．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出 ， ， ，进而根据正切函数得
出 ， 可 求 出 ， 由 矩 形 和 矩 形 可 得 ，
，求出 ，证明 ，根据相
似三角形的性质即可得出答案；
（ 2 ） 过 点 作 于 点 ， 由 矩 形 和 矩 形 可 得 ，
， ， 证 明 ， 进 而 得 出
， 设 ， 则 ， 根 据 ， 得 出
，求出 ，进而可得出答案；
（3）连接 ，先证明 是等边三角形， ，得出 ，
将 绕 点 顺 时 针 旋 转 120° ， 与 重 合 ， 得 到 ， 进 而 求 出 ，
， ，得出 ，可得当点 ， ， 三点共线时，的值最小，此时为 ．
【小问1详解】
解：∵矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由矩形 和矩形 可得， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如答案图1，过点 作 于点 ，
由矩形 和矩形 可得， ，
，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如答案图2，连接 ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
将 绕点 顺时针旋转120°， 与 重合，得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴当点 ， ， 三点共线时， 的值最小，此时为 ．【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题
的关键．
