数学六下鲁教版五四制（2025春）_初中数学_鲁教版五四制

义务教育教科书（五·四学制） 数学 六年级 下册
价格批准编序号：鲁发改价格核（2025）902004
绿色印刷产品 举报电话：12345
定价：10.45元主 编：马 复
编写人员：颜 峰 王海燕 原欢春 王瑞霖
杨泽忠 辛珍文 李 平 刘旭东
责任编辑：王 利 孙金栋
责任校对：任军芳
封面设计：吴江楠
YIWU JIAOYU JIAOKESHU （WU·SI XUEZHI）
SHUXUE
LIU NIANJI XIA CE
义务教育教科书（五·四学制）
数学
六年级 下册
出 版：山东出版传媒股份有限公司
山东教育出版社（济南市市中区二环南路 2066 号 4 区 1 号）
网 址：www.sjs.com.cn
发 行：山东新华书店集团有限公司
印 刷：荣成市印刷厂有限公司
版 次：2024 年 12 月第 1 版
印 次：2024 年 12 月第 1 次
开 本：787 毫米×1092 毫米 1/16
印 张：11.25
字 数：225千
书 号：ISBN 978-7-5701-3041-2
定 价：10.45元
著作权所有·请勿擅用本书制作各类出版物·违者必究
山东出版传媒股份有限公司教材中心售后服务电话：（0531）82098188走 进 数 学 新 天 地
亲爱的同学，很高兴又与你相会在数学的世界。
打开这本教科书，你会结识许许多多新的数学知识——
长长短短的线、大大小小的角给你新的感受；多边形、圆、扇形蕴含
着的秘密有待你去揭示。
从“算术”到“方程”，你将经历从具体到抽象的过程，了解几千年
前古人如何解决生活中的“难题”，感受数学模型特有的魅力。
线的位置与角的大小有什么关联？相交线与平行线带你开启丰富的几
何图形的探究之旅。
整式的乘除会给你开辟一片数学新领域， 杨辉三角也会给你带来别样
的神奇。
环境的温度、车辆行驶的路程、人的身高和体重……这些生活中的量
不断高高低低、增增减减地变化着，它们在变化过程中存在什么规律？能
够预测这些变化吗？期待着你去寻找答案。
神奇的加密术、尝试“设计自己的运算程序”，你会发现，学数学有
时也像做游戏一样有趣，一样让人着迷！
在本学期的学习过程中，你不仅可以揭开上述谜底，还将探索它们背
后更多的数学知识，并在探索的过程中尝试“说明你的理由”，这是学习
数学给你带来的更有价值的礼物。
在先前的数学学习过程中，你可能已经体会到有效的学习方法对于学
好数学有很大的作用，继续尝试下面的方法：先自己读一读教科书，想一
想、做一做，再与同伴议一议，然后听一听老师的讲解，试一试解决几个
问题。
让我们一起走进数学新天地！目 录
第五章 基本平面图形
1 线段、射线、直线 ……………………………………………2
2 角 …………………………………………………………… 10
3 多边形和圆的初步认识 …………………………………… 20
回顾与思考 …………………………………………………… 23
复习题 ………………………………………………………… 24
第六章 一元一次方程
1 认识方程 …………………………………………………… 28
2 一元一次方程的解法 ……………………………………… 31
3 一元一次方程的应用 ……………………………………… 44
★ 问题解决策略：直观分析 ………………………………… 59
回顾与思考 …………………………………………………… 62
复习题 ………………………………………………………… 62
第七章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系 ……………………………………… 66
2 探索直线平行的条件 ……………………………………… 73
3 平行线的性质 ……………………………………………… 81
★ 问题解决活动：折平行线 ………………………………… 87
回顾与思考 …………………………………………………… 88
复习题 ………………………………………………………… 89第八章 整式的乘除
1 幂的乘除 …………………………………………………… 94
2 整式的乘法 …………………………………………………108
3 乘法公式 ……………………………………………………118
4 整式的除法 …………………………………………………127
回顾与思考 ……………………………………………………132
复习题 …………………………………………………………132
第九章 变量之间的关系
1 现实中的变量 ………………………………………………138
2 用关系式表示变量之间的关系 ……………………………141
3 用表格表示变量之间的关系 ………………………………145
4 用图象表示变量之间的关系 ………………………………148
回顾与思考 ……………………………………………………160
复习题 …………………………………………………………160
综合与实践
神奇的加密术 …………………………………………………166
设计自己的运算程序（一） …………………………………167
总复习题 ………………………………………………………………169
［本教科书中标有※的内容为选学内容，不作考试要求。］第五章
基本平面图形
丰富的图形世界是由一些简单的图形构成的。观察周
围的世界，你能看到哪些熟悉的平面图形？
本章将在小学数学的基础上，从具体情境中抽象出基
本的几何元素和平面图形，进一步研究线段、射线、直线、
角的含义及其相关性质，初步认识多边形、圆、扇形等基
本平面图形。在这一过程中，你将借助生活经验发现与线
段有关的基本事实，感受数学与现实生活的紧密联系，感
悟用数学的眼光观察现实世界的意义，积累研究图形的活
动经验，发展几何直观、抽象能力等。
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
可以从哪些方面研究一个平面图形？数 学 六年级 下册
1
线段、射线、直线
绷紧的琴弦（如图 5-1）、黑板的边沿都可以近似地看作线段
（segment）。线段有两个端点。
将线段向一个方向无限延长就形成了射线（ray）。手电筒、探照灯所射出
的光线（如图 5-2）可以近似地看作射线。射线有一个端点。
将线段向两个方向无限延长就形成了直线（line）。直线没有端点。
图 5-1 图 5-2
思考·交流
生活中还有哪些物体可以近似地看作线段、射线、直线？请举例说明，
并与同伴进行交流。
如图 5-3、图 5-4、图 5-5，我们可以用以下方式分别表示线段、射线、
直线：
（1） （2）
图 5-3
（1） （2）
图 5-4 图 5-5
2第五章 基本平面图形
观察·思考
一个点和一条直线可能会有哪些位置关系？请你画一画。
如图 5-6，直线 m 经过点 P，也可以说点 P 在直线 m 上；直线 m 不经过点
，也可以说点 在直线 m 外。
图 5-6
尝试·思考
（1）过一点 A 可以画几条直线？
（2）过两点 A，B 可以画几条直线？
（3）如果你想将一根细木条固定在墙上
（如图 5-7），至少需要几个钉子？
图 5-7
根据生活经验，我们发现：
经过两点有且只有一条直线。
这一事实可以简述为：两点确定一条直线。
随堂练习
1．举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例。
2．指出下图中的直线、射线、线段，并分别写出其中任意 3 条射线和 3
条线段。
（第 2 题）
3数 学 六年级 下册
阅读·欣赏
线段构成的美丽图案
图 5-8 中的图案漂亮吗？这些图案中似乎包含了一些曲线，其实它们都
是由多条线段构成的。
图 5-8
请你按照下面的步骤试一试： 1 2 1
（1）画一个角（如图 5-9）；
8
9
1 0
1 1 2
3
4
5
7 6
（2）在角的两边取距离相等的
5
6 7
8
4 9
3 1 0
点；
1
2 1 1
1 2
（3）将这些点按如图所示编上
号码； 图 5-9
（4）把号码相同的点用线段连
起来。
尝试用数学软
看一看，你得到了什么图案？有
件制作图案。
趣吗？
利用这个办法尝试画出上面的图
案。你也可以发挥想象，自己创作出更有趣的图案来！
习题 5.1.1
知识技能
1．如图，请用两种方式分别表示图中的两条
直线。
（第 1 题）
4第五章 基本平面图形
2．如图，已知平面上三点 A，B，C。
（1）画直线 AC；
（2）画射线 BA；
（3）画线段 BC。
（第 2 题）
3．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具。木
匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从
墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在
另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一
（第 3 题）
条墨线。请你解释其中的道理。
问题解决
4．点和线段在生活中有着广泛的应用。
（1）用 7 根长度相同的小棒可以摆出图（1）中的“8”。你能去掉其中的
若干小棒，摆出其他的 9 个数字吗？这种用 7 条线段构成的数字称为
“ 7 画字”，它可以用在红绿灯倒计时信号灯或电梯的楼层显示屏上。
（2）点也可以用来构成数字或符号，点阵式打印机就是利用了这个原理。
如图（2），可以在长方形点阵中，圈出一些点来构成数字或符号。试
利用这种方法做出其他 25 个英文字母。
（1） （2）
（第 4 题）
（3）试用点阵显示的方式在纸上做出“强国有我”这四个字。
5数 学 六年级 下册
如图 5-10，从 A 地到 C 地有四条道路，哪条
路最近？
根据生活经验，我们发现：
图 5-10
两点之间的所有连线中，线段最短。
这一事实可以简述为：两点之间线段最短。
我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离（distance）。
思考·交流
你能举出生活中应用“两点之间线段最短”的实例吗？与同伴进行
交流。
观察·思考
（1）图 5-11 中哪棵树较高？哪支铅笔较长？窗框相邻的两条边哪条较
长？你是怎么比较的？
图 5-11
（2）怎样比较两条线段的长短？
6第五章 基本平面图形
如果直接观察难以判断，我们可以有两种方法进行比较：
一种方法是用刻度尺量出它们的长度，再进行比较；
另一种方法是把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端
点重合在一起加以比较（如图 5-12）。
等于
图 5-12
用尺规作图1 的方法可以将一条线段移到另一条线段上。
例 如图 5-13，已知线段 AB，用尺规作一条线段等于已知线段 AB。
作法：
（1）作射线 A'C'（如图 5-14）。
（2）以点 A' 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，交射线 A'C' 于点 B' 。
线段 A'B' 就是所求作的线段。
图 5-13 图 5-14 图 5-15
如图 5-15，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫作线
1
段 AB 的中点（midpoint）。这时 AM = BM = AB（或 AB = 2AM = 2BM）。
2
尝试·思考
在直线 l 上顺次取 A，B，C 三点，使得 AB = 4 cm，BC = 3 cm。如果点 O
是线段 AC 的中点，那么线段 AC 和 OB 的长度分别是多少？
1 只用没有刻度的直尺和圆规画图称为尺规作图。
7数 学 六年级 下册
随堂练习
1．如图，比较折线 AB 和线段 A'B' 的长短，你有什么方法？需要什么工具？
（第 1 题）
2．如图，已知线段 a 和 b，直线 AB 和 CD 相交于点 O。请用尺规按下列
要求作图1：
（1）分别在射线 OA，OB，OC 上作线段 OA'，OB'，OC'，使它们都与
线段 a 相等；
（2）在射线 OD 上作线段 OD'，使 OD' 与线段 b 相等；
（3）连接 A'C'，C'B'，B'D'，D'A'。2
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。
（第 2 题）
3．如图，已知线段 a，b，用尺规作一条线段 m，使 m = a+b。
（第 3 题）
1 本书今后的尺规作图，要求保留作图痕迹，不要求写作法。
2 连接 A'C'，是指作线段 A'C'。
8第五章 基本平面图形
习题 5.1.2
知识技能
1．分别比较图（1）（2）（3）中每组线段的长短。
（1） （2） （3）
（第 1 题）
2．如图，已知线段 a，b，用尺规作一条线段 c，使 c = b-a。
（第 2 题）
3．如图，已知线段 AB。
（1）请用尺规按步骤作图：延长线段 AB 到 C，使 BC = AB；延长线段 BA
到 D，使 AD = AC。
（第 3 题）
（2）在（1）的条件下，如果 AB = 2 cm，那么 AC = cm，BD
= cm，CD = cm。
联系拓广
4．如图，在一个四边形各边上任意取一点，并顺次连接它
们。想一想，你得到的图形周长与原四边形周长哪一
个大？为什么？如果是一个五边形呢？六边形呢？
（第 4 题）
9数 学 六年级 下册
2
角
在小学我们学习过角，请说说你对角的认识。你能在图 5-16 中找到角吗？
图 5-16
角（angle）由两条具有公共端点的射线组成（如图 5-17）。两条射线的公
共端点是这个角的顶点（vertex）（如图 5-17）。角也可以看成是由一条射线
绕着它的端点旋转而成的（如图 5-18）。
角的大小与边的
长短无关。
图 5-17 图 5-18
如图 5-19，一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所
成的角叫作平角（straight angle）。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所
成的角叫作周角（round angle）。
图 5-19
10第五章 基本平面图形
如图 5-20，通常可以用以下方式表示角：
∠BAC 或∠A ∠α ∠1
（1） （2） （3）
图 5-20
尝试·思考
（1）用适当的方式分别表示图 5-21 中的每个角。
（2）在图 5-21 中，∠BAC，∠CAD 和 ∠BAD 能
用 ∠A 来表示吗？
图 5-21
和线段一样，在学习了角的表示方法后，我们也要学习如何度量角的大小。
在小学，我们已经知道：1 周角 = 360°，1 平角 = 180°，1 直角 = 90°。
为了更精密地度量角，我们规定：把周角等分成 360 份，每份就是 1°。
1
1° 的 为 1 分，记作1'，即1°= 60'。
60
1
1'的 为 1 秒，记作1''，即1'= 60''。
60
例1 计算：
（1）1.45° 等于多少分？等于多少秒？
（2）1 800'' 等于多少分？等于多少度？
解：（1）60'×1.45 = 87'，60''×87 = 5 220''，
即1.45°= 87'= 5 220''。
1 1
（2）（ ）'×1 800 = 30'，（ ）°×30 = 0.5°，
60 60
即1 800''= 30'= 0.5°。
11数 学 六年级 下册
观察·思考
图 5-22 呈现了几个城市在中国地图上的大致位置。
（1）分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角。
（2）哈尔滨在北京的北偏东大约多少度？
图 5-22
随堂练习
1．一个动物园的示意图如图所示。
（1）海洋世界在大门的正东方向，你能说
出它在大门的北偏东多少度吗？ B
（2）虎豹园、猴山、大象馆分别在大门的
D
北偏东（或南偏东）多少度？
（3）在图中连接各个景点与大门，并用适
当的方式表示各角。 O A
（4）指出图中的锐角、钝角、直角、平角。
2. （1）0.25° 等于多少分？等于多少秒？
C
（ 2）2 700'' 等于多少分？等于多少度？ （第 1 题）
习题 5.2.1
知识技能
1．将图中的角 1用不同方法表示出来，并填写下表：
∠1 ∠3 ∠4
∠BCA ∠ABC
1 如没有特别说明，本书今后所说的角都是指小于180° 的角。 （第 1 题）
12第五章 基本平面图形
2．计算：
1
（1）（ ）° 等于多少分？等于多少秒？
8
（2）6 000'' 等于多少分？等于多少度？
问题解决
3．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数。
（第 3 题）
（2）每经过 1 h，时针转过多少度？每经过 1 min，分针转过多少度？
（3）当时钟指向上午10：10时，时针与分针的夹角是多少度？
※（4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的
夹角。
联系拓广
4．如图，蜂房的顶部由三个相同的四边形围成，每个四边形
中的两个锐角均为 70°32'，两个钝角均为 109°28'。这样的
角度很奇妙吧！请你查阅资料，了解大自然中其他的奇妙
角度。
（第 4 题）
13数 学 六年级 下册
还记得怎样比较线段的长短吗？类似地，你能比较图 5-23 中每组角的大
小吗？与同伴进行交流。
（1） （2） （3）
图 5-23
与比较线段的长短类似，如果直接观察难以判断，我们可以有两种方法
对角进行比较：
一种方法是用量角器量出它们的度数，再进行比较；
另一种方法是将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同
侧比较大小（如图 5-24）。
∠ 等于∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
（1） （2） （3）
图 5-24
14第五章 基本平面图形
尝试·思考
根据图 5-25，求解下列问题：
（1）比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE 的大小，
并指出其中的锐角、直角、钝角、平角。
（2）试比较∠BOC 和∠DOE 的大小。
（3）小亮通过折叠的方法，使 OD 与 OC 重合，OE 落
在∠BOC 的内部，所以∠BOC ＞∠DOE。你能理解这种方
图 5-25
法吗？
（4）请在图中画出小亮折叠的折痕 OF，∠DOF 与
∠COF 有什么大小关系？
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相
等的角，这条射线叫作这个角的平分线（angle bisector）。
如图 5-26，射线 OC 是∠AOB 的平分线。这时，∠AOC
1
= ∠BOC = ∠AOB（或∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC）。 图 5-26
2
操作·思考
（1）估计图 5-27 中∠AOB，∠DEF 的度数。
（2）量一量，验证你的估计。
图 5-27
回顾·反思
回顾研究线和角的过程，你积累了哪些研究平面图形的经验？
15数 学 六年级 下册
随堂练习
1．如图，在点阵中有三个角。
（1）先估计每个角的大小，再用量角器量一量；
（2）找出三个角之间的等量关系。
（第1题） （第2题）
1
2．如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠BOD = ∠COD，∠BOD = 15°，
3
所以∠COD = ，∠BOC = ，∠AOB = 。
习题 5.2.2
知识技能
1．把一副三角板按如图所示拼在一起，试确定图中∠B，∠E，∠BAD，∠DCE
的度数及其大小关系。
D
A
B
C E
（第 1 题） （第 2 题）
2．如图，直线 m 外有一定点 O，A 是 m 上的一个动点，当点 A 从左向右运动
时，观察∠α 和∠β 是如何变化的，∠α 和∠β 之间有关系吗？
16第五章 基本平面图形
问题解决
3．借助一副三角板的拼摆，你能画出 75° 的角吗？15° 的角呢？你还能画出哪
些度数的角？这些角有什么共同特征？
4．如图（1），∠AOC 和∠BOD 都是直角。
（1） （2）
（第 4 题）
（1）如果∠DOC = 28°，那么∠AOB 的度数是多少？
（2）找出图（1）中相等的角。如果∠DOC ≠ 28°，它们还会相等吗？
（3）若∠DOC 变小，则∠AOB 如何变化？
（4）在图（2）中利用能够画直角的工具再画一个与∠COB 相等的角。
我们已经知道可以通过移动其中一个角的方法比较两个角的大小。如何
移动一个角呢？比如，如何将图 5-28（1）中的∠AOB 移动到图 5-28（2）的
位置，使 OA 与 O'A' 重合？
这个角的大小
由什么来决定？
（1） （2）
图 5-28
（1）请你用三角板、量角器、圆规等工具解决这一问题。
（2）如果只用尺规，如何解决这个问题？请你试一试，并与同伴进行交流。
17数 学 六年级 下册
例2 利用尺规，作一个角等于已知角。
已知：如图 5-29，∠AOB。
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。
图 5-29
作法与示范：
作法 示范
（1）作射线 O′A′。
（2）以点 O 为圆心，以任意长为半径
画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于
点 D。
（3）以点 O′为圆心，以 OC 长为半径
画弧，交 O′A′于点 C′。
（4）以点 C′为圆心，以 CD 长为半径
画弧，交前面的弧于点 D′。
（5）过点 D′作射线 O′B′。
∠A′O′B′就是所要作的角。
操作·思考
如图 5-30，已知∠AOB，∠EO'F，用尺规作图比较它们的大小。你是怎
样做的？
图 5-30
18第五章 基本平面图形
随堂练习
1．如图，已知∠AOB，请用尺规作∠A'O'B'，使
∠A'O'B' = 2∠AOB。
（第 1 题）
习题 5.2.3
知知知识识识技技技能能能
1．用尺规完成下列作图：
（1）如图（1），已知∠ABC，以点 B 为顶点，射线 BA 为一边，在∠ABC
外作一个角，使它等于∠ABC；
（2）如图（2），已知∠α，∠β，作一个角，使它等于∠α 与∠β 的和。
（1） （2）
（第 1 题）
问题解决
2．小华在探究用尺规作与∠AOB 相等的∠A'O'B' 时，提出了如图所示的方
法，你能理解他的作法吗？
（第 2 题） （第 3 题）
3. （1）请用尺规作出如图所示的图形。
（2）你还能设计什么样的图案？试一试，并说说你设计的图案的寓意。
19数 学 六年级 下册
3
多边形和圆的初步认识
观察图 5-31，你能发现哪些熟悉的平面图形？与同伴进行交流。
图 5-31
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边
形 1（polygon），它们都是由若干条不在同一直线上
的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。
如图 5-32，在多边形 ABCDE 中，点 A，B，C，
D，E 是多边形的顶点；线段 AB，BC，CD，DE，EA 图 5-32
是多边形的边；∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，
∠DEA 是多边形的内角（可简称为多边形的角）； 你还能画出图中
其他的对角线吗？
AC，AD 都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样
的线段叫作多边形的对角线（diagonal）。
尝试·思考
（1）n 边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？
（2）过 n 边形的每一个顶点有几条对角线？
观察·交流
观察图 5-33 中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴进行交流。
1 如没有特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同
一侧。
20第五章 基本平面图形
图 5-33
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形（regular polygon）。图
5-33 中的多边形分别是正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边
形、正八边形。
观察·思考
图 5-34 中的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画
一个圆吗？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？
图 5-34
如图 5-35，平面上，一条线段 OA 绕着它固定的
一个端点 O 旋转一周，另一个端点形成的图形叫作圆
（circle）。固定的端点 O 称为圆心（center of a circle），
线段 OA 称为半径（radius）。
圆上任意两点 A，B 间的部分叫作圆弧，简称弧
（arc），记作 AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”；由一
图 5-35
条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA，OB 所组成
的图形叫作扇形（sector）；顶点在圆心的角叫作圆心角（central angle）。
例 将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为 1∶2∶3，求这
三个扇形的圆心角的度数。
解：因为一个周角为 360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别是
21数 学 六年级 下册
1
360°× = 60°，
1+2+3
2
360°× = 120°，
1+2+3
3
360°× = 180°。
1+2+3
尝试·思考
（1）如图 5-36，将一个圆分成三个大小相同的扇形，
你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积
和整个圆的面积的关系吗？
（2）画一个半径是 2 cm 的圆，并在其中画一个圆心角
为 60° 的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？
图 5-36
随堂练习
1．现实生活中有许多正多边形的实例，试举出
两例。
2．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这
三个扇形的圆心角的度数吗？
（第 2 题）
习题 5.3.1
知识技能
1．观察如图所示图形，回答下列问题：
（1）从八边形 ABCDEFGH 的顶点 A 出发，可以画出多少条对角线？分别
用字母表示出来。
22第五章 基本平面图形
（2）上面（1）中这些对角线将八边形分割成多少个三角形？
（第 1 题） （第 2 题）
2．半径为1的圆中，扇形 AOB 的圆心角为 120°，请在如图所示的圆内画出这个
扇形，并求它的面积。
问题解决
3．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 5 个三角形，这
个多边形是几边形？
回顾与思考
1．生活中有哪些你熟悉的平面图形？请举例说明。
2．比较线段长短的方法有哪些？比较角的大小呢？它们之间有什么
相似之处？
3．选择几种基本的平面图形设计一个你喜欢的图案，并说明寓意。
4．通过本章的学习，你积累了哪些研究平面图形的经验？
5．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行
交流。
23数 学 六年级 下册
复习题
复习题
知识技能
1．如图，在同一平面内有四个点 A，B，C，D，请
用直尺按下列要求作图：
（1）作射线 CD；（2）作直线 AD；（3）连接 AB；
（4）作直线 BD 与直线 AC 相交于点 O。 （第 1 题）
2．将弯曲的河道改直，可以缩短航程。请你说一说
其中的道理。
3．如图，∠ABC 是平角，过点 B 任作一条射线 BD
将∠ABC 分成∠DBA 与∠DBC。当∠DBA 是什么 （第 3 题）
角时：
（1）∠DBA<∠DBC？
（2）∠DBA>∠DBC？
（3）∠DBA =∠DBC？
4．一副三角板拼成如图所示的图案，求∠EFC，∠CED，∠AFC 的度数。
5．如图，分别求出甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数。
（第 4 题） （第 5 题） （第 6 题）
6．如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为 1∶2∶3∶4，分别求出它们
圆心角的度数。
24第五章 基本平面图形
7．如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，你
能说出这是什么道理吗？
（第 7 题）
问题解决
8．如图，已知线段 a，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，请用尺规按下列要求
作图：
（第 8 题）
（1）在射线 OA，OB，OC，OD 上作线段 OA'，OB'，OC'，OD'，使它们分
别与线段 a 相等；
（2）连接 A'C'，C'B'，B'D'，D'A'。
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。
9．用尺规完成下列作图：
（1）如图（1），已知∠α，∠β，且∠α>∠β，作∠DEF，使∠DEF = ∠α-
∠β；
（2）如图（2），以点 B 为顶点、射线 BC 为一边，作∠EBC，使∠EBC =
∠A。
（1） （2）
（第 9 题）
25数 学 六年级 下册
联系拓广
※1 0．如图，在任意四边形 ABCD 内找一点 O，使它到四边形四个顶点的距离之
和最小，并说说你的理由。
（第 10 题）
11．通过本章的学习，你对线段、射线、直线和角有了哪些新的认识？谈谈你
的感悟。
26第六章
一元一次方程
《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、
物价各几何。你知道我国古人是如何解决这个问题的吗？
本章你将经历从具体问题情境中发现等量关系、抽象
出方程模型的过程，利用等式的基本性质求解一元一次方
程，并运用一元一次方程解决实际问题，感受方程的模型
思想和方程求解的化归思想。
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
方程的本质是什么？
如何得到一个方程？求解方程的基本思路是什么？数 学 六年级 下册
1
认识方程
在学校举行的科普书大阅读活动中，小刚读的本数比小明的 2 倍多 1 本，小
颖读的本数比小明的 3 倍少 2 本。结果小刚和小颖读的同样多。小明读了几本科
普书？
（1）这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）如果设小明读了 x 本，那么小刚读的本数可以用含 x 的代数式表示为
本，小颖读的本数可以表示为 本。
（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？
尝试·思考
1．某长方形操场的面积是 5 850 m2，长比宽多 25 m。这个操场的长和宽
分别是多少米？
（1）这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）如果设这个操场的宽为 x m，那么操场的面积可以用含 x 的代数式表
示为 。
（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？
2．小颖栽种了一株树苗，开始时树苗高为 40 cm，在栽种后的一段时间
内，树苗每周长高约 5 cm，按照这样的速度，大约几周后树苗长高到 1 m？
（1）这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）如果设 y 周后树苗长高到 1 m，那么 y 周树苗长高了 cm。
（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？
3．甲、乙两地相距 240 km，张叔叔驾车从甲地出发到乙地，每小时比原计
划多行驶 20 km，因此提前 1 h 到达乙地。张叔叔原计划每小时行驶多少千米？
（1）这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）如果设张叔叔原计划每小时行驶 x km，那么他比原计划提前的时间
可以用含 x 的代数式表示为 。
28第六章 一元一次方程
（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？
240 240
等式 2x+1= 3x-2，x（x+25）=5 850，40+5y=100， = + 1，都
x x+20
是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为
方程（equation）。
只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是 1，
这样的方程叫作一元一次方程（linear equation with one unknown）。
如 2x+1= 3x-2，40 +5y = 100 都是一元一次方程。
思考·交流
你能求出满足方程 2x+1= 3x-2
的未知数 x 的值吗？你是怎样得到
书的本数一定是正
整数，可以试一试。
的？与同伴进行交流。
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 1。求方程解的
过程称为解方程。
随堂练习
1．根据题意列出方程：
（1）在公元前 1600 年左右遗留下来的一卷古埃及纸草书中，记载着
一些数学问题。其中一个问题翻译过来是：“啊哈，它的全部，
1
它的 ，其和等于 19。”试求出问题中的“它”的值。
7
（2）某球队参加足球联赛，规定每队胜一场得 3 分，平一场得 1 分，
负一场得 0 分。该球队已比赛了 10 场，并保持不败，一共得了
22 分。该球队已胜了多少场？平了多少场？
2．x = 2 是下列方程的解吗？
（1）3x+（10-x）= 20； （2）2x 2 +6 = 7x。
1 我国古代称未知数为元，只含有一个未知数的方程叫作一元方程，一元方程的解也叫根。
29数 学 六年级 下册
习题 6.1.1
知识技能
1．根据题意列出方程：
1
（1）一个数的 与 3 的差等于最大的一位数，求这个数；
7
（2）从正方形的铁皮上截去宽为 2 cm 的一条长方形铁皮，余下部分的
面积是 80 cm 2，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？
（3）某商店规定：购买超过 15 000 元的物品可以采用分期付款的方式，
顾客可以先付 3 000 元，以后每月付 1 500 元，直至付清。王叔叔想
用分期付款的方式购买价值 19 500 元的电器，他需要用多长时间才能
付清尾款？
2．x = -2 是下列方程的解吗？
（1）2x+3 = 5x； （2）（x-1）2 = 9。
问题解决
3．请用自己的年龄编一道题目，并列出方程。
4．为营造良好的社区环境，让垃圾分类家喻户晓，六年级一班同学对学校周
边所有社区开展“社区垃圾分类知识宣讲”综合实践活动，采取分组进社
区宣讲的方式，每组进入一个社区。若 5 人为一组，则剩余 7 名同学；若 7
人为一组，则缺少 9 名同学。
（1）如果设学校周边有 x 个社区，用含 x 的代数式表示六年级一班的
人数。
（2）如果设六年级一班有 y 名同学，用含 y 的代数式表示社区的数量。
（3）由（1）（2），你能得到哪些方程？
30第六章 一元一次方程
2
一元一次方程的解法
方程是含有未知数的表示量相等的等式，解方程自然要研究等式的基本
性质。等式有哪些基本性质呢？
我们不难理解下面两个基本事实：
（1）如果 a = b，那么 b = a；
（2）如果 a = b，b = c，那么 a = c。
除此之外，等式还有哪些基本性质呢？
思考·交流
（1）等式的两边都加（减）、乘（除以）同一个数，等式还成立吗？
（2）你能借助图 6-1 的天平解释自己的发现吗？与同伴进行交流。
图 6-1
等式的基本性质
等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。
等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍
是等式。
用字母可以表示为：
如果 a = b，那么 ；
如果 a = b，那么 。
31数 学 六年级 下册
尝试·思考
（1）如图 6-2，小明用天平解释了方程 5x = 3x+2 的变形过程，你能明白
他的意思吗？
1
图 6-2
（2）请用等式的基本性质解释方程 5x = 3x+2 的上述变形过程。
例1 解方程：
（1）x+2 = 5；
解方程是逐步把方
（2）3 = x-5。 程转化为 x=a 的形式。
解：（1）方程的两边都减 2，得
x+2-2 = 5-2。
于是 x = 3。
（2）方程的两边都加 5，得
3+5 = x-5+5。
于是 8 = x。
习惯上，我们写成 x = 8。
如何检查解方程的对错？可以把 x = 3 代入方程 x+2 = 5，左边 = 3+2 = 5，右
边 = 5，左边 = 右边，所以 x = 3 是方程 x+2 = 5 的解。
32第六章 一元一次方程
例2 解方程：
（1）-3x = 15；
n
（2）- -2 = 10。
3
解：（1）方程的两边都除以-3，得
-3x 15
= 。
-3 -3
化简，得 x = -5。
（2）方程的两边都加 2，得
n
- -2+2 = 10+2。
3
n
化简，得 - = 12。
3
方程的两边都乘-3，得
n = -36。
随堂练习
1．回答下列问题，并说明理由：
（1）从 x = y 能得到 x + 5 = y + 5 吗？
x y
（2）从 x = y 能得到 = 吗？
4 4
（3）从 a + 2 = b + 2 能得到 a = b 吗？
（4）从 - 3a = - 3b 能得到 a = b 吗？
2．解方程：
（1）x-9 = 8； （2）5-y = -16；
2
（3）3x+4 = -13； （4） x-1 = 5。
3
习题 6.2.1
知知知识识识技技技能能能
1．用适当的数或代数式填空，使所得的结果仍是等式：
（1）如果 3x - 2 = 7，那么 3x = 7 + ；
33数 学 六年级 下册
（2）如果 3x = 2x + 7，那么 3x - = 7；
（3）如果 1.5a = 4，那么 6a = ；
（4）如果 - 3x = 18，那么 x = ；
（5）如果 a - 3 = b - 3，那么 a = ；
a b
（6）如果 - = ，那么 a = 。
3 3
2．解下列方程：
（1）21 + x = 36； （2）8 = 7 - 2y；
5 1 1 1 x 1
（3） x - = - ； （4） = - 。
12 3 4 9 3 6
3．设“ ”“ ”“ ”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图
所示：
（第 3 题）
则下列图示不正确的是（ ）。
4．小颖碰到这样一道解方程的题：2x = 5x。她在方程的两边都除以 x，竟然得
到 2 = 5。请你说出她错在哪里。
问题解决
5．地球上的海洋面积约为陆地面积的 2.4 倍，地球的表面积约为 5.1 亿平方千
米，求地球上的海洋面积和陆地面积。
6．如图，足球的表面是由若干黑色五边形和白色六边形皮块
围成的，黑、白皮块的数量比为 3∶5。一个足球的表面一
共有 32 个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？
（第 6 题）
34第六章 一元一次方程
解方程：5x-2 = 8。
方程的两边都加 2，得
5x-2+2 = 8+2，
也就是 5x = 8+2。
比较这个方程与原方程，可以发现，这个变形相当于
5x-2 = 8，
5x = 8+2，
即把原方程中的 -2 改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称
为移项（transposition of terms）。
因此，解方程的过程可以简化为：
移项，得 5x = 8+2。
化简，得 5x = 10。
方程的两边都除以 5，得 x = 2。
例3 解方程：
（1）2x+6 = 1； （2）3x+3 = 2x+7。
解：（1）移项，得 2x = 1-6。
化简，得 2x = -5。
5
方程的两边都除以 2，得 x = - 。
2
（2）移项，得 3x-2x = 7-3。
合并同类项，得 x = 4。
1 1
例4 解方程： x = - x+3。
4 2
1 1
解：移项，得 x+ x = 3。
4 2
3
合并同类项，得 x = 3。
4
3
方程的两边都除以 ，得 x = 4。
4
35数 学 六年级 下册
思考·交流
在上面解方程的过程中，移项的依据是什么？目的是什么？与同伴进行
交流。
随堂练习
1．解方程：
（1）10x-3 = 9； （2）5x-2 = 7x+8；
3 3 5
（3）x = x+16； （4）1- x = 3x+ 。
2 2 2
习题 6.2.2
知识技能
1．解方程：
（1）4x-2 = 3-x； （2）-7x+2 = 2x-4；
2 1 x
（3）-x = - x+1； （4）2x- = - +2。
5 3 3
2．根据下列条件列出方程，然后解出来：
3
（1）某数的 比 9 小 6；
5
（2）某数的 3 倍减去 2，等于这个数的 5 倍加上 3。
3．你会解本章第 1 节中所列的哪些方程？试试看。
问题解决
4．某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运 20 kg 行李，
超出部分每千克按经济舱全票价的 1.5% 计费。一名经济舱旅客托运了
35 kg 行李，行李费连同八折机票共付 1 107 元，求该旅客机票的全票价。
36第六章 一元一次方程
小颖在超市买了 1 袋牛奶和 4 瓶矿泉水，她付给售货员 20 元，售货员找回
3 元。已知 1 瓶矿泉水比 1 袋牛奶贵 0.5 元，你能算出 1 袋牛奶多少钱吗？
你列出了怎样的方程？
如果设 1 袋牛奶 x 元，那么可列出方程
4（x + 0.5）+ x = 20 - 3。
尝试·思考
（1）上面这个方程列得对吗？为什么？你还能列出不同的方程吗？
（2）怎样解所列的方程？
例5 解方程：1+6x = 2（3-x）。
解：去括号，得 1+6x = 6-2x。
移项，得 6x+2x = 6-1。
合并同类项，得 8x = 5。
5
方程的两边都除以 8，得 x = 。
8
例6 解方程：-2（x-1）= 4。
解法一：去括号，得 -2x+2 = 4。
移项，得 -2x = 4-2。
合并同类项，得 -2x = 2。
方程的两边都除以 -2，得 x = -1。
解法二：方程的两边都除以 -2，得 x - 1 = -2。
移项，得 x = -2+1，
合并同类项，得 x = -1。
思考·交流
观察例 6 两种解方程的方法，说出它们的区别，并与同伴进行交流。
37数 学 六年级 下册
随堂练习
1．解方程：
（1）5（x-1）= 1； （2）2-（1-x）= -2；
（3）11x+1 = 5（2x+1）； （4）4x-3（20-x）= 3；
（5）5（x+8）-5 = 0； （6）-3（x + 3）= 24。
习题 6.2.3
知识技能
1．解方程：
2 2
（1）12（2-3x）= 4x+4； （2）6-3（x+ ）= ；
3 3
（3）2（200-15x）= 70+25x； （4）3（2x+1）= 12。
2．根据下列条件列出方程，然后解出来：
（1）某数减去 5 的差的 4 倍是 12；
（2）某数的一半与 3 的和等于 - 1。
3．如果用 c 表示摄氏温度（单位：℃），f 表示华氏温度（单位：°F），那
5
么 c 与 f 之间的关系是：c = （f -32）。已知 c = 15 ℃，求 f 的值。
9
问题解决
4．一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将个位和十位上的两个数字对
调后得到的两位数比原来的两位数小 36，求原来的两位数。
38第六章 一元一次方程
1 1
例7 解方程： （x+14）= （x+20）。
7 4
1 1
解法一：去括号，得 x+2 = x+5。
7 4
1 1
移项，得 x- x =5-2。
7 4
3
合并同类项，得 - x = 3。
28
3
方程的两边都除以- ，得 x = -28。
28
解法二：去分母，得 4（x+14）= 7（x+20）。
去括号，得 4x+56 = 7x+140。
移项，得 4x- 7x =140-56。
合并同类项，得 -3x = 84。
方程的两边都除以-3，得 x = -28。
思考·交流
解一元一次方程有哪些步骤？与同伴进行交流。
解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类
项、未知数的系数化为 1 等步骤，把一个一元一次方程“转化”成 x = a
的形式。
x+15 x-7
例8 解方程： = 1 - 。
5 3
解：去分母，得 3（x+15）= 15-5（x-7）。
去括号，得 3x+45 = 15-5x+35。
移项，得 3x+5x = 15+35-45。
合并同类项，得 8x = 5。
5
方程的两边都除以 8，得 x = 。
8
39数 学 六年级 下册
随堂练习
1．解方程：
（1）
2
x +
1
=
1
x -
1
； （2）
7x -1
=
3
；
5 2 3 6 8 4
3 - x x + 4 1 1
（3） = ； （4） （x + 1）= （2x - 3）；
2 3 3 7
（5）
2x -1
=
x + 2
- 1； （6）
1
（2x＋14）= 4 - 2x。
3 4 7
习题 6.2.4
知识技能
1．解方程：
（1）
1
x -
1
=
3
； （2）
7x - 5
=
3
；
4 2 4 4 8
1 1 2x - 1 5x + 1
（3） （x + 1）= （x - 1）； （4） = ；
4 3 6 8
（5）
1
x - 7 =
9x - 2
； （6）
1
x -
1
（3 - 2x）=1；
2 6 5 2
2x + 1 5x - 1 1 1
（7） - = 1； （8） （x - 1）= 2 - （x + 2）。
3 6 2 5
1
2．当 x 取什么值时，代数式 4x - 3 与 （3x + 4）的值相等？
2
问题解决
3．你会解习题 6.1.1 中第 4 题所列的方程吗？试试看。
40第六章 一元一次方程
4 2 1 5
例9 解方程：2［ x -（ x - ）］= x。
3 3 2 6
4 2 1 5
解：去括号，得 2（ x - x + ）= x，
3 3 2 6
8 4 5
x - x + 1 = x。
3 3 6
去分母，得 16x - 8x + 6 = 5x。
移项，得 16x - 8x - 5x = - 6。
合并同类项，得 3x = - 6。
方程的两边都除以 3，得 x = - 2。
0.5 - 0.3x 0.3 - 0.5x
例10 解方程： = 。
0.2 0.3
5 - 3x 3 - 5x
解：原方程整理得 = 。
2 3
去分母，得 3（5 - 3x）= 2（3 - 5x）。
去括号，得 15 - 9x = 6 - 10x。
移项，得 10x - 9x = 6 - 15。
合并同类项，得 x = - 9。
思考·交流
例 10 是否还有其他解法？哪个解法更简便？与同伴进行交流。
回顾·反思
回忆上节课总结的解一元一次方程的步骤，对照本节课两个例题的解
法，你有什么体会？
41数 学 六年级 下册
随堂练习
1．解方程：
（1）3［2（x+1）+2］= 5； （2）2.4 -
y - 4
= 3；
2.5
（3）
0.05x - 0.02
=
0.07 - 0.02x
； （4）
x + 2
-
2x -1
= - 0.5。
0.03 0.05 0.4 0.2
阅读·思考
方程小史
“方程”一词最早出现在我国古代数学名著《九章算术》中，其中第八章
就是“方程”。“方程”章中第一题是：“今有上禾 1三秉，中禾二秉，下禾
一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一
秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。”题
目大意是：今有上禾 3 束，中禾 2 束，下禾 1 束，可得米 39 斗；上禾 2 束，中
禾 3 束，下禾 1 束，可得米 34 斗；上禾 1 束，中禾 2 束，下禾 3 束，可得米 26
斗。问上、中、下禾每一束各可得米多少斗。
《九章算术》在解决这一问题时，先根据题意用算筹摆出问题中的数字
（如图 6-3），一列就代表一个等式，有几个未知数就有几个等式。然后通过
左、中、右列之间的加减运算求出问题的解。
图 6-3
1 禾：古书上指粟。
42第六章 一元一次方程
中国古代是用算筹（条形小棒）的摆放来表示数目的，有纵横两种方式
（如图 6-4），记数时个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，…，这样从
右到左，纵横相间。如图 6-5 就表示 6 782。
图 6-4
图 6-5
因此，所谓“方”是指这样摆出的筹式是方形的，“程”是指用来计算
的式子。这就是“方程”一词最早的含义。
《九章算术》之后，我国古代数学家逐步创造了根据已知条件设未知数
列方程的普遍方法，这就是中国古代数学史上有名的“天元术”。我国古代
的方程，虽然和现代意义的方程有差别，但明确是求未知数的。现代意义上的
“方程”一词，译自英文的 equation。在英文中，equation 与等式是同一个词
语。清代数学家李善兰（1811—1882）在翻译英国数学家德·摩根（Augustus
De Morgan，1806—1871）的《代数学》（The Elements of Algebra）时，第一
次将 equation 译成方程，将用等号连接的两个代数式合起来称为方程，即含有
未知数的表示量相等的等式，这就是我们今天熟悉的方程定义了。
学习方程，目的是求未知数，方法就是找到具有相等关系的两个表达
式，从而列出方程并求解。从数学的发展历史来看，早期的代数研究主要是方
程理论，当然今天代数研究的内容已经大大拓展了。
43数 学 六年级 下册
习题 6.2.5
知知知识识识技技技能能能
1．解方程：
2（x + 3） 3 2（x - 7）
（1） = x - ；
5 2 3
x - 2 x + 1
（2） - = 3；
0.2 0.5
1 1 2
（3） ［x - （x + 1）］= （x - 1）；
2 2 3
1 1
（4） （x + 6）= （2x - 3）；
0.3 0.7
3 1 9
（5） （200 + x）- （300 - x）= 300× ；
10 5 25
（6）30% x + 70%（200 - x）= 200×54%。
3
一元一次方程的应用
今年小亮 11 岁，小亮的爸爸 39 岁。多少年后爸爸的年龄是小亮年龄的3 倍？
（1）这个问题中涉及哪些量？
（2）设 x 年后爸爸的年龄是小亮年龄的 3 倍，你能用代数式表示 x 年后
小亮的年龄和爸爸的年龄吗？试填写下表：
有关量 小亮的年龄 爸爸的年龄
今年
x 年后
（3）在这个问题中有怎样的等量关系？你能利用问题中的等量关系列出
方程吗？与同伴进行交流。
44第六章 一元一次方程
下面是小颖和小明的做法：
列方程时，关键是找
出问题中的等量关系。
有关量 小亮的年龄 爸爸的年龄
今年 11 39
x 年后 11 + x 39 + x
小颖
列方程，得 39 + x = 3（11 + x）。
有关量 小亮的年龄 爸爸的年龄
今年 11 39
x 年后 11 + x 3（11 + x）
小明
列方程，得 3（11 + x）- 39 = x。
思考·交流
小颖和小明所列的方程正确吗？他们分别根据什么等量关系列的方程？
尝试·思考
1
在上面的问题中，多少年前，小亮的年龄是爸爸年龄的 ？若干年后，小
5
4
亮的年龄能等于爸爸年龄的 吗？这个问题给你的启发是什么？
5
例1 某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产。这家工厂去年、前年
共生产再生纸 3 000 t，已知去年的产量比前年的 2 倍还多 150 t。这家工厂前年
生产再生纸多少吨？
分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？如果设前年生产
再生纸 x t，那么你能分别用含 x 的式子表示它们的数量关系吗？
45数 学 六年级 下册
解：设这家工厂前年生产再生纸 x t。
根据题意，得 x + 2x + 150 = 3 000。
解这个方程，得 x = 950。
因此，这家工厂前年生产再生纸 950 t。
思考·交流
你还能列出不同的方程解决问题吗？与同伴进行交流。
随堂练习
1．小川今年 6 岁，他的祖父 72 岁，几年后小川的年龄是他祖父年龄的
1
？
4
2．某超市今年 5 月的销售额是 200 万元，这比去年 5 月销售额的 2 倍
少 40 万元。去年 5 月的销售额是多少万元？
习题 6.3.1
问题解决
1．小明编了一道这样的题：我是 4 月出生的，我的年龄的 2 倍加上 8，正好
是我出生那一月的总天数。你猜我有几岁？请你求出小明的年龄。
2．为方便借阅，学校把两个书架上的书进行归类整理。原来两个书架上书
的本数正好相等，现在从第二个书架搬 93 本到第一个书架，那么第一个
书架上放的本数正好是第二个书架的4倍。原来每个书架上有书多少本？
3．今年母女二人年龄之和是 53 岁，已知 10 年前母亲的年龄是女儿年龄
的 10 倍，今年女儿的年龄是多少岁？
46第六章 一元一次方程
某饮料公司有一种底面直径和高分别为 6.6 cm，12 cm 的圆柱形易拉罐
饮料。经市场调研，公司决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直
径减少为 6 cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？
（1）这个问题中包含哪些量？
（2）设新包装的高度为 x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 旧包装 新包装
底面半径/ cm
高/ cm
容积/ cm3
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
设新包装的高度为 x cm。
根据等量关系，列出方程：
。
解这个方程，得 x = 。
因此，易拉罐的高度变为 cm。
例2 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形。
（1）如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多
少米？
（2）如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少
米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
（3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形
的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？
分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？你能分别用含未
知数的式子表示它们的数量关系吗？
47数 学 六年级 下册
解：（1）设此时长方形的宽为 x m，则它的长为（x+1.4）m。
根据题意，得 2（x + 1.4）+ 2x = 10。
解这个方程，得 x = 1.8。
1.8+1.4 = 3.2。
此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m。
（2）设此时长方形的宽为 x m，则它的长为（x+0.8）m。
根据题意，得 2（x + 0.8）+ 2x = 10。
解这个方程，得 x = 2.1。
2.1+0.8 = 2.9。
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m，面积为
2.9×2.1 = 6.09（m 2 ），
（1）中长方形的面积为
3.2×1.8 = 5.76（m 2 ）。
此时长方形的面积比（1）中长方形的面积增大
6.09-5.76 = 0.33（m 2 ）。
（3）设正方形的边长为 x m。
根据题意，得 4x = 10。
解这个方程，得 x = 2.5。
正方形的边长为 2.5 m，
正方形的面积为
2.5×2.5 = 6.25（m 2 ），
比（2）中长方形的面积增大
6.25-6.09 = 0.16（m 2 ）。
思考·交流
在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什
么？与同伴进行交流。
48第六章 一元一次方程
随堂练习
1．要锻造一个底面直径为 10 cm、高为 8 cm 的圆柱形毛坯，应截取底
面直径为 8 cm 的圆钢多长？
2．一个梯形的下底比上底多 6 cm，高是 8 cm，面积为 88 cm 2，求这个
梯形的上底和下底的长度。
阅读·思考
“瞎转圈”的道理
有人曾经做过一个很有趣的实验：在草坪上整齐地排列着 100 名飞行员，
把他们的眼睛都蒙起来，然后叫他们一直向前走去。起初，他们走得还比较
直；接着一些人渐渐向右偏转，另一些人向左偏转，逐渐转起圈来，最后他们
又不断重复自己已走过的路径。实际上，很久以前人们就已经注意到：在荒漠
中没有携带指南针的旅行家，也不太能走成直线方向，而是绕着圆圈打转，接
连多次回到他的出发点。
图 6-6
上面的现象看起来仿佛有点神秘，其实道理并不复杂。人走路的时候，
只有两腿肌肉工作得完全相同，他才可以不需要用眼睛就能走成直线。但实
际上，绝大多数人的双腿肌肉发育得并不相同。举例来说，一位步行者左腿
比右腿迈的步子大，除非用眼睛来帮助修正走路的方向，否则他就要向右边
49数 学 六年级 下册
斜过去，直至走成两个同心圆（如图 6-7 所示）。如果这个人两腿走路的时
候踏脚线间的距离大约是 10 cm，即 0.1 m，那么当他走完一个圆周时，他右腿
走的路程是2πR（设内圆半径为R），左腿走的路程是2π（R+0.1），二者相差
2π×0.1 = 0.2π（m）。
0.1 m
图 6-7
另一方面，如果他行走的平均步长为 0.7 m，那么走完一个圆周所走步数
2πR 2πR
可以近似等于 ，即左、右腿所走步数都可以近似看作 。把这个结
0.7 2×0.7
果乘两腿步长差 x，就应为两腿行走一圈长度的差 0.2π m，即
2πRx
= 0.2π，
2×0.7
Rx = 0.14。
如果这个人左腿每一步比右腿的每一步多 0.4 mm，那么蒙上眼睛后他所
走圆周的半径满足方程 0.000 4R = 0.14，因此这一半径大约为 350 m。
习题 6.3.2
问题解决
1．两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为 4 cm 和 8 cm，
高分别为 39 cm 和 10 cm。先在右侧容器中倒满水，然后将其
中的水再倒入左侧容器中。倒完以后，左侧容器中的水面离
容器口有多少厘米？
小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有
x cm。列方程 π×22×（39-x）= π×42×10。解得 x = -1。
你能对他的结果作出合理的解释吗？请试一试。 （第 1 题）
50第六章 一元一次方程
4 cm
（第 3 题） （第 4 题）
51
mc
5
2．第一块试验田的面积比第二块试验田面积的 3 倍还多 100 m 2，这两块试验
田的面积共 2 900 m 2，两块试验田的面积分别是多少？
3．如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为 4 cm 的长条后，再从剩下的长
方形纸片上剪去一个宽为 5 cm 的长条。如果两次剪下的长条面积正好相
等，那么每一个长条的面积为多少？
4．如图，某种卷筒纸的外直径为 14 cm，内直径为 6 cm，每层纸的厚度为
0.02 cm。假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（π 取
3.14）？
在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了 45 张门票，成人票每张 15
元，学生票每张 10 元，总票款为 475 元。你知道学生和老师的人数分别是多
少吗？
观察·思考
（1）这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）设学生人数为 x，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 学生 老师
人数
票款/元数 学 六年级 下册
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
根据等量关系，可列出方程： 。
解这个方程，得 x = 。
因此学生人数为 ，老师人数为 。
尝试·交流
（1）设学生票款为 y 元，你能列出怎样的方程？
（2）你还能列出不同的方程解决这个问题吗？与同伴进行交流。
例3 某学校为丰富“阳光体育”活动，现购进篮球和足球共 16 个，共花
了 2 820 元钱。已知篮球和足球的单价分别为 185 元、150 元，那么篮球和足球
各购进多少个？
分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？如果设篮球购进 x
个，你能用含有 x 的代数式表示它们的数量关系吗？
解：设篮球购进 x 个，则足球购进（16 - x）个。
根据题意，得 185x+150（16-x）= 2 820。
解这个方程，得 x= 12。
16-12= 4（个）。
因此，篮球购进 12 个，足球购进 4 个。
随堂练习
1．小明用 172 元钱买了两种书，共 10 本，单价分别为 18 元、10 元。每
种书小明各买了多少本？
2．在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共 16 个，如果椅子腿
数和凳子腿数加起来共 60 条，那么椅子和凳子各有多少个？
52第六章 一元一次方程
习题 6.3.3
问题解决
1．蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿。现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有 120 条
腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的 2 倍。蜘蛛、蜻蜓各有多少只？
2．星星果汁店中的 A 种果汁的单价比 B 种果汁贵 1 元，小彬和同学要
了 3 杯 B 种果汁、2 杯 A 种果汁，一共花了 16 元。这两种果汁的单价分别
是多少元？
3．一个书架宽 88 cm，某一层上摆满了数学书和语文书，共 90 本。小明量得
一本数学书厚 0.8 cm，一本语文书厚 1.2 cm。你知道这层书架上的数学书
和语文书各是多少本吗？
《九章算术》第七章“盈不足”第一题：今有共买物，人出八，盈三；
人出七，不足四。问人数、物价各几何。
题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 个钱，则会多出 3 个钱；若每
人出 7 个钱，则还少 4 个钱。问合伙人数、物品的价格分别是多少。
（1）问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？它们之间有怎
样的等量关系？
（2）设人数为 x，其他未知量能用含 x 的表达式表示吗？请完成下表。
有关量 每人出 8 个钱 每人出 7 个钱
人数 x 利用表格分析数
出钱总数 量关系是一种有
物价 效方法。
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
设人数为 x。
根据等量关系，列出方程： 。
解这个方程，得x = 。
因此，人数为 ，物价为 个钱。
53数 学 六年级 下册
思考·交流
如果设物价为 y 个钱，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。
例4 《九章算术》第七章“盈不足”第五题：今有共买金，人出四百，盈
三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何。
题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 个钱，会多出 3 400 个钱；每人
出 300 个钱，会多出 100 个钱。问合伙人数、金价各是多少。
分析：设人数为 x，你能把下表补充完整吗？
有关量 每人出 400 个钱 每人出 300 个钱
人数 x
出钱总数
金价
解：设合伙人数为 x，则金价可表示为（400x-3 400）个钱，还可表示为
（300x-100）个钱，根据等量关系，列出方程：
400x-3 400 = 300x-100。
解这个方程，得 x = 33。 方程的两边
就是金价的两种
300×33-100 = 9 800。
不同的表达式。
因此，人数为 33，金价为 9 800 个钱。
思考·交流
（1）对于例 4，如果设金价为 y 个钱，你能列出怎样的方程？
（2）《九章算术》中给出的“盈不足术”可以解释为：
人数 = 两次剩余钱数之差÷两次所出钱数之差；
物价 = 每人出的较多钱数×人数-剩余钱数，
54第六章 一元一次方程
或 物价 = 每人出的较少钱数×人数+不足的钱数。
你能理解这种解法吗？你能用方程的求解过程解释这个计算公式吗？与
同伴进行交流。
随堂练习
1．一组同学一起去植树，如果每人植 3 棵，还剩下 2 棵树苗；如果每人
植 4 棵，则缺少 3 棵树苗。有多少名同学？多少棵树苗？
习题 6.3.4
知知识识技技能能
1．请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题：
今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何。
问题解决
2．某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一
批中转货物进行分拣。若每套设备每小时分拣 3.5 万件，则经过 1 h 剩下 4
万件未分拣；若每套设备每小时分拣 4 万件，则经过 1 h 剩下 1 万件未分拣。
该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备。
3．学校准备把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分 5 本，还缺 26 本；如
果每人分 3 本，则剩余 24 本。问这个班有学生多少人。
55数 学 六年级 下册
小明每天早上要在 7：50 之前赶到距家 1 000 m 的学校上学。一天，小明
以 80 m/min 的速度出发，出发后 5 min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。
于是，爸爸立即以 180 m/min 的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追
上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？
（1）问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？
（2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的
关系吗？
（3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。
设爸爸追上小明用了 x min。当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如
图 6-8所示。
80×5 80x 画图分析数量
180x 学校 关系是一种有
家 会合点 效方法。
图 6-8
根据等量关系，可列出方程： 。
根据相等量的
解这个方程，得x = 。
两种不同表达
因此，爸爸追上小明用了 min，此时距离
式就可以建立
学校还有 m。 等量关系，列
出方程了。
例5 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑
260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。
（1）如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上
小明？
（2）如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两
人首次相遇？
56第六章 一元一次方程
分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问
题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？
解：（1）设小华用 x min 能追上小明，根据等量关系，可列出方程
260+260x = 300x。
解这个方程，得 x = 6.5。
因此，小华用 6.5 min 能追上小明。
（2）设小华起跑后 x min 两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程
260x+300x = 400-260。
解这个方程，得 x = 0.25。
因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。
思考·交流
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图 6-9 所示：
图 6-9
回顾·反思
回顾一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪
些经验？
57数 学 六年级 下册
随堂练习
1．育英学校六年级学生步行到郊外旅行。六（1）班的学生组成前队，
步行速度为4 km/h，六（2）班的学生组成后队，速度为6 km/h。前
队出发 1 h 后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两
队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 12 km/h。
（1）后队出发后，经过多长时间可以追上前队？
（2）联络员出发后追上前队时，距离后队有多远？
2．今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸1；屈绳量之，不足一
尺。问：几何？（选自《孙子算经》）
题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳
子长出4尺 5 寸；将这根绳子对折来量，绳子差 1 尺。这根木材有
多长？
习题 6.3.5
问题解决
1．你能联系生活实际，编写一道可以用一元一次方程解决的数学问题吗？
2．小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑 4 m，小强每秒跑 6 m。
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
（2）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面 10 m 处，两人同
时同向起跑，经过几秒小强能追上小彬？
1
3．古希腊数学家丢番图的墓碑上刻着一道数学题：“他生命的 是幸福的童
6
1 1
年；再度过了生命的 ，他两颊长起了细细的胡须；又度过了生命的 ，
12 7
1“尺”“寸”都是我国传统长度单位，1 尺 = 10 寸。
58第六章 一元一次方程
他结婚了；5 年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他寿命的
一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。”
（1）你能求出丢番图去世时的年龄吗？
（2）你还能提出什么问题？
4．一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以 35 km/h 的速度前进。突然，
1 号队员加快速度，以 45 km/h 的速度独自行进，行进 10 km 后掉转车头，
仍以 45 km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合。1 号队员从离队开始到
与其他队员重新会合，经过了多长时间？
★ 问题解决策略：直观分析
在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问
题，使问题中的数量关系更加清晰。实际上，借助图表直观分析数量关系，往
往是解决问题的一种重要策略。
问题 一家商店将某种服装按进货价提高 40% 后标价，又以八折优惠卖
出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进货价是多少元？
理解问题
（1）这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？
（2）你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？
（3）采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？
拟订计划
（1）想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观
59数 学 六年级 下册
地表示这一过程吗？
（2）根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？
（3）设这种服装每件的进货价为 x 元，你能用含 x 的代数式表示其他量
吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？
实施计划
写出你的解决方案，并与同伴进行交流。
小明用图 6-10 所示的框图直观地表示了商店从进货、标价到销售获利
的过程，并将问题中的数量信息标注在框图中。
图 6-10
据此，他列出了方程
（1+40%）x·80%-x = 15。
解这个方程，得 x = 125。
因此，这种服装每件的进货价是 125 元。
回顾反思
（1）你是用怎样的示意图表示商店从进货、标价到销售获利全过程的？
与同伴交流不同示意图的优缺点。
（2）示意图对解决这类问题有什么作用？请举例说明。
借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系
变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。
60第六章 一元一次方程
习题
11．．某某单单位位的的四四幢幢宿宿舍舍楼楼在在一一条条直直线线上上，，现现要要在在这这四四幢幢宿宿舍舍楼楼之之间间建建一一个个超超市市，，
使得四幢宿舍楼到超市的距离之和最短。超市应建在什么位置？
2．周末小明和爸爸骑自行车去郊外游玩，小明和爸爸分别以 10 km/h 和 12 km/h 的
速度沿相同路线骑行，爸爸先骑行了 11 km，然后立即掉转车头，仍以
12 km/h 速度往回骑，直到与小明会合。会合时他们骑行了多长时间？
3．五个人聚会，如果每两个人要握一次手，那么五个人共握多少次手？
4．一次测试共有两道题，全班有 45 名同学参加测试，答对第一题的有32
人，答对第二题的有 27 人，两题都答对的有 20 人，那么两题都答错的有
多少人？
※5 ．某公司办公大楼共 5 层，公司要召开会议。
（1）如果从 1 层到 5 层每层参会人数分别为 2，1，2，1，1，那么要使所
有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在几层？
你是怎样思考的？
（2）如果从1层到 5 层每层参会人数分别为 2，2，1，2，1 呢？
（3）如果从1层到 5 层每层参会人数分别为 18，14，10，10，11 呢？你
是如何解决的？
61数 学 六年级 下册
回顾与思考
1．方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。用方程解决实际问
题，一般要经历哪些步骤？
2．列算式和列方程解决实际问题的区别和联系分别是什么？
3．在列方程解决实际问题的过程中，你认为最关键的是什么？
4．解一元一次方程的依据和基本思路是什么？
5．在解决实际问题的过程中，你怎样判断一个方程的解是否符合要
求？请举例说明。
6．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行
交流。
复习题
知识技能
1．解方程：
5 x 1 2 1
（1） x- = ； （2） -8x = 3- x；
12 4 3 3 2
（3）0.5x-0.7 = 6.5-1.3x； （4）3（x-7）+5（x-4）= 15；
1 2 y-1 y+2
（5） （3x-6）= x-3； （6） = 2- ；
6 5 2 5
1 2 0.1x + 0.3 0.4x - 1
（7） （1-2x）= （3x+1）； （8） + 2.5 = 。
3 7 0.2 0.5
2．在公式 s = s +vt中，已知 s = 100，s = 25，v = 10，求 t。
0 0
x + 1 x + 7
3. （1）x 等于什么数时，代数式 - 的值等于 -2？
2 5
62第六章 一元一次方程
x + 3 x + 2
（2）x 等于什么数时，代数式 1 - 与 3x - 的值互为相反数？
2 4
问题解决
4．儿子今年 13 岁，父亲今年 40 岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年
龄的4倍？为什么？
5．把 100 分成两个数的和，使第一个数加 3 与第二个数减 3 的结果相等。这两
个数分别是多少？
6．小刚和小明骑自行车去郊外游玩，事先决定早晨 8：00 从家里出发，预计每
小时行 7.5 km，上午 10：00 可到达目的地。出发前他们又决定上午 9：30
到达目的地，那么每小时要行多少千米？
7．爷爷与孙子下棋，爷爷赢 1 盘记 1 分，孙子赢 1 盘记 3 分，下了 8 盘，每
盘都分出了胜负，此时两人得分相等。他们各赢了多少盘？
8．今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几
何。（选自《九章算术》）
题目大意：几个人合伙买羊，若每人出 5 个钱，则差 45 个钱；若每人出 7
个钱，则差 3 个钱。问合伙人数、羊价各是多少。
9．牧童分杏各争竞，不知人数不知杏。三人五个多十枚，四人八枚两个剩。
问有几个牧童几个杏。（选自《算法纂要》）
题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏。若 3 人
一组，每组 5 个杏，则多 10 个杏；若 4 人一组，每组 8 个杏，则多 2 个杏。
问有多少个牧童、多少个杏。
10．某文件需要打印，小李独立做需要 6 h 完成，小王独立做需要 8 h 完成。
如果他们俩共同做，需要多长时间完成？
11．一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的 25%，下午收割了剩下麦田的
20%，结果还剩下 6 hm2 麦田未收割。这块麦田一共有多少公顷？
12．某商店出售两件衣服，每件 60 元，其中一件赚 25%，而另一件赔 25%，
那么这家商店是赚了还是赔了，或是不赚也不赔呢？
13．甲列车从 A 地开往 B 地，速度是 60 km/h；乙列车同时从 B 地开往 A 地，
63数 学 六年级 下册
速度是 90 km/h。已知 A，B 两地相距 200 km，两车相遇的地方离 A 地
多远？
14．某商场将某种商品按标价的八折出售，此时商品的利润率是 10%。已知这
种商品的进价为 1 800 元，那么这种商品的标价是多少？
15．朝阳学校组织六年级同学去春游，如果租用 45 座的客车，则有 15 人没有
座位；如果租用同样数量的 60 座的客车，则除多出 1 辆外，其余客车恰
好坐满。已知租用 45 座的客车日租金为每辆 250 元，租用 60 座的客车
日租金为每辆 300 元，那么租用哪种客车更合算？租几辆车？
16．把 99 写成四个数的和，使第一个数加 2，第二个数减 2，第三个数乘 2，
第四个数除以 2，得到的结果都相等。这四个数分别是多少？
17．设未知数列方程与用字母表示数、表示数量关系有什么区别和联系？谈谈
你的体会。
联系拓广
18．已知 x = 5 是方程 ax-8 = 20+a 的解，求 a 的值。
19．某种商品的进价为 200 元，出售时标价为 250 元，商店准备打折销售，但
要保持利润率不低于 10%，则至多可打几折？
20．图中的正方形由 9 个小方格组成。在每个小方格中各
填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数
的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方。
（1）请将 1～9 这 9 个数填入图中的小方格中，构造一
个三阶幻方。
（第 20 题）
（2）改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数字的位
置，构造一个新的三阶幻方。
（3）在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的
数？如果有，请你解释其中的道理。
（4）你能选择其他 9 个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试。
64第七章
相交线与平行线
道路、房屋、山川、桥梁……在这些大自然的杰作和
人类的创造物中，蕴含着大量的基本平面图形，如我们已
经研究过的线段、射线、直线、角等。生活中哪些物体或
图案给我们以直线的形象？这些直线又有怎样的关系呢？
本章将研究两条直线的位置关系，探索直线平行的条
件，以及平行线的性质，并运用相交线与平行线的有关结
论解决简单的实际问题。在这一过程中，你将经历对简单
几何图形的观察与操作、想象与推理等过程，初步养成重
论据的思维习惯，进一步增强合乎逻辑表达与交流的意识，
发展几何直观与推理能力等。
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
两条直线平行的条件与性质有哪些？它们有怎样
的关系？
研究图形的方法有哪些？如何应用这些方法？数 学 六年级 下册
1
两条直线的位置关系
观察下面几幅生活中的图片（图 7-1 ）：
图7-1
我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线（intersecting
lines）。
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线（parallel lines）。
思考·交流
如图 7-2 ，直线 AB 与 CD 相交于点 O 。
（1）∠1 与 ∠2 的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？
（2）你能说明理由吗？与同伴进行交流。
在图 7-2 中，直线 AB 与 CD 相交于点 O ，∠1 与 ∠2 有
公共顶点 O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置
关系的两个角叫作对顶角（vertical angles）。
图7-2
对顶角有如下性质：
图 7-2 中，
还有其他的角也
对顶角相等。
构成对顶角吗？
66第七章 相交线与平行线
观察·思考
在图 7-2 中，∠1 与 ∠3 有什么数量关系？
一般地，如果两个角的和是 180°，那么称这
两个角互为补角（supplementary angle）。
图 7-2 中，还有
类似地，如果两个角的和是 90°，那么称这 其他的角也构成互为
两个角互为余角（complementary angle）。 补角的关系吗？
尝试·思考
如图 7-3 ，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球
会直接入袋，此时 ∠1 = ∠2 。
图7-3 图7-4
将图 7-3 简化为图 7-4 ，ON 与 DC 相交所成的 ∠DON 和 ∠CON 都等于
90°，且 ∠1 = ∠2 。
（1）请在图 7-4 中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。
（2）∠3 与 ∠4 的大小有什么关系？∠AOC 与 ∠BOD 呢？你能说出理由吗？
同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。
67数 学 六年级 下册
随堂练习
1．如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图
中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角
的度数。你能说出所量角是多少度吗？你的
依据是什么？
（第1题）
习题 7.1.1
知识技能
1．如图，直线 a，b 相交，∠1 = 38°，求 ∠2 ，∠3 ，
∠4 的度数。
2．互为补角的两个角可以都是锐角吗？可以都是直角
吗？可以都是钝角吗？
（第 1 题）
问题解决
3．如图，在长方形的台球桌面上，∠1 + ∠3 = 90°， ∠2 = ∠3 。
（1）如果 ∠2 = 58°，那么 ∠1 等于多少度？
（2）请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。
（第 3 题）
68第七章 相交线与平行线
4．如图，一棵树生长在 30° 的山坡上，树干与山坡所成的锐角是多少度？
（第 4 题） （第 5 题）
联系拓广
5．如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就
是折射现象。图中 ∠1 与 ∠2 是对顶角吗？
观察下面的图片（图 7-5），你能找出其中相交的线吗？它们有什么特
殊的位置关系？
图 7-5
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相
垂直（perpendicular），其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点
叫作垂足。
69数 学 六年级 下册
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如图 7-6 ，直线 AB 与直线 CD
垂直，记作 AB ⊥ CD ；如图 7-7 ，直线 l 与直线 m 垂直，记作 l⊥m 。其中，
点 O 是垂足。
图 7-6 图 7-7
思考·交流
（1）如图 7-8，O 为直线 AB 上一点，∠AOC = ∠BOC，
那么 OC 与 AB 垂直吗？为什么？
（2）以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道
图 7-8
她每一步的依据吗？与同伴进行交流。
我的思考过程如下：
由∠AOC = ∠BOC，且 ∠AOC + ∠BOC = 180°，
可得∠AOC = ∠BOC = 90°，
所以 OC⊥AB 。
小颖
（3）如果 OC⊥AB，那么∠AOC = ∠BOC 吗？为什么？与同伴进行交流。
操作·思考
（1）你能用折叠的方法折出互相垂直的直线
吗？试试看！
（2）如果只用直尺，你能画出图 7-9 方格纸上
已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直
图 7-9
线吗？
70第七章 相交线与平行线
尝试·思考
（1）如图 7-10 ，点 A 在直线 l 上，你能用三角板过点 A 画直线 l 的垂线
吗？你能画出多少条？如果点 A 在直线 l 外呢？你是怎样做的？
图 7-10
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）如图 7-11 ，点 P 是直线 l 外一点，PO ⊥ l ，
点 O 是垂足。点 A ，B ， C 在直线 l 上，比较线段 PO ，
PA ，PB ，PC 的长短，你发现了什么？
如图 7-11 ，点 P 是直线 l 外一点，PO ⊥ l ，垂足
图 7-11
为点 O ，线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的垂线段。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
如图 7-12 ，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 B ，垂
线段 AB 的长度叫作点 A 到直线 l 的距离。
图 7-12
思考·交流
你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？你能说说其中的道理
吗？与同伴进行交流。
71数 学 六年级 下册
随堂练习
1．画一条直线 l ，在直线 l 上取一点 A ，在直线 l 外取一点 B ，用三角板
或量角器分别经过点 A ，B 画直线 l 的垂线。
2．分别找出图中互相垂直的线段。
（1） （2）
（第 2 题）
习题 7.1.2
知识技能
1．你能在生活中找到互相垂直的线段吗？请试一试。
2．如图，如果把街道近似地看成直线，那么哪些街道互相平行？哪些互相
垂直？
（第 2 题） （第 3 题）
问题解决
3．如图，要把水渠中的水引到 C 点，在渠岸 AB 的什么地方开沟，才能使沟最
短？画出图形，并说明理由。
4．你能举出一些日常生活中应用“垂线段最短”的实例吗？请试一试。
72第七章 相交线与平行线
2
探索直线平行的条件
在日常生活中，人们经常用到平行线。如图 7-13，装修工人要在墙上钉
木条，如果木条 b 与竖直木条垂直，那么木条 a 与竖直木条所成的角为多少度
时，才能使木条 a 与木条 b 平行？
图 7-13 图 7-14
如图 7-14，如果木条 b 不与竖直木条垂直呢？
操作·交流
（1）如图 7-15，三根木条相交成 ∠1，∠2，固定木条 b，c，转动木条 a。
如图 7-16，在木条 a 的转动过程中，观察 ∠2 的变化以及它与 ∠1 的大小关
系，你发现木条 a 与木条 b 的位置关系发生了什么变化？木条 a 何时与木条 b
平行？与同伴进行交流。
（1） （2） （3）
图 7-15 图 7-16
（2）改变图 7-15 中 ∠1 的大小，按照（1）中的方式再做一做。∠1 与
∠2 的大小满足什么关系时，木条 a 与木条 b 平行？与同伴进行交流。
73数 学 六年级 下册
观察·思考
如图 7-17，直线 AB，CD 被直线 l 所截， ∠1 与
∠2 有怎样的位置关系？
∠1 与 ∠2 都在截线 l 的同旁，又分别处在直线 AB
与直线 CD 相同一侧的位置，具有 ∠1 与 ∠2 这样位置
图 7-17
关系的角称为同位角（corresponding angles）。
在图 7-17 中，找出其他的同位角。
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简述为：同位角相等，两直线平行。
两直线平行，用符号“∥”表示。例如，直线 a 与直线 b 平行，记作
a∥b。
操作·思考
（1）你能借助三角板画平行线吗？小明按如图 7-18 的方法画出了已知直
线的平行线，请说明其中的道理。
图 7-18
（2）如图 7-19，你能过直线 AB 外一点 C 画直
线 AB 的平行线吗？能画出几条？
图 7-19
74第七章 相交线与平行线
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
（3）在图 7-20 中，分别过点 C 和 D 画直线 AB 的平行线 EF，GH，那么
EF 与 GH 有怎样的位置关系？
图 7-20
平行于同一条直线的两条直线平行。
也就是说：如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c（如图 7-21）。
图 7-21
随堂练习
1．找出下面点阵（点阵中相邻的四个点构成正方形）中互相平行的线段 1。
（第 1 题） （第 2 题）
2．如图，∠1 = ∠2 = 55°，直线 AB 与 CD 平行吗？为什么？
3．对于同一平面内的三条直线 a，b，c，如果 a 与 b 平行，c 与 a 相交，
那么 c 与 b 的位置关系是相交还是平行？
1“线段平行”指线段所在直线平行。
75数 学 六年级 下册
习题 7.2.1
知识技能
1．找出下图中互相平行的直线。
（第 1 题） （第 2 题）
2．如果只有直尺，你能在上面的方格纸上画出平行线吗？请试一试。
问题解决
3．图（1）是一种画平行线的工具。在画平行线之前，工人师傅往往要先调整
一下工具［如图（2）］，然后再画平行线［如图（3）］。你能说明这种工具
的用法和其中的道理吗？
（1） （2） （3）
（第 3 题）
76第七章 相交线与平行线
李老师有一块小画板（如图 7-22），他想知道它的上、下边缘是否平
行，于是他在两个边缘之间画了一条线段 AB 。
图 7-22
李老师身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画
板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
观察·思考
如图 7-23，直线 AB ，CD 被直线 l 所截。
（1） ∠1 与 ∠2 有怎样的位置关系？
（2） ∠1 与 ∠3 有怎样的位置关系？
图 7-23
∠1 与 ∠2 在截线 l 的两旁，又在直线 AB 与直线 CD 之间，具有 ∠1 与 ∠2
这样位置关系的角称为内错角（alternate interior angles）；∠1 与 ∠3 都在截线 l
的同旁，又在直线 AB 与直线 CD 之间，具有 ∠1 与 ∠3 这样位置关系的角称为
同旁内角（interior angles on the same side）。
在图 7-23 中，找出其他几组内错角和同旁内角。
思考·交流
（1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
（2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。
77数 学 六年级 下册
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行。
观察·交流
（1）如图 7-24，三个相同的三角板拼接成一个图形，请找出图中的一组
平行线，并说明你的理由。
图 7-24
（2）以下是小颖的思考过程，你能明白她的意思吗？
BC 与 AE 是平行的。因为 ∠BCA 与 ∠EAC 是内错
角，而且又相等。
小颖
（3）在图 7-24 中再找一组平行线，说说你的理由，并与同伴进行交流。
如图 7-25，在探究两条直线是否平行时，常用第三条
直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢？与同
伴进行交流。
图 7-25
78第七章 相交线与平行线
尝试·思考
如图 7-26，某公园现有两条直道 AB 和 CD 交于点 O，
为方便游客观赏，公园管理部门决定过直道 CD 上的点 P，
再修建一条直道 MN，并且使 MN 与 AB 平行，你能在图中
画出直道 MN 吗？
图 7-26
（1）过点 P 的直线有多少条？
（2）满足什么条件的直线才能与 AB 平行？
如图 7-27，已知点 P 在直线 AB 外，用尺规作直线
MN，使 MN 经过点 P，且 MN∥AB。
图 7-27
作法与示范：
作法 示范
（1）在直线 AB 上任取一点 O，过点 O，P 作直线 CD。
（2）以点 P 为顶点，以 PD 为一边，在直线 CD 的右侧
作 ∠DPN = ∠DOB。
PN 边所在的直线 MN 就是所求作的直线。
你能说说这
样作的道理吗？
79数 学 六年级 下册
随堂练习
1．观察右图并填空：
（1）∠1 与 是同位角；
（2）∠5 与 是同旁内角；
（3）∠2 与 是内错角。
2．当图中各角分别满足下列条件时，你能指出哪 （第 1 题）
两条直线平行吗？
（1）∠1 = ∠4；
（2）∠2 = ∠4；
（3）∠1 + ∠3 = 180°。
（第 2 题）
习题 7.2.2
知知识识技技能能
1．如图，一条街道的两个拐角 ∠ABC 与 ∠BCD 均为150°，街道 AB 与 CD 平行
吗？为什么？
（第 1 题）
2．如图，∠DAB +∠CDA = 180°，∠ABC = ∠1，直线
AB 与 CD 平行吗？直线 AD 与 BC 呢？为什么？
（第 2 题）
80第七章 相交线与平行线
问题解决
3．观察下面每幅图中的直线 a，b，它们分别平行吗？你能验证它们是否平行
吗？你有几种方法？
（1） （2） （3）
（第 3 题）
3
平行线的性质
如图 7-28，直线 a 与直线 b 平行。
图 7-28
（1）测量同位角 ∠1 和 ∠5 的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位
角吗？它们的大小有什么关系？
（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
（4）换另一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？
81数 学 六年级 下册
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
简述为：两直线平行，同位角相等。
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
简述为：两直线平行，内错角相等。
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简述为：两直线平行，同旁内角互补。
思考·交流
如图 7-29，一束平行光线 AB 与 DE 射向
一个水平镜面后被反射，此时 ∠1 = ∠2，∠3
= ∠4 。
（1）∠1 与 ∠3 的大小有什么关系？∠2 与 图 7-29
∠4 呢？
（2）反射光线 BC 与 EF 也平行吗？
我是这样思考的：
（1）由 AB∥DE ，可以得到∠1 = ∠3；
由∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ，可以得到∠2 = ∠4 。
（2）由∠2 = ∠4 ，可以得到 BC∥EF 。
小颖
你能说明每一步的理由吗？
你是如何思考的？与同伴进行交流。
82第七章 相交线与平行线
随堂练习
1．如图，AB∥CD，AC∥BD，分别找出与 ∠1 相等或
互补的角。
（第 1 题）
习题 7.3.1
习习题题77..55
知识技能
1．如图，AB∥CD，CD∥EF，∠1 = ∠2 = 60°，∠A 和 ∠E 各是多少度？它们
相等吗？
（第 1 题） （第 2 题）
2．如图，AB∥CD，∠α = 45°，∠D = ∠C，依次求出 ∠D，∠C，∠ABC，∠CBE
的度数。
问题解决
3．如图，从一艘船上测得一个灯塔的方向是北偏西
灯塔
北
48°，那么这艘船在这个灯塔的什么方向？
东
4．（1）在地图上选定一个城市，判断其他城市在它
的什么方向；
船
（2）只用方向能准确描述两个城市的相对位置
（第 3 题）
吗？如果不能，还需要什么数据？
83数 学 六年级 下册
例1 根据图 7-30 回答下列问题：
（1）若 BF∥CD ，则 ∠1 与 ∠2 有怎样的数量关
系？依据是什么？
（2）若 AM∥BF ，则 ∠2 与 ∠M 有怎样的数量关
系？依据是什么？
（3）若 AC∥MD ，则 ∠2 与 ∠3 有怎样的数量关 图 7-30
系？依据是什么？
解：（1）∠1 与 ∠2 是内错角，若 BF∥CD ，
则根据“两直线平行，内错角相等”，
可得 ∠1 = ∠2 。
（2）∠2 与 ∠ M 是同位角，若 AM∥BF ，
则根据“两直线平行，同位角相等”，
可得 ∠2 = ∠M 。
（3）∠2 与 ∠3 是同旁内角，若 AC∥MD ，
则根据“两直线平行，同旁内角互补”，
可得 ∠2 +∠3 = 180°。
例 2 如图 7-31，AB∥CD，如果 ∠1 = ∠2，那
么 EF 与 AB 平行吗？说说你的理由。
解：EF 与 AB 平行。
理由：因为 ∠1 = ∠2，
根据“内错角相等，两直线平行”， 图 7-31
所以 EF∥CD。
又因为 AB∥CD，
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，
所以 EF∥AB。
84第七章 相交线与平行线
例 3 如图 7-32，已知直线 a∥b，直线 c∥d，∠1 = 107°，求 ∠2，∠3 的
度数。
解：因为 a∥b，
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以 ∠2 = ∠1 = 107°。
因为 c∥d，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以 ∠1 + ∠3 = 180°。 图 7-32
所以 ∠3 = 180°-∠1 = 180°-107°= 73°。
回顾·反思
回顾直线相交与平行的探究过程，你积累了哪些研究几何图形的方法与
经验？
随堂练习
1．如图，已知 ∠1 = 105°，∠2 = 75°，a 与 b 平行吗？请说明理由。
（第 1 题） （第 2 题）
2．如图，AE∥CD，∠1 = 37°，∠D = 54°，求 ∠2 和 ∠BAE 的度数。
85数 学 六年级 下册
习题 7.3.2
习习习题题题7777....5555
习习习习题题题题7777....6666
知知识识技技能能
1．如图，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 E， ∠B = 50°，求 ∠C 的度数。
（第 1 题） （第 2 题）
2．如图，已知AC 平分∠BAD，∠1 = ∠2，可以判断哪两条直线平行 ？请说明
理由。
3．如图，已知∠1 = ∠3 = 60°，∠2 = 120°，可以判断哪些直线平行？请说明
理由。
（第 3 题） （第 4 题）
4．如图，AC∥ED，AB∥FD，∠A = 64°，求 ∠EDF 的度数。
5．如图，一个弯形管道 ABCD 的拐角 ∠ABC = 115°，∠BCD = 65°，这时管道所
在的直线 AB 和 CD 平行吗？为什么？
（第 5 题） （第 6 题）
问题解决
6．林湾乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从 A 村沿北偏东 65°方向到 B 村，
从 B 村沿北偏西 25°方向到 C 村，水渠从 C 村沿与 BC 成多少度角的方向修
建，可以保持与 AB 的方向一致？
86第七章 相交线与平行线
★ 问题解决活动：折平行线
问题 你能用如图 7-33 所示的纸片折出两条平
行的直线吗？请动手折一折，并说明理由。
理解问题
（1）判断两条直线平行的依据有哪些？请画出
图 7-33
基本图形。
（2）如何用如图 7-33 所示的纸片折出两条平行的直线？
拟订计划
（1）你能通过折叠得到两条直线平行的基本图形吗？
（2）用如图 7-33 所示的纸片折叠，你遇到了什么困难？什么形状的纸片
容易折出平行线？从中你有什么发现？
（3）用如图 7-33 所示的纸片折出两条平行的直线。
实施计划
（1）用一张长方形纸片动手折一折，并说明其中的道理。
（2）用如图 7-33 所示的纸片折出两条平行的直线。整理自己的思路，并
与同伴进行交流。
回顾反思
（1）通过探究，你发现用如图 7-33 所示的纸片与用长方形纸片折出两条
平行的直线，折叠的方法有什么共性？
（2）在折叠的过程中，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。
87数 学 六年级 下册
习题
1．如图，纸片上有一条直线 l，点 A 为直线 l 外一
A
点，你能过点 A 折出一条直线与已知直线 l 平行
l
吗？请动手试一试，然后在图中画出折痕，并
说明其中的道理。
2．在一张不规则纸片上任意标出两个点，记作点
A、点 B。通过折叠得到两条平行线，使它们分 （第 1 题）
别经过点 A 和点 B。
回顾与思考
1．举例说出生活中的对顶角、互补的角与互余的角。
2．理解垂线、垂线段的概念及点到直线的距离的意义。
3．判断两条直线是否平行，通常有哪些方法？
4．平行线有哪些特征？
5．怎样用尺规作已知直线的平行线？与用尺规作一个角等于已知角
有怎样的联系？
6．用自己的方式梳理本章的知识结构，你是怎样想的？与同伴进行
交流。
88第七章 相交线与平行线
复习题
知识技能
1．指出下图中的同位角、内错角、同旁内角，以及互为余角的角、互为补角
的角。
30°
（第 1 题） （第 2 题）
2．如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是
北偏东 42°。甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通。乙地所修公路
的走向是南偏西多少度？为什么？
3．如图，点 D 是线段 BC 上的一点，请用尺规过点 D 作直线 EF，MN，使
EF∥AB，MN∥AC，并判断 EF 和 MN 相交所成的锐角与 ∠A 的数量关系。
（1） （2）
（第 3 题） （第 4 题）
4．如图，直线 a 与直线 b 平行吗？请说明理由。
5．在下列各图中，a∥b ，分别计算 ∠1 的度数。
（1） （2） （3）
（第 5 题）
89数 学 六年级 下册
6．意大利的比萨斜塔始建于 1174 年，1271 年竣工。因奠基
不慎，致塔身倾斜。目前，它与地面所成的较小的角为 85°
（如图），它与地面所成的较大的角是多少度？为什么？
7．如图，如果 ∠B 与 ∠C 互补，那么哪两条线段平行？∠A
与哪个角互补，可以保证 AD∥BC ？
（第 6 题）
（第 7 题）
8．直线 a，b，c，d 如图所示。
（1）如果 a∥b，那么图中各角之间有哪些相等关系？
（2）要使 c∥d 成立，需要哪两个角相等？
（第 8 题）
问题解决
9．如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相
同，第一次拐的角 ∠B = 140°，第二次拐的角 ∠C
是多少度？
10．一个人从 A 点出发沿北偏东 60°方向走到 B 点，再
（第 9 题）
从 B 点出发沿南偏西 20°方向走到 C 点，那么 ∠ABC 是多少度？
11．如图所示，选择适当的方向和力度击打白球，可以使白球经过两次反弹后
直接将红球撞入袋中，此时∠1=∠2，∠3=∠4。如果∠5 = 25°，∠1是多
少度才能保证红球直接入袋？
（第 11 题）
90第七章 相交线与平行线
※ 12．如图，已知点 P在直线 l 外，利用如下方法也可以作出
过点 P 与直线 l 平行的直线：
在直线 l 上任取一点 A，以点 A 为圆心，以 AP 的长为半
径作弧，交直线 l 于点B；以点 P 为圆心，以 PA 的长为
（第 12 题）
半径作弧；以点 A 为圆心，以 PB 的长为半径作弧，交
前弧于点 C；作直线 PC，则 PC∥l。
（1）这种作法用到了哪些你学过的基本尺规作图？（提示：连接 PA）
（2）试说明这种作法的道理。
（3）连接 PB，AC，在图中找出你熟悉的图形。
13．如图是建于清代的河南省社旗县山陕会馆中窗棂图案的一部分。观察其中
有哪些平行的线，你能再设计一种类似的窗棂图案吗？动手试试吧！
（第 13 题）
※14．从下面的第一个图出发，通过不断地作平行线，就能得到一个美丽的图案。动
手试一试。
（第 14 题）
91数 学 六年级 下册
15．用如图所示的纸片，你能折出两条平行的直线吗？请试一试。
（第 15 题） （第 16 题）
联系拓广
※1 6．适当地剪几刀，可以把图中的十字变成一个正方形。有人说剪两刀就可以，
你相信吗？不妨试试看。
17．结合你的学习经验谈一谈观察、操作、推理、交流等方法在研究几何图形
过程中的作用。
92第八章
整式的乘除
光在真空中的速度大约是 3×108 m/s，比邻星发出的光到
达地球大约需要 4.22 年，它距离地球有多远？如果有两个两
位数，它们的十位数字相同、个位数字之和等于 10，那么这
两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大 1 的数作为积的
前两位，把个位数的乘积作为积的后两位。例如，79×71 =
5 609。你能解释其中的道理吗？
本章将在整式加减运算的基础上，继续研究整式的乘除
运算，并利用整式的运算解决一些实际问题。你将经历由特
殊到一般的推理过程，理解运算法则及其道理，提高运算能力，
建立形与数的联系，感悟几何直观的作用，逐步养成重论据、
合乎逻辑的思维习惯。
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
本章是按照怎样的顺序研究整式乘除的？
总结乘法公式有什么意义？这些公式是如何得到的？
它们与整式运算的法则有怎样的关系？
(a+b)(a–––bb)=a2
–––bb2
3×108 m/s
2
2+222aab+b
2=a
(a+b)数 学 六年级 下册
1
幂的乘除
光在真空中的速度约为 3×108 m/s。太阳系以外距离地球最近的恒星是比
邻星，它发出的光到达地球大约需要 4.22 年。
一年以 3×107 s 计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？
小颖认为，比邻星与地球之间的距离大约是
3×108×3×107×4.22 = 37.98×（108×107）（m）。
可是108×107 等于多少呢？
尝试·思考
1．计算下列各式：
（1）102×103； （2）105×108；
（3）10m×10n（m，n都是正整数）。
你发现了什么？
1 1
2．2m×2n 等于什么？（ ）m×（ ）n和（-3）m×（-3）n 呢（m，n都是正整数）？
7 7
尝试·交流
如果 m，n 都是正整数，那么 am·an 等于什么？为什么？与同伴进行
交流。
am·an =（a·a·…·a）·（a·a·…·a）= a·a·…·a = am + n，
m 个 a n 个 a （m + n）个 a
即
am·an = am + n（m，n 都是正整数 1）。
同底数幂相乘，底数 ，指数 。
1 在本章中，如果没有特别说明，幂的指数中的字母都是正整数。
94第八章 整式的乘除
例1 计算：
1 1
（1）（-3）7×（-3）6； （2）（ ）3× ；
111 111
（3）-x3·x5； （4）b 2m·b 2m + 1。
解：（1）（-3）7×（-3）6 = （-3）7 + 6 =（-3）13 = -313；
1 1 1 1
（2）（ ）3× =（ ）3 + 1 =（ ）4；
111 111 111 111
（3）-x3·x5 = -x3 + 5 = -x8；
（4）b2m·b2m + 1 = b2m + 2 m + 1 = b4m + 1。
思考·交流
am·an·ap 等于什么？为什么？与同伴进行交流。
例2 光在真空中的速度约为 3×108 m/s，太阳光照射到地球上大约需要
5×102 s。地球距离太阳大约有多少米？
解：3×108×5×102 = 15×1010 = 1.5×1011（m）。
地球距离太阳大约有 1.5×1011 m。
随堂练习
1．计算：
（1）52×57； （2）7×73×72；
（3）-x2·x3； （4）（-c）3·（-c）m。
2．2017年6月，我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机以
1.25 ×1017 次 / 秒的峰值计算能力和 9.3×1016 次 / 秒的持续计算能
力，第三次名列世界超级计算机排名榜单 TOP500 第一名。该超级
计算机按持续计算能力运算 2×102 s 可做多少次运算？
3．解决本节课开始提出的比邻星与地球之间的距离问题。
95数 学 六年级 下册
习题 8.1.1
知识技能
1．计算：
（1）c·c11； （2）104×102×10； （3）（-b）3·（-b）2；
（4）-b3·b2； （5）xm-1·xm+1（m >1）； （6）a·a3·an。
2．已知 am = 2，an = 8，求 am + n。
3．下面的计算是否正确？如有错误请改正。
（1）a 3·a 2 = a 6； （2）b 4·b 4 = 2b 4；
（3）x 5 + x 5 = x 10； （4）y 7·y = y 8。
问题解决
4．在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 1.3
×108 kg 的煤所产生的能量。我国约 960 万平方千米的陆地，一年从太阳
得到的能量相当于燃烧多少千克的煤所产生的能量（结果用科学记数法表
示）？
5．在正常情况下，某种细胞每分钟由 1 个分裂成 2 个。
（1）经过 5 min，1 个细胞分裂成多少个？这些细胞再继续分裂 t min ，共分
裂成多少个？
（2）你还能提出什么问题？
96第八章 整式的乘除
4
地球、木星、太阳可以近似地看成球体，球的体积公式是 V = π r3，其中
3
V 是球的体积，r 是球的半径。已知木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 102
倍，那么它们的体积分别约是地球的多少倍？
木星的半径约是地球的 10 倍，它的体积约是地球的 103 倍。
太阳的半径约是地球的 102 倍，它的体积约是地球的（102）3 倍。那么，
你知道（102）3 等于多少吗？
尝试·思考
1．计算下列各式，并说明理由。
（1）（62）4； （2）（a 2）3； （3）（am）2 。
2．如果 m，n 都是正整数，那么（am）n 等于什么？为什么？
n 个 am n 个 m
（am）n = am·am·…·am = am + m + … + m = amn，
即
（am）n = amn（m，n 都是正整数）。
幂的乘方，底数 ，指数 。
例3 计算：
（1）（102）3； （2）（b5）5； （3）（an）3；
（4）-（x2）m； （5）（y 2）3·y； （6）2（a2）6 -（a3）4。
解：（1）（102）3 = 102×3 = 106；
（2）（b5）5 = b5×5 = b25；
（3）（an）3 = an·3 = a 3n；
97数 学 六年级 下册
（4）-（x2）m = -x2·m = -x2m；
（5）（y2）3·y = y2×3·y = y6·y = y7；
（6）2（a 2）6 -（ a 3）4 = 2a 2× 6 - a 3×4 = 2a 12 - a 12 = a 12。
随堂练习
1．计算：
（1）（103）3； （2）-（a2）5； （3）（x3）4·x2；
1
（4）［（- ）2］3； （5）（x2a）3； （6）（mn）2·mn。
2
2．计算：
（1）［（-a）2］3·a； （2）（ym）2·（y4）m；
（3）（c3）4+（c4）3； （4）（b4）n-（bn）4。
习题 8.1.2
知识技能
1．计算：
1
（1）［（ ）3］2； （2）（a4）2； （3） -（b5）2；
3
（4）（y 2）2n； （5）（bn）3； （6）（x 3）3n。
2．计算：
（1）（t m）2· t； （2）（a 2）3·（a 3）2；
（3）-p·［（- p）4］3； （4）（x 4）6 -（x 3）8。
3．下面的计算是否正确？如有错误请改正。
（1）（x 3）3 = x 6； （2）a 6·a 4 = a 24。
98第八章 整式的乘除
地球可以近似地看成球体，地球的半径约为 6×103 km，它的体积大约是
多少立方千米？
4 4
根据球的体积公式，地球的体积 V = πr3 = π×（6×103）3（km 3）。
3 3
那么，（6×103）3 等于多少呢？
尝试·思考
1．完成下列各式，并说明理由。
（1）（3×5）4 = 3（）×5（）； （2）（3×5）m = 3（）×5（）。
2．如果 n 是正整数，那么（ab）n 等于什么？为什么？
（ab）n =（ab）·（ab）·…·（ab）
n 个 ab
=（a·a·…·a）·（b·b·…·b）
n 个 a n 个 b
= anbn，
即
（ab）n = anbn（n 是正整数）。
积的乘方等于 。
例4 计算：
（1）（3x）2； （2）（-2b）5；
（3）（x 2 y 3）3； （4）（3a 2）n。
解：（1）（3x）2 = 32 x 2 = 9x 2；
（2）（-2b）5 =（-2）5 b 5 = -32b 5；
（3）（x 2 y 3）3 =（x 2）3·（y 3）3 = x 6 y 9；
（4）（3a 2）n = 3n（a 2）n = 3na 2n。
99数 学 六年级 下册
例5 计算：x 3·x 5 +（x 2）4 +（- 2x 4）2 。
解：x3·x5 +（x2）4 +（- 2x4）2
= x8 + x8 + 4x8
= 6x8。
回顾·反思
回顾前面幂的相关运算，你经历了怎样的探究过程？幂的运算与数的运
算有什么联系？你还想探究幂的什么运算？
随堂练习
1．计算：
（1）（-3n）3； （2）（5xy）3； （3）-a 3 +（-4a）2 a。
2．解决本节开始提出的地球的体积问题（π 取 3.14）。
习题 8.1.3
知识技能
1．计算：
（1）（3b）2； （2）-（ab）2；
（3）（-4a 2）3； （4）（ y 2 z 3）3。
2．计算：
（1）（xy 4）m； （2）-（p 2 q）n；
（3）（xny 3n）2 +（x 2 y 6）n； （4）（-3x 3）2 -［（2x）2］3。
3．下面的计算是否正确？如有错误请改正。
（1）（ab 4）4 = ab 8； （2）（-3pq）2 = -6p 2 q 2。
100第八章 整式的乘除
问题解决
4．请你借助几何图形直观地解释（3b）2 = 9b 2 的意义。
5．你能根据本节的数据计算出太阳的体积大约是多少吗（π 取 3.14）？
联系拓广
6．不用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？
（1）22×3×52； （2）24×32×53； （3）0.125100×8100。
7. （abc）n 等于什么？
一种液体每升含有 1012 个有害细菌。为了试验某种灭菌剂的效果，科学家
进行了实验，发现 1 滴灭菌剂可以杀死 109 个有害细菌。要将 1 L 液体中的有害
细菌全部杀死，至少需要这种灭菌剂多少滴？你是怎样计算的？
尝试·思考
1．计算下列各式，并说明理由（m > n）。
（1）1012÷109； （2）10m÷10n； （3）（-3）m÷（-3）n。
2．如果 m，n 都是正整数，且 m > n，那么 am÷an 等于什么？你是怎么得到的？
am ÷ an = am - n（a ≠ 0 1，m，n 都是正整数，且 m > n）。
同底数幂相除，底数 ，指数 。
例6 计算：
（1）a 7÷a 4； （2）（-x）6÷（-x）3；
（3）（xy）4÷（xy）； （4）b 2m + 2÷b 2。
1 本章中，当除式含有字母时，字母均不为 0。
101数 学 六年级 下册
解：（1）a 7÷a 4 = a 7 - 4 = a 3；
（2）（-x）6÷（-x）3 =（-x）6 - 3=（-x）3 =-x 3；
（3）（xy）4÷（xy）=（xy）4 - 1 =（xy）3 = x 3 y 3；
（4）b 2m + 2÷b 2 = b 2m + 2 - 2 = b 2m。
随堂练习
1．计算：
（1）26÷23； （2）x 10÷x 8；
（3）m5÷m； （4）（- b）5÷（- b）3；
（5）（- r）5÷r4； （6）（mn）5÷（mn）。
2．填空：
（1）a5·（ ）＝ a8； （2）x 2·x 5·（ ）＝ x19。
习题 8.1.4
知知识识技技能能
1．计算：
3 3
（1）0.26÷0.24； （2）（- ）6÷（- ）2； （3）（- x）7÷（- x）；
2 2
（4）（- ab）5÷（- ab）2； （5）am+2÷a2； （6）62m+1÷6m。
2．若 xm=16，xn=128，求 x 2m - n 的值。
3．下面的计算是否正确？如有错误请改正。
（1）a 6÷a = a 6； （2）b 6÷b 3 = b 2；
（3）a 10÷a 9 = a； （4）（-bc）4÷（-bc）2 = -b 2 c 2。
问题解决
4．海豚能听到声音的最高频率是 1.5×105 Hz，人类能听到声音的最高频率是
2×104 Hz，海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的多少倍？
102第八章 整式的乘除
思考·交流
104 = 10 000， 24 = 16，
10（） = 1 000， 2（） = 8，
10（） = 100， 2（） = 4，
10（） = 10。 2（） = 2。
猜一猜，下面的括号内该填入什么数？你是怎样想的？与同伴进行交流。
10（） = 1， 2（） = 1，
1 1
10（） = ， 2（） = ，
10 2
1 1
10（） = 100 ， 2（） = 4 ，
1 1
10（） = 。 2（） = 。
1 000 8
我们规定：
a0 = 1（a ≠ 0）；
1
a-p = （a ≠ 0，p 是正整数）。
ap
一个不等于零的数，它的零次幂等于 ，它的 -p（p 是正整
数）次幂等于 。
103数 学 六年级 下册
例7 用小数或分数表示下列各数：
（ 1）10-3； （2）70×8- 2； （3）1.6×10- 4。
1 1
解：（1）10- 3 = = = 0.001；
103 1 000
1 1
（2）70×8-2 = 1× = ；
82 64
1
（ 3）1.6×10- 4 = 1.6× = 1.6×0.000 1 = 0.000 16。
104
尝试·思考
某种细胞分裂时，1 个细胞分裂 1 次变为 2 个，分裂 2 次变为 4 个，分
裂 3 次变为 8 个……你能由此说明 20 = 1 的合理性吗？与同伴进行交流。
随堂练习
1．计算：
2
（1）（- ）0； （2） 0×3×（- 2）0； （3）（2×105）0；
3
2
（4）（ ）- 2； （5）（- 0.1）-1； （6）（- 4）-3 。
7
习题 8.1.5
知识技能
1．用小数或分数表示下列各数：
1
（1）（ ）0； （2）3- 3；
2
（3）1.3×10- 5； （4）5- 2。
2．在标准大气压下，空气的密度是 1.293×10-3 g /cm3，用小数把它表示出来。
104第八章 整式的乘除
尝试·交流
计算下列各式，你有什么发现？与同伴进行交流。
（ 1）7-5÷7-3； （ 2）3-1×36；
1
（ 3）［（ ）-5］2； （ 4）（-8）0÷（-8）-2。
2
引入零指数幂和负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质在指数是整
数时仍然适用，即
am·an=am+n，am÷an=am-n（a≠0，m，n 都是整数）。
例8 计算：
（1）a ÷ a - 2； （2）（x 3）- 3÷x - 7； （3）x 0÷x 2·x - 3。
解：（1）a÷a - 2 = a1-（- 2）= a3；
（2）（x 3）- 3÷x - 7 = x 3×（- 3）÷x - 7= x - 9÷x - 7= x - 9-（- 7）= x - 2；
（3）x 0÷x 2·x - 3 = x 0 - 2+（- 3）= x - 5。
例9 计算：（5×105）×（2×10 - 6）。
解： （5×105）×（2×10 - 6）
= 5×105×2×10 - 6
=（5×2）×（105×10 - 6）
= 10×10 - 1
= 100
= 1。
随堂练习
1．计算：
（1）x 12÷x - 4； （2）（- y）3÷（- y）- 2； （3） -（k 6÷k - 6）；
（4）（- y）- 5÷ y 4； （5）m÷m 0； （6）（mn）5÷（mn）6。
105数 学 六年级 下册
习题 8.1.6
知识技能
1．计算：
（1）108×10 - 2÷103； （2）（x - 2 y）- 3÷（xy）0；
（3）a0÷（a3·a5）； （4）（x - 2）- 3÷ x 0·x - 4。
联系拓广
2．填写下表，并观察下列两个代数式值的变化情况：
n 1 2 3 4 5 6
10 - 3
n
10 - n
（1）随着 n 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，随着 n 的值逐渐变大，哪个代数式的值先小于 10 - 10？
尝试·思考
有的细胞直径只有 1 微米（μm），即 0.000 001 m；
某种计算机完成一次基本运算的时间约为 1 纳秒（ns），即 0.000 000 001 s；
一个氧原子的质量为 0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 kg。
你能用负指数幂表示这些数吗？
用科学记数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数，同样，用科学记
数法也可以很方便地表示一些绝对值较小的数。例如，
1
0.000 001 = = 1×10-6，
106
1
0.000 000 001 = = 1×10-9，
109
1
0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 = 2.657× = 2.657×10-26。
1026
106第八章 整式的乘除
一般地，一个小于1的正数可以表示为 a×10n 的形式，其中 1≤a＜10，n
是负整数。
大于-1的负数也可以用类似的方法表示，如-0.000 002 56可以表示成
-2.56×10-6。
例10 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.000 000 000 002 9； （2）0.000 000 001 295。
解：（1）0.000 000 000 002 9 = 2.9×10-12；
（2）0.000 000 001 295 = 1.295×10-9。
思考·交流
（1）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 μm 的细颗粒物，也称为可入
1
肺颗粒物。虽然它们的直径还不到人的头发粗细的 ，但它们含有大量的有
20
毒、有害物质，并且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健康和
大气环境质量影响很大。假设一种可入肺颗粒物的直径约为 2.5 μm，相当于
多少米？多少个这样的细颗粒物首尾连接起来能达到 1 m？与同伴进行交流。
（2）估计 1 张纸的厚度大约是多少厘米。你是怎样做的？与同伴进行交流。
随堂练习
1．用科学记数法表示下列各数：
（1）0.000 000 72； （2）0.000 861； （3）0.000 000 000 342 5。
2．1 个电子的质量是 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 g，
请用科学记数法表示这个数。
习题 8.1.7
知知识识技技能能
1．用科学记数法表示下列各数：
（1）0.007 398； （2）0.000 022 6；
107数 学 六年级 下册
（3）0.000 000 000 054 2； （4）0.000 000 000 000 000 000 000 199 4。
2．一个铁原子的质量是 0.000 000 000 000 000 000 000 000 092 88 kg，请你用
科学记数法把它表示出来。
问题解决
3．芯片是指内含集成电路的硅片，是计算机或其他电子设备的一部分。近几年我
国一直在芯片的工艺上进行技术攻坚，其中某芯片内核面积仅有 74.13 mm 2，集
成了约 69 亿个晶体管，平均每个晶体管占有面积约是多少平方毫米（结果
用科学记数法表示，保留两位小数）？
2
整式的乘法
一个长方形操场被划分成四个不同的小长方形活动区域，各边的长度如
图 8-1 所示。如何计算整个操场的面积？你是怎么想的？与同伴进行交流。
图 8-1
尝试·思考
小明认为可以分别计算四个小活动区域的面积，再求整个操场的面积。
你能求出A，B，C，D 四个区域的面积吗？请解释你的运算过程。
108第八章 整式的乘除
操作·交流
（1）你能计算 abc·b 2 c，3x 2 y·2xy 3，5a 2 b 2·（-2ab）吗？
（2）一般地，如何进行单项式乘单项式的运算？与同伴进行交流。
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其
余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
例1 计算：
1
（1）2xy 2· xy； （2）-2a 2 b 3·（-3a）；
3
1
（3）7xy 2 z·（2xyz）2； （4）（-3ab）· a 2 c·（-2abc 3）。
3
1 1 2
解：（1）2xy 2· xy =（2× ）·（xx）·（y 2 y）= x 2 y 3；
3 3 3
（2）-2a 2 b 3·（-3a）=［（-2）×（-3）］·（a 2 a）·b 3 = 6a 3 b 3；
（3）7xy 2 z·（2xyz）2 = 7xy 2 z·4x 2 y 2 z 2
= （7×4）·（xx 2）·（y 2 y 2）·（zz 2）= 28x 3 y 4 z 3；
1 1
（4）（-3ab）· a 2 c·（-2abc 3）=（-3）× ×（-2）·ab·a 2 c·abc 3
3 3
= 2a 3 bc·abc 3 = 2a 4 b 2 c 4。
观察·思考
1
如图 8-2，一幅边长为 a m 的正方形风景画，上、下各留有宽为 a m 的
4
长方形空白区域做装饰，中间画面的面积是多少平方米？
图 8-2
109数 学 六年级 下册
随堂练习
1．计算：
（1）5x 3·2x 2 y； （2）-3ab·（-4b 2）；
（3）3ab·2a； （4）yz·2y 2 z 2；
1
（5）（2x 2 y）3·（-4xy 2）； （6） a 3 b·6a 5 b 2 c·（-ac 2）2。
3
习题 8.2.1
知知识识技技能能
1．下面计算是否正确？如有错误，请改正。
（1）3x 3·（- 2x 2）= 5x 5； （2）2a3·8a3= 16a 3；
（3）（- b 5）·3b2= -3b 10。
2．计算：
（1）4xy·（- 2xy 3）； （2）a3b·ab5c；
2 5
（3）2x 2 y·（- xy）2； （4） x 2 y 3· xyz；
5 8
（5）（- xy 2 z 3）·（- x 2 y）3； （6）（- ab3）·2abc2·（a2c）3。
3．已知（mx 3）·（2xk）= -8x 18，求 m，k 的值。
问题解决
4．（1）一家住房的部分结构如图所示（单位：m），这家
房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，
至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价
格是 a 元 / 平方米，那么购买所需地砖至少需要多
少元？
（2）已知（1）中房屋的高度为 h m，现需要在客厅和
（第 4 题）
卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米
的壁纸？如果某种壁纸的价格是 b 元 / 平方米，那么购买所需壁纸至
少需要多少元（计算时不扣除门、窗所占的面积）？
110第八章 整式的乘除
尝试·思考
（1）如图 8-3，在计算操场面积的问题中，如何计算 A，B 组成的长方形
区域的面积？你是怎么计算的？与同伴进行交流。
图 8-3
（2）小明认为，这个长方形的面积既可以表示为 a（2b + 3a），也可以表
示为2ab + 3a 2，于是 a（2b + 3a）= 2ab + 3a 2。你能用运算律解释吗？
操作·交流
（1）你能计算 ab·（abc + 2x），c 2·（m + n - p），（x 2 y + xy 2）·（-xy）吗？
（2）一般地，如何进行单项式乘多项式的运算？与同伴进行交流。
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一
项，再把所得的积相加。
例2 计算：
2 1
（1）2ab（5ab 2 + 3a 2 b）； （2）（ ab 2 - 2ab）· ab；
3 2
（3）- 5m 2 n（2n + 3m- n 2）； （4）2（x + y 2 z + xy 2 z 3）·xyz。
解：（1）2ab（5ab 2 + 3a 2 b）
= 2ab·5ab 2 + 2ab·3a 2 b = 10a 2 b 3+ 6a 3 b 2；
2 1
（2）（ ab 2 - 2ab）· ab
3 2
2 1 1 1
= ab 2· ab +（- 2ab）· ab = a 2 b 3- a 2 b 2；
3 2 2 3
111数 学 六年级 下册
（3）- 5m 2 n（2n + 3m- n 2）
= - 5m 2 n·2n - 5m 2 n·3m - 5m 2 n·（- n 2）
= - 10m 2 n 2 - 15m 3 n + 5m 2 n 3；
（4）2（x + y 2 z + xy 2 z 3）·xyz
=（2x + 2y 2 z + 2xy 2 z 3）·xyz
= 2x·xyz + 2y 2 z·xyz + 2xy 2 z 3·xyz
= 2x 2 yz + 2xy 3 z 2 + 2x 2 y 3 z 4。
观察·思考
如图 8-4，一幅边长为 a m 的正方形风景画，左、右
1
各留有宽为 x m 的长方形空白区域做装饰，中间画面的
6
面积是多少平方米？
图 8-4
随堂练习
1．计算：
（1）a（a 2 m + n）； （2）b 2（b + 3a - a 2）；
1
（3）x 3 y（ xy 3 - 1）； （4）4（e + f 2 d）·ef 2 d。
2
习题 8.2.2
知识技能
1．计算：
（1）5x（2x 2 - 3x + 4）； （2） - 6x（x - 3y）；
1 2 1
（3）- 2a2（ ab + b2）； （4）（ x 2 y - 6 xy）· xy 2。
2 3 2
112第八章 整式的乘除
2．分别计算下面图中阴影部分的面积。
（1） （2）
（第 2 题）
第一章 | 整式的乘除
问题解决
3．请你用图形直观解释 a（b - c）= ab - ac 的几何意义。
如果某种壁纸的价格是 b 元 /m2，那么购买所需壁纸至少需要多少元
4．如图，每个图形是用棋子摆成的，按照这种摆法，第 n 个图形中共有多少
（计算时不扣除门、窗所占的面积）？
枚棋子？
6．下图是用棋子摆成的，按照这种摆法，第n个图形中共有多少枚棋子？
a b （第 c 4 题） d
（第6 题）
7．（1）观察：4i 6=24，14i 16=224，24i 26=624，34i 36=1224，……
你发现其中的规律了吗？你能用代数式表示这一规律吗？
（2）利用（1）中的规律计算124i 126。
尝试·交流
（3）你还能找到类似的规律吗？
（1）如何计算（2a + b）（a + 2b），（x + y）（x - 1），（a 2 - b 2）（a - b）？
你是联怎系么拓做广的？
※8．计（算2）：一( 般a +地 b， +如 c 何) ( 进c +行 d多 +项 e 式)。乘多项式的运算？与同伴进行交流。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的
每一项，再把所得的积相加。
113
017数 学 六年级 下册
例3 计算：
（1）（1 - x）（0.6 - x）；
（2）（2x + y）（x - y）。
解：（1）（1 - x）（0.6 - x）
= 1×0.6 - 1·x-x·0.6 + x·x
= 0.6 - x - 0.6x + x 2
= x 2 - 1.6x + 0.6；
（ 2）（2x + y）（x - y）
= 2x·x - 2x·y + y·x - y·y
= 2x 2 - 2xy + xy - y 2
= 2x 2 - xy - y 2。
观察·思考
如图 8-5，一幅长为 a m、宽为 b m 的长方形风景画，画面的四周留有空
白区域做装饰，其中四角均是边长为 x m 的正方形，正中间画面的面积是多少
平方米？
图 8-5
随堂练习
1．计算：
（1）（m + 2n）（m - 2n）； （2）（2n + 5）（n - 3）；
（3）（x + 2y）2； （4）（2x + b）（3x + d）。
114第八章 整式的乘除
习题 8.2.3
知识技能
1．计算：
3
（1）（x + y）（a + 2b）； （2）（2a + 3）（ b + 5）；
2
（3）（2x + 3）（- x - 1）； （4）（- 2m - 1）（3m - 2）；
（5）（x - y）2； （6）（- 2x + 3）2。
问题解决
2．（1） 观察：4×6 = 24，14×16 = 224，24×26 = 624，34×36 = 1 224，…
你发现其中的规律了吗？你能用代数式表示这一规律吗？
（2）利用（1）中的规律计算124×126。
（3）你还能找到类似的规律吗？请举例说明。
联系拓广
3．如图，AB = a，P 是线段 AB 上一点，分别以 AP，
BP 为边作正方形。
（1）设 AP = x，求两个正方形的面积之和 S；
1 1
（2）当 AP 分别为
3
a 和
2
a 时，比较 S 的大小。 A P B
※4．计算：（a + b + c）（c + d + e）。 （第 3 题）
115数 学 六年级 下册
例4 计算：
（1）（a + b）（a2 - ab + b2）；
（2）（x - 1）（2x 2 - x + 1）。
解：（1）（a + b）（a2 - ab + b2）
= a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3
= a3 + b3；
（2）（x - 1）（2x 2 - x + 1）
= 2x 3 - x 2 + x - 2x 2 + x - 1
= 2x 3 - 3x 2 + 2x - 1。
例5 解方程：2x（3x - 5）-（2x - 3）（3x + 4）= 3（x + 4）。
解：利用多项式乘法法则，得
（6x 2 - 10x）-（6x 2 + 8x - 9x - 12）= 3x + 12。
去括号，得
6x 2 - 10x - 6x 2 - 8x + 9x + 12 = 3x + 12。
移项、合并同类项，得
- 12x = 0。
所以
x = 0。
随堂练习
1．计算：
（1）（a + b）（a2 - b2）； （2）（2x - 1）（x 2 - x + 2）；
（3）（x - y）（x 2 + xy + y 2）； （4）（2x + 3）（x 2 - x）。
2．解方程：（x - 3）（x + 2）= x 2 - 16。
116第八章 整式的乘除
习题 8.2.4
知识技能
1．计算：
（1）（x + 1）（x 2 - 2x + 3）；
（2）（3a + b）（2a2 - b2）；
（3）（3x + 2）（2x - 1）（x - 1）；
（4）（x + 2）（2x 2 - 5x - 3）- 2x（x 2 - 1）。
2．先化简，再求值：
3
（x + 1）（x 2 - x + 1）+（x - 2）（x 2 + 2x + 4），其中 x = - 。
2
3．解方程：
（1）（x + 1）（2x - 3）-（x - 1）（x + 2）= x 2 + 7；
（2）（2x + 1）（4x 2 - 2x + 1）- 2x（4x 2 + 1）= 0。
问题解决
4．某学校准备在一块长为（2a+3b）m、宽为（a+2b）m的长方形空地上修建
一块长为（2a+b）m、宽为（3b-a）m的长方形草坪，四周铺设地砖（阴
影部分）。
（1）求铺设地砖的面积（用含 a，b 的式子表示，结果化为最简）；
（2）若 a = 2，b = 1，铺设地砖的成本为 80 元/平方米，则完成铺设需要多
少钱？
（第 4 题）
117
b2+a
2a+b
2a+3b
a-b3数 学 六年级 下册
3
乘法公式
计算下列各题：
（1）（x + 2）（x - 2）； （2）（1 + 3a）（1 - 3a）；
（3）（x + 5y）（x - 5y）； （4）（2y + z）（2y - z）。
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现。
平方差公式 （a + b）（a - b）= a2 - b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
例1 利用平方差公式计算：
（1）（5 + 6x）（5 - 6x）； （2）（x - 2y）（x + 2y）；
（3）（-m + n）（-m - n）。
解：（1）（5 + 6x）（5 - 6x）= 52 -（6x）2 = 25 - 36x 2；
（2）（x - 2y）（x + 2y）= x 2 -（2y）2 = x 2 - 4y 2；
（3）（-m + n）（-m - n）=（-m）2 -n 2 = m 2-n 2。
例2 利用平方差公式计算：
1 1
（1）（- x - y）（- x + y）；（2）（ab + 8）（ab - 8）。
4 4
1 1 1 1
解：（1）（- x - y）（- x + y）=（- x）2 - y 2 = x 2 - y 2；
4 4 4 16
（2）（ab + 8）（ab - 8）=（ab）2 - 82 = a 2 b 2 - 64。
尝试·思考
如何计算（a - b）（-a - b） ？你是怎样做的？
118第八章 整式的乘除
随堂练习
1．下列各式中，哪些能用平方差公式计算？
（1）（2x - 3y）（3y + 2x）； （2）（a + b）（- a - b）；
1 1 1 1
（3）（2a - 3）（3a + 2）； （4）（ a - b）（- a - b）。
2 3 2 3
2．计算：
（1）（a + 2）（a - 2）； （2）（3a + 2b）（3a - 2b）；
（3）（-x - 1）（1 - x）； （4）（-4k + 3）（-4k - 3）。
习题 8.3.1
知识技能
1．计算：
（1）（3x + 7y）（3x - 7y）； （2）（0.2x - 0.3）（0.2x + 0.3）；
（3）（mn - 3n）（mn + 3n）； （4）（- 2x + 3y）（- 2x - 3y）；
1 1
（5）（- x - 2y）（- x + 2y）； （6）（5m - n）（- 5m - n）。
4 4
联系拓广
2．计算：
（1）（an + b）（an - b）； （2）（a + 1）（a - 1）（a 2 + 1）。
119数 学 六年级 下册
如图 8-6，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。
图 8-6 图 8-7
（1）请表示图 8-6 中阴影部分的面积。
（2）小颖将图 8-6 中的阴影部分拼成了如图 8-7 所示的长方形，如何表
示这个长方形的面积？
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
（4）对于图 8-6 阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？
例3 用平方差公式进行计算：
（1）103×97； （2）118×122。
解：（1）103×97 （2）118×122
=（100 + 3）×（100 - 3） =（120 - 2）×（120 + 2）
= 1002 - 32 = 1202 - 22
= 9 991； = 14 396。
例4 计算：
（1）a 2（a + b）（a - b）+ a 2 b 2； （2）（2x - 5）（2x + 5）-2x（2x - 3）。
解：（1）a 2（a + b）（a - b）+ a 2 b 2 （2）（2x - 5）（2x + 5）-2x（2x - 3）
= a 2（a 2 - b 2）+ a 2 b 2 =（2x）2 - 52 -（4x 2 - 6x）
= a 4 - a 2 b 2 + a 2 b 2 = 4x 2 - 25 - 4x 2 + 6x
= a 4； = 6x - 25。
观察·思考
（1）计算下列各组算式：
7×9 = 11×13 = 79×81 =
120第八章 整式的乘除
8×8 = 12×12 = 80×80 =
（2）观察上述算式及其结果，你发现了什么规律？
（3）请用字母表示你发现的规律。
随堂练习
1．计算：
（1）704×696； （2）145×155。
2．计算：
（1）（x + 2y）（x - 2y）+（x + 1）（x - 1）；
1 1
（2）x（x - 1）-（x - ）（x + ）。
3 3
习题 8.3.2
知知识识技技能能
1．计算：
（1）（2m + 3）（2m - 3）；
（2）x（x + 1）+（2 - x）（2 + x）；
（3）（3x - y）（3x + y）+ y（x + y）；
1 1
（4）（a + b）（a - b）-（3a - 2b）（3a + 2b）。
2 2
问题解决
2．利用平方差公式计算：
（1）1 007×993； （2）108×112。
计算下列各式：
（1）（m + 3）2； （2）（2 + 3x）2。
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？你能再举一些类似的例子
吗？与同伴进行交流。
121数 学 六年级 下册
（a + b）2 = a2 + 2ab + b2。
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的 2 倍。
思考·交流
（1）你能用图 8-8 解释上面的公式吗？
（2）如何计算（a - b）2 ？你是怎样做的？与同伴进
行交流。
图 8-8
（a - b）2 = a2 - 2ab + b2。
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的 2 倍。
尝试·思考
请你设计一个图形解释这一公式。
平方差公式和完全平方
上面两个公式称为完全平方公式。 公式都是重要的整式乘
法公式。
例5 利用完全平方公式计算：
1
（1）（2x - 3）2； （2）（4x + 5y）2； （3）（ m - a）2。
2
解：（1）（2x - 3）2 =（2x）2 - 2·2x·3 + 32 = 4x 2 - 12x + 9；
（2）（4x + 5y）2 =（4x）2 + 2·4x·5y +（5y）2 = 16x 2 + 40xy + 25y 2；
1 1 1
（3）（ m - a）2 =（ m）2 - 2· m·a + a 2
2 2 2
1
= m 2- ma + a 2。
4
回顾·反思
回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪
些感悟？
122第八章 整式的乘除
随堂练习
1．计算：
1 1
（1）（5 - 3x）2； （2）（ x - 2y）2； （3）（2y + x）2。
2 5
2．已知 a + b = -3，求 2a 2 + 4ab + 2b 2 的值。
阅读·思考
杨辉三角形（又称贾宪三角形）
我们已经知道（a + b）2 展开后等于 a 2 + 2ab + b 2，请你利用多项式乘法法
则将（a + b）3 展开。进一步，你能展开（a + b）4，（a + b）5 吗？你一定发现
解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！
如果将（a + b）n（n 为非负整数）的每一项按字母 a 的次数由大到小排
列，就可以得到下面的等式：
（a + b）0 = 1，它只有一项，系数为 1；
（a + b）1 = a + b，它有两项，系数分别是 1，1；
（a + b）2 = a 2 + 2ab + b 2，它有三项，系数分别是 1，2，1；
（a + b）3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3，它有四项，系数分别是 1，3，3，1。
如果将上述每个式子的各项系数排成如图 8-9 的三角
形，那么你能发现什么规律？
观察图 8-9 的三角形，可以发现每一行的首末都是1，
并且下一行的数比上一行多 1 个，中间各数都写在上一行两
图8-9
数的中间，且等于它们的和。按照这个规律继续写下去：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……
123数 学 六年级 下册
你能根据这个三角形得到（a + b）4，（a + b）5
的结果吗？利用多项式乘法法则验证你的结果是否
正确。
我国北宋数学家贾宪首先发现这个三角形（约
1050 年），南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书
中对此曾有记载（1261 年）。西方称这个三角形为帕
斯卡三角形，而帕斯卡（B. Pascal，1623—1662）是
1654 年发现这个三角形的，比杨辉要迟 393 年，比
贾宪迟 600 多年。
图 8-10
习题 8.3.3
知识技能
1．计算：
1 1
（1）（2x + 5y）2； （2）（ m - ）2； （3）（- 2t - 1）2；
3 2
1 1 1
（4）（ x + y）2； （5）（7ab + 2）2； （6）（- cd + ）2。
5 10 2
2．一个圆的半径为 r（r＞2）cm，半径减少 2 cm 后，这个圆的面积减少了
多少？
联系拓广
3．观察下列各式：152 = 225，252 = 625，352 = 1 225，…。
个位数字是 5 的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？为什
么？你还能找到类似的规律吗？请举例说明。
※4 ．计算：（a + b + c）2。
124第八章 整式的乘除
怎样计算 1022，1972 更简单呢？
1100222 =（100 + 2）2 1972 =（200 - 3）2
= 1002 + 2×100×2 + 22 = 2002 - 2×200×3 + 32
= 10 000 + 400 + 4 = 40 000 - 1 200 + 9
= 10 404； = 38 809。
小明
你是怎样做的？与同伴进行交流。
例6 计算：
（1）（x + 3）2 - x 2； （2）（a + b + 3）（a + b - 3）；
（3）（x + 5）2 -（x - 2）（x - 3）； （4）［（a + b）（a - b）］2。
解：（1）（x + 3）2 - x 2 （2）（a + b + 3）（a + b - 3）
= x 2 + 6x + 9 - x 2 =［（a + b）+ 3］［（a + b）- 3］
= 6x + 9； =（a + b）2 - 32
= a 2 + 2ab + b 2 - 9；
（3）（x + 5）2 -（x - 2）（x - 3） （4）［（a + b）（a - b）］2
= x 2 + 10x + 25 -（x 2 - 5x + 6） =（a 2 - b 2）2
= x 2 + 10x + 25 - x 2 + 5x - 6 = a 4 - 2a 2 b 2 + b 4。
= 15x + 19；
观察·思考
观察图 8-11，你认为（m + n）×（m + n）点阵中的点数与 m × m 点阵、n
×n 点阵中的点数之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。
图 8-11
125数 学 六年级 下册
随堂练习
1．利用整式乘法公式计算：
（1）962； （2）（a - b - 3）（a - b + 3）。
习题 8.3.4
知识技能
1．计算：
（1）（2x + y + 1）（2x + y - 1）；
（2）（x - 2）（x + 2）-（x + 1）（x - 3）；
（3）（ab + 1）2 -（ab - 1）2；
（4）（2x - y）2 - 4（x - y）（x + 2y）。
问题解决
2．利用完全平方公式计算：
（1）632； （2）9982。
3．一个底面是正方形的长方体，高为 6 cm，底面正方形边长为 5 cm。如果它
的高不变，底面正方形边长增加 a cm，那么它的体积增加多少？
4．借助几何图形可以直观解释平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是
否也可以用几何图形直观解释呢？请举例说明。
联系拓广
5．计算：（a - b）3。
126第八章 整式的乘除
4
整式的除法
计算下列各式，说说你的理由。
（1）（x 5 y）÷x 2；
（2）（8m 2 n 2）÷（2m 2 n）； 除法是乘法的
逆运算。
（3）（a 4 b 2 c）÷（3a 2 b）。
思考·交流
如何进行单项式除以单项式的运算？与同伴进行交流。
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于
只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例1 计算：
3
（1）（- x 2 y 3）÷（3x 2 y）； （2）（10 a4b3c2）÷（5a3bc）；
5
（3）（2x 2 y）3·（- 7xy 2）÷（14x 4 y 3）； （4）（2 a + b）4÷（2 a + b）2。
3 3 1
解：（1）（- x 2 y 3）÷（3x 2 y）=（- ÷3）x 2 - 2 y 3 - 1 = - y 2；
5 5 5
（2）（10a4b3c2）÷（5a3bc）=（10÷5）a4 - 3b3 - 1c2 - 1 = 2ab2c；
（3）（2x 2 y）3·（- 7xy 2）÷（14x 4 y 3）= 8x 6 y 3·（- 7xy 2）÷（14x 4 y 3）
= ［8×（- 7）÷14］x 6+1-4 y 3+2-3
= - 4x 3 y 2；
（4）（2a + b）4÷（2a + b）2 =（2a + b）4 - 2 =（2a + b）2 = 4a2 + 4ab + b2。
127数 学 六年级 下册
观察·思考
如图 8-12，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，三
个球的体积之和占整个盒子容积的几分之几？
图 8-12
随堂练习
1．计算：
1 1
（1）（2a 6 b 3）÷（a 3 b 2）； （2）（ x 3 y 2）÷（ x 2 y）；
48 16
（3）（3m 2 n 3）÷（mn）2； （4）（2x 2 y）3÷（6x 3 y 2）。
习题 8.4.1
知识技能
1．计算：
（1）（- 2r2s）2 ÷（4rs2）； （2）（5x 2 y 3）2 ÷（25x 4 y 5）；
（3）（x + y）3 ÷（x + y）； （4）（7a5b3c5）÷（14a2b3c）。
2．计算：
2
（1）（8a4b3c）÷（2a2b3）·（- a3bc2）；
3
（2）（3x 2 y）2·（- 15xy 3）÷（- 9x 4 y 2）。
1
3．把左圈里的单项式分别除以 xy 2，将所得的商写在右圈相应的位置上。
2
1
÷（ xy2）
2
x4y3
- 6x2y2z
1
xy4z2
3
3
（xy）2
2
（第 3 题）
128第八章 整式的乘除
问题解决
4．我们都知道“先看见闪电，后听见雷声”，那是因为在空气中光的传播速
度比声音快。科学家们发现，光在空气中的传播速度约为 3×108 m/s，而
声音在空气中的传播速度约为 340 m/s。在空气中光的传播速度是声音的
多少倍？
5．一圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面直径为 a，高为 b。又知另一长方体
形容器底面的长为 b，宽为 a。若把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中
（水不溢出），水面的高度是多少？
尝试·思考
计算下列各式，说说你的理由。
（1）（ad + bd）÷d；
（2）（a 2 b + 3ab）÷a；
（3）（xy 3 - 2xy）÷（xy）。
思考·交流
如何进行多项式除以单项式的运算？与同伴进行交流。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再
把所得的商相加。
例2 计算：
（1）（6ab + 8b）÷（2b）； （2）（27a3 - 15a2 + 6a）÷（3a）；
1 1
（3）（9x 2 y - 6xy 2）÷（3xy）； （4）（3x 2 y - xy 2 + xy）÷（- xy）。
2 2
解：（1）（6ab + 8b）÷（2b）
=（6ab）÷（2b）+（8b）÷（2b）
= 3a + 4；
129数 学 六年级 下册
（2）（27a3 - 15a2+ 6a）÷（3a）
=（27a3）÷（3a）-（15a2）÷（3a）+（6a）÷（3a）
= 9a2 - 5a + 2；
（3）（9x 2 y - 6xy 2）÷（3xy）
=（9x 2 y）÷（3xy）-（6xy 2）÷（3xy）
= 3x - 2y；
1 1
（4）（3x 2 y - xy 2 + xy）÷（- xy）
2 2
1 1 1 1
= -（3x 2 y）÷（ xy）+（xy 2）÷（ xy）-（ xy）÷（ xy）
2 2 2 2
= - 6x + 2y - 1。
尝试·思考
有如图 8-13 所示的一座小山，小明在上山时，第一阶段的平均速度为v，
1
所用时间为 t ；第二阶段的平均速度为 v，所用时间为 t 。下山时，小明的平
1 2 2
均速度为4v。已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了
多长时间？
4
1 v v
2
v
图 8-13
随堂练习
1．计算：
（1）（3xy + y）÷y； （2）（ma + mb + mc）÷m；
（3）（6c 2 d - c 3 d 3）÷（- 2c 2 d）； （4）（4x 2 y + 3xy 2）÷（7xy）。
130第八章 整式的乘除
习题 8.4.2
知识技能
1．计算：
（1）（5 m2n2 - 6 m2）÷（3m）；
（2）（6a2b - 5a2c 2）÷（- 3a2）；
（3）（16x 4 + 4x 2 + x）÷x；
（4）（3a2b - 2ab + 2ab2）÷（ab）；
（5）（- 4a3 + 6a2b3+ 3a3b3）÷（- 4a2）；
2 1 2
（6）（ mn3 - m2n2 + n4）÷（ n2）；
5 6 3
1 1 1 1
（7）（ xy 2 + y 2 - y）÷（ y）；
10 4 2 5
（8）［（x +1）（x + 2）- 2］÷ x 。
问题解决
2．如图，图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图
（2）这样的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子？（单位：cm）
输入m
平方
+ m
÷m
-1
（1）瓶子 （2）杯子 输出
（第 2 题） （第 3 题）
联系拓广
3．任意给一个非零数，按如图所示的程序进行计算，写出输出结果。
131数 学 六年级 下册
回顾与思考
1．本章先学习幂的运算再学习整式的乘法，对于这样的顺序你是如
何理解的？
2．举例说明如何进行幂的相关运算，你是怎样得到这些运算法则的？
3．举例说明如何进行整式的乘法运算。
4．整式乘法公式有哪些？它们的特点是什么？
5．举例说明如何利用几何图形解释整式乘法公式。
6．举例说明如何进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算。
7．用自己的方式梳理本章的知识结构，你是怎样想的？与同伴进行
交流。
复习题
知识技能
1．计算：
3 3
（1）（- ）2·（- ）3； （2）（a - b）3·（a - b）4；
5 5
1 1
（3）（- a 5）5； （4）（- x）7 ÷（- x）；
2 2
（5）（a + b）3÷（a + b）； （6）（- a 2·b）3；
（7）（- a）2·（a 2）2； （8）（y 2）3÷y 6；
（9）（- y）2·yn - 1（n >1）； （10）an + 1·an - 1（n >1）；
（11）am + 2÷am + 1； （12）（- c 2）2n。
2．计算：
（1）105÷10- 1×100； （2）16×2- 4；
1 1
（3）（ ）0÷（- ）- 2； （4）54÷52×5。
3 3
132第八章 整式的乘除
3．一个正方体的棱长为 2×102 mm。
（1）它的表面积是多少平方米？ （2）它的体积是多少立方米？
4．计算：
（1）（x + a）（x + b）； （2）（3x + 7y）（3x - 7y）；
（3）（3x + 9）（6x + 8）； （4）（ 1 x 2 y - 2xy + y 2）·3xy；
2
1
（5） a 2 b 3·（ - 15a 2 b 2）； （6）（x+2）2 -（x + 1）（x - 1）；
3
（7）（a 2 bc）2÷（ab 2 c）； （8）（3mn + 1）（3mn - 1） - 8m 2 n 2；
（9）［（3a + b）2 - b 2］÷ a； （10）（4 a 3 b - 6 a 2 b 2 +12 ab 3）÷（2ab）。
5．计算：
（1）107÷（103÷102）； （2）（x - y）3·（x - y）2·（y - x）；
（3）4×2n×2n - 1（n > 1）； （4）（ - x）3·x 2n - 1 + x 2n·（- x）2；
（5）（y 2·y 3）÷（y·y 4）； （6）x 2·x 3 + x 7÷x 2；
（7）m 5÷m 2·m； （8）a 4 +（a 2）4 - （a 2）2。
6．计算：
（1）（2x 2）3 - 6x 3（x 3 + 2x 2 + x）； （2）（x + y + z）（x + y - z）；
（3）［（x + y）2 -（x - y）2］÷（2xy）；（4）a 2（a + 1）2 - 2（a 2 - 2a + 4）。
7．求下列各式的值：
3 1 2
（1）3x 2 +（- x + y 2）（2x - y），其中 x = 2，y = - 1；
2 3 3
1
（2）［（xy + 2）（xy - 2）- 2x 2 y 2 + 4］÷（xy），其中 x = 10，y = - ；
25
1
（3）x（x + 2y）-（x + 1）2 + 2x，其中 x = ，y = - 25。
25
8．利用整式乘法公式计算：
（1）2 0012； （2）2 001×1 999； （3）992 - 1。
9．利用整式乘法公式计算：
（1）899 × 901 + 1； （2）1232 - 124×122。
133数 学 六年级 下册
10．把左圈里的整式分别乘（a + 2b），将所得的积写在右圈相应的位置上。
（第 10 题）
11．分别计算图中阴影部分的面积。
（1） （2）
（第 11 题）
问题解决
12．将一张正方形纸片对折 1 次变为 2 层，对折 2 次变为 4 层。如果将一张纸
片先对折 5 次，再继续对折 n 次，共有多少层？你还能提出什么问题？
13．如图，4 个长为 a、宽为 b 的小长方形围成了一个大正方形，请用不同方
法计算阴影部分的面积。你能得到怎样的等式？请验证它的正确性。
（第 13 题）
134第八章 整式的乘除
14．请在下列横线上填上适当的式子：
（1）（ + 3b）（2a - 3b）= 4a 2 - ；
（2）（2x + ）2 = + 20xy + ；
（3）（x + 2）（x + ）= x 2 + x + 2；
（4）（ + 4y）（x + 2y）= 3x 2 + xy + 8y 2。
15．如图，我国自主研发的 500 m 口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天
眼”之称，它的反射面面积约为 2.5×105 m2；一个 11 人制标准足球场的
面积约为 7.14×103 m2。“中国天眼”的反射面面积大约相当于多少个 11
人制标准足球场的面积（结果精确到 1 个）？
（第 15 题）
16．某种原子质量为 0.000 000 000 000 000 000 000 019 93 g。
（1）你能用科学记数法把它表示出来吗？
1
（2）科学上把这个数量的 定为 1 个原子质量单位，并用符号 u 来表示。
12
请你用科学记数法把 u 表示出来。
17．请分别准备几张如图所示的长方形或正方形卡片，用它们拼一些新的长方
形，并计算新长方形的面积。试从中选取几张卡片，用它们拼成一个面
积为（2a 2 + 3ab）的长方形。
（第 17 题）
135数 学 六年级 下册
18．请在图中指出面积为（a + 3b）2 的图形，并指出图中有多少个边长为 a 的
正方形，有多少个边长为 b 的正方形，有多少个两边分别为 a 和 b 的长方形，
然后用相应的公式进行验证。
（第 18 题）
联系拓广
19．两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等
吗？若不相等，相差多少？
20．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，
在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星
体。如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大
坍缩。当这种坍缩使得它的半径达到施瓦西（Schwarzschild）半径后，
其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看
2 GM
不见的星体——黑洞。施瓦西半径（单位：m）的计算公式是 R = ，
c2
其中 G = 6.67×10- 11 N·m2/kg2，为万有引力常数；M 表示星球的质量（单
位：kg）；c = 3×108 m/s，为光在真空中的速度。
已知太阳的质量为 2×1030 kg，计算太阳的施瓦西半径。
21．整式乘法运算的研究思路是什么？整式乘法运算与幂的运算、数的运算之
间有什么联系？请撰写一篇小短文阐述你的观点。
136第九章
变量之间的关系
生活中，一个量随着另一个量的变化而变化的现象大
量存在。例如：我国国内生产总值（GDP）随年份的变化
而变化；青春期男女生的平均身高随着年龄的变化而变化；
三角形的高确定时，它的面积随着底边长的变化而变化。
研究变量之间的关系，将有助于我们更好地了解自己、认
识世界和预测未来。
本章将初步研究生活中变量之间的依存关系，你将从
简单情境中抽象出变量及变量之间的关系，并用不同方式
予以表达，进而尝试对变化趋势进行简单预测，感悟用数
学的眼光观察现实世界的意义，发展抽象能力等。
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
我们为什么要研究变量之间的关系？用数学的方
式表示这些关系有什么意义？
变量之间的关系的不同表示方式各有什么特点？
又有什么联系？数 学 六年级 下册
1
现实中的变量
汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽
车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离。
（1）这段说明中有哪些量？
（2）车辆制动初速度变化时，其他量会随着发生变化吗？
（3）下表呈现了一辆汽车在某种路面情况下的部分刹车实验数据，你能
描述制动距离随制动初速度的变化而变化的情况吗？
制动初
速度v/ 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
（km/h）
制动距
1.40 3.60 6.42 9.96 14.79 19.59 25.58 32.37 39.98 48.37 57.57 67.65 78.36
离s/m
尝试·思考
1．某海域海水的压强 p（单位：Pa）与水深 h（单位：m）之间的关系满
足：p = 9.8 ρh（其中 ρ 为海水的密度，通常为1.03×103 kg / m 3）。
（1）这个情境中有哪些量？
（2）随着水深 h 的变化，其他量会发生变化吗？
2．图 9-1 反映了一个蔬菜大棚某日 18：00 到次日 18：00 棚内温度和棚外
温度的变化情况。
时间
图 9-1
138第九章 变量之间的关系
（1）这个情境中有哪些量？
（2）你能描述这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化而变化的情况吗？棚
外温度呢？
（3）你还有哪些发现？与同伴进行交流。
上面情境中有许多变化的量，如制动距离、制动初速度、海水的压强、
水深、棚内温度、棚外温度、时间等，它们都是变量（variable）。其中，制
动距离随制动初速度的变化而变化，海水的压强随水深的变化而变化，棚内
温度、棚外温度随时间的变化而变化。制动初速度、水深、时间称为自变量
（independent variable）。制动距离、海水的压强、棚内温度、棚外温度称为
因变量（dependent variable）。
一定海域内，在海水的压强随水深变化而变化的过程中，海水的密度保
持不变。像这种在变化过程中数值始终不变的量称为常量（constant）。
思考·交流
举出生活中包含变量的例子，描述变量之间的关系，并与同伴进行交流。
随堂练习
1．下列情境中有哪些变量？其中，哪些是自变量，哪些是因变量？
（1）地表以下岩层的温度 y（单位：℃）随所处深度 x（单位：km）
的变化而变化，在某地 y 与 x 之间的关系可以近似地表示为 y =
35x + 20。
（2）根据全国人口普查结果，1982 — 2020 年全国总人口的变化情况
如下（精确到 0.01 亿人）：
时间 / 年 1982 1990 2000 2010 2020
人口 / 亿人 10.32 11.60 12.95 13.71 14.43
139数 学 六年级 下册
习题 9.1.1
知识技能
1．某港口某日从 13：00 到 19：00 水深变化的情况如图所示。
（1） 图中反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因
变量？
（2）你能描述水深随时间的变化而变化的情况吗？
时间
（第 1 题）
140第九章 变量之间的关系
问题解决
2．在某些情况下，可以按照体表面积计算用药剂量。有一种针对体重在 30 kg
以下儿童的计算方法：
儿童体表面积（单位：m 2）= 0.035×体重（单位：kg）+ 0.1，
某种药儿童用药剂量=该药成人用药剂量×儿童体表面积÷1.73。
（1）这个情境中有哪些变量？变量之间有什么关系？
（2）有一种药物，成人每次用药剂量为1 g。按照上述方法，体重为15 kg的
儿童每次用药剂量大约是多少？
如图 9-2，三角形 ABC 底边 BC 上的高是 6 cm。当三角形的顶点 C 沿底边
所在直线向点 B 运动时，三角形的面积发生了变化。
图 9-2
141
mc
6
2
用关系式表示变量之间的关系
C C C
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？底边长减小时三角
形的面积是如何变化的？
（2）如果三角形的底边长为 x（单位：cm），那么三角形的面积 y（单
位：cm2）如何表示？数 学 六年级 下册
图 9-3
观察·思考
如图 9-4，圆锥的高是 4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的
体积也随之发生了变化。
图 9-4
142
mc
4
（3）在这个变化过程中，取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定吗？与
同伴进行交流。
y = 3x 表示了图 9-2 中三角形底边长 x 和面积 y 之间的关系，它是变量 y
随 x 变化的关系式。关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法。如图
9-3，利用关系式（如 y = 3x），我们可以根据自变量的任何一个值求出相应的
因变量的值。
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？底面半径增大时，
圆锥的体积是如何变化的？
（2）如果圆锥的底面半径为 r（单位：cm），那么圆锥的体积 V（单位：cm 3）
如何表示？
（3）在这个变化过程中，取定一个底面半径 r 的值，体积 V 的值能确
定吗？第九章 变量之间的关系
尝试·交流
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能
量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式。
一些常见的二氧化碳排放量计算公式如下表所示：
二氧化碳排放量/kg 计算公式
家居用电 用电量（单位：kW·h）×0.785
开私家车 耗油量（单位：L）×2.7
家用天然气 用气量（单位：m3）×0.19
家用自来水 用水量（单位：m3）×0.91
（1）你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗？其中的字母
表示什么？
（2）随着耗电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的？与同伴进行
交流。
（3）当耗电量为 100 kW·h 时，二氧化碳的排放量为多少？
（4）小明家本月大约用电 110 kW·h、耗油75 L、天然气 20 m 3、自来
水 5 m 3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量。
随堂练习
1．在地球某地，气温 T（单位：℃）与海拔 d（单位：m）之间的关系
d
可以近似地用 T = 10 - 表示。根据这个关系式，计算 d 值分别是
150
0，200，400，600，800，1 000 时相应的 T 值，并用表格表示所得
结果。
2．仿照“尝试·交流”中的（2），你能说一说家用自来水二氧化碳排
放量随自来水使用量的变化而变化的情况吗？
143数 学 六年级 下册
阅读·思考
地球内部的温度
地球的内部是由不同状态、不同物质的圈层所构成的，由外向内分别是
地壳、地幔和地核。你知道地球内部的温度有多高吗？
地壳的厚度约为 8 km 至 40 km 。在地表以下不太深的地方，温度可
按 y = 35x + t 计算，其中 x（单位：km）是深度，t（单位：℃）是地球表面
温度，y（单位：℃）是所达深度的温度。
地幔的厚度约为 2 900 km，温度约为 900 ℃ 至 2 200 ℃。
地核分为外核和内核两部分，外核的厚度约为 2 300 km，温度约为 2 200 ℃
至 5 000 ℃；内核的厚度约为 1 300 km，温度约为 5 000 ℃。哇！那该有多热
啊！然而奇怪的是，在地核的外核部分，物质处于一种熔融状态，但是在地核
的内核部分，物质反而呈固态。
习题 9.2.1
知知识识技技能能
1．如图，圆锥的底面半径是 2 cm，当圆锥的高由小到大变
化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果圆锥的高为 h（单位：cm），那么圆锥的体积V
（单位：cm 3）如何表示？
（第 1 题）
（3）当圆锥的高由 1 cm 变化到 10 cm 时，它的体积是如何变化的？
2．如图，梯形上底的长是 x cm，下底的长是 15 cm，高是
8 cm，面积是 y cm 2。
（1）写出 y 与 x 之间的关系式。
（2）用表格表示当 x 从 4 变到 14 时（每次增加 1），y 的
（第 2 题）
相应值。
（3）当 x 每增加 1 时，y 如何变化？说说你的理由。
（4）当 x = 0 时，y 等于什么？此时它表示的是什么？
144第九章 变量之间的关系
问题解决
3．计算你家本月的二氧化碳排放量，并与“尝试·交流”中小明家相应的项目
进行比较，谁家的生活更“低碳”些？你对家人有什么建议？
3
用表格表示变量之间的关系
你知道自己的反应时间是多少吗？如图 9-5，测
试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者
的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约
3 cm，与直尺的零刻度保持在同一水平面上。测试者
突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住下落的直
尺，手指所夹处的直尺刻度就是被测试者的反应距
离。不同的反应距离对应不同的反应时间，下表呈现
了部分反应距离及对应的反应时间：
图 9-5
反应距离 / cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
反应时间 / s 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.150 0.156 0.163 0.169 0.175
（1）反应距离为 10 cm 时，反应时间是多少？
（2）反应距离越大的人，其反应时间有什么特点？
（3）反应距离每增加 1 cm，反应时间的变化情况相同吗？
（4）小明和同桌实验测得的反应距离分别为 9.5 cm，18 cm，你能估计他
们的反应时间吗？你是怎样估计的？
（5）请你和同桌一起做一做上面的游戏，估计自己的反应时间。
145数 学 六年级 下册
观察·思考
2015 — 2022 年我国国内生产总值1的变化情况如下（精确到 1 万亿元）：
时间 / 年 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
GDP / 万亿元 69 75 83 92 99 101 114 121
（1）如果用 x 表示时间，y 表示我国国内生产总值，那么随着 x 的变化，
y 的变化趋势是什么？
（2）2015 — 2022 年我国国内生产总值是怎样变化的？
（3）根据表格，预测 2030 年我国国内生产总值。
借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
随堂练习
1．某农场发现每公顷（符号：hm2）钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆
的产量与氮肥施用量有如下关系：
每公顷氮肥
0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
施用量/ kg
每公顷土豆
15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
产量/t
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因
变量？
（2）当氮肥的施用量是 101 kg / hm2时，土豆的产量是多少？如果不
施氮肥呢？
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？
说说你的理由。
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。
1 数据均未包括香港特别行政区、澳门特别行政区和台湾省。
146第九章 变量之间的关系
习题 9.3.1
知知识识技技能能
1．我国私人轿车保有量1，2012 年为 5 308 万辆，2013 年为 6 410 万辆，2014
年为 7 590 万辆，2015 年为 8 793 万辆，2016 年为 10 152 万辆，2017 年为
11 416 万辆，2018 年为 12 589 万辆，2019 年为 13 701 万辆，2020 年为
14 674 万辆，2021 年为 15 732 万辆，2022 年为 16 685 万辆。用表格表示上
述数据，并说一说我国私人轿车保有量是怎样随时间推移而变化的。
2．婴儿在 6 个月、1 周岁、2 周岁时体重分别大约是出生时的 2 倍、3 倍、4
倍，6 周岁、10 周岁时体重分别约是 1 周岁时的 2 倍、3 倍。
（1）上述的哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
（2）某婴儿出生时的体重是 3.5 kg，请把他在发育过程中体重的大体情况
填入下表：
年龄 出生时 6 个月 1 周岁 2 周岁 6 周岁 10 周岁
体重 / kg
（3）根据（2）中表格的数据，说一说这名儿童从出生到 10 周岁期间体重
是怎样随年龄增长而变化的。
问题解决
3．某科技小组在老师指导下积极开展科技实践活动。他们在课余时间找了几
副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏
正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小。
此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据：
老花镜的度数 D / 度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离 f / m 1 0.8 0.5 0.4 0.3
（1）观察表中的数据，你发现了什么？
（2）如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为 0.7 m，那
么你估计这副老花镜的度数是多少？
1 数据均未包括香港特别行政区、澳门特别行政区和台湾省。
147数 学 六年级 下册
4．下面是有关海拔与空气含氧量之间的一组数据：
海拔 / m 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000
空气含氧量
299.30 265.50 234.80 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97
/（g / m3）
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因
变量？
（2）在海拔 0 m 的地方空气含氧量是多少？在海拔 4 000 m 的地方空气含氧
量是多少？
（3）你估计在海拔 5 500 m 的地方空气含氧量是多少？
4
用图象表示变量之间的关系
气温的变化，是人们经常谈论的话题。请你根据图 9-6，与同伴讨论某地
某天气温变化的情况。
（1）这一天 9 时的气温是
气温/℃
多少？12 时呢？
（2）图中的 A 点表示什
么？B 点呢？
（3）该地这一天的最低气
温是多少？是在何时达到的？
最高气温呢？这一天的温差是
多少？
（4）在什么时间范围内气
温下降？什么时间范围内气温
时间
上升？ 图 9-6
148第九章 变量之间的关系
图 9-6 表示了气温随着时间的变化而变化的情况，它是气温与时间之间
关系的图象。图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，图象法直观地反映
出变量之间的关系。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）
上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量。
观察·思考
图 9-7 呈现了某年某地日出、日落的情况。观察图象，回答下列问题：
日出时间 日落时间
月份 月份
图 9-7
（1）这一年日出时间最早大约是什么时候？最晚呢？日落时间呢？
（2）你能描述这一年此地日出和日落的变化情况吗？
随堂练习
1．海水受日月的引力而产生潮汐现象，早晨海水上涨称为潮，黄昏海
水上涨称为汐，合称潮汐。潮汐与人类的生活有着密切的联系。下
图呈现了某港口某天从 0：00 到 12：00 的水深情况。
时间
（第 1 题）
149数 学 六年级 下册
（1）什么时间港口的水最深？深度约为多少？
（2）什么时间港口的水最浅？深度约为多少？
（3）A，B 两点分别表示什么？还有什么时间水的深度与A 点所表示
的深度相同？
（4）在什么时间范围内港口水深减少？什么时间范围内港口水深增加？
（5）你能描述这个港口从 0：00 到 12：00 水深的变化情况吗？
阅读·欣赏
人的体温的变化
人的正常体温是 36.5 ℃ 左右，这是一个很粗略的说法。
你知道人的体温是随着时间的变化而变化的吗？一天之中，在 2：00 到
6：00 之间，人的体温最低；在 17：00 到 20：00 之间，人的体温最高。在正常
情况下，人体温度变化的幅度大约是 0.6 ℃。如果变化幅度超过 1 ℃，那可就
要考虑是否生病了。
另外，人的体温还存在一定的性别差异，女性比男性的体温要稍微
高一些。
读一读图 9-8，它可以帮助你更好地了解人体正常体温的变化情况。
体温
时间
图 9-8
150第九章 变量之间的关系
习题 9.4.1
知识技能
1．一位患者今天发烧了。他在早晨烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时
体温基本正常。但是下午他的体温又开始上升，直到夜里他才感觉体温基本
正常了。下面哪一幅图能较好地刻画出这位患者今天体温的变化情况？
时间 时间
（1） （2）
时间
时间
（3） （4）
（第 1 题）
问题解决
2．下图统计了张明某次体检时口服葡萄糖溶液后每隔30 min 测得的血糖浓度
（单位：mmol / L）：
（第 2 题）
151数 学 六年级 下册
（1）张明这次体检血糖浓度的最高值是多少？是何时达到的？最低值是
多少？
（2）张明这次体检的血糖浓度在哪个时间段上升得比较快？在哪个时间段
下降得比较快？
（3）你能描述张明这次体检口服葡萄糖溶液后 240 min 内血糖浓度的变化
情况吗？
3．如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘。德国心理学
家艾宾浩斯（Hermann Ebbinghaus，1850 — 1909）最早研究了记忆遗忘规
律。他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾
宾浩斯遗忘曲线。观察图象并回答下列问题：
（第 3 题）
（1）2 h 后，记忆保持了多少？
（2）图中 A 点表示的意义是什么？在哪个时间段内遗忘的速度最快？
（3）有研究表明，如及时复习，一天后能保持 98 %。根据遗忘曲线，如不
复习，结果又怎样？由此，你有什么感悟？
152第九章 变量之间的关系
每一辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当前的速度。如图 9-9，你知
道这辆汽车现在的速度是多少吗？
图 9-9 图 9-10
汽车在行驶过程中，速度往往是变化的。图 9-10 表示一辆汽车某次行程
中 24 min 内的速度情况。
（1）你能描述出 A 点表示的实际意义吗？B 点和 C 点呢？
（2）这辆汽车在行驶过程中的最高时速是多少？
（3）这辆汽车出发后 0 min 到 2 min 内速度是怎样变化的？在哪个时间段
内保持匀速行驶？
（4）你能描述这辆汽车在这次行程中 24 min 内速度的变化情况吗？
尝试·思考
在上面的情境中，假设这辆汽车出发后 8 min 到 12 min 静止不动，然后用
6 min 加速到 90 km / h，再用 6 min 减速到静止，你能在图 9-11 中画出大致反
映这辆汽车的速度随着时间的变化而变化情况的图象吗？
图 9-11
153数 学 六年级 下册
例 小明从家步行去小亮家，聊了一段时间后回家。小明和家的距离与
他离开家以后的时间之间的关系如图 9-12 所示，根据图象回答下列问题：
（1）小明用了多长时间步行到小亮家？小明家距小亮家多远？
（2）小明在小亮家停留了多长时间？回家用了多长时间？
（3）小明去小亮家和由小亮家回家的步行速度各是多少？
距离/ m
900
0 20 40 55 时间/ min
图 9-12
解：从图 9-12 中可以看出：
（1）小明步行到小亮家用了 20 min，小明家距小亮家 900 m；
（2）小明在小亮家停留了 20 min，回家用了 15 min；
900
（3）小明去小亮家的步行速度为 = 45（m/min）；
20
900
回家的速度为 = 60（m / min）。
15
随堂练习
1．柿子熟了，从树上落下来。下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下
落过程中（即落地前）的速度变化情况？
（1） （2） （3） （4）
（第 1 题）
154第九章 变量之间的关系
2．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶。
过了一段时间，汽车到达下一个车站。乘客上、下车后汽车开始加
速，一段时间后又开始匀速行驶。下面的哪一幅图可以近似地刻画
出汽车在这段时间内的速度变化情况？
（1） （2） （3） （4）
（第 2 题）
习题 9.4.2
知识技能
1．小华站在离家不远的公共汽车站等车。下面哪一幅图能较好地刻画等车这
段时间内他离家的距离与时间之间的关系？
（1） （2） （3） （4）
（第 1 题）
2．小明的爸爸饭后出去散步，从家走了 20 min 到一个离家 900 m 的公园，停
留了 10 min 后，用 15 min 返回家。下面哪一幅图表示爸爸离家的距离与时
间之间的关系？
（1） （2）
（第 2 题）
155数 学 六年级 下册
问题解决
3．小明与家人在一次户外骑行途中骑车速度与时间之间的关系如图所示，你
能想象出他们骑行途中的情境吗？
风速 /（km/h）
32
0 16 32 48 时间 / h
（第 3 题） （第 4 题）
4．某气象监测中心观测到一场沙尘暴从发生到结束的全过程，他们把风速随时
间的变化情况用上图表示出来。观察图象，你能得到哪些信息？
在一次赛跑中，甲、乙两名运动员所跑的路程 路程/m
和时间的关系如图 9-13 所示，从图中可以知道： 100
（1）这是一次 m 赛跑； 50
（2）甲、乙两人中先到达终点的是 ； 0
1212.5 时间/s
（3）甲、乙两人的速度分别是多少？ 图 9-13
尝试·思考
某人从 A 城出发，前往距离 A 城 30 km 的 B 城，现在有三种车供他选择：
① 自行车，其速度为 15 km / h；
② 摩托车，其速度为 30 km / h；
③ 汽车，其速度为 60 km / h。
（1）用哪些车能使他从 A 城到达 B 城的时间不超过 1 h？
（2）设此人在行进途中距离 B 城的路程为 s（单位：km），行进时间
为 t（单位：h），就（1）中所选出的方案，试写出 s 与 t 之间的关系式。
（3）根据（2）中提供的关系式，请用表格表示在 1 h 内每隔 10 min 距
离 B 城的路程 s 与时间 t 之间的关系。
156第九章 变量之间的关系
（4）在图 9-14 中，找出符合（2）中关系的图象。
s / km s / km
30 30
0 20 40 60 t / min 0 20 40 60 t / min
（A） （B）
s / km s / km s / km
30 30 30
0 20 40 60 t / min 0 20 40 60 t / min 0 20 40 60 t / min
（C） （D） （E）
图 9-14
回顾·反思
回顾本章的学习，我们可以用哪些不同的方式表示变量之间的关系？它
们有什么共同点和不同点？
随堂练习
1．如图，l ，l 分别表示 1 号、2 号两个探测气
1 2
球上升过程中所在位置的海拔 y（单位：m）
与上升时间 x（单位：min）之间的关系。根
据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）1 号、2 号两个探测气球出发时的海拔
分别为 ， ；
（第 1 题）
（2）出发 6 min 后，1 号、2 号两个探测气球
的海拔分别为 ， 。
157数 学 六年级 下册
2．下表列出了一项试验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高
度 b（单位：cm）与下落高度 d（单位：cm）的关系：
下落高度 d / cm 50 80 100 150
弹跳高度 b / cm 25 40 50 75
（1）下面的哪个式子能表示这种关系？（ ）
d
（A）b = d 2 （B）b = 2d （C）b =
2
（D）b = d + 25 （E）b = d - 25
（2）当皮球的下落高度为 180 cm 时，估计其弹跳高度。
习题 9.4.3
知识技能
1．如图是温度计的示意图，图中左边的刻度表示摄氏温度（单位：℃），右
边的刻度表示华氏温度（单位： ）。
℃
（1） 从图中所提供的信息，完成下表：
摄氏温度 x / ℃ … 0 10 …
华氏温度 y / … 68 …
（2）华氏温度 y 与摄氏温度 x 之间的关系式为（ ）。
9
（A）y = x + 32
5
（B）y = x + 40
5 （第 1 题）
（C）y = x + 32
9
9
（D）y = x + 31
5
158第九章 变量之间的关系
2．如图（1），线段 l 、l 分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中路
甲 乙
程 s（单位：km）与时间 t（单位：h）的关系，由此图你能得出什么结论？
如果 l 与 l 变为如图（2）所示的关系，你又能从图中读出什么信息？
甲 乙
s / km s / km
t / h t / h
（1） （2）
（第 2 题）
问题解决
3．一个游泳池的长为 50 m，甲、乙两人分别在游泳池相对的两边同时朝对面
一边游泳，甲的速度是 1 m/s，乙的速度是 0.5 m/s，图中的实线和虚线分别
为甲、乙与游泳池一边的距离随游泳时间的变化而变化的图象。若不计转
向的时间，则从开始时 400 s 内，他们相遇几次？
距离/m
50
0 50 100 150200 250 300 350 400 时间/s
（第 3 题）
159数 学 六年级 下册
回顾与思考
1．举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子。
2．我们可以用什么方法表示变量之间的关系？请举例说明。
3．你能根据各种表示变量之间关系的方法，对变量之间的关系进行
分析，从而作出预测吗？请举例说明。
4．用自己的方式梳理本章的知识结构，你是怎样想的？与同伴进行
交流。
复习题
知识技能
1．某地电视台用下面的图象向观众描绘了该地某一周日平均气温的变化情况：
平均气温
（第 1 题）
（1）图象表示的是哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因
变量？
（2）该地这一周哪一天的日平均气温最低？大约是多少？哪一天的日平均
气温最高？大约是多少？
（3）该地这一周14 日、15 日、16 日的日平均气温有什么关系？
（4）图中 A 点表示哪一天的日平均气温？大约是多少？
（5）说一说该地这一周日平均气温是怎样变化的。
160第九章 变量之间的关系
2．通常婴儿在1～6 个月生长发育得非常快，他们的体重 y（单位：g）和月龄
x（单位：月）之间的关系可以用 y = a + 700 x 来表示，其中 a 是婴儿出生时
的体重。已知某婴儿出生时的体重为 3 500 g，请完成下表：
x / 月 1 2 3 4 5 6
y / g
3．某快递公司同城快递的收费标准如下表（质量不足1 kg 按1 kg 计）：
质量 / kg 1 2 3 4 5
费用 / 元 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）随着质量的增加，快递费用是怎样变化的？
4．指出下列问题中的变量。其中，哪些量是自变量？哪些量是因变量？并写
出它们的关系式。
（1）列车以 240 km/h 的速度在铁路上行驶，所走路程 s（单位：km）与行
驶时间 t（单位：h）之间的关系式；
（2）铅笔的价格为每支 0.5 元，购买铅笔应付的款数 y（单位：元）和购买
支数 x（单位：支）之间的关系式。
5．下列情境分别可以用下面哪幅图来近似地刻画？
（1）一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）；
（2） 一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）；
（3） 足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；
（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）。
（第 5 题）
161数 学 六年级 下册
6．观察图象，请你大致描述青春期男女生平均身高的变化情况。
（第 6 题）
7．根据图象回答下列问题：
（第 7 题）
（1）图象反映了哪两个变量之间的关系？
（2） A，B 两点分别表示什么？
（3）速度是怎样随着时间的变化而变化的？
（4） 你能描述一个实际情境，大致符合这个图象所刻画的关系吗？
8．将一支温度计从一杯热茶中取出后，立即放入一杯凉水中。经过 5 s，10 s，
15 s，20 s，25 s，30 s，温度计的读数分别是 49.0 ℃，31.4 ℃，22.0 ℃，
16.5 ℃，14.2 ℃，12.0 ℃。
（1）用表格表示温度计的读数与时间的关系；
（2）根据表格，估计经过 35 s 温度计的读数。
162第九章 变量之间的关系
问题解决
9．为了检测甲、乙两个容器的保温性能，检测员在两个容器中装满相同温
度的水，每隔 5 min 测量一次两个容器中的水温（实验过程中室温保持不
变），最后根据记录的温度画成了如图所示的图象。观察图象，回答下列
问题：
（第 9 题）
（1）经过 1 h，哪个容器中的水温较高？
（2）你估计检测员实验时的室温可能是多少？
（3）你认为哪个容器的保温性能更好些？说说你的理由。
※ 10．分析如图反映的变量之间的关系，请赋予它一个实际情境。
（第 10 题）
11．请列举一些生活中用表格、关系式或图象表示变量之间关系的实例。
163数 学 六年级 下册
联系拓广
※1 2．如图是某自行车行驶路程与时间之间的关系，分别计算自出发起 2 h 内、3 h
内、6 h 内该自行车的平均速度。
（第 12 题）
13．如图呈现了大气压强与海拔之间的关系。
（第 13 题）
（1）根据图中的数据填写下表：
海拔 / m 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000
大气压强 / kPa
（2）随着海拔的变化，大气压强的变化趋势是怎样的？
164第九章 变量之间的关系
※1 4．学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组
早出发 10 min，经过 20 min 第一组抵达目的地。两组之间的距离 y（单
位：m）和第一组开始行走后的时间 x（单位：min）之间的关系如图
所示：
y/m
x/min
（第 14 题）
（1）你能大致描述两组之间的距离的变化情况吗？
（2）哪个时间段两组之间的距离在增加？哪个时间段两组之间的距离在
减少？
（3）第二组从出发到抵达目的地共用了多长时间？
15．某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运 20 kg 行
李，超出部分每千克按经济舱全票价的 1.5% 计费。张叔叔出差携带的行
李超过 20 kg，他这次乘坐经济舱的全票价为 2 000 元。设他携带的行李
为 x kg，需交的行李费用为 y 元。
（1）请写出 y 与 x 之间的关系式，并列表表示当 x 的值分别是21，22，
23，24，25，26，27，28 时 y 的值；
（2）若张叔叔希望托运行李的费用不超过 150 元，则他最多可携带的行
李为多少千克？
16．通过本章的学习，你对变量之间的关系有什么感悟？请以此为主题写一篇
小短文。
165数 学 六年级 下册
综 合
与 实 践
神奇的加密术
加密术是保障信息安全的一种方式，它的历史相当久远。你了解加密术
吗？你能设计一种加密方法吗？
感悟与理解
下面是两种古代加密方法。
（1）宋朝的曾公亮在《武经总要》中对 40 条军事短语进行了编码，出
征前约定一首无重复字的诗。出征后，如果想发出某项信息，如编码为 12 的
“请船”，只需发送约定诗中排序为第 12 的文字即可。
编码 短语 编码 短语 编码 短语 编码 短语
1 请弓 11 请车牛 21 贼多 31 被贼围
2 请箭 12 请船 22 贼少 32 贼围解
3 请刀 13 请攻城守具 23 贼相敌 33 战不胜
4 请甲 14 请添兵 24 贼添兵 34 战大胜
5 请枪旗 15 请移营 25 贼移营 35 战大捷
6 请锅幕 16 请进军 26 贼进兵 36 将士投降
7 请马 17 请退军 27 贼退军 37 将士叛
8 请衣赐 18 请固守 28 贼固守 38 士卒病
9 请粮料 19 未见贼 29 围得贼城 39 都将病
10 请草料 20 见贼讫 30 解围城 40 战小胜
（2）古罗马时期恺撒与将军约定：“把每个字母按顺序后移 3 位，最后三
个字母依次对应 A，B，C ”，以此来实现对信息的加密，如将“ARMY ”加
密成“ DUPB ”传递。
166综合与实践
请你完成下列任务：
1．按照上述两种加密方法，各加密一条信息并发送给其他同学破译。
2．交流加密与破译的经验，说说这两种加密方法各自的特点。
3．你认为可以从哪些角度设计加密术以增加破译难度？
设计与交流
1．以小组为单位，设计加密术，给出具体的加密方法。
2．各小组根据自己的加密术，加密一条信息，交由其他小组破译。
3．小组间交流破译密码的过程、方法，分享各自设计加密术的经验，思
考各自加密术的特点。
反思与拓展
1．在加密与破译的过程中，你用到了哪些方法？积累了哪些经验？
2．查阅资料，了解加密术与数学的关系，并制作相关演示文稿在班级内
分享。
设计自己的运算程序（一）
给出一定的运算方式，对计算结果重复进行这种运算，有可能会进入一个
循环。你见过结果出现循环的运算程序吗？你能设计这样的运算程序吗？
感悟与理解
1．任意写下一个四位数（四个数位上的数字各不相同）。重新排列各位
数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减最小的数，
得到差。重复这个过程……
你得到了什么结果？你有怎样的猜想？
2．任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位
数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数
字的积作为下一个数的个位数字。在上面每次相乘的过程中，若积大于 9，则
将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数。
167数 学 六年级 下册
重复这个过程……
你得到了什么结果？你有什么进一步的猜想？
3．请你用信息科技课学过的流程图将以上用文字语言描述的运算程序表
达出来，并与同伴进行交流。
设计与交流
设计自己的运算程序，使运算结果不超过三位数且出现循环。
1．用文字语言、流程图表达所设计的运算程序。
2．根据你设计的运算程序，会得到怎样的结果？与同伴一起验证所设计
的运算程序。
反思与拓展
1．查阅资料，了解更多运算结果出现循环的运算程序。
2．对于上述你们设计的所有运算程序，用不同的起始数字进行运算，结果
都会以某种方式循环。为什么会这样？尝试给出你的理由，并与同伴进行交流。
3．选择若干运算程序，尝试编写相应的计算机程序，并上机验证。
168总复习题
总复习题
● 整理本学期学过的知识与方法，用一张图把它们表示出来，并与同
伴进行交流。
● 在自己经历过的解决问题活动中，选择一个最具有挑战性的问题，
写出解决它的过程，包括遇到的困难、克服困难的方法与过程及所
获得的体会，并解释选择这个问题的原因。
● 通过本学期的数学学习，你有哪些收获？有哪些需要改进的地方？
知识技能
A
D
1．如图，∠AOB =∠COD = 90°。
（1）∠AOC 等于∠BOD 吗？
（2）若∠BOD = 150°，则∠BOC 等于多少度？ O B
C
2．解方程：
（第 1 题）
20
（1）16x - 40 = 9x + 16； （2）4x = x + 16；
3
（3）2（3 - x）= -4（x + 5）； （4）3（-2x - 5）+ 2x = 9；
（5） 1 （x - 4）-（3x + 4）= - 15 ； （6） x - 7 - 5x + 8 = 1。
2 2 4 3
3．土星可以近似地看作是球体，它的半径约为 6×104 km，求土星的体积（π
取 3.14）。
4．计算：
1 1
（1）（- ）3 ·（- ）； （2）-（a + b）5 ·（a + b）2 ；
2 2
1 1
（3）（-2a 5）4 ； （4）（- x）4 ÷（- x）；
2 2
169数 学 六年级 下册
（5）（-a 3· b）2 ； （6）b·（-b）2 ·（b 2）3 ；
（7）（- y 3）2 ÷ y 6 ； （8） a 2n + 1·a 2n - 1 ；
（9）（x 2）n+1 ÷ x 2n ； （10）104×100 ÷10- 2；
1 1
（11）32×2- 4； （12）（ ）0 ÷（- ）- 1 。
7 7
5．计算：
1 2 1
（1）2a 2 b·（- ab 2）3 ； （2）（- xy 2 z）·（- y 2 z 2）；
2 5 2
1
（3）（2x）3·y 3 ÷（16xy 2）； （4）（-a 2 b）4 ÷（- ab 2）；
2
2 1 1 1
（5）-2x 2 y（3xy 2 z - 2y 2 z）； （6）（- a）（ a 2 + a + ）；
3 2 6 4
1
（7）（x - 3y）（x - y）； （8）（-a - 3b）（7a + 2b）；
2
1 1 2 1
（9）（9x - 2y）（x + y）； （10）（- p + q）（- p - q）；
3 2 3 4
（11）（-
1
a 3 x 4 -
9
a 2 x 3）÷（-
3
ax 2）； （12）（- 2πr 2 h + 3πrh 2）÷（-
1
πrh）。
5 10 5 2
6．利用整式乘法公式计算下列各题：
1
（1）（- 2x + 3）（- 2x - 3）； （2）（- x + 2y）2；
2
1 3 3 3
（3）- 2（ x - y）2 ； （4）4（- x - 3y）（ x - 3y）；
3 2 2 2
1 1
（5）（3mn + ）（3mn - ）-m 2 n 2 ； （6）x 2-（x + 2）（x - 2）；
2 2
x x
（7）（x + 2y + 3z）（x + 2y - 3z）； （8）（ + 5）2-（- + 5）2。
2 2
7．如图，如果∠1 + ∠2 = 284°，那么∠1，∠2，∠3 各是多少度？
a b c
a 1 5 2 1 6
3
3 4
2
b
（第 7 题） （第 8 题）
8．如图，a∥b，b∥c，写出图中各角之间的等量关系。
170总复习题
9．一年之中，每天日照（从日出到日落）的时间是不同的。下图表示某地区
从 2021 年 1 月 1 日到 2021 年 12 月 26 日的日照时间。
日照时间/ h
16
15
14
13
12
11
10
9
0 30 60 90120150180210240270300330360 一年之中
的第几天
（第 9 题）
（1）上图描述的是哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是
什么？
（2）哪天的日照时间最短？这一天的日照时间约是多少？
（3）哪天的日照时间最长？这一天的日照时间约是多少？
（4）大约在什么时间段内，日照时间在增加？在什么时间段内，日照时间
在减少？
（5）说一说这个地区一年中日照时间是怎样随时间的变化而变化的。
10．如图，假设圆柱的高是 5 cm，当圆柱的底面半径由小
到大变化时：
（1）圆柱的体积如何变化？在这个变化中，自变
量、因变量各是什么？
（2）如果圆柱底面半径为 r（单位：cm），那么圆柱的体
积 V（单位：cm3）如何表示？ （第 10 题）
（3）当 r 由 1 cm 变化到 10 cm 时，圆柱的体积是如何
变化的？
11．如图，直线 a，b 被 c，d 所截，∠1 与∠3 互补，直
线 a 与直线 b 平行吗？比较∠2 与∠4 的大小关系，
并简要说明理由。
171
mc
5
2
a
1
3 4
b
c d
（第 11 题）数 学 六年级 下册
问题解决
12．利用一副三角板能画出下列度数的角吗？如何画？试试看。
150°，15°，105°，135°。
13．地球表面平均 1 cm2上的空气质量约为 1 kg，地球的表面面积大约是
5×108 km2，地球表面全部空气的质量约为多少千克？已知地球的质量约为
6×1024 kg，它的质量大约是地球表面全部空气质量的多少倍？
14．不用计算器，你能很快得到下面各题的结果吗？
（1）0.125100× 8100 ； （2）201× 199 ； （3）9992。
15．a，b，c 是三个连续的正整数，以 b 为边长作正方形，分别以 a，c 为长
和宽作长方形，哪个图形的面积大？大多少？
16．有资料表明，一粒废旧的纽扣电池大约会污染 60 万升的水。如果你们学
校的每个同学都丢弃一粒纽扣电池，大约会污染多少升水？用科学记数
法表示这个结果，并用你熟悉的事物描述它有多少。
17．王强参加了一场 3 000 m 的赛跑，他以 6 m/s 的速度跑了一段路程后，又以
4 m/s 的速度跑完了其余的路程，一共花了 10 min。王强以 6 m/s 的速度跑
了多少米？
18．有一块棱长为 0.6 m 的正方体钢坯，想将它锻成横截面是 0.008 m2 的长方
体钢材，锻成的钢材有多高？
19．某公司销售甲、乙两种球鞋，去年共卖出 12 200 双。今年甲种球鞋卖出
的量比去年多 6%，乙种球鞋卖出的量比去年减少 5%，两种球鞋的总销
量增加了 50 双。去年甲、乙两种球鞋各卖了多少双？
20．有一根竹竿和一条绳子，绳子比竹竿长 0.5 m。将绳子对折后，它比竹竿
短了 0.5 m。这根竹竿和这条绳子的长各是多少米？
21．一列匀速行驶的火车用 26 s 的时间通过一个长 256 m 的隧道（即从车头进
入入口到车尾离开出口），这列火车又以 16 s 的时间通过了长 96 m 的隧
道。求火车的长度。
172总复习题
联系拓广
22．如图所示，一个窗户被装饰布挡住了一部分。其中窗户 b
的长 a 与宽 b 之比是 3∶2，装饰布由一个半圆和两个四
b
分之一圆组成，圆的直径都是 。计算这个窗户未被
2
遮挡部分的面积（用含有 b 的代数式表示）。
23．计算图中各阴影部分的面积。
（第 22 题）
173
a
6a
a 2a a
（1） （2）
（第 23 题）
a2
a5.3后 记
《义务教育教科书（五·四学制）·数学》（六至九年级）是在马复主
编的北师大版六·三学制《义务教育教科书·数学》（七至九年级）的基础
上改编而成的。本套教科书经国家教材委员会专家委员会2024年审核通过，
供五·四学制地区师生使用。
本套教科书以教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》为依据，
吸取了五·四学制地区多年来在教学实践中探索、积累的丰富经验，凝聚了
教育专家、学科专家、教材编写人员、教研人员及一线教师的集体智慧，集
中反映了基础教育课程改革的最新成果。教科书的修订，得到了五·四学制
地区教育行政部门、教研部门，特别是北京师范大学出版社的大力帮助和
支持。国洪颖、邢春林、仇会山、黄玉秀、于彬、邢妍妍、丛晓燕、周晓祎、
冯惠参加了教科书资料收集、整理和讨论等工作。衷心感谢所有关心和支持
本套教科书编写、审读、试教、出版、发行的单位、同仁和社会各界朋友！
教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联
系，得到了他们的大力支持，对此我们表示诚挚的感谢！
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本套教科书过程中提出宝
贵的意见和建议。我们将本着精益求精的态度，集思广益，不断修订，努力
使教科书日趋完善。
联系电话：0531-82092610；电子邮箱：jiaocai@sjs.com.cn。
 《数学》教材编写组