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福建省福九联盟2025-2026 学年高一上学期期中联考数学试题
一、单选题
1．命题
，
的否定是（ ）.
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．已知集合
，
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
3．设
，
，则下列不等式中恒成立的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，则“
”是“函数
在区间
上单调递增”的（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．函数
的图象大致为（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．已知幂函数
在
上是增函数，
.若
，则实数的
取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
7．已知存在
，使得
成立，则
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
是定义在
上的偶函数，对任意
，
，且
，都有
，
且
，则不等式
的解集为（ ）.
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）.
A．对于变量和
，若
（
且
），则
是的函数
B．函数
与函数
是同一个函数
C．已知函数
，则
D．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
10．下列说法正确的是（ ）.
A．函数
的最小值为2
B．当
时，函数
的最小值为
C．已知
且
，若
，则的取值范围为
D．若不等式
对任意
恒成立，则实数的取值范围为
11．已知函数
则下列说法正确的是（ ）.
A．当
时，
B．当
在
上单调递增时，的取值范围为
C．当
时，
的解集为
D．要使方程
有实数解，的取值范围为
三、填空题
12．
.
13．函数
的值域为 .
14．若集合
，集合
，
，且满足集合
中最大的数大于集合
中最大
的数，则称有序集合对
为“兄弟集合对”．当
时，这样的“兄弟集合对”有 对．
四、解答题
15．已知集合
，
，
.
(1)若
，求
和
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
16．已知函数
是定义在
上的奇函数，且
.
(1)求
，的值；
(2)判断函数
在
上的单调性，并用定义法证明你的结论.
17．随着环马祖澳国家级滨海旅游度假区的创建，连江县滨海民宿产业规模不断扩大.某村为增加村民收入，
计划投资改造一批精品民宿.经过调研得知，初期需投入固定成本20 万元，除此之外，装修间民宿需另
投入成本
万元，且
.经调研，估计每间民宿能带来30 万元
的收入.
(1)求民宿带来的利润
（万元）关于民宿间数的函数关系式；
(2)投资多少间民宿时，带来的利润最大？并求最大利润.
18．已知函数
，
.
(1)若
，不等式
恒成立，求实数的取值范围；
(2)若
，求不等式
的解集；
(3)若关于的方程
有四个不同的实数根，求实数的取值范围.
19．已知函数
是奇函数.
(1)求实数
的值；
(2)若存在
，使不等式
有解，求实数的取值范围；
(3)设
，对任意，，
，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，都有以
，
，
为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
A
A
B
B
D
AC
BD
题号
11
答案
ABD
1．D
【详解】命题
，
的否定是：
，
.
故选：D.
2．A
【详解】因为
，则
，可得
，
所以
，又
，
则
.
故选：A
3．C
【详解】取
，则
，故A 错误；
取
，则
，故B 错误；
因为
，则
，又
，
所以
，所以C 正确；
取
，则
，
，故D 错误.
故选：C
4．A
【详解】由
的开口向上且对称轴为
，
所以当且仅当
时，
在
上单调递增，
故“
”是“函数
在区间
上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
5．A
【详解】因为
的定义域为R，关于原点对称，又
，
所以
为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B；
当
时，
，
，排除选项D；
当
时，
，排除选项C．
故选：A
6．B
【详解】由题设
，则
，可得
，
由
，即
，则
，
所以
.
故选：B
7．B
【详解】依题意，令
，
则
，其图象开口向上，对称轴为
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
又
，
，
则
，
因为存在
，使得
成立，
所以
，即
，即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
8．D
【详解】由题意
在
上单调递减，又
在R 上为偶函数，
所以
在
上单调递增，且
，
由
，
所以
或
，则
或
，
结合
的区间单调性知，
或
，可得
或
，
所以不等式的解集为
.
故选：D
9．AC
【详解】A：由题设
且定义域为
，对应值域为
且每一自变量有唯一函数值与之对应，
满足函数定义，对，
B：由
的定义域为R，
的定义域为
，不是同一函数，错，
C：由
，则
，其中
且
，故
，对，
D：由
的定义域为
，则
中
，故定义域为
，错.
故选：AC
10．BD
【详解】当
时，
，故A 错误；
当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故函数
的最小值为
，故B 正确；
当
时，由
，可得
，从而
；
当
时，由
，可得
，
所以
或
，故C 错误；
不等式
对任意
恒成立，则
，即
，
因为
（当且仅当
时取等号），可知
，
则实数的取值范围为
，故D 正确.
故选：BD.
11．ABD
【详解】A：由题设
，则
，
故
，对；
B：由
在R 上单调递增，其中
在
上单调递增，
要使
时
也单调递增，显然
，
当
时，
在
上单调递增，此时
，满足题意；
当
时，显然对称轴
，即
在
上单调递增，
此时
，满足题意；
所以
，对；
C：在
上
单调递增，而
时
的开口向下，且对称轴
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
恒成立，
当
时，
若
时，则
，而
，此时
，
若
时，
恒成立，符合，
综上，
或
，错；
D：在
上
，则
时，
有实数解，
当
，在
上
，显然
无实数解，
当
，
的开口向下且对称轴
，
结合C 分析，在
上
，显然
有实数解，
当
，
的开口向上且对称轴
，
结合B 分析，在
上
单调递增，值域为
，此时
时
有实数解，
综上，的取值范围为
，对.
故选：ABD
12．
【详解】
.
故答案为：
.
13．
【详解】令
，
由
有意义可得
，
所以
，
则
，
所以
，即函数
的值域为
.
故答案为：
.
14．14
【详解】由题意可知，当
时，
．
当集合
中最大的数为1，即
时，此时无满足题意的集合
；
当集合
中最大的数为2，即
或
时，
此时只有一种满足题意的集合
，故此时“兄弟集合对”有
（对）；
当集合
中最大的数为3，即
或
或
或
时，
此时满足题意的集合
有
，
和
三种可能，
故此时“兄弟集合对”有
（对）．
故当
时，这样的“兄弟集合对”有
（对）．
故答案为：
15．(1)
，
;
(2)
.
【详解】（1）由
，则
，
当
时，
，所以
，
且
或
，所以
；
（2）当
时，
，解得
，满足
；
当
时，
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
16．(1)
，
；
(2)函数
在
上单调递减，证明见解析.
【详解】（1）因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，即
恒成立，
整理可得
对于
恒成立，只可能
，
又
，即
，解得
，
所以
，
；
（2）函数
在
上单调递减，证明如下：
由（1）函数
，取任意
，
，且
，
则
，
因为
，且
，
所以
，
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
在
上单调递减.
17．(1)
(2)投资12 间民宿时获得的利润最大，最大利润为120 万元.
【详解】（1）根据题意得
当
时，
，
当
时，
，
所以
;
（2）当
时，
，
因为
在
内单调递增，所以当
时，
的最大值为80，
当
时，
，
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，
因为
，所以当
时，
的最大值为120，
所以投资12 间民宿时获得的利润最大，最大利润为120 万元.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）不等式
恒成立，即不等式
恒成立，
所以
，得
，所以实数的取值范围为
.
（2）
，
.
当
时，
，或
；
当
时，
；
当
时，
，或
.
综上，当
时，不等式
的解集为
；
当
时，不等式
的解集为
；
当
时，不等式
的解集为
.
（3）方程
即
，
当
时，
，
，方程
只有两根，不符合题意.
当
时，关于
方程根的判别式
，
，
方程
只有两根，不符合题意.
当
时，方程
有四个不同的实数根，
则有
解得
，或
.
综上，实数的取值范围为
.
19．(1)
；
(2)
；
(3)2.
【详解】（1）因为
是奇函数，且定义域为
，
所以
，即
，
所以
在
上恒成立，则
；
（2）由（1）知
，
存在
，使不等式
有解，得
，
因为
，所以
，
设
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，又
，则
，
故
，所以
；
（3）由题意得
，
不妨设
，则
，
由，，为长度的线段可以构成三角形，则
，
以
，
，
为长度的线段也能构成三角形，则
，即
恒成立，
综上，
时，
恒成立，
又
，当且仅当
时前一个等号成立，
所以
，即
，
