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河南省叶县高级中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．曲线 在(0,f (0))处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．x+ y−1=0
2．已知 ，则n=（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．已知{a }是公差不为0的等差数列， 若 成等比数列，则 （ ）
n
A．−20 B．−16 C．16 D．18
4．已知盒子中装有 个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是
等可能的），用随机变量X表示取到的红球个数，X的分布列如下表所示，则
（ ）
X 1 2 3
1
P a b
5
A．4 B．5 C．6 D．9
5．已知 ，则 （ ）
3
A． B． C． D．
4
6．设 ，这两个正态曲线如图所示.则下列选项正确的是（ ）
试卷第1页，共3页A． B．
C． D．
7．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或
1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；
发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已
知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ）
1
A． B． C． D．
10
8．已知函数 ，若 恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知某地10月份第x天的平均气温为y（单位：℃），x，y线性相关，由x，y的前7
天样本数据 求得的经验回归方程为 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．x，y负相关
B．第8天的平均气温为18℃
C．前7天平均气温的平均数为19℃
D．若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大
10．若 展开式中所有二项式系数之和为1024，且
，则（ ）
试卷第2页，共3页A．
B．
C． 能被200整除
D． 除以7所得的余数为2
11．设函数 ，则（ ）
A．当a>1时，f(x)有三个零点
B．当a<0时， 是f(x)的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线y=f(x)的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线y=f(x)的对称中心
三、填空题
12．设随机变量ξ的概率分布列为 ，其中 ，那么a的值为______.
13．已知数列{a }满足， ，且 .若T 是数列{a }的前 项积，求T 的最大
n n n n
值为______.
14．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定
理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数
.设 ，其中a，b， ， 均为自然数，则满足条件的有
序数组 的个数为__________.（用数字作答）
四、解答题
15．已知数列 .
试卷第3页，共3页(1)令 ，证明数列 {b } 是等差数列，并求出通项公式；
n
(2)求数列 {a } 的前 项和 S .
n n
16．近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随
机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情
况如下表：（单位：人）
喜欢跳舞 不喜欢跳舞
女
25 35
性
男
5 25
性
(1)根据表中数据并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联？
(2)用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3
人，设被抽取的3人中喜欢跳舞的人数为X，求X的分布列及数学期望 .
n(ad−bc) 2
附：χ2= ，n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
α
17．在正三棱柱ABC−A B C 中，已知 分别是棱
1 1 1
的中点．
试卷第4页，共3页(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18．已知函数 ．
(1)当 时，求f (x)的最小值；
(2)求函数 的极值；
(3)当 时，不等式 在x∈(1,+∞)上恒成立，求整数 的最大值．
19．椭圆C： （ ）经过点 ，左、右焦点分别为 ，
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，P是椭圆C在第一象限上的一点，直线PB与 轴
相交于点C，直线PA与 轴相交于点D.
（ⅰ）过P点做椭圆的切线，当切线平行AB时，求：切线方程.
（ⅱ）求△PCD面积的最大值.
试卷第5页，共3页《河南省叶县高级中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B C D B C AC ACD
题号 11
答案 AD
9
12． 13． 14．48
13
15．(1)证明： ，
两端除以 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，
所以数列 是以 4 为首项，3 为公差的等差数列，
（2） ，
，①
由①-②，得 ，
.
16．【详解】（1）零假设： ：喜欢跳舞与性别无关联，
由题意， ，
依据小概率值α=0.05的独立性检验，可推断 不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联.
（2）由题知，考生喜欢跳舞的概率 ，不喜欢跳舞的概率为
X的可能取值为0，1，2，3
答案第1页，共2页， ，
，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2 3
4 2
P
9 9
由 ，数学期望 .
17．【详解】（1）在矩形 中， 分别为 的中点，连接 ，则
，
在△ABC与△A B C 中，易得 ， ，因为 ，所以
1 1 1
，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理， ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面
，
又因 平面 ，故平面 平面 .
（2）以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴正方向，OC所在直线为y轴正方向，
过点 O和平面 垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
答案第2页，共2页设平面 的法向量为 ，
因 ， ，
则 ，即 令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 令 ，则 ，
所以 ，
1
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
7
18．则 ，
令f′(x)=0，即 ，解得 ，
所以当 时，f′(x)<0，函数f (x)在 上单调递减，
当 时，f′(x)>0，函数f (x)在 上单调递增，
所以，当 时，函数f (x)取得最小值，即 ，
所以当 时，f (x)的最小值为 ，此时 .
答案第3页，共2页（2）由题意得， ，其定义域为
(0,+∞)，
则 ，
①当a≥0时， 恒成立，所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以g(x)不存在极值；
②当a<0时，令 ，解得 ，
所以当 时， ，函数g(x)在 上单调递增，
当 时，g′(x)<0，函数g(x)在 上单调递减，
所以，当 时，g(x)存在极大值 ，无极小值；
综上所述，当a≥0时，函数g(x)不存在极值；
当a<0时，函数g(x)存在极大值 ，此时 ，不存在极小值.
（3）由题意知，当 时，不等式 在x∈(1,+∞)上恒成立，
即 ，等价于 在x∈(1,+∞)上恒成立，
设 ，即
则 ，
令 ，则 ，
当x∈(1,+∞)时， 恒成立，则t(x)在(1,+∞)上单调递增，
又 ， ，
答案第4页，共2页所以 ，使 ，即h′ (x )=0，
0
当 ， ，即 ，
当x∈(x ,+∞)， ，即 ，
0
即h(x)在 上单调递减，在(x ,+∞)上单调递增，
0
当x=x ，h(x)存在最小值，即 ，
0
由 ，得 ，
，
所以 ，
又 ，所以 的最大值为4.
19．【详解】（1）由题意可得 ，
又 ，解得 ，
故椭圆C的标准方程为 .
（2）（ⅰ）由（1）可得：A(−2,0)， ，
设 ，x >0， ，
0
可知直线AB方程为： .
设切线方程为 ，
代入 ,得到
答案第5页，共2页令 ，解得 ，
因 P 在第一象限，切线斜率为负，故m=√2
所以切线方程为： .
（ⅱ）直线 ： ， 到直线的距离为
且 ，
当且仅当 时等号成立.
因为 在椭圆上，所以 ，
则 ： ，令 ， ，
则 ： ，令 ， ，
则 ，
.
故四边形ABCD面积为定值2.
答案第6页，共2页所以△PCD的面积 ，
所以△PCD面积的最大值为√2−1.
答案第7页，共2页
