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高二数学学科 试题 第1页 共4 页
2025 学年第二学期高二阶段性质量检测试卷
高二年级数学试题
考生须知：
1．本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求。
1. 已知集合𝐴= {0，1，3，4}，𝐵= {3，4，5，6，7}，则∁𝐵(𝐴∩𝐵) =（ ）
𝐴.{3，4} 𝐵.{5，6，7} 𝐶.{1，2，5，6，7} 𝐷.{1，2，3，5，6，7}
2. 命题“∀𝑥> 1，𝑥2 −2𝑥+ 1 ≥0”的否定是（ ）
𝐴.∀𝑥> 1，𝑥2 −2𝑥+ 1 < 0 𝐵.∀𝑥≤1，𝑥2 −2𝑥+ 1 ≤0
𝐶.∃𝑥≤1，𝑥2 −2𝑥+ 1 < 0
𝐷.∃𝑥> 1，𝑥2 −2𝑥+ 1 < 0
3. 若复数𝑧=
2
1−𝑖，则|𝑧+ 𝑖| =（ ）
𝐴.2
𝐵.√5 𝐶.4
𝐷.5
4. 2026 年马来西亚羽毛球公开赛中，国羽斩获两金三银，展现出顽强的拼搏精神与团队意识。某
校举办羽毛球团体赛，现从5 名男生，5 名女生中选出8 名组成4 队混双(一男一女)参加比赛，则
不同的组合方式有（ ）种
𝐴.25
𝐵.600
𝐶.1200
𝐷.14400
5. 已知𝐴，𝐵两点在曲线𝑦= 𝑒𝑥上，𝐶，𝐷两点在曲线𝑦= 𝑙𝑛𝑥上，设𝐴(𝑥1，𝑒𝑥1)，𝐵(𝑥2，𝑒𝑥2).当直
线𝐴𝐶，𝐵𝐷均为曲线𝑦= 𝑒𝑥和𝑦= 𝑙𝑛𝑥
公切线时，则𝑒𝑥1+𝑥2的值为（ ）
𝐴.1 𝐵.𝑒 𝐶.2 𝐷.𝑒2
6. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(√𝑥2 −2𝑥+ 2 + 𝑥−1)与𝑔(𝑥) =
𝑎2𝑥−2𝑎
2𝑥+2 (𝑎∈𝑅)恰有三个交点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，
𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝐶(𝑥3,𝑦3)，则𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 =（ ）
𝐴.-3
𝐵.0
𝐶.3
𝐷.与𝑎的取值有关
7. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2𝑥−√3𝑐𝑜𝑠2𝑥 。若对任意𝑥∈𝑅，都有𝑓(𝑥) ≤𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥+ 1，则实数
的最小
值为 （ ）
𝐴.√3−1
2 𝐵.√3 −1 𝐶.3(√3−1)
2
𝐷.2√3 −1
8. 已知点𝐴，𝐵在曲线𝐶：𝑥2 −𝑦2 = 1(𝑥> 0)上，以点𝐴，𝐵为切点的关于曲线C 的切线交于点𝑃(𝑃在
第一象限)，作𝑃𝐻⊥𝐴𝐵，垂足为𝐻，𝑂为坐标原点.若𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐻𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且∠𝑃𝐴𝐻=
𝜋
4，则直线𝑂𝑃的斜率
为（ ）
𝐴.√2−1
2 𝐵.√3−1
2 𝐶.√2 −1 𝐷.√3 −1
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二、多选题：本题共3 小题，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得
6 分，部分选对得部分分，有选错的得0 分.
9. 某校随机调查了40 名高三学生某周参加体育锻炼的次数，得到如下频数分布表 ：
锻炼次数
频数
根据以上数据，下列结论正确的是（ ）
𝐴.这组样本数据的中位数为2.5
𝐵.这组样本数据的平均数为2.4
𝐶.从这40 名学生中随机抽取2 名，恰有1 名学生该周锻炼次数不少于3 次的概率为
20
39
𝐷.若从锻炼次数不少于3 次的学生中按分层抽样抽取10 人，则应从锻炼次数为4 次的学生中抽取4
人
10. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥3 −3𝑥，下列说法正确的是（ ）
𝐴.若𝑎∈(−2，2)，则方程𝑓(𝑥) = 𝑎有3个不相等的实数根
𝐵.若𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3是方程𝑓(𝑥) = 𝑎的3个不相等的实数根，则𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 = 6
𝐶.存在实数𝑏，使得直线𝑦= 𝑥+ 𝑏与函数𝑦= 𝑓(𝑥)的图像有3个不同交点
𝐷.对任意实数𝑡，函数𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 𝑡) −𝑓(𝑥−𝑡)都是奇函数
11. 已知数列{𝑎𝑛}满足：2𝑎𝑛+1 + 4𝑎𝑛+1 = 4𝑎𝑛+ 8𝑎𝑛，𝑎1 = 1下列说法正确的是（ ）
𝐴.3 < 𝑎3 < 4
𝐵.数列{𝑎𝑛}单调递增
𝐶.存在正整数𝑛，使得𝑎𝑛> 2𝑛−1
𝐷.数列{𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛}单调递增
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3 小题，共15 分.
12.(𝑥+ 1)(𝑥+ 2)6展开式中𝑥3的系数是__________.
13.将6 个半径为1 的小球放置在一个球形容器中（厚度忽略不计），求球形容器的半径的最小值
_________.
14.已知向量𝑎 ，𝑏⃗ 是互相垂直的单位向量, 向量
满足|𝑐 −(3𝑎 + 𝑏⃗ )| + |𝑐 −(𝑎 + 3𝑏⃗ )| = 2𝑚(𝑚>
0)，若恰有两个不同的𝑐 使得|𝑐 |取到最大值，则𝑚的取值范围是_______.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知锐角∆𝐴𝐵𝐶中，𝑎= 𝑏∙𝑐𝑜𝑠𝐶+ √3
3 𝑐∙𝑠𝑖𝑛𝐵.
(1)求𝐵的大小；
(2)若𝑏= 2，求∆𝐴𝐵𝐶周长的取值范围.
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16.如图所示，已知三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 3，𝐴𝐶= 𝐶𝐷= 5，𝐵𝐶= 𝐵𝐷= 7，𝐴𝐵= 8.
(1)在棱𝐴𝐵上取点𝐸使𝐴𝐸= 3，证明：𝐴𝐷⊥𝐶𝐸.
(2)求二面角𝐶−𝐴𝐵−𝐷的余弦值.
17.平面内有一点𝐹(1，0)和直线𝑙：𝑥= 4，动点𝑇(𝑥，𝑦)满足：𝑇到点𝐹的距离与𝑇到直
线𝑙的距离的比值是
1
2.记点𝑇的运动轨迹是曲线𝐸.
(1)求曲线𝐸的方程；
(2)过𝐹且斜率存在的动直线𝑙与曲线𝐸交于𝐴、𝐵两点，𝑃是𝑥轴上的动点，满足|𝑃𝐴| = |𝑃𝐵|.
(𝑖)求∆𝑃𝐴𝐵面积的取值范围；
(𝑖𝑖)是否存在定点𝑄，使得对于任意的动直线𝑙，都有𝐴、𝐵、𝑄、𝑃四点共圆.
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18.甲、乙、丙三人进行传球游戏，规则如下：
甲每次有
1
3概率传给乙，
2
3概率传给丙；乙每次等可能传给甲或丙；谁传给丙，丙就会把球传回给谁；
已知传球游戏开始前，球在甲手中.
(1)经过2 次传球之后，球在甲、乙、丙手中的概率分别是多少？
(2)经过𝑛次传球之后，球在甲手中的概率是多少？
(3)已知：若随机变量𝑋𝑖服从两点分布，且𝑃(𝑋𝑖= 1) = 1 −𝑃(𝑋𝑖= 0) = 𝑞𝑖，𝑖= 1,2, ⋯, 𝑛，则
𝐸(∑
𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
) = ∑
𝑞𝑖
𝑛
𝑖=1
.记前𝑛次（即从第1 次到第𝑛次投篮）传球中，球在甲手中的次数为𝑌，求𝐸(𝑌).
19.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥3 −3𝑥𝑙𝑛𝑥，直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑚，其中𝑘，𝑚∈𝑅.
(1)当𝑚= √2时，若该直线与𝑦= 𝑓(𝑥)相切，求𝑘的值；
(2)求𝑚的最小值，使得对任意实数𝑘，方程𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥+ 𝑚有且只有一个实根.
(3)方程𝑓(𝑥) =
3𝑙𝑛2
2 𝑥+ √2
4 有三个不同的实根𝑥1，𝑥2，𝑥3(𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3)，证明：𝑥3 −𝑥1 > 1
