文档文本内容
第1页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
“德化三中、大田五中、漳平二中”三校协作
2025—2026 学年第一学期联考
高三数学试题
命题人：德化三中 陈坚定 大田五中 林子婳 漳平二中 朱夏漪
（考试时间：120 分钟 总分：150 分）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）部分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合
，再利用交集的运算法则求解即可.
【详解】由题可知
，所以
；
故选：A
2. 函数
的导函数
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复合函数求导法则直接求导即可.
【详解】函数
的导函数
.
故选：C
3. 函数
是偶函数，且定义域是
，则
（ ）
第2页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用偶函数定义域关于原点对称得到
，则
；又因为二次函数
为偶函数，故一次项系数为0，所以
，所以
,所以
.
【详解】因为偶函数
的定义域是
，所以
，得到
；
因为
是偶函数，所以
，所以
，
所以
.
故选：C
4. 若实数
，
，
则
的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用对数函数的单调性，比较
与
的大小，再构造函数
，
，分析其单调性
和最值，比较
与
的大小.
【详解】因为
，
，
由
，所以
，即
.
设函数
，
，则
，
.
由
；由
.
即
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，所以
.
第3页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
所以
，即
.
综上，
.
故选：A
5. 已知
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角公式变形化简整理即可.
【详解】因为
，所以
，
则
.
故选：
6. 已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】根据
，求出
，则
【详解】设等差数列
的公差为
，因为
，
所以
则
；
故选B
第4页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
7. 已知函数
，若
且函数
的最小正周期
满足
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件可得
，从而可得
，再由正弦函数的周期可得
的范围，即可得到结
果.
【详解】由
可得
，即
，
即
，则
，
解得
，
又
，即
，其中
，解得
，
所以
时，
，则
.
故选：A
8. 已知
，若对于正数
，满足
，则
的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
第5页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
【解析】
【分析】先判断
的单调性和奇偶性，结合题意将条件转化为关于
的等式关系，再利用“ 的代
换”求出
的最小值，最后代入所求式子中即可.
【详解】因为
，所以
，且
的定义域关于原点对称，
所以
是在
上的奇函数.
又因为
，
均在
上单调递增，所以
在
上单调递增.
因为
，则
，
所以
，整理得
，
所以
，
当且仅当
时，即
时等号成立，此时
的最小值为
.
又因为
，所以
的最大值为
.
故选：
二、多择题（本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，至少有两项符
合题目要求，若全部选对得6 分，部分选对得部分分，选错或不选得0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知
，则“
”是“
”的必要不充分条件
B. 当
时，
的最小值为2
第6页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
C. 命题“
”
否定是“
”
D. 若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】由幂函数与对数函数的单调性即可判断A，由基本不等式代入计算，即可判断B，由全称命题的
否定，即可判断C，由一元二次不等式恒成立，即可判断D.
【详解】对于A，由
在
上单调递增，
可得
，
由
在
上单调递增，
可得
，
由
是
的必要不充分条件可得“
”是“
”的必要不充分条件，故A 正确；
对于B，因
，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，但
取不到，
所以
取不到最小值
，故B 错误；
对于C，全称命题“
”的否定是特称命题“
”，
故C 正确；
对于D，当
时，不等式为
，满足条件，
当
时，不等式
的解集为
，
则需满足
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
，故D 错误；
故选：AC
第7页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
10. 函数
满足
，对任意的
都有
，则以下说法正确的是（ ）
A.
B.
是
的一个对称中心
C.
在
上单调递减
D. 曲线
在点
处的切线方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】因为
，对任意的
都有
，得到周期
，从而求出
，再利用
，
得到
，所以
，依次利用正弦型三角函数
的对称中心，单调性分析选项B、C，求曲线
在点
处的切线方程，先求出切点坐标，
再求导计算得到斜率，利用点斜式写出切线方程化简即可.
【详解】因为
，对任意的
都有
，所以
和
是相邻的两个
最大值点，所以
,故
;
因为
，即
,即
因为
，得
第8页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
，所以
，故选项A 正确；
，所以
是
的一个对称中心，选项B 正确；
当
时，
，此时函数
单调递增，选项C 错误；
因为
，所以切点坐标为
，
函数
求导得到
，
所以切线斜率
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
化简得
，选
项D 正确；
故选：ABD
11. 已知
是函数
的极小值点，则（ ）
A.
B. 若
，则
C. 若
，则
有3 个相异的零点
D. 方程
有3 个不同的实数根
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用极值点的性质判断A，利用三角函数的性质结合导数判断B，先讨论
的零点个
第9页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
数，转化为交点问题判断C，利用换元法结合零点存在性定理判断D 即可.
【详解】对于A，因为
，所以
，
因为
是函数
的极小值点，所以
，
可得
，解得
，故A 正确，
对于B，因为
，所以
，则
，即
，
由正弦函数性质得
，由余弦函数性质得
，
由已知得
，则
，
令
，
，令
，
，
可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
得到
，故B 错误，
对于C，由已知得
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，得到
，
，
当
时，
，当
时，
，
若讨论
的零点个数，则讨论
的解的个数，
故讨论
与
的交点个数即可，
如图，作出符合题意的图象，
第10页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
由图象可得，当
时，
与
有3 个相异的交点，
即
有3 个相异的零点，故C 正确，
对于D，令
，若求方程
的实数根，
则先求
的解的个数，即求
的解的个数，
令
，则求
的零点个数，
由已知得
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，
，
，
，
可得
，
，
由零点存在性定理得存在
，
作为
的零点，
则
是
的两个解，后续求解
与
即可，
由已知得
在
上单调递减，在
上单调递增，
若
，当
时，
，此时无解，排除，
当
时，
，此时有一个解，
当
时，
，此时有一个解，
第11页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
若
，当
时，
，此时无解，排除，
当
时，
，此时无解，
当
时，
，此时有一个解，
综上，方程
有3 个不同的实数根，故D 正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分）
12. 方程
在
内解的个数是_________．
【答案】2
【解析】
【详解】同一坐标系内作出函数y=cosx 和y=|x|的图象，如右图所示：
由图像，得两曲线在(−∞,+∞)内共有2 个交点.
得方程|x|=cosx 在(−∞,+∞)内解的个数是：2 个.
故答案为2.
点睛：函数零点个数问题，一种方法可用导数研究函数的单调性和极值，再利用零点存在定理得函数的零
点个数，另一种方法是转化函数图象交点个数，一般是转化为直线与函数图象的交点，其中直线是含参数
的、变化的，函数是固定的，且图象画出的，这里可通过导数研究图象的变化趋势，得出图象的大致规律，
动直线可以是平行直线，也可以是过一定点的直线，这样容易发现规律，得出结论．
13. 已知等比数列
满足
，若将
除以5 所得余数记为
，则
__________.
第12页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】2
【解析】
【分析】先求出等比数列通项公式
，则计算得到数列
为：
；
所以数列
是周期为4 的数列，所以
；
【详解】设等比数列
的公比为
，因为
，所以
，所以
；
则数列
为
因为
是
除以5 所得的余数，所以数列
为：
；
所以数列
是周期为4 的数列，所以
；
故答案为：2
14. 已知奇函数
的定义域为
，且函数
满足
，当
时，
，则
__________.
【答案】
【解析】
【分析】由
得到函数
对称轴为
，结合函数
为奇函数，得到函数
的最小正周期为8，所以
.
【详解】因为
，所以函数
对称轴为
，
所以
，又因为函数
为奇函数，所以
所以
，即函数
的周期为8
所以
，
又因为函数
对称轴为
，所以
第13页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
所以
；
故答案为：
四、解答题：共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
.已知
.
（1）求
；
（2）若
，
，点
在边
上，且
，求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正切公式结合诱导公式可得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）由余弦定理可得出关于
的等式，结合
可得出
的值，根据题意可得出
的长，然后在
中利用余弦定理可求得
的长.
【小问1 详解】
由两角和的正切公式可得
，
即
，故
，
因为
，故
.
【小问2 详解】
由余弦定理可得
，即
，即
，
因为
，解得
，
第14页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
因为点
在边
上，且
，故
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，
故
16. 已知数列
满足
，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，
，记
的前
项和为
，求
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据
，利用累加法即可得出答案；
（2）利用错位相加法即可求得答案.
【小问1 详解】
解：因为
，
则
，
，
，
，
第15页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
累加得
，
所以
；
【小问2 详解】
解：
，
则
，
则
，
，
两式相减得
，
所以
.
17. 在
中，内角
所对的边分别为
.
（1）求
；
（2）若
的角平分线交
于点
，且
，求
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果；
第16页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
（2）由角平分线定理可得
，结合余弦定理代入计算，即可求得
，再由三角形的面积公式以及
等面积法代入计算，即可得到结果.
【小问1 详解】
由正弦定理的边角互化可得
，
且
，
即
，
化简可得
，且
，
解得
，其中
，所以
.
【小问2 详解】
因为
是
的角平分线，由角平分线定理可得
，
且
，则
，即
，
又
，
由余弦定理可得
，
即
，解得
，则
，
又
，
即
，
化简可得
，即
.
18. 已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，
第17页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
（1）证明：数列
为等差数列；
（2）求数列
的前100 项和；
（3）求数列
的前20 项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）构造数列
，知其前
项和求通项
，进而再求出
；
（2）根据题意，两项并一项，并项为常数列求和；
（3）分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出.
【小问1 详解】
由
，
设
，则
，
所以当
时，
，
两式相减得，
，
当
时，
也适合上式.
则
，解得，
，
所以
，故数列
是以
为首项，
为公差的等差数列.
【小问2 详解】
数列
的前
项和
第18页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
.
【小问3 详解】
由（1）可知
，
则
前
项和为
.
19. 已知函数
.
（1）若
，求
的单调区间；
（2）若
，
，且
有两个极值点，分别为
和
，求
的最
大值.
【答案】（1）单调递增区间是
和
，单调递减区间是
；
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，即可求解；
（2）首先利用极值点与导数的关系，得到
，
，并通过变形得到
，利用换元构造函数
，利用导数判断函数的单调性，并求的最值，即可求解函数的最大值.
【小问1 详解】
第19页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
若
，
，
令
，得
或
，
当
或
时，
，
当
时，
，
所以函数
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
；
【小问2 详解】
，
令
，可得
，
由题意可得，
是关于方程
的两个实根，
所以
，
，
由
，有
，
所以
，
将
代入上式，得
，
同理可得
，
所以
，
，①，
令
,①式化为
，
设
，即
，
第20页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
，
记
，则
，
记
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，
在
上单调递增，所以
，
所以
，
在
上单调递减，
又
，
，
当
时，
的最小值为4，即的最小值为2，
因为
在
上单调递减，
的最大值为
，
所以
最大值为
.
【点睛】思路点睛：本题第二问的关键是
，并利用换元构造函数，转化为利用导数求函数的
最值问题，第二个关键是求的最值.
