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2025 年中考押题预测卷（镇江卷卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．“十四五”以来，镇江市出台了《高质量教育样板城市建设纲要》等文件，将教育纳入全市高质量发
展考核体系、市人大“一号议案”督办项目，累计投入近90亿元．数据90亿用科学记数法可表示为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．解题的关键是要正确确定a的值以及n的
值．根据科学记数法的表示方法即可得到结论．
【详解】解：90亿
故选：B．
2．下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据合并同类二次根式法则判断选项A、B；根据二次根式的乘法
法则判断选项C；根据二次根式的除法法则以及二次根式的性质判断选项D即可．
【详解】A． 与2不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意；
B． 与3不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意；C． ，原计算正确，符合题意；
D． ，故原计算错误，不符合题意；
故选∶C．
3．用一根小木棒与两根长分别为 的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系得出x取值范围即可．
【详解】解：设第三根木棒的长为xcm，则6−3＜x＜6＋3，即3＜x＜9．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
4．如图，正方形 中，将边 绕点 逆时针旋转至 ，连接 ， ，若 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 作 ，垂足为 ，根据两个三角形全等的判定定理，确定 ，从而
根据全等三角形的性质得到 ，再根据将边 绕点 逆时针旋转至 ，确定 为等腰三角形，
结合“三线合一”得到 是 边上的中线，进而 ，即 ，在 中，
，设 ，则 ，由勾股定理得到 ， 利用正弦值定义求解即可得到答案．
【详解】解：过 作 ，垂足为 ，如图所示：，
在正方形 中， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
将边 绕点 逆时针旋转至 ，
，
，
由“三线合一”可得 是 边上的中线，即 ，
，
在 中， ，设 ，则 ，
由勾股定理得到 ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查求正弦值，涉及正方形的性质、全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定
理等知识，熟练掌握相关几何概念、判定与性质是解决问题的关键．
5．在全市中小学编程大赛中，某县参赛的5名中学组选手成绩分别为：84，90，87，88，91（单位：分），
这组数据的中位数是（ ）
A．87 B．88 C．89 D．90【答案】B
【分析】本题主要考查了求中位数，熟知中位数的定义是解题的关键：一组数据中处在最中间的那个数或
处在最中间的两个数的平均数即为该组数据的中位数．根据中位数的定义进行求解即可．
【详解】解：将选手的成绩从低到高排列为：84，87，88，90，91，处在第3名的成绩为88，
∴中位数为88，
故选：B．
6．若二次函数 的图象的对称轴是经过点 且平行于 轴的直线，则关于 的方程
的解为（ ）．
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【详解】∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则− =− =2，
解得：b=−4，
∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0，
则(x−5)(x+1)=0，
解得：x=5，x=−1.
1 2
故选D.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点
坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.
7．如图， 为 的直径，直线 与 相切于点C，连接 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接 ，根据
切线的性质得到 ，求得 ，根据等腰三角形的性质得到 ．
【详解】解：连接 ，
直线 与 相切于点 ，
，
又 ，
，
，
，
故选：A．
8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重
16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕
每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设雀每只 两，燕每只 两，根据“五只雀、六只燕，共
重 两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】解：设雀每只 两，燕每只 两，则可列出方程组为：
．
故选：B．9．研究函数 的图象和性质时，两位同学经过深入研究，小明发现：该函数图象与坐标轴无交点；
小丽发现：当 时，该函数有最小值．请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，完全平方公式的应用，根据 ，且结合与坐标轴的交点问
题进行分析，即可判断小明说法是正确的；结合 ， ，故当 时，则
， 有最小值，即为2，再解出 ，即可作答．
【详解】解：∵函数 ，
∴ ，
∴令 时，则 ，
整理得 ，
则 ，
此时无解，
故该函数图象与坐标轴无交点；
∴小明说法是正确的；
∵ ， ，
∴ ，
当 时，
故 ，
则 ， 有最小值，即为2，∴小丽说法是正确的；
故选：C
10．已知二次函数 （m为常数，且 ），当 时，该二次函数有最小值2，则
m的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线 ，再分两种情况：当
时，当 时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思
想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
∵当 时，该二次函数有最小值2，
∴当 时，当 时， ，
∴ ，
解得： ；
当 时，对称轴为直线 ，
故当 时， 取得最小值为 ，
∴ ，
解得： ；
综上所述， 的值为1或 ，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等
于零，二次根式中的被开方数是非负数．
根据分式有意义可得 ，根据二次根式有意义的条件可得 ，求解后取交集即可．
【详解】由题意得： 且 ，
解得： ，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
12．分解因式 的结果是 ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
13．设 、 是方程 的两个根，且 ，则 ．
【答案】4
【分析】根据根与系数的关系，得出 ， ，代入 ，即可求出m的值．
【详解】解：∵ 、 是方程 的两个根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握 、 是一元二次方程 的两根时，
， ．
14．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为
．
【答案】15
【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：
．
先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】解：圆锥的底面周长 ，
则： ，
解得 ．
故答案为：15．
15．如图，已知双曲线 经过直角三角形 斜边 的中点 ，与直角边 相交于点 ，若
的面积为6，则 .【答案】4
【分析】过 点作 轴的垂线交 轴于 点，可得到四边形 ，和三角形 的面积相等，通过面积
转化，可求出 的值．
【详解】解：过 点作 轴的垂线交 轴于 点，
的面积和 的面积相等．
的面积和四边形 的面积相等且为6．
设 点的横坐标为 ，纵坐标就为 ，
为 的中点．
， ，
四边形 的面积可表示为：
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，解题的关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角
形面积的特点以及根据面积转化求出 的值．
16．如图，在 中， ， ，则 的最大值为 ．
【答案】【分析】过点 作 ，垂足为 ，如图所示，利用三角函数定义得到 ，延
长 到 ，使 ，连接 ，如图所示，从而确定 ，
，再由辅助圆-定弦定角模型得到点 在 上运动， 是 的弦，求 的最大值就
是求弦 的最大值，即 是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，如图所示：
，
在 中，设 ，则 ，由勾股定理可得 ，
，即 ，
，
延长 到 ，使 ，连接 ，如图所示：
，
， ，
是等腰直角三角形，则 ，
在 中， ， ，由辅助圆-定弦定角模型，作 的外接圆，如图所示：由圆周角定理可知，点 在 上运动， 是 的弦，求 的
最大值就是求弦 的最大值，根据圆的性质可知，当弦 过圆心 ，即 是直径时，弦最大，如图所
示：
是 的直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，则由勾股定理可得 ，即 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、
圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问
题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题4分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ,【分析】先利用分式除法法则对原式进行化简，再把 代入化简结果进行计算即可．
【详解】解：
当 时，
原式 ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的除法运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键．
18．（本题5分）解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，在数轴上表示见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及一元一次不等式的解法、用数轴表示不等式组解集的方法，
先分别解出不等式组的两个不等式，再根据不等式组解集的求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到”求出解集，在数轴上表示即可得到答案．熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴表示是
解决问题的关键．
【详解】解： ，
解不等式①得 ；
解不等式②得 ；
原不等式组的解集为 ，
在数轴上表示出不等式组的解集，如图所示：
．
19．（本题6分）如图，将两块完全相同的含有 角的直角三角尺 在同一平面内按如图方式
摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若四边形 是菱形，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质等知识点，熟记相关结论即可求解；
（1）由题意得： ，推出 ，得 ，即可求证；
（2）由题意得 ，推出 ，即可求解；
【详解】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
20．（本题6分）某校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程，为了解七年级学生对
每类课程的选择情况，随机抽取了七年级部分学生进行调查（每人必选且只能选一类课程），并将调查结
果绘制成如下两幅不完整的统计图：
抽取部分学生选择结果的频数分布直方图 抽取部分学生选择结果的扇形统计图根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是________，并在答题卡上补全条形统计图；
(2)扇形统计图中 的值为________，“木工”对应的扇形圆心角大小是________；
(3)若该校七年级共有800名学生，估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的人数．
【答案】(1)60，补全条形统计图见解析
(2)25，
(3)160
【分析】（1）从两个统计图中可得选择“园艺”的有18人，占调查人数的30%，可求出调查人数；求出
选择“编织”的人数，即可补全条形统计图；
（2）由（1）中求出的样本容量，结合条形统计统计图中“厨艺”人数即可求出 ；用 乘以“木工”
人数所占比例；
（3）样本中，选择“编织”的占 ，因此估计总体800人的 是选择“编织”的人数．
【详解】（1）解：由条形统计图与扇形统计图的数据关联可得 （人），
故答案为：60；
（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：由（1）知抽查了60人，厨艺占比为 ，则扇形统计图中 的值为25；
“木工”对应的扇形圆心角大小是 ，
故答案为：25， ；
（3）解： （人），
答：该校七年级800名学生中选择“编织”劳动课程的大约有160人．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的数据关联、求样本容量、补全条形统计图、求扇形统计图中
某项的百分比、求扇形统计图某项对应圆心角度数、用样本估计总体等知识，熟记相关统计量及统计图表，
从中获取信息是解决问题的关键．
21．（本题7分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参
加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即
可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为 ；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是： ；故答案为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22．（本题6分）如图，在 中， ，请用尺规作图法，在 中找出一个以 为底边的等
腰 ，并使得 的面积最大．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作垂直平分线，等腰三角形的判定，作 的垂直平分线交 于点 ，则 ，
利用三角形面积公式可得此时 的面积最大，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【详解】解：如图，作 的垂直平分线交 于点 ， 为所作．
23．（本题8分）如图，商场自动扶梯从一楼到三楼与水平面所成的角度分别是： 和 ，每层楼自动
扶梯爬坡的坡面长度相同，如果从一楼到二楼的层高为5米，求一楼到三楼的层高 是多少米？（忽略
楼层之间厚度，参考数据： ）
【答案】一楼到三楼的层高 是11米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三
角形成为解题的关键．
如图，过D作 于点F，过E作 于点G．在 中，解直角三角形可得 ，则 ；在 中可得 ，最后根据矩形的性质和线段的和差即可解答．
【详解】解：如图，过D作 于点F，过E作 于点G．
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答：一楼到三楼的层高 是11米．
24．（本题10分）如图1， 是 的直径，点A、D在 上，连接 、 ， ， ，
．
(1)求证: ；(2)求 的长；
(3)如图2，连接 ，作 的角平分线交 于 ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到 ，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）设 ，则 ，根据勾股定理得到 ，求出 长，然后利用三角形
的中位线的性质解题即可；
（3）连接 ， ，过点C作 于点F，根据三角函数进行计算求出 和 长，然后利用勾勾
股定理求出 的长即可解题．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴点 是 的中点，
又∵ 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
（3）连接 ， ，过点C作 于点F，
∵ 是 的直径，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的中位线，勾股定理，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形
是解题的关键．
25．（本题10分）如图，抛物线 交x轴于A，C两点，交y轴于点B．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图（1），抛物线上有点 ，在第三象限的抛物线上存在点M，且 ，求点M的坐
标；
(3)如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作 的平行线交抛物线于另一点F，直线 ，交于点P，若点P的纵坐标为t， 的面积记为S，试探究S与t之间数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据解析式分别令 ， 时，即可得出 ．
（2）根据解析式代入 得出 ，过 点作 ，交 的延长线于点 ，则 ，
过点 作 轴的平行线分别交直线 于 两点，则可证得 ，得出 ，由
，可求得直线 ，联立抛物线解析式得出 的坐标，即可求解．
（3）设直线 的解析式为 ，当 时， ，设直线 的解析式为 ，
当 时， ，得到 ，设直线 的解析式为 ，
当 时， ，得到 ，从而得到方程 ，得到关系 ，
当 时，求出点 ，过 点作 轴的平行线交 于点 ，可求 ，从而得到
．
【详解】（1）解：由 ，
当 时， ，
当 时， ，解得： ，
．（2）解：当 时， ，
，
，
，
，
，
过D点作 ，交 的延长线于点N，则 ，过点N，C作y轴的平行线分别交直线 于
G，H两点，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，代入 ，
得 ，
解得： ，
∴直线 ，
当 时，
解得： 或 （舍去），．
（3）解：∵ ，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
当 时，整理得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
当 时，整理得： ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
当 时，整理得： ，
∴ ，
，
，
，
当 时，解得： ，
，
过 点作 轴的平行线交 于点 ，，
．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及
性质，三角形全等的判定及性质，待定系数法求函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关
键．
26．（本题10分）操作初探：
（1）如图1，将正方形纸片 对折，使 与 重合，展平纸片，得到折痕 ；再对折，使 与
重合，得到折痕 ，展平纸片，连接 ，与 交于点P，连接 ， ．则 的值为 ；
猜想证明：
（2）如图2，将正方形纸片 对折，使 与 重合，展平纸片，得到折痕 ；点M在 边上，
连接 ，与 交于点P，连接 ，将 绕点P逆时针旋转，使点B的对应点B'落在对角线 上，连
接 ．当点M在边 上运动时（点M不与B，C重合），试判断 的形状，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点N，连接 ， ．当 平分 时，请证明
．
【答案】（1） ；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）如图所示，设正方形的边长为 ，证明 得出 ，进而求得 ，根据
正确的定义，即可求解；
（2）同（1）可得 为 的中点， ，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得
出 ，根据旋转的性质可得 得出 四点共圆，且 是直径，进而得出
，结合正方形的性质，即可求解；
（3）先证明 进而得出四边形 是矩形，则 在 上，根据 得出
，进而可得 ，结合题意可得 ，进而证明
，即可得证．
【详解】解：（1）如图所示，设正方形的边长为 ，
根据折叠的性质可得 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）同（1）可得 为 的中点， ，
∴ ，
又∵旋转，
∴ ，
∴ 四点共圆，且 是直径，
∴ 则 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3）如图所示，以 为半径 为圆心，作 ，连接 ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ 在 上，
由（2） 四点共圆，且 是直径，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
又 ，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质
与判定，相似三角形的性质与判定，求正切，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
