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沈阳二中2025-2026学年度下学期模拟考试
高三(26届)数学试题答案
命题人:高三数学组 审校人:高三数学组
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B A B A C D D BCD AC ABD
12. 13. 14.
15.解（1）由 ，
根据余弦定理，得 ，
因为 ，则 . -------------------------3分
由 ，得 ，
根据正弦定理，得 ，则 .----------------5分
（2）由（1）知， ， ------------8分
则 ，即 ，
当且仅当 时等号成立， ---------------10分
则 的最大值为4.-----------------13分
16. 解：（1）如图，设 与 交于点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 为 上靠近点 的三等分点，
---------3分
又因为 为 上靠近点 的三等分点，所以在 中，
，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．------------6分
（2）因为 ， ，所以 ，
又因为 平面 ， ，则以 为原点， ， ，
所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
---------------8分
则 ， ， ， ， ， --9分
1
学科网（北京）股份有限公司从而 ，
因为 ，所以 ，
所以点 的坐标为 ， ，------------10分
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 ---------------11分
则 ，令 ，可得 ，
所以平面 的一个法向量为 ， ---------------12分
设直线 与平面 所成角为 ， 为锐角，
则 ， ------------14分
.------------15分
17. （1）由题可得 .----------1分
令 ，则 ，
当 时， ，此时 ， ，故 在 上单调递减；
当 时， ，记两根为 ， ，---------3分
此时 ， ，则两根均为负，得 ，
故 在 上单调递减；---------4分
当 时， ，此时 ， ，则两根均为正，且 ，
故 或 时， ， 在 、 上单调递减，
时， ， 在 上单调递增，-----------6分
2
学科网（北京）股份有限公司综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递减，
在 上单调递增.-------------7分
（2）注意到 .若 ，则 在 上单调递减，
当 时， ，当 时， ，所以 成立当且仅当 ，结
论成立；-------11分
若 ， ， ， 在 上单调递增，从而有 ，
，
时， ，由零点存在定理，知 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故不存在满足条件的区间 .-----------14分综上， 的取值范围为 .---------15分
18.解：（1） 等价于 且 ，所以 的概率为 .—3
分
（ 2 ） 设 . 则 对 任 意 正 整 数 取 1 或 -1 的 概 率 均 为 ， 且
.设 .显然， ，
并设此时 中有x个1,2n-x个-1.则X-(2n-x)=k.
因此，k=2(x-n)只能取[-2n,2n]之间的偶数值.-----------5分
对于偶数2m(m=0,±1,...,±n)，事件{X=2m}相当于在2n个数 中，有n+m个取
1，n-m个取-1，因此，X的概率分布可表示为
-------------------------10分
（2）对任意1≤i≤n，易知P(X=-2m)=P(X=2m).从而， .
3
学科网（北京）股份有限公司---------------17分
19.解：（1）设 则 的方程为 ，则由 得
，则 ，所以 .---------4分
（2）抛物线 的焦点为 ，设l的直线方程为 .
由得 得 .----------6分
由 ，得 ，
而 ，故 的斜率为 ， 的方程为 .
代入 得 .---------8分
设动点R的坐标为 ，则:
，
因此 ， 故 中点R的轨迹L的方程为 .
（3）显然对任意非零整数t，点 都是L上的整点，故L上有无穷多个整点.
假设L上有一个整点 到原点的距离为整数 ，不妨设 ，则:
4
学科网（北京）股份有限公司，因为p是奇质数，于是 ，
从②可推出 ，再由①可推出 .----------13分
令 ，则有 ，
由③，④得 ，于是 ，即
，
于是 ，得 ，故 ，有 ，但L上的点
满足 ，矛盾!因此，L上任意点到原点的距离不为整数.---------17分
5
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