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2025 年中考押题预测卷（山东卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1． 的倒数是（ ）
A． B．-2025 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
先根据绝对值、相反数的定义化简 ，再根据倒数的定义即可解答．
【详解】解： ，
的倒数是 ，
故选：D．
2．如图是我国四家银行的标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合,根
据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．3．据报道2025年春运期间，山东省的游客人数累计为5203.23万人次，较2024年春运同期增长了 ．
5203.23万用科学记数法表示为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为
整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时，n是正整数，当原数绝对值 时，n是负整数，据此解答即可．
【详解】解：5203.23万 ，
故选：B．
4．随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某
机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据：
根据预测数据，下列分析正确的是（ ）
①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长；
②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大；
③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超7000亿元；
④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超万亿元．
A．①④ B．①② C．②③④ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查条形统计图及折线统计图，关键是从图中读取有效信息．根据条形统计图及折线统计图
逐项分析即可．【详解】解：根据场规模条形统计图可知， 年全球人形机器人市场规模逐年增长，故①正确；
根据增长率的折线统计图可知， 年全球人形机器人市场规模增长率逐年降低，故②错误；
根据场规模条形统计图可知， 年全球人形机器人市场总规模为：
（亿元），故③错误；
2032年全球人形机器人市场规模为： （亿元），故④正确．
故选：A．
5．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少
两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，
则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正
确的是（ ）
A．设有 名客人， 个盘子，根据题意可得
B．设有 名客人，根据题意可得
C．有20名客人
D．有13个盘子
【答案】D
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，设有x个客人，y个盘子，根据题
意列二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：设有x个客人，y个盘子．根据题意，得
，
解得 ，
即：有30个客人，13个盘子．
所以，选项A，C错误；选项D正确；
设有x个客人，根据题意得， ，故选项B错误；
故选：D．6．如图， 中，点E是 边上的一点，连结 ， 交于点F，若 ， 面积
为4，则 的面积是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．由 ，得到 ，
根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵ 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 面积为4，
∴ 的面积是 ，
∵ ，
∴ 的面积是 ，
故选：C．
7．如果 是一元二次方程 的根，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入法求代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据一元二次方程的解的意义可得 ，从而可得 ，然后代入式子中进行计算，即可解
答．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
8．如图，一次函数 均为常数，且 与 的图象相交于点 ，则关于 的
方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数 ， ，其图
象的交点坐标 中x，y的值是方程组 的解．把 代入 求出m的值即可求解．
【详解】解：把 代入 ，得
，
∴ ，∴ ，
∵次函数 与 的图象相交于点 ，
∴方程组 的解是 ．
故选|D．
9．如图， 是半圆的直径，点 是 的中点，连接 ， ， 于点 ．若 ，
，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ， ．由圆周角定理可得 ，根据点 是 的中点，可知
，即可证 为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出 ，最后根
据 ，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ．
∴ ．
∵点 是 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形
的面积公式等知识，正确连接辅助线是解题关键．
10．如图1，在 中，连接 ， ， ．动点 从点 出发，沿 边匀速
运动．运动到点 停止．过点 作 交 边于点 ，连接 ， ．设 ，
， 与 的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 至 ，使 ，连接 ，连接 交 于 ，当 、 、 三点共线时，
最小，即 最小，当 运动到 时， 最小，由图 得当 时， ，此
时 与 重合， 与 重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解．
【详解】解：延长 至 ，使 ，连接 ，连接 交 于 ，，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
即 最小，
当 运动到 时， 最小，
由图 得：当 时， ，
此时 与 重合， 与 重合，
，
，，
，
，
，
， ，
，
，
当 时，
，
函数图象最低点坐标为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，线段和最小值的典型问题，平行四边形的判定及性质，矩形的判定
及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定
理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．若分式 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为0求解即可得到答案．【详解】解： 分式 有意义，
，
解得 ，
故答案为： ．
12．一组数据 ， ， ， ， 中，唯一的众数是 ，这组数据的方差是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了众数的定义、平均数与方差的计算公式．先根据众数的定义求出 的值，再求出这组
数据的平均数，然后根据方差公式计算即可．
【详解】解：由众数的定义得： ，
这组数据的平均数为 ，
则这组数据的方差为 ．
故答案为： ．
13．如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ，则 的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握圆周角定理．根据直径所对的
圆周角为直角可得 ，结合 可得 ，最后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解： 是 的直径，
，
，
，
，
，故答案为： ．
14．按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规
律： ， ， ， ， ， ，…．由此1规律，可得第12个数和第
13个数的和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得当n为奇数时，第n个数为 ，当n为偶数
时，第n个数为 ，据此规律分别求出第12个数和第13个数，二者再求和即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
以此类推可知，当n为奇数时，第n个数为 ，当n为偶数时，第n个数为 ，
∴第12个数为 ，第13个数为
∴第12个数和第13个数的和为 ，
故答案为： ．
15．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度 向液面 发射一束细光，光束在液面 的 处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点 当液面上升至
时，入射点就沿着入射光线的方向平移至 处，反射光线也跟着向左平移至 处， 交 于点Q，在
处的法线交于点N， 处的法线为 ．若 ， ，则液面从 上升至 的高度为
．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等
腰三角形判定定理的应用．
先证明四边形 是平行四边形，求得 ，据此求解即可．
【详解】由题意得 ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，故答案为： ．
16．已知二次函数 的图象如图，有下列4个结论：① ；② ；③
；④ ．上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与
y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质．
由抛物线的开口方向判断 的符号，由抛物线与 轴的交点判断 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 轴
交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
，
∵与 轴的交点为在 轴的正半轴上，
，
∵对称轴为直线 得 ，
，且 、 异号，即 ，
，
故①错误、③正确；
根据图象得，抛物线与 轴有两个交点，
，即 ，故②正确；
∵对称轴为直线 ，得 ，
，故④正确；
故答案为：②③④.
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共
72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本题8分）（1）计算： ；
（2）先化简 ，然后从 ，0，1这三个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】（1） ；（2） ， ．
【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、分式的化简求值、负整数次幂、零次幂等知识点，
掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可；
（2）先根据分式的混合运算法则化简，然后确定合适的x的值代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
∵ ，
∴当 时，原式 ．
18．（本题8分） 年 月 日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷
繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校八、九
年级学生中各随机抽取 名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 表示，共分为四组： ， ， ， ，得分在 分及以上为优秀），下面
给出了部分信息：
八年级 名学生的竞赛成绩是： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ．
九年级 名学生竞赛成绩在 组的数据是 ， ， ， ， ， ， ．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
平均 众 中位 方
年级
数 数 数 差
八年
级
九年
级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的 ________， ________， ________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；
（写出一条理由即可）
(3)若该校七年级有 名学生，八年级有 名学生，九年级有 名学生，七年级学生成绩达优秀等级
的有 ，估计全校学生都参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
【答案】(1) ； ； ；
(2)九年级学生的成绩更好，理由见解析；
(3)共有 人．
【分析】 根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知根据八年级学生成绩为 的人数最多，所以
八年级成绩的众数是 ，九年级学生的成绩从大到小排列第 和 名的成绩分别为 和 ，所以可知九
年级的中位数为 ；根据九年级 名学生竞赛成绩在 组的数据共有 个，可以求出 ；
根据八年级学生与九年级学生的平均分相等，九年级学生的众数比八年级学生的众数高，且九年级学生的方差小，说明九年级学生的成绩波动较小，成绩稳定；
用样本估计总体，分别求出七年级、八年级、九年级达到优秀的人数，三数之和即为该校七、八、九
年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数．
【详解】（1）解： 八年级 名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是 ，
；
从扇形统计图可知，九年级学生达到 的人数有 人，
九年级 名学生竞赛成绩从大到小排列，第 名和第 名的成绩分别是 和 ，
九年级 名学生竞赛成绩的中位数是 ；
九年级 名学生竞赛成绩在 组的数据是 ， ， ， ， ， ， ，
，
；
故答案为： ； ； ；
（2）解：九年级学生的成绩更好，
理由如下：
两个年级的平均成绩相同，九年级学生成绩的众数和中位数都比八年级学生的高；
九年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，说明九年级学生的成绩更稳定，
九年级学生的成绩更好；
（3）解：八年级 名学生的竞赛成绩达到优秀的人数有 人，占抽查总人数的 ，
估计八年级学生成绩达到优秀的有 人，
从扇形统计图中可知：九年级学生成绩达到优秀的占 ，
估计九年级学生成绩达到优秀的有 人，
七年级有 名学生，成绩达优秀等级的有 ，
七年级学生成绩达到优秀的有 人，
估计全校学生都参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有 人．
【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、
中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据
的波动越小．
19．（本题10分）如图所示，等腰 中， ， ，点 为斜边 上一点（不与
重合）， ，连接 ，将线段 绕点 沿顺时针方向旋转 至 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（ ）由旋转得 ， ，进而由余角性质得 ，再根据判定方法
即可求证；
（ ）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得 ， ，
，再利用勾股定理计算即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转可得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：由（ ）知 ，
∴ ， ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
，∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋
转的性质是解题的关键．
20．（本题10分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活
动，并准备了 ， 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 ，营养成分表如下．
营养成分表 营养成分表
项目 每 项目 每
热量 热量
蛋白质 蛋白质
脂肪 脂肪
碳水化合物 碳水化合物
钠 钠
(1)若要从这两种食品中摄入 热量和 蛋白质，应选用 ， 两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共 包，要使每份午餐中
的蛋白质含量不低于 ，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】(1)选用 种食品 包， 种食品 包
(2)选用 种食品 包， 种食品 包
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，理清
各量间关系是解题的关键．
（1）设选用 种食品 包， 种食品 包，根据“从这两种食品中摄入 热量和 蛋白质”列方程
组求解即可；
（2）设选用 种食品 包，则选用 种食品 包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于 ”列不
等式求解即可．
【详解】（1）解：设选用 种食品 包， 种食品 包，根据题意，得
解方程组，得
故选用 种食品 包， 种食品 包．
（2）解：设选用 种食品 包，则选用 种食品 包，
根据题意，得 ．
∴ ．
设总热量为 ，则 ．
∵ ，
∴ 随 的增大而减小．
∴当 时， 最小．
∴ ．
故选用 种食品 包， 种食品 包．
21．（本题10分）如图， 是 的一条弦， ，垂足为C，交 于点D，点E在 上．
(1)若 ，求 的度数；
(2)在（1）的条件下， 的半径为2，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键：
（1）三线合一，得到 ，圆周角定理，得到 ，即可得出结果；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 的半径为2，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．（本题12分）老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，
更承载着人民对美好生活的向往．某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小
区的一段斜坡进行调研．为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把斜坡安全改造”作为一
项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告．
课题 斜坡安全改造
成员 老师：××× 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 测角仪、皮尺等
如图①，原坡面是矩形 ，计划将斜坡 改造成图②所示的坡比为
的斜坡 ，坡面的宽度 保持不变．
方案设计
【步骤一】利用皮尺测得 米， 米；
测量数据
【步骤二】在点 处用测角仪测得斜坡的坡角为 ．
…… ……
请根据活动报告，解答下列问题：(1)求改造后斜面底部延伸出来的部分 的长度；
(2)求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？（结果保留根号）
【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分 的长度为 米．
(2)改造这段斜坡需要 立方米的混凝土材料．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点A作 ，交 的延长线于点H，构造直角三角形，再计算即可；
（2）先计算 ，再计算体积即可．
【详解】（1）解：如图，过点A作 ，交 的延长线于点H，
在 中， 米，
（米）， （米），
在 中， ，
（米）,
米．
答：改造后斜面底部延伸出来的部分BE的长度为 米；
（2）解： 平方米，
立方米．
答：改造这段斜坡需要 立方米的混凝土材料．
23．（本题14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 为常数， 的图象与轴交于点 两点，与 轴交于点 ，且抛物线的对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线 下方的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，交直线 于点 ，求
的最大值，并求出此时点 的坐标；
(3)如图2，若抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到抛物线 ，点 为新抛物线 上一点，点
为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点 ，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存
在，直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点 的坐标为 ， 或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线 解析式为 ，过N作 轴于D，设 ，则 ，故
，判定 是等腰直角三角形，得出 ，进而求出
，然后根据二次函数的性质求解即可；（3）根据平移法则得到抛物线的解析式为 ，设点 ，分为 为对角线，
为对角线， 为对角线，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将点 ， 分别代入 ，
得 ，
解得 ．
∵该抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴该抛物线的解析式为 ．
（2）解：令 ，解得 ， ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴ ，
过N作 轴于D，
，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ，此时 ；
（3）解：存在．理由如下：
原抛物线 ，对称轴为直线 ，
∴F的横坐标为 ，
∵点 ，点 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度得到抛物线y，
∴抛物线先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到y，∴抛物线的解析式为 ．
设点 ．
①当 为对角线时，
∴ ，解得 ，
∴
∴点E的坐标为 ．
②当 为对角线时，
∴ ，解得 ，
∴
∴点E的坐标为 ；
③当 为对角线时，
∴ ，解得 ，
∴
∴点E的坐标为 ．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为 ， 或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四
边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解
答是解题的关键．
