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阳泉市第一中学校2025-2026 学年高一上学期11 月期中考试
数学试题
一、单选题
1．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．充分接近的所有实数
B．所有的正方形
C．著名的数学家
D．1，2，3，3，4，4，4，4
2．已知集合
，那么
的真子集的个数是
A．15
B．16
C．3
D．4
3．命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列各选项中的两个函数为同一函数的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
5．下列函数中，既是偶函数又在
上单调递减的为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
在
上是周期为4 的奇函数，当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．2
C．
D．
8．设函数
是
上的单调递减函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知
，则
；
B．已知
，则
；
C．已知一次函数
满足
，则
；
D．定义在
上的函数
满足
，则
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若
，则
B．函数
)的定义域为
，则函数
的定义域为
C．“
成立”是“
成立”的充要条件
D．设
，若
且
，则
11．已知函数
的定义域是
且
，当
时，
，且
，下
列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
在
上单调递减
C．
D．满足不等式
的
的取值范围为
三、填空题
12．设函数
，则
．
13．若
，则
的值为 .
14．若关于x 的不等式
的解集是
，则
的解集为 .
四、解答题
15．已知集合
，集合
.
(1)若
，求
，
；
(2)若集合
是
的子集，求实数
的取值范围.
16．已知集合
(1)若
，写出
的所有子集
(2)若集合
中只含有一个元素，求
的值．
17．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3 米，底
面积为12 平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因
此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左右两面新建墙体报价为每平方
米150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米（
）.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元（
），若无论左右
两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.
18．已知函数
，（
且
）
（1）求
的定义域；
（2）判断
的奇偶性，并予以证明；
（3）求使
的x 取值范围.
19．已知函数
.
(1)求
的定义域和值域；
(2)判定函数
的单调性，并用定义证明；
(3)若对
，
，且
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
B
D
A
B
ABD
ACD
题号
11
答案
ACD
1．B
由集合的确定性和互异性即可判断答案.
【详解】选项A，C 不满足集合的确定性；集合B 正方形是确定的，故能构成集合；选项D 不满足集合的
互异性．
故选：B．
2．A
【详解】集合A 里有4 个元素，那么它有
个真子集，故选A
3．B
根据题意，结合全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称量词命题与存在量词命题的关系得：
命题“
”的否定为“
”.
故选：B.
4．B
利用函数三要素：定义域，对应关系，值域，可判断.
【详解】对于选项 A：
的定义域为
，而
的定义域为
，
因两函数定义域不同，故不是同一函数，故A 错误；
对于选项 B：
，由
，得
，故定义域为
则
（当
)，
而
，显然函数定义域为
，则
，
因两函数的定义域均为
，且对任意
，均有
.
故两函数是同一函数，即B 正确；
对于选项 C：
，由
，得
或
，即
定义域为
，
而
，由
且
，可得
，即
定义域为
，
两函数定义域不同，故不是同一函数，即C 错误；
对于选项 D：
，由
，得
，即定义域为
，
而
的定义域为
，即两函数的定义域不同，故不是同一函数，即D 错误.
故选：B
5．B
根据一般幂函数、对数函数的奇偶性判断A、C；由奇偶性定义及幂函数的单调性判断B；由指数函数的
单调性判断D.
【详解】由
为奇函数，
为非奇非偶函数，A、C 不符合，
由
，则
且定义域为
，故为偶函数，
在
上
单调递减，B 符合，
在
上
单调递增，D 不符合.
故选：B
6．D
由
可得
，即可排除BC，再由
可得
，即可排除A，从而得到结果.
【详解】当
时，
，
，则
，排除选项B 和C；
当
时，
，排除选项A，选项D 符合题意.
故选：D
7．A
利用函数的周期性得
，再利用奇函数的性质及条件，即可求出结果.
【详解】因为
是
为周期的周期函数
所以
，
因为
在
上是奇函数，则
，
又因为当
时，
，则
故选：A.
8．B
根据
在
上的单调递减，所以分段函数的两段都是各自定义域内的减函数，即
，且
，即可求解.
【详解】因为
在
上的单调递减，
所以
，即
，
所以实数
的取值范围为
，
故选：B
9．ABD
【详解】解：对于A，因为
，
所以
，故正确；
对于B，因为
，
因为
，
所以
，故正确；
对于C，设
，
则
，
所以
，解得
或
，
所以
或
，故错误；
对于D，因为定义在
上的函数
满足
①，
所以
②，
由①
+②，得
，
所以
，故正确.
故选：ABD.
10．ACD
由不等式的基本性质即可判断A 选项；由函数定义域的定义即可求得函数
的定义域，判断B 选项；
分别解两个不等式得到解集，即可判断C 选项；设
，解
的值，然后由不等
式的同向可加性得到
的范围，判断D 选项.
【详解】∵
，∴
，∴
，
即
，所以
，A 选项正确；
令
，∴
，∴函数
的定义域为
，B 选项错误；
，则
，
，解得
，C 选项正确；
令
，即
，
即
，解得
，即
，
∴
，∴
，D 选项正确.
故选：ACD.
11．ACD
根据给定条件，利用赋值法可判断A 和C；结合函数单调性的定义可判断B；利用单调性解不等式可判断
D.
【详解】函数
的定义域为
且
，
对于A，取
，则
，故A 正确；
对于B，
且
，有
，
因为
时，
，所以
，于是
，
即
，所以函数
在
上单调递增，故B 错误；
对于C，取
，
，则
，
即
，
则有
，
因此
，故C 正确；
对于D，由选项C 知，
，
则
，
，
所以不等式
等价于
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
，解得
，故D 正确.
故选：ACD.
12．
根据给定的分段函数，分段判断并代入求值.
【详解】函数
，则
，
所以
.
故答案为：
13．14
两边平方求出答案.
【详解】
，两边平方得
，
即
，解得
.
故答案为：14
14．
由不等式
的解集知方程
的两个根，根据韦达定理求得
的值，再解不等式
即可求得解集.
【详解】∵不等式
的解集是
，
∴方程
的两个根为
则
.
由
得
，即
，
解得
，所以不等式的解集为
.
故答案为：
.
15．(1)
，
或
.
(2)
（1）把
代入，利用并集、补集的定义求解.
（2）由集合的包含关系列式求解.
【详解】（1）当
时，
，而
，
则
，
，
所以
或
.
（2）由
，
当
，即
时，
，满足
，则
；
当
时，由
，得
，解得
，
综上实数
的取值范围是
.
16．(1)
(2)
或
（1）先将
代入，求解一元二次方程得到集合
的元素，再根据子集的定义列出所有子集.
（2）分类讨论，当
时，方程为一元一次方程，求解得到集合
的元素；
当
时，方程为一元二次方程，利用判别式
时方程有且仅有一个实数根，求出
的值，再验证集
合
的元素个数.
【详解】（1）当
时，集合
，解方程
得
或
，
则集合
，其子集有
.
（2）当
时，集合
，解方程
得
，
则集合
，满足要求；
当
时，方程
有两个相同的解，即
，解得
，
代入得方程
，解得
，则集合
，满足要求.
综上，
的值为
或
.
17．(1)
米，
元
(2)
（1）先求得总造价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价.
（2）根据整体报价列不等式，然后分离参数
，利用基本不等式求得
的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元，
则
，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立.
即当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低为
元.
（2）由题意可得，
对任意的
恒成立，
即
，
所以
，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
，所以
的取值范围为
.
18．（1）
；（2）函数
是奇函数，证明见解析；（3）当
时，
；当
时，
【解析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；
（2）函数
是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；
（3）不等式化为
后，分类讨论底数
，根据对数函数的单调性可解得结果.
【详解】（1）要使函数数
有意义，则必有
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
（2）函数
是奇函数，证明如下：
∵
，
，
，
∴函数
是奇函数
（3）使
，即
当
时，有
，解得
，
当
时，有
，解得
.
综上所述：当
时，
；当
时，
.
19．(1)定义域
；值域
(2)函数
在R 上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）对于函数
，因为
，所以
恒成立，
所以函数
定义域
；
，因为
，所以
，所以
，
所以
，即函数
的值域
；
（2）函数
在R 上单调递增，证明如下：
，任取
，且
，
则
，
因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
在R 上单调递增；
（3）对
，
，且
，不等式
恒成立，
即不等式
恒成立，
由（2）知函数
在R 上单调递增，因为
即
，
所以
，
因为
，所以
，
即
，所以
，
即
，解得
，
