文档内容
2025 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在下列四个实数中，最大的实数是（ ）
.
A -2 B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．
【详解】解： 正数大于0，负数小于0，正数大于负数，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．
2．如图是一个正方体的展开图，把它折叠成正方体后，有“学”字一面的相对面上的字是（ ）
A. 雷 B. 锋 C. 精 D. 神
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方体的表面展开图的特征，判断相对的面即可．
【详解】解：由正方体的表面展开图的特征可知：
“学”的对面是“神”，
故选：D．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．
3．2021年5月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000，其中数据
1412000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ，n为整数，据此判断即
可．
【
详解】解： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定a与n
的值是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，把点 向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．
【详解】解：根据题意，从点 到点 ，点 的纵坐标不变，横坐标是 ，
故点 的坐标是 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”．
5．如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为切点，若 ， ，则 的
长为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得 ，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．
6．下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
【详解】解：A．由合并同类项的法则，得 ，故A不符合题意．
B．由积的乘方以及幂的乘方，得 ，故B不符合题意．的
C．由同底数幂 除法，得 ，故C不符合题意．
D．由完全平方公式，得 ，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式，熟练掌握
合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式是解决本题的关键．
7．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传
队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．
【详解】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队 概率是 ．
的
故选C
【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
8．若不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
且不等式组的解集为 ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9． 如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以 的长为半径作弧交 于点
，连接 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交
于点 ，连接 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. 垂直平分线段
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据，
， 得到 是等边三角形，由“三线合一”得AP平分 ，则
， ,且 角所对的直角边等于斜边的一半，故 ，所以
DE垂直平分线段 ，证明 可得 即可得到结论．
【详解】由题意可得： ，点P在线段BD的垂直平分线上
， 点A在线段BD的垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上， BE=DE，故A正确；
， ，
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分 ，故B正确；
， ，
，
，，故C错误；
，
，
，故D正确
故选C．
【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
掌握这些基础知识为解题关键．
10．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任
意一个小于 的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述
规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数 ，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的 所
有可能取值的个数为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出 的所有可能的取值．
【详解】解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第6项一定是1，
则变换中的第5项一定是2，
则变换中的第4项一定是4，
则变换中的第3项可能是1，也可能是8．
则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8.
则变换中第2项是16．
则 的所有可能取值为32或5，一共2个，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键．
第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： _____
【答案】
【解析】
【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3），
故答案为：（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
12．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概
率是_______．
【答案】 ##
【解析】
【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积
占了其中的四等份，
∴P =
（飞镖落在白色区域）
故答案为： ．
13．关于 的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【
详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程 得：，解得： ，
∴原方程为 ，
解方程得： ，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．
14．若 ，则 的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据 ，将式子 进行变形，然后代入求出值即可．
【详解】∵ ，
∴ =3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用已知代数式求值．
15．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函
数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位
是时间 的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个 的值记录错误，请排除后
利用正确的数据确定当 为 时，对应的时间 为__________ ．
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.4 4 …【答案】15
【解析】
【分析】由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位 与时间 的
函数解析式为 ，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．
【详解】解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位
就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，
设水位 与时间 的函数解析式为 ，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：
，解得： ，
∴水位 与时间 的函数解析式为 ，
∴当 =8时，则有 ，解得： ，
故答案为15．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
16．如图，一个由8个正方形组成的“ ”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点 ，
， ， ， 都在矩形 的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边 的长为__________．【答案】
【解析】
【分析】如图，延长 交于点 ，连接 ，根据题意求得 的长，设 ，
先证明 ，再证明 ， ，分别求出矩形的四边，根
据矩形对边相等列方程组求得 的值，进而求得 的值．
【详解】 小正方形的面积为1，则小正方形的边长为 ，
如图，延长 交于点 ，连接 ，， ，
四边形 是正方形，
，
，
设 ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
， ，
，， ，
，
即 ①
②联立
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，
解二元一次方程组，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向
右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的化简，掌
握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题关键．18．（8分）解方程组： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据代入消元法，可得答案．
【详解】解：
由②得：x=-3+2y ③，
把③代入①得，3（-3+2y）-y=-4，
解得y=1，
把y=1代入③得：x=-1，
则原方程组的解为： ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.（8分）如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 上，且 ，求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】菱形 中，四边相等，对角相等，结合已知条件 ，可利用三角形全等进
行证明，得到 ，再线段之差相等即可得证．
【详解】 四边形 是菱形
在 和 中(ASA)
即 ．
【点睛】本题考查了三角形全等的证明，菱形的性质，根据题意找准三角形证明的条件，利用角边角进行
三角形全等的证明是解题的关键．
20.（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【详解】解：原式
，
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查同类项，分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解同类项的概念，掌握平方差公式
的结构是解题关键．
21.（8分）某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学
史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当 时为优秀， 时为良好，时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如下：
98 88 90 72 100 78 95 92 100 99
84 92 75 100 85 90 93 93 70 92
78 89 91 83 93 98 88 85 90 100
（1）本次抽样调查的样本容量是________，样本数据中成绩为“优秀”的频率是_______；
（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在八年级，D
在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到
的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．
【答案】（1）30，0.6；（2）图表见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意，即可得到样本容量为30，找出90分及以上出现的数量，然后除以30，即可得到
答案；
（2）利用列表法得到所有可能的结果，以及抽到的两位同学都在九年级的结果，即可求出答案．
【详解】解：（1）根据题意，随机抽取30位同学的竞赛成绩，
∴样本容量为30；
的
由表格可知，90分及以上出现 次数有18次，
∴样本数据中成绩为“优秀”的频率是 ；
故答案为：30， ．
（2）根据题意，列表如下：
第一人
A B C D
第二人
A — BA CA DA
B AB — CB DB
C AC BC — DC
D AD BD CD —其中抽到的两位同学都在九年级的结果共有2种，即BA，AB，
∴ ；
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，以及抽样调查，解题的关键是掌握题意，正确的列出表
格进行解题．
22．（10分）如图，点 和点 是反比例函数 图象上的两点，点 在反比例函数
的图象上，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为点 ， ， ，连接 交
轴于点 ．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证： ；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3） ， ．
【解析】
【分析】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；
（2）根据AAS可证 ，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
（3）设A点坐标为（a， ），则可得C（0， ），D（0，﹣ ），根据勾股定理求出a值，即可求得的
A点 坐标．
【详解】解：（1） 点 是反比例函数 图象上的点，
，
解得 ，
故答案为：2；
（2）在 和 中，
，
，
，
点 坐标为 ，则可得 ，
， ，
即 ，
整理得 ；
（3）设 点坐标为 ，
则 ， ，
， ，
，
即 ，解得 （舍去）或 ，
点的坐标为 ， ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比
例函数图象上点的特征是解题的关键．
23．（10分） 跳绳是一项很好的健身活动，如图①是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如
图②所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B，C相距20cm，头顶A离地174cm，相距60cm的双手D，E离地
均为80cm．点A，B，C，D，E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计，小明调节绳子，使跳动时绳子
刚好经过脚底B，C两点，且甩绳形状始终保持不变．
(1)求经过脚底B，C 时绳子所在抛物线的解析式；
(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
1
【答案】(1)抛物线解析式为y= x2−90
10
(2)小明此次跳绳成功，见详解
【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+k，根据题意求出C点、E点的坐标，代入抛物线解析式即可求
解；
（2）由174−90=84<90，跳绳不过头顶A，即可得到答案．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为y=ax2+k，
由题意得：双手D，E相距60厘米，
∴D(−30,0)，E(30,0)，
∵双手D，E离地均为80厘米，脚底B，C相距20厘米，∴C(10,−80)，
把C(10,−80)、E(30,0)代入y=ax2+k得：¿，
解得：¿，
1
∴抛物线解析式为y= x2−90；
10
1
（2）解：由（1）得：抛物线解析式为y= x2−90，
10
当x=0时，y=−90，
∴顶点坐标为(0,−90)，
即跳绳顶点到手的垂直距离是90厘米，
∵头顶A离地174厘米，
∴174−90=84<90，
∴跳绳不过头顶A，
∴小明此次跳绳成功．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解题的关键．
24．（13分） 如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，
ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，
记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面
积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，
这两个矩形的对称中心O，O 所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的
1 2
面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）
【思考】
如图3，直线OO 是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分
1 2
别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．【应用】
在
L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．
（2）设 ＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相
交的面积平分线，直接写出t的取值范围 ．
【答案】【活动】见解析；【思考】 ；【应用】（1）① ；② ；（2） ＜t＜
是
【解析】
【分析】[活动]如图1，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心O，O 所在直线
1 2
是该L图形的面积平分线；
[思考]如图2，证明 OQN≌△OPM（AAS），根据割补法可得直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线；
[应用] △
（1）①建立平面直角坐标系，分两种情况：如图3﹣1和3﹣2，根据中点坐标公式和待定系数法可得面积
平分线的解析式，并计算P和Q的坐标，利用两点的距离公式可得PQ的长，并比较大小可得结论；
②当GH⊥AB时，GH最小，设BG＝x，根据面积相等列方程，解出即可；
（2）如图5，由已知得：CD＝tAF，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，列不等式可得
t的取值．
【详解】解：【活动】如图1，直线OO 是该L图形的面积平分线；
1 2【思考】如图2，∵∠A＝∠B＝90°，
∴AF∥BC，
∴∠NQO＝∠MPO，
∵点O是MN的中点，
∴ON＝OM，
在 OQN和 OPM中，
△ △
，
∴△OQN≌△OPM（AAS），
∴S ＝S ，
OQN OPM
△ △
∵S ＝S ，
梯形ABMN MNFEDC
∴S ﹣S ＝S ﹣S ，
梯形ABMN OPM MNFEDC OQN
△ △
即S ＝S ，
ABPON CDEFQOM
∴S +S ＝S +S ，
ABPON OQN CDEFQOM OPM
△ △
即S ＝S ，
梯形ABPQ CDEFQP
∴直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线．
故答案为：是；
【应用】（1）①如图3，当P与B重合时，PQ最大，过点Q作QH⊥BC于H，L图形ABCDEF的面积=4×6-（4-1）×（6-1）=9，
∵PQ是L图形ABCDEF的面积平分线，
∴梯形CDQP的面积= ×（DQ+BC）×CD= ，
即 ×（DQ+6）×1= ，
∴DQ=CH=3，
∴PH=6-3=3，
∵QH=CD=1，
由勾股定理得：PQ= ；
∴PQ长的最大值为 ；
②如图4，当GH⊥AB时GH最短，过点E作EM⊥AB于M，
设BG＝x，则MG＝1﹣x，
根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，
解得x＝ ，即BG＝ ；故答案为： ；
（2）∵ ＝t（t＞0），
∴CD＝tAF，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，
如图5，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条
边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，
即（4﹣tAF）•AF＜6t•AF，
∴ ，
∵0＜AF＜6，
∴0＜ ﹣6＜6，
∴ ．
故答案为： ＜t＜ ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分，三角
形全等的性质和判定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积平分线的画法，并熟练掌握
矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．
25．（13分） 已知 为 的外接圆， ．（1）如图1，延长 至点 ，使 ，连接 ．
①求证： 为直角三角形；
②若 的半径为4， ，求 的值；
（2）如图2，若 ， 为 上的一点，且点 ， 位于 两侧，作 关于 对称
的图形 ，连接 ，试猜想 ， ， 三者之间的数量关系并给予证明．
【答案】（1）①见解析；② ；
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得
出结论；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4-x，利用勾股定理列出方程求
得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；
（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC=∠DCA=45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA=∠E=∠DCA=45°，
∠DFC=∠DAC=45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA=∠E=45°，则得△DQF为等腰直角三角
形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2=QF2+CF2，QF2=2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到
QA=FC，等量代换可得结论．
【小问1详解】
① ， ，
．
∴∠B=∠DCB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠B+∠BAC+∠DCB+∠DCA =180°，
∴∠DCB+∠DCA=90°．
为直角三角形；
②连接 ， ，如图，
，
，
且 ．
的半径为4，
．
设 ，则 ，
，
，．
解得： ．
．
由①知： ，
，
．
，
．
【小问2详解】
， ， 三者之间的数量关系为： ．理由：
延长 交 于点 ，连接 ， ，如图，
， ，
．
， ．
．
．
与 关于 对称，
，，
．
．
．
即 ．
，
．
在 和 中，
，
．
．
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，
等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方
程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．
