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2025 年中考第二次模拟考试（常州卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C D A B B C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．
10．
11．21
12．
13．
14．8
15．
16． /38度
17． /
18．
三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）
【详解】解：（ ）原式
；（ ）原式
．
20．（6分）
【详解】
解：由①得
，
由②得
，
原不等式组的解集为 ；
解集在数轴上表示为：
21．（8分）
【详解】（1）解：调查学生的总数为： （人），
喜爱诗歌的人数为： （人）．
补充条形统计图如下：
（2）解：“寓言”所对应的扇形圆心角是： ；
（3）解：该校2600名学生中，喜爱“小说”的有：
（人）．
22．（8分）
【详解】（1）解：依题意，一共有三部电影，故淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率 ．
故答案为： ．
（2）解：依题意，将《哪吒之魔童闹海》《射雕英雄传：侠之大者》《唐探1900》分别记为 ，且
记笑笑和淘气分别为 ，运用 表示两个人的选择情况，列表如下，
∴由表可知， 等可能出现的结果为： 、 、 、 、 、 、 、
、 ，一共有 种．笑笑和淘气两名同学选择观看同一电影的情况有 种，即 、 、
．
∴笑笑和淘气两名同学恰好选择观看同一部电影的概率 ．
23．（8分）
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵点 是边 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ；
（2）解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
24．（8分）
【详解】（1）解：把 代入 中，得：
，
又∵ 在一次函数 的图象上，
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，
设点 的坐标为 ，则 ，
，
∴ ，解得： ， （不合题意，舍去），
．
25．（8分）
【详解】（1）解：连接 ，并向两方延长，分别交 于 ，
由点 在同一条水平线上， 均垂直于地面可知， ，
所以 的长度就是 与 之间的距离，
在 中， ， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度 ；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为 人，
根据题意得， ，
解得： ，
经检验， 是原方程的根，
当 时， ，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为 人．
26．（10分）
【详解】（1）解：①连接 ，设 与 轴交于点 ，∵ 的半径为2，
∴ ， ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，则 ，
∵
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴点 是点 关于弦 的“等边旋转点”
故答案为： ，是；
②根据新定义可得 ，则 是等边三角形，
∴ 到 的距离最小值即 的长，
∵ ， ，
∴ 的最小值为 ；
如图所示，当 与 相切时， 轴，此时点 与点 重合，∵ 是等边三角形，
∴
∴
故答案为： ； ．
（2）解：由（1）可得 ， ，则 是半径为 的圆的一条切线在半径为 的圆
的内部，
如图所示，连接 ，则 ，
当 运动时，构成的图形是以 为圆心，半径为 ， 的同心圆的圆环
∵若对于线段 上的每一点 ，都存在 的长为 的弦 ，使得点 是点 关于弦 的“等边
旋转点”， 设 是 上任意一点，
∵ ，即点 为 轴上的点，则 绕 上一点 顺时针 得到的点在 上，即 是等边三角形，
∴ 在以 为圆心，半径为 ， 的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意，
如图所示，
当 时，先求得最小值，如图所示，其中 旋转后对应的线段 在圆环内，
当 与 重合，且 时， 在半径为 的 上，此时
当 距离最远时，此时 重合，如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，∵ 是等边三角形， ， ，
∴ ，
在 中，
∴
解得： （负值舍去）
∴
当 时，∵ 上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段 在圆环内，
先求得最小值，即 的最大值，则 重合，
如图所示， 在半径为 的 上时， 是等边三角形则最小值 ，
如图所示，当 在半径为 的 上且与其相切时， 取得最大值时，如图所示，连接 ，
∴ ，
∵∴
解得：
∴
综上所述： 的取值范围为： 或
27．（10分）
【详解】（1）解：
，
，
当 时， ，
令 ，
，
解得： 或 ，
， ．
（2）解：∵ ， ．
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，
∴直线 的解析式为
作点B关于y轴的对称点F，连接 ，如图，①当点P在x轴下方时，如图中点 处，
连接 交 于E，
点B、点F关于y轴的对称，
∴ ，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
设点E坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
∴ ，设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得： ， （舍去）
∴ ；
②当点P在x轴上方时，如图中点 处，
∵ ，
∴ 与 关于x轴对称，
，
同理可求经过 的直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得： （舍去）， ，
∴综上，点P的坐标为 或 ．
（3）解：设 ， ， ，
，
，
，
，
设直线 的解析为 ，则有
，
解得： ，
，
设直线 的解析为 ，
经过 ，
同理可求 ，
直线 的解析为 ，，
直线 的解析为 ，
联立 ，
整理得： ，
，
，
联立 ，
整理得： ，
，
得：
，
，，
直线 的解析式为 ，
直线 必与直线 平行，
故这条直线的函数解析式为 ．
28．（10分）
【详解】（1）解：（1）由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
由题意得：四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴y关于x的函数关系式为 ；
（3）解：①过点A作 于点F，连接 ，交 于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置，如
图：
②∵正方形 、正方形 、矩形 、矩形 ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∴ ，
∴ ，∴ 的面积 ．
∵矩形 的面积为12，
∴ ，
∴ 的面积 ．
