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2025 年九年级数学科综合测试题
【试卷说明】
1．本试卷共 6页，全卷满分 120分，考试时间为 120分钟，考生应将答案全部（涂）写在
答题卡相应位置上，写在本试卷上无效；
2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等填（涂）写到答题卡上；
3．作图必须用 2B铅笔，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
a b
1. 实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. b>-1 B. b >2 C. a+b>0 D. ab>0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
由数轴可得-2< b<- 1，2 b ，故a+b>0，故本选项符合题意；
x
k
.
D、由数轴可知21时，y的值随x值的增大而增大，当
x<1时，y的值随x值的增大而减小，故本选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司1
B、k =-1< 0， y =- 在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
x
C、k =2>0， y =2x+1，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、k =-2< 0， y =-2x+ 1，，y的值随x值的增大而减小，故本选项符合题意；
故选：D．
7. 若关于x的一元二次方程x2 + x+m =0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）．
1 1 1
A -4 B. C. - D.
.
4 4 4
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实
数根时D> 0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，D= 0；当方程没有实数根时，D< 0，正确掌握
此三种情况是正确解题的关键．利用方程有两个相等的实数根，得到D= 0，建立关于m的方程，解答即
可．
【详解】解：∵一元二次方程x2 + x+m =0有两个相等的实数根，
∴D= 0，
∴D= 12- 4m= 0，
1 z
x
解得m = ． x
4 k
.
c
故选：B． o
m
8. 如图，VABC内接于⊙O,ÐC= 46°，连接OA，则ÐO=AB （ ）
A. 44° B. 45° C. 54° D. 67°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】连接OB，如图，
∵∠C=46°，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
1
∴∠OAB=∠OBA= ×88°=44°，
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．
9. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为
30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）
（ ）
z
x
x
k
.
c
o
m
A. 25 3米 B. 25米 C. 25 2米 D. 50米
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三
角形．
设DC = x米，在RtACD中，利用锐角三角函数定义表示出AC，在RtBCD中，利用锐角三角函数定
义表示出BC，再由AC-=BC =AB 50列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值即可．
【详解】解：设DC = x米，
在RtACD中，ÐA= 3°0 ，
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学科网（北京）股份有限公司DC x 3
tanA= ，即tan30°= = ，
AC AC 3
整理得：AC = 3x米，
在RtBCD中，ÐD=BC° 60 ，
DC x
tanÐD=BC ，即tan60°= = 3，
BC BC
3
整理得：BC = x米，
3
∵AB=50米，
3
∴AC-=BC 50，即 3x-= x 50，
3
解得：x=25 3，
侧这栋楼的高度为25 3米．
故选：A．
10.
机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)
是载重后总质量
m( kg) 的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量m=30kg时，它的最快移动速度
v=6m s；当其载重后总质量m=6z0
x
kg时，它的最快移动速度v =（ ）m s
x
k
.
c
o
m
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将m=60kg代入
计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
k
【详解】解：设反比例函数解析式为v = ，
m
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学科网（北京）股份有限公司∵机器狗载重后总质量m=30kg时，它的最快移动速度v=6m s，
∴k =´=30 6 180，
180
∴反比例函数解析式为v = ，
m
180
当m=60kg时，v= =3(m s)．
60
故选：D．
二、填空题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分．）
11. 若 x-9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】x³9
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得x-9³0，
解得：x³9．
故答案为：x³9
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2 3
12. 方程 = 的解为_____．
x-3 x
【答案】x=9
z
x
【解析】 x
k
.
【分析】本题考查解分式方程，先去分母化为c整式方程，进而解整式方程即可求得方程的解．熟练掌握分式
o
m
的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．
【详解】解：去分母，得2x=-3(x 3)
，
去括号，得2x=-3x 9，
移项、合并同类项，得-=-x 9，
化系数为1，得x=9，
经检验，x=9是原分式方程的解，
故答案为：x=9．
13. 分解因式：x3-=16x ____．
【答案】x(x+-4)(x 4)
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：x3-16x
=-x ( x2 16 )
= x(x+4-)(x 4)，
故答案为：x(x+-4)(x 4)．
14. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形
AOB的圆心角为90°，AC = BD=0.5m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为_____
m2．
æp 1ö
【答案】ç - ÷
è 4 8ø
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去アCOD
的面积即可解决问题．
z
x
【详解】解：∵AC = BD=0.5m，点xC，D分别为OA，OB的中点，
k
.
c
∴OA=OB =1m，OC =OD= AC =BD=0.o5m，
m
∴S =´ 1 ´ 1 = 1 1 ( m2) ，S = 90´p´12 = p ( m2) ，
アOCD 2 2 2 8 栳囔AOB 360 4
æp 1ö
∴花窗的面积为ç - ÷ m2
è 4 8ø
æp 1ö
故答案为：ç - ÷．
è 4 8ø
15. 定义运算：aÄ=b (+a 2b-)(a b) ，例如，4Ä=3 (+4´ 2´3) -(4 3) ，则函数 y=(x+Ä1) 2的对
称轴为直线_________．
【答案】x =- 2
【解析】
【分析】本题考查二次函数对称轴，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求对称
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学科网（北京）股份有限公司轴．
【详解】解：aÄ=b (+a 2b-)(a b) ，
\ y=(x+Ä1) 2
=(x+1+´2-+2)(x 1 2)
=(x+5)-(x 1)
= x2 +-4x 5
=(x+2-)2
9，
即y=(x+2-)2
9，
\对称轴为直线x =- 2，
故答案为：x =- 2．
16. 用两个全等且边长为4的等边三角形ABC和等边三角形ACD拼成菱形 ABCD，把一个含60°角的
三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕
点A按逆时针方向旋转，在转动过程中，当アAEC的面积是2 3时，CF的长为__________．
z
x
x
k
.
c
o
m
【答案】2或6
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形! 性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质等知识．利用数形结合的
思想是解题关键．过点A作AG ^ BC，根据等边三角形的性质可求出AG=2 3，结合S =2 3可
AEC
求出CE
=2．又易证BAEＨCAF(ASA)
，即得出BE =CF ，从而即可得解．
【详解】①当点E在线段BC上时，如图，过点A作AG ^ BC，
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学科网（北京）股份有限公司VABC为等边三角形，
1
\CG = BC =2，
2
\ AG= AC2 -CG2 = 42 -22 =2 3，
1 1
S = CEAG =2 3，即S =´=CE 2 3 2 3，
AEC 2 AEC 2
\CE =2，
\BE =-B=C CE 2．
三角尺60°角的顶点与点A重合，
\ÐÐB=AC EAF ，
\ÐBAC-ÐÐE=AC-Ð EAF EAC，即ÐÐB=AE CAF．
又两个全等且边长为4的等边三角形ABC和等边三角形ACD拼成菱形 ABCD，
\ÐÐB= =ACF° 60 ， AB= AC，z
x
x
k
\BAEＨCAF(ASA)
， .
c
o
m
\BE =CF =2；
②当点E在线段BC的延长线上时，如图：
由①可知CG =2，
1
\S =´=CE 2 3 2 3，
AEC 2
\CE =2．
ÐÐB=AC EAF ，
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学科网（北京）股份有限公司ÐÐ\Ð+Ð=B+AC EAC EAF EAC，即ÐÐB=AE CAF．
又ÐÐB= =ACF° 60 ， AB= AC，
\BAEＨCAF(ASA)
，
\CF = BE = BC+CE =4+2=6．
\CF的长为2或6，
故答案为：2或6．
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．）
ì5x-3³2xＲ
ï
17. 解不等式组：í2x-1 x ．
< Ｓ
ï
î 3 2
【答案】1£ (k 0,x 0)的图象过点D，与BC交于点E，求k的值；
x
（3）点P为（2）中反比例函数图象上一动点(点P在D，E之间运动，不与D，E重合)，过点P作
PMＹAB，交y轴于点M ，过点P作PN；x轴，交BC于点N，连接MN，求PMN面积的最大
值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）D(2,4)
（2）k =8
9 æ 8ö
（3）S 最大值是 ，此时P ç 3, ÷
アPMN 2 è z 3ø
x
x
k
【解析】
.
c
o
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等m腰 三角形! 判定与性质等知识，解题的关键是运用数形结合
思想解题．
（1）先求出B的坐标，再用中点坐标公式求解即可；
k
（2）将D(2,4) 代入 y = 即可的解；
x
（3）延长NP交 y轴于点 Q，交AB于点 L．利用等腰三角形的判定与性质可得出QM =QP，设点 P的
æ 8ö 1
坐标为ç t, ÷， (20时，将点P向左平移2个单位长度得到点Q，连结PQ，以PQ为边向上方作矩形PQMN，
使PN =1．当图象G与矩形PQMN只有两个公共点时，求m的取值范围．
【答案】（1）①y=-x2+4x-3；②0£0
z
∴N ( 2m,m2 -m-1 ) ，M ( 2m-2,m x2 x-m-1 ) ，Q ( 2m-2,m2-m-2 ) ，
k
.
c
∵y=-x2+ 2mx- m- =1- (-x m+)2 -m2 - o mm 1，
∴则图象G 的顶点坐标T ( m,m2 -m-1 ) 在直线MN上，
当T 在线段MN上时，2m-<2 m< 2m，即02 m
ï
当T 在点M 左侧，且点Q在图象G下方时，í ，即
ïî -(2m-2-+-m)>- 2 - m-2 m 1 m2 m 2
2
