M
MK@M
`
`
3
在初中数学的学习和教学过程中 往往存在以下一些现象
, .
首先 在各类练习与考试中 同学们对基础题通常十分得心应手 而对较有难度的大题却不知
, , ,
从何下手 一头雾水 其次 每一个对自己有所要求的学生 总是苦于没有适合自己的题目进行系统
, ; , ,
与大量的训练 另外 许多教师限于自身的时间与精力 没有将一些难题进行相对系统化的整理等
; , , .
基于此 我们编写了本套丛书 希望学生能在扎实的基础上进一步提高解题能力 而教师和学
, , ,
生能从此套书中寻找到合适的解法与技巧 为今后的数学教育和升学做好准备 本套丛书主要有
, .
以下特点和作用
.
1 源于教材,高于教材
.
全书内容以教育部制定的 义务教育数学课程标准 为依据 紧扣课本 又高于课本 同学们在
《 》 , , .
不超纲题型的基础上可进一步针对自己需加强的章节进行提高 做到基础与提高的统一
, .
2 经典题型,加深理解
.
本书所选的题目大多都是典型题型的代表 在同学们日常接触的题目的基础上进行内容的改
,
编以及难度的提高 因此 同学们在解题的过程中可以巩固解题技巧 加深对题目的理解 并且可
. , 、 ,
以了解自己的学习情况 做进一步的自我提升
, .
3 剖析难题,拓展思维
.
书后附有参考答案与提示 使得同学们在解题的过程中 可以参考答案中的方法与思路 引导
, , ,
学生将每种方法和思路逐步转化为自己的理解 在思考问题 探索问题的过程中 找到最方便的解
, 、 ,
题技巧 效率得以提高 能力得以增强 思维得以开拓
, , , .
本套丛书适用于中高水平学生的提高 也适用于一线教师在教学中的使用 希望本书较高的实
, ,
用性能帮助同学们在打好基础的同时进行巩固 拓展和提高 帮助教师和学生进行自我提升与灵活
、 ,
使用
.
另外 对于本套丛书 建议与 赢在思维 初中数学拉分题满分训练 配合使用 相信这样能
, , “ ——— ” ,
取得更好的效果
.
最后 希望同学们和老师们能够通过本套丛书收获各自想收获的 同时也希望能够得到读者的
, ,
建议与批评 使我们不断进步
, .目 录
●
第三期 实数的应用( ) ……………………
1 整式 2 41
第四期 实数的应用( ) ……………………
3 44
第一期 整式运算 ……………………………
1
第二期 因式分解( )…………………………
1 4 5 几何基础
第三期 因式分解( )…………………………
2 7
第四期 因式分解( ) ……………………… 第一期 平行线与相交线( ) ………………
3 11 1 48
第五期 整式的综合( ) …………………… 第二期 平行线与相交线( ) ………………
1 15 2 51
第六期 整式的综合( ) ……………………
2 18
6 三角形
2 分式
第一期 辅助线添加初步……………………
54
第一期 分式初步…………………………… 第二期 辅助线添加综合……………………
21 57
第二期 分式运算…………………………… 第三期 等边三角形…………………………
23 60
第三期 分式综合…………………………… 第四期 等腰三角形…………………………
26 63
3 图形的运动 7 平面直角坐标系
第一期 平移和对称………………………… 第一期 坐标系的应用( ) …………………
29 1 66
第二期 旋转和翻折………………………… 第二期 坐标系的应用( ) …………………
32 2 68
第三期 坐标系的应用( ) …………………
3 71
第四期 坐标系的应用( ) …………………
4 实数 4 74
第一期 实数的运算…………………………
35 参考答案与提示 ……………………
第二期 实数的应用( ) …………………… 78
1 381 整式
2
第一期 整式运算
3
题1
当x
=-2005
时
,
代数式ax2005
+
bx2003
-1
的值是
2005,
那么当x
=2005
时
,
代数
式ax2005 bx2003 的值是 .
+ -1 ( )
. . . .
A 2006 B -2006 C -2007 D2007
4
题2 已知 a b c 则下列各式正确的 . $
2=3,2=6,2=12, ( )
.a b c .b a c .c a b .a b c
A 2 = + B2 = + C2 = + D = +
题3
已知a b 则下列各式正确的
=123456789×987654321, =123456788×987654322,
5
是 .
( )
.a b .a b .a b .不能确定
A = B < C > D
题4
求值
æ
ç1 1 1
ö
÷
æ
ç 1 1
ö
÷
æ
ç 1 1
ö
÷
:è + +…+ ø×è1+ +…+ ø-è1+ +…+ ø
2 3 2012 2 2011 2 2012 6
æ ö
ç1 1 1 ÷.
×è + +…+ ø
2 3 2011
7
!
题5
求值 3 3 3 . 8
:2006-1006-1000-3000×2006×1006
(
!
1题6 求值 ( ) ( 2 ) ( 4 ) ( 8 ) ( 16 ) ( 32 ) ( 64 ) .
:2+1 2+1 2+1 2+1 2 +1 2 +1 2 +1 =
题7
若a2 a b2 b 且a b 则a5 b5 .
= +1, = +1, ≠ , + =
题8
已知ax by bx cy cx ay 且ac b2 求证 a2 b2 c2 ab
+ =1, + =1, + =1, - ≠0, : + + = +
bc ca.
+
题9
已知a b c d满足a b c d a3 b3 c3 d3 求证 a2008 b2008
, , , + = + , + = + , : + =
c2008 d2008.
+
题10
设
x y z
求a bx b cy c az的值.
a b c=b c a=a c b, (- )+(- )+(- )
+ - + - + -
2题11
已知b c2 a b c a 且a 用代数式表示a bc的关系.
(- )=4(- )(- ), ≠0, , ,
2
3
4
题12
某同学做一道代数题 : 当x =-1 时 , 求代数式 10 x9 +9 x8 +8 x7 +7 x6 +6 x5 +5 x4 $
x3 x2 x 的值.由于他将上式中某一项前的 错看为 误得代数
+4 +3 +2 +1 “+” “-”,
式的值为 那么这位同学看错了哪一项前的符号
7, ?
5
6
7
!
8
(
!
3第二期 因式分解(1)
题1
分解因式 x2 xy y2 x y .
: -2 -3 +2 +10 -8
题2
分解因式 x2 xy y2 x y .
:6 -13 +6 +22 -23 +20
题3 分解因式 x2 (a b)x ab(a ) b .
: -2 + - -2 (+2)
题4 分解因式 x4 (a2 b2 )x2 a2 b2 2.
: -2 + +( - )
题5
分解因式 x2 y2 z2 xy yz xz.
: -2 -3 + +7 +2
4题6
分解因式 x4 x3 x2 x .
: +2 +2 +2 +1
2
3
题7
分解因式 a2 ab ac bc.
:56 -40 +63 -45
4
$
题8
分解因式 x2y4z2 x4y2z2 x2y2z4 x4z4.
: + + +
5
6
题9 分解因式 ( a2 ) ( b2 ) ab.
:1- 1- -4
7
!
8
题10
分解因式 x2 xy x y. (
: + -3 -3
!
5题11 分解因式 (x ) (x ) x (x ) .
: +1 +3 (+5) +7 +15
题12 分解因式 x y xy x y (xy ) 2.
:(+ -2 )(+ -2)+ -1
题13
分解因式 x4 x3 x2 x .
: - +4 +3 +5
题14
分解因式 x4 x3 x2 x .
: -2 -27 -44 +7
题15
已知a是正整数 a2 a是一个正整数的平方 求a的最大值.
, +2004 ,
题16
在 若存在整数n 使x2 x n能分解为两个系数为整数的一次式的乘
1~100, , + -
积 则这样的n有几个
, ?
6第三期 因式分解(2) 2
题1
分解因式 x2 x x2 x .
:( +3 +2)(4 +8 +3)-90
3
4
题2 分解因式 (x2 x ) (x2 x ) . $
: + +1 + +2 -12
5
题3 分解因式 : (x4 + x2 -4 ) (x4 + x2 +3 ) +10 . 6
7
题4
证明
2 2 2 2
是一个完全平方数. !
:2010+2010×2011+2011
8
(
!
题5 已知1 1 那么2( x + y )-3 xy 的值为多少
x+y=5, x y xy ?
(+ )+2
7题6
已知 x3 x 那么 x4 x4 x2 x 的值为多少
3 - =1, 9 +12 -3 -7 +2001 ?
题7
已知a x b x c x 则多项式a2 b2 c2
=2013 +2014, =2013 +2015, =2013 +2016, + +
ab bc ac的值为多少
- - - ?
题8
已知a 1n b 1n c 1n 求a2 ab b2 ac c2 bc的值.
= +3, = +5, = +8, +2 + -2 + -2
2 2 2
题9
分解因式 x4 x2 .
: + +1
8题10
分解因式 x 4 x2 2 x 4.
:(+1)+( -1)+(-1)
2
3
题11
分解因式
:
a3b
-
ab3
+
a2
+
b2
+1
.
4
$
题12
分解因式 x2 x 2 x2 x . 5
:(2 -3 +1)-22 +33 -1
6
题13 分解因式 (m2 ) (n2 ) mn.
: -1 -1 +4
7
!
8
题14 证明 当m n都是大于 的整数时 m4 n4 是合数. (
: , 1 , +4
!
9题15
设x y为正整数 且x2 y2 y 求xy的值.
、 , + +4 -96=0,
题16
已知n是正整数 且n4 n2 是质数 求n的值.
, —16 +100 ,
10第四期 因式分解(3) 2
题1
分解因式
:
a3 b3. m6 . x2 y2 z2 2 x2y2.
(1) +8 (2) -1 (3)( + - )-4
(4) a4 +( a + b ) 4 + b4. 3
4
$
题2
分解因式 a3 b3 c3 abc.
5
: + + -3
6
题3
分解因式 x9 x6 x3 .
: + + -3
7
!
8
(
题4
分解因式 :8 x3 +12 x2 +6 x +1 .
!
11题5
分解因式 x x2 x3 2 x3.
:(1+ + + )-
题6
分解因式 a b2 b c2 c a2 a2 b2 c2.
:(+ )+(+ )+(+ )- - -
题7
分解因式 x15 x14 x2 x .
: + +…+ + +1
题8
分解因式 x3 x2 x .
: -4 +6 -4
题9
分解因式 x4 x3 x2 x .
:9 -3 +7 -3 -2
12题10
分解因式 a b c3 a3 b3 c3.
:(+ + )- - -
2
3
题11
分解因式 a b c5 a5 b5 c5.
:(+ + )- - -
4
$
题12
分解因式 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2.
: + + -2 -2 -2
5
6
题13 分解因式 a2 (b c) b2 (c a) c2a b .
: - + - + (- )
7
!
8
题14 分解因式 ab(a2 b2 ) bc(b2 c2 ) acc2 a2 .
: - + - + ( - )
(
!
13题15
分解因式 x y5 y z5 z x5.
:(- )+(- )+(- )
题16 分解因式 a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) (a b) (b c) c a .
: - + - + - + - - (- )
14第五期 整式的综合(1) 2
题1
某同学上学时步行 回家时坐车 路上一共要用 若往返都坐车 全程只需
, , 90min, ,
如果往返都步行 那么需要的时间是 .
30min, , min
题2 设a b a c 1 求整式c b2 (b c) 9的值. 3
- =2, - = , (- )+3 - +
2 4
4
$
题3
对于任何整数m 多项式 m 2 都能被 整除.
, (4 +5)-9 ( )
. .m .m .m
A 8 B C -1 D2 -1
题4
如果不论x取什么数 代数式
ax
+3的值都是一个定值 求代数式
a2
+
b2
的值.
5
, bx , a2 b2
+5 -
6
题5
若代数式 x2 ax y bx2 x y 的值与字母x的取值无关 求代
(2 + - +6)-(2 -3 +5 +1) ,
数式 1 b2 ab的值. 7
a2-2 +4
2
!
8
(
题6
已知 x2 xy y2 x 求 x y2001 的值.
!
10 -6 + -2 +1=0, (2 - )
15题7
已知a为实数 且a3 a2 a 求a 1996 a 1997 a 1998 的值.
, +3 +3 +2=0, (+1) +(+1) +(+1)
题8 已知x 2 x2 3 a a (x ) a x 8 求a a a a a
(+1)( -7)= 0+ 1 +2 +…+ 8(+2), 1- 2+ 3- 4+ 5
a a的值.
- 6+ 7
题9
已知x2 x 5 ax10 ax9 ax a.
( - +1)= 10 + 9 +…+ 1 + 0
求a的值.
(1) 0
求a a a a的值.
(2) 10+ 9+…+ 1+ 0
求a a a a a的值.
(3) 1+ 3+ 5+ 7+ 9
题10
设a bc d都是自然数 且a5 b4 c3 d2 a c 求d b的值.
, , , , = , = , - =17, -
题11
已知x yz为自然数 且x y 当x y z x 时 求x y z的
, , , ≤ , + =1999, - =2000 , + +
所有值中最大的一个是多少.
16题12
甲 乙两人共同计算一道整式乘法 x a x b 由于甲抄错了第一个多项
、 :(2 + )(3 + ),
2
式中a的符号 得到的结果为 x2 x 而乙抄错了第二个多项式中x的系
, 6 +11 -10;
数 得到的结果为 x2 x .请你计算出ab的值各是多少 并写出这道整式
, 2 -9 +10 、 ,
乘法的正确结果.
3
4
$
5
6
7
!
8
(
!
17第六期 整式的综合(2)
题1
某种手机卡的市话费收费已按原收费标准降低了a元 分钟 现在再次下调
/ , 20%,
使收费标准为b元 分钟 那么原收费标准为 .
/ , ( )
æ ö æ ö
.ç5b a÷元 分钟 .ç5b a÷元 分钟
A è - ø / B è + ø /
4 4
æ ö æ ö
.ç1b a÷元 分钟 .ç1b a÷元 分钟
C è - ø / D è + ø /
4 4
题2
若a b 则a2007 b2006 的个位数字是 .
=-3, =25, + ( )
. . . .
A 3 B5 C8 D9
题3
当m 时 多项式am3 bm 的值是 求多项式 a3 b 11的值.
=2π , + +1 0, 4π+ π+
2
题4 已知a b (1- a ) 2 (1- b ) 2 求ab的值.
+ =2, b + a =4,
题5
已知1 1 1 1 1 1 1 1 1 求2 3 4的值.
x+y z= ,y+z x= ,z+x y= , x+y+z
+ 2 + 3 + 4
题6
已知a 求 a3 a2 a 的值.
= 5-1, 2 +7 -2 -12
18题7
a bc d都是正数 且a2 b3 c4 d5 则a bc d中最大的是
, , , , =2, =3, =4, =5, , , ,
2
哪个
?
3
题8
设a 34 b 51 c 25 比较a bc的大小.
=3 , =2 , =4 , , ,
4
$
题9
若m n p 求m
æ
ç1 1
ö
÷ n
æ
ç1 1
ö
÷ p
æ
ç1 1
ö
÷ 的值.
+ - =0, èn-pø+ èm-pø- èm+nø
5
6
题10 如果对于某一特定范围内x的任意值 p x x x
, =|1-2|+|1-3|+|1-4|+…+
x 的值恒为一常数 求这个常数的值.
|1-10| ,
7
!
题11
如图所示 从图 中取阴影等边三角形各边的中点 连成一个等边三角形 将其
, (1) , ,
挖去 得到图 对图 中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法 得到图 8
, (2); (2) , (3),
如此继续
,
如果图
(1)
的等边三角形的面积为
1,
求第n个图形中所有阴影三角形
的面积的和. (
!
(1) (2) (3)
题11图
19题12 在一次数学活动中 小明为了求
-1 -2 -3 -
n 结果用含有n的式子表
, 2 +2 +2 +…+2 (
示 设计了如图 所示的几何图形.
), (1)
请你用这个几何图形求 n的值 这个值最接近的一个整
-1 -2 -3 -
(1) 2 +2 +2 +…+2 ,
数是多少
?
请你利用图 再设计一个能求
-1 -2 -3 -
n的值的几何图形.
(2) (2) 2 +2 +2 +…+2
22
21
23
24
(1) (2)
题12图
202 分式
2
第一期 分式初步
3
题1
要使分式 1 有意义 则x的取值范围是 .
x ,
1-
x
题2
若无论x为何实数 分式 1 总有意义 求m的取值范围. 4
, x2 x m ,
-2 +
$
5
题3
若分式
x2
2
x
+
x
4 的值恒为负值
,
试求x的取值范围.
+2 +2
6
题4 若分式 x +1 x +3有意义 求x的取值范围. 7
x ÷x ,
+2 +4
!
8
(
题5
若分式
x2
-9 的值为零 求x的值.
!
x2 x ,
-4 +3
21题6
已知关于x的方程
m
3 的解是正数 求m的取值范围.
x + x=1 ,
-1 1-
题7
已知
x y z
求
xy
+
yz
+
zx
的值.
= = , x2 y2 z2
3 4 5 + +
题8
当a为何值时 关于x的方程
x
-
a
3 无解
, x -x=1 ?
-1
题9
若关于x的分式方程2
m
+
x
2无解 则m的值为多少
x -1=x , ?
-3
题10
当m为何值时 关于x的方程 2
mx
3 有增根
, x +x2 =x ?
-2 -4 +2
题11
若关于x的方程
x
+1
x ax
+2 无解 求a的值.
x -x =(x ) (x ) ,
+2 -1 -1 +2
22第二期 分式运算 2
题1
化简
a
+1
a2
-1 的结果是 .
a2 a÷a2 a ( )
- -2 +1
a a
.1 .a . +1 . -1
A a B Ca Da 3
-1 +1
题2
有两个相同的瓶子装满了酒精溶液 其中一个瓶子中酒精与水的体积之比是
,
p 而在另一个瓶子中两者的体积之比是q 若把两瓶溶液混合在一起 混
∶1, ∶1, ,
合液中的酒精与水的体积之比是 .
( )
p q p2 q2 pq pq p q
. + . + .2 .2 + + 4
A B p q Cp q D p q
2 + + + +2
$
题3
已知关于x的方程3
x
+
n
的解是负数 则n的取值范围为 .
x =2 ,
2 +1
题4
方程 4 8 2 2 6 4
(x ) 2 - (x ) 2 - (x ) 2 + (x ) 2 - (x ) 2 =
+1 -4 +1 -16 +2 -1 -2 -1 -2 -9 5
的解为x .
5
=
题5
化简
æ
ç2
x2
+2
x x2
-
x ö
÷
x
.
:è x2 -x2 x ø÷x
-1 -2 +1 +1
6
题6
已知1 1 求
a b
的值.
7
a+b=2, b(a b)-aa b
- (- )
!
8
(
题7
已知
a
1 试求
a2
的值.
!
a2 a = , a4 a2
+ +1 6 + +1
23题8
计算 1 1 2 4 其中x .
:x -x -x2 +x4 , =2
-1 +1 +1 +1
题9
已知x2 x 求
x2
的值.
-4 +1=0, x4 x2
+ +1
题10
已知
x
1 求 2
x2 x
-1的值.
x2 x =- , x2 x +x3
+ +1 2 - +1 -1
题11
已知
x
1 求分式
x2
的值.
x2 x = , x4 x2
+ +1 3 + +1
题12
解方程
x
+2
x
+5
x
+3
x
+4.
:x +x =x +x
+1 +4 +2 +3
24题13
已知abc 求
a b c
的值.
=1, ab
+
a
+1
+bc
+
b
+1
+ac
+
c
+1 2
3
题14
若abcd 求 1 1 1
=1, a ab abc+ b bc bcd+ c cd cda+
1+ + + 1+ + + 1+ + +
1 的值.
d da dab
1+ + + 4
$
5
题15 已知x a - b y b - c z c - a 求(1- x )(1- y )(1- z )的值.
=a b, =b c, =c a, x y z
+ + + (1+ )(1+ )(1+ )
6
7
!
8
(
!
25第三期 分式综合
题1
在 米赛跑中 甲到达终点时 乙落后 米 在 米比赛中 甲从起跑线后
800 , , 32 ; 1200 ,
面若干米的地方起跑 结果甲到达终点时乙还落后 米.问甲从起跑线后多少米
, 4.8
的地方起跑乙才开始跑
?
题2
在某市一项城市美化工程招标时 有甲 乙两个工程队投标 经测算 甲队单独完
, 、 。 :
成这项工程需要 天 若由甲队先做 天 剩下的工程由甲 乙一起做 天可
60 ; 20 , 、 24
完成.
乙队单独完成这项工程需要多少天
(1) ?
已知甲队施工一天 需付工程款 万元 乙队施工一天需付工程款 万元
(2) , 3.5 , 2 。
若该工程计划在 天内完成 在不超过计划天数的前提下 是由甲队或乙队单独
70 , ,
完成该工程省钱 还是由甲 乙两队全程一起做完成该工程省钱
, 、 ?
题3
某中学租来同类型大客车若干辆 准备全校师生外出春游 如果每辆车乘坐 人
, , 22 ,
那么就会余下 人 如果开走 辆空车 那么所有师生刚好平均分乘剩下的汽车
1 , 1 , ,
试求共租了多少辆汽车和全校师生共多少人.已知每辆汽车的容量不多于 人
( 32 )
题4
甲 乙两个同学从 地到 地 甲步行的速度为 千米 小时 乙步行的速度是
、 A B , 3 / , 5
千米 小时 两人骑车的速度都是 千米 小时 现在甲先步行 乙先骑自行车 两
/ , 15 / . , ,
人同时从 地出发 走了一段路程后 乙放下自行车步行 甲到乙放自行车的地方
A , , ,
处改骑自行车 后面不断这样交替进行 两人恰好同时到达 地.那么 甲走全程
. , B ,
的平均速度是多少
?
26题5
当a为何值时 关于x的方程 2
ax
3 无解
2
, x -x2 =x ?
-2 -4 +2
3
题6
已知1 1 1 k 且有 k 求n所有可能的值.
2
+
6
+…+n2
-
n= , 0.93< <0.95,
4
$
题7
解方程 : x2 +
æ
è ç x 2
x ö
ø ÷
2
=5 .
+2
5
题8
解方程 x2 x 10 .
: +3 +7+x2 x=0
+3
6
题9
关于x的方程x 1 c 1的解为 x c x 1 x 1 c 1
(
可变形为x
+x= +c , 1= , 2=c; -x= -c
7
)
-1 c -1 的解为 x cx -1x 2 c 2的解为 x cx 2
+x = +c , 1= , 2=c ;+x= +c , 1= , 2=c;
!
x 3 c 3的解为 x c x 3
+x= +c , 1= , 2=c……
m m
请你根据上述方程与其解的特征 比较关于x的方程x c m 与
(1) , +x= +c( ≠0) 8
它们的关系 猜想它的解是什么.
,
(
请总结上面的结论 并求出方程y 2 a 2 的解.
(2) , +y = +a !
-1 -1
27题10
阅读下列材料 回答问题.
,
x x x
关于x的方程1 的解是x 2 的解是x 3 的解是
x+ =2 =1;x+ =2 =2;x+ =2
1 2 3
x æ x ö
x 2 ç即-2 ÷的解是x .
=3;-x- =2è x + =2ø =-2
2 -2
m x
请观察上述方程与其解的特征 x的方程 m 与上述方程有什么
(1) , x+m=2( ≠0)
关系 猜想它的解是什么 并利用 方程的解 的概念进行验证.
? , “ ”
由上述的观察 比较 猜想 验证 可得到以下结论 如果方程的左边是一个未
(2) 、 、 、 , :
知数倒数的a倍与这个未知数的1的和等于 那么这个方程的解是x a.请用这
a 2, =
个结论解关于x的方程 x2 1 aa .
: +x2 a=2+ (≥-1)
-
283 图形的运动
2
第一期 平移和对称
3
题1
下列图形中只能由其中一部分平移可以得到的是
( )
.
4
$
A. B. C. D.
题2
如图所示 在图形A到图形B的变换过程中 下列描述正 5
, , A
确的是 .
( ) B
.向下平移 个单位 向右平移 个单位
A 2 , 4
.向下平移 个单位 向右平移 个单位
B 1 , 4
.向下平移 个单位 向右平移 个单位
C
.向下平移
1
个单位
,
向右平移
8
个单位
题2图 6
D 2 , 8
题3
如图所示 把正方形ABCD的对角线AC分成n段 以每段为对角线作正方形 设
, , ,
这n个小正方形的周长和为P
,
正方形ABCD 的周长为L
,
则P 与L的关系
是 .
7
A B
A D !
8
D C B E C F
题3图 题4图 题5图 (
题4 如图所示 将边长为 个单位长的等边 ABC沿边BC向右平移 个单位得到 !
, 2 △ 1
DEF 则四边形ABFD的周长为 个单位.
△ ,
题5 如图所示 某宾馆在重新装修后 准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯 已知这
, , ,
种地毯每平方米售价 元 主楼梯道宽 米 其侧面如图所示 则购买地毯至少
30 , 2 , ,
需要 元.
29题6
如图所示 一块边长为 米的正方形土地 在上面修了三条道路 宽都是 米 空
, 8 , , 1 ,
白的部分种上各种花草.
请利用平移的知识求出种花草地的面积.
(1)
若空白的部分种植花草共花费了 元 则每平方米种植花草的费用是多
(2) 4620 ,
少元
?
题6图
题7
下列标志中 既是轴对称图形又是中心对称图形的为 .
, ( )
A. B. C. D.
题8
下图中 不是中心对称图形的是 .
, ( )
A. B. C. D.
题9
在A B C M N S六个英文字母中 是中心对称图形的有 .
、 、 、 、 、 , ( )
.一个 .两个 .三个 .四个
A B C D
题10
下列四个图形中 对称轴条数最多的一个图形是 .
, ( )
A. B. C. D.
30题11
下列轴对称图形中 对称轴条数最少的是 . l
, ( )
A 2
.等腰直角三角形 .等边三角形
A B
.正方形 .长方形
C D
题12
如图所示 直线l是四边形ABCD的对称轴 若AB CD
, , = , B O D
有下面的结论 AB CD AC BD AO OC
:① ∥ ;② ⊥ ;③ = ;
AB BC.其中正确的结论有 .
④ ⊥ 3
C
题12图
4
$
5
6
7
!
8
(
!
31第二期 旋转和翻折
题1
有两个完全重合的矩形 将其中一个始终保持不动 另一个矩形绕其对称中心O
, ,
按逆时针方向进行旋转 每次均旋转 第 次旋转后得到图 第 次旋转后
, 45°, 1 ①, 2
得到图 则第 次旋转后得到的图形与图 中相同的是 .
②…… 10 ①~④ ( )
O O O O
题1图
.图 .图 .图 .图
A ① B ② C ③ D ④
题2
如图所示 OAB绕点O逆时针旋转 得到 OCD 若 A D
,△ 80° △ , ∠ =110°,∠ =40°,
则 α的度数是 .
∠
D C
D
A B
E
C
a
G
O A F B
题2图 题3图
题3
如图所示 正方形ABCD中 E在BC上 F在AB上 且 FDE . DEC按
, , , , ∠ =45° △
顺时针方向转动一个角度后成为 DGA.
△
问 图中哪一个点是旋转中心
:(1) ?
DGA是由 DEC旋转了多少度形成的
(2)△ △ ?
指出图中的对应点 对应线段和对应角.
(3) 、
求 GDF的度数.
(4) ∠
32题4
ABC是等边三角形 D是BC上一点 ABD经旋转后到达 ACE的位置.
△ , ,△ △
2
问 旋转中心是哪一点
:(1) ? A
旋转了多少度
(2) ?
若M是AB的中点 那么经过上述旋转后 点M
(3) , ,
转到了什么位置 M
?
E
3
B D C
题4图
4
$
E
题5
如图所示 将矩形ABCD沿AE折叠 若 BAD' 则
D C
, , ∠ =30°, 5
AED'等于 .
∠ D′
题6 如图所示 图 中的ABCD是一条长方形纸带 DEF
, (1) ,∠ =
将纸带沿EF折叠成图 再沿BF折叠成图 则 A B
20°, (2), (3),
题5图
图 中的 CFE的度数是 .
(3) ∠ ° 6
D
A E D A E A E
F C
B F C B G B G F
C
(1) (2) D (3)
题6图
7
题7
如图所示 已知O是 APB内的一点 点M N分别是O点关于PA PB的对称
, ∠ , 、 、
点 MN与PA PB分别相交于点E 点F 已知MN 则 OEF的周长 !
, 、 、 , =5cm, △
是 .
M
A 8
E
O (
!
P B
F
N
题7图 题8图
题8
如图所示 阴影部分是由 个小正方形组成的一个图形 请用两种方法分别在图中
, 5 ,
方格内涂黑 个小正方形 使它们成为轴对称图形.
2 ,
33题9
利用轴对称知识画图 作出图中图形AOCB关于直线a b及原点O对称的
(1) : 、
图形
;
由 得到的星形图形中有 条对称轴
(2) (1) ;
用剪刀剪出这个星形图 正方形纸片需要沿对角折 次.
(3) ,
b
A B
A
B
C
a
O
B C O A
(1) (2)
题9图 题10图
题10
只利用一把有刻度的直尺 用度量的方法 按下列要求画图.
, ,
在图 中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴
(1) (1) :
量出底边BC的长度 将线段BC二等分 即画出BC的中点D
① , , ;
画直线AD 即画出等腰三角形ABC的对称轴.
② ,
在图 中画出 AOB的对称轴 并写出画图的方法.
(2) (2) ∠ ,
题11
小华将一条直角边长为 的一个等腰直角三角形纸片 图 沿它的对称轴折叠
1 ( 1), 1
次后得到一个等腰直角三角形 图 再将图 的等腰直角三角形沿它的对称轴折
( 2), 2
叠后得到一个等腰直角三角形 图 则图 中的等腰直角三角形的一条腰长为
( 3), 3
同上操作 若小华连续将图 的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等
; , 1
腰直角三角形 图n 的一条腰长为 .
( +1)
n
n
题11图
题12
试比较图中两个几何图形的异同 请分别写出它们的两个相同点和两个不同点.例
,
如 相同点 正方形的对角线相等 正五边形的
, : ,
对角线也相等 不同点 正方形是中心对称图形
; : ,
正五边形不是中心对称图形.
相同点 .
:① ;②
不同点 :① ;② . (1) (2)
题12图
344 实数
2
第一期 实数的运算
3
题1
若m
>0,
n
>0,
实数a
、
b
、
c
、
d满足条件a
+
b
+
c
+
d
=
m
,
ac
=
bd
=
n2
,
试求
a b b c c d d a 的值.用m n表示
(+ )(+ )(+ )(+ ) ( 、 )
4
$
题2
已知 x c2 y2 x c2 y2 a 求 x c2 y2 与 x c2 y2. 5
(+ )+ + (- )+ =2 , (+ )+ (- )+
用ac x表示
( 、 、 )
6
题3
已知x y均为实数 且 x3 1 y
æ
çx 1
ö
÷
2
求y的平方根.
、 , +x3- +è +x-3ø =0,
7
!
8
题4 若M20 1 06 N20 1 05 且M N为自然数 则MN的末位数字为 . (
=3, =7, , ,
题5 利用指数运算规律计算 æ ç a3 2 - x3 2 a1 2x1 2 ö ÷ æ ç a1 2 - x1 2 ö ÷ 2 . !
:èa1
2 -
x1
2
+ øè a
-
x ø
35题6 利用指数运算规律计算 : é ë ê ê a a 3 - x x3 + ax ù û ú ú é ë ê ê a a - x x ù û ú ú 2 .
- -
题7
用分数指数幂与指数运算规律解下列各题
:
3
3a2b. .
(1) (2) 2 25
题8 已知a
=4
1 3
+2
3 1
+1
1 3, 求
3
a-1
+3
a-2
+
a-3 的值.
题9
用 定义新运算 对于任意实数a b 都有a b b2 .例如 2
“◁” : 、 , ◁ = +1 ,7◁4=4+1=
那么 当m为实数时 m m .
17, 5◁3= ; , ◁( ◁2)=
题10
在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算 如下 当a b时 a b b2 当
“” : ≥ , = ;
a b时 a b a 则当x 时 x x x 的值为 .
< , = , =2 ,(1 )· -(3 )
题11
用 表示一种运算符号 它的含义是 x y 1 1 已知
“*” , : * =xy+ x y A , 2*1
(+1)(+ )
1 1 2 求 的值.
= + A = , 1998*1999
2×1 (2+1)(1+ ) 3
36题12
定义一种对正整数n的 F 运算 当n为奇数时 结果为 n 当n为偶数
“ ” :① , 3 +5;②
2
n( n )
时 结果为 其中k是使 为奇数的正整数 并且运算重复进行.例如 取n
, k k , , =
2 2
有
26,
F F F
26 13 44 11
3
若n 则第 次 F 运算的结果是 .
=449, 449 “ ”
4
$
5
6
7
!
8
(
!
37第二期 实数的应用(1)
题1
证明 是无理数.
:2+ 3
题2
设a是有理数 x是无理数 证明 a x是无理数 且当a 时 ax是无理数.
, , : + , ≠0 ,
题3
证明 不存在正整数m和n 使得m2 n2 .
: , = +1994
题4
证明 对任意正整数k k 和 k 两数中至少有一个不能等于两整数的平
: ,2 +1 2 -1
方和.
题5
已知实数a bc满足关系式 a b c b a c c a b 求证
、 、 ||≥| + |,||≥| + |,||≥| + |, :
a b c .
+ + =0
38题6
已知ad bc 求证 a b c d ab cd .
- =1, : + + + + + ≠1
2
3
题7
已知a3 b3 求证 a b .
+ =2, : + ≤2
4
$
题8 一个四边形的边长为a bc d且a2 b2 c2 d2 ac bd 试判断此四边形 5
、 、 、 + + + =2 +2 ,
的形状.
6
题9
abcd是四边形四条边的长 且a4 b4 c4 d4 abcd 试判断此四边形
、 、 、 , + + + -4 =0,
的形状. 7
!
8
(
题10 在实数范围内 化简 x 2 .
, | -(-4)-1|-2 !
39é ù
题11 在实数范围内 设x ê ( a -2)(| a |-1)+ ( a -2)(1-| a |) 5 a +1 ú2004
, =ë ê + aû ú ,
1 1-
1+ a
1-
则x的个位数字是多少
?
题12
设等式 ax a ay a x a a y在实数范围内成立 其中a
(- )+ (- )= - - - , 、
x2 xy y2
x y是两两不同的实数 求3 + - 的值.
、 , x2 xy y2
- +
40第三期 实数的应用(2) 2
题1
设实数a bc d e符合a b c d e a2 b2 c2 d2 e2 试求e
、 、 、 、 + + + + =8, + + + + =16,
的最大值.
3
4
题2 设n为大于 的正整数 且存在a a a 使得a a a aa a $
1 , 1, 2,…, n, 1+ 2+…+ n= 1 2… n
求n的最小值.
=2005,
5
题3
设abcd都是实数 若a b c d 且a c b d c a d b
、 、 、 , | + |=4,|+ |=2, | - + - |= - + - ,
求a b c d的最大值. 6
+ + +
7
题4
求x x x x 的最小值. !
| -1|+| -2|+…+| -99|+| -100|
8
(
!
题5
已知x 化简 x .
<-3, :3+ 2-|1+ |
41x x
题6
化简
-||
.
: x
题7
若x y 且x y y x 求x y的值.
||=3,||=2, | - |= - , +
题8
若x y 与x y 互为相反数 求
x
+2
y
的值.
| - +3| | + -1999| , x y
-
题9
若 x x x 的值为常数 求x的取值范围.
2 +|4-5|+|1-3|+4 ,
题10
如果 a b 则
a
|
a
| 的值是 .
2 + =0, b -1 + b -2
||
42题11
若a bc为整数 且 a b19 c a99 试计算c a a b b c
、 、 , | - | +| - | =1, | - |+| - |+| - |
2
的值.
3
题12
若abc 则
a b c abc
的所有可能值是什么
≠0, a +b +c +abc ?
|| || || | | 4
$
5
6
7
!
8
(
!
43第四期 实数的应用(3)
题1
设M 7
æ
ç 3÷
ö
ç
æ
1
ö
÷
æ
ç 2÷
ö
N 4
æ
ç 2÷
ö2
1
=1 ÷è-3 ø×è-3 ø÷è-1 ø, =(-2)÷è2 ø +5 ×
8 4 3 3 3 2
æ ö
ç 1÷ .试比较1M与 N的大小.
è- ø-0.25 1-
6 13
题2
已知x y 设a x b y c |
x
+
y
| d xy.试比较abc d的
< <0, =||, =||, = , = 、 、 、
2
大小 用 表示.
, “<”
题3
已知x m2 m m2 m y m2 m m2 m 其中m是不
=( +2 +1)( -2 +1), =( + +1)( - +1),
为零的实数 求x与y的大小.
,
题4
比较m n两个数的大小 其中m a2 b2 a n a2 b2 a .
、 , =10 + -7 +6, = + +5 +1
题5
计算 .
: 9×9+19, 99×99+199, 99…9×99…9+199…9
︸n个
9
︸n个
9
︸n个
9
44题6
先计算 再仔细观察计算结果
, :
2
(1) 11-2 ;
(2) 1111-22 ;
(3) 111111-222 ;
按照这个规律猜想填空
:
3
(4) 111…1-222…2 ;
︸2006 个 ︸1003 个
(5) 111…1-222…2 ;
︸2 n个 ︸n个
你能证明你的猜想是正确的吗
?
4
$
5
题7
将杨辉三角中的每一个数都换成分数 得到一个如下所示的三角形 称为莱布尼
6
, ,
兹三角形.若用有序实数对 m n 表示第m行中从左到右的第n个数 如 表
( , ) , (4,3)
示分数1 那么 表示的分数是什么
12
, (9,2) ?
1
1
7
1 1
2 2
!
1 1 1
3 6 3
1 1 1 1
8
4 12 12 4
……
(
!
45题8
把数字如下所示排列起来 从上面开始 依次为第一行 第二行 第三行 中间
, , 、 、 ……
的一列从上至下依次为 则第十个数是什么
1、5、13、25…… ?
1
2 3
6 5 4
7 8 9 10
15 14 13 12 11
16 17 18 19 20 21
28 27 26 25 24 23 22
……
题9
某学校准备组织 名学生进行野外考察活动 共有 件行李 学校计划租用
290 , 100 ,
甲 乙两种型号的汽车共 辆 经了解 甲种汽车每辆最多能载 人和 件行
、 8 , , 40 10
李 乙种汽车每辆最多能载 人和 件行李.
, 30 20
设租用甲种汽车x辆 请你帮助学校设计所有可能的租车方案
(1) , ;
如果甲 乙两种汽车每辆的租车费用分别为 元 元 请你选择最省
(2) 、 2000 、1800 ,
钱的一种租车方案.
题10
小明周日帮妈妈到超市采购食品 要购买的 三种食品的价格分别是 元
, A、B、C 2 、
元和 元 每种食品至少要买一件 共买了 件 恰好用了 元.若 种食品
4 10 , , 16 , 50 A
购买m件 请回答下列问题.
,
用含有m的代数式表示另外两种食品的件数.
(1)
请你帮助设计购买方案 并说明理由.
(2) ,
46题11
某书报亭开设两种租书方式 一种是零星租书 每册收费 元 另一种是会员卡租
: , 1 ;
2
书 办卡费每月 元 租书费每册 元.小军经常来该店租书 若每月租书数量
, 12 , 0.4 ,
为x册.
写出零星租书方式应付金额y 元 与租书数量x 册 之间的函数关系式.
(1) 1( ) ( )
写出会员卡租书方式应付金额y 元 与租书数量x 册 之间的函数关系式.
(2) 2( ) ( )
小军选取哪种租书方式更合算
(3) ?
3
4
$
题12
某单位需以 挂号信 或 特快专递 方式向五所学校各寄一封信 这五封信的重量
“ ” “ ” ,
分别是 .根据这五所学校的地址及信件的重量范围 在
72g、90g、215g、340g、400g , 5
邮局查得相关邮费标准如下
:
挂号费 特制信封
业务种类 计费单位 资费标准 元
/ 元 封 元 个
/( / ) ( / )
首重 每重
挂号信 100g, 20g 0.8 6
续重 每重 3 0.5
101~2000g, 100g 2.00
特快专递 首重 内
1000g 5.00 3 1.0
重量为 的信若以 挂号信 方式寄出 邮寄费为多少元 若以 特快专递 方
(1) 90g “ ” , ? “ ”
式寄出呢
?
7
这五封信分别以怎样的方式寄出最合算 请说明理由.
(2) ?
通过解答上述问题 你有何启示 请你用一两句话说明
(3) , ? ( )
!
8
260g 100g
20g 0.8
(
20g 20g
160g 100g
!
2 160g100g
200g
1000g
475 几何基础
第一期 平行线与相交线(1)
题1
如图所示 直线AB CD于点O OE OF BOF BOE.求 DOF的度数.
, ⊥ , ⊥ ,∠ =3∠ ∠
D F
B
O E
A
C
题1图
题2
如图所示 直线AB CD相交于点O EO AB O是垂足 OF平分 AOC 且
, 、 , ⊥ , , ∠ ,
EOC 2 AOC.求 DOF的度数.
∠ = ∠ ∠
5
E
F C
A B
O
D
题2图
题3
如图所示 DE BC B C .AF平分 BAD AG平分 CAE.求
, ∥ ,∠ +∠ =120° ∠ , ∠
FAG的度数.
∠
A
D E
F G
B C
题3图
48题4
如图所示 BAP与 APD互补 BAE CPF.求证 E F.
,∠ ∠ ,∠ =∠ :∠ =∠
2
A
B
E
F
C D
P 3
题4图
题5
如图所示 已知 B BCD D .求证 AGM DHN.
, ∠ +∠ +∠ =360° :∠ =∠
M 4
$
B
A
G
C
E
H D
5
N
题5图
题6 如图所示 在 ABC中 CE AB于点E DF AB于点F AC FD CE是 6
, △ , ⊥ , ⊥ , ∥ ,
ABC的角平分线.求证 EDF BDF.
△ :∠ =∠
A
E
7
F
B C !
D
题6图
8
题7
如图所示 CD EF EFG BCD ABC.求证 AB GF. (
, ∥ ,∠ +∠ =∠ : ∥
!
C
A
D B
E
F G
题7图
49题8
如图所示 AB CD EAF 1 EAB ECF 1 ECD.求证 AFC
, ∥ ,∠ = ∠ ,∠ = ∠ :∠ =
4 4
3 AEC. A B
∠
4
E F
C D
题8图
题9
如图所示 已知EF平分 AEC DAC AED ACB CED DAB
, ∠ ,∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ =
BCD 求证 AD BC. AB CD.
∠ , :(1) ∥ (2) ∥ D
C
F
A
B
题9图 E
题10
如图所示 ADC ABC EBG CDH DA是 FDB的角平分
,∠ =∠ ,∠ +∠ =180°, ∠
线 证明BC是 DBE的平分线.
, ∠
G
B
A E
F
D C
H
题10图
题11
如图所示 已知射线CB OA AB OC C OAB .点E F在射线
, ∥ , ∥ ,∠ =∠ =100° 、
CB上 且满足 FOB AOB OE平分 COF.求 EOB的度数.若平行移动
, ∠ =∠ , ∠ ∠
AB 那么 OBC OFC的值是否随之发生变化 如果变化 找出变化规律.若
, ∠ ∶∠ ? ,
不变 求出这个比值.在平行移动AB的过程中 是否存在某种情况 使 OEC
, , , ∠ =
OAB 若存在 求出其度数.若不存在 请说明理由.
∠ ? , ,
C E F B
O A
题11图
50第二期 平行线与相交线(2) 2
题1
如图所示 AOB 与 BOC互为邻补角 OD 是 AOB 的角平分线 OE 在
,∠ ∠ , ∠ ,
BOC内 BOE 1 EOC DOE 求 EOC的度数.
∠ ,∠ = ∠ ,∠ =72°, ∠
2
3
B E
D
A C
O
题1图 4
$
题2
如图所示 已知直线AB CD EF相交于点O 且AB CD OG平分 AOE
, 、 、 , ⊥ , ∠ ,
FOD 求 AOG的度数.
∠ =28°, ∠
C
G E 5
A B
O
D
F 6
题2图
题3
如图所示 已知AB DE ABC CDE 求 BCD的度数.
, ∥ ,∠ =80°,∠ =140°, ∠
A B
D E 7
C
题3图 !
8
题4
如图所示 CD BE 求 ACD ABF A的度数.
, ∥ , ∠ +∠ -∠
A (
!
D
C
F E
B
题4图
51题5
如图所示 已知AB CD 用至少三种方法证明 B D BED .
, ∥ , :∠ +∠ +∠ =360°
B
A
E
C
D
题5图
题6
如图所示 已知 CFE BDC DEF B 试判断 AED与 ACB
, ∠ +∠ =180°,∠ =∠ , ∠ ∠
的大小关系 并说明理由.
,
A
E
D
F
B C
题6图
题7
如图所示 AB CD EB AD 请你判定 E B EDC这一结论是否成
, ∥ , ∥ , ∠ +∠ =∠
立 并说明理由.
,
E
A
B
C D
题7图
题8
如图所示 已知AF CD A D B E 求证 BC EF.
, ∥ ,∠ =∠ ,∠ =∠ , : ∥
A F
B
E
C D
题8图
题9
如图所示 两平面镜αβ 的夹角为 入射光线AO平行于
β
入射到α上 经两
, , 60°, ,
次反射后的反射光线CB平行于α 求 OCB的度数.
, ∠
B
a
O
A
C β
题9图
52题10
如图所示 已知AB CD 线段EF分别与AB CD相交于点E 点F 在直线EF
, ∥ , , , ,
2
上有一点P 连接AP CP.
, ,
如图 所示 当 A APC 时 求 C的度数.
(1) (1) , ∠ =25°,∠ =70° , ∠
如图 所示 当点P 在线段EF 上运动时 不包括E F 两点 A
(2) (2) , ( , ),∠ ,
APC 与 C之间有什么确定的相等关系
∠ , ∠ ?
如图 所示 当点P在线段EF的延长线上运动时 中结论还成立吗 如
(3) (3) , ,(2) ?
3
果成立说明理由 如果不成立 试探究它们之间新的相等关系并证明.
, ,
E E P
A B A B
E
A B
P
4
P
$
C D C D C D
F F F
(1) (2) (3)
题10图
5
6
题11
如图所示 直线AC BD 连接AB 直线AC BD及线段AB把平面分成
, ∥ , , , ①,②,
③,④
四个部分
,
规定
:
线上各点不属于任何部分
,
当动点P在某部分时
,
连接
PA PB 构成 PAC APB PBD三个角.提示 有公共端点的两条重合
, , ∠ ,∠ ,∠ ( :
射线所组成的角是 角.
0° )
当动点P落在第 部分时 求证 APB PAC PBD.
(1) ① , :∠ =∠ +∠
7
当动点P落在第 部分时 APB PAC PBD是否成立 直接回答
(2) ② ,∠ =∠ +∠ ? (
成立或不成立
)
!
当动点P落在第 部分时 全面探究 PAC APB PBD之间的关系
(3) ③ , ∠ ,∠ ,∠ ,
并写出动点P的具体位置和相应结论 选择其中一个结论加以证明.
,
8
A
C
P (
!
D
B
题11图
536 三角形
第一期 辅助线添加初步
题1
如图所示 在 ABC中 B C 则AC与 AB之间的大 A
, △ ,∠ =2∠ , 2
小关系是 .
( )
.AC AB .AC AB
A >2 B =2
.AC AB .AC AB B C
C ≤2 D <2
题2
在 ABC中 AB AC BAP CAP P为AC上任意一 题1图
△ , > ,∠ =∠ ,
点.求证 AB AC PB PC.
: - > - A
P
B D C
题2图
题3
已知AD为 ABC的中线 BDE EDA ADF CDF.求证 BE CF
△ ,∠ =∠ ,∠ =∠ : +
EF.
>
A
E F
B D C
题3图
题4
如图所示 ABC是等边三角形 BD是AC边上的高 作DH BC于点H.求
,△ , , ⊥
证 DC CH BH.
: + =
A
D
C H B
题4图
54题5
如图 所示 在正方形ABCD中 M是BC的中点 点P在DC边上 且AP
(1) (1) , , , ,
2
AB CP.求证 BAP BAM.
= + :∠ =2∠
如图 所示 E是正方形ABCD的边AD上一点 BF平分 EBC 交CD于
(2) (2) , , ∠ ,
点F.求证 BE AE CF.
: = +
A D A E D
3
F
P
B M C B C
(1) (2)
4
题5图
$
5
题6
如图所示 在四边形ABCD 中 BAD D BM CM CD.求证
, ,∠ =∠ =90°, = = :
AMC BAM.
∠ =3∠
6
B A
M
7
C D
!
题6图
题7
如图所示 在正方形ABCD中 M是BC的中点 CN平分 DCE AM MN.
, , , ∠ , ⊥
求证 AM MN.
(1) : = 8
在第 题中 如果M 不是BC边的中点 而是上面任意一点 那么结论
(2) (1) , , ,
AM MN 是否仍成立 请证明你的结论. (
= ?
A D !
N
E
B M C
题7图
55题8
如图所示 在 ABC中 ABC AD CE分别平分 BAC ACB.求证
, △ ,∠ =60°, 、 ∠ ,∠ :
AE CD AC.
+ =
A
E
C D B
题8图
题9
如图所示 C是AB的中点 点E在边CD上 且AE BD.
, , , =
求证 AEC BDC.
(1) :∠ =∠
延长AE交BD于点F DF与EF相等吗 为什么
(2) , ? ?
D
F
E
A B
C
题9图
题10
在 ABC中 AB AC E为AB的中点 在AB延长线上取一点D 使BD
△ , = , , , =
BA 求证 CD CE.
, : =2
A
E
B C
D
题10图
56第二期 辅助线添加综合 2
题1
求证 等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.提示 添加辅助
(1) : ( :
线证明
)
如图所示 在三角形ABC中 点D是三角形内一点 连接DA DB DC 若
(2) , , , 、 、 , 3
AB AC ADB ADC 求证 AD平分 BAC.
= ,∠ =∠ , : ∠
A
4
$
D
B C
题1图
5
题2
如图所示 ABD ACE分别是以AB AC为边的等边三角形 连接CD BE
,△ 、△ 、 , 、 ,
它们相交于点O 再连接OA.求证 OA是 DOE的角平分线.
, : ∠
D
A E
6
O
B C
题2图
7
题3
已知AB AC AE AF BAC EAF BF CE交于点M 连接AM.
!
= , = ,∠ =∠ =90°, 、 ,
求证 BF CE BF CE.
(1) : = , ⊥
求 AMC的度数.
(2) ∠ 8
C
(
F M
!
A B
E
题3图
57题4
在直角三角形ABC中 ACB BAC 分别以AB AC为边在
,∠ =90°,∠ =30°, 、
ABC外侧作等边 ABE和等边 ACD DE交AB于点F 求证 EF FD.
△ △ △ , , : =
E
B
F
C A
D
题4图
题5
如图所示 ABC是等腰直角三角形 ACB AD是BC边上的中线 过C
,△ ,∠ =90°, ,
作AD的垂线 交AB于点E 交AD于点O 求证 CDA EDB.提示 用
, , , :∠ =∠ ( :
多种方法添加辅助线
)
C
D
O
A E B
题5图
题6
在 ABC中 AC BC ACB .BD平分 ABC交AC于点D 又AE BD
△ , = ,∠ =90° ∠ , ⊥
交延长线BD于点E.求证 BD AE 提示 用多种方法添加辅助线 .
: =2 ( : )
A
E
D
C B
题6图
题7
如图所示 BD CE分别是 ABC的外角平分线 过点A作AD BD AE CE
, 、 △ , ⊥ 、 ⊥ ,
垂足分别为点D 点E 连接DE.求证 DE BC DE 1 AB BC AC .
、 , : ∥ , = ( + + )
2
A
D E
B C
题7图
58题8
已知 AFB BFC CAF P为异于点F的任意一点 求证 PA
∠ =∠ =∠ =120°, , : +
2
PB PC FA FB FC.
+ > + +
A
F
P
B C 3
题8图
题9
已知在 ABC中 AB AC BAC 点D 是BC上的任意一点 探究
△ , = ,∠ =90°, ,
BD2 CD2 与AD2 的关系 并证明你的结论.
+ , 4
A $
B D C
题9图
5
题10 点P为 ABC内一点 若AP BC 证明 PB PC AB AC .补充 使
△ , ⊥ , : - ≥ - ( :
用勾股定理 即在 ABC中 C 则a2 b2 c2 .
, Rt△ ,∠ =90°, + = )
A 6
P
B C
题10图
7
!
8
(
!
59第三期 等边三角形
题1
ABC和 BDE都是等边三角形 且A B D三点共线 E
△ △ , 、 、 ,
以下结论 AE CD BF BG HB 平 分
:① = ,② = ,③ C H
AHD AHC BFG 是等边三角形 G
∠ ,④ ∠ =60°,⑤ △ , F
GF AD 其中正确的有 .
⑥ ∥ , ( ) A B D
. 个 . 个
A 3 B4 题1图
. 个 . 个
C5 D6
题2
如图所示 已知 ABC是等边三角形 E是AC延长线上的一点 选择一点D使
, △ , ,
得 CDE是等边三角形 点M 点N分别是线段AD BE的中点.求证 CMN
△ , 、 、 :△
是等边三角形.
E
N
C
D
M
A
B
题2图
题3
ABC CDE都是等边三角形 AD BE相交于点O 点M 点N分别是线段
△ 、△ , 、 , 、
AD BE的中点.
、
证明 AD BE. 求 DOE的角度. 证明 MNC是等边三角形.
(1) : = (2) ∠ (3) :△
A
M C
E
NO
B
D
题3图
题4
如图所示 四边形ABCD是平行四边形 分别以AB BC作等边 EAB和等边
, , 、 △
FBC 连接EF DF与DE 猜想 DEF的形状并加以证明.
△ , 、 , △
E
F
C
D
A B
题4图
60题5
如图所示 AD与BC交于点O 且 OAB和 OCD均为等边三角形 以OD和
, , △ △ ,
2
OB为边的四边形ODEB是平行四边形 连接AC CE和AD相交于点F 求证
, 、 , :
ACE为等边三角形.
△
A B
O 3
E
F
C D
题5图
4
题6 如图所示 ABC为等边三角形 O是 B C两角平分线的交点 EO BO $
,△ , ∠ 、∠ , ⊥ ,
FO CO 求证 AEF的周长等于边BC的长.
⊥ , :△
A
E F 5
O
B C
题6图
6
题7
已知 ABC为等边三角形 点M是边BC上任意一点 且BM CN 直线BN与
△ , , = ,
AM相交于O点.
求图 中 BQM的度数.
(1) (1) ∠
若M N两点分别在边BC CA的延长线上 其余条件不变 中的结论是
(2) 、 、 , ,(1) 7
否仍然成立 如果成立 请加以证明 如果不成立 请说明理由.
? , ; ,
N !
A Q
A
8
N
Q
B M C B C M (
(1) (2)
!
题7图
61题8
ABC是边长为 的等边三角形 BDC是等腰三角形 顶角 BDC 点
△ 1 ,△ , ∠ =120°,
M 点N分别在边AB 边AC上 且 MDN .求证 AMN的周长为 .
、 , , ∠ =60° :△ 2
A
M N
B C
D
题8图
题9
点E是等边 ABC内一点 且EA EB ABC外一点D满足BD AC 且BE
△ , = ,△ = ,
平分 DBC 求 BDE的度数.
∠ , ∠
A
D
E
B C
题9图
题10
ABC是等边三角形 延长BC到点D 延长BA到点E 并且AE BD.求证
△ , , , = :
EC ED.
=
E
A
B C D
题10图
62第四期 等腰三角形 2
题1
已知a b分别是等腰三角形的其中两条边 l是这个三角形的周长 当a bl满
, , , , ,
l
足a b l 且a b 时 l 或 .
-2 = -7 + = +2 , =
4
3
题2
如图所示 三角形ABC中 CB CA D是AB边的中点 点M 在 ABC的内
, , = , , △
部 且 MAC MBC ME BC MF AC 连接DE DF.求证 DE DF.
, ∠ =∠ , ⊥ , ⊥ , , : =
A
F
D
4
M
B E C $
题2图
题3
如图所示 ABC的周长等于 点D 点E在边BC上 ABC的角平分线垂
5
,△ 26, 、 ,∠
直于AE 垂足为点Q ACB的角平分线垂直于AD 垂足为点P 若BC
, ,∠ , , =10,
则PQ的长为多少
?
A
6
P Q
B D E C
题3图
7
题4
如图所示 在 ABC中 AB AC 直线l过点A且l BC ABC的平分线与
, △ , = , ∥ ,∠ !
AC和l分别交于点D 点E ACB的平分线与AB和l分别交于点F 点G.求
、 ,∠ 、
证 DE FG.
: =
8
G A E
l
F D (
B C
!
题4图
63题5
如图所示 在三角形ABC中 AB AC A 作 B的平分线与AC交于
, , = ,∠ =100°, ∠
点E 求证 BC AE BE.
, : = +
A
E
B C
题5图
题6
如图所示 在直角 ABC中 BAC 点D是 ABC内一点 且 DAC
, △ ,∠ =90°, △ , ∠ =
DCA 求证 BD BA. B
∠ =15°, : =
D
C
A
题6图
题7
如图所示 设点P为等腰直角三角形ABC斜边AB上任意一点 PE AC于点
, , ⊥
E PF BC于点F PG EF于点G 延长GP并在其延长线上取一点D 使得
, ⊥ , ⊥ , ,
PD PC.求证 BC BD 且BC BD. C
= : ⊥ , =
F
G
E
A B
P
D
题7图
题8
在等腰直角三角形ABC中 BAC AD AE AF BE交BC于点F 过
,∠ =90°, = , ⊥ ,
F作FG CD交BE的延长线于点G 求证 BG AF FG. A
⊥ , : = +
E G
D
M
B F C
题8图
64题9
如图所示 已知AB FD 等腰直角三角形CFA 其中 ACF BE CD
, = , , ∠ =90°, ⊥ ,
2
BG CF于M M为垂足 并交CD于点G 且 MBQ MFG 求证 BAQ
⊥ , , , ∠ =∠ , :∠
D. A B F D
=∠
M
Q
G
E
C
题9图
3
题10
如图所示 在矩形ABCD中 BC AB P Q是BC上的两个三等分点.求证
, , =3 , 、 : 4
DBC DPC DQC. D A
∠ +∠ =∠ $
B
C Q P
题10图
5
6
7
!
8
(
!
657 平面直角坐标系
第一期 坐标系的应用(1)
题1
已知点Aa b 在第四象限 a b 则点A关于y轴对称的坐标是
(, ) , =5, =3,
.
题2
直角坐标平面中 ABC的定点坐标是A B C ABC关于
,△ (1,2), (3,1), (2,0),△
原点对称的对称图形的顶点坐标是 .
题3
已知点P Q 下面各坐标中在PQ的垂直平分线上的是 .
(-2,0)、 (3,-1), ( )
多选
( )
. . . .
A (2,2) B (-2,2) C (2,-2) D (-1,-1)
题4
已知点A的坐标为 O为坐标原点 连接OA 将线段OA绕点O按逆时针
(0,6), , ,
方向旋转 得OA' 则点A'的坐标为 .
90° ,
题5
在平面直角坐标系xOy中 我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点
,
A 点B是x轴正半轴上的整点 记 AOB内部 不包括边界 的整点个数
(0,4), , △ ( )
为m.当m 时 点B的横坐标的所有可能值是 .当点B的横坐标为 n
=3 , 4
n为整数时 m .用含n的代数式表示 .
( ), = ( )
题6
如图所示 在方格纸上建立的平面直角坐标系中 y
, ,
将 ABO 绕点O 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 4
△ 90°, 3
A'B'O 则点A'的坐标为 . B
△ , 2
题7
下列说法正确的是 .
A 1
( ) 0 1 2 3 x
.点Aa b 和点Bb a 表示的是同一个点
A (, ) (, )
.数 表示原点 题6图
B 0
æ ö
.点Pç 1÷ m为不等于 的数 在x轴上 但不在原点
C è0,mø( 0 ) ,
.原点既在x轴上又在y轴上
D
题8
如图所示 点A 点B 点C的坐标分别为 y
, , , (0,-1),
.从下面四个点M N
(0,2),(3,0) (3,3), (3,-3),
P Q 中选择一个点 以A B C与该 B
(-3,0), (-3,1) , , ,
点为顶点的四边形是中心对称图形有 ( ) . A 0 C x
. 个 . 个
A 1 B2
. 个 . 个
C3 D4
题8图
66题9
已知点A 点B 点C是直线y 上的任意一点 则 ABC的面
(-2,0), (3,0), =1 , △
2
积为 .
题10
以点A 点B 为端点的线段向右平移 个单位后得到的线段
(-3,1), (-4,-2) 6
A'B' 那么四边形ABB'A'的面积是 .
, ( )
. . . .
A 9 B15 C18 D12
题11
下列说法 点 a 一定在第四象限 坐标轴上的点不属于任一象限 横坐标 3
:① (1, ) ;② ;③
为
0
的点在y轴上
,
纵坐标为
0
的点在x轴上
;④
直角坐标系中
,
在y轴上的点到
原点的距离为 的点的坐标是 .其中正确的有 .
5 (0,5) ( )
. 个 . 个 . 个 . 个
A 1 B2 C3 D4
题12 如图所示 已知直线a与坐标轴分别交于A B两点 其中 y
, , , 4
点B的坐标为 线段AB的垂直平分线b交y轴于点
(3,0), A b $
C (0,1), 则AC的长为 .
C( )
B( )
O x
a
5
题12图
6
7
!
8
(
!
67第二期 坐标系的应用(2)
题1
如图所示 在平行四边形ABCD中 DAB AB AD 若点A在坐
, ,∠ =60°, =2, =1,
标原点 AB与x轴正半轴的夹角为 求平行四边形各定点的坐标.
, 30°,
y
C
D B
O (A) x
题1图
题2
如图所示 已知边长为 的正方形OABC在直角坐标系中 A B两点在第一象限
, 1 , 、
内 OA与x轴的夹角为 求点B的坐标.
, 30°,
y B
C
A
O x
题2图
题3
如图所示 平面上五点的坐标分别为A b Ba C a b
, (- ,0), (,0), (0,- - ),
D b a Ea b .证明 使点D绕点B按逆时针方向旋转 后与点C重
(- , ), (, ) :(1) 90°
合. 使点E绕点A按顺时针方向旋转 后与点C重合. ACD BCE.
(2) 90° (3)∠ =∠
y
D E
A O B x
C
题3图
题4
平面直角坐标系中 已知点A B C 求 ABC的面积.
, (-3,-1), (1,3), (2,-3), △
68题5
如图所示 已知四边形OABC是一个长方形 其中A B的坐标分别为 a
, , , (0, ),
2
a 点E在AB上 且AE 1AB 点F在OC上 且OF 1OC 点G在
(9, ), , = , , = ,
3 3
OA上 且使得 CEG的面积为 GFB的面积为 试求a的值.
, △ 20,△ 16,
y
E B
A
3
G
O F C x
题5图
4
题6
已知点A O为坐标原点.点A关于y轴的对称点为点B 线段OA绕O点 $
(2,5), ,
顺时针方向旋转 到达OC的位置.
90°
试在坐标平面内画出点B 点C的位置 并写出它们的坐标
(1) 、 , ;
利用割补的方法 求 BOC的面积.
(2) , △
y 5
1
O 1 x
6
题6图
题7
ABC三个顶点的坐标分别为A B C 求 ABC的面积.
△ (4,1), (4,5), (-1,2), △
7
!
8
题8
在直角坐标平面内 已知点Aa b a 与点Ba b a .
, (+ ,2- ) (-5, -2 )
如果点A 点B关于y轴对称 试确定a b的值. (
(1) , , ,
(2)
在
(1)
的条件下
,
如果点B关于x轴对称的点是点C
,
你能求出
△
ABC面积的
!
确定的值吗 若能 把它求出来 若不能 请简要说明理由.
? , , ,
69题9
在直角坐标平面中 四边形ABCD如图所示 试画出四边形ABCD关于y轴对称
, ,
的图形A'B'C'D' 并求出四边形A'B'C'D'的面积.
,
y
4
3
A 2
1 D
4 3 21 0 1 2 3 4 x
1
2
B
3
C
题9图
题10
一个机器人从O点出发 向正东方向走 米到A 点 再向正北方向走 米到达A
, 3 1 , 6 2
点 再向正西方向走 米到达A 点 再向正南方向走 米到达A 点 再向正东
, 9 3 , 12 4 ,
方向走 米 到达A 点.按如此规律走下去 当机器人走到点A 时 离起点O
15 , 5 , 7 ,
的距离是多少米
?
题11
先阅读下面一段文字 再回答后面的问题.
,
已知平面内两点P x y P x y 其两点间的距离公式PP
1(1, 1)、 2(2, 2), 1 2=
x x 2 y y 2 同时 当两点所在的直线在坐标轴 或平行于坐标轴
(2- 1)+(2- 1), , , ,
或垂直于坐标轴时 两点间距离公式可简化为 x x 或 y y .
, 2- 1 2- 1
已知A B 试求A B两点间的距离.
(1) (2,4)、 (-3,-8), 、
已知A B在平行于y轴的直线上 点A的纵坐标为 点B的纵坐标为
(2) 、 , 5, -1,
试求A B两点间的距离.
、
已知一个三角形各顶点坐标为A B C 你能判定此三
(3) (0,6)、 (-3,2)、 (3,2),
角形的形状吗 说明理由.
?
70第三期 坐标系的应用(3) 2
题1
如图所示 在平面直角坐标系中 有若干个整数点 其顺序按图中 方向排列
, , , “→” ,
如 根据这个规律探索可得
(1,0),(2,0),(2,1),(3,1),(3,0),(3,-1)…… ,
第 个点的坐标为 .
100 3
( )
y
5 y
4 ( ) ( )
3
2 ( ) ( ) ( )
1 4
0 x ( ) ( ) ( ) ( ) $
1
2
3 O ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x
题1图 题2图
5
题2
如图所示 在平面直角坐标系中 有若干个整数点 其顺序按图中 方向排列
, , , “→” ,
如 根据这个规律探究可得 第
(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0)…… ,
个点的坐标为 .
88
题3
在平面直角坐标系中 正方形ABCD的位置如图所示 点A的坐标为 点
, , (1,0), 6
D的坐标为 .延长CB交x轴于点A 作正方形ABCC 延长CB 交x
(0,2) 1, 1 1 1 ; 1 1
轴于点A 作正方形ABCC 按这样的规律进行下去 第 个正方形的
2, 2 2 2 1…… , 2011
面积为多少
?
C
y 2
C
1 7
C
B
D B B 1 2
O A A A x !
1 2
题3图
8
题4
如图所示 在平面直角坐标系中 有若干个横纵坐标分别为整数的点 其顺序按图
, , ,
中 方向排列 的后面
“→” ,(1,0)、(2,0)、(2,1)、(1,1)、(1,2)、(2,2),(2,2) (
为
(3,2)、(3,1)、(3,0)、(4,0)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(3,3)、(2,3)、 !
y
(1,3)、(1,4)、(2,4)、(3,4)、(4,4)、(5,4)、
4
(5,3)、(5,2)、(5,1)、(5,0)、(6,0)、(6,1)……
B
根据这个规律 第 个点的横坐标为 .
, 2012 2
A
O 5 x
题4图
71题5
在平面直角坐标系中 横坐标 纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方
, 、
形ABCD ABCD ABCD 每个正方形四条边上的整点的个数.按此
1 1 1 1, 2 2 2 2, 3 3 3 3,
规律推算出正方形A B C D 四条边上的整点共有多少个.
10 10 10 10
y
A D
3 3
A D
2 2
A D
1 1
O x
B C
B 1 1
2 C
B 3 2 C 3
题5图
题6
已知A A A A A 则A 的
1(1,0)、 2(1,1)、 3(-1,1)、 4(-1,-1)、 5(2,-1)…… 2007
坐标为 .
y
A
10
A A
7 6
A A
3 2
O A x
A 1 A
4 5
A A
8 9
题6图
题7
在直角坐标系中 我们把横 纵坐标都为整数的点叫做整点 设坐标轴的单位长度
, 、 ,
为 整点P从原点O出发 速度为 且整点P做向上或向右运动 如图
1cm, , 1cm/s, (
所示 其运动时间与整点的关系见下表.
),
整点P从原点出发的时间 可以得到整点P的坐标 可以得到整点P的个数
/s
1 (0,1),(1,0) 2
2 (0,2),(1,1),(2,0) 3
3 (0,3),(1,2),(2,1),(3,0) 4
… … …
根据表中的规律 回答下列问题 y
, :
当整点P从点O出发 时 可以得到的整点的
(1) 4s ,
个数为 个.
当整点P从点O出发 时 可以得到
(2) s ,
整点 的位置.
(16,4)
P x
题7图
72题8 如图所示 在平面直角坐标系上有个点P 点 y
, (1,0),
2
P第 次向上跳动 个单位至点P 紧接着第
1 1 1(1,1),
次向左跳动 个单位至点P 第 次向上
2 2 2(-1,1), 3
跳动 个单位 第 次向右跳动 个单位 第 次又
1 , 4 3 , 5 P 3 P 4
向上跳动 个单位 第 次向左跳动 个单位 依 P
1 , 6 4 …… P 1
此规律跳动下去
,
点P第
99
次跳动至点P
99
的坐标是 2
O P x
3
点 P 第 次跳动至点 P 的坐标
; 2009 2009 题8图
是 .
题9
已知甲运动方式为 先竖直向上运动 个单位长度后 再水平向右运动 个单位长
: 1 , 2
度 乙运动方式为 先竖直向下运动 个单位长度后 再水平向左运动 个单位长
; : 2 , 3
度.在平面直角坐标系内 现有一动点P第 次从原点O出发按甲方式运动到点 4
, 1
P 1, 第 2 次从点P 1 出发按乙方式运动到点P 2, 第 3 次从点P 2 出发再按甲方式运 $
动到点P 第 次从点P 出发再按乙方式运动到点P 依此运动规律 则经
3, 4 3 4…… ,
过第 次运动后 动点P所在位置P 的坐标是 .
11 , 11
题10 如图所示 一个动点在第一象限内及x轴 y轴 y
, ,
上运动 在第 分钟 它从原点运动到 第 5
, 1 , (1,0),
分钟 从 运动到 然后它接着按图
2 , (1,0) (1,1), 5
中箭头所示在与x轴 y轴平行的方向来回运动
, , 4
且每分钟运动 个单位长度.当动点所在位置的
1 3
坐标是 时 所经过的时间是 分钟
(5,5) , , 2 6
在第 分钟后 这个动点所在的位置的坐标是
1
1002 ,
.
0 1 2 3 4 5 x
题11 观察下列有规律的点的坐标 题10图
:
æ ö
A A A A A A ç 4÷
1(1,1), 2(2,-4), 3(3,4), 4(4,-2), 5(5,7), 6è6,- ø,
3 7
A A
7(7,10), 8(8,-1)……
依此规律 A 的坐标为 A 的坐标为 .
, 11 , 12 !
题12
设坐标平面内有一个质点从原点出发 沿x轴跳动 每次向正方向或负方向跳动
, , 1
个单位 经过 次跳动质点落在点 允许重复过此点 处 则质点不同的运动
, 5 (3,0)( ) ,
方案共有多少种 8
?
(
!
73第四期 坐标系的应用(4)
题1
新学年到了 爷爷带小红到商店买文具.从家中走了 分钟到一个离家 米的
, 20 900
商店 在店里花了 分钟买文具后 用了 分钟回到家里.下面图形中表示爷爷
, 10 , 15
和小红离家的距离y 米 与时间x 分 之间函数关系的是 .
( ) ( ) ( )
y y y y
900 900 900 900
O 20 40 x O 20 40 x O 20 40 x O 20 40 x
A. B. C. D.
题2
小华的爷爷每天坚持体育锻炼 某天他慢跑从家到中山公园 打了一会儿太极拳
, ,
后坐公交车回家.下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系
的大致图像是 .
( )
y y y y
O x O x O x O x
A. B. C. D.
题3 小亮从家步行到公交车站台
,
等公交车去学校.图中的
8
s/km
折线表示小亮的行程s 与所花时间t 之间的
(km) (min)
函数关系 下列说法错误的是 .
, ( ) 1
.他离家 共用了
A 8km 30min 0 1016 30t/min
.他等公交车时间为
B 6min 题3图
.他步行的速度是
C 100m/min
.公交车的速度是
D 350m/min
题4
为了建设社会主义新农村 某市积极推进 行政村通畅工程 张村和王村之间的道
, “ ”,
路需要进行改造 施工队在工作了一段时间后 因暴雨被迫停工几天 不过施工队
, , ,
随后加快了施工进度 按时完成了两村之间道路的改造.下面能反映该工程尚未改
,
造道路里程y 公里 与时间x 天 的函数关系的大致图像是 .
( ) ( ) ( )
y y y y
O x O x O x O x
A. B. C. D.
s
题5
小明从家骑车上学 先上坡到达A地后再下坡到达
4
, 3
学校 所用的时间与路程如图所示.如果返回时 上 2
, , 1
下坡的速度仍然保持不变 那么他从学校回到家需
, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t
要的时间是 .
( ) 题5图
74. 分钟 . 分钟 . 分钟 . 分钟
A 8.6 B9 C12 D16
题6
如图所示 四边形ABCD是边长为 的正方形 四边形EFGH是边长为 的正方
2
, 1 , 2
形 点D与点F重合 点B DF H在同一条直线上.将正方形ABCD沿F
, , 、 ( )、 →
H方向平移到点B与点H 重合时停止.设点D F之间的距离为x 正方形
, ,
ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y 则能大致反映y与x之间函数关系
,
的图像是 .
( )
3
E E E
A A A
B H B F D H F D
D(F) H(B)
C C C
G G G
4
(1) (2) (3)
$
题6图
y y y y
1 1 1 1
0 2 2 2 3 2 x 0 2 2 2 3 2 x 0 2 2 2 3 2 x 0 2 2 2 3 2 x 5
A. B. C. D.
题7 A B两座城市之间有一条高速公路 甲 乙 y y
、 , 、 360
两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶
300
入 并始终在高速公路上正常行驶.甲车驶往 6
, 240
B城 乙车驶往A城 甲车在行驶过程中速度
, , 180
始终不变.甲车距B城高速公路入口处的距离
120
y 千米 与行驶时间x 时 之间的关系如图
( ) ( ) 60
所示.
O 1 2 3 4 5 x
已知乙车以 千米 时的速度匀速行驶 7
60 / , 题7图
设行驶过程中 相遇前两车相距的路程为
,
s千米 .当乙车按此状态行驶与甲车相遇后 速度随即改为a 千米 时 并保持匀 !
( ) , ( / )
速行驶 结果比甲车晚 分钟到达终点 求乙车变化后的速度a.
, 40 ,
8
(
!
75题8 在全民健身环城越野赛中 甲 乙两 y
, 、
名选手的行程y 千米 随时间t 时
( ) ( )
变化的图像 全程 如图所示.有下列 15
( )
说法 起跑后 小时内 甲在乙的 10
:① 1 , 8
前面 第 小 时 两 人 都 跑 了
;② 1 5
千米 甲比乙先到达终点 两
10 ;③ ;④
人都跑了 .其中正确的说法有 0 0.5 1 1.5 2 t
20km
. 题8图
题9
甲 乙两地相距 一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地 慢车先行驶
、 720km, , 1h
后 快车才开始行驶 已知快车的速度是 以快车开始行驶计时 设时间
, , 120km/h, ,
为x 两车之间的距离为y 图中的折线是y与x的函数关系的部分图像.
(h), (km),
根据图像解决下列问题
:
慢车的速度是 点B的坐标是 .
(1) km/h,
试在图中补全点B以后的图像.
(2)
y/km
B
80
A
0 2 4 6 8 10 12 x/h
题9图
题10
如图 所示 在底面积为 高为 的长方体水槽内放入一个圆柱形烧
2
(1) , 100cm , 20cm
杯.以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水 注满烧杯后 继续注水 直至注满水
, , ,
槽为止 此过程中 烧杯本身的质量 体积忽略不计 烧杯在大水槽中的位置始终
, , 、 ,
不改变.水槽中水面上升的高度h 与注水时间t 之间的函数关系如图
(cm) (s) (2)
所示.
写出函数图像中点A 点B的实际意义.
(1) 、
求烧杯的底面积.
(2)
若烧杯的高为 求注水的速度及注满水槽所用的时间.
(3) 9cm,
h/cm
20
B
A
O 18 90 t/s
(1) (2)
题10图
76题11
小刚上午 从家出发步行上学 途经少年宫时走了 步 用时 分钟 到达
7:30 , 1200 , 10 ,
2
学校的时间是 .为了估计路程等有关数据 小刚特意在学校的田径跑道上 按
7:55 , ,
上学的步行速度 走完 米用了 步.
, 100 150
小刚上学步行速度的平均速度是多少米 分钟 小刚家和少年宫之间 少年宫
(1) / ? 、
和学校之间的路程分别是多少米
?
下午 小刚从学校出发 以 米 分钟的速度行走 按上学时的原路回
(2) 4:00, , 45 / ,
3
家 在未到少年宫 米处与同伴玩了半小时后 赶紧以 米 分钟的速度回家
, 300 , 110 / ,
中途没有再停留.问 小刚到家的时间是下午几时 小刚回家过程中 离家的
:① ? ② ,
路程s米 与时间t分钟 之间的函数关系如图所示 请写出点B的坐标.
( ) ( ) ,
s
A
4
B C
$
O D t
题11图
5
6
7
!
8
(
!
77参 考 答 案 与 提 示
1
第一期
1
.
C
.提示
:
因为当x
=-2005
时
,
ax2005
+
bx2003
-1=2005,
所以 (-2005)2005a +(-2005)2003b
-1=
2005,
即
2005
2005a
+2005
2003b
=-2006,
所以当x
=2005
时
,
ax2005
+
bx2003
-1=2005
2005a
+2005
2003b
-1=
.
-2006-1=-2007
2 . B .提示 : 因为 2 a =3,2 b =6,2 c =12, 所以 2 a + c =2 a ×2 c =36,2 2 b =36, 所以 2 b = a + c.
. .提示 设 m n 则a mnb m n 所以a b
3C : 123456789= ,987654321= , = , =( -1)(+1), - =
mn m n mn mn m n n m 所以a b.
-( -1)(+1)= -( + - -1)= - +1>0, >
( )
.1 .提示 令 1 1 a.
4 : 1+ +…+ =
2012 2 2011
5 . 0 .提示 : 2006 3 -1006 3 -1000 3 -3000×2006×1006
=(2006-1006)(2006 2 +2006×1006+1006 2)-1000 3 -3000×2006×1006
=1000×[(2006 2 +2006×1006+1006 2)-1000 2 -3×2006×1006]
=1000×[(2006 2 -2×2006×1006+1006 2)-1000 2]
=1000×[(2006-1006)2
-1000
2]=0 .
.128 .
62 -1
提示
:
原式
=(2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1)(2 32 +1)(2 64 +1)
=(2 2 -1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1)(2 32 +1)(2 64 +1)
=(2 64 -1)(2 64 +1)
128 .
=2 -1
7
.
11
.提示
:
由a2
=
a
+1,
b2
=
b
+1,
得a2
-
b2
=
a
-
b
,(
a
+
b
)(
a
-
b
)-(
a
-
b
)=
(
a
-
b
)(
a
+
b
-1)=0,
因为a
≠
b
,
所以a
+
b
=1,
又a5
=(
a2)2a
=(
a +1)2a
=(
a2
+2
a
+1)
a
=
(3
a
+2)
a
=3
a2
+2
a
=3(
a
+1)+2
a
=5
a
+3
.同理b5
=5
b
+3,
所以a5
+
b5
=5(
a
+
b
)+6=11
.
8
.提示
:
因为ax
+
by
=1,
bx
+
cy
=1,
cx
+
ay
=1,
则abx
+
acy
=
a
,(
b2
-
ac
)
y
=
b
-
a.所以
b a b c
y
= ( b
(
2
-
- ac
)
) ①
.同理
,
ax
+
by
=1,
acx
+
bcy
=
c
,
b2x
+
bcy
=
b
,
所以x
= ( b
(
2 -
-
ac
)
) ②,
将
①、②
代入
cx
+
ay
=1,
有bc
-
c2
+
ab
-
a2
=
b2
-
ac
,
所以a2
+
b2
+
c2
=
ab
+
bc
+
ca.
9
.提示
:
因为a3
+
b3
=
c3
+
d3 且a
+
b
=
c
+
d
,
所以a2
+
b2
-
ab
=
c2
+
d2
-
cd.因为a
+
b
=
c
+
d
,
所
以 ( a + b )2 =( c + d )2, 所以a2 + b2 +2 ab = c2 + d2 +2 cd且ab = cd.又因为ab = cd , a + b = c + d , 所以
cd b bd b.当b d时 此时a c 等式成立 当b d时 c b 等式也成立.
(- )= (- ) = , = , ; ≠ , = ,
x y z
..提示 设 k 所以x ka b c y kb c a
100 : a b c=b c a=a c b= , = (+ - )①, = (+ - )②,
+ - + - + -
z ka c b 得x y ka c 得x z kb c 得y z kb a 所
= (+ - )③,①-② - =2 (- ),①-③ - =2 (- ),②-③ - =2 (- ),
以原式 ax z by x cz y abk ack bck abk ack bck .
= (- )+ (- )+ (- )=2 -2 +2 -2 +2 -2 =0
11 . 2 a = b + c.提示 : 因为 ( b - c )2 =4( a - b )( c - a ), 所以b2 -2 bc + c2 =4 ac -4 bc +4 ab -4 a2, 因为
4 a2 + b2 + c2 -4 ac -4 ab +2 bc =0, 所以 ( b + c )2 -4 a ( b + c )+4 a2 =0, 则 [ 2 a -( b + c ) ] 2 =0, 所以 2 a =
b c.
+
7812
.
6
x5.提示
:
若没看错
,
则代数式的值为
-5,
看错后结果为
7
.结果变大且两个数相差
12
.由于把
“+” 看成 “-”, 结果为减去的那项值的两倍 , 故那项的值为 -6 .所以是 6 x5 这一项的符号看错了. 2
第二期
.x y x y .
1 (-3 +4)(+ -2)
. x y x y .
2 (2 -3 +4)(3 -2 +5)
.x ab x ba .
3 [- (+2)][+ (-2)] 3
4 . ( x - a - b )( x + a + b )( x - a + b )( x + a - b ) .提示 : 原式 =[ x2 -( a - b )2][ x2 -( a + b )2]
x a b x a b x a b x a b.
=(- - )(+ + )(- + )(+ - )
5
.
(
x
+2
y
-
z
)(
x
-
y
+3
z
)
.提示
:
原式
=
x2
+(
y
+2
z
)
x
-(2
y2
-7
yz
+3
z2)=
x y z x y z .
(+2 - )(- +3 )
6
.
(
x2
+1)(
x +1)2.提示
:
原式
=(
x4
+2
x2
+1)+(2
x3
+2
x
)=(
x2
+1)(
x +1)2.
4
. a b a c.提示 原式 a a c b a c a b a c.
7 (7 -5)(8 +9) : =7 (8 +9)-5(8 +9)=(7 -5)(8 +9)
$
8
.x2z2( y2
+
z2)( y2
+
x2) .提示
:
原式
=
x2z2( y4
+
x2y2
+
y2z2
+
x2z2)= x2z2( y2
+
z2)( y2
+
x2) .
.ab a b ab a b.
9 ( -1+ + )( -1- - )
提示 : 原式 =1- b2 - a2 + a2b2 -4 ab =( ab )2 -2 ab +1-( a2 + b2 +2 ab )=( ab -1+ a + b )( ab -1- a - b ) .
10
.
(
x
-3)(
x
+
y
)
.提示
:
原式
=(
x2
-3
x
)+(
xy
-3
y
)=(
x
-3)(
x
+
y
)
.
11
.
(
x2
+8
x
+10)(
x
+2)(
x
+6)
. 5
提示
:
原式 =[( x +1)( x +7)][( x +3)( x +5)]+15=( x2 +8 x +7)( x2 +8 x +15)+15
=( x2 +8 x +7)[( x2 +8 x +7)+8]+15=( x2 +8 x +7)2 +8( x2 +8 x +7)+15
=[(
x2
+8
x
+7)+3][(
x2
+8
x
+7)+5]=(
x2
+8
x
+10)(
x2
+8
x
+12)
=(
x2
+8
x
+10)(
x
+2)(
x
+6)
. 6
12 . ( x -1)2( y -1)2.
提示
:
(
解法一
)
原式
=[(
x
+
y
)-2
xy
][(
x
+
y
)-2]+
x2y2
-2
xy
+1
=( x + y )2 -2( x + y )-2 xy ( x + y )+4 xy + x2y2 -2 xy +1
=( x + y )2 -2(1+ xy )( x + y )+( xy +1)2 =( x + y - xy -1)2 7
=[( x - xy )-(1- y )]2 =( x -1)2( y -1)2.
解法二 设x y ux y v 则
( ) + = ,- = , !
原式 =(1- v )2 +( u -2)( u -2 v )
=( u - v -1)2
=( x -1)2( y -1)2. 8
13
.
(
x2
+
x
+1)(
x2
-2
x
+5)
.提示
:
设原式
=(
x2
+
ax
+1)(
x2
+
bx
+5)
ì ïï a + b =-1, (
=
x4
+(
a
+
b
)
x3
+(
ab
+6)
x2
+(5
a
+
b
)
x
+5,
得í
ïï
ab
+6=4,
解得a
=1,
b
=-2
.
!
îa b .
5 + =3
14
.
(
x2
+5
x
+7)(
x2
-7
x
+1)
.提示
:
设原式
=(
x2
+
ax
+7)(
x2
+
bx
+1)
ì ïï a + b =-2,
= x4 +( a + b ) x3 +(8+ ab ) x2 +( a +7 b ) x +7, 得í ïï a +7 b =-44, 解得a =5, b =-7 .
î ab .
8+ =-27
15
.a
=250000
.提示
:
设a2
+2004
a
=
k2, 因为a为正整数
,
所以原方程的
Δ
为完全平方数
,
Δ=2004 2 +4× k2 =4×(1002 2 + k2), 即 1002 2 + k2 = n2, 得 ( n + k )( n - k )=1002 2 =2×2×3×3×167×167,
79k越大时a也越大 所以令k取最大值 即n k n k 解得k
, , + =2×3×3×167×167, - =2, =251000,
n 所以a .
=251002, =250000
16
.
9
个.提示
:
由题意
,
设x2
+
x
-
n
=(
x
+
a
)(
x
-
b
)=
x2
+(
a
-
b
)
x
-
ab
,
两边对应得a
-
b
=1,
ab n 由a b 得a b 代入ab n得b b n 可见n是两个连续自然数的乘积 所以在
= , - =1 = +1; = ×(+1)= , ,
两个连续自然数相乘是
1~100, ,1×2=2,2×3=6,3×4=12,4×5=20,5×6=30,6×7=42,7×8=
因为 因此 满足条件的n的所有值共有 个 分别为
56,8×9=72,9×10=90, 10×11>100, , 9 , 2,6,12,
.
20,30,42,56,72,90
第三期
1
.
(2
x2
+5
x
+12)(2
x
+7)(
x
-1)
.提示
:
原式
=(
x
+1)(
x
+2)(2
x
+1)(2
x
+3)-90
x x x x
=[(+1)(2 +3)][(+2)(2 +1)]-90
=(2
x2
+5
x
+3)(2
x2
+5
x
+2)-90
.
令y
=2
x2
+5
x
+2,
则原式
=
y
(
y
+1)-90=
y2
+
y
-90=(
y
+10)(
y
-9)=(2
x2
+5
x
+12)(2
x2
+5
x
-7)=(2
x2
+5
x
+12)(2
x
+7)(
x
-1)
.
2
.
(
x
-1)(
x
+2)(
x2
+
x
+5)
.提示
:
设x2
+
x
=
y
,
则原式
=(
y
+1)(
y
+2)-12=(
y
-2)(
y
+5)
=(
x
-1)(
x
+2)(
x2
+
x
+5)
.
3
.
(
x
+1)(
x
-1)(
x2
+2)(
x2
+
x
+1)(
x2
-
x
+1)
.提示
:
设x4
+
x2
=
y
,
则原式
=(
y
-4)(
y
+3)+10=
y2
-
y
-2=(
x
+1)(
x
-1)(
x2
+2)(
x2
+
x
+1)(
x2
-
x
+1)
.
4 .提示 : 设a =2010, 则原式 = a2 + a2 ×( a +1)2 +( a +1)2 = a4 +2 a3 +2 a2( a +1)+( a +1)2 =
a4 +2 a2( a +1)+( a +1)2 =( a2 + a +1)2, 因此原式是一个完全平方数.
x y xy xy xy
..提示 因为1 1 所以x y xy 所以原式 2(+ )-3 10 -3 .
51 : x+y=5, + =5 , = x y xy= xy xy=1
(+ )+2 5 +2
6
.
2005
.提示
:
因为
3
x3
-
x
=1,
所以原式
=9
x4
-3
x2
+12
x4
-4
x
-3
x
+2001
=3
x
(3
x3
-
x
)+4(3
x3
-
x
)-3
x
+2001=3
x
+4-3
x
+2001=2005
.
..
73
提示
:
原式
=
1
(2
a2
+2
b2
+2
c2
-2
ab
-2
bc
-2
ac
)=
1
[(
a2
-2
ab
+
b2)+( b2
-2
bc
+
c2)+( c2
-2
ca
+
a2)]
2 2
= 1 [( a - b )2 +( b - c )2 +( c - a )2]= 1 (1+1+4)=3 .
2 2
8 .1n2.提示 : a2 +2 ab + b2 =( a + b )2 ①,-2 ac + c2 -2 bc = c2 -(2 ac +2 bc )= c2 -2 c ( a + b )② .由 ①、
4
② 可知 , 原式 =( a + b )2 -2 c ( a + b )+ c2 =[( a + b )- c ]2 =( a + b - c )2, 即a2 +2 ab + b2 -2 ac + c2 -2 bc =
( a + b - c )2 = 1n2.
4
9 . ( x2 + x +1)( x2 - x +1) .提示 : 原式 =( x2 +1)2 - x2 =( x2 + x +1)( x2 - x +1) .
10 . (3 x2 +1)( x2 +3) .提示 : 将 ( x2 -1)2 拆成 2( x2 -1)2 -( x2 -1)2, 则原式 =( x +1)4 +2( x2 -1)2 -
( x2 -1)2 +( x -1)4 =[( x +1)2 +( x -1)2]2 -( x2 -1)2 =(3 x2 +1)( x2 +3) .
11
.
(
a2
-
ab
+1)(
b2
+
ab
+1)
.提示
:
原式
=
a3b
-
ab3
+
a2
+
b2
+1+
ab
-
ab
=(
a3b
-
ab3)+( a2
-
ab
)+
(
ab
+
b2
+1)=
ab
(
a
-
b
)(
a
+
b
)+
a
(
a
-
b
)+(
ab
+
b2
+1)=(
a2
-
ab
+1)(
b2
+
ab
+1)
.
12 .x (2 x -3)(2 x +3)( x -3) .提示 : 原式 =(2 x2 -3 x +1)2 -11(2 x2 -3 x +1)+10=(2 x2 -3 x )(2 x2
x x x x x .
-3 -9)= (2 -3)(2 +3)(-3)
.mn m n mn m n .提示 将 mn拆成 mn mn.
13 ( + - +1)( - + +1) : 4 2 +2
14
.提示
:
m4
+4
n4
=
m4
+4
m2n2
+4
n4
-4
m2n2
=(
m2
-2
mn
+2
n2)( m2
+2
mn
+2
n2), 所以当m
,
n都
80是大于
1
的整数时
,
m4
+4
n4 一定是合数.
15 . 36,32 .提示 : x2 + y2 +4 y -96=0, x2 + y2 +4 y +4-100=0, 若将x2 +( y +2)2 =100 分解为两个 2
正整数之和 只能是 和 所以x y 此时xy 或x y 此时xy .
, 36 64, =6, =6, =36; =8, =4, =32
16 .n =3 .提示 : f ( n )= n4 -16 n2 +100=( n2 +10)2 -36 n2 =( n2 +6 n +10)( n2 -6 n +10), f ( n ) 是质
数
,
那么n2
+6
n
+10=1
或者n2
-6
n
+10=1
.由于n为自然数
,
所以必须n2
-6
n
+10=1,
那么有n2
-6
n
+
则n .
9=0, =3
第四期 3
1 . (1)( a +2 b )( a2 -2 ab +4 b2) .提示 : 原式 = a3 +(2 b )3 =( a +2 b )( a2 -2 ab +4 b2) .
(2)(
m
+1)(
m
-1)(
m4
+
m2
+1)
.提示
:
原式
=(
m2)3
-1=(
m2
-1)[(
m2)2
+
m2
+1]
=(
m
+1)(
m
-1)(
m4
+
m2
+1)
.
x y z x y z x y z x y z .
(3)(+ + )(+ - )(- + )(- - ) 4
(4)2( a2 + b2 + ab )2.提示 : 因为a4 + b4 =( a + b )4 -4 a3b -6 a2b2 -4 ab3 =( a + b )4 -4 ab ( a + b )2 +2( ab )2, $
所以原式 = a4 + b4 +( a + b )4 =( a + b )4 -4 ab ( a + b )2 +2( ab )2 +( a + b )4
=2[( a + b )4 -2 ab ( a + b )2 +( ab )2]=2[( a + b )2 - ab ]2 =2( a2 + b2 + ab )2.
2 . ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ) .提示 : 原式 =( a + b )3 -3 ab ( a + b )+ c3 -3 abc
=[( a + b )3 + c3]-3 ab ( a + b + c )=( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ) .
3
.
(
x
-1)(
x2
+
x
+1)(
x6
+2
x3
+3)
. 5
提示
:
原式
=
x9
+
x6
+
x3
-1-1-1=(
x9
-1)+(
x6
-1)+(
x3
-1)
=(
x3
-1)(
x6
+
x3
+1)+(
x3
-1)(
x3
+1)+(
x3
-1)=(
x3
-1)(
x6
+2
x3
+3)
=(
x
-1)(
x2
+
x
+1)(
x6
+2
x3
+3)
.
4 . (2 x +1)3.提示 : 原式 =(2 x )3 +3(2 x )2 +3(2 x )+1=(2 x +1)3. 6
5
.
(1+
x
+
x2)(1+ x
+
x2
+
x3
+
x4) .提示
:
原式
=(1+
x
+
x2)2
+2
x3(1+ x
+
x2)+ x6
-
x3
=
(1+
x
+
x2)2
+2
x3(1+ x
+
x2)+ x3( x3
-1)=(1+
x
+
x2)[(1+ x
+
x2)+2 x3
+
x3( x
-1)]=(1+
x
+
x2)
(1+
x
+
x2
+
x3
+
x4) .
6 . ( a + b + c )2.提示 : 原式 =( a + b )2 - c2 +( b + c )2 - a2 +( c + a )2 - b2 =( a + b + c )( a + b - c )+( a +
b + c )( b + c - a )+( a + b + c )( c + a - b )=( a + b + c )2. 7
7 . ( x8 +1)( x4 +1)( x2 +1)( x +1) .提示 : 原式 = ( x -1)( x15 + x x14…+ x2 + x +1) = x x 16 -1
-1 -1 !
=(
x8
+1)(
x4
+1)(
x2
+1)(
x
+1)
.
8
.
(
x
-2)(
x2
-2
x
+2)
.提示
:
这是一个整系数一元多项式
,
原式若有整数根
,
必是
-4
的约数
,
逐个检
验
-4
的约数
,
有
±1,±2,±4,
其中只有f
(2)=2 3 -4×2 2 +6×2-4=0,
即x
=2
是原式的一个根
,
所以
8
根据因式定理
,
原式必有因式x
-2
.用分组分解法
,
使每组都有因式x
-2,
则原式
=(
x3
-2
x2)-(2 x2
-
4
x
)+(2
x
-4)=
x2( x
-2)-2
x
(
x
-2)+2(
x
-2)=(
x
-2)(
x2
-2
x
+2)
.
(
9
.
(3
x
+1)(3
x
-2)(
x2
+1)
.提示
:
因为
9
的约数有
±1、±3、±9,-2
的约数有
±1、±2,
所以
,
原式
!
有因式
9
x2
-3
x
-2
.原式
=9
x4
-3
x3
-2
x2
+9
x2
-3
x
-2=
x2(9 x2
-3
x
-2)+9
x2
-3
x
-2
=(9
x2
-3
x
-2)(
x2
+1)=(3
x
+1)(3
x
-2)(
x2
+1)
.
. a b b c c a .提示 猜想将a b 代入原式 得到原式 所以原多项式有因式
103(+ )(+ )(+ ) : (+ )=0 , =0,
( a + b ), 可以知道有另外两个因式 ( b + c ),( c + a ) .由于原式与 ( a + b )( b + c )( c + a ) 都是三次方式 , 所以设
( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = k ( a + b )( b + c )( c + a ), 取a =1, b =1, c =1, 代入上述等式得k =3 .所以原式
a b b c c a .
=3(+ )(+ )(+ )
11
.
5(
a
+
b
)(
b
+
c
)(
c
+
a
)(
a2
+
b2
+
c2
+
ab
+
bc
+
ca
)
.提示
:
原式
=(
a
+
b
)(
b
+
c
)(
c
+
a
)[
k
(
a2
+
b2
+
81c2)+ m
(
ab
+
bc
+
ca
)]
.将a
=1,
b
=1,
c
=0
代入
,
得
2
k
+
m
=15;
将a
=2,
b
=1,
c
=0
代入
,
得
5
k
+2
m
=
35, 解得k =5, m =5 .故 ( a + b + c )5 - a5 - b5 - c5 =5( a + b )( b + c )( c + a )( a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ) .
12
.
(
a
+
c
+
b
)(
a
+
c
-
b
)(
a
-
c
+
b
)(
a
-
c
-
b
)
.提示
:
原式
=
a4
+
b4
+
c4
-2
a2b2
-2
b2c2
+2
c2a2
-
4 c2a2 =( a2 - b2 + c2)2 -4 c2a2 =( a2 - b2 + c2 +2 ca )( a2 - b2 + c2 -2 ca )=[( a + c )2 - b2][( a - c )2 - b2]
a c b a c b a c b a c b.
=(+ + )(+ - )(- + )(- - )
. a b b c c a .提示 当a b时 易知原式 所以原式有因式a b 同理 b c与
13 -(- )(- )(- ) : = , =0, (- ), ,(- )
(
c
-
a
)
也是原式的因式
,
故可设a2( b
-
c
)+
b2( c
-
a
)+
c2( a
-
b
)=
k
(
a
-
b
)(
b
-
c
)(
c
-
a
)
.令a
=0,
b
=1,
c 解得k 所以原式 a b b c c a .
=2, =-1, =-(- )(- )(- )
. a b c a b b c c a .提示 当a b时 易知原式 所以原式有因式a b 同
14 -(+ + )(- )(- )(- ) : = , =0, (- ),
理
,(
b
-
c
)
与
(
c
-
a
)
也是原式的因式
,
故可设ab
(
a2
-
b2)+ bc
(
b2
-
c2)+ ac
(
c2
-
a2)= k
(
a
+
b
+
c
)(
a
-
b
)
b c c a 令a b c 所以原式 a b c a b b c c a .
(- )(- ), =0, =1, =2, =-(+ + )(- )(- )(- )
15
.
5(
x
-
y
)(
y
-
z
)(
z
-
x
)(
x2
+
y2
+
z2
-
xy
-
yz
-
zx
)
.提示
:
这是一个五次齐次对称轮换式
,
x
-
y
,
y zz x都是它的一次因式 由原式的齐次性 它还有一个二次齐次因式 由轮换性可知 这个因式的
- , - , , , ,
形式必是a
(
x2
+
y2
+
z2)+ b
(
xy
+
yz
+
zx
),
这里a
,
b为待定系数
,
于是原式
=(
x
-
y
)(
y
-
z
)(
z
-
x
)
[
a
(
x2
+
y2
+
z2)+ b
(
xy
+
yz
+
zx
)]
.取x
=1,
y
=-1,
z
=0,
得
2
a
-
b
=15
.取x
=2,
y
=1,
z
=0,
得
5
a
+2
b
=15
.联立解得a
=5,
b
=-5,
所以原式
=5(
x
-
y
)(
y
-
z
)(
z
-
x
)(
x2
+
y2
+
z2
-
xy
-
yz
-
zx
)
.
. a b b c c a a b c .提示 这是一个四次非齐次轮换式 易知a bb cc a
16 -(- )(- )(- )(+ + -1) : , - , - , -
是它的一次因式.由于原方程是非齐次的 另一个因式必是一次非齐次式 设为ka b c l.令kl待
, , (+ + )+ ,
定 于是原式 a b b c c a ka b c l 取a b c 得 k l 取a
, =(- )(- )(- )[(+ + )+ ], =1, =2, =0, -4=6 +2; =1,
b c 得 l.联立解得l k 所以原式 a b b c c a a b c .
=-1, =0, 2=2 =1, =-1, =-(- )(- )(- )(+ + -1)
第五期
. .提示 这是一个二元一次方程组应用题.设单程步行用时x 单程坐车用时y 所以x y
1150 : min, min, +
y y 解得x 所以往返步行就是单程步行的 倍 也就是 .
=90, + =30, =75, 2 , 150min
2 . 0 .提示 : a - b =2①, a - c = 1 ②, 由 ①-② 得c - b = 3 , 则原式 =( c - b )2 +3( b - c )+ 9 =
2 2 4
( )
2
3 3 9 .
-3× + =0
2 2 4
3 . A .提示 : 因为 (4 m +5)2 -9=8( m +2)(2 m +1), 所以原式能被 8 整除.
ax
. 17.提示 因为代数式 +3始终是一个定值 所以a b 代入计算即可.
4 - : bx , =3, =5,
8 +5
5
.
-
251.提示
:(2
x2
+
ax
-
y
+6)-(2
bx2
-3
x
+5
y
+1)=(2-2
b
)
x2
+(
a
+3)
x
-6
y
+5,
因为不含有
18
x项 所以 b a 即a b 所以代数式 1 251.
, 2-2 =0, +3=0, =-3, =1, = -2-12=-
18 18
6 . -1 .提示 : 因为 10 x2 -6 xy + y2 -2 x +1=(3 x - y )2 +( x -1)2 =0, 则x =1, y =3, 所以
(2 x - y )2001 =-1 .
7
.
1
.提示
:
因为a3
+3
a2
+3
a
+2=0,
a3
-1+3
a2
+3
a
+3=0,
从而
(
a
-1)(
a2
+
a
+1)+3(
a2
+
a
+1)
=0,( a +2)( a2 + a +1)=0, a =-2, 所以原式 =(-1)1996 +(-1)1997 +(-1)1998 =1-1+1=1 .
8 . -58 .提示 : 令x =-2, 则x +2=0, 所以原式的右边只剩下a 0, 所以a 0=(-1)2 ×(-3)3 =-27,
原方程左边 次方项的系数是 右边 次方项的系数是a 所以a .令x 则x 所以
8 1, 8 8, 8=1 =-3, +2=-1,
x 奇次方项的系数是 偶次方项的系数是 所以右边 a a a a a a 左边
(+2) -1, 1, = 0- 1+ 2- 3+…- 7+ 8, =
(-2)2 ×2 3 =32, 所以 -27-( a 1- a 2+ a 3- a 4+ a 5- a 6+ a 7)+1=32, a 1- a 2+ a 3- a 4+ a 5- a 6+ a 7=
.
-58
82. . . .提示 令x 可得a . 令x 则a a a a .
9 (1)1 (2)1 (3)-1 :(1) =0, 0=1 (2) =1, 10+ 9+…+ 1+ 0=1
(3) 令x =-1, 则a 0- a 1+ a 2- a 3+…- a 9+ a 10=3① .令x =1, 则a 0+ a 1+…+ a 10=1②, 由 ②-① 2
得 a a a 则a a a a a .
2(1+ 3+…+ 9)=-2, 1+ 3+ 5+ 7+ 9=-1
10
.
269
.提示
:
因为a5
=
b4, c3
=
d2, 所以 b
a
4
4=
a
,c
d
2
2
=
c
,
所以 (
a
b) 4
=
a
,
(
c
d) 2
=
c.设
a
b
=
m
,
d
c=
n
(
m
、
n大于
0),
则a
=
m4, b
=
m5, c
=
n2, d
=
n3, 因为a
-
c
=17,
所以m4
-
n2
=(
m2
+
n
)(
m2
-
n
)
=17, 因为 17 是质数 , 所以m2 + n =17, m2 - n =1, 所以m =3, n =8, 则d - b = n3 - m5 =8 3 -3 5 =269 . 3
. .提示 由z x 得z x 又x y 则x y z x 因为x y
114998 : - =2000, =2000+ , + =1999, + + =3999+ , < ,
x y x y z为自然数 所以x最大为 则x y z的最大值为 .
+ =1999,(, , ), 999, + + 4998
12
.a
=-5,
b
=-2,6
x2
-19
x
+10
.提示
:
由乙同学知
,
设第二个多项式中x的系数为z
,(2
x
+
a
)(
zx
{b a
+
b
)=2
zx2
+2
bx
+
azx
+
ab
=2
x2
-9
x
+10,
所以z
=1
.因此
a
2
b
+ =
.
-9,由甲同学知
,(2
x
-
a
)(3
x
+
b
) 4
=10
{b a $
=6 x2 +2 bx -3 ax - ab =6 x2 +11 x -10, 因此 2 a - b 3 =11,则b =-2, a =-5 .所以 (2 x + a )(3 x + b )=
- =-10,
(2
x
-5)(3
x
-2)=6
x2
-19
x
+10
.
第六期
5
..提示 解 设原收费标准为x 则由题意可得 x a b x 5b a.
1B : : , ,(- )×(1-20%)= , = +
4
2 . C .提示 : 首先 (-3)2007 为负数 ,3 1 个位为 3,3 2 个位为 9,3 3 个位为 7,3 4 个位为 1,3 5 个位为 3……
按照这个循环规律 , 那么 3 2007 个位为 7 .同理 ,25 1 个位为 5,25 2 个位为 5,25 2006 个位为 5, 所以a2007 + b2006
的个位为 .
-7+5+10=8 6
3 . 5 .提示 : 因为m =2π, 所以am3 + bm +1=8 a π 3 +2 b π+1=0,8 a π 3 +2 b π=-1, 所以 4 a π 3 + b π+ 11
2
.
=5
4 .1.提示 : 因为a + b =2,( a + b )2 =4, a2 + b2 =4-2 ab , (1- b a )2 + (1- a b )2 =4, 通分得
3
(
a
+
b
)+(
a
+
b
)(
a2
a
-
b
ab
+
b2)-2( a2
+
b2)
=4,
由a
+
b
=2,
a2
+
b2
=4-2
ab
,
则2-
ab
2
ab
=4,
则ab
=
1. 7
3
y z x z x y
5 . 2 .提示 : 由题意得 ,x 1 = x + y z ,y 1 = x + y z ,z 1 = x + y z , !
2(+ + ) 3(+ + ) 4(+ + )
y z x z x y
所以原式 + + + .
=x y z+x y z+x y z=2
+ + + + + +
6 . 0 .提示 : 由已知得 ( a +1)2 =5, 所以a2 +2 a =4, 于是 2 a3 +7 a2 -2 a -12=2 a3 +4 a2 +3 a2 -2 a -12 8
=3
a2
+6
a
-12=0
.
7 .b.提示 : a6 =2 3 =8, b6 =3 2 =9, 所以b > a ; a4 =2 2 =4= c4, 所以c = a ; a10 =2 5 =32, d10 =5 2 =25, (
所以d a.综上 b a c d 最大的是b.
< , > = > , !
.a b c.
8 > >
m p m n n p m p m n
. .提示 原式 - + - .若m n p 则 - 同理可得 +
9 -3 : = n - p + m + - =0, n =-1, , p =1,
n p
- 所以原式 .
m =-1, =-1-1-1=-3
. .提示 由于p x x x x 为定值 即求和后 p最后结
10 ±3 : = 1-2 + 1-3 + 1-4 +…+ 1-10 , ,
果不含x 即x的系数为 .故 经过择号组合后其代数和为 .又
, 0 ±2,±3,±4,…,±10 0 2+3+4+5+6+7
83=8+9+10 所以当 x 即x 1时 p x x x x
, 1-7 ≥0, ≤ , =[(1-2 )+(1-3 )+…+(1-7 )]-[(1-8 )+…+
7
x 当 x 即x 1时 p x x x x
(1-10 )]=3; 1-7 <0, > , =-[(1-2 )+(1-3 )+…+(1-7 )]+[(1-8 )+…+
7
x .综上 该常数的值为 .
(1-10 )]=-6+3=-3 , ±3
( )n
. 3 -1 .提示 观察图形可以发现图 中留下的面积为图 的3 图 中留下的面积为图
11 : (2) (1) , (3) (2)
4 4
的3 故新图形阴影部分的面积为原图形中阴影部分面积的3 所以 第n个图形阴影部分的面积
, , ,
4 4
( )n
为 3 -1 .
4
. 1. 如图所示 本题答案不唯一 图形正确即可.
12 (1)1- n (2) , ,
2
1
22
1
23
1
1 24
2
题12答案图
2
第一期
.x x .
1 ≠0, ≠±1
.m .提示 分母不等于零 .
2 >1 : ,Δ<0
.x .提示 由题意可得分母恒大于零 使分子小于零即可.
3 <-2 : ,
.x x x .
4 ≠-2, ≠-3, ≠-4
5
.x
=-3
.提示
:
求x2
-9=0
后
,
除去使分母为零的增根.
.m 且m .提示 方程两边都乘以最简公分母x 求出x的值 再根据 方程的解是正数 列
6 >2 ≠3 : (-1), , “ ”
出关于m的不等式 然后解不等式即可.
,
.47.提示 可设x k y kz k 代入原式可得值为47.
7 : =3 , =4 , =5 ,
50 50
.a 或 .提示 先把分式方程化成整式方程得出a x 根据等式性质得出a 原方
8 =-2 1 : (+2)=3, =-2,
程无解.再根据当x 或x 时 分式方程的分母等于 即整式方程的解是分式方程的增根 代入求得
=1 =0 , 0, ,
a .
=1
.m 或 .提示 等式两边同时乘x x 去分母 得出 m x 根据等式性质
9 =-0.5 -1.5 : (-3), , (2 +1) =-6,
得出a 再根据当x 或x 时 分式方程的分母等于 即整式方程的解是分式方程的增根 代
=-0.5; =3 =0 , 0, ,
入求得m .
=-1.5
.m 或 .提示 由题意可知增根为 将原方程去分母后分别代入x 求出m的值.
10 =-4 6 : ±2, =±2,
.a 或 1或 .提示 两边去分母 经过变换得a x 将增根 和 代入 得解.
11 =-5 - -2 : , (+2)=-3, 1 -2 ,
2
第二期
. .
1 A
84. .提示 混合液中的酒精与水的体积之比为两瓶中的纯酒精与两瓶中的水之比 设瓶子的容量为
2 D : , 1,
分别算出纯酒精和水的体积即可. 2
.n 且n 3.提示 用n表示x的根再求解 去掉增根得解.
3 <2 ≠ : ,
2
. 52.提示 运用平方差公式将各分式的分母因式分解 再将每个分式拆分为两个分式 化简合并
4 ± : , ,
2
后 去分母 解整式方程并检验.
, ,
3
x
. +1.
5x
-1
a b a b
..提示 由题意知 + 所求式可化简为 + 即其值为 .
62 : ,ab =2, ab , 2
7
.1.提示
:
由题意知
,
a
+1+a
1
=6,
a
+a
1
=5
.
a4
a
a
2
2
的倒数为a2
+a
1
2+1,
a2
+a
1
2=
24 + +1 4
( )
a 1 2 所以所求式的值为1.
+a -2=23, $
24
.128.提示 本题中有四个分式相加减 如果采用直接通分化成同分母的分式相加减 公分母比较复
8 : , ,
255
杂 运算难度较大.不过若把前两个分式相减 其结果却是非常简单的.因此我们可以逐项计算 最终原式可
, , ,
以化简为 8
x4
代入x其值为128. 5
x8 ,
-1 255
9
.1.提示
:
由已知得
,
x2
+1=4
x
,
两边除以x得x
+x
1
=4,
则 x4 +
x
x
2
2 +1
=
( x
+x
1 ) 2
-1=15,
则
15
所求式 1.
=
15
6
10
.3.提示
:
x2
+
x
+1=-2
x
,
x2
-
x
+1=-4
x
,
代入化简
,
所求式
=
3.
2 2
11
.1.提示
:
取原式倒数
,
可得x
+x
1
=2,
两次平方得x4
+x
1
4=2,
可得所求分式值为1.
3 3
.x 5.提示 移项后通分 在方程两边都乘以x x x x 得出整式方程 求出
12 =- : , (+1)(+2)(+3)(+4) ,
2
方程的解 最后进行检验 得出x 5. 7
, , =-
2
a b a c ab a ab
..提示 原式 × × 1 !
131 : =ab a +bc b a+ ac c ab=ab a +ab a +ab a
+ +1 ( + +1)× ( + +1)× + +1 + +1 + +1
.
=1
..提示 第一个分式乘以d加上第四个分式 第三个分式乘以b加上第二个分式 得到
141 : , ,
8
d b
原式 +1 +1 .接着 第一个分式乘以bc 由abcd 再加上第二个
=d
+
ad
+
abd
+
abcd+b
+
bc
+
bcd
+
abcd , , =1,
分式 得解. (
,
..提示 巧用运算律 x 2 b x 2 a 1- x b 1- y c 1- z a . !
151 :( )1- =a b,1+ =a b, x=a, y=b, z=c
+ + 1+ 1+ 1+
第三期
. 米.提示 由题意可知 第一次相同时间内甲跑了 米 乙跑了 米 第二次乙跑了
145 : , 800 , 768 ; 1195.2
米 相同时间内设甲跑了x米 两次比例相同 可列式800 x 解得x 即甲从起跑线后 米
, , , = , =1245, 45
768 1195.2
的地方起跑乙才开始跑.
85. 天. 甲 乙两队合作更省钱.提示 设乙队单独完成需要x天 根据题意列式1
2 (1)90 (2) 、 :(1) , ×20+
60
( )
1 1 解得x .
x+ ×24=1, =90
60
通过计算 两队合作需要 天 甲单独完成需付 万元 乙单独完成超时 舍 而两队合作需要
(2) , 36 , 210 , , ,
万元.
198
.提示 设共租了x辆汽车 师生共y人 又设开走 辆空车后 余下的汽车每车平均乘坐z名师生
3 : , , 1 , ,
ì ïï22 x
+1=
y
由题意得 ízx y 且x y z均为整数 解得共租了汽车 辆 全校师生共 个.
:ïï (-1)= , 、 、 , 24 , 529
îy x
≤32
.45千米 小时.提示 从 地到 地 甲步行的路程就是乙骑车的路程 反之也是.设甲从 地到
4 / : A B , , A B
7
x y x y
地步行x千米 骑车y千米 而乙则恰好相反.列方程 整理后得y x 则甲走完全程
, , + = + , =2 ,
3 15 15 5
的平均速度可以求出.
.a 或 或 .提示 方程两边都乘以 x x 得 x ax x 整理得
5 =-1 4 -6 : ( +2)( -2), 2( +2)- =3( -2),
a x 若方程无解 则有以下两种情况 a 时 原方程化为 x 无解. 化简后方程
(+1)=10, , :(1) =-1 , 0 =10, (2)
的解为增根 将增根代入 得a 或 .
, , =4 -6
n
.n .提示 可将原式化为 1 1 1 1 1 1 -1 由取值
6 =15,16,17,18,19 : 1- + - + -…+n -n= n ,
2 2 3 3 -1
可知n .
=15,16,17,18,19
.x 或 .提示 将分式化为 ( x 2 x ) 2 4 x2 解得 x2 或 x2 前者无解 后
7 =2 -1 : -x +x =5, x =-5 x =1, ,
+2 +2 +2 +2
者解得x 或 .
=2 -1
8
.x
=-1
或
-2
.提示
:
利用换元法
,
设x2
+3
x
=
y
,
代入原式通过运算得y
=-2,
或y
=-5
.当y
=
时代入得x 或 当y 时 方程无解.检验得x 或 .
-2 =-1 -2, =-5 , =-1 -2
m
. x c x . 结论 方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和 方程的右边与左边形式完
9 (1)1= , 2=c (2) : ,
全相同 只是其中的未知数换成了某个常数 这样左边的未知数就等于右边的常数和倒数 y a
, , , 1= ,
a
y +1.
2=a
-1
提示 y 2 a 2 可变形为y 2 a 2 则y a 或y 2 即
: +y = +a -1+y = -1+a , -1= -1, -1=a ,
-1 -1 -1 -1 -1
a a a
y a或y +1.经检验 y a y +1都是原方程的解 原方程的解为y a y +1.
1= 2=a , 1= , 2=a , 1= , 2=a
-1 -1 -1
. 普遍形式 x m. x a .提示 规律很易总结 证明时只需将解代入方程 等式
10 (1) , = (2)=± +1 :(1) , ,
成立
,
得证.
(2)
原方程可化为x2
-
a
+x2
1
a=2(
a
≥-1),
由
(1)
的推论可得解.
-
3
第一期
..
1B
..
2B
.P L.提示 运用平移的方法 发现所有的小正方形的周长的和等于大正方形的周长.
3 = : ,
86..
48
. .提示 利用平移线段 把楼梯的横竖向上向右平移 构成一个矩形 长和宽分别为 米和 2
5504 : , , , 5.8 2.6
米 地毯的长度为 米 地毯的面积为 平方米 则购买地毯至少需要
, 2.6+5.8=8.4( ), 8.4×2=16.8( ),
. 元 .
168×30=504( )
6
.
(1)42
米 2.
(2)110
元.提示
:
解决此题的关键是要利用平移的知识
,
把要求的所有道路平移到矩形的
边上再进行计算.
. .提示 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 3
7 D :
. .提示 在同一平面内 如果把一个图形绕某一点旋转 度 旋转后的图形能和原图形完全重合
8 D : , 180 , ,
即是中心对称图形.
..提示 是中心对称图形的有N和S.
9B :
..提示 根据图形的组合特点和对称轴的概念 确定每个图形的对称轴的条数. 有 条对称轴
10B : , A 2 ,B
有 条对称轴 不是轴对称图形 有 条对称轴. 4
4 ,C ,D 1
. .提示 根据轴对称图形的概念求解 确定各个图形有几条对称轴.等腰直角三角形有 条 等边 $
11 A : , 1 ,
三角形有 条 正方形有 条 长方形有 条.
3 , 4 , 2
. .提示 根据轴对称的性质可知 轴对称图形的两部分是全等的.所以正确的结论有
12 ①、②、③ : , ①、
.
②、③
5
第二期
1 . B .提示 : 每次均旋转 45°,10 次共旋转 450°, 而一周为 360°,450°-360°=90°, 可知第 10 次旋转后得
到的图形与图 相同.
②
. .提示 根据旋转的意义 OAB按逆时针方向旋转 可得 AOC 又有 A
250° : ,△ 80°, ∠ =80°, ∠ =110°,
D 根据图形可得 α AOC DOC 代入数据可得答案. 6
∠ =40°, ,∠ =∠ -∠ ,
. 点D. . 对应点 C和A G和E 对应边 DA和DC DE和DG CE和GA 对应角
3 (1) (2)90° (3) : , ; : , , ; :
GDA CDE DGA DEC DAG DCE. .提示 由旋转角 GDE 及 FDE
∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ =∠ (4)45° : ∠ =90° ∠ =
可得 GDF .
45°, ∠ =45°
. 点A. . AC的中点.
4 (1) (2)60° (3)
. . 7
560°
. .提示 折叠是一种对称变换 它属于轴对称 根据轴对称的性质 折叠前后图形的形状和大小不
6120 : , , ,
变 如本题中折叠前后角相等.根据图示可知 CFE 故图 中的 CFE的度数 !
, ∠ =180°-3×20°=120°, (3) ∠
是 .
120°
. .提示 根据轴对称的性质把 OEF的周长转化为MN的长度.
75cm : △
.如图所示 不唯一 . 8
8 ( )
(
!
题8答案图
提示 先确定图形的关键点 利用轴对称性质作出关键点的对称点 按原图形中的方式顺次连接
:① ;② ;③
对称点.
. 见图.
9 (1)
87b
A
B B
2
a
C O C
2
B B
3 1
A
1
题9答案图
.提示 条是连接BO的直线 条是连接BB 的直线 另 条为直线a 直线b.
(2)4 :1 ,1 1 2 , 2 、
.
(3)2
. 见图. 画图方法
10 (1) (2) :
利用有刻度的直尺 在 AOB的边OA OB上分别截取OC OD 使OC OD
① , ∠ 、 、 , = ;
连接CD 量出CD的长 将线段CD二等分 画出线段CD的中点E
② , , , ;
连接OE 直线OE即为 AOB的对称轴.
③ , ∠
A B
D
E
B D C O C A
(1) (2)
题10答案图
æ ön
.1 ç 2÷ 提示 应找出每次折叠后的等腰直角三角形的边长与第一个等腰直角三角形的边长的关
11 ,è ø :
2 2
系 进而利用规律求解即可.
,
.相同点 都有相等的边 都有相等的内角 都有外接圆和内切圆 都是轴对称图形 对称
12 :① ;② ;③ ;④ ;⑤
轴都交于一点.写出两条即可
( )
不同点 边数不同 内角的度数不同 内角和不同 对角线的条数不同 对称轴的条数不同.
:① :② ;③ ;④ ;⑤
写出两条即可
( )
4
第一期
a d
1
.mn.提示
:
因为ac
=
bd
=
n2, 所以设
b=c=
k
,
有a
=
bk
,
d
=
ck.因为ac
=
bd
=
n2, 所以bck
=
n2.
因为a b c d m 所 以bk b c ck m b c k m 所 以 原 式
+ + + = , + + + = ,( + )(1+ )= , =
(
bk
+
b
)(
b
+
c
)(
c
+
ck
)(
ck
+
bk
)= [(
b
+
c
)(1+
k )]2bck
=
m2n2
=
mn.这里利用了等价代换思想
,
在
a d
的条件下 常引入参数k 以利于等价转化.
b=c , ,
c c
2 .a +a x , a -a x.提示 : 因为 ( ( x + c )2 + y2)2 -( ( x - c )2 + y2)2 =4 cx , ( x + c )2 + y2 +
c c
( x - c )2 + y2 =2 a , 所以 ( x + c )2 + y2 - ( x - c )2 + y2 = 2 a x , 即 ( x + c )2 + y2 = a +a x ,
c
( x - c )2 + y2 = a -a x.
88ì
ï
x 1
ï +x-3=0 ( ) ( )
3
.
±32
.提示
:
由í
ï ,
得x
+x
1
=3,
代入得y
=
x
+x
1 x2
-1+x
1
2 =18,
所以y的 2
î ïx3 +x 1 3- y =0
平方根为 .
±32
4 . 3 .提示 : M =3 2006, N =7 2005, MN =3 2006 ×7 2005 =(3×7)2005 ×3 1 =21 2005 ×3 .因为 21 的整数次幂的末
位数字总为 所以MN的末位数字为 .
1, 3
3
..提示 因为(a3 x3) (a1 x1) (a2 a1x1 x2)
51 : 2- 2 = 2- 2 2+ 2 2+ 2 ,
所以原式 = (a + a1 2 x1 2+ x + a1 2 x1 2 )
æ
è ç a1 1 x1
ö
ø ÷
2
= (a1 2+ x1 2 ) 2
æ
è ç a1 1 x1
ö
ø ÷
2
=1 .
2+ 2 2+ 2
6 . 1 .提示 : 原式 = [(a1 2 ) 2 + a1 2 x1 2+ (x1 2 ) 2 + a1 2 x1 2 ] é ë ê ê a1
2+
1 x1
2
ù û ú ú 2 = (a1 2+ x1 2 ) 2 æ è ç a1
2+
1 x1
2
ö ø ÷ 2 =1 .
4
7
.
(1)
3a4b.
(2)2
12
5
.提示
:(1)
3a2b
=
(a2
3
b1
2
)1
2 =
a1
3
b1
4 =
3a4b.
(2)
3
2 25 =
$
[ 2(2·5 1 2) 1 2 ]1 3=2 1 32 1 651 1 2= 2 12 5 .引入分数指数幂 , 利用指数运算规律可以化简根式运算.最后结果可以
用分数指数幂表示 不必写成根式.如果题目要求按根式表示 也可用根式表示.
, ,
8 . 1 .提示 : a = ( 2 1 3 ) 2 +2 1 3·1 1 3+ ( 1 1 3 ) 2, 所以( 2 1 3-1 ) · a =2-1=1, 所以 a 1 =2 1 3-1,a 1 +1=2 1 3,
5
( )
a
1
+1
3
=2,a
1
3+a
3
2+a
3
+1=2,
则
3
a-1
+3
a-2
+
a-3
=2-1=1
.利用立方差公式和完全立方公式才能
简便运算.
9 . 10,26 .提示 :5◁3=3 2 +1=10, m ◁( m ◁2)= m ◁(2 2 +1)= m ◁5=5 2 +1=26 .
10
.
-2
.提示
:
根据定义的新运算
,
当x
=2
时
,1<
x
,1
x
=1;3≥
x
,3
x
=
x2
=4,
所以
(1
x
)·
x
6
x .
-(3 )=1×2-4=-2
. 1 .提示 由题意得 1 1 2 解出A .因此 1 .
11 : , + A = , =1 1998*1999=
1998000 2 3(1+ ) 3 1998000
..提示 由运算规律可知 当一个数为奇数时 其最终奇数次运算为 偶数次运算为 当一个数
128 : , , 8, 1;
为偶数时 其最终奇数次运算为 偶数次运算为 .所以当n 时 第 次F 运算的结果是 .
, 1, 8 =449 , 449 “ ” 8
7
第二期
n n !
.提示 假设 是有理数 则 m n为互质的整数 所以 两边平方得
1 : 2+ 3 , 2+ 3=m( 、 ), 3=m- 2,
n m n m (n m )
. 均为有理数 .因为有理数对四则运算是封闭的 所以 为有理数
22=m-n,2= m-n m,n , 2 ,
2 2 2 2 8
与已知 为无理数矛盾 所以 是无理数.
2 , 2+ 3
.提示 假设a x是有理数 则a x a x也是有理数 这与题中x是无理数 矛盾 所以a x是
2 : + , + - = , “ ” , + (
ax
无理数.同理假设ax是有理数 x也是有理数 这与题中x是无理数 矛盾 所以ax是无理数. !
,a= , “ ” ,
3
.提示
:
假设存在正整数m和n
,
使m2
=
n2
+1994,
那么
(
m
+
n
)(
m
-
n
)=1994,1994=1×1994,
只有两种分解 代入得m n m n 或者m n m n 解出来m n都
1994=2×997 , + =1994, - =1; + =997, - =2, ,
不是整数
,
与假设矛盾.
4 .提示 : 若k2 =(2 k -1)2 +(2 k +1)2, 则整理得 -7 k2 =2, k无实数解.
5 .提示 : 三式相加得a2 + b2 + c2 +2 ab +2 ac +2 bc ≤0,( a + b + c )2 ≤0, 所以a + b + c =0 .因为绝对值
都是非负数 非负数较大的其平方也较大 因此可通过两边平方把绝对值符号去掉.
, ,
896
.提示
:
如果a2
+
b2
+
c2
+
d2
+
ab
+
cd
=1=
ad
-
bc
,
整理可得a
=-
b
,
c
=-
d
,
b
=-
c
,
a
=
d
,
所以
ad
-
bc
=
a2
-
a2
=0,
与ad
-
bc
=1
矛盾.
7 .提示 : 假设a + b >2, 则a >2- b , 故 2= a3 + b3 >(2- b )3 + b3, 即 ( b -1)2 <0 不可能 , 从而
a b .
+ ≤2
8 .平行四边形.提示 : 由a2 + b2 + c2 + d2 =2 ac +2 bd ,( a - c )2 +( b - d )2 =0, 得a = c , b = d.因为a
和c是对边 b和d是对边 所以此四边形是平行四边形.
, ,
9
.菱形.提示
:
由条件
(
a4
-2
a2b2
+
b4)+( c4
-2
c2d2
+
d4)+2 a2b2
+2
c2d2
-4
abcd
=0,(
a2
-
b2)2
+
( c2 - d2)2 +2( ab - cd )2 =0, 故a2 - b2 =0, c2 - d2 =0, ab - cd =0, 所以a = b = c = d , 故此四边形是菱形.
10 . 1 .提示 : 考虑被开方数 , 得 -( x -4)2 ≥0, x =4, 所以原式 =1 .
..提示 要求x的个位数字 只需确定a的值 寻找关于a的等式 根据非负数性质得
116 : , , ,
a a 于是a 或a 又因为 1 所以a a 故a 此时
(-2)(||-1)=0, =2 =±1, 1+ a≠0, ≠2, ≠1, =-1,
1-
x =(-2)2004, 又 2 的乘方的末位数依次是 2,4,8,6 的循环 ,2004÷4=501, 所以x的末位数是 6 .
.1.提示 由等式得a 从而已知式化为 x y x y 故所求式 1.
12 : =0, = - , =- ≠0, =
3 3
第三期
1
.16.提示
:
由题意得
,
a
、
b
、
c
、
d的方差s2
=
1
[
a2
+
b2
+
c2
+
d2
-4×
(
8-
e)
2
]
=-
5e
(
e
-
16
)
≥0,
5 4 4 16 5
所以e的最大值为16.
5
2
.
1601
.提示
:
假设a
1,
a
2,…,
an 是按大小顺序从左向右排列
,
等式右边可以合成k
(
an-1)× an,
k
=
a
1+…+
an-2,2005 的公因式为
5、401,
可设an
-1=5,
an=401, 那么k
=1
或
-1
.如果出现
-1,
会增
大n值
,
只取
1
.那么
1
一共有
2005-5-401=1599(
个
),
再加上an
-1
和an, 那么就有
1601
个
,
所以n的最
小值为 .
1601
. .提示 因为a c b d c a d b a c b d 所以a c b d 即a b
3 -2 : | - + - |= - + - =-(- + - ), - + - ≤0, + ≤
c d 所以a b c d .当c d 时 a b c d 当c d 时 a b c d
+ , + =-4, + =±2 + =2 , + + + =-2; + =-2 , + + + =
.所以a b c d的最大值为 .
-6 + + + -2
..提示 原式 x x x x x 当x 时 最小值为 .
40 : ≥| -1+ -2+…+ -99+ -100|=|100 -5050|, =50.5 , 0
. x.提示 原式 x x x x x.
5 - : = 3+|2+(1+ )| = 3+|3+ | =|3-3- |=||=-
. 或 .提示 当x 时 原式 当x 时 原式 .
60 -2 : >0 , =0; <0 , =-2
. 或 .提示 x y y x y x 当y 时 x 则x y 当y 时
7 -1 -5 :| - |= - ≥0, ≥ , =2 , =-3, + =-1; =-2 ,
x 则x y .
=-3, + =-5
. .提示 由于绝对值为非负数 所以x y x y 所以x y 则原
8 -1000 : , - +3= + -1999=0, =998, =1001,
式 .
=-1000
.1 x 4.
9 ≤ ≤
3 5
a a a
..提示 由 a b 得 1.若a 则b 原式 1
103 : 2 + =0, b=- >0, <0, b-1 + b-2 = -1 +
2 - 2
a a
1 若a 则b 原式 - 1 1 综上得其值
- -2 =3, <0, >0, b-1 + b -2 = - -1 + -2 =3,
2 2 2
为 .
3
..提示 由题意知 a b与c a 中一个为 另一个为 .当a b c a 时 原式
112 : ,| - | |- | 0, 1 | - |=0,|- |=1 , =
c a a a a c 当a b c a 时 原式 a a a b b a
|- |+| - |+| -|=1+0+1=2; | - |=1,|- |=0 , =| - |+| - |+| - |=
900+1+1=2.
12 . ±4 或 0 .提示 : 若a 、 b 、 c同号 , 则原式 =±4; 若a 、 b 、 c不同号 , 则原式 =0 . 2
第四期
.1M N.提示 M N 13 所以1M N.
1 >1- : =-1, = , >1-
13 12 13
.a c d b.提示 根据题意 不妨设x y 来比较.
2 > > > : , =-2, =-1
3
3
.y
>
x.提示
:
因为y
-
x
=3
m2
>0,
所以y
>
x.
4 .m > n.提示 : m - n =(3 a -2)2 +1≥1>0, 所以m > n.
. n.
510,100,10
6 . (1)3 . (2)33 . (3)333 . (4)33…3 . (5)33…3 .提示 :111…1= 1 (10 2 n -1),222…2= 2 (10 n -1), 代入
︸1003 个 ︸n个 ︸2 n个 1 9 ︸n个 2 9
计算. 4
$
.1.提示 观察莱布尼兹三角形 第 行左边的第一个分数是1 第 行左边的第一个分数为1 则
7 : , 8 , 9 ,
72 8 9
第 行左边第二个分数为1 1 1 所以 表示的分数是1.
9 - = , (9,2)
8 9 72 72
. .提示 由于 即第n个数
8181 : 1=2×1(1-1)+1,5=2×2(2-1)+1,13=2×3(3-1)+1…… =
nn 所以第 个数为 . 5
2 (-1)+1, 10 181
. 第一种方案是租用甲种汽车 辆 乙种汽车 辆 第二种方案是租用甲种汽车 辆 乙种汽车
9 (1) 5 , 3 ; 6 , 2
{ x x
辆.提示 由题意 40 +30(8- )≥290 解得 x 即共有两种租车方案. 第一种租车方案更省钱.
: x x , 5≤ ≤6, (2)
10 +20(8- )≥100
提示 第一种租车方案的费用为 第二种租车方案的费用为
: 5×2000+3×1800=15400; 6×2000+2×1800=
6
所以第一种租车方案更省钱.
15600,
m m {m x y
. x 55-4 y -7.提示 设 两种食品的件数分别为x y 则 + + =16 解
10 (1)=
3
, =
3
: B、C 、 ,
2
m
+4
x
+10
y
=50
,
m m m m
得x 55-4 y -7. 提示 联立55-4 -7 m 解得 m 则正整数m
= , = (2) : ≥1, ≥1, ≥1, 10≤ ≤13, =
3 3 3 3
.只有当m 时 x y 当m 时 x y 这两种方案符合题意.
10,11,12,13 =10 , =5, =1; =13 , =1, =2 7
. y x. y x. 当y y 时 x x 解得x 当y y 时 x
11 (1)1= (2)2=12+0.4 (3) 1= 2 , =12+0.4 , =20; 1> 2 , >
x 解得x 当y y 时 x x 解得x .综上所述 当小军每月租书少于 册
12+0.4 , >20; 1< 2 , <12+0.4 , <20 , 20 !
时 采用零星租书方式合算 当每月租书 册时 两种方式费用一样 当每月租书多于 册时 采用会员
, ; 20 , ; 20 ,
卡租书的方式更合算.
. 元 元.提示 根据邮费标准 重量为 的信以 挂号信 方式寄出 邮寄费为
12 (1)7.5 ,9 : , 90g “ ” , 5×0.8+3 8
元 以 特快专递 方式寄出 邮寄费为 元 .
+0.5=7.5( ); “ ” , 5+3+1=9( )
将这五封信的前两封以 挂号信 方式寄出 后三封以 特快专递 方式寄出最合算.提示 由 得
(2) “ ” , “ ” : (1) (
知 重量为 的信以 挂号信 方式寄出 费用为 元 小于 元 因为 所以重量为 的信
, 90g “ ” , 7.5 , 9 ; 72g<90g, 72g
以 挂号信 方式寄出小于 元.若重量为 的信以 挂号信 方式寄出 则邮寄费为 !
“ ” 9 215g “ ” , 5×0.8+2×2+3+0.5
元 元 .因为 所以重量为 的信以 挂号信 方式寄出 费用均超
=11.5( )>9( ) 400g>340g>215g, 400g、340g “ ” ,
过 元.
9
学好数学对于生活有帮助 等.
(3) ,
915
第一期
. . .提示 DOF BOE 1 . .
1225° :∠ =∠ = ×90°=225°
4
. .提示 AOC COF DOF .
2105° :∠ =150°,∠ =75°,∠ =105°
. .提示 BAC BAF CAG .
3120° :∠ =60°,∠ +∠ =60°
.提示 AB CD PAE APF AE PF.
4 : ∥ ,∠ =∠ , ∥
.提示 BGH DHG AB DE AGM BGN MHE DHN.
5 :∠ +∠ =180°, ∥ ,∠ =∠ =∠ =∠
.提示 DF CE BDF BCE FDE DEC DEC ACE ACE ECB EDF
6 : ∥ ,∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠
BDF.
=∠
.提示 过点B作HM CD交GF于点H C CBM BM EF F BHG F ABM
7 : ∥ ,∠ =∠ , ∥ ,∠ =∠ ,∠ =∠
BHG AB GF.
=∠ , ∥
.提示 过点E作EM AB 过点F作FN AB AEM EAB CEM ECD AFN
8 : ∥ , ∥ ,∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ =
FAB CFN FCD FAB 1 EAB FAB 3 EAB FCD 3 ECD AFC
∠ ,∠ =∠ ,∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,∠ =
4 4 4
AFN CFN 3 AEC.
∠ +∠ = ∠
4
.提示 因为 DEC DEA ACB CED AED DAC 所以 DAC ACB 所以
9 : ∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ =∠ , ∠ =∠ ,
AD BC.因为 DAB BCD 所以 DCA BAC 所以AB CD.
∥ ∠ =∠ , ∠ =∠ , ∥
.提示 EBG BDC AB DC ABC C ADC C AD BC ADF C
10 :∠ =∠ , ∥ ,∠ +∠ =∠ +∠ =180°, ∥ ,∠ =∠
EBC ADB DBC EBC DBC 所以BC是 DBE的平分线.
=∠ ,∠ =∠ ,∠ =∠ , ∠
.提示 因为CB OA 所以 AOC EOB EOF FOB 1 COF 1 FOA
11 : ∥ , ∠ =80°,∠ =∠ +∠ = ∠ + ∠ =
2 2
1 AOC 所以 OBC OFC的值不变 比值为1. OEC OAB的情况存在 OEC
∠ =40°, ∠ ∶∠ , ∠ =∠ ,∠ =
2 2
OBA .
∠ =60°
第二期
. .提示 设 AOD BOD EOC BOE
172° : ∠ =∠ =∠1,∠ =2∠ =2∠2,∠1+∠2=72°,2∠1+3∠2=180°,
EOC .
∠ =72°
. .提示 DOF COE AOE AOG .
259° :∠ =∠ =28°,∠ =118°,∠ =59°
. .提示 过点C作CF DE. DCF BCF BCD .
340° : ∥ ∠ =40°,∠ =80°,∠ =40°
. .提示 延长AC交BE于点G ACD AGE AGE A ABG 即 ACD ABF A
4180° : ,∠ =∠ ,∠ =∠ +∠ , ∠ +∠ -∠
.
=180°
.提示 方法一 过点E作EF AB 方法二 延长DE AB交于点F 方法三 连接BD.
5 : , ∥ ; , , ; ,
. AED ACB.提示 CFE BDC CFE DFE BDC DFE
6 ∠ =∠ :∠ +∠ =180°,∠ +∠ =180°,∠ =∠ ,
AB EF.
∥
.成立.提示 设 CDA EDA 则 E B A A 因此 E B
7 : ∠ =∠1,∠ =∠2, ∠ =∠2,∠ =∠ ,∠1=∠ , ∠ +∠ =
A EDC.
∠2+∠ =∠2+∠1=∠
.连接AD BE.因为AF CD 所以 FAD ADC.因为 BAF CDE 所以 BAD ADE.
8 , ∥ , ∠ =∠ ∠ =∠ , ∠ =∠
因为 ABC DEF 所以 CBE BEF 所以BC EF.
∠ =∠ , ∠ =∠ , ∥
. .提示 作DO α DOC .
960° : ⊥ ,∠ =30°
. . C APC A. 不成立 C APC A.提示 过点P作PQ AB
10 (1)45° (2)∠ =∠ -∠ (3) ,∠ =∠ +∠ :(1) ∥ ,
92APQ A C QPC . 过点P作PQ AB APQ A QPC APC A.
∠ =∠ =25°,∠ =∠ =45° (2) ∥ ,∠ =∠ ,∠ =∠ -∠
CD ∥ PQ ,∠ C =∠ QPC ,∠ C =∠ APC -∠ A. (3) 过点P作PG ∥ AB ,∠ APG =∠ A , PG ∥ CD ,∠ GPC 2
C C APC A.
=∠ ,∠ =∠ +∠
. 提示 过点P作PF ACF在P的左侧 PAC APF FP BD FPB PBD
11 (1) : ∥ ( ),∠ =∠ , ∥ ,∠ =∠ ,
APB APF FPB PAC PBD.
∠ =∠ +∠ =∠ +∠
不成立.提示 PAC PBD 而 APB .
(2) :∠ +∠ >180°, ∠ <180°
提示 当动点P落在射线BA上 PBD APB PAC.当动点P落在射线BA的左侧时
(3) : ,∠ =∠ +∠ , 3
PAC APB PBD.当动点P落在射线BA的右侧时 PBD APB PAC.
∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ +∠
6
第一期
4
. .提示 延长CB到D 使DB AB 连接AD 可由题意得 BAD
1 D : , = , , ∠ A $
D ABC D 所以 C D AD AC AB BD AD 所以
=∠ ,∠ =2∠ , ∠ =∠ , = , + > ,
AB AC.
2 >
.提示 解法一 截长法.在边AB上截取AN AC 连接NP.由条件
2 :( ) = , D B C
BAP CAP 易得 ANP ACP 从而得到PC PN.在
∠ =∠ , △ ≌△ (SAS), = 题1答案图 5
PNB中 PB PN BN 因此AB AC PB PC.
△ , - < , - > -
A
A
P
P
6
N C
B D
B D C M
题2解法一图 题2解法二图
解法二 补短法.延长AC至AM 使AM AB 连接PM MD.由条件易得 ABP AMP
( ) , = , 、 △ ≌△ (SAS),
从而得到BD = MD.在 △ PMC中 , CM > PM - PC , 因此AB - AC > PB - PC. 7
.提示 解法一 截长法.在AD上截取DG DB 连接EG FG.由条件易得 BED GED
3 :( ) = , 、 △ ≌△ (SAS),
从而得到GE = BE , 得DG = DC.在 △ EFG中 , EF < EG + GF , 因此BE + CF > EF. !
A
A
G E F 8
E F
C
B D (
B D C M
!
题3解法一图 题3解法二图
解法二 补短法.延长ED至ED DM 连接MF MC.由条件易得 EFD MFD 从而得
( ) = , 、 △ ≌△ (SAS),
到 BDE CDM .在 MCF中 CM CF MF 因此BE CF EF.
△ ≌△ (SAS) △ , + > , + >
.提示 如图所示 延长BC到E 使CE CD 连接DE.由已知得 ACB ABC 而由CD
4 : , , = , ,∠ =∠ =60°,
CE 得 E CDE 又 ACB E CDE 推得 E EDC ACB . .又因为BD是
= , ∠ =∠ , ∠ =∠ +∠ , ∠ =∠ =∠ ×05=30°
AC边上的高 所以 E CBD 可得DE DB.又因为DH BC 所以EH BH.因此DC CH EC
, ∠ =∠ , = ⊥ , = + =
93CH EH BH. A
+ = =
.提示 延长AM 与CD延长线交于点H.由条件易得 ABM
5 :(1) △ ≌
△ HCM (ASA), 从而得到BM = DE.设AD =4 x , 则AF =5 x , FH =5 x , 在 D
AHF中 得到 MAF H 易得 MAF BAM 从而易得 ABM
△ , ∠ =∠ , ∠ =∠ , △ ≌
ADE 则 MAF BAM 因此 BAF DAE.
△ (ASA), ∠ =∠ , ∠ =2∠
E C H B
A D 题4答案图
E
A E
F H D
C
B M F
H B C
题5(1)答案图 题5(2)答案图
将 BCF绕点B旋转 与AB边重合 得到 ABH.易得 ABH
(2) △ 90°, , △ △ ≌ B A
CBF 所以 H BFC.从而得到 H EBH 所以HE BE 因此BE
△ , ∠ =∠ ∠ =∠ , = , =
AE CF.
+
.提示 延长AM与DC的延长线相交于E 连接DM.由条件易得 ABM M
6 : , △ ≌
ECM 从而得到DM是 ADE斜边上的中线 则 E MDE 故
△ (AAS), Rt△ , ∠ =∠ ,
AMC MDC 因此 AMC BAM.
∠ =3∠ , ∠ =3∠
.提示 在AB上截取FB BM 连接FM 过点N作NP BE于点P
7 :(1) = , , ⊥ , E C D
所以 FBM CNP为等腰直角三角形.由AB BC AB FB BC BM 得
△ 、△ = , - = - 题6答案图
AF CM.又因为AM NM 所以易得 AFM MCN 所以AM MN成立.
= ⊥ , △ ≌△ , =
连接AC AN 过N作NF CE于点F 可证ANCM四点共圆 得 AMN 所以MA MN.
(2) 、 , ⊥ , , ∠ =45°, =
.提示 设AD CE的交点为O 在AC上取一点F 使AF AE 连接OF A
8 : , , , = , ,
AEO AFO 再证 ODC OFC 所以得证. F
△ ≌△ , △ ≌△ , E
.提示 如图所示 延长EC到G 使CG EC.连接BG 得 AEC BGC
9 :(1) , , = , △ ≌△
则AE BG AEC G.由已知AE BD 所以BG BD 得 BDC
(SAS), = ,∠ =∠ = , = , ∠ = C D B
∠
G
,
所以
∠
AEC
=∠
BDC. 题8答案图
延长DC到点G 使CG DC 连接AG 证 DCB与 GCA全等 再由边角
(2) , = , , △ △ ,
关系得FD FE.
=
D D
A
F
F F
E E E
A B A B
C C B C
G
G
(1) (2) D
题9答案图 题10答案图
.提示 延长CE至点F 使EF CE.连接BF 易得 BEF AEC 从而得到BF AC
10 : , = , △ ≌△ (SAS), = ,
FBE A.由条件AB AC 得 ABC ACB.又因为 DBC A ACB FBC FBE
∠ =∠ = , ∠ =∠ ∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ +
94ABC 得到 DBC CBF 从而证得 CFB CDB 因此CD CE.
∠ , ∠ =∠ , △ ≌△ (ASA), =2
2
第二期
.提示 面积法 本题先根据已知条件画图 已知点P是等边三角形ABC内的任意一点 过点P
1 :(1)( ) , ,
分别作三边的垂线 分别交三边于点D 点E 点F.求证PD PE PF为定长.
, 、 、 + +
证明 : 过点A作AG ⊥ BC , 垂足为点G , 分别连接AP 、 BP 、 CP.因为S △ ABC= S △ ABP+ S △ BCP+ S △ CAP,
易得PD PE PF AG为定长.因此 等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.
+ + = , 3
A
A
F E
F
D 4
P D
$
B C
E G B C
题1(1)答案图 题1(2)答案图
面积法 过点A作AE BD交BD延长线于点E 再过点A作AF CD交CD延长线于点F.因
(2)( ) ⊥ , ⊥
为 ADB ADC 所以 ADE ADF 因此 ADF ADE 得到AF AE.进而 AFC 5
∠ =∠ , ∠ =∠ , △ ≌△ (AAS), = △ ≌
AEB 得到 ABD ACD 因此 BAD CAD 即AD平分 BAC.
△ , ∠ =∠ , ∠ =∠ , ∠
2 .提示 :( 面积法 ) 由已知条件易得 △ BAE ≌△ DAC (SAS), 所以CD = BE.过 D
A E
点A作AM ⊥ DC于点M , 作AN ⊥ BE于点N , S △ ABE= 1BE × AN = S △ ADC=
2 M N
O
6
1AM DC 所以AM AN.又由AM DC于点M AN BE于点N 所以点A
× , = ⊥ , ⊥ , B C
2
在 ∠ DOE的角平分线上 ( 角平分线定理 ), 即OA是 ∠ DOE的角平分线. 题2答案图
.提示 由条件易得 CAE BAF 从而得到 ABF ACE .因此BF CE ACE
3 :(1) ∠ =∠ , △ ≌△ (SAS) = ,∠ =
ABF 所以 ACE ACB CBF ABF ACB CBF 所以 CMB 即BF CE.
∠ , ∠ +∠ +∠ =∠ +∠ +∠ =90°, ∠ =90°, ⊥
作AH CE于点H AG BF于点G.由 所得结论得到 ABG ACH 所以AG
(2) ⊥ , ⊥ (1) △ ≌△ (ASA), =
AH AMG 因此 AMC . 7
,∠ =45°, ∠ =135°
E
C !
B
F M
G G F
C A
H 8
A B
(
E D
!
题3答案图 题4答案图
.提示 垂直法 过点E作EG AB于点G.因为 ABE是等边三角形 AG BG 1AE 1AB
4 :( ) ⊥ △ , = = = ,
2 2
又因为 ABC中BC 1AB 直角三角形 的角所对的边等于斜边的一半 所以 ACB EGA
Rt△ = ( 30° ), △ ≌△
2
得到EG AC.从而得到 DAF DAC CAB 所以 ADF GEF 因此EF
(SAS), = ∠ =∠ +∠ =90°, △ ≌△ (AAS),
FD.
=
95.提示 解法一 垂直法 如图 所示 过点B作BF CB 交CE的延长线于点F 连接DE.由条
5 :( ) (1) , ⊥ , ,
件易得 ACD CBF 从而得到 ADC CFB BD BF CD 得 DBE FBE 因
△ ≌△ (ASA), ∠ =∠ , = = , △ ≌△ (SAS),
此 CDA EDB.
∠ =∠ C C
D D
G
O O
A E B A E B
F
(1) (2)
题5答案图
解法二 角平分线法 如图 所示 作 ACB的平分线CG交AD于点G.由条件AC BC ACG
( ) (2) , ∠ = ,∠
BCG CAD BCE 可证得 AGC CEB 从而得到CG BE.由条件CG BE
=∠ =45°,∠ =∠ , △ ≌△ (AAS), = = ,
CD BD DCG BDE 证得 DCG EBD 因此 CDA EDB.
= ,∠ =∠ =45°, △ ≌△ , ∠ =∠
.提示 解法一 补形法 如图 所示 延长AE BC交于点F.由条件易得 AEB FEB
6 :( ) (1) , 、 △ ≌△ (ASA),
所以AF AE.因为BE AE BDC ADE 所以 CAF CBD 同角的余角相等 得到 CAF
=2 ⊥ ,∠ =∠ , ∠ =∠ ( ), △ ≌
CBD 所以BD AF 因此BD AE.
△ (ASA), = , =2
A A
E E
D D H
B B
F C C F
(1) (2)
题6答案图
解法二 如图 所示 过点D作DF AB 交BC于点F 过点F作FH BD 垂足为点H.由条件
( ) (2) , ∥ , , ⊥ ,
易得 CFD CBA FDB CBD ABD 所以FB FD 从而得到FH 是BD的中垂线
∠ =∠ =45°,∠ =∠ =∠ , = , ,
BH 1BD.
=
2
又CD FC AC BC 所以BF AD 得 BFH ADE 得到BH AE 因此BD AE.
= , = , = , △ ≌△ , = , =2
.提示 补形法 如图所示 延长AD AE交直线BC于点F
7 :( ) , 、 、 A
点G.由条件易得 ADB FDB 得到 ABD FBD 从
∠ =∠ =90°, △ ≌△ ,
而得到AB FB AD FD.同理 AC CG AE EG 所以 D E
= , = , = , = ,
DE BC.因此DE 1FG 所以DE 1 AB BC AC .
∥ = , = ( + + )
2 2 F B C G
.提示 作等边 AFF' 把 ABF绕点A顺时针旋转 到
8 : △ , △ 60° 题7答案图
ADF' 再作等边 APP'.由条件易得 ADF' ABF ABP
, △ △ ≌△ ,△ ≌
ADP' 从而D F' F C四点共线 所以FA FB FC FF' DF' FC.同理PA PB PC
△ , 、 、 、 , + + = + + + + =
DP' PP' CP 因此PA PB PC FA FB FC.
+ + , + + > + +
A
D A
F′
E
P′ F
P
B C B D C
题8答案图 题9答案图
969
.BD2
+
CD2
=2
AD2.提示
:
以AC为边向三角形外作
∠
EAC
=∠
DAB
,
且AE
=
AD
,
连接DE
、
CE.
由条件易得 △ ABD ≌△ ACE (SAS), 所以BD = CE ,∠ ABC =∠ ACE.又 ∠ BAD =∠ CAE , 所以 ∠ CAE + 2
∠
CAD
=90°,
即
∠
DAE
=90°,
同理
∠
DCE
=90°,
得到ED2
=
AD2
+
AE2, ED2
=
CD2
+
CE2, 因此
BD2 CD2 AD2.
+ =2
10
.提示
:
如图所示
,
延长AP
、
BP交于点H
、
点K.由条件易得
,
PB2
-
PC2
= A
BH2
-
HC2
=
AB2
-
AC2, 从而得到
(
PB
+
PC
)
PB
-
PC
=(
AB
+
AC
)
AB - AC .又因为AB + AK > PB + PK , PK + KC > PC , 将上式相加得 P K 3
AB AC PB PC 因此 PB PC AB AC .
+ > + , - ≥ -
B H C
第三期
题10答案图
. .提示 由题意得 BDE CBD 从而得到AE CD 则 正确 易得 AEB BDG
1 D : ,△ ≌△ (SAS), = , ① ; ∠ =∠ ,
因此 BGD BFE 易得BG BF 则 正确 又因为 CBE 因此 BFG为等边三角形
△ ≌△ (ASA), = , ② ; ∠ =60°, △ , 4
则 正确 因此FG AD 则 正确 又因为在 AHD中 由外角定理及等量代换得 AHC 则 正
⑤ ; ∥ , ⑥ ; △ , ∠ =60°, ④ $
确 因为 CBE AHD 得到 AHB BHD 因此HB平分 AHD 则 正确.
; ∠ +∠ =180°, ∠ =∠ , ∠ , ③
.提示 由条件易得 ACD BCE 得到AD BE AEB ADC 从而得到 CDM
2 : △ ≌△ (SAS), = ,∠ =∠ , △ ≌
CEN 所以CM CN NCE MCD 从而 MCN 因此 CMN是等边三角形.
△ (SAS), = ,∠ =∠ , ∠ =60°, △
.提示 先证明 ACD BCE .利用第 问证明的结论 用三角形外角和求出 DOE
3 : △ ≌△ (SAS) (1) , ∠ =60°,
易得 ACM BCN 从而得到 CMN为等边三角形. 5
△ ≌△ (SAS), △
4
.等边三角形.提示
:
由条件易得AE
=
DC
,
AD
=
CF
,
因为
∠
DAB
=∠
DCF
,
所以
∠
EAD
=∠
DCF
,
得到 ADE CFD 从而得到 CFD BFE 所以DE DF EF.因此 DEF是等边
△ ≌△ (SAS), △ ≌△ (SAS), = = △
三角形.
.提示 由条件易得 ABE EDC 所以CE AE DCE BEA 从而得到 DCE EAD
5 : △ ≌△ , = ,∠ =∠ , ∠ =∠ , 6
CAE 因此 ACE是等边三角形.
∠ =60°, △
.提示 由条件易得 AEF OEF.因为EO BO FO CO 得OE 1BE 直角三角形中 的
6 : △ ≌△ ⊥ , ⊥ , = ( ,30°
2
角所对的直角边是斜边的一半 因此 ABF的周长等于BC的长.
), △
.提示 由条件易得 ABM BCN 所以 BAM CBN.又 ABC ABQ CBN
7 :(1) △ ≌△ (SAS), ∠ =∠ ∠ =∠ +∠
所以 ABQ NBM 因此 BQM ABQ ABM . 7
=60°, ∠ +∠ =60°, ∠ =∠ +∠ =60°
题 结论仍旧成立.由条件易得CM AN ACM BAN 所以 ACM BAN
(2) (1) = ,∠ =∠ =120°, △ ≌△
(SAS), 所以 ∠ CAM =∠ ABN.又 ∠ CAM =∠ QAN , 得 ∠ ABN =∠ QAN , 因此 ∠ BQM =∠ QAN +∠ N !
.
=60°
.提示 如图所示 在AC的延长线上截取CE BM 连接DE 证 BDM CDE 再证
8 : , = , , Rt△ ≌Rt△ ,
EDN MDN 易得 AMN的周长为 . 8
△ ≌△ , △ 2
A
(
A
!
M N
D
B C
E E
D B C
题8答案图 题9答案图
.提示 如图所示 连接CE 由条件易得 BDE BCE 所以 BDE BCE 易得 ACE
9 : , , △ ≌△ (SAS), ∠ =∠ , △
97BCE 所以 BCE ACE 因此 BDE .
≌△ (SSS), ∠ =∠ , ∠ =30°
.解法一 提示 如图所示 延长BD至点F 使得DF BC 连接EF AF 易得AE BD CF
10 ( ) : , , = , 、 , = = ,
则 ACF CAE.也有 BEF是等边三角形 所以 EBC EFD 因此EC ED.
△ ≌△ △ , △ ≌△ , =
E E
F
A A
B C D F B C D
题10答案图
解法二 提示 如图所示 过点D作DF AC交BE于点F. ABC为等边三角形 BDF也是等边
( ) : , ∥ △ ,△
三角形 所以BD BF DF BFD BAC 得到 EFD EAC 所以 DEF EAC
, = = ,∠ =∠ =60°, ∠ =∠ =120°, △ ≌△
得到EC ED 即 ECD为等边三角形.
(SAS), = , △
第四期
.16 .提示 a 1l b 1l 所以c l a b 3l .当a b时 l 16 符合题意 当
1 ,5 : = -1, =3- , = - - = -2 = ,= , ;
3 2 4 4 3
a c时 l 舍去 当b c时 l 符合题意.
= , =4, ; = , =5,
.提示 由CB CA ME BC MF AC 易得 AFM BEM 再证 BDE ADF 易证
2 : = , ⊥ , ⊥ , △ ≌△ , △ ≌△ ,
DE DF.
=
.PQ .提示 由条件易得 ABE ACD为等腰三角形 求得DE .因此PQ 1DE .
3 =3 : ,△ 、△ , =6 = =3
2
.提示 由AB AC 先证 BCD CBF 又l BC 再证 ADE AFG 因此DE FG得证.
4 : = , △ ≌△ , ∥ , △ ≌△ , =
.提示 如图所示 延长BE到点F 使EF AE 连接FC 作 BEC的平分线交BC于点G 先证
5 : , , = , , ∠ ,
AEB GEB 再证 GEC FEC 易得BC BF AE BE.
△ ≌△ , △ ≌△ , = = +
B
A E
E F
D
B C
G A C
题5答案图 题6答案图
.提示 如图所示 以AB为边向右作正三角形ABE 连接DE 先证 AED ACD 再证 ABD
6 : , , , △ ≌△ , △
EBD BD BA得证.
≌△ , =
7 .提示 : 本题关键是证明 △ PBC ≌△ PDB , 已有PC = PD , PB是公共边 , 只 A
需再证明 BPD CPB 而 BPD APG 则证明 APG CPB 进而需 E G
∠ =∠ , ∠ =∠ , ∠ =∠ , D
M
要证明 EPC GPF 可利用同角的余角相等证明.
∠ =∠ ,
.提示 过点C作AB的平行线交AF的延长线于点P 则PC AC 易得 B F C
8 : , ⊥ ,
ABE CAP ACD 于是BE AP 且 AEB CMF P P
Rt△ ≌Rt△ ≌Rt△ , = ①, ∠ =∠ =∠
注 AEB CMF由 ABE ACD 以及所在三角形的垂直所得 所以
题8答案图
( :∠ =∠ ∠ =∠ ),
98MGE是等腰三角形 得EG MG 而 MCF FCP 得 MCF PCF MF PF 根据
△ , = ②, ∠ =∠ , △ ≌△ , = ③, ①、
②、③, 有BE + EG = AP + MG = AF + PF + MG = AF + FM + MG , 则BG = AF + FG. 2
.提示 如图所示 易证 MBQ MFG MBQ MFG BM FM BMQ FMG 则
9 : , △ ≌△ ,(∠ =∠ , = ,∠ =∠ ),
FG BQ 再证 ABQ DFGAB FD FG BQ ABE DFG 即可 于是 BAQ D.
= , △ ≌△ ( = , = ,∠ =∠ ) , ∠ =∠
G
A B F D
D H A
M 3
Q
G
E B
C C Q P
题9答案图 题10答案图
.提示 如图所示 过点P作PH AD于点H 可延长PH至点G 使HG PH.连接BG DG 先
10 : , ⊥ , , = 、 ,
证 GBP PDC DGH 再由GB GD AD BC 可证 DBC DPC DQC. 4
△ ≌△ ≌△ , = , ∥ , ∠ +∠ =∠
$
7
第一期
. .提示 因为Aab在第四象限 则a b 又因为A 关于y轴对称 x值 5
1 (-5,-3) : (, ) , >0, <0, (5,-3) ,
相反 y值不变 所以对称点坐标为 .
, , (-5,-3)
2 .A' (-1,-2), B' (-3,-1), C' (-2,0) .提示 : 根据点关于原点对称符号变化规律 , 横坐标与纵坐
标符号都与原坐标相反.
. .
3 A、D
. . 6
4 (-6,0)
. n .提示 当B的横坐标分别为 时 AOB内部 不包括边界 的整点个数均为 .分别
53,4;6 -3 : 3、4 ,△ ( ) 3
取n等于 则 n等于 画图可得m分别等于 故m n .
1,2,3,4…… 4 4,8,12,16…… 3,9,15,21…… =6 -3
.A' .
6 (1,3)
. .提示 直角坐标平面内的每一个点都和唯一的有序数对相对应 数 不是数对.有序数对ab和
7 D : , 0 (, )
ba 在a b时 它们不相同 所以表示的不是同一个点 点P的横坐标为 因为在y轴上的点的横坐
(, ) ≠ , , , 0, 7
标为 所以点P在y轴上 而不是在x轴上 原点是x轴和y轴的交点 所以原点既在x轴上又在y轴
0, , , ,
上 所以选 .
, D !
8
.
C
.提示
:
结合
“
数形结合
”
思想
,
三个平行四边形是中心对称图形
; y
另一个则不是平行四边形 也不是中心对称图形.
,
M
B
9 .5.提示 : 虽然点C在变 , 但是由于直线y =1 平行于x轴 , 所以 Q 8
2
P 0 C x
平行线之间的距离相等
,
即
△
ABC的高不变
,
所以
△
ABC的面积为5. A
(
2
. .提示 根据平移规律 A 向右平移后x N !
10C : , (-3,1) =-3+6=3,
所以A' B 向右平移 个单位后x 所以
(3,1), (-4,-2) 6 =-4+6=2, 题8答案图
B' .根据两点距离可知AA' AA'到BB'之间高
(2,-2) = -3-3 =6,
h =3, 所以S ▱ ABB'A'=18 .
..
11B
. .
12 10
99第二期
.A D B C .提示 显然 点A D .作BE x轴于点E
1 (0,0), (0,1), (3,1), (3,2) : , (0,0), (0,1) ⊥ ,
则在 AEB中 AB BAE 所以BE AE 所以B .因为CE CB BE
Rt△ , =2,∠ =30°, =1, = 3, (3,1) = + =
AE 所以C .
1+1=2, = 3, (3,2)
æ ö
.Bç3-1 3+1÷.提示 过点A作AD x轴于点D 过点B作BE y轴于点E EB的延长线交
2 è , ø : ⊥ , ⊥ ,
2 2
DA的延长线于点F.因为 OAD 又四边形OABC为正方形 易得 AOD BAF.所以 OAD
∠ =60°, , △ ≌△ ∠ =
æ ö
.在 AFB中 AB 所以BF 1 AF 3 因此Bç3-1 3+1÷.
30° Rt△ , =1, = , = , è , ø
2 2 2 2
.提示 在 ABD 与 OCB 中 OC AB a b OB AD 所以 ABD
3 :(1) △ △ , = = + , = , △ ≌
OCB CBO BDA BC BD DBC DBA CBA .所以点D绕点B按逆时针方
△ ,∠ =∠ , = ,∠ =∠ +∠ =90°
向旋转 后与点C重合. 同理 由 ABE COA 得 AE AC EAC 证得点E绕点A
90° (2) , △ ≌△ , = ,∠ =90°,
按顺时针方向旋转 后与点C重合. ACD ACE DCE DCE BCE BCD
90° (3)∠ =∠ -∠ =45°-∠ ,∠ =∠ -
DCE DCE
∠ =45°-∠
所以 ACD BCE.
,∠ =∠
. .提示 由于三边均不平行于坐标轴 所以无法直接求边长 也无法求
414 : , , y
高 因此得另想办法.通过 数形结合 补形法 可以将三角形围在一个梯形 或
, “ ”“ ”, ( B E
D
长方形 中 这个梯形 或长方形 的上 下底 长 与其中一条坐标轴平行 高 或
) , ( ) 、 ( ) , (
宽 与另一坐标轴平行.这样 梯形 或长方形 的面积容易求出 再减去围在梯形
) , ( ) ,
或长方形 内边缘部分的直角三角形的面积 即可求得原三角形的面积.如图所 A 0 x
( ) ,
示
,
过点A
,
点C分别作平行于y轴的直线
,
与过点B平行于x轴的直线交于点
C
D E 则四边形ADEC为梯形.因为A B C 所以
, , (-3,-1), (1,3), (2,-3),
AD =4, CE =6, DB =4, BE =1, DE =5 .所以S △ ABC= 1 ( AD + CE )× DE -
题4答案图
2
1CE BE 1AD DB .
× - × =14
2 2
5 . 6 .提示 : 设G点的坐标为 (0, b ), b >0 .由于S四边形OABC- S △ GEC= S △ OGC+ S △ AGE+ S △ BEC, 所以b =
3a - 20 ; 因为S四边形OABC- S △ GFB= S △ AGB+ S △ OGF+ S △ BFC, 所以 3 a =32-6 b.综上所述 ,3 a =72-9 a ,
2 3
a .
=6
. 图略 B C . 1.
6 (1) ; (-2,5), (5,-2)(2)10
2
. .提示 根据 数形结合 补形分割法 得 由A B 两点的
710 : “ ”“ ” , (4,1), (4,5) y
B
横坐标相同 可知边AB与y轴平行 因而AB的长度易求.作AB边上的高CD
, , ,
则D点的横坐标与A点的横坐标相同 也是 这样就可求得线段CD的长 进
, 4, ,
而可求得 ABC的面积.因为A B两点的横坐标相同 所以边AB y轴 所以 C D
△ , , ∥ ,
A
AB .作边AB上的高CD 则点D的横坐标为 所以CD
=5-1=4 , 4, =4-(-1) O x
=5, 所以S △ ABC= 1 ×4×5=10 .
2 题7答案图
8 . (1) a =1, b =3 . (2) S △ ABC=8 .提示 :(1) 因为A , B关于y轴对称 , 所以
{a b a {a
+ =-(-5),则 =1, B 关于x 轴对称的点C 坐标为
a b a b .(2) (-4,1)
2- = -2 , =3
100y
(-4,-1), A (4,1), 所以S △ ABC= 1AB × BC =8 .
2 2
A 2 A′
9 .图形如图所示 , S四边形A'B'C'D'= 15.提示 : 由图形可知四边形ABCD D′1 D
2
四个顶点坐标分别为A (-1,2), B (-3,-2), C (-1,-3), D (0,1) . 4 3 21 0 1 2 3 4 x
在直角坐标系内点Mx y 关于y轴对称的点的坐标为 x y 由此可 1
(, ) (- , ), B B′
2
求出A' , B' , C' , D'的坐标 , 所以S四边形A'B'C'D'= 15. C 3 C′ 3
2
题9答案图
. .
10122
11 . (1)13 . (2)6 . (3) 等腰三角形.提示 :(1) 根据两点间的距离公式P 1 P 2= ( x 2- x 1)2 +( y 2- y 1)2
求A B两点间的距离. 根据两点间的距离公式 y y 求A B两点间的距离. 先将A B C三点
、 (2) 2- 1 、 (3) 、 、
置于平面直角坐标系中 然后根据两点间的距离公式分别求得AB BC AC的长度 最后根据三角形的三
, 、 、 ,
条边长来判断该三角形的形状. 4
$
第三期
. .提示 本题的考点在于对平面直角坐标系的熟练运用能力 用 从特殊到一般 的方法入手寻
1 (14,2) : , “ ”
找规律.从图中可以看出 横坐标为 的有一个点 横坐标为 的有 个点 横坐标为 的有 个点 依
, 1 , 2 2 , 3 3 ……
此类推 横坐标为n的有n个点.题目要求写出第 个点的坐标 我们可以通过加法计算算出第 个点
, 100 , 100 5
位于第几列第几行 然后对应得出坐标规律 将行列数代入规律式可得到坐标.
, ,
. .提示 用 从特殊到一般 的方法由图形得出点的个数依次是 且横坐标是偶
2 (13,3) : “ ” 1、2、3、4、5……
数时 箭头朝上 因为 所以 因为
, , 1+2+3+4+…+10=55, 88-55=33; 11+12=23<33,11+12+13=
所以 .因此第 个点的横坐标是 纵坐标是 即第 个点的坐标是
36>33, 88-55-23=10 88 13, 13-10=3, 88
.
(13,3) 6
( )
. 3 4020 .提示 本题运用 从特殊到一般 的解题技巧 先根据点A的坐标为 点D的坐标为
35 : “ ” , (1,0),
2
求出正方形ABCD的边长为 设其面积为S 依此类推 接下来的面积依次为S S S
(0,2) 5, 1=5, , 2, 3, 4……
OA AB AB
第 个正方形的面积为S 又因为三角形相似 所以 1 2 1 1.由此得S 9
2011 2011, , OD=AB=AB =…= 2=5 ,
1 1 2 4
S ( 9 ) 2 所以S ( 9 ) 2011-1 ( 9 ) 2010 . 7
3=5 …… 2011=5 =5
4 4 4
4
.
45
.提示
:
当n为一个奇数平方时
,
设m2
=
n
,
则第n个点坐标为
(
m
,0),
第
(
n
-1)
个为
(
m
,1),
第
!
( n -2) 个为 ( m ,2)…… 到第 ( n - m ) 个前都符合该规律 ,2012=45 2 -13, 所以第 2012 个点的坐标为
(45,13)
.同理
,
当n为一个偶数平方时
,
设m2
=
n
,
则第n个点坐标为
(1,
m
-1),
第
(
n
+1)
个为
(1,
m
),
第n 个为 m 找到如点A或点B这样的关键点的坐标 问题就容易解决了.观察图形可知 本题
+2 (2, )…… , , 8
也运用 从特殊到一般 的解题技巧 到每一横坐标相同的点结束 点的总个数等于最后点的横坐标的平方
“ ” , , ,
并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数 纵坐标为 结束 当横坐标是偶数时 以横坐标为 纵坐标为
, 0 , , 1, (
横坐标减 的点结束 根据此规律解答即可.如 横坐标为 的点结束 共有 个 横坐标为 的点结束 共
1 , : 1 , 1 , 2 ,
!
有 个 横坐标为 的点结束 共有 个 横坐标为 的点结束 共有 个 横坐标为n的点结束 共
2 , 3 , 9 , 4 , 16 ,…… ,
有n2 个
,
第
2025
个点是
(45,0),
第
2012
个点是
(45,13),
所以
,
第
2012
个点的横坐标为
45
.
. .提示 根据题意 根据 从特殊到一般 找规律 可知 ABCD 四条边上的整点共有 个 即
580 : , “ ” , , 1 1 1 1 8 ,
4+4×1=8, A 2 B 2 C 2 D 2 四条边上的整点共有 16 个 , 即 4+4×3=16, 正方形A 3 B 3 C 3 D 3 四条边上的整点
的个数有 依此类推 正方形A B C D 四条边上的整点的个数有 .
4+4×5=24…… , 10 10 10 10 4+4×19=80
. .提示 根据题意 得第一象限里的点分别是A A A 第二象限里的点分别是
6 (-502,502) : , 2, 6, 10……
A A A 第三象限里的点分别是A A A 第四象限里的点分别是A A A 由此可
3, 7, 11…… 4, 8, 12…… 5, 9, 13……
101见 点A 是在第二象限内 而第二象限内点的横坐标是负数 纵坐标是正数 且绝对值相等 并且由观
, 2007 , , , ,
察 推理 归纳得到A A A 因为 所以点A 的坐
、 、 3(-1,1), 7(-2,2), 11(-3,3)…… 2007=4×501……3, 2007
标应该是 .
(-502,502)
. .提示 根据表格中的规律可知 当点P从点O出发 时 可得到整点P的坐标为
75,20 :(1) , 4s , (0,4),
共 个. 从表格规律知当整点P从原点O出发的时间为n 时 可得整
(1,3),(2,2),(3,1),(4,0), 5 (2) s ,
点P的坐标为x y 则x y n 因为 所以当整点P从点O出发 时 可到达整点
(, ), + = , 16+4=20, 20s , (16,
的位置.
4)
8
.
(-25,49),(-502,1005)
.提示
:
设点Pm 的横坐标的绝对值是n
,
则在y轴右侧的点的下标分别
是 n 和 n 在y轴左侧的点的下标是 n 和 n 判断P 的坐标 就是看 n
4 -1 4 -3, 4 -2 4 -1; 99 , 99=4 -1,99=
n n 和 n 这四个式子中哪一个有正整数解 从而判断出点的横坐标.由以上分析可
4 -3,99=4 -2 99=4 -1 ,
得 点P第 次跳动至点P 的坐标是 点P第 次跳动至点P 的坐标是 .
, 99 99 (-25,49); 2009 2009 (-502,1005)
. .提示 先根据P点运动的规律求出经过第 次运动后分别向甲 向乙运动的次数 再分
9 (-3,-4) : 11 、 ,
别求出其横纵坐标即可.由题意 动点P经过第 次运动 那么向甲运动了 次 向乙运动了 次 横坐标
, 11 , 6 , 5 ,
即为 纵坐标为 即P 的坐标是 .
2×6-3×5=-3, 1×6-2×5=-4, 11 (-3,-4)
. .提示 从题目可以得出规律 动点运动的速度是每分钟运动 个单位长度
1030,(21,31) : , 1 ,(0,0)→
用的时间分别是 分钟 分钟 分钟 到 用 分钟 到 用 分钟 到
(1,0)→(1,1)→(0,1) 1 ,2 ,3 , (0,2) 4 , (2,2) 6 ,
用 分钟 到 用 分钟 到 用 分钟 到 用 分钟 依此类推 到 用
(2,0) 8 , (3,0) 9 , (3,3) 12 , (0,4) 16 …… , (5,5) 30
分钟.由上面的结论 我们可以得到在第一象限角平分线上的点从 用 分钟到 用 分钟 到
, (1,1) 2 (2,2) 6 ,
用 分钟 则由n n 到n n 时间增加 n 分钟.故当动点所在位置的坐标是 时
(3,3) 12 , (, ) (+1, +1) 2 +2 (5,5) ,
所经过的时间是 分钟 在第 分钟后 这个动点所在的位置的坐标是 .
30 , 1002 , (21,31)
( )
. 2 .提示 观察各点的坐标可以得到以下规律 点的横坐标的值等于对应的点下
11 (11,16),12,- : ,
3
标的数值.当下标是奇数时 纵坐标是正数 后一偶数项的纵坐标依次比前一偶数项的纵坐标多 故A 的
, , 3, 11
坐标为 当下标是偶数时 纵坐标是负数 后一偶数项的纵坐标依次为前一偶数项的纵坐标的1
(11,16); , , ,
2
( )
2 3 故A 的坐标为 2 .
, …… 12 12,-
3 4 3
. 种.提示
125 :
可先向负方向跳动一次再连续向正方向跳动 次
① 4 ;
向正方向跳动 次 再向负方向跳动 次 再向正方向跳动 次
② 1 , 1 , 3 ;
向正方向跳动 次后 再向负方向跳动 次 再向正方向跳动
③ 2 , 1 , 2;
向正方向跳动 次后 再向负方向跳动 次 再向正方向跳动 次
④ 3 , 1 , 1 ;
向正方向跳动 次后 再向负方向跳动 次.
⑤ 4 , 1
第四期
. .提示 因为在店里花了 分钟买文具 应是一段平行于x轴的线段 是 分钟 而 是
1 D : 10 , ,D 10 , A 20
分钟.
. .
2C
. .
3 D
. .提示 根据题意图像可分为三段 因为 停工几天 中间一段是平的 又因为 施工队随后加快了
4D : , “ ”, ; “
施工进度 由此可知第一段直线的倾斜程度小于第三段.
”,
. .
5C
..
6B
102. 千米 小时.
790 /
. . 2
8 ①②④
. B . 图略.
9 (1)80, (6,160)(2)
. 点A 烧杯中刚好注满水 点B 水槽中水面恰与烧杯中水面齐平.
10 (1) : ; :
(2)20cm
2.提示
:
由图可知
,
烧杯放满需要
18s,
水槽水面与烧杯水面齐平需要
90s,
所以可知
,
烧杯底
面积
∶
长方体底面积
=1∶5,
所以烧杯的底面积为
20cm
2.
(3) 注水速度为 10cm 3/s, 注满水槽所需时间为 200s . 3
. 米 分钟 米 米. 下午 . B .提示 小刚每分钟走
11 (1)80 / ,800 ,1200 (2)① 5:00 ② (20,1100) :(1) 1200÷
步 每步走 2 米 所以小刚上学的步行速度是 2 米 分钟 .小刚家和少
10=120( ), 100÷150= ( ), 120× =80( / )
3 3
年宫之间的路程是 米 .少年宫和学校之间的路程是 米 .
80×10=800( ) 80×(25-10)=1200( )
1200-300 800+300 分钟 所以小刚到家的时间是下午 . 小刚从学校出发 以
(2)① +30+ =60( ), 5:00 ② , 4
45 110
米 分钟的速度行走到离少年宫 米处时实际走了 米 用时 分钟 此时小刚离家 米 所以 $
45 / 300 900 , 20 , 1100 ,
点B的坐标是 .
(20,1100)
5
6
7
!
8
(
!
103
