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2025荔湾一模参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D． B C A D A A C
一．选择题（共10小题）
1．（2025•荔湾区一模）下列倡导节约的图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（2025•荔湾区一模）正六边形的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°计算即可．
【解答】解：（6﹣2）×180°＝720°，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和公式：（n﹣2）
•180°是解题的关键．
3．（2025•荔湾区一模）截至2025年1月31日（上线21天），DeepSeek日活跃用户数
2025荔湾一模 1
学科网（北京）股份有限公司达到2215万，这一数字已超过豆包的日活跃用户数，稳居我国AI应用活跃度榜
首．将2215万用科学记数法表示应为（ ）
A．2.215×104 B．2.215×105 C．2.215×106 D．2.215×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
【解答】解：2215万＝22150000＝2.215×107．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2025•荔湾区一模）如图，直线a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC．若
∠1＝40°，那么∠2等于（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】由平行线的性质推出∠BAC＝∠1＝40°，由直角三角形的性质求出
∠ACB＝50°，由对顶角的性质得到∠2＝∠ACB＝50°．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠BAC＝∠1＝40°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝50°，
∴∠2＝∠ACB＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出∠BAC＝∠1．
5．（2025•荔湾区一模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a和3，将
点A向左平移1个单位长度，得到点C．若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．1
2025荔湾一模 2
学科网（北京）股份有限公司【分析】先用含a的式子表示出点C，根据CO＝BO列出方程，求解即可．
【解答】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为
a﹣1，
因为CO＝BO，
所以|a﹣1|＝3，
解得a＝﹣2或4，
∵a＜0，
∴a＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
6．（2018•黔西南州）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天
要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确
的是（ ）
1000 1000 1000 1000
− = − =
A． 𝑥 𝑥+30 2 B．𝑥+30 𝑥 2
1000 1000 1000 1000
− = − =
C． 𝑥 𝑥−30 2 D．𝑥−30 𝑥 2
【分析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用
时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
1000 1000
− =
根据题意，可列方程： 𝑥 𝑥+30 2，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等
量关系，列出方程．
7．（2025•荔湾区一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点
D，连接BD，若∠B＝32°，则∠C等于（ ）
A．64° B．36° C．32° D．26°
2025荔湾一模 3
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用圆的切线的性质定理得到∠BAC＝90°，利用圆周角定理得到
∠AOC＝64°，再利用直角三角形的两个锐角互余的性质解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AOC＝2∠B＝64°，
∴∠C＝90°﹣∠AOC＝26°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，
熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
( 2𝑚+𝑛 + 1 )⋅(𝑛2−𝑚2)
8．（2025•荔湾区一模）如果m+n＝1，那么代数式 𝑚2−𝑚𝑛 𝑚 的值为（
）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m+n＝1代入进行计算
即可．
【解答】解：∵m+n＝1，
( 2𝑚+𝑛 + 1 )⋅(𝑛2−𝑚2)
∴ 𝑚2−𝑚𝑛 𝑚
2𝑚+𝑛 1
= +
𝑚(𝑚−𝑛)•（n﹣m）（n+m） 𝑚•（n﹣m）（n+m）
2𝑚+𝑛 𝑛−𝑚
=− +
𝑚 𝑚
−2𝑚−𝑛+𝑛−𝑚
=
𝑚
−3𝑚
=
𝑚
＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
9．（2023•滨江区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x
轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移，与x轴交于
（c，0），（d，0）两点，其中c＜d，下面结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
2025荔湾一模 4
学科网（北京）股份有限公司B．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣c
C．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
D．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c
【分析】分m＞0和m＜0两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质
结合函数图象解答即可．
【解答】解：当m＞0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＞d﹣c；
当m＜0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＜d﹣c．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是
利用数形结合的思想进行解答．
1
=
10．（2020•无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD 2，线段PQ
1
=
在边BA上运动，PQ 2，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
2025荔湾一模 5
学科网（北京）股份有限公司②△AQD与△BCP可能相似；
31 3
③四边形PCDQ面积的最大值为 16 ；
39
+
④四边形PCDQ周长的最小值为3 2 ．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①利用图象法判断或求出DQ的最大值，PC的最小值判定即可．
1 5
− = −
②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x 2 2 x，因为∠A＝∠B＝60°，当
𝐴𝐷 𝐴𝑄
=
𝐵𝑃 𝐶𝐵时，△ADQ与△BPC相似，
1
2 = 𝑥 3 3
即 5
2
−𝑥 3 ，解得x＝1或2，推出当AQ＝1或2时，两三角形相似．
3 1 3 1 1 1
= × − × × × − × −
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积 4 32 2 x 2 2 2 3×（3﹣x 2）
3 3 3 5 3
× = +
2 8 8 x，当x取最大值时，可得结论．
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接
CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周
长最小．求出CF的长即可判断．
21
【解答】解：①利用图象法可知PC＞DQ，或通过计算可知DQ的最大值为 2 ，
3 3
PC的最小值为 2 ，所以PC＞DQ，故①错误．
1 5
− = −
②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x 2 2 x，
∵∠A＝∠B＝60°，
𝐴𝐷 𝐴𝑄 𝐴𝐷 𝐴𝑄
= =
∴当𝐵𝑃 𝐶𝐵或𝐶𝐵 𝐵𝑃时，△ADQ与△BPC相似，
2025荔湾一模 6
学科网（北京）股份有限公司1 1
2 = 𝑥 2 = 𝑥 3 5
即 5
2
−𝑥 3 或 3 5
2
−𝑥，解得x＝1或2或14，
3 5
∴当AQ＝1或2或14时，两三角形相似，故②正确
3 1
= × − ×
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S ﹣S ﹣S 4 32 2 x
△ABC △ADQ △BCP
3 1 1 1 3 3 3 5 3
× × − × − × = +
2 2 2 3×（3﹣x 2） 2 8 8 x，
1 5
− =
∵x的最大值为3 2 2，
5 31 3
= =
∴x 2时，四边形PCDQ的面积最大，最大值 16 ，故③正确，
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF
交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周长最
小．
过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．
3 1 3 3 3 3 1 1 3
= = = = = − − =
由题意，DD′＝2AD•sin60° 2，HJ 2DD′ 4，CJ 2 ，FH 2 2 4 4，
7 3
=
∴CH＝CJ+HJ 4 ，
= 𝐹𝐻2+𝐶𝐻2= ( 3 )2+( 7 3 )2= 39
∴CF 4 4 2 ，
39
+
∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3 2 ，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等
知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题）
11．（2025•荔湾区一模）当x＝ 3 时， 2𝑥−6的值最小．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：当x＝3时，
2025荔湾一模 7
学科网（北京）股份有限公司此时2x﹣6＝0，
2𝑥−6的最小值为0，
故答案为：3
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基
础题型．
12．（2024•平谷区二模）分解因式：mx2﹣9m＝ m（x+3）（x﹣3） ．
【分析】直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝m（x2﹣9）
＝m（x+3）（x﹣3）．
故答案为：m（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分
解因式是解题关键．
13．（2019•兴安盟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把它沿斜边AB所
84
在直线旋转一周，所得几何体的侧面积是 5π ．（结果保留π）
【分析】作CD⊥AB于D，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，再根据面积法计算
12
=
出CD 5，由于把Rt△ABC沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体为两个圆
锥，它们的底面为以D点为圆心，DC为半径的圆，所以利用扇形的面积公式计算
两个圆锥的侧面积即可．
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB
= 32+42=
5，
1 1
× = ×
∵2 CD×AB 2 AC×BC，
3×4 12
= =
∴CD 5 5，
2025荔湾一模 8
学科网（北京）股份有限公司把Rt△ABC沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体为两个圆锥，它们的底面为
以D点为圆心，DC为半径的圆，
1 12 1 12 84
= × × × + × × × =
∴这个几何体的侧面积 2 2π 5 3 2 2π 5 4 5π．
84
故答案为5π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等
于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y
𝑘 𝑘
= 1 = 2
𝑥上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y 𝑥，则k +k 的值为 0 ．
1 2
𝑘
= 1
【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y 𝑥上，可得k ＝ab，由点A与
1
点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k ，然后得出答案．
2
𝑘
= 1
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y 𝑥上，
∴k ＝ab；
1
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
𝑘
= 2
∵点B在双曲线y 𝑥上，
∴k ＝﹣ab；
2
∴k +k ＝ab+（﹣ab）＝0；
1 2
故答案为：0．
【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征
以及互为相反数的和为0的性质．
15．（2025•荔湾区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝8，E是AB边的中点，
F是射线BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接BD，则
2025荔湾一模 9
学科网（北京）股份有限公司B′D的最小值是 4 ．
【分析】连接DE，由四边形ABCD是矩形得∠A＝90°，而AB＝12，AD＝8，所
1
以AE＝BE
=
2AB＝6，求得DE
= 𝐴𝐸2+𝐴𝐷2=
10，由折叠得B′E＝BE＝6，因为
B′D+B′E≥DE，所以B′D+6≥10，求得B′D的最小值是4，于是得到问题的
答案．
【解答】解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝8，E是AB边的中点，
1
=
∴AE＝BE 2AB＝6，∠A＝90°，
∴DE
= 𝐴𝐸2+𝐴𝐷2= 62+82=
10，
∵将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，
∴B′E＝BE＝6，
∵B′D+B′E≥DE，
∴B′D+6≥10，
∴B′D≥4，
∴B′D的最小值是4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、两点之间线段最
2025荔湾一模 10
学科网（北京）股份有限公司短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（2025•荔湾区一模）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进
一，例：12＝1×10+2，212＝2×102+1×10+2．计算机中常用的十六进制是逢16
进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，满十六进一，它与
十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
将十六进制数1A6转换为十进制数为 422 ，十六进制下A×B＝ 6E ．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：1×162+10×16+6
＝256+160+6
＝422，
即将十六进制数1A6转换为十进制数为422，
A×B在十进制下的数为10×11＝110，
∵110÷16＝6……14，
∴十六进制下A×B＝6E，
故答案为：422；6E．
【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关
键．
三．解答题（共8小题）
|− 3|−(4−𝜋)0+2𝑠𝑖𝑛60°+( 1 )−1
17．（2025•荔湾区一模）计算： 3 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值的混合运算，先去绝对值，进行零指数幂，负整
数指数幂，特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可．
3
= 3−1+2× +3= 3−1+ 3+3=2 3+1
【解答】解：原式 2 ．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先去绝对值，进行零指数幂，
负整数指数幂，特殊角的三角函数值的计算，掌握相应的运算法则是关键．
{4(𝑥−1)≤𝑥+2
𝑥+11
−1＞𝑥
18．（2025•荔湾区一模）解不等式组： 6 ．
【分析】解出每个不等式，再求公共解集即可．
2025荔湾一模 11
学科网（北京）股份有限公司{4(𝑥−1)≤𝑥+2①
𝑥+11
−1＞𝑥②
【解答】解： 6 ，
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＜1，
则不等式组的解集为x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的
值及此时方程的根．
【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，
则（x﹣1）2＝0，
解得：x ＝x ＝1．
1 2
∴m＝1，方程的根为1。
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
20．（2025•荔湾区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点
E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF，并延长EF交CD的延长线于点G．
（1）求证：AC⊥EF；
1
𝑡𝑎𝑛𝐺=
（2）若BD＝4， 2，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，再证明
AE＝AF，然后由等腰三角形的性质即可得出结论；
2025荔湾一模 12
学科网（北京）股份有限公司（2）证明EF∥BD，再由平行线的性质得∠G＝∠CDO，然后由锐角三角函数定义
求出OC＝1，则AC＝2，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，AC平分∠BAD，
∵BE＝DF，
∴AB﹣BE＝AD﹣DF，
即AE＝AF，
∵AC平分∠BAD，
∴AC⊥EF；
（2）解：由（1）可知，AC⊥BD，AC⊥EF，
∴EF∥BD，
∴∠G＝∠CDO，
𝑂𝐶 1
= =
∴tanG＝tan∠CDO 𝑂𝐷 2，
1
=
∴OC 2OD，
∵BD＝4，
1
=
∴OD 2BD＝2，
∴OC＝1，
∴AC＝2OC＝2，
1 1
= = ×
∴S 2AC•BD 2 2×4＝4，
菱形ABCD
即菱形ABCD的面积为4．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、解直
角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
21．（2025•荔湾区一模）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有
一个数字，分别是1，4，5，8．现规定从袋中任意取一个小球，对应的数字作为一
个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任意取一个小球，对应的
数字作为这个两位数的十位数．
（1）用列表法或树状图列出所有可能的两位数；
（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于5且小于8的概率．
2025荔湾一模 13
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意列表即可．
（2）有表壳可得出所有等可能的结果数以及其算术平方根大于5且小于8的结果数，
再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）列表如下：
1 4 5 8
1 11 14 15 18
4 41 44 45 48
5 51 54 55 58
8 81 84 85 88
共有16种等可能的结果．分别为
11，14，15，18，41，44，45，48，51，54，55，58，81，84，85，88
（2）由（1）知共有16种等可能的结果，其算术平方根大于5且小于8的结果有：
41，44，45，48，51，54，55，58，共8种，
8 1
=
∴其算术平方根大于5且小于8的概率为16 2．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及
概率公式是解答本题的关键．
22．（2025•荔湾区一模）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所
示．若点O是△ABC的外心，圆O为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交圆O于
点D，连接AD，CD．
（1）尺规作图：作出圆O及角平分线BD（保留作图痕迹，不写作法）．请证明：
AD＝CD；
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交圆O于点
M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与圆O的公共点个数．
【分析】（1）作线段BC，AB的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，OB的
2025荔湾一模 14
学科网（北京）股份有限公司长为半径画圆，再作∠ABC的平分线BD，交圆O于点D，则圆O和BD即为所求；
由角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，由圆周角定理得
∠ABD＝∠ACD，∠CBD＝∠CAD，可得∠ACD＝∠CAD，则AD＝CD．
（2）连接OD，由题意得CD＝CM，∠DCF+∠CDF＝90°，则∠CDM＝∠CMD，
进而可得∠CBD+∠DCF＝90°，即∠BDC＝90°，可知BC为圆O的直径．根据
题意以及角平分线的定义可得∠ABD＝∠ODB，则OD∥AB，进而可得
∠ODE＝90°，则可得DE为圆O的切线，从而可知直线DE与圆O有1个公共
点．
【解答】（1）解：如图，作线段BC，AB的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆
心，OB的长为半径画圆，再作∠ABC的平分线BD，交圆O于点D，
则圆O和BD即为所求．
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵∠ABD＝∠ACD，∠CBD＝∠CAD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴AD＝CD．
（2）解：连接OD，
∵AD＝CD，AD＝CM，
∴CD＝CM，
∴∠CDM＝∠CMD，
∵DF⊥BC，
2025荔湾一模 15
学科网（北京）股份有限公司∴∠DFC＝90°，
∴∠DCF+∠CDF＝90°，
∴∠CMD+∠DCF＝90°，
∵∠CMD＝∠CBD，
∴∠CBD+∠DCF＝90°，
∴∠∠BDC＝90°，
∴BC为圆O的直径．
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠OBD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴OD∥AB，
∴∠DEB+∠ODE＝180°．
∵DE⊥BA，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ODE＝90°．
∴OD⊥DE，
∵OD为圆O的半径，
∴DE为圆O的切线，
∴直线DE与圆O有1个公共点．
【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理、三角形的外接
圆与外心、直线与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
23.（2025•荔湾区一模）如图，已知 A(9，0)，B(0，3)是平面直角坐标系中两点，连
接AB，点P在线段AB上，AB=3BP.
k
(1)反比例函数y 的图象交AB于P，D两点，求k的值及D点坐标:
x
(2)在(1)的条件下，点N为x轴正半轴上一动点，连接DN，将线段DN绕点 N逆时
2025荔湾一模 16
学科网（北京）股份有限公司针旋转90°，点D的对应点M恰好落在此反比例函数图象上，求点 M的坐标.
24．（2021•鲤城区校级模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是射线AB上的
一个动点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交射线DA于点F．
（1）如图，点E在线段AB上，求证：△ABF∽△BCE；
（2）在点E的运动过程中，是否存在使D、F、G、C四点构成的四边形为轴对称
图形，若存在，求出相应AE的长，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠BCE＝∠EBG，即可得出△ABF∽△
BCE；
（2）分两种情况讨论：①当点E运动到AB的延长线上时，则
DC＝CG＝3，DF＝FG时；②当点E在线段AB上时，分别利用相似三角形的判定
和性质即可求得AE的长．
【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠EBC＝90°，
∴∠BCE+∠CEB＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BGE＝90°，
∴∠EBG+∠GEB＝90°，
2025荔湾一模 17
学科网（北京）股份有限公司∴∠BCE＝∠EBG，
∴△ABF∽△BCE；
（2）①当点E运动到AB的延长线上时，则DC＝CG＝3，DF＝FG时，使
D、F、G、C四点构成的四边形为轴对称图形，如图3，
4 7
=
同理得出BE 3 ，
4 7
= +
∴AE＝AB+BE 3 3；
②当点E在线段AB上（不与B重合）时，不存在；
4 7
+
综上，AE的长为 3 3．
【点评】此题考查四边形综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定
理和矩形的性质解答．
25．（2020•泉州二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴分别交于点A、B（点B在
1 3
−
点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，点（2， 4a﹣3）在抛物线上．
（1）求c的值；
（2）已知点D与C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD＝DE，
①求抛物线所对应的函数表达式；
②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，以 5的长为半径
5
作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求5TB+TF的最小值．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）将点的坐标代入抛物线解析式，解方程可得出答案；
（2）①求出点D的坐标，将点B（m，0），则点E（﹣m，6）代入抛物线
y＝ax2﹣2ax+c，解方程组可得出答案；
②证明△FQB≌△BOC（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝BC，由勾股定理求
出BC＝5，在CB上截取CG＝1，证明△GCT∽△TCB，得出比例线段
𝐶𝐺 𝐶𝑇 𝑇𝐺 5 5 5
= = = =
𝐶𝑇 𝐶𝐵 𝑇𝐵 5，即TG 5TB，当点F，T，G三点共线时，5TB+TF的值最小，
由勾股定理求出GF的长即可得出答案．
1 3
−
【解答】解：（1）∵点（2， 4a﹣3）在抛物线上，
− 3 =𝑎⋅( 1 )2−2𝑎× 1 +
∴ 4a﹣3 2 2 c，
∴c＝﹣3；
（2）①由题意得，C（0，﹣3），
∵点D与C关于原点O对称，
∴D（0，3），
∵BD＝DE，
∴点D为BE的中点，
设点B（m，0），则点E（﹣m，6），
将点B（m，0），则点E（﹣m，6）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+c，
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学科网（北京）股份有限公司{𝑎𝑚2−2𝑎𝑚−3=0
得
𝑎𝑚2+2𝑎𝑚−3=6，
3
=
∴am 2，m＝4，
3
=
解得a 8，
= 3 𝑥2− 3
∴抛物线所对应的函数表达式为y 8 4x﹣3；
1
=
②如图，抛物线的对称轴交x轴于点Q，则BQ 2AB＝3，
∴BQ＝OC，
∵∠FBQ+∠OBC＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠OCB＝∠FBQ，
又∵∠FQB＝∠COB＝90°，
∴△FQB≌△BOC（ASA），
∴BF＝BC，
在Rt△BOC中，OB＝4，OC＝3，
∴BF＝BC
= 𝑂𝐵2+𝑂𝐶2= 42+32=
5，
在CB上截取CG＝1，则GB＝5﹣1＝4，
𝐶𝐺 1 5 𝐶𝑇 5
= = =
∵𝐶𝑇 5 5，𝐶𝐵 5，
𝐶𝐺 𝐶𝑇
=
∴𝐶𝑇 𝐶𝐵，
又∵∠GCT＝∠TCB，
∴△GCT∽△TCB，
𝐶𝐺 𝐶𝑇 𝑇𝐺 5 5
= = = =
∴𝐶𝑇 𝐶𝐵 𝑇𝐵 5，即TG 5TB，
5
∴5TB+TF＝TG+TF，
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学科网（北京）股份有限公司∵F（1，4）为定点，
5
∴当点F，T，G三点共线时，5TB+TF的值最小，最小值为线段GF的长．
在Rt△GBF中，GB＝4，BF＝5，由勾股定理得，GF
= 42+52= 41
．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与
性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是
熟练掌握二次函数的性质．
2025荔湾一模 21
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