2025 年九年级数学科综合测试题
【试卷说明】
1．本试卷共 6页，全卷满分 120分，考试时间为 120分钟，考生应将答案全部（涂）写在
答题卡相应位置上，写在本试卷上无效；
2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等填（涂）写到答题卡上；
3．作图必须用 2B铅笔，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
a b
1. 实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. b>-1 B. b >2 C. a+b>0 D. ab>0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
由数轴可得-2< b<- 1，2<a<3，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可．
【详解】解：A、由数轴可知-2< b<- 1，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知-2< b<- 1，由绝对值的意义知1< b <2，故本选项不符合题意；
z
C、由数轴可知2<a<3，而-2< b<- x 1，则 a > b ，故a+b>0，故本选项符合题意；
x
k
.
D、由数轴可知2<a<3，而-2< b<- 1，c因此ab<0，故本选项不符合题意．
o
m
故选：C．
2. 4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一
号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代．它的运行轨道，距地球最近点439000米．将439000
用科学记数法表示应为（ ）
A. 0.439´106 B. 4.39´106 C. 4.39´105 D. 439´103
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定aㄑn的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为a´10n，其中1£<a 10，n的值为整数位数少1．
【详解】解：439000大于1，用科学记数法表示为a´10n，其中4.39，n=5，
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学科网（北京）股份有限公司∴439000用科学记数法表示为4.39´105，
故选：C．
3. 如图，ABＹCD，Ð1= 6°5 ，则Ð2的度数是（ ）
A. 105° B. 115° C. 125° D. 135°
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得Ð3=Ð= 1° 65 ，由邻补角性质得
Ð+2Ð= 3 °180 ，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
【详解】解：如图，
z
x
x
k
.
c
∵ABＹCD， o
m
∴Ð3=Ð= 1° 65 ，
∵Ð+2Ð= 3 °180 ，
∴Ð=2 11°5 ，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. 2m+n=2mn B. m6 ÷m2 =m3
C. -(-m=n)2 m2n2 D. m2× =m3 m5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，
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学科网（北京）股份有限公司同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
【详解】解：A、2m和n不罂 同类项，不能合并，故此选项不合题意；
B、m6 ÷m2 =m4，故此选项不合题意；
C、(-m=n)2 m2n2，故此选项不合题意；
D、m2×=m3 m5，故此选项符合题意．
故选：D．
5. 在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这
组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 中位数是95 B. 方差是3 C. 众数是95 D. 平均数是94
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平均数，中位数，众数，方差的定义及计算，根据各定义及计算公式分别判断，正确掌
握各定义及计算方法是解题的关键
【详解】解：将数据从小到大排列为91，92，94，95，95，95，96，共7个数据,居中的一个数据是95，
∴中位数是95，故A选项正确；
这组数据中出现次数最多的数据是95，故众数是95，故C选项正确；
1
这组数据的平均数是 (91+92+94z+
x
95+95+95+96)=94，故D选项正确；
7 x
k
1 . 20
这组数据的方差为 é(91-+9-4+-)+ 2 - (9+-2´=94)c2 (94 94)2 (95 94)2 3 (96 94)2ù ，故B选项
7ë o m û 7
错误；
故选：B
6. 下列函数中，y值随x值的增大而减小的是（ ）．
1
A. y=-(x 1-)2 1 B. y =- C. y =2x+1 D. y =-2x+ 1
x
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关
系是解题的关键．
【详解】解：A、y=-(x 1-)2 1，对称轴为直线x=1，当x>1时，y的值随x值的增大而增大，当
x<1时，y的值随x值的增大而减小，故本选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司1
B、k =-1< 0， y =- 在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
x
C、k =2>0， y =2x+1，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、k =-2< 0， y =-2x+ 1，，y的值随x值的增大而减小，故本选项符合题意；
故选：D．
7. 若关于x的一元二次方程x2 + x+m =0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）．
1 1 1
A -4 B. C. - D.
.
4 4 4
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实
数根时D> 0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，D= 0；当方程没有实数根时，D< 0，正确掌握
此三种情况是正确解题的关键．利用方程有两个相等的实数根，得到D= 0，建立关于m的方程，解答即
可．
【详解】解：∵一元二次方程x2 + x+m =0有两个相等的实数根，
∴D= 0，
∴D= 12- 4m= 0，
1 z
x
解得m = ． x
4 k
.
c
故选：B． o
m
8. 如图，VABC内接于⊙O,ÐC= 46°，连接OA，则ÐO=AB （ ）
A. 44° B. 45° C. 54° D. 67°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】连接OB，如图，
∵∠C=46°，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
1
∴∠OAB=∠OBA= ×88°=44°，
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．
9. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为
30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）
（ ）
z
x
x
k
.
c
o
m
A. 25 3米 B. 25米 C. 25 2米 D. 50米
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三
角形．
设DC = x米，在RtACD中，利用锐角三角函数定义表示出AC，在RtBCD中，利用锐角三角函数定
义表示出BC，再由AC-=BC =AB 50列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值即可．
【详解】解：设DC = x米，
在RtACD中，ÐA= 3°0 ，
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学科网（北京）股份有限公司DC x 3
tanA= ，即tan30°= = ，
AC AC 3
整理得：AC = 3x米，
在RtBCD中，ÐD=BC° 60 ，
DC x
tanÐD=BC ，即tan60°= = 3，
BC BC
3
整理得：BC = x米，
3
∵AB=50米，
3
∴AC-=BC 50，即 3x-= x 50，
3
解得：x=25 3，
侧这栋楼的高度为25 3米．
故选：A．
10.
机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)
是载重后总质量
m( kg) 的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量m=30kg时，它的最快移动速度
v=6m s；当其载重后总质量m=6z0
x
kg时，它的最快移动速度v =（ ）m s
x
k
.
c
o
m
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将m=60kg代入
计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
k
【详解】解：设反比例函数解析式为v = ，
m
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学科网（北京）股份有限公司∵机器狗载重后总质量m=30kg时，它的最快移动速度v=6m s，
∴k =´=30 6 180，
180
∴反比例函数解析式为v = ，
m
180
当m=60kg时，v= =3(m s)．
60
故选：D．
二、填空题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分．）
11. 若 x-9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】x³9
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得x-9³0，
解得：x³9．
故答案为：x³9
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2 3
12. 方程 = 的解为_____．
x-3 x
【答案】x=9
z
x
【解析】 x
k
.
【分析】本题考查解分式方程，先去分母化为c整式方程，进而解整式方程即可求得方程的解．熟练掌握分式
o
m
的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．
【详解】解：去分母，得2x=-3(x 3)
，
去括号，得2x=-3x 9，
移项、合并同类项，得-=-x 9，
化系数为1，得x=9，
经检验，x=9是原分式方程的解，
故答案为：x=9．
13. 分解因式：x3-=16x ____．
【答案】x(x+-4)(x 4)
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：x3-16x
=-x ( x2 16 )
= x(x+4-)(x 4)，
故答案为：x(x+-4)(x 4)．
14. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形
AOB的圆心角为90°，AC = BD=0.5m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为_____
m2．
æp 1ö
【答案】ç - ÷
è 4 8ø
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去アCOD
的面积即可解决问题．
z
x
【详解】解：∵AC = BD=0.5m，点xC，D分别为OA，OB的中点，
k
.
c
∴OA=OB =1m，OC =OD= AC =BD=0.o5m，
m
∴S =´ 1 ´ 1 = 1 1 ( m2) ，S = 90´p´12 = p ( m2) ，
アOCD 2 2 2 8 栳囔AOB 360 4
æp 1ö
∴花窗的面积为ç - ÷ m2
è 4 8ø
æp 1ö
故答案为：ç - ÷．
è 4 8ø
15. 定义运算：aÄ=b (+a 2b-)(a b) ，例如，4Ä=3 (+4´ 2´3) -(4 3) ，则函数 y=(x+Ä1) 2的对
称轴为直线_________．
【答案】x =- 2
【解析】
【分析】本题考查二次函数对称轴，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求对称
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学科网（北京）股份有限公司轴．
【详解】解：aÄ=b (+a 2b-)(a b) ，
\ y=(x+Ä1) 2
=(x+1+´2-+2)(x 1 2)
=(x+5)-(x 1)
= x2 +-4x 5
=(x+2-)2
9，
即y=(x+2-)2
9，
\对称轴为直线x =- 2，
故答案为：x =- 2．
16. 用两个全等且边长为4的等边三角形ABC和等边三角形ACD拼成菱形 ABCD，把一个含60°角的
三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕
点A按逆时针方向旋转，在转动过程中，当アAEC的面积是2 3时，CF的长为__________．
z
x
x
k
.
c
o
m
【答案】2或6
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形! 性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质等知识．利用数形结合的
思想是解题关键．过点A作AG ^ BC，根据等边三角形的性质可求出AG=2 3，结合S =2 3可
AEC
求出CE
=2．又易证BAEＨCAF(ASA)
，即得出BE =CF ，从而即可得解．
【详解】①当点E在线段BC上时，如图，过点A作AG ^ BC，
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学科网（北京）股份有限公司VABC为等边三角形，
1
\CG = BC =2，
2
\ AG= AC2 -CG2 = 42 -22 =2 3，
1 1
S = CEAG =2 3，即S =´=CE 2 3 2 3，
AEC 2 AEC 2
\CE =2，
\BE =-B=C CE 2．
三角尺60°角的顶点与点A重合，
\ÐÐB=AC EAF ，
\ÐBAC-ÐÐE=AC-Ð EAF EAC，即ÐÐB=AE CAF．
又两个全等且边长为4的等边三角形ABC和等边三角形ACD拼成菱形 ABCD，
\ÐÐB= =ACF° 60 ， AB= AC，z
x
x
k
\BAEＨCAF(ASA)
， .
c
o
m
\BE =CF =2；
②当点E在线段BC的延长线上时，如图：
由①可知CG =2，
1
\S =´=CE 2 3 2 3，
AEC 2
\CE =2．
ÐÐB=AC EAF ，
第10页/共25页
学科网（北京）股份有限公司ÐÐ\Ð+Ð=B+AC EAC EAF EAC，即ÐÐB=AE CAF．
又ÐÐB= =ACF° 60 ， AB= AC，
\BAEＨCAF(ASA)
，
\CF = BE = BC+CE =4+2=6．
\CF的长为2或6，
故答案为：2或6．
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．）
ì5x-3³2xＲ
ï
17. 解不等式组：í2x-1 x ．
< Ｓ
ï
î 3 2
【答案】1£<x 2
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别解不等式组中的一元一次不等式，再由“同大取大、同小取
小、大小小大中间找、大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式组解集的
求法步骤是解决问题的关键．
ì5x-3³2xＲ
ï
【详解】解：í2x-1 x
< Ｓ
ï z
î 3 2 x
x
k
由①得x³1； .
c
o
m
由②得x<2；
\不等式组! 解集为：1£<x 2．
18. 已知5x2 -x-=1 0，求代数式(3x-++-2)(3x 2) x(x 2)的值．
【答案】10x2 -2x-4，-2
【解析】
【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把5x2 -x-=1 0变
形后，整体代入求值即可．
【详解】解：原式=9x2 -+4 -x2 2x
=-10x2- 2x 4.
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学科网（北京）股份有限公司∵5x2 -x-=1 0，
∴5x2 -=x 1，
∴10x2 -=2x 2，
∴原式=2--=4 2．
【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．
19.
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xoy，格点A，B，C，D的坐标
分别为
(7,8)
，
(2,8)
，
(10,4)
，
(5,4)
．
（1）尺规作图：作ÐBAC的角平分线AM （不写作法，保留作图痕迹），点D在射线AM 上吗？
（2）以点D为旋转中心，将VABC旋转180°得到△ABC ，画出△ABC ，写出点A的坐标．
1 1 1 1 1 1 1
【答案】（1）作图见解析，点D在射线AM 上
z
x
（2）作图见解析，点A 的坐标 (3,0) x k
1 .
c
o
【解析】 m
【分析】本题考查尺规作图作角平分线，菱形的判定及性质，坐标与旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的
关键：
（1）根据尺规作图作角平分线的步骤作图即可，由勾股定理可知，AB=CD= AC = BD=5，即四边形
ABDC 是菱形，进而可知点D在射线AM 上；
（2）（1）根据旋转的性质，画出△ABC 即可，结合图形可知点A的坐标；
1 1 1 1
【小问1详解】
解：如图所示，AM 即为所求，
第12页/共25页
学科网（北京）股份有限公司由勾股定理可知，AB=CD= AC = BD=5，即四边形ABDC 是菱形，
∴AD平分ÐABC，
∴点D在射线AM 上；
【小问2详解】
如图所示，△ABC 即为所求，点A的坐标 (3,0) ．
1 1 1 1
z
x
x
k
.
c
20. 为防治污染，保护和改善生态环境，自20o23年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段
m
（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物
质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一
次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放
量之和为40mg/km，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
【答案】符合，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设技术改进后该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为 (40-x)mg/km，根据汽车
的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km建立方程求解即可．
第13页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为
(40-x)mg/km，
x 40-x
由题意得： + =92，
1-50% 1-75%
解得：x=34，
∵34<35，
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．
21. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两
人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两
球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
2
【答案】（1）
3
（2）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性：
（1）先画出树状图得到所有等可能性z的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率
x
x
k
计算公式求解即可；
.
c
o
（2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论．m
【小问1详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，
8 2
∴甲获胜的概率为 = ；
12 3
【小问2详解】
解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
第14页/共25页
学科网（北京）股份有限公司由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，
4 1
∴乙获胜的概率为 = ，
12 3
1 2
∵ < ，
3 3
∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，
∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．
22. 如图，AB是⊙O的直径，AM 是⊙O的切线， AC、CD是⊙O的弦，且CD^ AB，垂足为E，连
接BD并延长，交AM 于点P．
（1）求证：ÐÐC=AB APB；
（2）若⊙O的半径r=5,AC =8，求线段PD的长．
32
【答案】（1）见解析 （2）
3
z
x
【解析】 x
k
.
c
【分析】（1）根据AM 是O的切线，得出ÐoB=AM° 90 ．根据CD^ AB，可证AM//CD．得出
m
ÐÐC=DB APB．根据同弧所对圆周角性质得出ÐÐC=AB CDB即可；
（2）连接AD．根据直径所对圆周角性质得出，ÐÐ=C+DB ADC 90°．可证ÐÐA=DC C．得出
AD= AC=8．根据勾股定理BD=-= AB2 AD2 6．再证アADBＦアPAB．求出
AB2 100 50
PB= = = 即可．
BD 6 3
【小问1详解】
证明：∵AM 是O的切线，
∴ÐB=AM° 90 ．
∵CD^ AB
∴ÐC=EA° 90 ，
∴AM//CD．
第15页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∴ÐÐC=DB APB．
∵ÐÐC=AB CDB，
∴ÐÐC=AB APB．
【小问2详解】
解：如图，连接AD．
∵AB为直径，
∴
ÐA=DB° 90 ，
∴ÐÐ=C+DB ADC 90°，
∵：CAB + ：C = 90°，
ÐÐC=DB CAB
∴ÐÐA=DC C． z
x
x
k
∴AD= AC=8．
.
c
o
∵AB=2r =10， m
∴BD=-= AB2 AD2 6．
∵ÐÐ=B=AP° BDA 90 ，
ABD PBA，
∴アADBＦアPAB．
AB BD
∴ = ．
PB AB
AB2 100 50
∴PB= = = ．
BD 6 3
50 32
∴DP ==- 6 ．
3 3
【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判
第16页/共25页
学科网（北京）股份有限公司定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键．
23. 如图，VABC中，AC = BC，ÐA=CB
90，其中A(-2,0) ，C(6,0)
．
（1）直接写出线段AB的中点D的坐标；
k
（2）反比例函数y =¹> (k 0,x 0)的图象过点D，与BC交于点E，求k的值；
x
（3）点P为（2）中反比例函数图象上一动点(点P在D，E之间运动，不与D，E重合)，过点P作
PMＹAB，交y轴于点M ，过点P作PN；x轴，交BC于点N，连接MN，求PMN面积的最大
值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）D(2,4)
（2）k =8
9 æ 8ö
（3）S 最大值是 ，此时P ç 3, ÷
アPMN 2 è z 3ø
x
x
k
【解析】
.
c
o
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等m腰 三角形! 判定与性质等知识，解题的关键是运用数形结合
思想解题．
（1）先求出B的坐标，再用中点坐标公式求解即可；
k
（2）将D(2,4) 代入 y = 即可的解；
x
（3）延长NP交 y轴于点 Q，交AB于点 L．利用等腰三角形的判定与性质可得出QM =QP，设点 P的
æ 8ö 1
坐标为ç t, ÷， (2<t <6) ，则可求出S =× (-6 ×t) t，然后利用二次函数的性质求解即可．
è t ø PMN 2
【小问1详解】
解：A(-2,0) ，C(6,0)
，
\=AC 8．
又AC =BC，
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学科网（北京）股份有限公司\=BC 8．
ÐA=CB° 90 ，
\点B(6,8)
．
-2+ 6 0+ 8
又∵线段AB的中点是点D， =2, =4，
2 2
∴D(2,4)
；
【小问2详解】
k
解：将D(2,4) 代入 y = ，得k =8．
x
【小问3详解】
解：延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．
AC =BC，ÐB=CA° 90 ， z
x
x
\ÐBAC= 45°． k
.
c
o
PNＹx轴， m
\ÐBLN =ÐBAC= 45° ，ÐN=QM° 90 ．
PMＹAB，
\ÐMPL=ÐBLP= 45° ，
\ÐQMP=ÐQPM= 45°，
\=QM QP．
æ 8ö
设点P的坐标为ç t, ÷， (2<t <6) ，则PQ=t，PN =-6 t．
è t ø
\=MQ =PQ t．
1 1 1 9
-×\× =S==+-×- × PN MQ (6 t) t (t 3)2 ．
PMN 2 2 2 2
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学科网（北京）股份有限公司9 æ 8ö
\当t =3时，S 有最大值 ，此时P ç 3, ÷．
アPMN 2 è 3ø
24. 在平面直角坐标系中，将函数y=- x2+ 2m-x m- 1（m为常数）的图象记为G，点P的坐标为
( 2m,m2 -m-2 ) ．
（1）当点 (1,0) 在图象G上时，试解答以下问题：
①求函数G 的解析式；
②将抛物线在x³1的那部分函数图象沿直线x=1翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象
F ，若函数y=n与图象F 至少有三个交点，求n的取值范围；
（2）当m>0时，将点P向左平移2个单位长度得到点Q，连结PQ，以PQ为边向上方作矩形PQMN，
使PN =1．当图象G与矩形PQMN只有两个公共点时，求m的取值范围．
【答案】（1）①y=-x2+4x-3；②0£<n 1
（2）2£<m 3
【解析】
【分析】（1）①将 (1,0) 代入 y=- x2+ 2m-x m- 1，利用待定系数法即可求解；
②y=-x2+ 4x- =3- (-x 2+)2 1，当y=0时，-(x-2+)2 =1 0，解得x=1或x=2，作出图象F ，
z
x
x
如图，由轴对称可知，图象最高点的函数k值为1，此时x=0或2，可知直线 y =1与图象F 有两个交点，
.
c
o
直线y=0与图象F 有三个交点，由此可得答案m ；
（2）由题意可得N ( 2m,m2 -m-1 ) ，M ( 2m-2,m2 -m-1 ) ，Q ( 2m-2,m2-m-2 ) ，图象G的顶点
坐标T ( m,m2 -m-1 ) 在直线MN上，分情况：当T在线段MN上时，当T在M 重合时，当T在点 M
左侧，且点Q在图象G下方时，当T在点M 左侧，且点Q在图象G上及下方时，结合图形即可求得答
案．
【小问1详解】
解：①将 (1,0) 代入 y=- x2+ 2m-x m- 1，得-1+2 -2m-= m 1 0，
解得m=2，
∴函数G 的解析式为y=-x2+4x-3；
②y=-x2+ 4x- =3- (-x 2+)2 1，
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学科网（北京）股份有限公司当y=0时，-(x-2+)2
=1 0，解得x=1或x=3，
将抛物线在x³1的那部分函数图象沿直线x=1翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象
F ，如图，
由轴对称可知，图象最高点的函数值为1，此时x=0或2，
∴直线y =1与图象F 有两个交点，直线y=0与图象F 有三个交点；
∵函数y=n与图象F 至少有三个交点，
∴0£<n 1；
【小问2详解】
∵点P的坐标为 ( 2m,m2 -m-2 ) ，将点P向左平移2个单位长度得到点Q，连结PQ，以PQ为边向上方
作矩形PQMN，使PN =1，m>0
z
∴N ( 2m,m2 -m-1 ) ，M ( 2m-2,m x2 x-m-1 ) ，Q ( 2m-2,m2-m-2 ) ，
k
.
c
∵y=-x2+ 2mx- m- =1- (-x m+)2 -m2 - o mm 1，
∴则图象G 的顶点坐标T ( m,m2 -m-1 ) 在直线MN上，
当T 在线段MN上时，2m-<2 m< 2m，即0<m<2，此时，图象G与矩形PQMN有三个公共点，不
符合题意；
第20页/共25页
学科网（北京）股份有限公司当T 在M 重合时，2m-=2 m，即m=2，此时，图象G与矩形PQMN有两个公共点，符合题意；
ì2m->2 m
ï
当T 在点M 左侧，且点Q在图象G下方时，í ，即
ïî -(2m-2-+-m)>- 2 - m-2 m 1 m2 m 2
2<m<3，此时，图象G与矩形PQMN有两个公共点，符合题意；
z
当T 在点M 左侧，且点Q在图象G上 x 及x下方时，-(2m-2-+-m)2 - m£2 m- 1- m2 m 2，即
k
.
c
m³3，此时，图象G 与矩形PQMN最多只 o 有m 一个公共点，不符合题意；
综上，图象G 与矩形PQMN有两个公共点，m的取值范围为2£<m 3．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，特别是考查了含参数的二次函数的最值，以及含参数的二
次函数图像与几何图形的交点个数问题，利用二次函数图像解不等式问题，掌握数型结合是解题的核心关
键．
第21页/共25页
学科网（北京）股份有限公司25. 如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F 分别在边AB，BC上，沿垂直于EF的直线折叠得到折痕
MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B¢，C¢处，然后还原．
（1）若点N 在边CD上，且ÐB=EF a，求ÐC¢NM 的大小（用含a的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH ，点G，H分别在边CD， AD上，点D落在正方形所
在平面内的点D 处，然后还原．若EB=2AE，点D 在线段B¢C¢上，且四边形EFGH 是正方形，MN
与GH 的交点为Q，EF与HB¢的交点为P，连接PQ．小明同学猜想：アHPQ的面积是アHAE的2
S
アHAE
倍，他的猜想是否正确？如正确，请给予证明；若不正确，请求出两三角形面积的比 ．
S
アHPQ
【答案】（1）Ð-C=¢NM° 90 a
S 8
（2）小明同学的猜想不正确，两三角形面积的比 アHAE =
S 15
アHPQ
【解析】
z
x
【分析】（1）连接CC¢，根据正方形的x性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性
k
.
c
质，再结合平行线的性质即可求解； o
m
（2）先可证アAEHＨアBFEＨアDHGＨアCGF，则AE =CG = DH =a，
DG = BE = AH =2a，由勾股定理可求HG= 5a，由折叠的性质得到Ð：=ÐN=°C¢B¢ NCB 90 ，
Ð8=Ð 9，ÐÐD= =GD¢°H 90 ，NC = NC¢，GD=GD¢=8，则NG = NK ，KC¢=GC =a，由
NC¢；GD¢，得アHC¢KＦ△HD¢G，继而可证明HK = KG，由等腰三角形的性质得到QK =QG，故
3 3 5
PH = HG = a，再根据三角形的面积公式即可求得两个三角形的面积，即可求解．
4 4
【小问1详解】
解：连接CC¢，由题意Ð得ÐC=¢NM 4，MN ^CC¢，
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学科网（北京）股份有限公司∵MN ^ EF ，
∴CC¢；FE，
∴Ð1=Ð 2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ÐÐ=A=B°C BCD 90 ，
∴Ð3+Ð=Ð+Ð4 = 3° 2 90 ，Ð1+Ð BE=F °90 ，
∴Ð2=Ð4，Ð1= 9°-0 a，
∴Ð=4 9-°0 a
∴Ð-C=¢NM° 90 a；
【小问2详解】 z
x
x
∵EB=2AE，设AE =a， k
.
c
o
∴BE =2a，AB=CD=BC =CD=3a， m
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH 是正方形，
∴ÐÐA=Ð= Ð=B= °C D 90 ，HE = FE = HG，ÐH=EF° 90 ，
∴Ð5+Ð=Ð+Ð6 = 7° 6 90 ，
第23页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∴Ð5=Ð 7，
∴アAEHＨアBFE，
同理可证：アAEHＨアBFEＨアDHGＨアCGF，
∴AE =CG = DH =a，DG = BE = AH =2a，
在RtアHDG中，由勾股定理得HG= DH2 +DG2 = 5a，
由折叠可知Ð：=ÐN=°C¢B¢ NCB 90 ，Ð8=Ð 9，ÐÐD= =GD¢°H 90 ，NC = NC¢，
GD=GD¢=2a，
∴NC¢；GD¢，
Ð∴ÐN=KG 9，
∴Ð8=Ð NKG，
∴NG = NK ，
∴NC-=N-G NC¢ NK ，
即KC¢=GC =a，
∵NC¢；GD¢，
∴アHC¢KＦ△HD¢G，
HK C¢K 1
∴ = = ，
HG D¢G 2
z
x
1 x
∴HK = HG， k
2 .
c
o
m
∴HK = KG，
由题意得MN ^ HG，而NG = NK ，
∴QK =QG，
3 3 5
∴QH = HG = a，
4 4
1 1 3 5 15
∴アHPQ的面积为 QH×´=HE ´ =5a a a2，
2 2 4 8
1 1
アHAE的面积为 AE´×=A=H× 2a a a2，
2 2
S a2 8
アHAE = =
∴S 15 15．
アHPQ a2
8
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学科网（北京）股份有限公司S 8
综上，小明同学的猜想不正确，两三角形面积的比 アHAE = ．
S 15
アHPQ
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
z
x
x
k
.
c
o
m
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