人教版9年级数学上册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

® YIWU JIAOYU JIAOKESHU 义 SHUXUE 务 教 3 育 九年级 教 科 义务教育教科书 书 （ （五·四学制） 五 · 四 上册 学 制 ） 数学 九年级 上册 数 数学 学 九 年 级 上 册 绿色印刷产品 定价：10.00元 数学九年级上五四制封面.indd 1 19-5-31 下午1:47义 务 教 育 教 科 书 （五·四学制） 数 学 九年级 上册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中学数学课程教材研究开发中心 ·北 京·主 编：林 群 副 主 编：田载今 薛 彬 李海东 本册主编：张劲松 主要编写人员：薛 彬 张劲松 俞求是 李海东 张唯一 王玉起 责任编辑：王 嵘 美术编辑：王俊宏 封面设计：吕 旻 王俊宏 插 图：王俊宏 文鲁工作室（封面） 义务教育教科书（五·四学制） 数学 九年级 上册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中学数学课程教材研究开发中心 出版发行 （北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081） 网 址 http://www.pep.com.cn 重 印 黑龙江出版集团 发 行 黑龙江省新华书店 印 刷 黑龙江省教育厅印刷厂 版 次 2014年3月第1版 印 次 2018年7月第5次印刷 开 本 787毫米×1092毫米 1/16 印 张 9.75 字 数 164千字 书 号 ISBN 978-7-107-28022-1 定 价 10.00元 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：jcyjfk.pep.com.cn 如发现印、装质量问题，影响阅读，请与当地新华书店或印厂联系调换。 厂址：哈尔滨市南岗区汉广街97号 电话：0451-86313074 邮编：150080 质量监督电话：0451-84632411本册导引 亲爱的同学，祝贺你升入九年级。 你将要学习的这本书是我们根据 《义务教育数学课程标准 （２０１１年版）》 编写的教科书，这是你在六～九年级要学习的八册数学教科书中的第七册。 函数是描述现实世界中变化规律的数学模型。这里，你将认识函数家族中 的两个新成员——— “二次函数”和 “反比例函数”。与前面学习一次函数一样， 你将研究它们的图象和性质，利用它们来描述某些变化规律，解决一些实际问 题，进一步提高对函数的认识和应用能力。 你已经认识了平移、轴对称等图形的变化，探索了它们的性质，并运用它 们进行图案设计。本书中图形的变化又增添了一名新成员———旋转。学了 “旋 转”一章，你就可以综合运用平移、轴对称、旋转进行图案设计了，你设计出 的图案会更加丰富多彩。 圆是一种常见的图形。在 “圆”这一章，你将进一步认识圆，探索它的性 质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，你解决图形问题的 能力将会进一步提高。 将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性 大还是出现反面的可能性大呢？学了 “概率初步”一章，你就能更好地认识这 个问题了。掌握了概率的初步知识，你还会解决更多的实际问题。 数学伴着我们成长、数学伴着我们进步、数学伴着我们成功，让我们一起 随着这本书，畅游神奇、美妙的数学世界吧！目 录 第二十八章 二次函数 ２８．１ 二次函数的图象和性质 ２ ２８．２ 二次函数与一元二次方程 １７ 信息技术应用 探索二次函数的性质 ２２ ２８．３ 二次函数与实际问题 ２３ 阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系 ２６ 数学活动 ２８ 小结 ２９ 复习题２８ ３０ 第二十九章 反比例函数 ２９．１ 反比例函数 ３３ 信息技术应用 探索反比例函数的性质 ４１ ２９．２ 反比例函数与实际问题 ４３ 阅读与思考 生活中的反比例关系 ４８ 数学活动 ５０ 小结 ５１ 复习题２９ ５２第三十章 旋转 ３０．１ 图形的旋转 ５５ ３０．２ 中心对称 ６０ 信息技术应用 探索旋转的性质 ６７ ３０．３ 课题学习 图案设计 ６８ 阅读与思考 旋转对称 ６９ 数学活动 ７０ 小结 ７１ 复习题３０ ７２ 第三十一章 圆 ３１．１ 圆的有关性质 ７５ ３１．２ 点和圆、直线和圆的位置关系 ８８ 实验与探究 圆和圆的位置关系 ９９ ３１．３ 正多边形和圆 １０１ 阅读与思考 圆周率π １０５ ３１．４ 弧长和扇形面积 １０７ 实验与探究 设计跑道 １１３ 数学活动 １１４ 小结 １１７ 复习题３１ １１８第三十二章 概率初步 ３２．１ 随机事件与概率 １２３ ３２．２ 用列举法求概率 １３２ 阅读与思考 概率与中奖 １３７ ３２．３ 用频率估计概率 １３８ 实验与探究 π的估计 １４５ 数学活动 １４６ 小结 １４７ 复习题３２ １４８ 部分中英文词汇索引 １５０第二十八章 二次函数 函数是描述现实世界中变化规律的数学模型， 用一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系． 我们再来看另一些问题中变量之间的关系． 如果改变正方体的棱长狓，那么正方体的表面 积狔会随之改变，狔与狓之间有什么关系？ 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度犺 随小球运动时间狋的变化而变化，犺与狋之间有什 么关系？ 再看章前图，从喷头喷出的水珠，在空中走 过一条曲线．在这条曲线的各个位置上，水珠的竖 直高度狔与它距离喷头的水平距离狓之间有什么 关系？ 回答上述问题就要用到二次函数．像学习一次 函数一样，本章我们首先讨论什么样的函数是二 次函数，然后讨论二次函数的图象和性质，并由 此加深对一元二次方程的认识，最后运用二次函 数分析和解决某些实际问题．通过上述过程，我们 对函数在反映现实世界的运动变化中的作用会有 进一步的体会． y y=ax2+bx+c O x 书书书２８．１ 二次函数的图象和性质 ２８．１．１ 二次函数 我们看引言中正方体的表面积的问题． 正方体的六个面是全等的正方形（图２８．１１）， 设正方体的棱长为狓，表面积为狔．显然，对于狓 的每一个值，狔都有一个对应值，即狔是狓的函 数，它们的具体关系可以表示为 图２８．１１ 狔＝６狓２． ① 我们再来看几个问题． 问题１ 狀个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数犿 与球队数狀有什么关系？ 每个队要与其他 （狀－１）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队 对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 １ 犿＝ 狀（狀－１）， ２ 即 １ １ 犿＝ 狀２－ 狀． ② ２ ２ ②式表示比赛的场次数犿与球队数狀的关系，对于狀的每一个值，犿都 有一个对应值，即犿是狀的函数． 问题２ 某种产品现在的年产量是２０ｔ，计划今后两年增加产量．如果每 年都比上一年的产量增加狓倍，那么两年后这种产品的产量狔将随计划所定 的狓的值而确定，狔与狓之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是２０ｔ，一年后的产量是２０（１＋狓）ｔ，再经过一年后的 产量是２０（１＋狓）（１＋狓）ｔ，即两年后的产量 狔＝２０（１＋狓） ２ ， 即 ２ !"#$%&"’()狔＝２０狓２＋４０狓＋２０． ③ ③式表示了两年后的产量狔与计划增产的倍数狓之间的关系，对于狓的 每一个值，狔都有一个对应值，即狔是狓的函数．  函数①②③有什么共同点？ 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的．一般地，形如 狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪，犫，犮是常数，犪≠０） 的函数，叫做二次函数 （ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ）．其中，狓是自变量，犪，犫，犮分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 30m xm !"#$%&"’() mx m02 １．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积犛 与底面半径狉之间的关系式． ２．如图，矩形绿地的长、宽各增加狓ｍ，写出扩充 后的绿地的面积狔与狓的关系式． （第２题） ２８．１．２ 二次函数狔＝犪狓 ２ 的图象和性质 在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质．像 研究一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图象和性质．结合图象讨论性 质是数形结合地研究函数的重要方法．我们将从最简单的二次函数狔＝狓２ 开 始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质． 先画二次函数狔＝狓２ 的图象． 在狔＝狓２ 中，自变量狓可以是任意实数，列表表示几组对应值： 狓 … －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ … 狔＝狓２ … ９ ４ １ ０ １ ４ ９ … ３根据表中狓，狔的数值在坐标平面中描点（狓，狔）（图２８．１２），再用平滑 曲线顺次连接各点，就得到狔＝狓２ 的图象（图２８．１３）． y y 9 9 y=x2 还记得如何用 描点法画一个函数 6 6 的图象吗？ 3 3 -3 O 3 x -3 O 3 x 图２８．１２ 图２８．１３ 可以看出，二次函数狔＝狓２ 的图象是一条曲 线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上．这条曲 线叫做抛物线狔＝狓２．实际上，二次函数的图象 都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一 般地，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象叫做抛物 线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮． 还可以看出，狔轴是抛物线狔＝狓２ 的对称轴， 抛物线狔＝狓２ 与它的对称轴的交点 （０，０）叫做 在抛物线狔＝狓２ 抛物线狔＝狓２ 的顶点，它是抛物线狔＝狓２ 的最低 上任取一点（犿，犿２）， 点．实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与 因为它关于狔轴的对 对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线 称点（－犿，犿２）也在 的最低点或最高点． 抛物线狔＝狓２ 上，所以 从二次函数狔＝狓２ 的图象可以看出：在对称轴 抛物线狔＝狓２ 关于狔 轴对称． 的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧， 抛物线从左到右上升．也就是说，当狓＜０时， 狔随狓的增大而减小；当狓＞０时，狔随狓的增大 而增大． １ 例１ 在同一直角坐标系中，画出函数狔＝ 狓２ ，狔＝２狓２ 的图象． ２ 解：分别列表，再画出它们的图象（图２８．１４）． ４ !"#$%&"’()狓 … －４ －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ ４ … y y=2x2 8 １ 狔＝ 狓２ … ８ ４．５ ２ ０．５ ０ ０．５ ２ ４．５ ８ … ２ 6 4 狓 … －２－１．５－１－０．５ ０ ０．５ １ １．５ ２ … 2 1 狔＝２狓２ … ８ ４．５ ２ ０．５ ０ ０．５ ２ ４．５ ８ … y= x2 2 -4 -2 O 2 4 x 图２８．１４  １ （１）函数狔＝ 狓２ ，狔＝２狓２ 的图象与函数狔＝狓２ （图２８．１４中的虚线 ２ 图形）的图象相比，有什么共同点和不同点？ （２）当犪＞０时，二次函数狔＝犪狓２ 的图象有什么特点？ 一般地，当犪＞０时，抛物线狔＝犪狓２ 的开口向上，对称轴是狔轴，顶点 是原点，顶点是抛物线的最低点，犪越大，抛物线的开口越小． 类似地，我们可以研究当犪＜０时，二次函数狔＝犪狓２ 的图象和性质．  １ （１）在同一直角坐标系中，画出函数狔＝－狓２ ，狔＝－ 狓２ ，狔＝－２狓２ ２ 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点． （２）当犪＜０时，二次函数狔＝犪狓２ 的图象有什么特点？ 你画出的图象与图２８．１５中的图象相同吗？ y O -4 - 2 2 4 x 一般地，当犪＜０时，抛物线狔＝犪狓２ 的开口 -2 向下，对称轴是狔轴，顶点是原点，顶点是抛物 -4 线的最高点，犪越小，抛物线的开口越小． y= 1 x2 2 -6 -8 y= x2 y= 2x2 图２８．１５ ５ !"#$%&"’() 一般地，抛物线狔＝犪狓２ 的对称轴是狔轴，顶点是原点．当犪＞０时， 抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当犪＜０时，抛物线的开口 向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线狔＝犪狓２ ，犪越大，抛物线的 开口越小． 从二次函数狔＝犪狓２ 的图象可以看出：如果犪＞０，当狓＜０时，狔随狓的 增大而减小，当狓＞０时，狔随狓的增大而增大；如果犪＜０，当狓＜０时，狔随 狓的增大而增大，当狓＞０时，狔随狓的增大而减小． 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （１）狔＝３狓２； （２）狔＝－３狓２； １ １ （３）狔＝ 狓２； （４）狔＝－ 狓２． ３ ３ ２８．１．３ 二次函数狔＝犪（狓－犺） ２ ＋犽的图象和性质 例２ 在同一直角坐标系中，画出二次函数狔＝２狓２＋１，狔＝２狓２－１的 图象． 解：先列表： y 狓 … －２－１．５－１－０．５０ ０．５ １ １．５ ２ … y=2x2+1 10 狔＝２狓２＋１… ９ ５．５ ３ １．５ １ １．５ ３ ５．５ ９ … y=2x2-1 8 狔＝２狓２－１… ７ ３．５ １ －０．５－１－０．５１ ３．５ ７ … 6 然后描点画图，得狔＝２狓２＋１，狔＝２狓２－１的图 象 （图２８．１６）． 4 2 -3 -2-1 O 1 2 3 x -2 图２８．１６ ６ !"#$%&"’() （１）抛物线狔＝２狓２＋１，狔＝２狓２－１的开口方向、对称轴和顶点各是 什么？ （２）抛物线狔＝２狓２＋１，狔＝２狓２－１与抛物线狔＝２狓２ 有什么关系？ 可以发现，把抛物线狔＝２狓２ 向上平移１个单位长度，就得到抛物线狔＝ ２狓２＋１；把抛物线狔＝２狓２ 向下平移１个单位长度，就得到抛物线狔＝２狓２－１．  抛物线狔＝犪狓２＋犽与抛物线狔＝犪狓２ 有什么关系？ 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： １ １ １ 狔＝ 狓２，狔＝ 狓２＋２，狔＝ 狓２－２． ２ ２ ２ 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能 １ １ 说出抛物线狔＝ 狓２＋犽的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线狔＝ 狓２ 有 ２ ２ 什么关系？  １ １ 在同一直角坐标系中，画出二次函数狔＝－ （狓＋１） ２ ，狔＝－ （狓－１） ２ ２ ２ 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 先分别列表： 狓 … －４ －３ －２ －１ ０ １ ２ … １ 狔＝－ （狓＋１）２ … －４．５ －２ －０．５ ０ －０．５ －２ －４．５ … ２ ７ !"#$%&"’()狓 … －２ －１ ０ １ ２ ３ ４ … １ 狔＝－ （狓－１）２ … －４．５ －２ －０．５ ０ －０．５ －２ －４．５ … ２ １ １ 然后描点画图，得狔＝－ （狓＋１） ２ ，狔＝－ （狓－１） ２ 的图象 （图２８．１７）． ２ ２ y x= 1 x=1 -4 -2 O 2 4 x y= 2 1 (x+1)2 y= 2 1 (x-1)2 -2 -4 图２８．１７ １ 可以看出，抛物线狔＝－ （狓＋１） ２ 的开口向下，对称轴是经过点（－１，０） ２ 且与狓轴垂直的直线，把它记作狓＝－１，顶点是（－１，０）；抛物线狔＝ １ － （狓－１） ２ 的开口向下，对称轴是狓＝１，顶点是 （１，０）． ２  １ １ １ 抛物线狔＝－ （狓＋１） ２ ，狔＝－ （狓－１） ２ 与抛物线狔＝－ 狓２ 有什 ２ ２ ２ 么关系？ １ 可以发现，把抛物线狔＝－ 狓２ 向左平移１个单位长度，就得到抛物线 ２ １ １ 狔＝－ （狓＋１） ２ ；把抛物线狔＝－ 狓２ 向右平移１个单位长度，就得到抛物 ２ ２ １ 线狔＝－ （狓－１） ２． ２ ８ !"#$%&"’() 抛物线狔＝犪（狓－犺） ２ 与抛物线狔＝犪狓２ 有什么关系？ 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： １ １ １ 狔＝ 狓２，狔＝ （狓＋２）２，狔＝ （狓－２）２． ２ ２ ２ 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． １ 例３ 画出函数狔＝－ （狓＋１） ２－１的图象，并指出它的开口方向、对称 ２ １ １ 轴和顶点．怎样移动抛物线狔＝－ 狓２ 就可以得到抛物线狔＝－ （狓＋１） ２－１？ ２ ２ １ 解：函数狔＝－ （狓＋１） ２－１的图象如图２８．１８所示． ２ y -4 -2 O 2 4 x 1 y= x2 2 -2 -4 1 y= x2 1 2 1 y= (x+1)2 1 2 图２８．１８ １ 抛物线狔＝－ （狓＋１） ２－１的开口向下，对称轴是狓＝－１，顶点是 ２ （－１，－１）． １ 把抛物线狔＝－ ２ 狓２ 向下平移１个单位长度， 还有其他平移 方法吗？ 再向左平移１个单位长度，就得到抛物线狔＝ １ － （狓＋１） ２－１． ２ ９ !"#$%&"’() 一般地，抛物线狔＝犪（狓－犺） ２＋犽与狔＝犪狓２ 形状相同，位置不同．把 抛物线狔＝犪狓２ 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线狔＝犪（狓－犺） ２＋犽． 平移的方向、距离要根据犺，犽的值来决定． 抛物线狔＝犪（狓－犺） ２＋犽有如下特点： （１）当犪＞０时，开口向上；当犪＜０时，开口向下． （２）对称轴是狓＝犺． （３）顶点是 （犺，犽）． 从二次函数狔＝犪（狓－犺） ２＋犽的图象可以看出：如果犪＞０，当狓＜犺时，狔 随狓的增大而减小，当狓＞犺时，狔随狓的增大而增大；如果犪＜０，当狓＜犺 时，狔随狓的增大而增大，当狓＞犺时，狔随狓的增大而减小． 我们来看一个与章前图有关的问题． 例４ 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶 端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为１ｍ处达 到最高，高度为３ｍ，水柱落地处离池中心３ｍ，水管应多长？ 解：如图２８．１９，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直 线为狓轴，水管所在直线为狔轴，建立直角坐标系． y /m
1 3
3 2 1 O 1 2 3 x /m 图２８．１９ 点 （１，３）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解 析式是 狔＝犪（狓－１） ２＋３（０≤狓≤３）． 由这段抛物线经过点（３，０），可得 ０＝犪（３－１） ２＋３， １０ !"#$%&"’()解得 ３ 犪＝－ ． ４ 因此 ３ 狔＝－ （狓－１） ２＋３（０≤狓≤３）． ４ 当狓＝０时，狔＝２．２５，也就是说，水管应２．２５ｍ长． 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （１）狔＝２（狓＋３）２＋５； （２）狔＝－３（狓－１）２－２； （３）狔＝４（狓－３）２＋７； （４）狔＝－５（狓＋２）２－６． ２８．１．４ 二次函数狔＝犪狓 ２ ＋犫狓＋犮的图象和性质 １ 先研究一个具体的二次函数狔＝ 狓２－６狓＋２１的图象和性质． ２  我们已经知道二次函数狔＝犪（狓－犺） ２＋犽的图象和性质，能否利用这 １ 些知识来讨论二次函数狔＝ 狓２－６狓＋２１的图象和性质？ ２ 配方可得： １ 狔＝ 狓２－６狓＋２１ ２ １ ＝ （狓－６） ２＋３． ２ 根据前面的知识，我们可以先画出二次函数 还有其他平移 方法吗？ １ 狔＝ 狓２ 的图象，然后把这个图象向右平移６个 ２ 单位长度，再向上平移３个单位长度，得到二次 １ 函数狔＝ 狓２－６狓＋２１的图象． ２ １１ !"#$%&"’()１ 如果直接画二次函数狔＝ 狓２－６狓＋２１的图象，可按如下步骤进行． ２ １ 由配方的结果可知，抛物线狔＝ 狓２－６狓＋２１的顶点是（６，３），对称轴 ２ 是狓＝６． 先利用图象的对称性列表： 狓 … ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ … １ 狔＝ （狓－６）２＋３ … ７．５ ５ ３．５ ３ ３．５ ５ ７．５ … ２ １ 然后描点画图，得到狔＝ （狓－６） ２＋３的图象 （图２８．１１０）． ２ y 10 1 y= x2 6x+21 2 5 (6
3) O 5 10 x 图２８．１１０ １ 从图２８．１１０中二次函数狔＝ 狓２－６狓＋２１的图象可以看出：在对称轴的 ２ 左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是 说，当狓＜６时，狔随狓的增大而减小；当狓＞６时，狔随狓的增大而增大．  你能用上面的方法讨论二次函数狔＝－２狓２－４狓＋１的图象和性质吗？ 一般地，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮可以通过配方化成狔＝犪（狓－犺） ２＋犽 的形式，即 （ 犫） ４犪犮－犫２ 狔＝犪狓＋ ２＋ ． ２犪 ４犪 犫 （ 犫 ４犪犮－犫２ ） 因此，抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的对称轴是狓＝－ ，顶点是 － ， ． ２犪 ２犪 ４犪 １２ !"#$%&"’()如图２８．１１１，从二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象可以看出： 犫 犫 如果犪＞０，当狓＜－ 时，狔随狓的增大而减小，当狓＞－ 时，狔随狓 ２犪 ２犪 的增大而增大； 犫 犫 如果犪＜０，当狓＜－ 时，狔随狓的增大而增大，当狓＞－ 时，狔随狓 ２犪 ２犪 的增大而减小． y b y x=- 2a y=ax2+bx+c (a ! 0) O x O x y=ax2+bx+c (a 0) b x=- （１） 2a （２） 图２８．１１１ 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （１）狔＝３狓２＋２狓； （２）狔＝－狓２－２狓； １ （３）狔＝－２狓２＋８狓－８； （４）狔＝ 狓２－４狓＋３． ２   我们知道，由两点 （两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一 次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．对于二次函数，探究下面的 问题： （１）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ （２）如果一个二次函数的图象经过 （－１，１０），（１，４），（２，７）三 点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解 析式． 本部分内容为选学内容． １３ !"#$%&"’()分析：（１）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式狔＝犽狓＋犫，需 求出犽，犫的值．用待定系数法，由两点 （两点的连线不与坐标轴平行）的坐 标，列出关于犽，犫的二元一次方程组就可以求出犽，犫的值．类似地，确定二 次函数，即写出这个二次函数的解析式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮，需求出犪，犫，犮的 值．由不在同一直线上的三点 （任意两点的连线不与狔轴平行）的坐标，列出 关于犪，犫，犮的三元一次方程组就可以求出犪，犫，犮的值． （２）设所求二次函数为狔＝犪狓２＋犫狓＋犮． 由已知，函数图象经过 （－１，１０），（１，４），（２，７）三点，得关于犪， 犫，犮的三元一次方程组 烄犪－犫＋犮＝１０， 烅犪＋犫＋犮＝４， 烆４犪＋２犫＋犮＝７． 解这个方程组，得 犪＝２，犫＝－３，犮＝５． 所求二次函数是狔＝２狓２－３狓＋５．  求二次函数的解析式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮，需求出犪，犫，犮的值． 由已知条件 （如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于犪，犫，犮 的方程组，求出犪，犫，犮的值，就可以写出二次函数的解析式． １ １．一个二次函数，当自变量狓＝０时，函数值狔＝－１，当狓＝－２与 时，狔＝０． ２ 求这个二次函数的解析式． ２．一个二次函数的图象经过 （０，０），（－１，－１），（１，９）三点．求这个二次函 数的解析式． １４ !"#$%&"’() 书书书习题２８．１  １．一个矩形的长是宽的２倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数解析式． ２．某种商品的价格是２元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是狓，经 过两次降价后的价格狔（单位：元）随每次降价的百分率狓的变化而变化，狔与 狓之间的关系可以用怎样的函数来表示？ ３．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象： １ 狔＝４狓２，狔＝－４狓２，狔＝ 狓２． ４ １ ４．分别写出抛物线狔＝５狓２ 与狔＝－ 狓２ 的开口方向、对称轴和顶点． ５ ５．分别在同一直角坐标系中，描点画出下列各组二次函数的图象，并写出对称轴和 顶点： １ １ １ １ （１）狔＝ 狓２＋３，狔＝ 狓２－２； （２）狔＝－ （狓＋２）２，狔＝－ （狓－１）２； ３ ３ ４ ４ １ １ （３）狔＝ （狓＋２）２－２，狔＝ （狓－１）２＋２． ２ ２ ６．先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图： （１）狔＝－３狓２＋１２狓－３； （２）狔＝４狓２－２４狓＋２６； １ （３）狔＝２狓２＋８狓－６； （４）狔＝ 狓２－２狓－１． ２  ７．填空： （１）已知函数狔＝２（狓＋１）２＋１，当狓＜ 时，狔随狓的增大而减小，当狓＞ 时，狔随狓的增大而增大； （２）已知函数狔＝－２狓２＋狓－４，当狓＜ 时，狔随狓的增大而增大，当狓＞ 时，狔随狓的增大而减小． ８．如图，在△犃犅犆中，∠犅＝９０°，犃犅＝１２ｍｍ，犅犆＝２４ｍｍ， A 动点犘从点犃开始沿边犃犅向点犅以２ｍｍ／ｓ的速度移 P 动，动点犙从点犅开始沿边犅犆向点犆以４ｍｍ／ｓ的速度 移动，如果犘，犙两点分别从犃，犅两点同时出发，那么 B 4 C △犘犅犙的面积犛随出发时间狋如何变化？写出犛关于狋的 （第８题） 函数解析式及狋的取值范围． １５ !"#$%&"’()９．一辆汽车的行驶距离狊（单位：ｍ）关于行驶时间狋（单位：ｓ）的函数解析式是 １ 狊＝９狋＋ 狋２，经过１２ｓ汽车行驶了多远？行驶３８０ｍ需要多少时间？ ２ １０．根据二次函数图象上三个点的坐标，求出函数的解析式： （１）（－１，３），（１，３），（２，６）； （２）（－１，－１），（０，－２），（１，１）； （３）（－１，０），（３，０），（１，－５）； （４）（１，２），（３，０），（－２，２０）． １１．抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮经过 （－１，－２２），（０，－８），（２，８）三点，求它的开 口方向、对称轴和顶点．   １２．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每 秒增加１．５ｍ／ｓ． （１）写出滚动的距离狊（单位：ｍ）关于滚动的时间狋（单 位：ｓ）的函数解析式．（提示：本题中，距离＝平均 狏＋狏 （第１２题） 速度狏×时间狋，狏＝ ０ 狋，其中，狏 是开始时的 ２ ０ 速度，狏是狋秒时的速度．） 狋 （２）如果斜面的长是３ｍ，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ １６ !"#$%&"’()２８．２ 二次函数与一元二次方程 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次 方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一 元二次方程的联系．先来看下面的问题． 问题 如图２８．２１，以４０ｍ／ｓ的速度将小球沿与地面成３０°角的方向击出 时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 犺（单位：ｍ）与飞行时间狋（单位：ｓ）之间具有函数关系 犺＝２０狋－５狋２． 考虑以下问题： （１）小球的飞行高度能否达到 １５ｍ？如果能，需要多少飞行时间？ （２）小球的飞行高度能否达到 ２０ｍ？如果能，需要多少飞行时间？ （３）小球的飞行高度能否达到 ２０．５ｍ？为什么？ 图２８．２１ （４）小球从飞出到落地要用多少时间？ 分析：由于小球的飞行高度犺与飞行时间狋有函数关系犺＝２０狋－５狋２ ，所 以可以将问题中犺的值代入函数解析式，得到关于狋的一元二次方程．如果方 程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中犺的值；否则， 说明小球的飞行高度不能达到问题中犺的值． 解：（１）解方程 你能结合图 １５＝２０狋－５狋２ ， ２８．２１指出为什么 狋２－４狋＋３＝０， 在两个时间小球的 狋＝１，狋＝３． 高度为１５ｍ吗？ １ ２ 当小球飞行１ｓ和３ｓ时，它的飞行高度为１５ｍ． １７ !"#$%&"’()（２）解方程 你能结合图 ２０＝２０狋－５狋２ ， ２８．２１指出为什么 狋２－４狋＋４＝０， 只在一个时间小球 狋＝狋＝２． 的高度为２０ｍ吗？ １ ２ 当小球飞行２ｓ时，它的飞行高度为２０ｍ． （３）解方程 ２０．５＝２０狋－５狋２ ， 狋２－４狋＋４．１＝０． 因为（－４） ２－４×４．１＜０，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高 度达不到２０．５ｍ． （４）小球飞出时和落地时的高度都为０ｍ，解方程 ０＝２０狋－５狋２ ， 狋２－４狋＝０， 狋＝０，狋＝４． １ ２ 当小球飞行０ｓ和４ｓ时，它的高度为０ｍ．这表明小球从飞出到落地要用 ４ｓ．从图２８．２１来看，０ｓ时小球从地面飞出，４ｓ时小球落回地面． 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．例如，已知二次函 数狔＝－狓２＋４狓的值为３，求自变量狓的值，可以看作解一元二次方程 －狓２＋４狓＝３（即狓２－４狓＋３＝０）．反过来，解方程狓２－４狓＋３＝０又可以看作已 知二次函数狔＝狓２－４狓＋３的值为０，求自变量狓的值． 一般地，我们可以利用二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮深入讨论一元二次方程 犪狓２＋犫狓＋犮＝０．  下列二次函数的图象与狓轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标 是多少？当狓取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相 应的一元二次方程的根吗？ （１）狔＝狓２＋狓－２； （２）狔＝狓２－６狓＋９； （３）狔＝狓２－狓＋１． １８ !"#$%&"’()这些函数的图象如图２８．２２所示． y y=x2-6x+9 y=x2-x+1 y=x2+x-2 O 1 x 图２８．２２ 可以看出： （１）抛物线狔＝狓２＋狓－２与狓轴有两个公共 点，它们的横坐标是－２，１．当狓取公共点的横坐 标时，函数值是０．由此得出方程狓２＋狓－２＝０的 反过来，由一元 二次方程的根的情况， 根是－２，１． 也可以确定相应的二 （２）抛物线狔＝狓２－６狓＋９与狓轴有一个公共 次函数的图象与狓轴 点，这点的横坐标是３．当狓＝３时，函数值是０． 的位置关系． 由此得出方程狓２－６狓＋９＝０有两个相等的实数 根３． （３）抛物线狔＝狓２－狓＋１与狓轴没有公共 点．由此可知，方程狓２－狓＋１＝０没有实数根．  一般地，从二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象可得如下结论． （１）如果抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮与狓轴有公共点，公共点的横坐标 是狓，那么当狓＝狓 时，函数值是０，因此狓＝狓 是方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０ ０ ０ ０ 的一个根． （２）二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象与狓轴的位置关系有三种：没 有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程犪狓２＋ 犫狓＋犮＝０的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个 不等的实数根． １９ !"#$%&"’()由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于 作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的． 例 利用函数图象求方程狓２－２狓－２＝０的 y 实数根 （结果保留小数点后一位）． y=x2 2x 2 解：画出函数狔＝狓２－２狓－２的图象 （图 ２８．２３），它与狓轴的公共点的横坐标大约是 (-0.7,0) (2.7,0) -1O 1 2 3 x －０．７，２．７． 所以方程狓２－２狓－２＝０的实数根为 狓≈－０．７，狓≈２．７． １ ２ 图２８．２３ 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根． 观察函数狔＝狓２－２狓－２的图象，可以发现，当自变量为２时的函数值小于 ０（点 （２，－２）在狓轴的下方），当自变量为３时的函数值大于０ （点 （３，１） 在狓轴的上方）．因为抛物线狔＝狓２－２狓－２是一条连续不断的曲线，所以抛 物线狔＝狓２－２狓－２在２＜狓＜３这一段经过狓轴．也就是说，当自变量取２， ３之间的某个值时，函数值为０，即方程狓２－２狓－２＝０在２，３之间有根． 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．例如，取２，３的 平均数２．５，用计算器算得自变量为２．５时的函数值为－０．７５，与自变量为３ 时的函数值异号，所以这个根在２．５，３之间．再取２．５，３的平均数２．７５，用 计算器算得自变量为２．７５时的函数值为０．０６２５，与自变量为２．５时的函数值 异号，所以这个根在２．５，２．７５之间． 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在２．６２５，２．７５之间，在２．６８７５， ２．７５之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越 来越接近根的值，因而可以作为根的近似值．例如，当要求根的近似值与根的 准确值的差的绝对值小于０．１时，由于｜２．６８７５－２．７５｜＝０．０６２５＜０．１，我们 可以将２．６８７５作为根的近似值． 你能用这种方法得出方程狓２－２狓－２＝０的另一个根的近似值吗 （要求根 的近似值与根的准确值的差的绝对值小于０．１）？ 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程． ２０ !"#$%&"’()习题２８．２  １．已知函数狔＝狓２－４狓＋３． （１）画出这个函数的图象； （２）观察图象，当狓取哪些值时，函数值为０？ ２．用函数的图象求下列方程的解： （１）狓２－３狓＋２＝０； （２）－狓２－６狓－９＝０．  ３．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度狔（单位：ｍ）与水平距离狓（单位：ｍ） １ ２ ５ 之间的关系是狔＝－ 狓２＋ 狓＋ ． y １２ ３ ３ （１）画出上述函数的图象； （２）观察图象，指出铅球推出的距离． ４．抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮与狓轴的公共点是（－１，０）， （３，０），求这条抛物线的对称轴． （第３题）x   ５．画出函数狔＝狓２－２狓－３的图象，利用图象回答： （１）方程狓２－２狓－３＝０的解是什么？ （２）狓取什么值时，函数值大于０？ （３）狓取什么值时，函数值小于０？ ６．如果犪＞０，抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的顶点在什么位置时， （１）方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个不等的实数根？ （２）方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个相等的实数根？ （３）方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０无实数根？ 如果犪＜０呢？ ２１ !"#$%&"’() 书书书  探索二次函数的性质 用某些计算机画图软件，可以方便地画出二次函数 y 的图象，进而从图象探索二次函数的性质．如图１，用计 算机软件画出函数狔＝狓２－２狓－３的图象，拖动图象上的 O x 一点犘，让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可 P 以发现： (1
-4) 图象最低点的坐标是（１，－４），也就是说，当狓＝１ 图１ 时，狔有最小值－４； 当狓＜１时，狔随狓的增大而减小，当狓＞１时，狔随狓的增大而增大． 又如图２，用计算机软件画出函数狔＝－狓２－４狓－３的图象，拖动图象上的一点犘， 可以发现： 图象最高点的坐标是（－２，１），也就是说，当狓＝－２ 时，狔有最大值１； 当狓＜－２时，狔随狓的增大而增大，当狓＞－２时， y 狔随狓的增大而减小． 借助计算机软件的画图功能，很容易利用二次函数 (-2
1) 的图象解一元二次方程．要解方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０，只要 O x P 用计算机软件画出相应抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮，再让计 算机软件显示抛物线与狓轴的公共点的坐标，就能得出 图２ 要求的方程的根．利用图１、图２中的图象试一试，分别 求出方程狓２－２狓－３＝０，－狓２－４狓－３＝０的根． ２２ !"#$%&"’()２８．３ 二次函数与实际问题 对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻 画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究． 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度犺（单位：ｍ）与小球的 运动时间狋（单位：ｓ）之间的关系式是犺＝３０狋－５狋２ （０≤狋≤６）．小球运动的 时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 可以借助函数图象解决这个问题．画出函数 犺＝３０狋－５狋２ （０≤狋≤６）的图象 （图２８．３１）． 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的 一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的 h/m 最高点，也就是说，当狋取顶点的横坐标时，这 40 个函数有最大值． 犫 ３０ 因此，当狋＝－ ＝－ ＝３时，犺有 20 ２犪 ２×（－５） 最大值 ４犪犮－犫２ ＝ －３０２ ＝４５．也就是说，小球 O 1 2 3 4 5 6 t/s ４犪 ４×（－５） 图２８．３１ 运动的时间是３ｓ时，小球最高．小球运动中的最 大高度是４５ｍ． 一般地，当犪＞０（犪＜０）时，抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的顶点是最低 （高）点， 犫 ４犪犮－犫２ 也就是说，当狓＝－ 时，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮有最小 （大）值 ． ２犪 ４犪 我们再来解决一些实际问题．  用总长为６０ｍ的篱笆围成矩形场地，矩形面积犛随矩形一边长犾的 变化而变化．当犾是多少米时，场地的面积犛最大？ ２３ !"#$%&"’()分析：先写出犛关于犾的函数解析式，再求出使犛最大的犾值． （６０ ） 矩形场地的周长是６０ｍ，一边长为犾ｍ，所以另一边长为 －犾 ｍ．场 ２ 地的面积 犛＝犾（３０－犾）， 即 犛＝－犾２＋３０犾（０＜犾＜３０）． 犫 ３０ ４犪犮－犫２ －３０２ 因此，当犾＝－ ＝－ ＝１５时，犛有最大值 ＝ ＝２２５． ２犪 ２×（－１） ４犪 ４×（－１） 也就是说，当犾是１５ｍ时，场地的面积犛最大．  某商品现在的售价为每件６０元，每星期可卖出３００件．市场调查反 映：如调整价格，每涨价１元，每星期要少卖出１０件；每降价１元，每 星期可多卖出２０件．已知商品的进价为每件４０元，如何定价才能使利润 最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．我们先来看涨价的情况． （１）设每件涨价狓元，则每星期售出商品的利润狔随之变化．我们先 来确定狔随狓变化的函数解析式．涨价狓元时，每星期少卖１０狓件，实际卖 出（３００－１０狓）件，销售额为 （６０＋狓）（３００－１０狓）元，买进商品需付 ４０（３００－１０狓）元．因此，所得利润 狔＝（６０＋狓）（３００－１０狓）－４０（３００－１０狓）， 怎样确定狓的 即 取值范围？ 狔＝－１０狓２＋１００狓＋６０００， 其中，０≤狓≤３０． 根据上面的函数，填空： 当狓＝ 时，狔最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定 价 元时，利润最大，最大利润是 ． （２）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考 （１）的讨论，自己得 出答案． 由 （１）（２）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大 了吗？ ２４ !"#$%&"’() 4 m !"#$%&"’() m 2 图２８．３２中是抛物线形拱桥，当拱顶离 水面２ｍ时，水面宽４ｍ．水面下降１ｍ ，水 面宽度增加多少？ 图２８．３２ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线， y 建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的 1 二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点， -2 -1 O 1 2 x 以抛物线的对称轴为狔轴建立直角坐标系 （图 -1 -2 ２８．３３）． -3 设这条抛物线表示的二次函数为狔＝犪狓２． 图２８．３３ 由抛物线经过点（２，－２），可得 －２＝犪×２２ ， １ 犪＝－ ． ２ １ 这条抛物线表示的二次函数为狔＝－ 狓２． ２ 当水面下降１ｍ时，水面的纵坐标为－３．请你根据上面的函数解析式求出 这时的水面宽度． 水面下降１ｍ，水面宽度增加 ｍ． 习题２８．３  １．下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标： （１）狔＝－４狓２＋３狓； （２）狔＝３狓２＋狓＋６． ２．某种商品每件的进价为３０元，在某段时间内若以每件狓元出售，可卖出 （１００－狓）件，应如何定价才能使利润最大？ ２５３．飞机着陆后滑行的距离狊（单位：ｍ）关于滑行的时间狋（单位：ｓ）的函数解析 式是狊＝６０狋－１．５狋２．飞机着陆后滑行多远才能停下来？ ４．已知直角三角形两条直角边的和等于８，两条直角边各为多少时，这个直角三角 形的面积最大？最大值是多少？ ５．如图，四边形犃犅犆犇的两条对角线犃犆，犅犇互相垂直，犃犆＋犅犇＝１０，当犃犆， 犅犇的长是多少时，四边形犃犅犆犇的面积最大？ D C A D G C H F E B F A （第５题） C （第 D ６题） B A E （第７题） B  ６．一块三角形材料如图所示，∠犃＝３０°，∠犆＝９０°，犃犅＝１２．用这块材料剪出一个 矩形犆犇犈犉，其中，点犇，犈，犉分别在犅犆，犃犅，犃犆上．要使剪出的矩形 犆犇犈犉的面积最大，点犈应选在何处？ ７．如图，点犈，犉，犌，犎分别位于正方形犃犅犆犇的四条边上．四边形犈犉犌犎也是 正方形．当点犈位于何处时，正方形犈犉犌犎的面积最小？ ８．某宾馆有５０个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为１８０元时，房间会全部住 满；当每个房间每天的定价每增加１０元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住 房间，宾馆需对每个房间每天支出２０元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润 最大？   ９．分别用定长为犔的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？   推测滑行距离与滑行时间的关系 一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离狊（单位：ｍ）与滑行时间狋（单位：ｓ） 之间的关系式，测得一些数据 （如下页表）． ２６ !"#$%&"’()滑行时间狋／ｓ ０ １ ２ ３ ４ 滑行距离狊／ｍ ０ ４．５ １４ ２８．５ ４８ 为观察狊与狋之间的关系，建立坐标系，以狋为横坐 s/m 标，狊为纵坐标，描出表中数据对应的５个点，并用平滑 50 曲线连接它们 （图１）．可以看出，这条曲线像是抛物线 的一部分．于是，我们用二次函数来近似地表示狊与狋的 40 关系． 30 设狊＝犪狋２＋犫狋＋犮．因为当狋＝０时，狊＝０，所以犪× 20 ０＋犫×０＋犮＝０，得犮＝０． 10 又当狋＝１时，狊＝４．５；当狋＝２时，狊＝１４，即 O 1 2 3 4 t/s 烄犪＋犫＝４．５， 图１ 烅 烆２２犪＋２犫＝１４． 烄犪＝２．５， 解得 烅 烆犫＝２． 这样我们得到二次函数狊＝２．５狋２＋２狋，可以用它近似描述狊与狋之间的关系． 上面我们根据实际问题中的有关数据，数形结合地求出表示变量间关系的函数，这属 于建立模拟函数描述实际问题．有时这样的函数可能只是近似地反映实际规律，但是它对 认识事物有一定作用． ２７ !"#$%&"’()   

（１）观察下列两个两位数的积 （两个乘数的十位上的数都是９，个位 上的数的和等于１０），猜想其中哪个积最大． ９１×９９，９２×９８，…，９８×９２，９９×９１． （２）观察下列两个三位数的积 （两个乘数的百位上的数都是９，十位 上的数与个位上的数组成的数的和等于１００），猜想其中哪个积最大． ９０１×９９９，９０２×９９８，…，９９８×９０２，９９９×９０１． 对于 （１）（２），你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 

（１）如图１，在平面直角坐标系中，点犃 的坐标是 （０，２）．在狓轴上任取一点犕，完成 以下作图步骤： ①连接犃犕，作线段犃犕的垂直平分线犾， １ 过点犕作狓轴的垂线犾，记犾，犾 的交点 ２ １ ２ 为犘． y 5 ②在狓轴上多次改变点犕的位置，用①的 4 方法得到相应的点犘，把这些点用平滑的曲线 3 2 A(0, 2) 连接起来． 1 观察画出的曲线犔，猜想它是我们学过的 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x -1 哪种曲线． -2 -3 （２）对于曲线犔上任意一点犘，线段犘犃 -4 -5 与犘犕有什么关系？设点犘的坐标是 （狓，狔）， 图１ 你能由犘犃与犘犕的关系得到狓，狔满足的关系 式吗？你能由此确定曲线犔是哪种曲线吗？你得 出的结论与先前你的猜想一样吗？（提示：根据 勾股定理用含狓，狔的式子表示线段犘犃的长．） ２８ !"#$%&"’()小 结 一、本章知识结构图       y=ax 2 +bx+c           二、回顾与思考 本章我们首先认识了二次函数，研究了它的图象与性质，然后从函数的角 度对一元二次方程又进行了讨论，最后运用二次函数分析和解决了一些实际 问题． 我们按从简单到复杂、从特殊到一般的顺序，讨论了二次函数的图象和性 质：先讨论函数狔＝犪狓２ 的图象和性质；再将函数狔＝犪狓２ 的图象上下、左右 平移就得到狔＝犪（狓－犺） ２＋犽的图象，并观察图象得到性质；又通过配方，将 函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮化成狔＝犪（狓－犺） ２＋犽的形式，从而把问题转化成已解决 的问题．在此过程中，配方、图象平移等起着重要作用．借助二次函数的图象 得到它的性质，又一次体现了数形结合思想，让我们领悟到几何直观的作用． 二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象与狓轴的位置关系，与一元二次方程 犪狓２＋犫狓＋犮＝０的根的情形有密切联系．如果函数图象与狓轴有公共点，那么 公共点的横坐标就是方程的根．揭示这些联系可以加深对一元二次方程的 认识． 运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间的关 系，然后利用二次函数的图象与性质求解，从而获得实际问题的答案．对此， 可以结合本章知识结构图加以体会． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． ２９ !"#$%&"’()１．举例说明，一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示，列出 函数解析式并画出图象． ２．结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方 向、顶点，说明二次函数在什么情况下取得最大 （小）值． ３．结合抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮与狓轴的位置关系，说明方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０ 的根的各种情况． ４．在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最 省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大 值或最小值．请举例说明如何分析、解决这样的问题． ５．回顾一次函数和二次函数，体会函数这种数学模型在反映现实世界的运 动变化中的作用． 复习题２８  １．如图，正方形犃犅犆犇的边长是４．犈是犃犅上一点，犉是犃犇 A D F 延长线上的一点，犅犈＝犇犉．四边形犃犈犌犉是矩形，矩形 犃犈犌犉的面积狔随犅犈的长狓的变化而变化，狔与狓之间的 关系可以用怎样的函数来表示？ E G ２．某商场第１年销售计算机５０００台，如果每年的销售量比上 B （第１题）C 一年增加相同的百分率狓，写出第３年的销售量狔关于每年 增加的百分率狓的函数解析式． ３．选择题． 在抛物线狔＝狓２－４狓－４上的一个点是 （ ）． （Ａ）（４，４） （Ｂ）（３，－１） （ ） １ ７ （Ｃ）（－２，－８） （Ｄ） － ，－ ２ ４ ４．先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图： （１）狔＝狓２＋２狓－３； （２）狔＝１＋６狓－狓２； １ １ （３）狔＝ 狓２＋２狓＋１； （４）狔＝－ 狓２＋狓－４． ２ ４ ５．汽车刹车后行驶的距离狊（单位：ｍ）关于行驶的时间狋（单位：ｓ）的函数解析 式是狊＝１５狋－６狋２．汽车刹车后到停下来前进了多远？ ３０ !"#$%&"’() ６．根据下列条件，分别确定二次函数的解析式： （１）抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮过点 （－３，２），（－１，－１），（１，３）； １ ３ （２）抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮与狓轴的两交点的横坐标分别是－ ， ，与狔轴交 ２ ２ 点的纵坐标是－５． ７．如图，用一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的 18m 矩形菜园，墙长为１８ｍ．这个矩形的长、宽各为多少  时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ ８．已知矩形的周长为３６ｃｍ，矩形绕它的一条边旋转形  成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的 圆柱的侧面积最大？ （第７题）   ９．如图，点犈，犉，犌，犎分别在菱形犃犅犆犇的四条边上，犅犈＝犅犉＝犇犌＝犇犎， 连接犈犉，犉犌，犌犎，犎犈，得到四边形犈犉犌犎． （１）求证：四边形犈犉犌犎是矩形． （２）设犃犅＝犪，∠犃＝６０°，当犅犈为何值时，矩形犈犉犌犎的面积最大？ D H G A C E F B （第９题） １０．对某条路线的长度进行狀次测量，得到狀个结果狓，狓，…，狓．如果用狓作为这 １ ２ 狀 条路线长度的近似值，当狓取什么值时，（狓－狓）２＋（狓－狓）２＋…＋（狓－狓）２ １ ２ 狀 最小？狓所取的这个值是哪个常用的统计量？ ３１ !"#$%&"’()第二十九章 反比例函数 同一条铁路线上，由于不同车次列车运行时 间有长有短，所以它们的平均速度有快有慢．由 狊＝狏狋可知，在路程狊一定的前提下，平均速度狏 与运行时间狋成反比例．从函数角度看，平均速度 狏随运行时间狋的变化而变化的规律，可表示为 狊 狏＝ （狊为常数），这类函数就是本章要研究的反 狋 比例函数． 与研究一次函数、二次函数类似，我们将在 反比例函数定义的基础上，研究反比例函数的图 象和性质，并运用反比例函数解决一些实际问题． 书书书２９．１ 反比例函数 ２９．１．１ 反比例函数  下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么 共同特点？ （１）京沪线铁路全程为１４６３ｋｍ，某次列车的平均速度狏（单位： ｋｍ／ｈ）随此次列车的全程运行时间狋（单位：ｈ）的变化而变化； （２）某住宅小区要种植一个面积为１０００ｍ２ 的矩形草坪，草坪的长狔 （单位：ｍ）随宽狓（单位：ｍ）的变化而变化； （３）已知北京市的总面积为１．６４×１０４ｋｍ２ ，人均占有面积犛（单位： ｋｍ２ ／人）随全市总人口狀（单位：人）的变化而变化． 问题 （１）中，有两个变量狋与狏，当一个量狋变化时，另一个量狏随着它 的变化而变化，而且对于狋的每一个确定的值，狏都有唯一确定的值与其对 应．问题 （２）（３）也一样．所以这些变量间具有函数关系，它们的解析式分 别为 １４６３ １０００ １．６４×１０４ 狏＝ ，狔＝ ，犛＝ ． 狋 狓 狀 犽 上述解析式都具有狔＝ 的形式，其中犽是非０常数． 狓 犽 一般地，形如狔＝ （犽为常数，犽≠０）的函数， 狓 叫做反比例函数 （ｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ），其中 在狔＝ 犽 中，自变 狓 狓是自变量，狔是函数．自变量狓的取值范围是不等 犽 量狓是分式 的分母， 于０的一切实数． 狓 例如，在上面的问题 （１）中，当路程一定 犽 当狓＝０时，分式 无 狓 １４６３ （１４６３ｋｍ）时，狏＝ 表示速度狏是时间狋的反 意义． 狋 ３３ !"#$%&’()*+ 书书书比例函数，当狋取每一个确定的值时，狏都有唯一确定的值与其对应． 例１ 已知狔是狓的反比例函数，并且当狓＝２时，狔＝６． （１）写出狔关于狓的函数解析式； （２）当狓＝４时，求狔的值． 犽 分析：因为狔是狓的反比例函数，所以设狔＝ ．把狓＝２和狔＝６代入上 狓 式，就可求出常数犽的值． 犽 解：（１）设狔＝ ．因为当狓＝２时，狔＝６，所以有 狓 犽 ６＝ ． ２ 解得 犽＝１２． １２ 因此 狔＝ ． 狓 １２ （２）把狓＝４代入狔＝ ，得 狓 １２ 狔＝ ＝３． ４ １．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系： （１）一个游泳池的容积为２０００ｍ３，游泳池注满水所用时间狋（单位：ｈ）随注 水速度狏（单位：ｍ３／ｈ）的变化而变化； （２）某长方体的体积为１０００ｃｍ３，长方体的高犺（单位：ｃｍ）随底面积犛（单 位：ｃｍ２）的变化而变化； （３）一个物体重１００Ｎ，物体对地面的压强狆（单位：Ｐａ）随物体与地面的接触 面积犛（单位：ｍ２）的变化而变化． ２．下列哪些关系式中的狔是狓的反比例函数？ 狔 ２ １ 狔＝４狓， ＝３，狔＝－ ，狔＝６狓＋１，狔＝狓２－１，狔＝ ，狓狔＝１２３． 狓 狓 狓２ ３．已知狔与狓２ 成反比例，并且当狓＝３时，狔＝４． （１）写出狔关于狓的函数解析式； （２）当狓＝１．５时，求狔的值； （３）当狔＝６时，求狓的值． ３４ !"#$%&’()*+２９．１．２ 反比例函数的图象和性质 我们知道，一次函数狔＝犽狓＋犫的图象是一条直线，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮 犽 的图象是一条抛物线．反比例函数狔＝ 的图象是什么样呢？我们用 “描点” 狓 的方法，画出反比例函数的图象，并利用图象研究反比例函数的性质． 我们先研究犽＞０的情形． ６ １２ 例２ 画出反比例函数狔＝ 与狔＝ 的图象． 狓 狓 解：列表表示几组狓与狔的对应值 （填空）： 狓 … －１２－６ －４ －３－２－１１ ２ ３ ４ ６１２… 你还记得如 ６ 何用 “描 点”的 狔＝ … －１．５－２ ６ ２ １ … 狓 方法画出函数的 １２ 图象吗？ 狔＝ … －１－２ －４－６ １２ ４ ３ １ … 狓 描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连 ６ １２ 接这些点，就得到函数狔＝ 与狔＝ 的图象 （图２９．１１）． 狓 狓 y y 6 y= 6 x 6 y= 1 x 2 4 4 2 2 利用信息技术工 -6 -4 -2 O 2 4 6 x -6 -4 -2 O 2 4 6 x 具，可以很容易地画 -2 -2 出反比例函数的图象． -4 -4 -6 -6 图２９．１１ ３５ !"#$%&’()*+ ６ １２ 观察反比例函数狔＝ 与狔＝ 的图象，回答下面的问题： 狓 狓 （１）每个函数的图象分别位于哪些象限？ （２）在每一个象限内，随着狓的增大，狔如何变化？你能由它们的 解析式说明理由吗？ 犽 （３）对于反比例函数狔＝ （犽＞０），考虑问题 （１）（２），你能得出 狓 同样的结论吗？ 犽 一般地，当犽＞０时，对于反比例函数狔＝ ， y 狓 y= x >0 由函数图象 （图２９．１２），并结合解析式，我 们可以发现： x O （１）函数图象分别位于第一、第三象限； （２）在每一个象限内，狔随狓的增大而减小． 图２９．１２ 犽 当犽＜０时，反比例函数狔＝ 的图象和 狓 你能由函数的解 析式说明这些结论吗？ 性质是怎样的呢？  犽 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数狔＝ 狓 犽 （犽＞０）的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数狔＝ （犽＜０） 狓 的图象和性质吗？ 犽 y 一般地，当犽＜０时，对于反比例函数狔＝ ， 狓 y=!x < 0! 由函数图象 （图２９．１３），并结合解析式，我们可 以发现： O x （１）函数图象分别位于第二、第四象限； （２）在每一个象限内，狔随狓的增大而增大． 图２９．１３ ３６ !"#$%&’()*+反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线．  犽 一般地，反比例函数狔＝ 的图象是双曲线，它具有以下性质： 狓 （１）当犽＞０时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个 象限内，狔随狓的增大而减小； （２）当犽＜０时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个 象限内，狔随狓的增大而增大． １． （１）下列图象中是反比例函数图象的是 （ ）． y y y y 6 3 8 3 4 2 6 2 4 2 1 1 2 -6 -4 -2 O 2 4 6 x -3 -2 -1 O 1 2 3 x -8 -6 -4 -2O 2 4 6 8 x -3 -2 -1 O 1 2 3 x -2 -1 -2 -1 -4 -4 -2 -6 -2 -6 -3 -8 -3 （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） （２）如图所示的图象对应的函数解析式为 （ ）． ４ ３ （Ａ）狔＝５狓 （Ｂ）狔＝２狓＋３ （Ｃ）狔＝ （Ｄ）狔＝－ 狓 狓 y y 6 6 4 4 2 2 O 1 3 5 -6 -4 -2 O 2 4 6 x -5 -3 -1 x -2 -2 -4 -4 -6 -6 （第１（２）题） （第２（２）题） ２．填空： ５ （１）反比例函数狔＝ 的图象在第 象限． 狓 犽 （２）反比例函数狔＝ 的图象如图所示，则犽 ０；在图象的每一支上，狔随 狓 狓的增大而 ． ３７ !"#$%&’()*+例３ 已知反比例函数的图象经过点犃（２，６）． （１）这个函数的图象位于哪些象限？狔随狓的增大如何变化？ （ １ ４） （２）点犅（３，４），犆 －２ ，－４ ，犇（２，５）是否在这个函数的图 ２ ５ 象上？ 解：（１）因为点犃（２，６）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、 第三象限，在每一个象限内，狔随狓的增大而减小． 犽 （２）设这个反比例函数的解析式为狔＝ ，因 狓 为点犃（２，６）在其图象上，所以点犃的坐标满 这里是用待定系 数法求反比例函数的 犽 足狔＝ ，即 解析式． 狓 犽 ６＝ ， ２ 解得 犽＝１２． １２ 所以，这个反比例函数的解析式为狔＝ ．因为点犅，犆的坐标都满足 狓 １２ １２ １２ 狔＝ ，点犇的坐标不满足狔＝ ，所以点犅，犆在函数狔＝ 的图象上，点 狓 狓 狓 犇不在这个函数的图象上． 犿－５ y 例４ 如图２９．１４，它是反比例函数狔＝ 狓 图象的一支．根据图象，回答下列问题： （１）图象的另一支位于哪个象限？常数犿的 取值范围是什么？ （２）在这个函数图象的某一支上任取点 犃（狓，狔）和点犅（狓，狔）．如果狓＞狓，那么狔 O x １ １ ２ ２ １ ２ １ 和狔 有怎样的大小关系？ 图２９．１４ ２ 解：（１）反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位 于第二、第四象限．因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必 位于第三象限． 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 犿－５＞０， ３８ !"#$%&’()*+解得 犿＞５． （２）因为犿－５＞０，所以在这个函数图象的任一支上，狔都随狓的增大而 减小，因此当狓＞狓 时，狔＜狔． １ ２ １ ２ １．已知一个反比例函数的图象经过点犃（３，－４）． （１）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，狔随狓的增大如何 变化？ （２）点犅（－３，４），犆（－２，６），犇（３，４）是否在这个函数的图象上？为什么？ １ ２．已知点犃 （狓，狔），犅 （狓，狔）在反比例函数狔＝ 的图象上．如果 １ １ ２ ２ 狓 狓＜狓，而且狓，狓 同号，那么狔，狔 有怎样的大小关系？为什么？ １ ２ １ ２ １ ２ 习题２９．１  １．写出函数解析式表示下列关系，并指出它们各是什么函数： （１）体积是常数犞时，圆柱的底面积犛与高犺的关系； （２）柳树乡共有耕地犛ｈｍ２，该乡人均耕地面积狔（ｈｍ２／人）与全乡总人口狓的关系． ２．下列函数中是反比例函数的是 （ ）． 狓 槡５ ２ （Ａ）狔＝ （Ｂ）狔＝－ （Ｃ）狔＝狓２ （Ｄ）狔＝ ２ ３狓 狓＋１ ３．填空： 犽 （１）反比例函数狔＝ 的图象如图 （１）所示，则犽 ０，在图象的每一支上， 狓 狔随狓的增大而 ； 犽 （２）反比例函数狔＝ 的图象如图 （２）所示，则犽 ０，在图象的每一支 狓 上，狔随狓的增大而 ； 犽 （３）若点（１，３）在反比例函数狔＝ 的图象上，则犽＝ ，在图象的每一支 狓 上，狔随狓的增大而 ． ３９ !"#$%&’()*+y y O x O x （１） （２） （第３题） ４．如果狔是狓的反比例函数，那么狓也是狔的反比例函数吗？  犽 ５．正比例函数狔＝狓的图象与反比例函数狔＝ 的图象有一个交点的纵坐标是２． 狓 犽 （１）当狓＝－３时，求反比例函数狔＝ 的值； 狓 犽 （２）当－３＜狓＜－１时，求反比例函数狔＝ 的取值范围． 狓 ６．如果狔是狕的反比例函数，狕是狓的反比例函数，那么狔与狓具有怎样的函数关系？ ７．如果狔是狕的反比例函数，狕是狓的正比例函数，且狓≠０，那么狔与狓具有怎样的 函数关系？   犽 ８．在同一直角坐标系中，函数狔＝犽狓与狔＝ （犽≠０）的图象是 （ ）． 狓 （Ａ）（１）（２） （Ｂ）（１）（３） （Ｃ）（２）（４） Ｄ （３）（４） y y y y O x O x O x O x （１） （２） （３） （４） （第８题） 狑－槡２ ９．已知反比例函数狔＝ 的图象的一支位于第一象限． 狓 （１）图象的另一支位于哪个象限？常数狑的取值范围是什么？ ４０ !"#$%&’()*+（２）在这个函数图象上任取点犃（狓，狔）和犅（狓，狔）．如果狔＞狔，那么狓 与 １ １ ２ ２ １ ２ １ 狓 有怎样的大小关系？ ２   探索反比例函数的性质 同学们，我们已经学会了用 “描点”的方法画反比例函数的图象，如果描出的点越 多，那么画出的函数图象就越准确．利用计算机可以画出精确度很高的反比例函数的图 象，而且画图的速度也非常快． １ 图１就是用计算机中的制图软件画出的反比例函数狔＝ 的图象． 狓 3 A:(1.00,1.00) 3 2 B:(-1.00,-1.00) 2 A 1 1 -5-4-3-2 -1O 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 B -1 -2 -2 -3 -3 图１ 图２ 制图软件不但能帮助我们画出反比例函数的图象，而且能帮助我们研究反比例函数的性质． １ 如图２，在反比例函数狔＝ 的图象上选定犃（１，１），犅（－１，－１）两点，过犃，犅两 狓 点作一条直线，即正比例函数狔＝狓的图象． 如图３，把直线狔＝狓选定为对称轴．在反比例函 A:(1.00,1.00) 3 １ 数狔＝ 的图象上任意选取一点犆，再作点犆关于直线 B:(-1.00,-1.00) 2 C 狓 C:(0.5,2.00) A C
:(2.00,0.5) 1 C
狔＝狓的对称点犆′．可以看出，对称点犆′也在反比例函 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 １ B -1 数狔＝ 狓 的图象上．对比点犆和点犆′的坐标，看一看它 -2 -3 １ 们有什么关系．当拖动点犆在反比例函数狔＝ 的图象 图３ 狓 １ 上运动时，可以看到点犆′也在反比例函数狔＝ 的图象上运动． 狓 １ 通过上述的观察，可以发现，反比例函数狔＝ 的图象关于直线狔＝狓对称． 狓 ４１ !"#$%&’()*+１ 反比例函数狔＝ 的图象关于直线狔＝－狓对称吗？ 狓 犽 一般地，反比例函数狔＝ 的图象既关于直线狔＝狓对称，又关于直线狔＝－狓对称． 狓 犽 在同一直角坐标系中，画出犽＝１，２，３，４，５，６时反比例函数狔＝ 的图象，可以 狓 得到如图４所示的图象． y=1 x 3 3 y=- x 1 y=2 x 2 2 y=- x 2 y=3 x 1 1 y=- x 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 y=4 x y=- x 4 -1 -2 y=5 x y=- x 5 -2 -3 y=6 x y=- x 6 -3 图４ 图５ 犽 把犽＝－１，－２，－３，－４，－５，－６时反比例函数狔＝ 的图象画在同一直角坐标 狓 系中，就可以得到如图５所示的图象． 从图４和图５中的图象你还能发现什么规律？在同一直角坐标系中，随着｜犽｜的增大， 犽 反比例函数狔＝ 图象的位置相对于坐标原点是越来越远还是越来越近？ 狓 ４２ !"#$%&’()*+２９．２ 反比例函数与实际问题 前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决 实际问题中的作用．下面我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题． 例１ 市煤气公司要在地下修建一个容积 为１０４ｍ３ 的圆柱形煤气储存室． （１）储存室的底面积犛（单位：ｍ２ ）与其 深度犱（单位：ｍ）有怎样的函数关系？ （２）公司决定把储存室的底面积犛定为 d ５００ｍ２ ，施工队施工时应该向地下掘进多深？ （３）当施工队按 （２）中的计划掘进到地下１５ｍ时，公司临时改变计划， 把储存室的深度改为１５ｍ．相应地，储存室的底面积应改为多少 （结果保留 小数点后两位）？ 解：（１）根据圆柱的体积公式，得 犛犱＝１０４ ， 所以犛关于犱的函数解析式为 １０４ 犛＝ ． 犱 １０４ （２）把犛＝５００代入犛＝ ，得 犱 １０４ ５００＝ ， 犱 解得 犱＝２０（ｍ）． 如果把储存室的底面积定为５００ｍ２ ，施工时应向地下掘进２０ｍ深． １０４ （３）根据题意，把犱＝１５代入犛＝ ，得 犱 １０４ 犛＝ ， １５ 解得 犛≈６６６．６７（ｍ２ ）． 当储存室的深度为１５ｍ时，底面积应改为６６６．６７ｍ２． ４３ !"#$%&’()*+例２ 码头工人每天往一艘轮船上装载３０吨货物，装载完毕恰好用了８ 天时间． （１）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度狏（单位：吨／天）与卸 货天数狋之间有怎样的函数关系？ （２）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过５天卸载完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？ 分析：根据 “平均装货速度×装货天数＝货物的总量”，可以求出轮船装 载货物的总量；再根据 “平均卸货速度＝货物的总量÷卸货天数”，得到狏关 于狋的函数解析式． 解：（１）设轮船上的货物总量为犽吨，根据已知条件得 犽＝３０×８＝２４０， 所以狏关于狋的函数解析式为 ２４０ 狏＝ ． 狋 ２４０ （２）把狋＝５代入狏＝ ，得 狋 ２４０ 狏＝ ＝４８（吨／天）． ５ 从结果可以看出，如果全部货物恰好用５天卸载完，那么平均每天卸载 ２４０ ４８吨．对于函数狏＝ ，当狋＞０时，狋越小，狏越大．这样若货物不超过５ 狋 天卸载完，则平均每天至少要卸载４８吨． 公元前３世纪，古希腊科学家阿基米德发 现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量 成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为 “杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为： 给我一个支点，我可以撬动地球！ 阻力×阻力臂＝动力×动力臂 （图２９．２１）． ———阿基米德      图２９．２１ ４４ !"#$%&’()*+ 书书书例３ 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为１２００Ｎ 和０．５ｍ． （１）动力犉与动力臂犾有怎样的函数关系？当动力臂为１．５ｍ时，撬动 石头至少需要多大的力？ （２）若想使动力犉不超过题 （１）中所用力的一半，则动力臂犾至少要加 长多少？ 解：（１）根据 “杠杆原理”，得 犉犾＝１２００×０．５， 所以犉关于犾的函数解析式为 ６００ 犉＝ ． 犾 当犾＝１．５ｍ时， ６００ 犉＝ ＝４００（Ｎ）． １．５ ６００ 对于函数犉＝ ，当犾＝１．５ｍ时，犉＝４００Ｎ，此时杠杆平衡．因此， 犾 撬动石头至少需要４００Ｎ的力． ６００ （２）对于函数犉＝ ，犉随犾的增大而减小．因此，只要求出犉＝２００Ｎ 犾 时对应的犾的值，就能确定动力臂犾至少应加长的量． １ ６００ 当犉＝４００× ＝２００时，由２００＝ 得 ２ 犾 ６００ 犾＝ ＝３（ｍ）， ２００ 用反比例函数 的知识解释：在我 ３－１．５＝１．５（ｍ）． 们使用撬棍时，为 ６００ 什么动力臂越长就 对于函数犉＝ ，当犾＞０时，犾越大，犉 犾 越省力？ 越小．因此，若想用力不超过４００Ｎ的一半，则 动力臂至少要加长１．５ｍ． 电学知识告诉我们，用电器的功率犘（单位：Ｗ）、两端的电压犝（单位：Ｖ） 及用电器的电阻犚（单位：Ω）有如下关系：犘犚＝犝２．这个关系也可写为犘＝ ，或犚＝ ． ４５ !"#$%&’()*+例４ 一个用电器的电阻是可调节的，其范围 U 为１１０～２２０Ω．已知电压为２２０Ｖ，这个用电器的 电路图如图２９．２２所示． （１）功率犘与电阻犚有怎样的函数关系？ R （２）这个用电器功率的范围是多少？ 图２９．２２ 解：（１）根据电学知识，当犝＝２２０时，得 ２２０２ 犘＝ ． ① 犚 （２）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小． 把电阻的最小值犚＝１１０代入①式，得到功率的最大值 ２２０２ 犘＝ ＝４４０（Ｗ）； １１０ 结合例４，想 把电阻的最大值犚＝２２０代入①式，得到功率的 一想为什么收音机 最小值 的音量、某些台灯 的亮度以及电风扇 ２２０２ 犘＝ ＝２２０（Ｗ）． 的转速可以调节． ２２０ 因此用电器功率的范围为２２０～４４０Ｗ． １．如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为１Ｌ（１Ｌ＝ １ｄｍ３）的圆锥形漏斗． d （１）漏斗口的面积犛与漏斗的深犱有怎样的函数关系？ （２）如果漏斗口的面积为１００ｃｍ２，那么漏斗的深为多少？ ２．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以８０ｋｍ／ｈ的平均速度 用６ｈ到达目的地． （第１题） （１）当他按原路匀速返回时，汽车的速度狏与时间狋有怎样的函数关系？ （２）如果该司机必须在４ｈ之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？ ３．新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖．已知楼体 外表面的面积为５×１０３ｍ２． （１）所需的瓷砖块数狀与每块瓷砖的面积犛有怎样的函数关系？ （２）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖， 每块瓷砖的面积都是８０ｃｍ２，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为２∶２∶１， 需要三种瓷砖各多少块？ ４６ !"#$%&’()*+习题２９．２  １．请举出一个生活中应用反比例函数的例子． ２．某农业大学计划修建一块面积为２×１０６ｍ２ 的矩形试验田． （１）试验田的长狔（单位：ｍ）关于宽狓（单位：ｍ）的函数解析式是什么？ （２）如果试验田的长与宽的比为２∶１，那么试验田的长与宽分别为多少？ ３．小艳家用购电卡购买了１０００ｋＷ·ｈ电，这些电能够使用的天数犿与小艳家平均 每天的用电度数狀有怎样的函数关系？如果平均每天用４ｋＷ·ｈ电，这些电可以 用多长时间？ ４．已知经过闭合电路的电流犐（单位：Ａ）与电路的电阻犚（单位：Ω）是反比例函 数关系，请填下表 （结果保留小数点后两位）： 犐／Ａ １ ２ ３ ４ ５ 犚／Ω ２０ ２５ ３０ ５０ ６５ ８０ ９０ ５．已知甲、乙两地相距狊（单位：ｋｍ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶 的时间狋（单位：ｈ）关于行驶速度狏（单位：ｋｍ／ｈ）的函数图象是 （ ）． t/h t/h t/h t/h O v/(km/h) O v/(km/h) O v/(km/h) O v/(km/h) （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） （第５题）  /(kg/m3) ６．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体 7 积犞（单位：ｍ３）变化时，气体的密度 ρ（单位： 6 ｋｇ／ｍ３）随之变化．已知密度 ρ 与体积犞是反比 5 4 例函数关系，它的图象如图所示． 3 （１）求密度 ρ 关于体积犞的函数解析式； A(5,1.98) 2 （２）当犞＝９ｍ３ 时，求二氧化碳的密度 ρ． 1 ７．红星粮库需要把晾晒场上的１２００ｔ玉米入库封存． O 1 2 3 4 5 6 7 V/m3 （１）入库所需的时间犱（单位：天）与入库平 （第６题） ４７ !"#$%&’()*+均速度狏（单位：ｔ／天）有怎样的函数关系？ （２）已知粮库有职工６０名，每天最多可入库３００ｔ玉米，预计玉米入库最快可在 几天内完成？ （３）粮库职工连续工作两天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决定次日把剩 下的玉米全部入库，至少需要增加多少职工？   I/A ８．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流犐（单位： Ａ）与电阻犚（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如 图所示． 4 （１）请写出这个反比例函数的解析式． （２）蓄电池的电压是多少？ O 9 R/Ω （第８题） （３）完成下表： 犚／Ω ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 犐／Ａ （４）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过１０Ａ，那么用电器可变 电阻应控制在什么范围？ ９．某汽车油箱的容积为７０Ｌ，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到３００ｋｍ外的 省城接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题： （１）油箱加满油后，汽车行驶的总路程狊（单位：ｋｍ）与平均耗油量犫（单位： Ｌ／ｋｍ）有怎样的函数关系？ （２）小王以平均每千米耗油０．１Ｌ的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨， 小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小王始终以此 速度行驶，不需加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？   生活中的反比例关系 如果细心观察一下，你会发现，日常生活中的两个量之间，许多具有反比例关系． 你一定熟悉这种现象：生活中常用的刀具，使用一段时间后就会变钝，用起来很费 劲．如果把刀刃磨薄，刀具就会锋利起来．你知道这是为什么吗？ ４８ !"#$%&’()*+解释这种现象需要考虑压强与受力面积之间的关系．压强不仅与压力的大小有关，还 与受力面积的大小有关．压强就是单位面积上受到的压力，压强的计算公式为 犉 狆＝ ， 犛 其中狆是压强，犉是压力，犛是受力面积．从上式可以看 出，当压力一定时，压强与受力面积成反比例关系．使用 刀具时，刀刃磨得越薄，即刀刃与物体的接触面积犛越 小，压强狆就会越大，我们就会感觉刀具越锋利． 根据压强与受力面积的反比例关系，你能解释为什 么重型坦克、推土机要在轮子上安装又宽又长的履带， 大型载重卡车装有许多车轮吗？ 充满气体的气球能够用脚踩爆，这是为什么呢？原来 这里涉及气体压强与体积之间的关系．当一个容器装有一 定质量的气体时，运动的气体分子碰撞容器壁会对容器产 生压强．在温度恒定的情况下，气体的压强狆与气体体积 犞成反比例关系，气体的压强会随气体体积的减小 （增 大）而增大 （减小）．当气球充满气体时，如果用脚踩气 球，就会使气球的体积变小，从而使气体的压强增大，导 致气球爆裂． 利用气体压强与体积之间的这种反比例关系，你能解 释为什么超载的车辆容易爆胎吗？ 同学们一定有这样的感受：一辆汽车在空载的情况下行驶得很快，但是满载时速度明 显减小了，这是为什么呢？ 这里涉及汽车的行驶速度与汽车所受阻力之间的反比例关系．设汽车的功率为犘，行 驶速度为狏，所受阻力为犉，三者之间满足关系 犘 狏＝ ． 犉 从上面的式子可以看出，当汽车的功率犘一定时，汽车的负载越大，阻力犉就越大，行 驶速度狏就会越小． 你还能举出生活中可以用反比例关系解释的例子吗？ ４９ !"#$%&’()*+   

下表是１０个面积相等的矩形的长与宽，请补齐表格． 长／ｃｍ １ ２ ３ ４ ５ ５ １０ ５ １０ 宽／ｃｍ ２ １ ３ ７ ４ ９ 设∠犃为这１０个矩形的公共角，画出这１０个矩形，然后取∠犃的 １０个对角的顶点，并把这１０个点用平滑的曲线连接起来． 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？ 

如右图，取一根长１００ｃｍ的匀质木杆， 用细绳绑在木杆的中点犗并将其吊起来．在 中点犗的左侧距离中点犗２５ｃｍ处挂一个重 O L ９．８Ｎ的物体，在中点犗右侧用一个弹簧秤 向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤 与中点犗的距离犔（单位：ｃｍ），看弹簧秤的 示数犉（单位：Ｎ）有什么变化，并填写下表： 犔／ｃｍ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０ ３５ ４０ ４５ 犉／Ｎ 以犔的数值为横坐标，犉的数值为纵坐标建立直角坐标系．在坐标系 中描出以上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线连接这些点． 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？点（５０，４．９）在这条 曲线上吗？ ５０ !"#$%&’()*+小 结 一、本章知识结构图 犽 狔＝ 狓  犽 狔＝ 狓 二、回顾与思考 本章我们从现实世界中具有反比例关系的实例出发，从函数角度刻画了反 犽 比例关系，认识了反比例函数狔＝ ．像研究一次函数、二次函数一样，我们 狓 先用描点法画出反比例函数的图象，观察图象得出反比例函数的性质；最后运 用反比例函数解决实际问题． 本章我们又一次经历了用函数研究变化规律的过程，用反比例函数刻画具 有反比例关系的两个变量之间的对应关系：在变量狔随变量狓的变化而变化的 过程中，它们的积狓狔始终保持不变 （狓狔＝犽，犽≠０）．这也是判断一个问题能 否用反比例函数来刻画的依据． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．举例说明什么是反比例函数． 犽 ２．反比例函数狔＝ 的图象是什么样的？反比例函数有什么性质？ 狓 ３．我们知道，函数是描述现实世界中变化规律的数学模型．反比例函数描 述的变化规律是怎样的？ ４．与正比例函数、一次函数、二次函数的图象相比，反比例函数的图象特 殊在哪里？ ５．你能举出现实生活中几个运用反比例函数性质的实例吗？ ６．结合本章内容，请你谈一谈运用数形结合解决问题的体会． ５１ !"#$%&’()*+复习题２９  １．用解析式表示下列函数： （１）三角形的面积是１２ｃｍ２，它的一边犪（单位：ｃｍ）是这边上的高犺（单位： ｃｍ）的函数； （２）圆锥的体积是５０ｃｍ３，它的高犺（单位：ｃｍ）是底面面积犛（单位：ｃｍ２） 的函数． ２．填空： ３ 对于函数狔＝ ，当狓＞０时，狔 ０，这时函数图象在第 象限；对于函数 狓 ３ 狔＝－ ，当狓＜０时，狔 ０，这时函数图象在第 象限． 狓 ３．填空： １０ （１）函数狔＝ 的图象在第 象限，在每一个象限内，狔随狓的增大而 ； 狓 １０ （２）函数狔＝－ 的图象在第 象限，在每一个象限内，狔随狓的增大而 ． 狓 ４．下面四个关系式中，狔是狓的反比例函数的是 （ ）． １ １ （Ａ）狔＝ （Ｂ）狔狓＝－槡３ （Ｃ）狔＝５狓＋６ （Ｄ）槡狓＝ 狓２ 狔  犽－１ ５．在反比例函数狔＝ 的图象的每一支上，狔都随狓的增大而减小，求犽的取值 狓 范围． ６．如图，一块砖的Ａ，Ｂ，Ｃ三个面的面积比是４∶２∶１．如果Ｂ A 面向下放在地上，地面所受压强为犪Ｐａ，那么Ａ面和Ｃ面分 C B 别向下放在地上时，地面所受压强各是多少？ （第６题） ７．已知某品牌显示器的寿命大约为２×１０４ｈ． （１）这种显示器可工作的天数犱与平均每日工作的小时数狋之间具有怎样的函数 关系？ （２）如果平均每天工作１０ｈ，那么这种显示器大约可使用多长时间？ ８．把下列函数的解析式与其图象对应起来： ２ ２ ２ ２ （１）狔＝ ；（２）狔＝ ；（３）狔＝－ ；（４）狔＝－ ． 狓 ｜狓｜ 狓 ｜狓｜ ５２ !"#$%&’()*+y y 4 4 3 3 2 2 1 1 -4 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x -3 -2 -1O 1 2 3 4 x -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 （Ａ） （Ｂ） y y 4 4 3 3 2 2 1 1 4 -4 4 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 x -3 -2 -1O 1 2 3 x -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 （Ｃ） （Ｄ） （第８题）   ９．两个不同的反比例函数的图象能否相交？为什么？ 犽 １０．在同一直角坐标系中，若正比例函数狔＝犽狓的图象与反比例函数狔＝ ２的图象 １ 狓 没有交点，试确定犽犽 的取值范围． １ ２ １１．市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为１０６ｍ３，某运输 公司承担了运送土石方的任务． （１）运输公司平均运送速度狏（单位：ｍ３／天）与完成运送任务所需时间狋（单位： 天）之间具有怎样的函数关系？ （２）这个运输公司共有１００辆卡车，每天可运送土石方１０４ｍ３，公司完成全部运 输任务需要多长时间？ （３）当公司以问题 （２）中的速度工作了４０天后，由于工程进度的需要，剩下的 所有运输任务必须在５０天内完成，公司至少应增加多少辆卡车？ ５３ !"#$%&’()*+第三十章 旋转 同学们都见过风车吧，它能在风的吹动下不 停地转动．在我们周围，还能看到许多转动着的物 体，如车轮、水车、风力发电机、飞机的螺旋桨、 时钟的指针、游乐园的大转盘……我们就生活在 一个处处能见到旋转现象的世界中． 在数学中，旋转是图形变化的方法之一，应 该怎样描述它呢？它又有什么性质呢？本章将解 答这些问题．另外，本章还要学习与旋转密切相关 的中心对称知识，并应用平移、轴对称和旋转等 方法进行图案设计，由此可以加深对图形变化的 综合认识． 让我们一起来探索旋转的奥秘吧！ 书书书３０．１ 图形的旋转  如图３０．１１，钟表的指针在不停地转动，从３时到５时，时针转动了 多少度？      P  P
图３０．１１ 图３０．１２ 如图３０．１２，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置． 以上这些现象有什么共同特点呢？ 我们可以把上面问题中的指针、叶片等看作平面图形．像这样，把一个平 面图形绕着平面内某一点犗转动一个角度，叫做图形的旋转 （ｒｏｔａｔｉｏｎ），点犗 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点犘经过旋转变为点犘′， 那么这两个点叫做这个旋转的对应点．例如，图３０．１１中，时针在旋转，表 盘的中心是旋转中心，旋转角是６０°，时针的端点在３时的位置犘与在５时的 位置犘′是对应点． １．请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． ２．时钟的时针在不停地旋转，从上午６时到上午９时，时针旋转的旋转角是多少 度？从上午９时到上午１０时呢？ ３．如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？ A B
O A
（第３题） B ５５ !"#$%&’ A 如图３０．１３，在硬纸板上，挖一个三角形 洞，再另挖一个小洞犗作为旋转中心，硬纸板 B C 下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三 O 角形图案 （△犃犅犆），然后围绕旋转中心转动 A
C
硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△犃′犅′犆′）， 移开硬纸板． B
图３０．１３ △犃′犅′犆′是由△犃犅犆绕点犗旋转得到的． 线段犗犃与犗犃′有什么关系？∠犃犗犃′与∠犅犗犅′有什么关系？△犃犅犆与 △犃′犅′犆′的形状和大小有什么关系？  旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等． 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 旋转前、后的图形全等． 例 如图３０．１４，犈是正方形犃犅犆犇中犆犇边上任意一点，以点犃为中 心，把△犃犇犈顺时针旋转９０°，画出旋转后的图形． 分析：关键是确定△犃犇犈三个顶点的对应 A D 点，即它们旋转后的位置． E 解：因为点犃是旋转中心，所以它的对应点 是它本身． B图３０．１４ C 正方形犃犅犆犇中，犃犇＝犃犅，∠犇犃犅＝９０°， A D 所以旋转后点犇与点犅重合． E 设点犈的对应点为点犈′．因为旋转后的图形 与旋转前的图形全等，所以 E
图B ３０．１５ C ∠犃犅犈′＝∠犃犇犈＝９０°，犅犈′＝犇犈． 因此，在犆犅的延长线上取点犈′，使犅犈′＝ 还有其他方法吗？ 犇犈，则△犃犅犈′为旋转后的图形 （图３０．１５）． ５６ !"#$%&’１．如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了８０°．请在图中小明身上任意选一点犘，利 用旋转性质，标出点犘的对应点． （１）这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系？ （２）这两个点与旋转中心所连线段的夹角是多少度？ （第１题） （第２题） （第３题） ２．如图，用左面的三角形经过怎样的旋转，可以得到右面的图形？ ３．找出图中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角． 选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图 案 （图３０．１６），会出现不同的效果． 图３０．１７的两个旋转中，旋转中心不变，旋转角改 图３０．１６ 变了，产生了不同的旋转效果． O 1 α β O O O 2 图３０．１７ 图３０．１８ 图３０．１８的两个旋转中，旋转角不变，旋转中心改变了，产生了不同的 旋转效果． 我们可以借助旋转设计出许多美丽的图案 （图３０．１９）． 图３０．１９ ５７ !"#$%&’把一个三角形进行旋转： （１）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，看看旋转的效果； （２）改变三角形的形状，看看旋转的效果． 习题３０．１  １．任意画一个△犃犅犆，作下列旋转： （１）以点犃为中心，把△犃犅犆逆时针旋转４０°； （２）以点犅为中心，把△犃犅犆顺时针旋转６０°； （３）在△犃犅犆外任取一点为中心，把△犃犅犆顺时针旋转１２０°； （４）以犃犆的中点为中心，把△犃犅犆旋转１８０°． ２．说出如图所示的压水机压水时的旋转中心和旋转角． A B P C （第２题） （第３题） ３．△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犘是犅犆边上任意一点．以点犃为中心，取旋转角等于 ∠犅犃犆，把△犃犅犘逆时针旋转，画出旋转后的图形． ４．分别画出△犃犅犆绕点犗逆时针旋转９０°和１８０°后的图形． O C A B （第４题） ５８ !"#$%&’５．下面的图形是由一个基本的图形经过旋转得到的，分别指出它们的旋转中心和旋转角． （第５题）  ６．把图中的五角星图案，绕着它的中心犗旋转．旋转角至少为多少度时，旋转后的 五角星能与自身重合？对等边三角形进行类似的讨论． O （第６题） ７．图中的风车图案，可以由哪个基本的图形、经过什么样的旋转得到？ B C A （第７题） （第８题） （第９题） ８．如图，用一个等腰三角形，经过旋转，制作一个五角星图案．（提示：选择旋转中 心，计算旋转角．） ９．如图，△犃犅犆中，∠犆＝９０°． （１）将△犃犅犆绕点犅逆时针旋转９０°，画出旋转后的三角形； （２）若犅犆＝３，犃犆＝４，点犃旋转后的对应点为犃′，求犃′犃的长．   １０．如图，△犃犅犇，△犃犈犆都是等边三角形．犅犈与犇犆有什 D 么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ A １１．以原点为中心，把点犃（４，５）逆时针旋转９０°，得到点 E 犅，求点犅的坐标． B （第１０题）C ５９ !"#$%&’３０．２ 中心对称 ３０．２．１ 中心对称 前面我们研究了旋转及其性质，现在研究一类特殊的旋转———中心对称及 其性质．  （１）如图３０．２１，把其中一个图案绕点犗旋转１８０°，你有什么发现？ A D O O B C 图３０．２１ 图３０．２２ （２）如图３０．２２，线段犃犆，犅犇相交于点犗，犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇． 把△犗犆犇绕点犗旋转１８０°，你有什么发现？ 可以发现，图３０．２１中的一个图案旋转后两 个图案互相重合；图３０．２２中，旋转后△犗犆犇 也与△犗犃犅重合．像这样，把一个图形绕着某一 点旋转１８０°，如果它能够与另一个图形重合，那 么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 （ｃｅｎｔｒａｌｓｙｍｍｅｔｒｙ），这个点叫做对称中心 （简称 你还能指出其 中心）．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做 他对称点吗？ 关于对称中心的对称点．例如，图３０．２２中 △犗犆犇和△犗犃犅关于点犗对称，点犆与点犃是 关于点犗的对称点． 如图３０．２３，三角尺的一个顶点是犗，以点 犗为中心旋转三角尺，可以画出关于点犗中心对 称的两个三角形： ６０ !"#$%&’第一步，画出△犃犅犆； 第二步，以三角尺的一个顶点犗为中心，把三角尺旋转１８０°，画 出△犃′犅′犆′； 第三步，移开三角尺． 因为中心对称的两个三角形可以互相重合，所以△犃犅犆与△犃′犅′犆′是全 等三角形． 因为点犃′是点犃绕点犗旋转１８０°后得到的，线段犗犃绕点犗旋转１８０°得 到线段犗犃′，所以点犗在线段犃犃′上，且犗犃＝犗犃′，即点犗是线段犃犃′的中 点．同样地，点犗也是线段犅犅′和犆犆′的中点． C C A B A B C O B
A
O B
A
A B C
C
（１） O （２） （３） 图３０．２３  中心对称的性质： 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称 中心所平分． 中心对称的两个图形是全等图形． 例１ （１）如图３０．２４，选择点犗为对称中心，画出点犃关于点犗的对 称点犃′； （２）如图３０．２５，选择点犗为对称中心，画出与△犃犅犆关于点犗对称的 △犃′犅′犆′． C A A O O B 图３０．２４ 图３０．２５ 解：（１）如图３０．２６，连接犃犗，在犃犗的延长线上截取犗犃′＝犗犃，即 可以求得点犃关于点犗的对称点犃′． ６１ !"#$%&’ 书书书（２）如图３０．２７，作出犃，犅，犆三点关于点犗的对称点犃′，犅′，犆′， 依次连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犃′，就可得到与△犃犅犆关于点犗对称的△犃′犅′犆′． C B
A A
O B A A
O C
图３０．２６ 图３０．２７ １．分别画出下列图形关于点犗对称的图形． O O （第１题） （第２题） ２．图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心． ３０．２．２ 中心对称图形  （１）如图３０．２８，将线段犃犅绕它的中点旋转１８０°，你有什么发现？ A D O A O B B C 图３０．２８ 图３０．２９ （２）如图３０．２９，将犃犅犆犇绕它的两条对角线的交点犗旋转 １８０°，你有什么发现？ ６２ !"#$%&’可以发现，线段犃犅绕它的中点旋转１８０°后与它本身重合．犃犅犆犇绕它 的两条对角线的交点犗旋转１８０°后与它本身重合．像这样，把一个图形绕着某 一个点旋转１８０°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形 叫做中心对称图形 （ｃｅｎｔｒａｌｓｙｍｍｅｔｒｙｆｉｇｕｒｅ），这个点就是它的对称中心． 由上可得，线段、平行四边形都是中心对称图形． 中心对称图形的形状通常匀称美观，我们在 自然界中可以看到许多美丽的中心对称图形 （图 ３０．２１０（１）），在很多建筑物和工艺品中也常采 线段、平行四 用中心对称图形作装饰图案 （图３０．２１０（２））． 边形的对称中心分 另外，由于具有中心对称图形形状的物体，能够 别是什么？ 在所在的平面内绕对称中心平稳地旋转，所以在 各种机器中要旋转的零部件的形状常设计成中心 对称图形，如水泵叶轮等 （图３０．２１０（３））． （１） （２） （３） 图３０．２１０ １．在我们学过的图形中，你能说出一些中心对称图形吗？ ２．在以下的图案中，哪些是中心对称图形？再举出几个自然界以及生活、生产中 中心对称图形的实例． （第２题） ６３ !"#$%&’ 书书书３０．２．３ 关于原点对称的点的坐标  如图３０．２１１，在直角坐标系中，作出 y 下列已知点关于原点犗的对称点，并写出它 们的坐标．这些坐标与已知点的坐标有什么 D 关系？ C 犃（４，０），犅（０，－３），犆（２，１）， O A x 犇（－１，２），犈（－３，－４）． B E 图３０．２１１  两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点犘（狓，狔）关于 原点的对称点为犘′（－狓，－狔）． 例２ 如图３０．２１２所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与 △犃犅犆关于原点对称的图形． y y 4 4 3 3 C C 2 2 B
A 1 A 1 -2 -2 2 3 -5 -4 -3 -1 O 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -1 O 1 4 5 x -1 -1 A
B B -2 -2 C
图３０．２１２ 图３０．２１３ 解：点犘（狓，狔）关于原点的对称点为犘′（－狓，－狔），因此△犃犅犆的三 个顶点犃（－４，１），犅（－１，－１），犆（－３，２）关于原点的对称点分别为 犃′（４，－１），犅′（１，１），犆′（３，－２），依次连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犃′，就可得 到与△犃犅犆关于原点对称的△犃′犅′犆′（图３０．２１３）． ６４ !"#$%&’１．下列各点中哪两个点关于原点犗对称？ 犃（－５，０），犅（０，２），犆（２，－１），犇（２，０），犈（０，５），犉（－２，１），犌（－２，－１）． ２．写出下列各点关于原点的对称点犃′，犅′，犆′，犇′的坐标： y 犃（３，１），犅（－２，３），犆（－１，－２），犇（２，－３）． A D ３．如图，已知点犃的坐标为 （－２槡３，２），点犅的坐标 O x 为 （－１，－槡３），菱形犃犅犆犇的对角线交于坐标原 点犗，求犆，犇两点的坐标． B C （第３题） 习题３０．２  １．分别画出下列图形关于点犗对称的图形． O O （第１题） ２．下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，指出其对称中心．      （第２题） ６５ !"#$%&’３．四边形犃犅犆犇各顶点坐标分别为犃（５，０），犅（－２，３），犆（－１，０），犇（－１，－５）， 作出与四边形犃犅犆犇关于原点对称的图形． ４．已知点犃（犪，１）与点犃′（５，犫）关于原点对称，求犪，犫的值．  ５．如图，犗，犗 分别是两个半圆的圆心，这个图形是中心对称图形吗？如果不是， １ ２ 请说明理由；如果是，请指出对称中心． C O 2 O 1 A B （第５题） （第６题） ６．已知△犃犅犆，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三 角形能够拼成一个以犃犆，犃犅为邻边的平行四边形？ ７．如图，能否通过平移、轴对称或旋转，由△犃犅犆得到△犇犈犆？ A A E E B C D D B C （第７题）   ８．如图，过菱形对角线交点的一条直线，把菱形分成了两个梯形，这两个梯形全等 吗？为什么？ D C E F A B （第８题） （第９题） （第１０题） ９．如图，由两个全等的梯形可以拼成一个菱形吗？符合什么条件的两个全等梯形可 以拼成一个菱形？ １０．如图，△犃犇犈和△犅犆犉是犃犅犆犇外的两个等边三角形，用旋转的知识说明 △犃犇犈和△犅犆犉成中心对称． ６６ !"#$%&’  探索旋转的性质 利用计算机中的画图软件可以探索以下问题． 探索旋转的性质 任意画一个图形，作出这个图形绕某一点犗旋转某个角度后的图形 （图１）．改变点 犗的位置，或者改变其中一个图形的位置，再对这个图形作旋转，观察每组图形中对应点 与旋转中心所连线段有什么关系，以及对应点与旋转中心连线所成的角有什么关系． A O C C
B B
A
图１ 图２ 利用旋转设计图案 例如，利用旋转画一朵花 （图２）． 第一步 先画出一个花瓣和花心，双击花 心点 （标记旋转中心）； 第二步 执行菜单中的旋转命令，输入适 y B
(1.51
2.70) 6 B

(-1.51
-2.70) 当的角度 （如４５°），进行旋转； 5 A A
(4.02
4.66) 第三步 重复第二步作出多个花瓣，得到 4 A

(-4.02
-4.66) 3 一朵花的图案． B 2 1 C 探索关于原点对称的点的坐标的关系 画一个△犃犅犆，以原点为中心作中心对 -6-5-4-3-2-1O 1 2 3 4 5 6 x C
-1 称，得到△犃′犅′犆′（图３），度量点犃，犃′的坐 -2 B
-3 C
(3.81
1.16) 标，观察它们的坐标有什么关系；再度量点犅， -4 C

(-3.81
-1.16) 犅′的坐标，观察它们的坐标有什么关系． A
-5 -6 改变△犃犅犆的位置，度量点犃，犃′的坐 图３ 标，观察它们的坐标有什么关系；再度量点犅， 犅′的坐标，观察它们的坐标有什么关系． ６７ !"#$%&’３０．３ 课题学习 图案设计 我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计，还可以利用它 们的组合进行图案设计．例如，图３０．３１中的图案就是由 经过旋转、 轴对称和平移得到的． 图３０．３１ 以点犗为旋转中心将 逆时针旋转９０°三次作出图３０．３２，然后以犾 O 为对称轴作出图３０．３３．平移图３０．３３就可以作出图３０．３１中的图案． l 图３０．３２ 图３０．３３ 你能搜集一些利用平移、轴对称和旋转的组合设计的图案吗？你能利用平 移、轴对称和旋转的组合设计一些图案吗？试试看，并与同学互相交流． ６８ !"#$%&’  旋转对称 为什么像螺母、扳手、罐头等物体的某些部分的形状呈正多边形 （图１）？这是因为， 正多边形具有一种重要性质———旋转对称． 图１ ３６０° 把正狀边形绕着它的中心旋转 的整数倍后所得的正狀边形与原正狀边形重合．我 狀 ３６０° 们说，正狀边形关于其中心有 的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点犗旋转角 狀 α后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点犗有角α的旋转对称．图２是具有旋 转对称性质的一些图形． 90e 72e 120e 图２ 如果一个图形是中心对称图形，则把它绕对称中心旋转１８０°后所得图形与原来图形重 合，所以，中心对称图形关于其对称中心有１８０°的旋转对称． 圆关于圆心有任意角的旋转对称，许多物体呈圆形就是应用了圆的这种性质．当我们 用一个扳手扳转一个正六边形螺母时，要应用正六边形关于其中心有６０°的整数倍的旋转 对称，也要应用圆关于圆心有任意角的旋转对称．我们观察一下，许多旋转着的物体都应 用了圆的旋转对称性质．圆的这个性质给我们的生活和生产带来了很多的方便．以后学习 了圆的更多知识后，你对圆的这个性质会有更加深刻的认识． ６９ !"#$%&’   

在平面直角坐标系中，点犃的坐标是 （－３，２），作点犃关于狓轴的 对称点，得到点犅，再作点犅关于狔轴的对称点，得到点犆．点犃与点犆 有什么关系？如果点犃的坐标是 （狓，狔），点犃与点犆也有同样关系吗？ 你能用本章知识解释吗？ 

把点犘（狓，狔）绕原点分别顺时针旋转９０°，１８０°，２７０°，３６０°，点犘 的对应点的坐标分别是什么？将结果填入下表． 旋转的角度 ９０° １８０° ２７０° ３６０° 对应点的坐标 如果是逆时针方向旋转呢？ ７０ !"#$%&’小 结 一、本章知识结构图              二、回顾与思考 在现实生活中，旋转现象是普遍存在的．在同一平面内，一个平面图形绕 着某一点转动一个角度，就是平面图形的旋转．中心对称是旋转的特殊情况： 把一个图形绕某一点旋转１８０°得到的图形与原图形中心对称；如果把一个图形 绕某一点旋转１８０°后所得图形能与原图形重合，则这个图形就是中心对称图 形．旋转后的图形与原图形全等，即旋转与平移、轴对称一样，都是保持全 等关系的图形变化．旋转和中心对称的知识在生产和生活中有广泛的应用． 我们还可以从数量角度来刻画中心对称．在平面直角坐标系中，与点 犘（狓，狔）关于原点对称的点是犘′（－狓，－狔）． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．你能举出一些平面图形旋转的实例吗？平面图形的旋转有哪些性质？ ２．中心对称图形有什么特点？你能举出一些中心对称图形的例子吗？中心 对称图形有哪些应用价值？ ３．在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么关系？ ４．你能否综合应用平移、轴对称和旋转的组合设计一个图案？ ７１ !"#$%&’复习题３０  １．如图，把Ｒｔ△犃犅犆以点犛为中心顺时针旋转３０°，画出旋转后的图形． B C A S （第１题） （第２题） ２．如图，上面的图案是由什么基本图案经怎样的旋转得到的？ ３．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图 形吗？如果是，请标出它们的对称中心． （第３题）  ４．已知线段犃犅，用平移、轴对称或旋转完成以下各题： （１）画出一个以这条线段为一边的正方形； A B （２）画出一个以这条线段为一边的等边三角形； （第４题） （３）画出一个以这条线段为一边，一个内角是３０°的菱形． ５．如图，△犃犅犆和△犈犆犇都是等边三角形，△犈犅犆可以看作是△犇犃犆经过平移、 轴对称或旋转得到．说明得到△犈犅犆的过程． A E B C D （第５题） （第６题） ６．能否通过平移、轴对称和旋转把右边倾斜的树放在左边直立的位置？ ７２ !"#$%&’ 书书书７．如图，有一张纸片，若连接犈犅，则纸片被分为矩形犉犃犅犈和菱形犈犅犆犇．请你 画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由． F E D A B （第７题） C   ８．如图， （１）中的梯形符合什么条件时，可以经过旋转和轴对称形成 （２）中的 图案？ （１） （２） （第８题） ７３ !"#$%&’第三十一章 圆 圆是常见的几何图形，圆形物体在生活中随 处可见．圆也是一种美丽的图形，具有独特的对称 性，无论从哪个角度看，它都具有同一形状．十五 的满月、圆圆的月饼象征着圆满、团圆、和谐．古 希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最 美的是球，一切平面图形中最美的是圆．” 本章我们将在前面学习的基础上，进一步认 识圆，学习与圆有关的线段和角的性质，研究点 和圆、直线和圆、圆和正多边形之间的关系，并 用圆的有关知识解决一些实际问题． 书书书３１．１ 圆的有关性质 ３１．１．１ 圆 圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象 （图３１．１１）． 图３１．１１ 我们在小学已经对圆有了初步认识．如图３１．１２，观察画圆的过程，你 能说出圆是如何画出来的吗？ O A r 图３１．１２ 图３１．１３ 如图３１．１３，在一个平面内，线段犗犃绕它固定的一个端点犗旋转一周， 另一个端点犃所形成的图形叫做圆 （ｃｉｒｃｌｅ）．其固定的端点犗叫做圆心 （ｃｅｎｔｅｒｏｆａｃｉｒｃｌｅ），线段犗犃叫做半径 （ｒａｄｉｕｓ）． ７５ !"#$%&’以点犗为圆心的圆，记作⊙犗，读作 “圆犗”． 从图３１．１２画圆的过程可以看出： （１）圆上各点到定点 （圆心犗）的距离都等 战国时的 《墨经》 就有 “圆，一中同长 于定长 （半径狉）； 也”的记载．它的意思 （２）到定点的距离等于定长的点都在同一个 是圆上各点到圆心的距 圆上． 离都等于半径． 因此，圆心为犗、半径为狉的圆可以看成是 所有到定点犗的距离等于定长狉的点的集合． 例１ 矩形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于 点犗．求证：犃，犅，犆，犇四个点在以点犗为圆 心的同一个圆上． D C 证明：∵ 四边形犃犅犆犇为矩形， １ １ O ∴ 犗犃＝犗犆＝ 犃犆，犗犅＝犗犇＝ 犅犇， ２ ２ A B 犃犆＝犅犇． 图３１．１４ ∴ 犗犃＝犗犆＝犗犅＝犗犇． ∴ 犃，犅，犆，犇四个点在以点犗为圆心， B 犗犃为半径的圆上 （图３１．１４）． O 连接圆上任意两点的线段叫做弦 （ｃｈｏｒｄ）， C 经过圆心的弦叫做直径 （ｄｉａｍｅｔｅｒ）．如图３１．１５ A 图３１．１５ 中，犃犅，犃犆是弦，犃犅是直径． 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 ︵ （ａｒｃ）．以犃，犅为端点的弧记作犃犅，读作 “圆 弧犃犅”或 “弧犃犅”．圆的任意一条直径的两个 大于半圆的弧 （用 三 个 点 表 示，如 图 端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 ︵ ３１．１５中的犃犅犆）叫做 （ｓｅｍｉｃｉｒｃｌｅ）． 优弧；小于半圆的弧 能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：半 ︵ （如图３１．１５中的犃犆） 径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的 叫做劣弧． 半径相等．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 叫做等弧． ７６ !"#$%&’１．如何在操场上画一个半径是５ｍ的圆？说出你的理由． ２．你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的 年龄．把树干的横截面看成是圆形的，如果一棵２０年树 龄的树的树干直径是２３ｃｍ，这棵树的半径平均每年增加 多少？ ３．△犃犅犆中，∠犆＝９０°．求证：犃，犅，犆三点在同一个圆上． ３１．１．２ 垂直于弦的直径 前面，我们学习了与圆有关的一些概念，接下来研究圆的性质．  剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现 了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一 条直径所在的直线都是圆的对称轴．下面我们来证 C 明这个结论． 要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一 O 点关于直径所在直线 （对称轴）的对称点也在圆 A A
M 上．如图３１．１６，设犆犇是⊙犗的任意一条直径， D 犃为⊙犗上点犆，犇以外的任意一点．过点犃作 图３１．１６ 犃犃′⊥犆犇，交 ⊙犗于点犃′，垂足为 犕，连接 犗犃，犗犃′． 在△犗犃犃′中， ∵ 犗犃＝犗犃′， ∴ △犗犃犃′是等腰三角形． 又 犃犃′⊥犆犇， ∴ 犃犕＝犕犃′． 即犆犇是犃犃′的垂直平分线．这就是说，对于圆上任意一点犃，在圆上都 有关于直线犆犇的对称点犃′，因此⊙犗关于直线犆犇对称．即 ７７ !"#$%&’ 书书书圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 从上面的证明我们知道，如果⊙犗的直径犆犇垂直于弦犃犃′，垂足为犕， 那么点犃和点犃′是对称点．把圆沿着直径犆犇折叠时，点犃与点犃′重合， ︵ ︵ ︵ ︵ 犃犕与犃′犕重合，犃犆，犃犇分别与犃′犆，犃′犇重合． ︵ ︵ ︵ ︵ 因此，犃犕＝犃′犕，犃犆＝犃′犆，犃犇＝犃′犇． ︵ 即直径犆犇平分弦犃犃′，并且平分犃犃′，犃犆犃′ !"#$%&’ 书书书 （ ． 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 进一步，我们还可以得到推论： 平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 例２ 赵州桥 （图３１．１７）是我国隋代建造的 石拱桥，距今约有１４００年的历史，是我国古代人 民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的 跨度 （弧所对的弦的长）为３７ｍ，拱高 （弧的中 点到弦的距离）为７．２３ｍ，求赵州桥主桥拱的半 径 （结果保留小数点后一位）． 图３１．１７ 分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物 图画出几何图形． ︵ ︵ 解：如图３１．１８，用犃犅表示主桥拱，设犃犅 所在圆的圆心为犗，半径为犚． C 经过圆心犗作弦犃犅的垂线犗犆，犇为垂足， A B D ︵ 犗犆与犃犅相交于点犆，连接犗犃．根据垂径定理，犇 R ︵ 是犃犅的中点，犆是犃犅的中点，犆犇就是拱高． 由题设可知 图３ O １．１８ 犃犅＝３７，犆犇＝７．２３， 所以 １ １ 犃犇＝ 犃犅＝ ×３７＝１８．５， ２ ２ 垂径定理的探索与证明为选学内容．  ７８犗犇＝犗犆－犆犇＝犚－７．２３． 在Ｒｔ△犗犃犇中，由勾股定理，得 犗犃２＝犃犇２＋犗犇２ ， 即 犚２＝１８．５２＋（犚－７．２３） ２． 解得 犚≈２７．３． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为２７．３ｍ． １．如图，在⊙犗中，弦犃犅的长为８ｃｍ，圆心犗到犃犅的距离为３ｃｍ．求⊙犗的 半径． A E B C E O O A B D （第１题） （第２题） ２．如图，在⊙犗中，犃犅，犃犆为互相垂直且相等的两条弦，犗犇⊥犃犅，犗犈⊥犃犆， 垂足分别为犇，犈．求证：四边形犃犇犗犈是正方形． ３１．１．３ 弧、弦、圆心角  剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转１８０°，所得的图形与原图形重合 吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心．不仅如此，把圆绕 圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合．利用这个性质，我们还 可以得到圆的其他性质． 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角 （ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ）．现在利用上面的性质 ７９ !"#$%&’来研究在同一个圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系．  A
如图３１．１９，⊙犗中，当圆心角∠犃犗犅＝ B
B ︵ ︵ ∠犃′犗犅′时，它们所对的弧犃犅和犃′犅′、弦犃犅和 犃′犅′相等吗？为什么？ O A 图３１．１９ ︵ 我们把∠犃犗犅连同犃犅绕圆心犗旋转，使射线犗犃与犗犃′重合． ∵ ∠犃犗犅＝∠犃′犗犅′， ∴ 射线犗犅与犗犅′重合． 又 犗犃＝犗犃′，犗犅＝犗犅′， ∴ 点犃与犃′重合，点犅与犅′重合． ︵ ︵ ︵ ︵ 因此，犃犅与犃′犅′重合，犃犅与犃′犅′重合．即犃犅＝犃′犅′，犃犅＝犃′犅′． 这样，我们就得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等． 同圆或等圆中， 同样，还可以得到： 两个圆心角、两条弧、 两条弦中如果有一组 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它 量相等，则它们所对 们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 应的其余各组量有什 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们 么关系？ 所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． ︵ ︵ 例３ 如图３１．１１０，在⊙犗中，犃犅＝犃犆， ∠犃犆犅＝６０°．求证：∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝∠犃犗犆． A ︵ ︵ 证明：∵ 犃犅＝犃犆， ∴ 犃犅＝犃犆，△犃犅犆是等腰三角形． O 又 ∠犃犆犅＝６０°， B C ∴ △犃犅犆是等边三角形，犃犅＝犅犆＝犆犃． ∴ ∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝∠犃犗犆． 图３１．１１０ ８０ !"#$%&’１．如图，犃犅，犆犇是⊙犗的两条弦． （１）如果犃犅＝犆犇，那么 ， ． ︵ ︵ （２）如果犃犅＝犆犇，那么 ， ． （３）如果∠犃犗犅＝∠犆犗犇，那么 ， ． （４）如果犃犅＝犆犇，犗犈⊥犃犅，犗犉⊥犆犇，垂足分别为犈，犉，犗犈与犗犉相等 吗？为什么？ E D E B C A D O A B O F C （第１题） （第２题） ︵ ︵ ︵ ２．如图，犃犅是⊙犗的直径，犅犆＝犆犇＝犇犈，∠犆犗犇＝３５°．求∠犃犗犈的度数． ３１．１．４ 圆周角 在圆中，除圆心角外，还有一类角 （如图 C ３１．１１１中的∠犃犆犅），它的顶点在圆上，并且两 边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角 （ａｎｇｌｅ ｉｎａｃｉｒｃｕｌａｒｓｅｇｍｅｎｔ）． O 如图３１．１１１，连接犃犗，犅犗，得到圆心角 A B ∠犃犗犅．可以发现，∠犃犆犅，∠犃犇犅与∠犃犗犅对 图３１．１１１ ︵ 着同一条弧犃犅，它们之间存在什么关系呢？下面 我们就来研究这个问题．  ︵ 分别测量图３１．１１１中犃犅所对的圆周角∠犃犆犅和圆心角∠犃犗犅的 度数，它们之间有什么关系？ 在⊙犗上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它 们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？ ８１ !"#$%&’可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这 条弧所对的圆心角的度数的一半． 如图３１．１１２，为了证明上面发现的结论，在 利用一些计算机软 件，可以很方便地度量圆 ⊙犗任取一个圆周角∠犅犃犆，沿犃犗所在直线将 周角、圆心角，有条件的 圆对折，由于点犃的位置不同，折痕会： 同学可以试一下． （１）在圆周角的一条边上； （２）在圆周角的内部； （３）在圆周角的外部． A A A O O O C C B B C D D B





图３１．１１２ 我们来分析第 （１）种情况．如图３１．１１２（１）， 圆心犗在∠犅犃犆的一条边上． 符号 “”读作 犗犃＝犗犆∠犃＝∠犆烌 １ “推出”，“犃犅”表示 烍∠犃＝ ∠犅犗犆． ∠犅犗犆＝∠犃＋∠犆 烎 ２ 由条件犃推出结论犅． 对于第 （２）（３）种情况，可以通过添加辅助 线 （图３１．１１２ （２）（３）），将它们转化为第 （１） 种情况，从而得到相同的结论 （请你自己完成证 明）． 这样，我们就得到圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 C 2 一半． C 1 C 3 进一步，我们还可以得到下面的推论 （请你 A B 自己完成证明）： O 同弧或等弧所对的圆周角相等． 半圆 （或直径）所对的圆周角是直角，９０°的 图３１．１１３ 圆周角所对的弦是直径 （图３１．１１３）． ８２ !"#$%&’例４ 如图３１．１１４，⊙犗的直径犃犅为１０ｃｍ， C 弦犃犆为６ｃｍ，∠犃犆犅的平分线交⊙犗于点犇，求 犅犆，犃犇，犅犇的长． 解：如图３１．１１５，连接犗犇． A B O ∵ 犃犅是直径， ∴ ∠犃犆犅＝∠犃犇犅＝９０°． 在Ｒｔ△犃犅犆中， 图３１． D １１４ 犅犆＝槡犃犅２－犃犆２＝槡１０２－６２＝８（ｃｍ）． C ∵ 犆犇平分∠犃犆犅， ∴ ∠犃犆犇＝∠犅犆犇， ∴ ∠犃犗犇＝∠犅犗犇． A B O ∴ 犃犇＝犅犇． 又 在Ｒｔ△犃犅犇中， D 犃犇２＋犅犇２＝犃犅２ ， 图３１．１１５ 槡２ 槡２ ∴ 犃犇＝犅犇＝ 犃犅＝ ×１０＝５槡２（ｃｍ）． ２ ２ D A 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形 O 的外接圆．如图３１．１１６，四边形犃犅犆犇是⊙犗的内 B C 接四边形，⊙犗是四边形犃犅犆犇的外接圆． 图３１．１１６  圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ 因为圆内接四边形的每一个角都是圆周角，所以我 D 们可以利用圆周角定理，来研究圆内接四边形的角之间 A 的关系． 如图３１．１１７，连接犗犅，犗犇． O ︵ ︵ B C ∵ ∠犃所对的弧为犅犆犇，∠犆所对的弧为犅犃犇， ︵ ︵ 又 犅犆犇和犅犃犇所对的圆心角的和是周角， 图３１．１１７ ８３ !"#$%&’３６０° ∴ ∠犃＋∠犆＝ ＝１８０°． ２ 同理 ∠犅＋∠犇＝１８０°． 这样，利用圆周角定理，我们得到圆内接四边形的一个性质： 圆内接四边形的对角互补． １．判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：









（第１题） ２．如图，圆内接四边形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇把它的４个内角分成８个角， 这些角中哪些相等？为什么？ D A    O  A C     B C B （第２题） （第３题） ３．如图，犗犃，犗犅，犗犆都是⊙犗的半径，∠犃犗犅＝２∠犅犗犆．求证：∠犃犆犅＝ ２∠犅犃犆． ４．如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流 一下． A B O E D C （第４题） （第５题） ５．如图，四边形犃犅犆犇内接于⊙犗，犈为犆犇延长线上一点．若∠犅＝１１０°，求 ∠犃犇犈的度数． ８４ !"#$%&’习题３１．１  １．求证：直径是圆中最长的弦． ２．如图，在半径为５０ｍｍ的⊙犗中，弦犃犅长５０ｍｍ．求： （１）∠犃犗犅的度数； （２）点犗到犃犅的距离． A O O A B B C （第２题） （第３题） ︵ ︵ ３．如图，⊙犗中，犃犅＝犃犆，∠犆＝７５°．求∠犃的度数． ︵ ︵ ４．如图，犃犇＝犅犆，比较犃犅与犆犇的长度，并证明你的结论． A B A C C O D O B D （第４题） （第５题） ５．如图，⊙犗中，犗犃⊥犅犆，∠犃犗犅＝５０°．求∠犃犇犆的度数． ６．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？  （第６题） ７．求证：圆内接平行四边形是矩形．  ８．如下页图是一个隧道的横截面，它的形状是以点犗为圆心的圆的一部分．如果犕 ８５ !"#$%&’是⊙犗中弦犆犇的中点，犈犕经过圆心犗交⊙犗于点犈，并且犆犇＝４ｍ，犈犕＝ ６ｍ．求⊙犗的半径． E O O A C D B C M D （第８题） （第９题） ９．如图，两个圆都以点犗为圆心，大圆的弦犃犅交小圆于犆，犇两点．求证：犃犆＝犅犇． １０．⊙犗的半径为１３ｃｍ，犃犅，犆犇是⊙犗的两条弦，犃犅∥犆犇，犃犅＝２４ｃｍ，犆犇＝ １０ｃｍ．求犃犅和犆犇之间的距离． １１．如图，犃犅，犆犇是⊙犗的两条平行弦，犕犖是犃犅的垂直平分线．求证：犕犖垂 直平分犆犇． M A C D C D O B A B O N （第１１题） （第１２题） ︵ １２．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 （犃犅），点犗是这段弧所在圆的圆心． ︵ 犃犅＝３００ｍ，犆是犃犅上一点，犗犆⊥犃犅，垂足为犇，犆犇＝４５ｍ．求这段弯路的 半径． ︵ １３．如图，犃，犅是⊙犗上的两点，∠犃犗犅＝１２０°，犆是犃犅的中点．求证：四边形 犗犃犆犅是菱形． A A P O O C B C B （第１３题） （第１４题） １４．如图，犃，犘，犅，犆是⊙犗上的四个点，∠犃犘犆＝∠犆犘犅＝６０°．判断△犃犅犆 的形状，并证明你的结论． ８６ !"#$%&’  １５．如图，犃犅和犆犇分别是⊙犗上的两条弦，圆心犗到它们 D 的距离分别是犗犕和犗犖．如果犃犅＞犆犇，犗犕和犗犖的大 C N 小有什么关系？为什么？ １６．如图，铁路犕犖和公路犘犙在点犗处交会，∠犙犗犖＝３０°， O 在点犃处有一栋居民楼，犃犗＝２００ｍ．如果火车行驶时， A M B 周围２００ｍ以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路犕犖 上沿犗犖方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如 （第１５题） 果火车行驶的速度为７２ｋｍ／ｈ，居民楼受噪声影响的时间 约为多少秒 （不考虑火车长度，结果保留小数点后一位）？ X N P P Z O M A Y （第１６题） （第１７题） ︵ １７．如图，一个海港在犡犢范围内是浅滩．为了使深水船只不进入浅滩，需要测量船 ︵ 所在的位置与两个灯塔的视角∠犡犘犢，并把它与已知的危险角∠犡犣犢（犡犢上 任意一点犣与两个灯塔所成的角）相比较，航行中保持∠犡犘犢＜∠犡犣犢．你知 道这样做的道理吗？ ８７ !"#$%&’ 书书书３１．２ 点和圆、直线和圆的位置关系 ３１．２．１ 点和圆的位置关系 问题 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉．图３１．２１ 是射击靶的示意图，它是由许多同心圆 （圆心相同、半径不等的圆）构成的， 你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系． A C O B 图３１．２１ 图３１．２２ 我们知道，圆上所有的点到圆心的距离都等于半径．如图３１．２２，设⊙犗 的半径为狉，点犃在圆内，点犅在圆上，点犆在圆外．容易看出： 犗犃＜狉，犗犅＝狉，犗犆＞狉． 反过来，如果犗犃＜狉，犗犅＝狉，犗犆＞狉，则 可以得到点犃在圆内，点犅在圆上，点犆在 圆外． 符号 “”读作 “等价于”，它表示从符 设⊙犗的半径为狉，点犘到圆心的距离犗犘＝ 号 “”的左端可以推 犱，则有： 出右端，从右端也可以 点犘在圆外犱＞狉； 推出左端． 点犘在圆上犱＝狉； 点犘在圆内犱＜狉． 射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外 分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对 应的环数表示．弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越 近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好． ８８ !"#$%&’ 我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．经过一个已知点犃能不 能作圆，这样的圆你能作出多少个？经过两个已知点犃，犅能不能作圆？ 如果能，圆心分布有什么特点？ 作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小．对于经过已知点作圆的问 题，当圆心确定后，半径也就随之确定，这时作圆的问题就转化为确定圆心的 问题．因此，经过一个点犃作圆，只要以点犃以外任意一点为圆心，以这一 点与点犃的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个 （图３１．２３ （１））．经 过两点犃，犅作圆，由于所作圆的圆心到犃，犅两点的距离相等，所以圆心 在线段犃犅的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个 （图３１．２３ （２））． A A B



图３１．２３  经过不在同一条直线上的三个点犃，犅，犆能不能作圆？如果能，如 何确定所作圆的圆心？ 对于经过不在同一条直线上的三点作圆的问 题，因为所求的圆要经过犃，犅，犆三点，所以圆 l  A 心到这三点的距离要相等．因此，这个点既要在线 段犃犅的垂直平分线上，又要在线段犅犆的垂直平 O 分线上．如图３１．２４，分别作出线段犃犅的垂直平 B C 分线犾和线段犅犆的垂直平分线犾，设它们的交点 １ ２ 为犗，则犗犃＝犗犅＝犗犆．于是以点犗为圆心，犗犃 l  图３１．２４ ８９ !"#$%&’（或犗犅，犗犆）为半径，便可作出经过犃，犅，犆三点的圆．因为过犃，犅，犆 三点的圆的圆心只能是点犗，半径等于犗犃，所以这样的圆只有一个，即 不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 由图３１．２４可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫 做三角形的外接圆 （ｃｉｒｃｕｍｃｉｒｃｌｅ），外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分 线的交点，叫做这个三角形的外心 （ｃｉｒｃｕｍｃｅｎｔｅｒ）．  经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ 如图３１．２５，假设经过同一条直线犾上的犃， P 犅，犆三点可以作一个圆．设这个圆的圆心为犘， 那么点犘既在线段犃犅的垂直平分线犾上，又在 １ 线段犅犆的垂直平分线犾上，即点犘为犾与犾的 l l ２ １ ２   交点，而犾⊥犾，犾⊥犾，这与我们以前学过的 “过 １ ２ 一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所 l A B C 以，经过同一条直线上的三个点不能作圆． 图３１．２５ 上面证明 “经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过 的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立 （即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾， 由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种方法叫做反证法． 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．例如，可以用反证法证明平 行线的性质 “两直线平行，同位角相等”． 如图３１．２６，我们要证明：如果犃犅∥犆犇，那 E 么∠１＝∠２．假设∠１≠∠２，过点犗作直线犃′犅′， A
 使∠犈犗犅′＝∠２．根据 “同位角相等，两直线平 A O B B
行”，可得犃′犅′∥犆犇．这样，过点犗就有两条直  C D 线犃犅，犃′犅′都平行于犆犇，这与平行公理 “经过 直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行” F 图３１．２６ 此平行线性质定理的证明为选学内容．  ９０ !"#$%&’矛盾．这说明假设∠１≠∠２不正确，从而∠１＝∠２． １．画出由所有到已知点犗的距离大于或等于２ｃｍ，并且小于或等于３ｃｍ的点组 成的图形． ２．体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是６．４ｍ和５．１ｍ，他们投出的铅球分 别落在图中哪个区域内？ A B C 3 4 5 6 7 D （第２题） （第３题） ３．如图，犆犇所在的直线垂直平分线段犃犅，怎样用这样的工具找到圆形工件的 圆心？ ３１．２．２ 直线和圆的位置关系  （１）如图３１．２７（１），如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一 条直线．太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？由此你能 得出直线和圆的位置关系吗？ l



图３１．２７ （２）如图３１．２７（２），在纸上画一条直线犾，把钥匙环看作一个圆． 在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线犾的公共 点个数的变化情况吗？ ９１ !"#$%&’可以发现，直线和圆有三种位置关系 （图３１．２８）： r r r l d O O l O l d d





图３１．２８ 如图３１．２８（１），直线和圆有两个公共点，这时 我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图３１．２８（２），直线和圆只有一个公共点， 利用信息技术工 具，可以画出动态的图 这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆 形，方便研究直线和圆 的切线 （ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ），这个点叫做切点． 的位置关系．有条件的 如图３１．２８（３），直线和圆没有公共点，这时 同学可以试一试． 我们说这条直线和圆相离．  如图３１．２８，设⊙犗的半径为狉，圆心犗到直线犾的距离为犱．在直 线和圆的不同位置关系中，犱与狉具有怎样的大小关系？反过来，你能根 据犱与狉的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？ 根据直线和圆相交、相切、相离的定义，容易得到： 直线犾和⊙犗相交犱＜狉； 直线犾和⊙犗相切犱＝狉； 直线犾和⊙犗相离犱＞狉． 圆的直径是１３ｃｍ，如果圆心与直线的距离分别是： （１）４．５ｃｍ； （２）６．５ｃｍ； （３）８ｃｍ． 那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？ ９２ !"#$%&’下面，我们重点研究直线和圆相切的情况．  如图３１．２９，在⊙犗中，经过半径犗犃的 O 外端点犃作直线犾⊥犗犃，则圆心犗到直线犾的 距离是多少？直线犾和⊙犗有什么位置关系？ l A 图３１．２９ 可以看出，这时圆心犗到直线犾的距离就是 ⊙犗的半径，直线犾就是⊙犗的切线．这样，我 已知一个圆和圆 们得到切线的判定定理： 上的一点，如何过这 个点画出圆的切线？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线． 在生活中，有许多直线和圆相切的实例．例 如，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在 砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切 线方向飞出的 （图３１．２１０）． 图３１．２１０  将上面 “思考”中的问题反过来，如图３１．２９，如果直线犾是⊙犗 的切线，切点为犃，那么半径犗犃与直线犾是不是一定垂直呢？ 实际上，我们有切线的性质定理 （可以用反证法证明）： ９３ !"#$%&’圆的切线垂直于过切点的半径． 例１ 如图３１．２１１，△犃犅犆为等腰三角形， A 犗是底边犅犆的中点，腰犃犅与⊙犗相切于点犇． D 求证：犃犆是⊙犗的切线． 分析：根据切线的判定定理，要证明犃犆是 B O C ⊙犗的切线，只要证明由点犗向犃犆所作的垂线 图３１．２１１ 段犗犈是⊙犗的半径就可以了．而犗犇是⊙犗的半 径，因此需要证明犗犈＝犗犇． A 证明：如图３１．２１２，过点犗作犗犈⊥犃犆，垂 D E 足为犈，连接犗犇，犗犃． B C ∵ ⊙犗与犃犅相切于点犇， O ∴ 犗犇⊥犃犅． 图３１．２１２ 又 △犃犅犆为等腰三角形，犗是底边犅犆的 中点， 在解决有关圆的切 ∴ 犃犗是∠犅犃犆的平分线． 线问题时，常常需要作 ∴ 犗犈＝犗犇，即犗犈是⊙犗的半径． 过切点的半径． 这样，犃犆经过⊙犗的半径犗犈的外端犈，并 且垂直于半径犗犈，所以犃犆与⊙犗相切． １．如图，犃犅是⊙犗的直径，∠犃犅犜＝４５°，犃犜＝犃犅．求证：犃犜是⊙犗的切线． B l 1 A O O T （第１题） A l 2 （第２ B 题） ２．如图，犃犅是⊙犗的直径，直线犾，犾是⊙犗的切线，犃，犅是切点．犾，犾有 １ ２ １ ２ 怎样的位置关系？证明你的结论． ９４ !"#$%&’下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间 A 的关系．如图３１．２１３，过圆外一点犘有两条直 线犘犃，犘犅分别与⊙犗相切．经过圆外一点的圆 O P 的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点 到圆的切线长． B 图３１．２１３  如图３１．２１３，犘犃，犘犅是⊙犗的两条切线，切点分别为犃，犅．在 半透明的纸上画出这个图形，沿着直线犘犗将图形对折，图中的犘犃与 犘犅，∠犃犘犗与∠犅犘犗有什么关系？ 如图３１．２１４，连接犗犃和犗犅． A ∵ 犘犃和犘犅是⊙犗的两条切线， ∴ 犗犃⊥犃犘，犗犅⊥犅犘． O P 又 犗犃＝犗犅，犗犘＝犗犘． ∴ Ｒｔ△犃犗犘≌Ｒｔ△犅犗犘． B ∴ 犘犃＝犘犅，∠犃犘犗＝∠犅犘犗． 图３１．２１４ 由此得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角．  图３１．２１５是一块三角形的铁皮，如何在 A 它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的 圆与三角形的三条边都相切？ B C 图３１．２１５ 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离 都等于半径．如何找到这个圆心呢？ 切线长定理的探索与证明为选学内容．  ９５ !"#$%&’我们以前学过，三角形的三条角平分线交于 A 一点，并且这个点到三条边的距离相等．因此， 如图３１．２１６，分别作∠犅，∠犆的平分线犅犕 I N M 和犆犖，设它们相交于点犐，那么点犐到犃犅， 犅犆，犆犃的距离都相等．以点犐为圆心，点犐到 B D C 图３１．２１６ 犅犆的距离犐犇为半径作圆，则⊙犐与△犃犅犆的 三条边都相切，圆犐就是所求作的圆． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 （ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｃｉｒｃｌｅ），内切圆 的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 （ｉｎｃｅｎｔｅｒ）． 例２ 如图３１．２１７，△犃犅犆的内切圆⊙犗与犅犆，犆犃，犃犅分别相切于 点犇，犈，犉，且犃犅＝９，犅犆＝１４，犆犃＝１３．求犃犉，犅犇，犆犈的长． 解：设犃犉＝狓，则 A 犃犈＝狓， E 犆犇＝犆犈＝犃犆－犃犈＝１３－狓， F 犅犇＝犅犉＝犃犅－犃犉＝９－狓． O 由犅犇＋犆犇＝犅犆，可得 B D C 图３１．２１７ （１３－狓）＋（９－狓）＝１４． 解得 狓＝４． 因此 犃犉＝４，犅犇＝５，犆犈＝９． １．如图，△犃犅犆中，∠犃犅犆＝５０°，∠犃犆犅＝７５°，点 A 犗是△犃犅犆的内心．求∠犅犗犆的度数． ２．△犃犅犆的内切圆半径为狉，△犃犅犆的周长为犾，求 △犃犅犆的面积．（提示：设△犃犅犆的内心为犗，连接 O 犗犃，犗犅，犗犆．） B C （第１题） ９６ !"#$%&’习题３１．２  １．⊙犗的半径为１０ｃｍ，根据下列点犘到圆心犗的距离，判断点犘和⊙犗的位置 关系： （１）８ｃｍ； （２）１０ｃｍ； （３）１２ｃｍ． ２．Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝３ｃｍ，犅犆＝４ｃｍ，判断以点犆为圆心，下列狉为 半径的⊙犆与犃犅的位置关系： （１）狉＝２ｃｍ； （２）狉＝２．４ｃｍ； （３）狉＝３ｃｍ． ３．一根钢管放在Ｖ形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是２５ｃｍ． （１）如果犝犞＝２８ｃｍ，犞犜是多少？ （２）如果∠犝犞犠＝６０°，犞犜是多少？ T O U W V A C B （第３题） （第４题） ４．如图，直线犃犅经过⊙犗上的点犆，并且犗犃＝犗犅，犆犃＝犆犅．求证：直线犃犅是 ⊙犗的切线． ５．如图，以点犗为圆心的两个同心圆中，大圆的弦犃犅是小圆的切线，点犘为切 点．求证：犃犘＝犅犘． A O P O A P B C B （第５题） （第６题） ６．如图，犘犃，犘犅是⊙犗的切线，犃，犅为切点，犃犆是⊙犗的直径，∠犅犃犆＝２５°． 求∠犘的度数．  ７．已知犃犅＝６ｃｍ，画半径为４ｃｍ的圆，使它经过犃，犅两点．这样的圆能画出多 少个？如果半径为３ｃｍ，２ｃｍ呢？ ９７ !"#$%&’８．如图，分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，它们外心的位 置有什么特点？ （第８题） ９．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮的碎片，你能帮他找出这个轮子的半径 吗？说出你的理由． W X Y （第９题） （第１０题） １０．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得犠犢＝０．６５ｍ，并且犡犢⊥犠犢．这个油 桶的底面半径是多少？为什么？ １１．如图，犃犅，犅犆，犆犇分别与⊙犗相切于犈，犉，犌三点，且犃犅∥犆犇，犅犗＝ ６ｃｍ，犆犗＝８ｃｍ．求犅犆的长． D A E B C F O A B O D G C （第１１题） （第１２题） １２．如图，犃犅为⊙犗的直径，犆为⊙犗上一点，犃犇和过点犆的切线互相垂直，垂 足为犇．求证：犃犆平分∠犇犃犅．   １３．如下页图，等圆⊙犗 和⊙犗 相交于犃，犅两点，⊙犗 经过⊙犗 的圆心犗． １ ２ １ ２ ２ 求∠犗犃犅的度数． １ ９８ !"#$%&’A A O 1 O 2 O B C B （第１３题） （第１４题） １４．如图，Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅，犅犆，犆犃的长分别为犮，犪，犫．求△犃犅犆 的内切圆半径狉．    圆和圆的位置关系 前面我们学习了点和圆、直线和圆的位置关系，下面我们来研究圆和圆的位置关系． 在两张透明的纸上分别画两个半径不同的圆⊙犗 和⊙犗，把两张纸叠合在一起，固 １ ２ 定其中一张，移动另一张，可以发现，⊙犗 和⊙犗 的位置可能出现以下几种情况 （图１）． １ ２ O O O O O O 1 2 1 2 1 2





O 1 O 2 O 1 O 2 O 1 (O 2 )





图１ 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如图１中 （１）（５）（６）所示．其中 （１）叫做外离，（５）（６）叫做内含，（６）中两圆的圆心相同是两圆内含的一种特殊情况．如 果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图１中 （２）（４）所示．其中 （２）叫 做外切，（４）叫做内切．如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图１中 （３）所示． ９９ !"#$%&’类似于研究点和圆、直线和圆的位置关系，我们也可以用两圆的半径和两圆的圆心距 （两圆圆心的距离）来刻画两圆的位置关系．如果两圆的半径分别为狉和狉 （狉＜狉），圆 １ ２ １ ２ 心距为犱，请你利用犱与狉和狉之间的关系讨论两圆的位置关系，并完成下表： １ ２ 两圆的位置关系 犱与狉和狉之间的关系 １ ２ 外离 犱＞狉＋狉 １ ２ 外切 相交 内切 内含 圆和圆的各种位置关系在生活中随处可见 （图２），你还能再举出一些例子吗？ 图２ １００ !"#$%&’３１．３ 正多边形和圆 我们知道，各边相等、各角也相等的多边形是正多边形．日常生活中，我 们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图 案 （图３１．３１）．你还能举出一些这样的例子吗？  图３１．３１ 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以 作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 以圆内接正五边形为例证明． 如图３１．３２，把⊙犗分成相等的５段弧，依次 A 连接各分点得到五边形犃犅犆犇犈． ∵ 犃 ︵ 犅＝犅 ︵ 犆＝犆 ︵ 犇＝犇 ︵ 犈＝犈 ︵ 犃， B E O ∴ 犃犅＝犅犆＝犆犇＝犇犈＝犈犃， ︵ 犅犆犈＝３犃犅＝犆犇犃． C D 图３１．３２ ∴ ∠犃＝∠犅． 同理 ∠犅＝∠犆＝∠犇＝∠犈． 又 五边形犃犅犆犇犈的顶点都在⊙犗上， ∴ 五边形犃犅犆犇犈是⊙犗的内接正五边形， ⊙犗是正五边形犃犅犆犇犈的外接圆． 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个 正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半    R 径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 O  r 中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边 形的边心距 （图３１．３３）． 图３１．３３ １０１ !"#$%&’例 如图３１．３４，有一个亭子，它的地基是半径为４ｍ的正六边形，求 地基的周长和面积 （结果保留小数点后一位）． F E O A D R r B P C 图３１．３４ 解：如图３１．３４，连接犗犅，犗犆．因为六边形犃犅犆犇犈犉是正六边形，所 ３６０° 以它的中心角等于 ＝６０°，△犗犅犆是等边三角形，从而正六边形的边长等 ６ 于它的半径． 因此，亭子地基的周长 犾＝６×４＝２４（ｍ）． 正狀边形的一个 作犗犘⊥犅犆，垂足为犘．在 Ｒｔ△犗犘犆中， 内角的度数是多少？ 中心角呢？正多边形 犅犆 ４ 犗犆＝４ｍ，犘犆＝ ＝ ＝２（ｍ），利用勾股定 的中心角与外角的大 ２ ２ 小有什么关系？ 理，可得边心距 狉＝槡４２－２２＝２槡３（ｍ）． 亭子地基的面积 １ １ 犛＝ 犾狉＝ ×２４×２槡３≈４１．６（ｍ２ ）． ２ ２ １．矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？ ２．各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是， 说明为什么；如果不是，举出反例． ３．分别求半径为犚的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积． １０２ !"#$%&’实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面 图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关．要制造如图３１．３５中的 零件，也需要等分圆周． 图３１．３５ 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因 此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相 应的正多边形．例如，画一个边长为１．５ｃｍ的正 六边形时，可以以１．５ｃｍ为半径作一个⊙犗，用 利用这种方法，可 ３６０° 量角器画一个等于 ＝６０°的圆心角，它对着一 以画出任意的正狀边形． ６ 段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧， 就得到圆的６个等分点，顺次连接各分点，即可 得到正六边形 （图３１．３６（１））． D R O O A O C 60e



B 图３１．３７ 图３１．３６ 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．例如，我们也可以 这样来作正六边形．由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为犚的圆上 依次截取等于犚的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为 犚的正六边形 （图３１．３６（２））．再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径， 就可以把圆四等分，从而作出正方形 （图３１．３７）． １０３ !"#$%&’１．画一个半径为２ｃｍ的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个 五角星． ２．用等分圆周的方法画出下列图案： （第２题） 习题３１．３  １．完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 ３ ６０° ２槡３ ４ １ ６ 槡３ ２．要用圆形铁片截出边长为犪的正方形铁片，选用的圆形铁 A 片的半径至少是多少？ H L ３．正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪 B E 里？正多边形都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中 心在哪里？ I K ４．如图，犎，犐，犑，犓，犔分别是正五边形犃犅犆犇犈各边的 C J D 中点．求证：五边形犎犐犑犓犔是正五边形． （第４题）  ５．如下页图，要拧开一个边长犪＝１２ｍｍ的六角形螺帽，扳手张开的开口犫至少要 多少？ １０４ !"#$%&’a !"#$%&’ b （第５题） （第６题） ６．如图，正方形的边长为４ｃｍ，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形 的边长和面积． ７．用４８ｍ长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种设计方案：正三角形、 正方形、正六边形、圆．哪种场地的面积最大 （可以利用计算器计算）？   ８．把圆分成狀（狀≥３）等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多 边形叫做这个圆的外切正狀边形．如图，⊙犗的半径是犚，分别求它的外切正三 角形、外切正方形、外切正六边形的边长． O O O （第８题）   圆周率π 我们知道，圆的周长犆＝２π犚，面积犛＝π犚２，你知道公式中的π是 怎么计算出来的吗？学过了正多边形和圆，就可以说出其中的道理了． 犆 由公式犆＝２π犚可得π＝ ．因此，如果已经求得圆的周长，那么 ２犚 只需把它和圆的直径相比就能得到圆周率π．因此，求圆周率π的问题 R 1 犆 在某种意义上就可归结为求圆的周长．实际上，公式π＝ 中圆的周长 ２犚 １０５犆是可以用圆内接正多边形的周长来近似代替的．如图１，把圆 狀等分，顺次连接各分点，便得到一个正狀边形．再取这狀段 弧的中点，连同前面的狀个分点得到２狀个分点，顺次连接这 ２狀个点，便得到正２狀边形．继续这样做下去，圆内接正多边 形的边数就是４狀，８狀，１６狀，３２狀，…．随着边数的成倍增多， O 狆 它们的周长狆越来越接近圆的周长犆， 也越来越接近于圆的 ２犚 犆 图１ 周长与直径的比值 ，这个数就是圆周率π．π是一个无理数， ２犚 π＝３．１４１５９２６５３５８９７９３…． 历史上，对于圆周率π的研究是古代数学一个经久不衰的 话题．在我国，东汉初年的 《周髀算经》里就有 “径一周三” 的古率．公元前３世纪，古希腊数学家阿基米德 （Ａｒｃｈｉｍｅ ｄｅｓ，约公元前２８７—前２１２）通过圆内接和外切正多边形逼近 １０ １ 圆周的方法得到圆周率介于３ 和３ 之间．我国魏晋时期的 ７１ ７ 数学家刘徽首创 “割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定 圆周率，并指出在圆的内接正多边形边长加倍的过程中 “割 之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合 １５７ 体，而无所失矣”．他计算出π≈ ＝３．１４．南朝的祖冲之 ５０ 我国发行的祖 （４２９—５００）在公元５世纪又进一步求得π的值在３．１４１５９２６ 冲之纪念邮票 和３．１４１５９２７之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点 后７位的人． 随着时代的发展，人们利用高等数学的知识来计算π的值，先后得出了许多计算π的 公式，π的近似值的位数也迅速增长． 电子计算机问世以后，圆周率的计算突飞猛进，π的小数点后的位数不断增长．２０世 纪５０年代得到千位以上，６０年代则达到５０万位，８０年代得到１０亿位．到２１世纪初，科 学家已计算出π的小数点后超过万亿的位数． 当今时代，π的计算成为测试超级计算机的各项性能的方法之一．运算速度与计算过 程的稳定性对计算机至关重要．这正是超高精度的π的计算直到今天仍然有重要意义的原 因之一． １０６ !"#$%&’３１．４ 弧长和扇形面积  我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．想一想，如 何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出 发，１°的圆心角所对的弧长是多少？狀°的圆心角呢？ 在半径为犚的圆中，因为３６０°的圆心角所对的 弧长就是圆周长犆＝２π犚，所以１°的圆心角所对的 ︵ ２π犚 π犚 也可以用犃犅犾 表 弧长是 ，即 ．于是狀°的圆心角所对的弧长为 ︵ ３６０ １８０ 示犃犅的长． 狀π犚 犾＝ ． １８０ 例１ 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算 “展直长度”，再下料， 试计算图３１．４１所示的管道的展直长度犔（结果取整数）． A B m m 7 0 0 0 0 m 7 m R=900 mm 100e C O D 图３１．４１ ︵ 解：由弧长公式，得犃犅的长 １００×９００×π 犾＝ ＝５００π≈１５７０（ｍｍ）． １８０ 因此所要求的展直长度 犔≈２×７００＋１５７０＝２９７０（ｍｍ）． １０７ !"#$%&’如图３１．４２，由组成圆心角的两条半径和圆 A 心角所对的弧围成的图形叫做扇形．可以发现，扇 形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的 O 圆心角的大小有关．圆心角越大，扇形面积也就越 B 大．怎样计算圆半径为犚，圆心角为狀°的扇形面 图３１．４２ 积呢？  由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想，如何计 算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？１°的 圆心角所对的扇形面积是多少？狀°的圆心角呢？ 在半径为犚的圆中，因为３６０°的圆心角所对 的扇形的面积就是圆面积犛＝π犚２ ，所以圆心角是 比较扇形面积公式 π犚２ １°的扇形面积是 ．于是圆心角为狀°的扇形面 与弧长公式，可以用弧 ３６０ 长表示扇形面积： 积是 １ 犛 ＝ 犾犚， 狀π犚２ 扇形 ２ 犛 ＝ ． 扇形 ３６０ 其中犾为扇形的弧长， 犚为半径． 例２ 如图３１．４３，水平放置的圆柱形排水管 道的截面半径是０．６ｍ，其中水面高０．３ｍ．求截面 上有水部分的面积 （结果保留小数点后两位）． O 解：如图３１．４４，连接犗犃，犗犅，作弦犃犅的 ︵ 垂直平分线，垂足为犇，交犃犅于点犆，连接犃犆． ∵ 犗犆＝０．６ｍ，犇犆＝０．３ｍ， 图３１．４３ ∴ 犗犇＝犗犆－犇犆＝０．３（ｍ）． ∴ 犗犇＝犇犆． 又 犃犇⊥犇犆， O ∴ 犃犇是线段犗犆的垂直平分线． A D B ∴ 犃犆＝犃犗＝犗犆． 图３１ C ．４４ １０８ !"#$%&’从而 ∠犃犗犇＝６０°，∠犃犗犅＝１２０°． 有水部分的面积 犛＝犛 －犛 扇形犗犃犅 △犗犃犅 １２０π １ ＝ ×０．６２－ 犃犅·犗犇 ３６０ ２ １ ＝０．１２π－ ×０．６槡３×０．３ ２ ≈０．２２（ｍ２ ）． １．弧长相等的两段弧是等弧吗？ ２．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是１２ｍ，弧所对的圆心角是８１°．这段圆弧 所在圆的半径犚是多少米 （结果保留小数点后一位）？ A F E B D C （第２题） （第３题） ３．如图，正三角形犃犅犆的边长为犪，犇，犈，犉分别为犅犆，犆犃，犃犅的中点， 犪 以犃，犅，犆三点为圆心， 长为半径作圆．求图中阴影部分的面积． ２ 我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的 几何体，如图３１．４５，我们把连接圆锥顶点和底面  圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 图３１．４５  圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆 锥的全面积？ １０９ !"#$%&’如图３１．４６，沿一条母线将圆锥侧面剪开并 展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇 2πr 形．设圆锥的母线长为犾，底面圆的半径为狉，那 么这个扇形的半径为犾，扇形的弧长为２π狉，因此 l 圆锥的侧面积为π狉犾，圆锥的全面积为π狉（狉＋犾）． r O 图３１．４６ 例３ 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱 组成．如果想用毛毡搭建２０个底面积为１２ｍ２ ， 高为３．２ｍ，外围高１．８ｍ的蒙古包，至少需要 多少平方米的毛毡 （π取３．１４２，结果取整数）？ 解：图３１．４７是一个蒙古包的示意图． 根据题意，下部圆柱的底面积为１２ｍ２ ，高 犺＝１．８ｍ；上部圆锥的高犺＝３．２－１．８＝１．４（ｍ）． ２ １ 圆柱的底面圆的半径 １２ 槡 狉＝ ≈１．９５４（ｍ）， π h 1 侧面积为 r ２π×１．９５４×１．８≈２２．１０（ｍ２ ）． h 2 圆锥的母线长 图３１．４７ 犾≈槡１．９５４２＋１．４２≈２．４０４（ｍ）， 侧面展开扇形的弧长为 ２π×１．９５４≈１２．２８（ｍ）， 圆锥的侧面积为 １ ×２．４０４×１２．２８≈１４．７６（ｍ２ ）． ２ 因此，搭建２０个这样的蒙古包至少需要毛毡２０×（２２．１０＋１４．７６）≈７３８（ｍ２ ）． １．圆锥的底面直径是８０ｃｍ，母线长９０ｃｍ，求它的侧面展开图 的圆心角和圆锥的全面积． ２．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是８０ｃｍ，母线长是 ５０ｃｍ，制作１００个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？ （第２题） １１０ !"#$%&’习题３１．４  １．填空： （１）７５°的圆心角所对的弧长是２．５πｃｍ，则此弧所在圆的半径是 ｃｍ； （２）一个扇形的弧长是２０πｃｍ，面积是２４０πｃｍ２，则扇形的圆心角是 ； （３）用一个圆心角为１２０°，半径为４的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面 圆的半径为 ． ２．如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，求这条传送带的长． 10 m 3 m a （第２题） （第４题） ３．在航海中，常用海里（单位：ｎｍｉｌｅ）作为路程的度量单位．把地球看作球体， １ｎｍｉｌｅ近似等于赤道所在的圆中１′的圆心角所对的弧长．已知地球半径 （也就是 赤道所在圆的半径）约为６３７０ｋｍ，１ｎｍｉｌｅ约等于多少米 （π取３．１４，结果取 整数）？ ４．正方形的边长为犪，以各边为直径在正方形内画半圆．求图中阴影部分的面积． ５．Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝３，犅犆＝４，把它分别沿三边所在直线旋转一周． 求所得三个几何体的全面积．  ６．如图是一段弯形管道，其中，∠犗＝∠犗′＝９０°，中心线的两条圆弧半径都为 １０００ｍｍ．求图中管道的展直长度 （π取３．１４２）． R1000 3000 O
220e O 20m R1000 （第６题） （第７题） ７．如图，草坪上的自动喷水装置能旋转２２０°，它的喷灌区域是一个扇形，这个扇形 的半径是２０ｍ．求它能喷灌的草坪的面积． １１１ !"#$%&’８．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条犃犅，犃犆夹角为１２０°，犃犅的长为 ３０ｃｍ，扇面犅犇的长为２０ｃｍ．求扇面的面积． B C D E A （第８题） （第９题） ９．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为３２ｍ，母线长７ｍ．为 了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？   １０．如图，从一块直径是１ｍ的圆形铁皮上剪出一个圆心角为９０°的扇形，求被剪掉 的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是 多少？ A B C O （第１０题） （第１１题） １１．如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉， 请你提供设计方案． １１２ !"#$%&’   设计跑道 田径比赛中，在进行４００ｍ比赛时，运动员的起 跑点并不处在同一条线上，为什么这样呢？ 如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对 内侧跑道上的运动员较为有利．原因是内侧跑道的路程 较短．因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动员的起 跑点必须前移． 这里，你的任务是设计一条８道的４００ｍ跑道，每条 跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑 道宽１ｍ，内侧的跑道长度为４００ｍ．画出每条跑道内的起 跑点，使得每个运动员经过４００ｍ比赛后到达同一终点线． 8 7 设计这样的跑道，你需要思考： 6 5 4 3 （１）圆的半径对确定超前起跑点有什么影响？ 2 1 （２）跑道的宽度对确定超前起跑点有什么 r 影响？ （３）直的跑道的长度对确定超前起跑点有什 么影响？ S 图１ 试完成表１，并计算图１中每一条跑道的全 长犔． 表１ 宽１ｍ，内圈半径为狉ｍ的跑道 跑道１ 跑道２ 跑道３ 跑道４ 跑道５ 跑道６ 跑道７ 跑道８ 狉＝？ 狉＝狉＋１狉＝？ 狉＝？ 狉＝？ 狉＝？ 狉＝？ 狉＝？ １ ２ １ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 狊＝１００ 狊＝１００ 狊＝１００ 狊＝１００ 狊＝１００ 狊＝１００ 狊＝１００ 狊＝１００ 犔＝２００＋２π狉 １ 犔＝？ 犔＝？ 犔＝？ 犔＝？ 犔＝？ 犔＝？ 犔＝？ ＝４００（ｍ） 从表１，你就可以回答前面的三个问题了．现在，开始你的设计吧！ 查一下资料，一个标准田径场的４００ｍ跑道直道长多少米？跑道宽度呢？由此，为 了进行４００ｍ比赛，你能帮助体育老师画起跑线吗？ 各就位，预备！跑！ １１３ !"#$%&’ 书书书   


    路上行驶的各种车辆，车轮基本是圆形的．为什么车轮要做成圆形的 呢？这里面有什么数学道理吗？ 用硬纸板剪一个圆，让它沿直尺在桌面上滚动 （图１）．可以发现，圆 心与桌面的距离始终是不变的，这个距离等于圆的半径．因此，把车轮做 成圆形，当车轮在平坦的地面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不 变，坐车的人会感到非常平稳． 图１ 如果车轮是正方形形状的，情况会怎样呢？剪一个正方形，让它沿直 尺在桌面上滚动，用笔跟踪一下它的中心的轨迹，你得到了什么 （图２）？ 把车轮换成椭圆再试一试！ 如果有条件，你 也可以利用计算机软 件模拟一下． 图２ 试想一下，如果把车厢装在过轮子中心的轴上，车辆在平坦的路面上 行驶时，采用正方形或椭圆形状的车轮，你会有什么感觉？ 实际上，车轮做成圆形，还有其他原因．例如在物理学习中，我们知 道，物体滚动时，要比滑动时的摩擦力小，而圆形物体是容易滚动的．有 条件的同学，还可以查阅资料，看看还有没有其他方面的道理． １１４ !"#$%&’


  我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四 边形的四个顶点能作一个圆吗？ 图３给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！ D A D A D A B C B C B C 图３ 分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一 个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系？证明你的发现． 如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角 之间有上面的关系吗？试结合图４说明其中的道理．（提示：利用圆周角 与其所对弧的大小关系，考虑∠犅＋∠犇与１８０°之间的关系．） A A D D O O B C B F F E E C 图４ 由上面的探究，试归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的 条件． 


 许多图案设计都和圆有关，图５就是一些利用等分圆周设计出的图 案，图６展示了其中一个图案的设计过程． １１５ !"#$%&’图５ 图６ 利用某些正多边形可以镶嵌整个平面的性质，还可以设计出一些美丽 的图案，如图７． 图７ 你能画出其中的一些图案吗？请你再利用圆或正多边形设计一些图 案，并与同学交流． １１６ !"#$%&’小 结 一、本章知识结构图    

         
               二、回顾与思考 本章比较系统地研究了圆的概念和有关性质．圆是一种特殊的曲线，圆的 许多性质是通过与圆有关的线段 （如直径、弦等）和角 （如圆心角、圆周角 等）体现的．因此，有关直线形图形的性质和判定在得出和证明圆的性质时发 挥着重要的作用． 本章还研究了点和圆、直线和圆的位置关系，圆和三角形、四边形、正多 边形的关系等．数形结合以及类比是我们研究这些关系时采用的主要方法，它 们也是探索数学新知识的重要方法． 圆是轴对称图形，它的任何一条直径所在直线都是它的对称轴；它也是中 心对称图形，圆心就是它的对称中心．不仅如此，它还是旋转对称图形．圆的许 多性质都与圆的这些对称性有关． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．圆的位置及大小由哪些要素确定？如何从点的集合的角度理解圆的 概念？ ２．垂直于弦的直径有什么性质？在同圆或等圆中，两个圆心角以及它们所 １１７ !"#$%&’对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？ ３．同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？你能举出一些它们的 实际应用吗？ ４．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？你能举出这些位置关系的一些 实例吗？你能用哪些方法刻画这些位置关系？ ５．你能用直尺和圆规作出一个三角形的外接圆和内切圆吗？圆的内接四边 形有什么性质？正多边形和圆有什么关系？ ６．怎样由圆的周长和面积公式得到弧长公式和扇形面积公式？ 复习题３１  １．选择题． （１）如图，⊙犗的直径犆犇＝１０ｃｍ，犃犅是⊙犗的弦，犃犅⊥犆犇，垂足为犕， 犗犕∶犗犆＝３∶５，则犃犅的长为 （ ）． （Ａ）槡９１ｃｍ （Ｂ）８ｃｍ （Ｃ）６ｃｍ （Ｄ）４ｃｍ A B A C C D O M C P O P O A B B D





（第１题） （２）如图，⊙犗中，弦犃犅，犆犇相交于点犘，∠犃＝４０°，∠犃犘犇＝７５°，则∠犅 ＝ （ ）． （Ａ）１５° （Ｂ）４０° （Ｃ）７５° （Ｄ）３５° （３）如图，犘犃，犘犅分别与⊙犗相切于犃，犅两点，∠犘＝７０°，则∠犆＝ （ ）． （Ａ）７０° （Ｂ）５５° （Ｃ）１１０° （Ｄ）１４０° （４）以半径为１的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角 形，则 （ ）． （Ａ）不能构成三角形 （Ｂ）这个三角形是等腰三角形 （Ｃ）这个三角形是直角三角形 （Ｄ）这个三角形是钝角三角形 １１８ !"#$%&’（５）一个圆锥的侧面积是底面积的２倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）． （Ａ）１２０° （Ｂ）１８０° （Ｃ）２４０° （Ｄ）３００° ︵ ︵ ２．如图，犃犆＝犆犅，犇，犈分别是半径犗犃，犗犅的中点．求证：犆犇＝犆犈． C B A B A D E O O （第２题） （第３题） ３．如图，犃犅是⊙犗的弦，半径犗犃＝２０ｃｍ，∠犃犗犅＝１２０°．求△犃犗犅的面积． ４．如图，犃犅与⊙犗相切于点犆，犗犃＝犗犅，⊙犗的直径为８ｃｍ，犃犅＝１０ｃｍ．求 犗犃的长． y A C B F E A D O x O B C （第４题） （第５题） ５．如图，正六边形犃犅犆犇犈犉的中心为原点犗，顶点犃，犇在狓轴上，半径为２ｃｍ． 求其各个顶点的坐标． ６．如图，大半圆中有狀个小半圆，大半圆的弧长为犔，狀个小半圆的弧长和为犔， １ ２ 探索犔 和犔 的关系并证明你的结论． １ ２ A B C （第６题） （第７题） ７．如图，⊙犃，⊙犅，⊙犆两两不相交，且半径都是０．５ｃｍ．求图中三个扇形 （即阴 影部分）的面积之和．  ８．估计下页图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论． １１９ !"#$%&’D H G A C O E F B （第８题） （第９题） ９．如图，菱形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，四条边犃犅，犅犆，犆犇，犇犃 的中点分别为犈，犉，犌，犎．这四个点共圆吗？圆心在哪里？ １０．往直径为６５０ｍｍ的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示．若油面宽 犃犅＝６００ｍｍ，求油的最大深度． P O φ650 A B A 600 B （第１０题） （第１１题） １１．如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门犘犙，当他带球冲到点犃时，同伴乙 已经冲到点犅，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射 门角度大小考虑） １２．如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理． A E B C D （第１２题） （第１３题） !"#$%&’ 书书书 008 800 003 003 φ （第１４题） １３．如图，点犈是△犃犅犆的内心，犃犈的延长线和△犃犅犆的外接圆相交于点犇．求 证：犇犈＝犇犅． １４．如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆 锥，中间是圆柱 （单位：ｍｍ）．电镀时，如果每平方米用锌０．１１ｋｇ，电镀１００ 个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ １２０  １５．如图，⊙犗的直径犃犅＝１２ｃｍ，犃犕和犅犖是它的两条切线，犇犈与⊙犗相切于 点犈，并与犃犕，犅犖分别相交于犇，犆两点．设犃犇＝狓，犅犆＝狔，求狔关于狓 的函数解析式，并画出它的图象． A A D M G F E O O H E B C N B D C （第１５题） （第１６题） １６．如图，等腰三角形犃犅犆的顶角∠犃＝３６°．⊙犗和底边犅犆相切于犅犆的中点犇， 并与两腰犃犆，犃犅分别相交于犈，犉，犌，犎四点，其中犌，犉分别是两腰 犃犅，犃犆的中点．求证：五边形犇犈犉犌犎是正五边形． １２１ !"#$%&’第三十二章 概率初步 同学们都听说过 “天有不测风云”这句话吧！ 它的原意是指刮风、下雨、阴天、晴天这些天气 状况，人们事先很难准确预料．后来泛指世界上很 多事情具有偶然性，人们无法事先预料这些事情 是否会发生． 随着实践和认识的逐步深入，人们发现偶然 性事件中有些发生的可能性大，有些发生的可能 性小．也就是说，偶然性事件发生可能性的大小是 有规律的．概率就是在研究这些规律中产生的，人 们用它描述偶然性事件发生的可能性的大小．例 如，天气预报说明天的降水概率为９０％，就意味 着明天下雨 （雪）的可能性很大． 现在概率的应用日益广泛．本章我们将学习概 率初步知识，提高对偶然性事件发生规律的认识． 书书书３２．１ 随机事件与概率 在现实世界中，我们经常会遇到无法预料事情发生结果的情况．例如，虽 然天气预报说明天有雨，但是我们无法确定明天是否一定会下雨；在某一时刻 拨打查号台 （１１４），无法确定线路是否能接通；参加抽奖活动，无法确定自己 能否中奖，更无法确定能中几等奖；等等．这些事情的发生都给我们不确定的 印象．下面我们再来看两个问题． ３２．１．１ 随机事件 问题１ 五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．为 了抽签，我们在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表 示出场顺序的数字１，２，３，４，５．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意 （随机）从盒中抽取一个纸团．请思考以下问题： （１）抽到的数字有几种可能的结果？ （２）抽到的数字小于６吗？ （３）抽到的数字会是０吗？ （４）抽到的数字会是１吗？ 通过简单的推理或试验，可以发现： （１）数字１，２，３，４，５都有可能抽到，共有５种可能的结果，但是事先 无法预料一次抽取会出现哪一种结果； （２）抽到的数字一定小于６； （３）抽到的数字绝对不会是０； （４）抽到的数字可能是１，也可能不是１，事先无法确定． 问题２ 小伟掷一枚质地均匀的骰（狋ó狌）子，骰子的六个面上分别刻有１ 到６的点数．请思考以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上， （１）可能出现哪些点数？ （２）出现的点数大于０吗？ （３）出现的点数会是７吗？ （４）出现的点数会是４吗？ １２３ !"#$%&’()*通过简单的推理或试验，可以发现： （１）从１到６的每一个点数都有可能出现，所有可能的点数共有６种，但 是事先无法预料掷一次骰子会出现哪一种结果； （２）出现的点数肯定大于０； （３）出现的点数绝对不会是７； （４）出现的点数可能是４，也可能不是４，事先无法确定． 在一定条件下，有些事件必然会发生．例如，问题１中 “抽到的数字小于 ６”，问题２中 “出现的点数大于０”，这样的事件称为必然事件．相反地，有些 事件必然不会发生．例如，问题１中 “抽到的数字是０”，问题２中 “出现的点 数是７”，这样的事件称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称确定性事件． 在一定条件下，有些事件有可能发生，也有可能不发生，事先无法确定． 例如，问题１中 “抽到的数字是１”，问题２中 “出现的点数是４”，这两个事 件是否发生事先不能确定．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称 为随机事件 （ｒａｎｄｏｍｅｖｅｎｔ）． 你还能举出一些随机事件的例子吗？ 指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件． （１）通常加热到１００℃时，水沸腾； （２）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； （３）掷一次骰子，向上一面的点数是６； （４）任意画一个三角形，其内角和是３６０°； （５）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯； （６）射击运动员射击一次，命中靶心． 问题３ 袋子中装有４个黑球、２个白球，这些球的 形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别． 在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出１个球． （１）这个球是白球还是黑球？ （２）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和 摸出白球的可能性一样大吗？ １２４ !"#$%&’()*为了验证你的想法，动手摸一下吧！每名同学随机从袋子中摸出１个球， 记下球的颜色，然后把球重新放回袋子并摇匀．汇总全班同学摸球的结果并把 结果填在表３２１中． 表３２１ 球的颜色 黑球 白球 摸取次数 比较表中记录的数字的大小，结果与你事先 的判断一致吗？ 在上面的摸球活动中，“摸出黑球”和 “摸出 白球”是两个随机事件．一次摸球可能发生 “摸 一般地，随机事件 发生的可能性是有大 出黑球”，也可能发生 “摸出白球”，事先不能确 小的． 定哪个事件发生．由于两种球的数量不等，所以 “摸出黑球”与 “摸出白球”的可能性的大小不一 样，“摸出黑球”的可能性大于 “摸出白球”的可 能性．你们的试验结果也是这样吗？  能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使 “摸出黑球”和 “摸出 白球”的可能性大小相同？ １．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为３∶７．如果宇宙中飞来一块陨石落 在地球上，“落在陆地上”与 “落在海洋里”哪种可能性大？ ２．桌上倒扣着背面图案相同的５张扑克牌，其中３张黑桃、２张红桃．从中随机抽 取１张． （１）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？ （２）你认为抽到哪种花色的可能性大？ （３）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使 “抽到黑桃”和 “抽到红桃” 的可能性大小相同？ ３．列举一些生活中的随机事件、不可能事件和必然事件的例子． １２５ !"#$%&’()*３２．１．２ 概率 在同样条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生．那么，它发生的可 能性究竟有多大？能否用数值刻画可能性的大小呢？下面我们讨论这个问题． 在问题１中，从分别写有数字１，２，３，４，５的五个纸团中随机抽取一 个，这个纸团里的数字有５种可能，即 １，２，３，４，５． 因为纸团看上去完全一样，又是随机抽取，所以每个数字被抽到的可能性大小 １ 相等．我们用 表示每一个数字被抽到的可能性大小． ５ 在问题２中，掷一枚骰子，向上一面的点数有６种可能，即 １，２，３，４，５，６． 因为骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出，所以每种点数出现的可能性大 １ 小相等．我们用 表示每一种点数出现的可能性大小． ６ １ １ 数值 和 刻画了试验中相应随机事件发生的可能性大小．一般地，对于 ５ ６ 一个随机事件犃，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件犃发 生的概率 （ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ），记为犘（犃）． 由问题１和问题２，可以发现以上试验有两个共同特点： （１）每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； （２）每一次试验中，各种结果出现的可能性相等． 对于具有上述特点的试验，我们用事件所包含的各种可能的结果个数在全 部可能的结果总数中所占的比，表示事件发生的概率．例如，在上面的抽纸团 试验中，“抽到１”这个事件包含１种可能结果，在全部５种可能的结果中所 １ 占的比为 ．于是这个事件的概率 ５ １ 你能求出 “抽到 犘（抽到１）＝ ． ５ 奇数”这个事件的概 “抽到偶数”这个事件包含抽到２，４这两种可能 率吗？ ２ 结果，在全部５种可能的结果中所占的比为 ． ５ 于是这个事件的概率 １２６ !"#$%&’()*２ 犘（抽到偶数）＝ ． ５  一般地，如果在一次试验中，有狀种可能的结果，并且它们发生的 可能性都相等，事件犃包含其中的犿种结果，那么事件犃发生的概率 犿 犘（犃）＝ ． 狀 犿 犿 在犘（犃）＝ 中，由犿和狀的含义，可知０≤犿≤狀，进而有０≤ ≤１． 狀 狀 因此， ０≤犘（犃）≤１． 特别地， 当犃为必然事件时，犘（犃）＝１； 当犃为不可能事件时，犘（犃）＝０． 事件发生的可能性越大，它的概率越接近１；反之，事件发生的可能性越 小，它的概率越接近０ （图３２．１１）．    0 1       图３２．１１ 例１ 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的 概率： （１）点数为２； （２）点数为奇数； （３）点数大于２且小于５． 解：掷一枚质地均匀的骰子时，向上一面的点数可能为１，２，３，４，５， ６，共６种．这些点数出现的可能性相等． （１）点数为２有１种可能，因此 １ 犘（点数为２）＝ ． ６ １２７ !"#$%&’()*（２）点数为奇数有３种可能，即点数为１，３，５，因此 ３ １ 犘（点数为奇数）＝ ＝ ． ６ ２ （３）点数大于２且小于５有２种可能，即点数为３，４，因此 ２ １ 犘（点数大于２且小于５）＝ ＝ ． ６ ３ 例２ 图３２．１２是一个可以自由转动的转 盘，转盘分成７个大小相同的扇形，颜色分为红、   绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘  停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的  位置 （指针指向两个扇形的交线时，当作指向右  边的扇形）．求下列事件的概率： （１）指针指向红色； 图３２．１２ （２）指针指向红色或黄色； （３）指针不指向红色． 分析：问题中可能出现的结果有７种，即指针可能指向７个扇形中的任何 一个．因为这７个扇形大小相同，转动的转盘又是自由停止，所以指针指向每 个扇形的可能性相等． 解：按颜色把７个扇形分别记为：红 ，红 ，红 ，绿 ，绿 ，黄 ，黄 ． １ ２ ３ １ ２ １ ２ 所有可能结果的总数为７，并且它们出现的可能性相等． （１）指针指向红色（记为事件犃）的结果有３种，即红 ，红 ，红 ，因此 １ ２ ３ ３ 犘（犃）＝ ． ７ （２）指针指向红色或黄色（记为事件犅）的结果有５种，即红 ，红 ，红 ， １ ２ ３ 黄 ，黄 ，因此 １ ２ ５ 犘（犅）＝ ． ７ 把例２中的 （１） （３）指针不指向红色（记为事件犆）的结果有 （３）两问及答案联系 ４种，即绿 ，绿 ，黄 ，黄 ，因此 起来，你有什么发现？ １ ２ １ ２ ４ 犘（犆）＝ ． ７ １２８ !"#$%&’()*例３ 图３２．１３是计算机中 “扫雷”游戏的 画面．在一个有９×９个方格的正方形雷区中，随 机埋藏着１０颗地雷，每个方格内最多只能埋藏１ 颗地雷． 小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点 击后出现了如图所示的情况．我们把与标号３的方 格相邻的方格记为犃区域 （画线部分），犃区域外 的部分记为犅区域．数字３表示在犃区域有３颗 地雷．下一步应该点击犃区域还是犅区域？ 图３２．１３ 分析：下一步应该怎样走取决于点击哪部分 遇到地雷的概率小，只要分别计算点击两区域内 “扫雷”游戏的目 的任一方格遇到地雷的概率并加以比较就可以了． 的是准确找出所有埋藏 解：犃区域的方格共有８个，标号３表示在 在方格内的地雷，用时 这８个方格中有３个方格各埋藏有１颗地雷．因此， 越少越好．用鼠标点击 ３ （左击）方格，如果方 点击犃区域的任一方格，遇到地雷的概率是 ． ８ 格内没有地雷，会出现 犅区域方格数为９×９－９＝７２．其中有地雷的 一个标号，表示与这个 方格数为１０－３＝７．因此，点击犅区域的任一方 方格相邻的方格内，有 与标号相同个数的地 ７ 格，遇到地雷的概率是 ． 雷，然后根据标号判断 ７２ 下一步点击的区域；如 ３ ７ 由于 ＞ ，即点击犃区域遇到地雷的可能 果方格内有地雷，地雷 ８ ７２ 就会爆炸，游戏失败． 性大于点击犅区域遇到地雷的可能性，因而第二 步应该点击犅区域． １．抛掷一枚质地均匀的硬币，向上一面有几种可能的结果？它们的可能性相等吗？ 由此能得到 “正面向上”的概率吗？ ２．不透明袋子中装有５个红球、３个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子 中随机摸出１个球，“摸出红球”和 “摸出绿球”的可能性相等吗？它们的概率 分别为多少？ ３．回顾例３，如果小王在游戏开始时点击的第一个方格出现标号１，那么下一步点 击哪个区域比较安全？ １２９ !"#$%&’()*习题３２．１  １．请指出在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件． （１）通常温度降到０℃以下，纯净的水结冰； （２）随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数； （３）从地面发射１枚导弹，未击中空中目标； （４）明天太阳从东方升起； （５）汽车累积行驶１００００ｋｍ，从未出现故障； （６）购买１张彩票，中奖． ２．足球比赛前，由裁判员抛掷１枚硬币，若正面向上 则由甲队首先开球，若反面向上则由乙队首先开 球．这种确定首先开球一方的做法对参赛的甲、乙 两队公平吗？为什么？ ３．１０件外观相同的产品中有１件不合格，现从中随机 抽取１件进行检测，抽到不合格产品的概率为多少？  ４．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字 “１”“１”“２”“４”“５”“５”．掷 小正方体后，观察朝上一面的数字． （１）出现 “５”的概率是多少？ （２）出现 “６”的概率是多少？ （３）出现奇数的概率是多少？ ５．如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成１２ 个相同的扇形．请你在转盘的适当地方涂上红、蓝两种颜 色，使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色的 １ １ 概率分别为 ， ． ３ ６ （第５题） １３０ !"#$%&’()*  ６．不透明袋子中有２个红球、３个绿球和４个蓝球，这些球 除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出１个球． （１）能够事先确定取出的球是哪种颜色吗？ （２）取出每种颜色的球的概率会相等吗？ （３）取出哪种颜色的球的概率最大？ （４）如何改变各色球的数目，使取出每种颜色的球的概率 都相等 （提出一种方法即可）？ ７．只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的方式来 决定谁去看电影．现有一副扑克牌，请你设计对小明和小 刚都公平的抽签方案，你能设计出几种？ １３１ !"#$%&’()*３２．２ 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性 大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． 例１ 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： （１）两枚硬币全部正面向上； （２）两枚硬币全部反面向上； “同时抛掷两枚 （３）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上． 质地均匀的硬币”与 “先后两次抛掷一枚质 解：列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果， 地均匀的硬币”，这两 它们是： 种试验的所有可能结 正正， 正反， 反正， 反反． 果一样吗？ 所有可能的结果共有４种，并且这４种结果出现 的可能性相等． （１）所有可能的结果中，满足两枚硬币全部正面向上 （记为事件犃）的 结果只有１种，即 “正正”，所以 １ 犘（犃）＝ ． ４ （２）两枚硬币全部反面向上 （记为事件犅）的结果也只有１种，即 “反 反”，所以 １ 犘（犅）＝ ． ４ （３）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上 （记为事件犆）的结果共有２ 种，即 “反正”“正反”，所以 ２ １ 犘（犆）＝ ＝ ． ４ ２ 例２ 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （１）两枚骰子的点数相同； （２）两枚骰子点数的和是９； （３）至少有一枚骰子的点数为２． １３２ !"#$%&’()*分析：当一次试验是掷两枚骰子时，为不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用列表法． 解：两枚骰子分别记为第１枚和第２枚，可以用表３２２列举出所有可能 出现的结果． 表３２２ 第１枚 １ ２ ３ ４ ５ ６ 第２枚 结合表３２２，体 １ （１，１）（２，１）（３，１）（４，１）（５，１）（６，１） 会列表法对列举所有可 ２ （１，２）（２，２）（３，２）（４，２）（５，２）（６，２） 能的结果的作用． ３ （１，３）（２，３）（３，３）（４，３）（５，３）（６，３） ４ （１，４）（２，４）（３，４）（４，４）（５，４）（６，４） ５ （１，５）（２，５）（３，５）（４，５）（５，５）（６，５） ６ （１，６）（２，６）（３，６）（４，６）（５，６）（６，６） 由表３２２可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有３６种，并且它 们出现的可能性相等． （１）两枚骰子的点数相同 （记为事件犃）的结果有６种 （表中的红色部 分），即 （１，１），（２，２），（３，３），（４，４），（５，５），（６，６），所以 ６ １ 犘（犃）＝ ＝ ． ３６ ６ （２）两枚骰子的点数和是９ （记为事件犅）的结果有４种 （表中的阴影部 分），即（３，６），（４，５），（５，４），（６，３），所以 ４ １ 犘（犅）＝ ＝ ． ３６ ９ （３）至少有一枚骰子的点数为２ （记为事件犆）的结果有１１种 （表中蓝 色方框部分），所以 １１ 犘（犆）＝ ． ３６  如果把例２中的 “同时掷两枚质地均匀的骰子”改为 “把一枚质地均 匀的骰子掷两次”，得到的结果有变化吗？为什么？ １３３ !"#$%&’()*１．不透明袋子中装有红、绿小球各１个，除颜色外无其他差别．随机摸出１个小球 后，放回并摇匀，再随机摸出１个．求下列事件的概率： （１）第一次摸到红球，第二次摸到绿球； （２）两次都摸到相同颜色的小球； （３）两次摸到的球中１个绿球、１个红球． ２．有６张看上去无差别的卡片，上面分别写着１，２，３，４，５，６．随机抽取１张 后，放回并混在一起，再随机抽取１张，那么第二次取出的数字能够整除第一 次取出的数字的概率是多少？ 例３ 甲口袋中装有２个相同的小球，它们分 别写有字母Ａ和Ｂ；乙口袋中装有３个相同的小 球，它们分别写有字母Ｃ，Ｄ和Ｅ；丙口袋中装有 本题中，Ａ，Ｅ，Ｉ 是元音字母；Ｂ，Ｃ， ２个相同的小球，它们分别写有字母 Ｈ和Ｉ．从三 Ｄ，Ｈ是辅音字母． 个口袋中各随机取出１个小球． （１）取出的３个小球上恰好有１个、２个和３ 个元音字母的概率分别是多少？ （２）取出的３个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 分析：当一次试验是从三个口袋中取球时，列表法就不方便了，为不重不 漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法． 解：根据题意，可以画出如下的树状图：  A B  C D E C D E  H I H I H I H I H I H I 图３２．２１ 由树状图 （图３２．２１）可以看出，所有可能出现的结果共有１２种，即 Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ｅ Ｅ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ｅ Ｅ Ｈ Ｉ Ｈ Ｉ Ｈ Ｉ Ｈ Ｉ Ｈ Ｉ Ｈ Ｉ 这些结果出现的可能性相等． １３４ !"#$%&’()*（１）只有１个元音字母的结果（红色）有５种，即 ＡＣＨ，ＡＤＨ，ＢＣＩ， ＢＤＩ，ＢＥＨ，所以 ５ 犘（１个元音）＝ ． １２ 有２个元音字母的结果（绿色）有４种，即ＡＣＩ，ＡＤＩ，ＡＥＨ，ＢＥＩ，所以 ４ １ 犘（２个元音）＝ ＝ ． １２ ３ 全部为元音字母的结果（蓝色）只有１种，即 用树状图列举的结 果看起来一目了然，当 ＡＥＩ，所以 事件要经过多个步骤 １ 犘（３个元音）＝ ． （三步或三步以上）完 １２ 成时，用画树状图法求 （２）全是辅音字母的结果共有 ２ 种，即 事件的概率很有效． ＢＣＨ，ＢＤＨ，所以 ２ １ 犘（３个辅音）＝ ＝ ． １２ ６ 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性 大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率： （１）三辆车全部继续直行； （２）两辆车向右转，一辆车向左转； （３）至少有两辆车向左转． 习题３２．２  １．把一副普通扑克牌中的１３张黑桃牌洗匀后正面向下放 在桌子上，从中随机抽取１张，求下列事件的概率： （１）抽出的牌是黑桃６； （２）抽出的牌是黑桃１０； （３）抽出的牌带有人像； （４）抽出的牌上的数小于５； （５）抽出的牌的花色是黑桃． １３５ !"#$%&’()*２．有一个质地均匀的正十二面体，十二个面上分别写有１～１２这 十二个整数．投掷这个正十二面体１次，求下列事件的概率： 3 2 （１）向上一面的数字是２或３； 1 6 （２）向上一面的数字是２的倍数或３的倍数． 4 ３．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号 5 为１，２，３，４．随机摸取１个小球然后放回，再随机摸出１个 （第２题） 小球．求下列事件的概率： （１）两次取出的小球的标号相同； （２）两次取出的小球标号的和等于４．  ４．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔  路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是多少？ ５．第一盒中有２个白球、１个黄球，第二盒中有１个白球、１个 黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出 １个球，求下列事件的概率： （１）取出的２个球都是黄球；  （２）取出的２个球中１个白球、１个黄球． （第４题） ６．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果３枚鸟 卵全部成功孵化，那么３只雏鸟中恰有２只雄鸟的概率是多少？   ７．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不 能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？ ８．如图所示的两张图片形状完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状 相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张， 则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？ （第８题） １３６ !"#$%&’()* 书书书９．盒中有狓枚黑棋和狔枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别． ３ （１）从盒中随机取出１枚棋子，如果它是黑棋的概率是 ，写出表示狓和狔关系 ８ 的表达式． １ （２）往盒中再放进１０枚黑棋，取得黑棋的概率变为 ，求狓和狔的值． ２   概率与中奖 同学们，你们都知道彩票吧．我们常常看见彩票摇奖的电视画面． １ 请同学们思考一下，如果某一彩票的中奖概率是 ，那么买１０００张彩票就一定 １０００ 能够中奖吗？ １ 有的同学可能认为，中奖概率为 ，当然买１０００张彩票一定能中奖．事实是这样 １０００ １ 吗？比如，如果发行的１０００万张彩票中有１万张能够中奖，就是说中奖率是 ，那 １０００ 么即使买１０００张彩票，这１０００张彩票也可能全部来自那些不能中奖的９９９万张彩票． 事实上，买１０００张彩票相当于做１０００次试验，可能１０００张彩票中没有１张中奖， 也可能有１张中奖，也可能有２张中奖……通过计算可以得知，１０００张彩票中至少有１ 张彩票中奖的概率约为０．６３２３，没有１张中奖的概率约为０．３６７７． 为了发展公益事业，我国发行了多种彩票，有些彩票的最高奖高达数百万元．但是， 在有限的几次试验中中最高奖这种事件几乎是不可能发生的．买１张彩票就能中最高奖的 概率近似为０，我们通常把这种几乎不可能的事件称为小概率事件． 尽管中最高奖的概率微乎其微，但有一点是肯定的，买的彩票越多中奖的机会就越 大．有些同学可能会问，如果把发行的所有彩票全部买下不就能保证中奖了吗？是的，在 这种情况下，当然可以保证中奖，但是买下所有彩票需要的资金远远超过中奖获得的 奖金． １３７ !"#$%&’()*３２．３ 用频率估计概率 用列举法可以求一些事件的概率．实际上，我们还可以利用多次重复试 验，通过统计试验结果估计概率． 我们从抛掷硬币这个简单问题说起．抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面 向上”和 “反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是 ０．５．这是否意味着抛掷一枚硬币１００次时，就会有５０次 “正面向上”和５０ 次 “反面向上”呢？不妨用试验进行检验． 试验 把全班同学分成１０组，每组同学抛掷一枚硬币５０次，整理同学们 获得的试验数据，并完成表３２３． 第１组的数据填在第１列，第１，２组的数据之和填在第２列……１０个组 的数据之和填在第１０列．如果在抛掷硬币狀次时，出现犿次 “正面向上”， 犿 则称比值 为 “正面向上”的频率． 狀 表３２３ 抛掷次数狀 ５０ １００ １５０ ２００ ２５０ ３００ ３５０ ４００ ４５０ ５００ “正面向上”的次数犿 犿 “正面向上”的频率 狀 根据上表中的数据，在图３２．３１中标注出对应的点． m

  n 1 0.5 O 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n 图３２．３１ 请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？ １３８ !"#$%&’()* 书书书历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见 表３２４． 表３２４ “正面向上”的 抛掷次数 “正面向上”的次数 试验者 犿 狀 犿 频率 狀 棣莫弗 ２０４８ １０６１ ０．５１８１ 布丰 ４０４０ ２０４８ ０．５０６９ 费勒 １００００ ４９７９ ０．４９７９ 皮尔逊 １２０００ ６０１９ ０．５０１６ 皮尔逊 ２４０００ １２０１２ ０．５００５  随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？ 可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在０．５附近摆动． 一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在０．５附近摆动的 幅度会越来越小．这时，我们称 “正面向上”的频率稳定于０．５．它与前面用 列举法得出的 “正面向上”的概率是同一个数值． 在抛掷一枚硬币时，结果不是 “正面向 上”，就是 “反面向上”．因此，从上面的试验 中也能得到相应的 “反面向上”的频率．当 “正面向上”的频率稳定于０．５时， “反面向 上”的频率也稳定于０．５．它也与前面用列举 法得出的 “反面向上”的概率是同一个数值． 实际上，从长期实践中，人们观察到，对 一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着 试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在 雅各布·伯努利 （１６５４— １７０５），被公认的概率论的先 一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定 驱之一． 性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用 一个随机事件发生的频率去估计它的概率． １３９ !"#$%&’()*用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由 于不受 “各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件 的范围扩大．例如，抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子，不能用列举法求 “针尖朝上”或 “出现６点”的概率，但可以通过大量重复试验估计出它们的 概率． 从抛掷硬币的试验还可以发现，“正面向上”的概率是０．５，连续掷２次， 结果不一定是 “正面向上”和 “反面向上”各１次；连续抛掷１００次，结果也 不一定是 “正面向上”和 “反面向上”各５０次．也就是说，概率是０．５并不能 保证掷２狀次硬币一定恰好有狀次 “正面向上”，只是当狀越来越大时，正面 向上的频率会越来越稳定于０．５．可见，概率是针对大量重复试验而言的，大 量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生． １．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数狀 ５０ １００ １５０ ２００ ２５０ ３００ ５００ 投中次数犿 ２８ ６０ ７８ １０４ １２３ １５２ ２５１ 犿 投中频率 狀 （１）计算投中频率 （结果保留小数点后两位）； （２）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少 （结果保留小数点后一位）？ ２．用前面抛掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的试验，估计掷一次骰子 时 “点数是１”的概率． 我们再来看一些问题． 问题１ 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用 什么具体做法？ 幼树移植成活率是实际问题中的一种概率．这个问题中幼树移植 “成活” 与 “不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计． 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的 犿 频率．随着移植数狀越来越大，频率 会越来越稳定，于是就可以把频率作为 狀 １４０ !"#$%&’()*成活率的估计值． 表３２５是一张模拟的统计表，请补全表中空缺，并完成表下的填空． 表３２５ 犿 成活的频率 移植总数狀 成活数犿 狀 （结果保留小数点后三位） １０ ８ ０．８００ ５０ ４７ ２７０ ２３５ ０．８７０ ４００ ３６９ ７５０ ６６２ １５００ １３３５ ０．８９０ ３５００ ３２０３ ０．９１５ ７０００ ６３３５ ９０００ ８０７３ １４０００ １２６２８ ０．９０２ 从表３２５可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳 定．当移植总数为１４０００时，成活的频率为０．９０２，于是可以估计幼树移植成 活的概率为 ． 问题２ 某水果公司以２元／ｋｇ的成本价新进 １００００ｋｇ柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得 柑橘在运输、储存 利润５０００元，那么在出售柑橘 （去掉损坏的柑 中会有损坏，公司必须 估算出可能损坏的柑橘 橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 总数，以便将损坏的柑 销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干 橘的成本折算到没有损 柑橘，进行 “柑橘损坏率”统计，并把获得的数 坏的柑橘的售价中． 据记录在表３２６中．请你帮忙完成此表． １４１ !"#$%&’()*表３２６ 犿 柑橘损坏的频率 柑橘总质量狀／ｋｇ 损坏柑橘质量犿／ｋｇ 狀 （结果保留小数点后三位） ５０ ５．５０ ０．１１０ １００ １０．５０ ０．１０５ １５０ １５．１５ ２００ １９．４２ ２５０ ２４．２５ ３００ ３０．９３ ３５０ ３５．３２ ４００ ３９．２４ ４５０ ４４．５７ ５００ ５１．５４ 填完表后，从表３２６可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率 越来越稳定．柑橘总质量为５００ｋｇ时的损坏频率为０．１０３，于是可以估计柑橘 损坏的概率为０．１ （结果保留小数点后一位）．由此可知，柑橘完好的概率 为０．９． 根据估计的概率可以知道，在１００００ｋｇ柑橘中完好柑橘的质量为 １００００×０．９＝９０００ （ｋｇ）． 完好柑橘的实际成本为 ２×１００００ ２ ＝ ≈２．２２ （元／ｋｇ）． ９０００ ０．９ 设每千克柑橘的售价为狓元，则 （狓－２．２２）×９０００＝５０００． 解得 狓≈２．８ （元）． 因此，出售柑橘时，每千克定价大约２．８元可获利润５０００元． １４２ !"#$%&’()*某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 发芽种子频率 种子个数 发芽种子个数 （结果保留小数点后三位） １００ ９４ ２００ １８７ ３００ ２８２ ４００ ３３８ ５００ ４３５ ６００ ５３０ ７００ ６２４ ８００ ７１８ ９００ ８１４ １０００ ９０１ 一般地，１０００ｋｇ种子中大约有多少是不能发芽的？ 习题３２．３  １．在做重复试验时，随着试验次数的增多，事件发生的频率一般会有什么变化趋势？ ２．从一定高度落下的图钉，落地后可能图钉尖着地，也可能图钉尖不着地．估计哪 种事件的概率更大．与同学们合作，通过做试验验证你事先的估计是否正确．  ３．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 ２０ ４０ １００ ２００ ４００ １０００ “射中９环以上”的次数 １５ ３３ ７８ １５８ ３２１ ８０１ “射中９环以上”的频率 （１）计算表中相应的 “射中９环以上”的频率 （结果保留小数点后两位）． １４３ !"#$%&’()*（２）这些频率具有怎样的稳定性？ （３）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时 “射中９环以上”的概率 （结果保留小数点后一位）． ４．投针试验 （１）在一个平面上画一组间距为犱＝４ｃｍ 的平行线，将一根长度为犾＝３ｃｍ的 针任意投掷在这个平面上，针可能与 某一直线相交，也可能与任一直线都 不相交．根据记录在下表中的投针试 （第４题） 验数据，估计针与直线相交的概率． 试验次数狀 ２５ ５０ ７５ １００ １２５ １５０ １７５ ２００ ２２５ ２５０ … 相交次数犿 … 犿 相交频率 … 狀 （２）在投针试验中，如果在间距犱＝４ｃｍ、针长犾＝３ｃｍ时，针与直线相交的概 率为狆，那么当犱不变、犾减小时，概率狆如何变化？当犾不变、犱减小时， 概率狆如何变化 （在试验中始终保持犾＜犱）？ ５．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞狀条鱼，在每一条鱼身上做好 记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞犪条鱼．如果在这犪条鱼中有犫条鱼 犪狀 是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为 ．你认为这种估计方法有道理吗？为 犫 什么？   ６．动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到２０岁的概率为０．８，活到２５岁的 概率为０．５，活到３０岁的概率为０．３． （１）现年２０岁的这种动物活到２５岁的概率为多少？ （２）现年２５岁的这种动物活到３０岁的概率为多少？ １４４ !"#$%&’()*   π的估计 图１是一个七等分圆盘，随意向其投掷一枚飞镖，则飞 镖落在圆盘中任何一个点上的机会都相等．由于各个小扇形    ３ 大小一样，因此飞镖落在红、黄、绿区域上的概率分别为 ，  ７  ２ ２ ， ．这里概率的大小是各颜色区域的面积在整个区域的 图１ ７ ７ 面积中所占的比． 一般地，如果在一次试验中，结果落在区域犇中每一点都是等可能的，用犃表示 “试验结果落在区域犇中一个小区域犕中”这个事件，那么事件犃发生的概率为 犕的面积 犘（犃）＝ ． 犇的面积 图２是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一 粒米，落在圆内的概率为 圆的面积 π 犘（犃）＝ ＝ ． 正方形的面积 ４ 由此解答下列问题： 图２ （１）随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上， 犿 统计并计算落在圆内的米粒数犿与正方形内的米粒数狀的比 ． 狀 犿 π （２） 和 之间有什么关系？你能用它们之间的关系估计出π的值吗？ 狀 ４ 犿 落在圆内的米粒数犿 落在正方形内的米粒数狀 频率 π的估计值 狀 （３）为了提高π的估计精度，你认为还可以怎么做？ １４５ !"#$%&’()*   

在如图１所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在犃，犅，犆三个区 域中豆子数的比．多次重复这个试验，你能否发现上述比与犃，犅，犆三 个区域的面积有什么关系？把 “在图形中随机撒豆子”作为试验，把 “豆 子落在区域犆中”记作事件犠，估计事件犠的概率犘（犠）的值． A B C 2cm 2cm 2cm 图１ 
３张扑克牌中只有１张黑桃，３位同学依次抽取，他们抽到黑桃的概 率跟抽取的顺序有关吗？请同学们通过试验，试着用频率估计每位同学抽 到黑桃的概率． １４６ !"#$%&’()*小 结 一、本章知识结构图    






   二、回顾与思考 随机事件在一次试验中是否发生具有偶然性，但在大量重复试验中，随机 事件发生的可能性会呈现一定的规律性．概率从数值上刻画了随机事件发生的 可能性大小，揭示了随机现象中存在的规律． 对于可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性相等的随机试 验，我们可以通过列举法求出它的概率．在用列举法求概率时，要注意做到结 果不重不漏．通过大量重复试验，用频率估计概率，也是求概率的一种重要方 法．它不仅适用于各种结果出现的可能性相等的试验，也适用于各种结果出现 的可能性不相等的试验． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．举例说明什么是随机事件． ２．在什么条件下，可以通过列举法得到随机事件的概率？ ３．用列举法求概率有哪些具体的方法？它们各有什么特点？ ４．简述用频率估计概率的一般做法． ５．结合本章内容，说说你对概率的理解以及概率在实践中的作用． １４７ !"#$%&’()*复习题３２  １．在单词ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ（数学）中任意选择一个字母，求下列事件的概率： （１）字母为 “ｈ”； （２）字母为 “ａ”； （３）字母为元音字母； （４）字母为辅音字母． ２．如图，两个相同的可以自由转动的转盘Ａ和Ｂ，Ａ 盘被平均分为１２份，颜色顺次为红、绿、蓝；Ｂ盘 被平均分为红、绿和蓝３份．分别转动 Ａ盘和Ｂ 盘，Ａ盘停止时指针指向红色的概率与Ｂ盘停止时 指针指向红色的概率哪个大？为什么？ Ａ Ｂ ３．从一副扑克牌中随机抽取一张． （第２题） （１）它是王牌的概率是多少？ （２）它是Ｑ的概率是多少？ （３）它是梅花的概率是多少？ ４．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟 只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．求颜色搭配正确和颜色搭配错误的概率各 是多少．  ５．某商场有一个可以自由转动的转盘 （如图）．规定：  顾客购物１００元以上可以获得一次转动转盘的机 会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相 （第５题） 应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数狀 １００ １５０ ２００ ５００ ８００ １０００ 落在 “铅笔”的次数犿 ６８ １１１ １３６ ３４５ ５４６ ７０１ 犿 落在 “铅笔”的频率 狀 （１）计算并完成表格 （结果保留小数点后两位）； （２）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少 （结果保留小数点后一位）？ ６．同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数的和小于５的概率． ７．一个批发商从某服装制造公司购进了５０包型号为Ｌ的衬衫，由于包装工人疏忽， 在包裹中混进了型号为Ｍ的衬衫．每包中混入的Ｍ号衬衫数见下页表： １４８ !"#$%&’()*Ｍ号衬衫数 ０ １ ４ ５ ７ ９ １０ １１ 包 数 ７ ３ １０ １５ ５ ４ ３ ３ 一位零售商从５０包中任意选取了１包，求下列事件的概率： （１）包中没有混入Ｍ号衬衫； （２）包中混入Ｍ号衬衫数不超过７； （３）包中混入Ｍ号衬衫数超过１０． ８．同学们，你们都知道 “石头、剪子、布”的游戏吧！如果两个人做这种游戏，随 机出手一次，两个人获胜的概率各是多少？   ９．把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的三 段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀．从三堆图片中随机各抽出一张，求这 三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率． １０．已知电流在一定时间段内正常通过电子元件 的概率是０．５，分别求在一定时间段 A B 内，犃，犅之间和犆，犇之间电流能够正常 通过的概率．（提示：在一次试验中，每个电 子元件的状态有两种可能 （通电，断开）， C D （第１０题） 并且这两种状态的可能性相等，用列举的方 法可以得出电路的四种可能状态．） １１．鸟类学家要估计某森林公园内鸟的数量，你能用学过的知识，为鸟类学家提出 一种估计鸟的数量的方法吗？（假定在一定的时期内，森林公园可以近似地看作 与外部环境封闭．） １４９ !"#$%&’()*部分中英文词汇索引 中文 英文 页码 二次函数 ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ ３ 反比例函数 ｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ ３３ 旋转 ｒｏｔａｔｉｏｎ ５５ 中心对称 ｃｅｎｔｒａｌｓｙｍｍｅｔｒｙ ６０ 中心对称图形 ｃｅｎｔｒａｌｓｙｍｍｅｔｒｙｆｉｇｕｒｅ ６３ 圆 ｃｉｒｃｌｅ ７５ 圆心 ｃｅｎｔｅｒｏｆａｃｉｒｃｌｅ ７５ 半径 ｒａｄｉｕｓ ７５ 弦 ｃｈｏｒｄ ７６ 直径 ｄｉａｍｅｔｅｒ ７６ 弧 ａｒｃ ７６ 半圆 ｓｅｍｉｃｉｒｃｌｅ ７６ 圆心角 ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ ７９ 圆周角 ａｎｇｌｅｉｎａｃｉｒｃｕｌａｒｓｅｇｍｅｎｔ ８１ 外接圆 ｃｉｒｃｕｍｃｉｒｃｌｅ ９０ 外心 ｃｉｒｃｕｍｃｅｎｔｅｒ ９０ 切线 ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ ９２ 内切圆 ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｃｉｒｃｌｅ ９６ 内心 ｉｎｃｅｎｔｅｒ ９６ 随机事件 ｒａｎｄｏｍｅｖｅｎｔ １２４ 概率 ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ １２６ １５０ +,-./0123后 记 本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发 中心依据教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，经国家基础 教育课程教材专家工作委员会2013年审查通过。 本册教科书集中反映了基础教育教科书研究与实验的成果，凝聚了参与课 改实验的教育专家、学科专家、教研人员以及一线教师的集体智慧。我们感谢 所有对教科书的编写、出版提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友，感谢整 体设计艺术指导吕敬人等。 本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、 画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感 谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请入选作品的作者与我们联系，以便支 付稿酬。 我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝 贵意见，并将这些意见和建议及时反馈给我们。让我们携起手来，共同完成义 务教育教材建设工作！ 联系方式 电 话：010-58758318 电子邮箱：jcfk@pep.com.cn 人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 2013年5月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU 义 SHUXUE 务 教 3 育 九年级 教 科 义务教育教科书 书 （ （五·四学制） 五 · 四 上册 学 制 ） 数学 九年级 上册 数 数学 学 九 年 级 上 册 绿色印刷产品 定价：10.00元 数学九年级上五四制封面.indd 1 19-5-31 下午1:47