M
MK@M
`
`
3
在初中数学的学习和教学过程中 往往存在以下一些现象
, .
首先 在各类练习与考试中 同学们对基础题通常十分得心应手 而对较有难度的大题却不知
, , ,
从何下手 一头雾水 其次 每一个对自己有所要求的学生 总是苦于没有适合自己的题目进行系统
, ; , ,
与大量的训练 另外 许多教师限于自身的时间与精力 没有将一些难题进行相对系统化的整理等
; , , .
基于此 我们编写了本套丛书 希望学生能在扎实的基础上进一步提高解题能力 而教师和学
, , ,
生能从此套书中寻找到合适的解法与技巧 为今后的数学教育和升学做好准备 本套丛书主要有
, .
以下特点和作用
.
1 源于教材,高于教材
.
全书内容以教育部制定的 义务教育数学课程标准 为依据 紧扣课本 又高于课本 同学们在
《 》 , , .
不超纲题型的基础上可进一步针对自己需加强的章节进行提高 做到基础与提高的统一
, .
2 经典题型,加深理解
.
本书所选的题目大多都是典型题型的代表 在同学们日常接触的题目的基础上进行内容的改
,
编以及难度的提高 因此 同学们在解题的过程中可以巩固解题技巧 加深对题目的理解 并且可
. , 、 ,
以了解自己的学习情况 做进一步的自我提升
, .
3 剖析难题,拓展思维
.
书后附有参考答案与提示 使得同学们在解题的过程中 可以参考答案中的方法与思路 引导
, , ,
学生将每种方法和思路逐步转化为自己的理解 在思考问题 探索问题的过程中 找到最方便的解
, 、 ,
题技巧 效率得以提高 能力得以增强 思维得以开拓
, , , .
本套丛书适用于中高水平学生的提高 也适用于一线教师在教学中的使用 希望本书较高的实
, ,
用性能帮助同学们在打好基础的同时进行巩固 拓展和提高 帮助教师和学生进行自我提升与灵活
、 ,
使用
.
另外 对于本套丛书 建议与 赢在思维 初中数学拉分题满分训练 配合使用 相信这样能
, , “ ——— ” ,
取得更好的效果
.
最后 希望同学们和老师们能够通过本套丛书收获各自想收获的 同时也希望能够得到读者的
, ,
建议与批评 使我们不断进步
, .目 录
●
1 二次根式 5 一次函数
第一期 二次根式之初步 …………………… 第一期 一次函数之初步……………………
1 52
第二期 二次根式之进阶 …………………… 第二期 一次函数之应用……………………
4 56
第三期 二次根式之综合 …………………… 第三期 一次函数之综合……………………
7 62
2 一元二次方程 6 代数方程
第一期 定义与解法………………………… 第一期 无理方程……………………………
10 66
第二期 根的判别式………………………… 第二期 方程组………………………………
13 69
第三期 韦达定理……………………………
16
第四期 一元二次方程之综合………………
19 7 四边形
第一期 平行四边形…………………………
3 正反比例 72
第二期 正方形………………………………
76
第一期 正比例函数………………………… 第三期 长方形与菱形………………………
23 81
第二期 反比例函数………………………… 第四期 梯形…………………………………
26 89
第三期 正反比例之综合……………………
33
8 概率相关
4 几何证明
第一期 概率初步( ) ………………………
1 93
第一期 中位线……………………………… 第二期 概率初步( ) ………………………
37 2 96
第二期 反证法与运动………………………
41
第三期 勾股定理……………………………
46 参考答案与提示 ……………………
982
1 二次根式
第一期 二次根式之初步 3
题1
对于 a 以下说法正确的是 .
, ( )
.对于任意实数a 它表示a的算术平方根
A , 4
.对于正实数a 它表示a的算术平方根
B ,
.对于正实数a 它表示a的平方根
C ,
.对于非负实数a 它表示a的算术平方根
D ,
题2
已知方程 x y 则此方程的正整数解有几组
(1) +3 = 300, ? 5
方程 x y 的整数解有几组
(2) + = 1998 ?
!
6
题3
化简 3
æ
ç
3
4
3
2
3
1
ö
÷
-1
.
:(1)3è - + ø
9 9 9 7
æ ö
a2 1 ç 1÷ 1 a .
(2) +a2-2÷è1+aø× a(0< <1)
1+
8
$
9
题4
已知 x x2 y y2 求x2 xy y2 x y
:(+ +2013)(+ +2013)=2013, -3 -4 -6 -6 +
的值.
58
1题5 若 m
+
n
-2
和
3
m
-2
n
+2
都是最简二次根式 求m与n的值.
(1) 2 3 ,
如果最简根式3 x +y x y与y+6 x y 是同次根式 且y是偶数 求y的所
(2) 2 - 4 + -2 , ,
有可能值.
题6
设等式 ax a ay a x a a y在实数范围内成立 其中a
(- )+ (- )= - - - , ,
x2 xy y2
x y是两两不同的实数 求3 + - 的值.
, , x2 xy y2
- +
题7
若实数a满足方程a 1 a 1 求a 的值 其中a 表示不超过a的最
= 1-a+ -a, [] ( []
大整数 .
)
题8
在 这 个二次根式中 与 是同
(1) 1000, 1001, 1002,…, 1999 1000 , 2000
类二次根式的共有多少个
?
如果根式 x与 ax的和是一个二次根式 则正整数a的最小值为多
(2) -3 3 2 ,
少 它们的和是多少
? ?
2题9 某同学作业本上有这么一道题 当a 时 试求a a2 a 的值 其中 2
:“ =? , + -2 +1 ”,
处是被墨水弄污的部分 该同学所求得的答案为1 请你判断该同学答案是否
“?” , ,
2
正确 请说出你的道理.
,
3
4
题10
观察下列各式 1 1 1 1 1 1 按照上
1+ =2 , 2+ =3 , 3+ =4 ,…,
3 3 4 4 5 5
述三个等式及其变化过程 回答下列问题.
,
5
猜想 1
① 4+ = ;
6
猜想 1. !
② =15
16
试猜想第n个等式为 并给出证明过程.
③ ,
6
7
题11
若 的整数部分是a 小数部分是b 求a b 2的值.
11-62 , , + +b
8
$
题12
设 的小数部分为b 求证 b 1. 9
39- 432 , : 39- 432=2 +b
3第二期 二次根式之进阶
题1
计算 .
:(1)2 3+ 5- 13+ 48
a2 a2 a4 .
(2) 1+ + 1+ +
a a a a .
(3) +2 -1+ -2 -1
题2
已知x 1 求
x x
的值.
+x=2, x2 x - x2 x
+3 +1 +9 +1
题3
化简 1 1 1 .
: + +…+
2+ 2 32+23 2004 2003+2003 2004
题4
计算 3+22- 3- 6.
(1) :
1+ 2- 3
化简 6+ 3+ 2+2.
(2) :
3+22+1
已知a b a b c 1c 求a b c的值.
(3) + -2 -1-4 -2=3 -3- -5, + +
2
4题5
设x 16 求x5 x4 x3 x2 x 的值.
2
(1) = , +2 -17 - +18 -17
17+1
t t t t
设x +1- y +1+ t取何值时 代数式 x2 xy y2
(2) = t t , = t t , , 20 +41 +20
+1+ +1-
值为
2001?
3
4
题6
已知 x a 1 a 求代数式
x2
+
x
-6
x
+3
x
-2+
x2
-4
x
: = +a (0< <1), x ÷x2 -2 x-x -2- x2 -4 x 5
的值.
!
6
题7 已知 a 3 3 3 求3 3 1的值. 7
: = 4+ 2+ 1, a+a2+a3
8
$
题8
求 的值.
2+ 2+ 2+ 2+… 9
5题9
化简 26 .
:(1)
2+ 3+ 5
3 3
a a a a
a +8 -1 a +8 -1.
(2) + + -
3 3 3 3
题10
计算 1+32-23.
:
2+ 3+ 6
题11
已知x 求
x4
-6
x3
-2
x2
+18
x
+23的值.
=4- 3, x2 x
-8 +15
题12 计算 1+ 2006( 2005- 2004) .
: + 2004
2004+ 2005+ 2006
62
第三期 二次根式之综合
题1
设正整数a m n满足 a2 m n 则这样的a m n有几组取值
、 、 -42= - , 、 、 ?
3
4
题2
解方程 x y z 1 x y z .
: + -1+ -2= (+ + ) 5
2
!
6
题3
设x
n
+1-
n
y
n
+1+
n
且 x2 xy y2 试求整
= n n , = n n , 19 +123 +19 =1985, 7
+1+ +1-
数n.
8
$
9
题4
已知实数a b满足条件 a b
b
化简代数式
æ
ç1 1
ö
÷ a b 2
、 - =a<1, èa-bø· (- -1),
将结果表示成不含b的形式.
7题5
设ax3 by3 cz3 3ax2 by2 cz2 3a 3b 3c 且xyz 求1 1 1
= = , + + = + + , >0, x+y+z
的值.
题6
设x 1 1 1 求证 x .
=1+ + +…+ , :18< <19
2 3 100
题7
已知a b2 b a2 求证 a2 b2 .
1- + 1- =1, : + =1
题8
观察下面的式子
:
s 1 1 s 1 1 s 1 1 s 1 1 .
1=1+ 2+ 2,2=1+ 2+ 2,3=1+ 2+ 2,…,n=1+n2+n 2
1 2 2 3 3 4 (+1)
计算 s s 猜想 s 用含有n的代
(1) : 1= , 3= , n= (
数式表示 .
)
计算 s s s s s 用含有n的代数式表示 .
(2) : = 1+ 2+ 3+…+ n( )
8题9
计算
9a 9a2 9a3 9a8
其中a 的值.
2
9a a+ 9a2 a+ 9a3 a+…+ 9a8 a ( >0)
+ + + +
3
题10
证明 a b a c b ca b c .
(1) : - > + - + (> ≥0,>0) 4
比较 与 的大小.
(2) 1 27- 19
5
!
6
题11 设s 1 1 1 1 1 1
= 1+ + + 1+ + + 1+ + +…
1×1 2×2 2×2 3×3 3×3 4×4
1 1 求与s最接近的整数.
+ 1+ + ,
2002×2002 2003×2003
7
8
$
题12
f x 1 求f f
(1) ( )= 3x2 x 3x2 3x2 x , (1)+ (3)+…+
+2 +1+ -1+ -2 +1
9
f 的值.
(999)
设x y都是正整数 且使 x x y 求y的最大值.
(2) 、 , -116+ +100= ,
92 一元二次方程
第一期 定义与解法
题1
关于x的一元二次方程
(
m
-2)
xm2-2
+2
mx
-1=0
的根是多少
?
题2
已知abc为三角形三个边 求证 ax2 bxx cx2 b是关于x的一元二
、、 , : + (-1)= -2
次方程.
题3 已知x3- a x x3 b -4 x 是关于x 的一元二次方程 求
+3 -10=0, +6 +8=0 ,
a b 2002 a b 2004 的值.
( - ) ×( + )
题4
已知下列nn为正整数 个关于x的一元二次方程 x2 x2 x
( ) : -1=0①, + -2=0
x2 x x2 n x n .
②, +2 -3=0③…… +(-1)- =0
请解上述一元二次方程.
(1)
请你指出这n个方程的根具有什么共同特点 写出一条即可.
(2) ,
10题5 已知实数a b满足b a a 解关于x的方程ax2 b . 2
, = 1-2 + 2 -1-1, + =0
3
题6
已知关于x的方程 (2000 x ) 2 -2001×1999 x -1=0 的较大根为α , 关于x的方程 4
x2 x 的较小根为 β 求α β 的值.
+1998 -1999=0 , -
5
!
题7
解关于x的方程 a2x2 x ax2 a2 x.
: ( - +1)- ( -1)=( -1)
6
7
题8
解关于x的方程 abx2 a4 b4x a3b3 ab .
: -( + )+ =0( ≠0)
8
$
9
题9
解关于x的方程 x x x x .
:(-2)(-1)(+3)(+4)=84
11题10
已知关于x的一元二次方程ax2 bx c a 的一个根是 且ab满足b
+ + =0(≠0) 1, , =
a a 求关于y的方程1y2 c 的根.
-2+ 2- -3, - =0
4
题11
设关于x的方程 x2 x x2 x .分别求出满足这两个
① -|2 -1|-4=0,② - -4=0
方程的所有根之和.
题12
阅读以下材料 按要求解答问题.
,
例 已知实数a bc满足 a b c a2 b2 c 3 求a bc的值.
, , : + +2 =1, + +6 + =0, , ,
2
c c
解 因为a b c 所以a b c.设a 1-2 tb 1-2 t 因
+ +2 =1, + =1-2 = + , = - ①,
2 2
æ c ö2 æ c ö2
为a2 b2 c 3 将 代入 得 ç1-2 t÷ ç1-2 t÷ c 3
+ +6 + =0②, ① ② ,è + ø +è - ø +6 +
2 2 2 2
.
=0
将tc的值同时代入 得a 3 b 3 所以a b 3 c .
, ① ,= , = , = = , =-1
2 2 2
以上解法是采用 均值换元法 解决问题的.一般地 若实数x y满足x y m
“ ” , , + = ,
m m
则可设x ty t 合理运用这种换元技巧 可顺利解决这类问题.现请
= + , = - , ,
2 2
你根据上述方法尝试解决下面问题
:
已知实数a bc满足a b c a2 b2 c2 求a bc的值.
(1) , , + + =6, + + =12, , ,
已知实数x y满足 x2 xy y2 设s x2 y2 求 1 1 的值.
(2) , 4 -5 +4 =5, = + , s +s
max min
s 为s的最大值 s 为s的最小值
(max , min )
122
第二期 根的判别式
题1
已知关于x的方程x2 x n 有两个不相等的实数根.
-2 -2 =0
求n的取值范围.
(1) 3
若n 且方程的两个实数根都是整数 求n的值.
(2) <5, ,
4
5
题2
已知关于x的方程x2 x x2 x p p2 其中p是实数.
+2 +2 +2 +2 - =0,
(1)
若方程没有实数根
,
求p的范围.
若p 问p为何值时 方程有两个相等的实数根 并求出这两个根. !
(2) >0, , ?
6
7
题3 当a b为何值时 关于x的方程x2 ax a2 ab b2 有
, , +2(1+ ) +(3 +4 +4 +2)=0
实根
?
8
$
9
题4
若关于x的方程x2 x k x2 x k x2 x k 有实根 求实
( -2 + )( -3 + +4)( -4 - +8)=0 ,
数k的取值范围.
13ï ì ï x2 +4 mx +4 m2 +2 m +3=0,
题5
设三个方程íx2 m x m2 中至少有一个方程有实数根 求m的取
ïï +(2 +1)+ =0, ,
îm x2 mx m
( -1) +2 + -1=0
值范围.
题6
已知a是关于x的一元二次方程x2 x 的两个实数根中较小的根 求
-4 +1=0 ,(1)
a a2 a2 a
a2 a 的值 化简求值1-2 + -2 +1 1.
-4 +2012 ;(2) a - a2 a -a
-1 -
题7
已知关于x的一元二次方程ax2 bx c a .
+2 + =0(>0)①
若方程 有一个正实根c 且 ac b .求b的取值范围.
(1) ① , 2 + <0
当a 时 方程 与关于x的方程 x2 bx c 有一个相同的非零实
(2) =1 , ① 4 +4 + =0②
b2 c
根 求8 - 的值.
, b2 c
8 +
题8
关于x的方程2
k
-1 1+
kx
只有一个实数解 那么k的值是多少
x = x , ?
-1
14题9 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2 x a 的两根 当这样的三角 2
-6 + =0 ,
形只有一个时 求a的取值范围.
,
3
题10
已知a bc为三角形的三条边长 求证 关于x的一元二次方程b2x2 b2 c2
, , , : +( +
-
a2
)
x2
+
c2
=0
没有实数根.
4
5
题11
已知关于x的方程x2 m x m2 有两个不相等的实数根 化简
+2( +1) + +5=0 , :
!
m m2 m .
1- + -4 +4
6
题12 已知关于x的方程x2 k x k 有两个不相等的实数根. 7
- 2 +4 + =0
求k的取值范围. 化简 k k2 k .
(1) (2) : - -2 + -4 +4
8
$
题13
已知x y z 求证 y2 xz.
(1) - + =0, : ≥4
已知a bc都是实数 证明 a b2 c a b c. 9
(2) , , , :(- )≥(-2 )(2 - )
15第三期 韦达定理
题1
将关于x的代数式x2 x2 1 1 x x x x x3 x3 x3 x3
1+ 2,x+x,(1+ 1)(1+ 2), 1- 2 , 1+ 2, 1- 2
1 2
都用x x xx 表示.
1+ 2, 1 2
题2
已知关于x的方程x2 mx m2 x的两个实数根x x 满足 x x 求
-2 =- +2 1、 2 1 = 2,
实数m的值.
题3
已知关于x的一元二次方程ax2 bx c a 的两根之比为 求证
+ + =0(≠0) 2∶1, :
b2 ac.
2 =9
题4
设a b是一元二次方程x2 x m 的两个根 试求代数式a3 b3 a3b
, - + =0 , + +3( +
ab3 a3b2 a2b3 的值.
)+6( + )
16题5 已知关于x的一元二次方程x2 kx . 2
+ (-1)-1=0
求证 无论k取何值 这个方程总有两个实数根.
(1) : ,
(2)
是否存在正数k
,
使方程的两个实数根x
1,
x
2
满足x2
1+
kx
1+2
x
1
x
2=7-3(
x
1
x 若存在 试求出k的值 若不存在 请说明理由.
+ 2)? , ; ,
3
4
题6
设 a b 且关于x的方程x2 ax b 有实根.求证 关于x的方程
+ <1, + + =0 :
5
x2 ax b 的两根的绝对值均小于 .
+ + =0 1
!
6
题7 已知关于x的方程 x2 m nx mn 且m n .求证 这个方程的两根
2 -(3 + )+ =0, > >0 :
中 有一个比n大 另一个比n小.
, , 7
8
$
题8
已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 的两根为αβ 且两个关于x的方程
+ + =0 , ,
x2 α x β2 与x2 β x α2 有唯一的公共根 求a b c的关
+(+1)+ =0 +(+1) + =0 , , ,
系式. 9
17题9
已知关于x的方程mx2 x n 的两根分别是关于x的方程 x2 mx n
+3 -2 =0 3 - +2 =
两根的倒数 求m n的值.
0 , ,
题10
当m为何值时 关于x的方程x2 mx 与关于x的方程x2 x m
, + -3=0 -4 -( -1)
有一个公共根 并求出这个公共根.
=0 ?
题11
已知x x 是关于x的方程x2 x m 的两个不相等的实数根 设s
1, 2 -3 + =0 , =
x2 x2.
1+ 2
求s关于m的关系式 并求自变量m的取值范围.
(1) ,
当函数值s 时 求x3 x 的值.
(2) =7 , 1+8 2
题12
设x x 为二次方程x2 x 的两个根 那么x3 x2 的值是多少
1, 2 + -3=0 , 1-4 2+19 ?
题13
已知n为正整数 , 二次方程x2 +(2 n +1) x + n2 =0 的两个根为α n, βn, 求下式的
值 1 1 1 .
:α β +α β +…+α β
(3+1)(3+1) (4+1)(4+1) (20+1)(20+1)
182
第四期 一元二次方程之综合
题1
已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 没有实数根 甲由于看错了二次项系
+ + =0 ,
数 误求得两个根为x x 乙由于看错了某一项系数的符号 误求得两个
, 1=2, 2=4; , 3
b c
根x x 求 +2 的值.
1=-1, 2=4,
3
a
4
题2
若x x 是关于x的方程x2 bx c 的两个实数根 且x x k k
1, 2 + + =0 , | 1 + 2 =2 |(
是整数 则称方程x2 bx c 为 偶系二次方程 .例如 方程x2 x
), + + =0 “ ” , -6 -27= 5
0,
x2
-2
x
-8=0,
x2
+3
x
-
27
=0
都是
“
偶系二次方程
”
.
4
(1) 判断方程x2 + x -12=0 是否是 “ 偶系二次方程 ”, 并说明理由. !
对于任意一个整数b 是否存在实数c 使得关于x的方程x2 bx c 是 偶
(2) , , + + =0 “
系二次方程 并说明理由.
”, 6
7
题3
已知关于x的方程mx2 x 有两个实数根x 和x 关于y的方程
-14 -7=0 1 2,
y2 n y n2 n 有两个实数根y 和y 且 y y .当 8
-2(-1)+ -2 =0 1 2, -2≤ 1< 2≤4
2 6 y y2 时 求m的取值范围.
x x -xx +2(2 1- 2)+14=0 , $
1+ 2 1 2
9
题4
设a b c 当a b c a2 b2 c2 时 求a b和a2 b2 的范围.
> > , + + =1, + + =1 , + +
19题5
已知x y z都是实数 x y z a x2 y2 z2 1a2 且a .求证 x y z
, , , + + = , + + = >0 : , ,
2
a
都是不大于2 的非负实数.
3
题6
若实数m nl满足m n 和mn l2 .求证 m n l .
, , - =8 + +16=0 : + + =0
题7
已知实数a bc 且a b c abc .求证 a bc中至少有一个大于3.
, , , + + =0, =1 : , ,
2
题8
已知x y z是实数 并且满足x y z xyz .求 x y z 的最
, , , + + =0, =2 | |+| |+||
小值.
20题9 已知正数a b c x y z满足条件a x b y c z k.求证 ax by 2
, , , , , + = + = + = : + +
cz k2.
<
3
4
题10
已知实数m
,
n满足
3
m2
-5
m
-7=0,7
n2
+5
n
-3=0,
且mn
≠1,
求m
+n
1的值.
5
!
6
题11
已知方程x2 a x a 的两根都是整数 求这两个根.
+(-6)+ =0 ,
7
8
题12
设n为自然数 αβ 是一元二次方程x2 n x n 的两个实数根 请
, 、 +2(+1)+6 -5=0 ,
构造新方程 使新方程的两根分别是αβ 的整数部分. $
, 、
9
21题13
已知关于x的方程kx2 k x k .
-(3 -1)+2 -2=0
判断命题 无论k为何值 方程总有两个实数根 的真假 如果是真命题 请给
(1) “ , ” , ,
出证明 如果是假命题 请举一个反例.
; ,
若k 设方程的两个实数根分别为x x 其中x x 当k的取值范围
(2) ≠0, 1, 2( 1< 2),
k2
满足什么条件时 x x x 成立
, 1(1- 2)+ 2< ?
2
题14
已知实数p qr满足p q pq r2 r 求pq r4 的值.
, , + =6, - +42 =17, -
题15
已知关于x的方程x2 k x k2 . 当k满足什么条件时 此方程有
-(2 -3)+ +1=0 (1) ,
实数根 若此方程的两个实数根x x 满足 x x 求k的值.
? (2) 1, 2 2| 1|=5-2| 2|,
题16
已知关于x的方程x2 x 的两个根为ab.设c a bc a2 b2
-2 -12=0 , 1= + ,2= + ,…,
c an bnn是正整数 . 求c 的值. 求证 c c c .
n= + ( )(1) 3 (2) :n +1=2n+12n -1
222
3 正反比例
第一期 正比例函数 3
题1
已知y
=(2
m
-1)
xm2-3 是正比例函数
,
且函数图像经过第一
、
三象限
,
求m的值.
4
题2
已知y与x 成正比例 z 与y成正比例 且当x 时 y 当y
+2 , -4 , =-3 , =-6; =6 5
时 z .求x 3 4时z的值.
, =-2 = -
2 3
!
6
题3
甲车从A地出发匀速驶往B地 同时乙车从B地出发匀速驶往A地.如图所示为
7
,
甲
、
乙两车在全程行驶的过程中
,
离各自出发地的路程y
(
千米
)
与出发时间x
(
时
)
的函数图像.
A B两地相距多少千米 甲车的速度为多少千
(1) 、 ? y/
米 时
/ ? 180
8
当乙车距A地的路程为A B两地距离的1时
(2) 、 ,
3
$
甲车刚好行驶了 千米.求此时乙车到达A地还需
80 O 3 x/
行驶多长时间.
题3图
9
23题4
已知正比例函数y kx经过点A 点A在第四象限 过点A作AH x轴 垂足
= , , ⊥ ,
为点H 点A的横坐标为 且 AOH的面积为 .
, 3, △ 3
求正比例函数的解析式.
(1)
在x轴上能否找到一点P 使 AOP的面积为 若存在 求点P的坐标 若
(2) , △ 5? , ;
不存在 请说明理由.
,
题5
在平面直角坐标系中 O为坐标原点 点A的坐标为 在直线y 3x上取
, , (1,0), =
3
一点P 使 OPA是等腰三角形 求所有满足条件的点P的坐标.
, △ ,
题6
蜡烛被燃烧的长度与燃烧的时间成正比例关系.实验表明 长为 厘米的某种蜡
, 21
烛 点燃 分钟后 蜡烛变短 .厘米 设蜡烛点燃x分钟后变短了y厘米 求
, 6 , 36 , , :
用x表示y的函数解析式.
(1)
求自变量x的取值范围.
(2)
此蜡烛多少分钟燃烧完
(3) ?
题7
年 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥 候鸟 套上标志环 大约 天后 人们在
1996 , ( ) , 128 ,
. 万千米外的澳大利亚发现了它.
256
这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米
(1) ?
这只燕鸥的行程y 千米 与飞行时间x 天 之间有什么关系
(2) ( ) ( ) ?
这只燕鸥飞行一个半月 一个月按 天计算 的行程大约是多少千米
(3) ( 30 ) ?
24题8 已知直线L y x和点P 在直线L 上求一点Q 使过点P 点Q的直 2
1: =4 (6,4), 1 , ,
线与直线L 以及x轴在第一象限内所围成的三角形面积最小.
1
3
题9
如图所示 已知正方形ABCD的边长是 厘米 动点P从点B出发 沿BC CD
, 3 , , 、 、 4
DA方向运动至点A停止.设点P运动的路程为x厘米 ABP的面积为y平方
,△
厘米.
当动点P在BC上运动时 求y关于x的解析式及其定义域.
(1) ,
当动点P在CD上运动时 求y关于x的解析式及其定义域.
(2) ,
5
当x取何值时 ABP的面积为 .平方厘米
(3) ,△ 15 ?
D C D P C
!
P
6
A B A B
(1) (2)
题9图
7
8
$
9
25第二期 反比例函数
题1
已知反比例函数y
k
k为常数 k 的图像经过P O为坐标原点.
=x( , ≠0) (3,3),
求k的值.
(1)
过点P作PM x轴于点M 若点Q在反比例函数图像上 并且S 试
(2) ⊥ , , △ QOM=6,
求Q点的坐标.
题2
过反比例函数y 2 x 的图像上任意两点A BA在B的左端 分别作x
=x( >0) 、 ( ),
轴的垂线 垂足为A' B' 连接OA OB AA'与OB的交点为P 记 AOP与梯
, 、 , 、 , , △
形PA'B'B的面积分别为S S 试比较S 与S 的大小.
1、 2, 1 2
题3
如图所示 双曲线y
k
k 经过矩形OABC的边BC的中点E 交AB于点D.
, =x(>0) ,
若梯形ODBC的面积为 则k为多少
3, ?
y
D
A B
E
O C x
题3图
26题4 如图所示 已知正方形OABC的面积为 点O为坐标原点 A在x轴上 C在y 2
, 9, , ,
k k
轴上 B在函数y k x 的图像上 点Pm n 是函数y k
, =x(>0, >0) , ( , ) =x(>0,
x 图像上异于B的任意一点 过点P分别作x轴 y轴的垂线 垂足为点E
>0) , 、 , 、
点F.设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的 如图中所标 面积为S.
( )
3
求点B的坐标和k的值.
(1)
当S 9时 求点P的坐标.
(2) = ,
2
y
4
C B
P
F
S
O A E x
5
题4图
!
题5 如图所示 点A 点C都在函数y 33x 的图像上 点B 点D都在x轴
, 、 = x ( >0) , 、
上 且使得 OAB BCD都是等边三角形.求点D的坐标. 6
, △ 、△
y
A
C 7
O B D x
题5图
8
k k
题6 已知两个反比例函数y 1和y 2 其中k k 在第一象限内的图像曲线依
=x =x( 1> 2>0) $
次是c 和c.设点P在c 上 PE x轴于点E 交c 于点A PD y轴于点D
1 2 1 , ⊥ , 2 , ⊥ ,
交c 于点B.求四边形PAOB的面积.
2 9
27题7
如图所示为反比例函数y 5和y 3在第一象限内的图像 在y 3上取点M
=x =x , =x
分别作两坐标轴的垂线交y 5于点A 点B 连接OA OB 则图中阴影部分的
=x 、 , 、 ,
面积为多少
?
y 5
y
x
A
M B
D
3
y
x
O C x
题7图
题8
如图所示 过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线 分别与反比例函数
, ,
y 4和y 2的图像交于点A 点B.若点C是x轴上任意一点 连接AC
=-x =x 、 , 、
BC 求 ABC的面积.
, △
y
P
A B
C O x
题8图
题9
如图所示 在长方形AOCB中 点C 点A分别在x轴和y轴上 边AB BC分别
, , 、 , 、
k
与双曲线y 相交于点Q 点P 点P是BC的中点.若图中阴影部分面积为
=x 、 , 2,
求这条双曲线的函数解析式.
y
Q B
A
P
O C x
题9图
28题10
如图所示 正方形ABCD的顶点C在反比例函数y
k
x 上 把该正方形
2
, =x( >0) ,
ABCD绕其顶点C顺时针旋转 得到四边形A'B'CD' A'D'边恰好在x轴正半
180° ,
轴上 已知A .
, (-1,6)
求k的值.
(1)
k 3
若A'B'与y 交于点E 求 BCE的面积.
(2) =x , △
y
A D
4
C
B B′
E
O D′ A′ x
题10图 5
题11
已知
:△
OAB在平面直角坐标系中
,
点A 的坐标为
(-1,3),
点B的坐标为
.将 OAB沿x轴向右平移a个单位 若 OAB的一顶点恰好落在反比 !
(-2,1) △ , △
例函数y 3 x 的图像上 求a的值.
=x(>0) ,
6
7
题12
已知 关于x的反比例函数y
n
n 的图像上依次有点P x y P x y
: =x(≠0) 1(1,1),2(2,2),
8
P x y P x y 若x nn x n n x
3(3, 3),…, 2012(2012, 2012), 1= (+1), 2=(+1)(+2), 3=
n n x n n 且y y y y 1 $
(+2)(+3),…, 2012=(+2011)(+2012), 1+ 2+ 3+…+ 2012= ,
2
试确定n的值.
9
29题13
某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益.
通过测算 今年开关的年产量y 万只 与投入的改造经费x 万元 之间满足 y
: ( ) ( ) 3-
与x 成反比例 且当改造经费投入 万元时 今年的年产量是 万只.
+1 , 1 , 2
求年产量y 万只 与改造经费x 万元 之间的函数解析式.不要求写出x的
(1) ( ) ( ) (
取值范围
)
已知每生产 万只开关所需要的材料费是 万元.除材料费外 今年在生产中
(2) 1 8 , ,
全年还需支付出 万元的固定费用.
2
求 平均每只开关所需的生产费用为多少元 用含y的代数式表示 生产费
① : ? ( )(
用 固定费用 材料费
= + )
如果将每只开关的销售价定为 平均每只开关的生产费用的 .倍 与 平均每只
② “ 15 ” “
开关所占改造费用的一半 之和 那么今年生产的开关正好销完.问 今年需投入
” , :
多少改造经费 才能使今年的销售利润为 .万元 销售利润 销售收入 生产
, 95 ? ( = -
费用 改造费用
- )
题14
阅读下面的材料 解决问题.
,
若a b都是非负实数 则a b ab.当且仅当a b时 成立.
, , + ≥2 = ,“=”
证明 因为 a b 2 所以a ab b 所以a b ab.当且仅当
: ( - )≥0, -2 + ≥0, + ≥2
a b时 成立.
= ,“=”
举例应用 已知x 求函数y x 2的最小值.
: >0, =2 +x
解 y x 2 x 2 .当且仅当 x 2 即x 时 成立.
: =2 +x≥2 2 ·x=4 2 =x, =1 ,“=”
当x
=1
时
,
函数取得最小值
,
y最小=4 .
问题解决
:
30汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度.某种汽车以每小时 千米的行 2
70~110
æ ö
驶速度行驶时 含 千米和 千米 每千米耗油ç1 450÷升.若该汽车以每小
( 70 110 ), è +x2 ø
18
时x千米的速度匀速行驶 小时的耗油量为y升.
,1
求y关于x的函数关系式 写出自变量x的取值范围 .
(1) ( )
求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量 结果保留小数点后一位 . 3
(2) ( )
4
5
!
题15
保护生态环境 建设环境友好型社会已经从理念变为人们的行动.某市一家企业由
,
于排污超标 于 年 月起适当限产 并投入资金进行治污改造 月底治污改 6
, 2010 2 , ,5
造工程顺利完工.已知该企业 年 月的利润为 万元 设第x个月的利润
2010 1 200 ,
为y万元 年 月为第 个月 .当 x 时 y与x成反比例 当x 时
(2010 1 1 ) 1≤ ≤5 , ; >5 ,
该企业每月的利润比前一个月增加 万元.
20
分别求 x 和x 时 y与x之间的函数关系式.
(1) 1≤ ≤5 >5 , 7
治污改造工程完工后经过几个月 该企业月利润才能达到 年 月的水平
(2) , 2010 1 ?
当月利润少于 万元时为该企业资金紧张期 问该企业资金紧张期共有几
(3) 100 ,
个月
?
8
$
9
31题16
码头工人往一艘轮船上装载货物.装完货物所需时间y 分钟 与装载速度x 吨 分
( ) ( /
钟 之间满足反比例函数关系 图像如图所示.
) ,
这批货物的质量是多少
(1) ?
若b c 分钟 请根据图中提供的信息求bc d的值.
(2) - =40( ), 、 、
y
480
b
c
O 2 d 1 x
(1 )d
3
题16图
题17
结合所给的阅读材料解决问题.
材料 在直角坐标系中 如果有两点Aa b Ba 那么称点B是点A在x
: , (, ), (,0),
轴上的射影.
问题 如图所示 测得飞机的运动曲线是双曲线 飞机在点 M 的坐标为
: , ,
炮弹在点O处沿α角向飞机射击 在点N处命中目标 此时
(-45003,1125), , ,
点N在x轴上的射影坐标为 已知α 炮弹飞行速度为
(-22503,0), =30°, 750
米 秒.
/
问 炮弹从发射到击中目标用了多长时间
: ?
y
N
M
a
O x
题17图
322
第三期 正、 反比例之综合
题1
如图所示 已知直线y 1x与双曲线y
k
k 交于A B两点 且点A的横
, = =x(>0) 、 ,
4
坐标为 . 3
8
求k的值
(1) ; y
k
利用图像解关于x的不等式 1x .
(2) : >x
4
A 4
O x
B
5
题1图
题2
已知y = y 1+ y2 2, 其中y 1 与x成正比例 , y 2 与x成反比例 , 且当x =2 和x =3
!
时 y的值都为 求y与变量x的函数关系式.
, 19,
6
7
题3
如图所示 在平面直角坐标系中 正比例函数y x的图像与反比例函数y
k
, , =- =x 8
的图像交于A
、
B两点.
根据图像求k的值. $
(1)
若点P在y轴上 且满足以点A B P为顶点的三角形是直角三角形 试写
(2) , 、 、 ,
出点P所有可能的坐标.
y 9
A
1 O x
B
题3图
33题4
如图所示 图中正比例函数与反比例函数的图像相交于A B两点 分别以A B
, 、 , 、
两点为圆心 画与y轴相切的两个圆 若A点的坐标为 则图中两个阴影部
, , (1,2),
分面积的和为多少
? y
A
O x
B
题4图
题5
正比例函数y x与反比例函数y 1的图像交于A C两点 AB x轴于点B
= =x 、 , ⊥ ,
CD x轴于点D 求四边形ABCD的面积.
⊥ ,
题6
已知双曲线y
k
k 与过原点的两条直线l l 相交 交点A P在第一象
=x(>0) 1、2 , 、
限 交点B Q在第三象限.已知点A P的横坐标分别为m n.
, 、 、 ,
求点B的坐标.
(1)
四边形APBQ能否为矩形 能否为正方形 如有可能 写出m n满足的条
(2) ? ? , ,
件 如不可能 请说明理由.
, ,
34题7 某医药研究所开发一种新药 成年人按规定的剂量服用 服药后每毫升血液中的 2
, ,
含药量y 毫升 与时间t小时 之间的函数关系近似满足如图所示的曲线.当每毫
( ) ( )
升血液中的含药量不少于 . 毫克时治疗有效 求服药一次治疗疾病有效的时间.
025 ,
y
4
3
3
m
2 y t
1 y kt
O 1 t 4
题7图
题8
如图所示 正比例函数y 1x的图像与反比例函数y
k
的图像交于A B两点
, = =x 、 , 5
3
点A的横坐标为 .
6
求反比例函数的表达式.
(1)
!
点P为此反比例函数图像上的一点 且点P的纵坐标为 求 AOP的面积.
(2) , 4, △
y
P 6
A
O x
B
7
题8图
题9
如图所示 已知直线y 1x与双曲线y
k
k 交于A B两点 且点A的横
, = =x(>0) 、 , 8
2
坐标为 .
4
求k的值. $
(1)
k
过原点O的另一条直线l交双曲线y k 于
(2) =x(>0)
y 9
P Q两点 P点在第一象限 若由点A B P Q为
、 ( ), 、 、 、
顶点组成的四边形面积为 求点P的坐标.
24,
A
O x
B
题9图
35题10
已知函数y
k
k 在其图像上取点A b 过点A 作AM x轴于点
=x(>0), 1(1,1), 1 1 1⊥
M 再在其图像上取点A b 过点A 作AM x轴于点M AP
1; 2(2, 2), 2 2 2⊥ 2, 2 1⊥
AM 于点P 再在其图像上取点A b 过点A 作AM x轴于点M
1 1 1; 3(3, 3), 3 3 3⊥ 3,
AP AM 于点P 依此类推 AAP 的面积记为S AAP 的面
3 2⊥ 2 2 2…… ,△ 1 2 1 1,△ 2 3 2
积记为S
2……
若S S S S 180 求该反比例函数的解析式.
(1) 1+ 2+ 3+…+ 60= ,
61
对任意正整数n S S S S 的值能否大于 请说明理由.
(2) , 1+ 2+ 3+…+ n 3?
362
4 几何证明
第一期 中位线 3
题1
如图所示 在 ABC中 ACB 点E F分别是AD AB的中点 AD
, △ ,∠ =90°, 、 、 , =
BD.证明 CF是 ECB的平分线.
: ∠ 4
A
F
E
C D B 5
题1图
!
题2
如图所示 M是 ABC的边BC的中点 AN平分 BAC BN AN于点N 延
, △ , ∠ , ⊥ ,
长BN交AC于点D 已知AB BC MN . 6
, =10, =15, =3
求证 BN DN.
(1) : = A
(2) 求 △ ABC的周长. 1 2
D
N
7
B M C
题2图
8
题3 如图所示 四边形ABCD中 AD BC E F分别为AB CD的中点 AD BC
, , > , 、 、 , 、 $
的延长线分别与EF的延长线交于点H G 求证 AHE BGE.
、 , :∠ <∠
H
9
G
D
F C
A E B
题3图
37题4
如图所示 在四边形ABCD中 E为AB上一点 ADE和 BCE都是等边三角
, , ,△ △
形 AB BC CD DA的中点分别为P Q M N.试判断四边形PQMN为怎样
, 、 、 、 、 、 、
的四边形 并证明你的结论.
,
D
M
C
N
Q
A P E B
题4图
题5
如图所示 点D是 ABC中AB边上的中点 BCE和 ACF都是等边三角形
, △ ,△ △ ,
M N分别是CE CF的中点. 求证 DMN是等边三角形. 连接EF Q
、 、 (1) :△ (2) ,
是EF的中点 CP EF于点P 证明 DP DQ.
, ⊥ , : =
F
N
E
M
C
A D B
题5图
题6
在 ABC中 AC AB M 为BC的中点 AD是 BAC的角平分线 CF AD
△ , > , , ∠ , ⊥
且交AD的延长线于点F 求证 MF 1 AC AB .
, : = ( - )
2
A
B DM
C
F
题6图
38题7 如图所示 在 ABC和 PQD中 D E分别是AB AC的中点 点P在直线BC 2
, △ △ , 、 、 ,
上 连接EQ交PC于点H.AC BC DP DQ C PDQ 猜想线段EH与
, = , = ,∠ =∠ ,
AC的数量关系 并证明你的猜想.
,
A
D E 3
P
B H C
Q
题7图 4
题8
如图所示 已知AD与BC相交于点E BD CD ADB
, ,∠1=∠2=∠3, = ,∠ =90°,
CH AB于点H CH交AD于点F.
⊥ ,
5
求证 CD AB.
(1) : ∥
求证 BDE ACE.
(2) :△ ≌△ D C
!
若O为AB中点 求证 OF 1BE.
(3) , : = E
2 F
1 4
2 3
6
B O H A
题8图
7
题9 如图所示 ABM为直角 点C为线段AB的中点 点D是射线BM上的一个动
,∠ , ,
点 不与点B重合 .连接AD 作BE AD 垂足为E 连接CE 过点E作FE
( ) , ⊥ , , , ⊥
CE 交BD于点F. 8
,
求证 BF FD.
(1) : =
A在什么范围内变化时 四边形ACFE是梯形 请说明理由. $
(2)∠ , ?
A在什么范围内变化时 线段DE上存在点G 满足条件DG 1DA 请说
(3)∠ , , = ?
4 9
明理由.
A
E
C
B F D M
题9图
39题10
如图所示 在 ABC和 CDE中 AB AC DC DE M 为BE中点.求
, Rt△ Rt△ , = , = ,
证 AM DM且AM DM.
: = ⊥
E A
D
M
C B
题10图
题11
如图所示 在 ABC中 过点A作 ABC与 ACB的外角平分线的垂线 垂足
, △ , ∠ ∠ ,
为M N.设 ABC的三边长BC CA AB分别为a bc 求线段MN的长度.
, △ , , , , ,
A
N
M
B C
题11图
题12
已知两个共一个顶点的等腰 ABC和 CEF ABC CEF .连接
Rt△ Rt△ ,∠ =∠ =90°
AF M是AF的中点 连接MB ME.
, , 、
如图 所示 当CB与CE在同一直线上时 求证 MB CF.
(1) (1) , , : ∥
如图 所示 若CB a CE a 求BM ME的长.
(2) (1) , = , =2 , ,
如图 所示 当 BCE 时 求证 BM ME.
(3) (2) , ∠ =45° , : =
E F E
M
B
A B A
M
C C F
(1) (2)
题12图
402
第二期 反证法与运动
题1
证明 如图所示 在四边形ABCD中 AB BD AC CD
C
: , , + ≤ + ,
求证 AB AC.
: < 3
D
B
4
A
题1图
题2
如图所示 在 ABC中 P为三角形内一点 AB AC APB APC 求证
, △ , , = ,∠ ≠∠ , : 5
PB PC.
≠
A
!
6
P
B C
题2图
题3
如图所示 , 在 △ ABC中 , AB > AC , AD是 ∠ BAC的角平分线 , AM是BC边上的 7
中线 求证 点M不在线段CD上.
, : A
8
B C
MD
题3图 $
题4
如图所示 在 ABC中 点D E分别在边AC AB上 BD与CE交于点O.求
9
, △ , 、 、 ,
证 BD和CE不可能互相平分.
: A
E D
O
B C
题4图
41题5
如图所示 在 ABC中 C AC CB .两个动点P Q分别从
, △ ,∠ =90°, =3cm, =4cm 、
A C两点同时按顺时针方向沿 ABC的边运动.当点Q运动到点A时 P Q两
、 △ , 、
点运动即停止.点P Q 的运动速度分别为 设点P 运动时间
、 1cm/s、2cm/s,
为t .
(s)
当时间t为何值时 以P C Q三点为顶点的三角形的面积 图中的阴影部
(1) , 、 、 (
分 等于
2
) 2cm ?
当点P Q运动时 阴影部分的形状随之变化.设PQ与 ABC围成的阴影部
(2) 、 , △
分的面积为S
2
求出S与时间t的函数关系式 并指出自变量t的取值范围.
(cm ), ,
点P Q在运动的过程中 阴影部分面积S有最大值吗 若有 请求出最大
(3) 、 , ? ,
值 若没有 请说明理由.
; ,
C
Q
P
A B
题5图
题6
如图 所示 四边形ABCD中 AB CB ABC ADC 请
(1) (1) , , = ,∠ =60°,∠ =120°,
你猜想线段AD CD之和与线段BD的数量关系 并证明你的结论.
、 ,
如图 所示 四边形ABCD中 AB BC ABC 若点P为四边形
(2) (2) , , = ,∠ =60°,
ABCD内一动点 且 APD 请你猜想线段PA PD PC之和与线段BD
, ∠ =120°, 、 、
的数量关系 并证明你的结论.
,
A
A
D
P
B B D
C C
(1) (2)
题6图
42题7 如图所示 将一三角板放在边长为 的正方形ABCD上 并使它的直角顶点P在 2
, 1 ,
对角线AC上滑动 直角的一边始终经过点B 另一边与射线DC交于点Q.探究
, , :
设A P两点间的距离为x.
、
当点Q在边CD上时 线段PQ与PB之间有怎样的数量关系 试证明你的
(1) , ?
猜想.
3
当点Q在边CD上时 设四边形PBCQ的面积为y 求y与x之间的函数关
(2) , ,
系 并写出函数自变量x的取值范围.
,
当点P在线段AC上滑动时 PCQ是否可能成为等腰三角形 如果可能 指
(3) ,△ ? ,
出所有能使 PCQ成为等腰三角形的点Q的位置 并求出相应的x值 如果不可
△ , ;
4
能 试说明理由.
,
A D
P
Q
5
B C
!
题7图
6
题8
如图所示 在平面直角坐标系中 矩形AOBC在第一象限内 E是边OB上的动点
, , ,
不包括端点 作 AEF 使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F 设 7
( ), ∠ =90°, ,
点Cm n .
( , )
若m n时 见图 求证 EF AE
(1) = , (1), : = ;
若m n时 见图 试问边OB上是否还存在点E 使得EF AE 若存
(2) ≠ , (2), , = ?
在
,
请求出点E的坐标
;
若不存在
,
请说明理由.
8
y y
$
F
A C A C
F 9
O E B x O E B x
(1) (2)
题8图
43题9
点A B C在同一直线上 在直线AC的同侧作 ABE和 BCF 连接AF CE.
、 、 , △ △ , ,
取AF CE的中点M N 连接BM BN MN.
、 、 , , ,
若 ABE和 FBC是等腰直角三角形 且 ABE FBC 见图
(1) △ △ , ∠ =∠ =90°, (1),
则 MBN是 三角形.
△
在 ABE和 BCF中 若BA BE BC BF 且 ABE FBC α 见图
(2) △ △ , = , = , ∠ =∠ = ,
则 MBN是 三角形 且 MBN .
(2), △ , ∠ =
若将 中的 ABE绕点B旋转一定角度 见图 其他条件不变 那么
(3) (2) △ , (3), , (2)
中的结论是否成立 若成立 给出你的证明 若不成立 写出正确的结论并给出
? , ; ,
证明.
F
F F
E
M
M E E M
N A N
N
A B C A B C B C
(1) (2) (3)
题9图
题10
以 ABC的两边AB AC为腰分别向外作等腰 ABD 和等腰 ACE
△ 、 Rt△ Rt△ ,
BAD CAE 连接DE M N 分别是BC DE的中点.探究 AM 与
∠ =∠ =90°, , 、 、 :
DE的位置及数量关系.
如图 所示 当 ABC 为直角三角形时 AM 与DE 的位置关系是
(1) (1) , △ ,
线段AM与DE的数量关系是 .
,
如图 所示 当 BAC 时 那么第 问中得到的两个结论是否发生改
(2) (2) , ∠ ≠90° , (1)
变 并说明理由.
?
D D
N
N
E
E
A
A
B M C B M C
(1) (2)
题10图
44题11 如图 所示 已知 ABC ABE是等边三角形 点P为射线BC上任意 2
(1) , ∠ =90°,△ ,
一点 点P与点B不重合 连接AP 将线段AP绕点A逆时针旋转 得到线段
( ), , 60°
AQ 连接QE并延长交射线BC于点F.
,
如图 所示 当BP BA时 猜想 EBF QFC .
(1) (1) , = , ∠ = ,∠ =
如图 所示 当点P为射线BC上任意一点时 猜想 QFC的度数 并加以
(2) (2) , , ∠ , 3
证明.
(3) 已知线段AB =23, 设BP = x , 点Q到射线BC的距离为y , 求y关于x的函
数关系式. Q
4
Q
A A
E E
B F P C B F P C 5
(1) (2)
题11图
!
6
题12
如图所示 在 ABC中 D E分别是AB AC上的点 DE BC 如图 所示
, △ , 、 、 , ∥ , (1) ,
然后将 ADE绕A点顺时针旋转一定角度 得到图 然后将BD CE分别延
△ , (2), 、
长至点M N 使DM 1BD EN 1CE 得到图 请解答下列问题. 7
、 , = , = , (3),
2 2
若AB AC 请探究下列数量关系
(1) = , :
在图 中 BD与CE的数量关系是
① (2) , ;
在图 中 猜想AM与AN的数量关系为 MAN与 BAC的
② (3) , ,∠ ∠
数量关系为
,
并证明你的猜想.
8
若AB k ACk 按上述操作方法 得到图 请继续探究 AM与AN
(2) = · (>1), , (4), :
的数量关系为 MAN 与 BAC的数量关系为 直 $
,∠ ∠ ,
接写出你的猜想 不必证明.
,
C C C M M 9
C
D D D
E E
E E
N N
B D A B A B A B A
(1) (2) (3) (4)
题12图
45第三期 勾股定理
M
题1
如图所示 MON 矩形ABCD的顶点A B分
,∠ =90°, 、 D
别在边OM ON上 当点B在边ON上运动时 点A
, , , A
也随之在边OM 上运动 矩形ABCD 的形状保持不
,
变 其中AB BC 则在运动过程中 点D到
, =2, =1, , C
点O的最大距离为 .
O B N
题2
如图所示 已知 B D A AB
, ∠ =∠ =90°,∠ =60°, =4, 题1图
CD . 求BC的长度. 求四边形ABCD 的
=2 (1) (2)
面积.
A D
C
B
题2图
题3
已知在 ABC中 BAC B C 求证 AC2 AB2 AB BC.
△ ,∠ =90°,∠ =2∠ , : = + ·
题4
如图所示 在 ABC中 AB AC P为BC上任意一点 请你用学过的知识证
, △ , = , ,
明 AB2 AP2 PB PC.
: - = ·
A
B P C
题4图
46题5 如图所示 在正方形ABCD中 F为DC的中点 E为BC上的一点 且EC 2
, , , , =
1BC 求证 EFA .
, :∠ =90°
4
A D
3
F
4
B E C
题5图
题6 在 ABC中 BC a AC b AB c.若 C 如图 所示 根据勾股定理 5
△ , = , = , = ∠ =90°, (1) ,
则有a2 b2 c2.若 ABC不是直角三角形 如图 图 所示 请你类比勾股
+ = △ , (2)、 (3) ,
定理
,
试猜想a2
+
b2 与c2 的大小关系.
!
A A A
6
C
B
B C C D B D
7
(1) (2) (3)
题6图
猜想图 中a2 b2 与c2 的大小关系 并证明你的结论.
(1) (2) + ,
猜想图 中a2 b2 与c2 的大小关系 并证明你的结论.
(2) (3) + , 8
$
9
47题7
已知矩形ABCD和点P 当点P在BC上任一位置时 如图 所示 易证得结论
, , (1) , :
PA2 PC2 PB2 PD2.请你探究 当点P分别在图 图 中的位置时
+ = + : (2)、 (3) ,
PA2 PB2 PC2 和PD2 又有怎样的数量关系 请你写出对上述两种情况的探究结
、 、 ?
论 并利用图 证明你的结论.
, (2)
P
A D A D A D
P
B P C B C B C
(1) (2) (3)
题7图
题8
已知 C AM CM MP AB于点P 试说明BP2 AP2 BC2.
∠ =90°, = , ⊥ , = +
B
P
C M A
题8图
题9
如图所示 在等腰 ABC中 BAC AD AE AF BE交BC于点F
, Rt△ ,∠ =90°, = , ⊥ ,
过点F作FG CD交BE延长线于点G.求证 BG AF FG.
⊥ : = +
A
E G
D
M
B C
F
题9图
48题10 设a bc d都是正数 利用勾股定理证明 2
, , , , :
a2 c2 d2 cd b2 c2 a2 b2 d2 ab.
+ + +2 + + > + + +2
3
4
题11 如图 所示 在平面直角坐标系中 等腰 AOB的斜边OB在x轴上 直线
(1) , , Rt△ ,
y x 经过等腰 AOB直角顶点A 交y轴于点C 双曲线y k x 也
=3 -4 Rt△ , , =x(>0)
5
恰好经过点A.
求k的值.
(1)
如图 所示 过点O作OD AC于点D 求CD2 AD2 的值. !
(2) (2) , ⊥ , -
如图 所示 将 AOB绕点A逆时针旋转 射线AO交x轴正半轴于点P
(3) (3) , △ , ,
射线AB交图 中双曲线上于点Q PAQ能否成为以A为直角顶点的等腰直
(1) ,△ 6
角三角形 若能 求点P Q的坐标 若不能 请说明理由.
? , 、 ; ,
y y y
A A A
7
O P B x O D B x O P B x
C C 8
(1) (2) (3)
$
题11图
9
49题12
某同学在一次课外活动中 用硬纸片做了两个直角三角形 见图 图 .图
, , (1)、 (2) (1)
中 B A AC BC BC .图 中 D E
,∠ =90°,∠ =30°, =2 , =6cm (2) ,∠ =90°,∠ =45°,
DE .图 是该同学所做的一个实验 他将 DEF的直角边DE与 ABC
=4cm (3) : △ △
的斜边AC重合在一起 并将 DEF沿AC方向移动.在移动过程中 D E两点
, △ , 、
始终在AC边上 移动开始时点D与点A重合 .
( )
在 DEF沿AC方向移动的过程中 该同学发现 F C两点间的距离逐渐
(1) △ , : 、
.选填 不变 变大 或 变小
( “ ”“ ” “ ”)
该同学经过进一步地研究 编制了如下问题.
(2) ,
问题 当 DEF移动至什么位置 即AD的长为多少时 F C的连线与AB
①: △ , , 、
平行
?
问题 当 DEF移动至什么位置 即AD的长为多少时 以线段AD FC BC
②: △ , , 、 、
的长度为三边长的三角形是直角三角形
?
问题 在 DEF的移动过程中 是否存在某个位置 使得 FCD 如果存
③: △ , , ∠ =15°?
在 求出AD的长度 如果不存在 请说明理由.
, ; ,
请你分别完成上述三个问题的解答过程.
C C
F
F
E
D
A B D E A B
(1) (2) (3)
题12图
50题13 在平面直角坐标系中 已知点A 点B 点E在OB上 且 OAE 2
, (-2,0), (0,4), , ∠
OBA.
=∠
如图 所示 求点E的坐标.
(1) (1) ,
如图 所示 将 AEO沿x轴向右平移得到 A'E'O' 连接A'BBE'.
(2) (2) , △ △ , 、
设AA' m 其中 m 试用含m 的式子表示A'B2 BE'2 并求出使
① = , 0< <2, + , 3
A'B2 BE'2 取得最小值时点E'的坐标.
+
当A'B BE'取得最小值时 求点E'的坐标 直接写出结果即可 .
② + , ( )
y y
B B
4
E E E′
5
A O x A A′ O O′ x
!
(1) (2)
题13图
6
7
8
$
9
515 一 次函数
第一期 一次函数之初步
题1
已知abc 而且
a
+
b b
+
c c
+
a
p 那么直线y px p一定经过 .
≠0, c = a = b = , = + ( )
.第一 二象限 .第二 三象限
A 、 B 、
.第三 四象限 .第一 四象限
C 、 D 、
题2
若kb是一元二次方程x2 px q 的两个实根 kb 在一次函数y
、 + - =0 ( ≠0), =
kx b中 y随x的增大而减小 则一次函数的图像一定经过 .
+ , , ( )
.第一 二 四象限 .第一 二 三象限
A 、 、 B 、 、
.第二 三 四象限 .第一 三 四象限
C 、 、 D 、 、
题3
一次函数y ax ba为整数 的图像过点 交x轴于 p 交y轴于
= + ( ) (98,19), ( ,0),
q 若p为质数 q为正整数 那么满足条件的一次函数的个数为 .
(0, ), , , ( )
. . . .无数
A 0 B 1 C 2 D
题4
有 条不同的直线 y kx b n 其中k k k b b
10 , = n + n(=1,2,3,…,10), 3= 6= 9, 4= 7
b 则这条直线的交点个数最多有 .
= 10, ( )
. 个 . 个 . 个 . 个
A 45 B 40 C 39 D 31
题5
设b a 将一次函数y bx a与y ax b的图像画在同一平面直角坐标系内
> , = + = + ,
则有一组a b取值 使得下列四幅图中的一个为正确的是 .
, , ( )
y y y
y
b
b b b
a
a
O x O 2 x O x
O x
a
a
A. B. C. D.
题6
由方程 x y 确定的曲线围成的图形是什么图形 其面积是多少
-1 + -1 =1 ? ?
52题7 已知一次函数的图像交x轴于A 交正比例函数的图像于点B 且点B在 2
(-6,0), ,
第三象限 它的横坐标为 AOB的面积为 求正比例函数和一次函数的解
, -2,△ 6,
析式.
y
3
A D
O x
B
4
题7图
题8
如图所示 一次函数y x b与反比例函数y
k
在第一象限的图像交于点B 且
5
, = + =x ,
点B的横坐标为
1,
过点B作y轴的垂线
,
点C为垂足
,
若S
△ BCO=
3
,
求一次函
!
2
数和反比例函数的解析式.
6
y
C B
O A x
7
题8图
8
题9 如图所示 直线y kx b经过A 和B 两点 则不等式组 x
, = + (-1,2) (-3,0) , - +1 $
<
kx
+
b
<3
的解集是多少
?
y
9
A
B O x
题9图
53题10
如图所示 直线y x 与x轴 y轴分别交于点A和点B D是y轴上
, =- 3 +23 、 ,
的一点 若将 DAB沿直线DA折叠 点B恰好落在x轴正半轴上的点C处 求
, △ , ,
直线CD的解析式.
y
B
A
O C x
D
题10图
题11
已知一次函数y m x m . 求证 无论m取何实数 函数的图像恒
=( -2)+2 -3 (1) : ,
过一定点. 当x在 x 内变化时 y在 y 内变化 求m的值.
(2) 1≤ ≤2 , 4≤ ≤5 ,
题12
已知一次函数y 1 x 中y随x的增大而增大 它的图像与两坐标轴构成
=k +1 ,
2 -1
k
的直角三角形的面积不超过3 反比例函数y 2-3 的图像在第二 四象限.求满
, = x 、
2
足以上条件的k的整数值.
54题13 如图所示 在矩形OABC中 O为直角坐标系的原点 A C两点的坐标为 2
, , , , (3,0),
.
(0,5)
请直接写出点B的坐标.
(1)
若过点C的直线CD交AB边于点D 且把矩形OABC的周长分为 的两
(2) , 1∶3
部分 求直线CD的解析式.
, 3
y
B
C
4
O A x
题13图 5
!
题14
直线y 3x 与x轴 y轴分别交于点A 点B 以线段AB为直角边在第一 6
=- +1 、 、 ,
3
æ ö
象限内作等腰 ABC 且 BAC .如果在第二象限内有一点Pça 1÷
Rt△ , ∠ =90° è , ø,
2
且 ABP的面积与 ABC的面积相等 求a的值.
△ Rt△ ,
7
8
$
9
55第二期 一次函数之应用
A
题1 据有关资料统计 两个城市之间每天的电话通话次
,
数T与这两个城市的人口数m n 万人 以及两个 160 km 240 km
、 ( )
kmn
城市间的距离d 有T 的关系k为常数 . B C
(km) =d2 ( ) 320 km
现测得A B C三个城市的人口及它们之间的距
、 、 题1图
离如图所示 且已知A B两个城市间每天的电话
, 、
通话次数为t 那么B C两个城市间每天的电话次数为 次 用t表示 .
, 、 ( )
题2
某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金 金额与他工作的年数的平方根
,
成正比例.如果他多工作a年 退休金比原来多p元 如果他多工作b年b a
, ; (≠ ),
退休金比原来多q元 那么他每年的退休金是 以a b p q表示 元.
, ( , , , )
题3
如图所示 已知一次函数y kx b和y mx n的图像交于点P 则根据图像可
, = + = + ,
得不等式组 mx n kx b的解集是 .
0< + < +
y
y mx n y kx a
y/cm 1 1
y kx a
12 2 2
P 3
8
4
3 1 O x
y kx b O 1 2 3 x/kg
题3图 题4图
题4
若甲 乙两弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的函数解析式分别为y
、 (cm) (kg) =
kx a 和y kx a.如图所示 所挂物体质量均为 时 甲弹簧长为y 乙
1 + 1 = 2 + 2 , 2kg , 1,
弹簧长为y 则y 与y 的大小关系为 .
2, 1 2 ( )
.y y .y y .y y .不能确定
A 1> 2 B 1= 2 C 1< 2 D
题5
在一次蜡烛燃烧实验中 甲 乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y 与燃烧时
, 、 (cm)
间x 的关系如图所示.请根据图像所提供的信息解答下列问题
(h) :
甲 乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是
(1) 、 , y/cm
从点燃到燃尽所用的时间分别是 .
30
分别求甲 乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函
(2) 、 25
数关系式. 20
x为何值时 甲 乙两根蜡烛在燃烧过程中的高
(3) , 、
10
度相等
?
O 1 2 2.5 3 x/h
题5图
56题6 市 市和 市分别有某种机器 台 台 台 现在决定把这些机器支援给 2
A 、B C 10 、10 、8 ,
市 台 市 台 已知 从 市调运 台机器到 市 市的运费分别为
D 18 ,E 10 . : A 1 D 、E 200
元和 元 从 市调运 台机器到 市 市的运费分别为 元和 元 从
800 ; B 1 D 、E 300 700 ;
市调运 台机器到 市 市的运费分别为 元和 元
C 1 D 、E 400 500 .
设从 市 市各调x台机器到 市 当 台机器调运完毕后 求总运费W
(1) A 、B D , 28 , 3
元 关于x 台 的函数关系式 并求W 的最大值和最小值.
( ) ( ) ,
(2)
设从
A
市调x台机器到
D
市
,
从
B
市调y台机器到
D
市
,
当
28
台机器调运完
毕后 用x y表示总运费W 并求W 的最大值和最小值.
, 、 ,
4
5
!
6
题7 某中学预计用 元购买甲商品x个 乙商品y个 不料甲商品单价上涨 .元
1500 , , 15 ,
乙商品单价上涨 元 尽管购买甲商品的个数比预定减少 个 总金额还是多了
1 , 10 , 7
元.又若甲 乙商品单价上涨 元 并且购买甲商品的数量只比预定数少 个
29 、 1 , 5 ,
那么买甲 乙两商品支付的总金额是 元.
、 1563.5
求x y的关系式.
(1) 、
若预计购买甲商品的个数的 倍与预计购买乙商品的个数的和大于 但小
(2) 2 205,
于 求x y的值. 8
210, ,
$
9
57题8
如图所示 梯形OABC中 O 为直角坐标系的原点 A B C的坐标分别为
, , , 、 、
.点P Q同时从原点出发做匀速运动.其中点P沿OA
(14,0)、(14,3)、(4,3) 、
向终点A运动 速度为每秒 个单位 点Q沿OC CB向终点B运动.当这两点中
, 1 ; 、
有一点到达自己的终点时 另一点也停止运动.设点P从出发起运动了t秒.
,
如果点Q的速度为每秒 个单位
(1) 2 ,
试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标 用含t的代数式表示 不要
① ( ,
求写出t的取值范围 .
)
求t为何值时 PQ OC.
② , ∥
若Q的速度为v 如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周
(2) ,
长的一半.
试用含t的代数式表示这时点Q所经过的路程S.
①
试问 如果点Q的速度为每秒 个单位 直线PQ是否可能同时把梯形OABC
② : 2 ,
的面积也分成相等的两部分 如有可能 求出相应的t的值和P Q的坐标 如不
? , 、 ;
可能 请说明理由.
,
y
C B
3
Q
A
O P 4 14 x
题8图
题9
如图所示 在直角梯形COAB中 OC AB 以O为原点建立平面直角坐标系 A
, , ∥ , , 、
B C三点的坐标分别为A B C 点D是线段BC的中点
、 (8,0), (8,11), (0,5), ,
已知D点的横坐标为 动点P从点O出发 以每秒 个单位的速度沿折线
4, , 1
OABD的路线移动 至点D停止 设移动的时间为t秒.
, ,
求直线BC的解析式.
(1)
若动点P在线段OA上移动 当t为何值时 四边形OPDC的面积是梯形
(2) , ,
COAB面积的1
?
4
动点P从点O出发 沿折线OABD的路线移动过程中 设 OPD面积为S
(3) , , △ ,
求S与t的函数关系式 并写出自变量t的取值范围.
,
y B
D
C
O P A x
题9图
58题10 如图所示 直线L与x轴 y轴分别交于A B 两点 点C 为x 2
, 、 (6,0)、 (0,3) , (4,0)
轴上一点 点P在线段AB 包括端点A B 上运动.
, ( 、 )
求直线L的解析式.
(1)
当点P的纵坐标为 时 按角的大小进行分类 请你确定 PAC是哪一类三
(2) 1 , , △
角形 并说明理由.
, 3
是否存在这样的点P 使得 POC为直角三角形 若存在 求出点P的坐标
(3) , △ ? , ;
若不存在 请说明理由.
,
y
B
3 4
P
A
O C 6 L x
题10图
5
!
6
题11
如图所示
,
在平面直角坐标系中
,
O是坐标原点
,
点A的坐标为
(-4,0),
点B的
坐标为 b b .P是直线AB上的一个动点 作PC x轴 垂足为C.记点
(0, )(>0) , ⊥ ,
P关于y轴的对称点为P'P'不在y轴上 连接PP' P'A P'C.设点P的横坐
( ), 、 、 7
标为a.
当b 时 求直线AB的解析式.
(1) =3 ,
在 的条件下 若点P'的坐标是 m 求m的值.
(2) (1) , (-1,- ),
若点P在第一象限 是否存在a 使 P'AC为等腰直角三角形 若存在 请
(3) , , △ ? ,
求出所有满足要求的a的值 若不存在 请说明理由. 8
; ,
y
$
P′ P
B
D
9
A O C x
题11图
59题12
如图所示 直线y kx 分别与x轴 y轴相交于A B两点 O为坐标原点 A
, = +8 、 、 , ,
点的坐标为 .
(4,0)
求k的值.
(1)
若P为y轴 B点除外 上的一点 过点P作PC y轴交直线AB于点C.设
(2) ( ) , ⊥
线段PC的长为l 点P的坐标为 m .
, (0, )
如果点P在线段BOB点除外 上移动 求l与m的函数关系式 并写出自变
① ( ) , ,
量m的取值范围
;
如果点P在射线BOB O两点除外 上移动 连接PA 则 APC的面积S也
② ( 、 ) , , △
随之发生变化.请你在面积S的整个变化过程中 求当m为何值时 S .
, , =4
y
B
O A x
题12图
题13
如图所示 A B分别是x轴 y轴上的一点 且OA OB P是函数y 1
, 、 、 , = =1, = x
2
x 图像上的一动点 过点P作PM x轴 PN y轴 垂足分别为M N
(>0) , ⊥ , ⊥ , 、 ,
PM PN分别交AB于点E F.
、 、
证明 AF BE .
(1) : · =1
若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点 求公共点的坐标.
(2) ,
y
B
F P
N
E
A
O M x
题13图
60题14 如图所示 边长为 的正方形OABC的顶点O为坐标原点 点A在x轴的正半轴 2
, 1 ,
上 点C在y轴的正半轴上.动点D在线段BC上移动 不与B C重合 连接
, ( , ),
OD 过点D作DE OD 交边AB于点E 连接OE 记CD的长为t.
, ⊥ , , ,
当t 1时 求直线DE的函数表达式.
(1) = ,
3
3
如果记梯形COEB的面积为S 那么是否存在S的最大值 若存在 求出此时
(2) , ? ,
S与t的值 若不存在 请说明理由.
; ,
(3) 当OD2 + DE2 的算术平方根取最小值时 , 求点E的坐标.
y
4
D B
C
E
5
O A x
!
题14图
6
7
8
$
9
61第三期 一次函数之综合
题1
设直线kx k y k为正整数 与两坐标所围成的图形的面积为S k
+(+1)-1=0( ) k(=
那么S S S .
1,2,3,4,…), 1+ 2+…+ 2008=
题2
在直角坐标系中 横 纵坐标都是整数的点称为整点 设k为整数 当直线y
, 、 , , =
x 与y kx k的交点为整点时 k值可以取 .
-3 = + , ( )
. 个 . 个 . 个 . 个
A 2 B 4 C 6 D 8
题3
设 k 关于x的一次函数y kx 1 x 当 x 时的最大值
0< <1, = + k(1- ), 1≤ ≤2
为 .
题4
已知不论k取什么实数 关于x的方程8
x
-4
k
kx 2
ax
+1 a b是常数 的根
, b = + bx (、 )
总是x 试求a b的值.
=1, ,
题5
已知直线y x 的图像与x轴 y轴分别交于A B两点 直线L经过原点 与
= +3 , , , ,
线段AB交于点C 把 AOB的面积分成 的两部分 求直线L的解析式.
, △ 2∶1 ,
题6
如图所示 A B两点的坐标分别是x x 其中x x 是关于x方程
, 、 (1,0)、(2,0), 1、 2
x2 x m 的两个根 且x x.
+2 + -3=0 , 1<0< 2
求m的取值范围.
(1)
设点C在y轴的正半轴上 ACB CAB 求m的值.
(2) ,∠ =90°,∠ =30°, y
在上 述 条 件 下 若 点 D 在 第 二 象 限 DAB
, ,△ ≌
CBA 求出直线AD的函数解析式. D C
△ , E
A O B x
题6图
62题7
如图所示 直线y 4
x
与x轴 y轴分别交于A B两点 M为OB上一点.
2
, =- +8 、 、 ,
3
若将 ABM沿AM折叠 点B恰好落在x轴上的B'处 求直线AM 的函数解
△ , ,
析式.
y
3
B
M
B′ O A x
4
题7图
题8
设fx mx 1 x 其中m 记fx 在 x 的最小值为gm 5
()= +m(1- ), >0, () 0≤ ≤1 ( ),
求gm .
( )
!
6
题9
求y x2 x2 的最小值.
= +4+ (8- )+16 7
8
$
题10 求y x 2 x2 的最小值. 9
= (-3)+16+ (5- )+4
63题11
如图所示 直线y 3x 与x轴 y轴分别交于点A B 以线段AB为直角
, =- +1 , 、 ,
3
边在第一象限内作等腰 ABC BAC 且点P a 为坐标系中的一个
Rt△ ,∠ =90°, (1, )
动点.
求 ABC的面积S .
(1) △ △ ABC
证明 不论a取任何实数 BOP的面积是一个常数.
(2) : ,△
要使得 ABC和 ABP的面积相等 求实数a的值.
(3) △ △ ,
y
C
B
O A x
P
题11图
题12
如图所示 矩形OABC在平面直角坐标系中 若OA OC的长满足 OA
, , 、 -2 +
OC 2 .
( -23)=0
求B C两点的坐标.
(1) 、
把 ABC沿AC对折 点B落在点B'处 线段AB'与x轴交于点D 求直线
(2) △ , , ,
BB'的解析式.
在直线BB'上是否存在点P 使 ADP为直角三角形 若存在 请直接写出
(3) , △ ? ,
P点坐标 若不存在 请说明理由.
; ,
y
A B
O D C x
B′
题12图
64题13 如图所示 直线PA是一次函数y x nn 的图像 直线PB是一次函数y 2
, = + (>0) , =
x mm 的图像.
-2 + ( >0)
用m n表示出点A B P的坐标.
(1) , 、 、
若点Q是PA与y轴的交点 且四边形PQOB的面积是5 AB 试求点Q
(2) , , =2,
6
3
的坐标 并求出直线PA与PB的解析式.
,
y
Q P 4
B
A O x
题13图 5
题14
如图 所示 已知直线y x 与y轴 x轴分别交于A B两点 以点B为直
(1) , =2 +2 、 、 , !
角顶点在第二象限作等腰 ABC.
Rt△
y y y 6
A
A
A
C
C
C P
B O x B O x M B O x
7
E
D
(1) (2) (3)
题14图
(1)
求点C坐标
,
并求出直线AC的关系式.
8
如图 所示 直线CB交y轴于点E 在直线CB上取一点D 连接AD 若
(2) (2) , , , ,
AD AC 求证 BE DE. $
= , : =
æ ö
如图 所示 在 的条件下 直线AC交x轴于点M 点Pç 5 k÷在线段
(3) (3) , (1) , , è- , ø
2
9
BC上 在线段BM上是否存在一点N 使直线PN平分 BCM的面积 若存在
, , △ ? ,
请求出点N的坐标 若不存在 请说明理由.
; ,
656 代数方程
第一期 无理方程
题1
x2 x x成立的条件是 .
4- = 2+ · 2-
题2
如果方程k x 没有实数根 求k的取值范围.
- 3 +7-6=0 ,
题3
解下列无理方程
:
x x
(1) 3 -2+ +3=3
x x x2 x x
(2) + +7+2 +7 =35-2
x
9
(3) 1+x+4 x -5=0
+9
题4
解方程 x
x
.
: + x2 =22
-1
66题5 关于x的方程 x2 x a x 有且只有一个实数解时 求a的值. 2
+2 +1+ =2 +1 ,
3
题6
解关于x的方程
:
x
+
a2
+
x
+
b2
=
a
+
b
(
a
>0,
b
>0)
.
4
5
题7
解方程 : x + x - x - x = 3 x
x
x .
!
2 +
6
7
题8
解方程 3 x 3 x .
: 3 -2+ 4-3 =-1
8
$
9
题9 已知 x x a 有一个增根是 求a的值.
2 -4- + =1 4,
67题10
解方程 3 x 3 x 3 .
: 5+ + 5- = 5
题11
解方程 3 x a2 3 x a2 3x2 a2 a .
: (+ )+4 (- )=5 - (≠0)
题12
解方程 x x2 x 5 x x2 x 5 .
:(+2+ +4 +3)-32(+2- +4 +3)=31
题13
解方程 x x x2 x x x2 .
: +10+4 10 -3 =1+ +7+4 7 -3
题14
解方程 x x x2 x x2 x .
:2 +1+ +2+(+1) +2 +3=0
682
第二期 方程组
题1
解方程组
{
3
x2
-
xy
-4
y2
-3
x
+4
y
=0
:
x2 y2
+ =25 3
4
题2
解方程组
{x2
-3
xy
-4
y2
=0
:
x2 xy y2
+4 +4 =1
5
!
{x 2 y 2
(+1) (-1)
题3
解方程组 - =1
6
: 9 4
x y
- =1
7
题4 解方程组 { ( x2 +3 x )( x + y )=40
:
x2 x y
+4 + =14
8
$
9
题5 解方程组 {xy + x + y =11
: x2y xy2
+ =30
69{
题6
解方程组
x
+
y
+
xy
=14
:
x2 y2 xy
+ + =84
ì ïxy x
+
ïx y =2
ï + +1
ï
题7
解方程组 í
xz
+2
x
:ïx z =3
+ +2
ï
y z
ïï(+1)(+2)
î y z =4
+ +3
ì ïxy x y
ï + + =1
题8
解方程组 íyz y z
:ïï + + =5
îzx z x
+ + =2
题9
方程组
{x2
-
y
=2有实数解 求k的取值范围.
x y k ,
2 - =
70题10 已知方程组 {x2 -(2 k +1) y -4=0. 2
y x
= -2
求证 不论k为何值时 此方程组一定有实数解.
(1) : ,
{x a {x b
设等腰 ABC的三边长分别为abc 其中c 且 = = 是
(2) △ , , , =4, y a , y b
= -2 = -2
该方程的两个解 求 ABC的周长. 3
, △
4
题11 k为何值时 方程组 {y2 -4 x -2 y +1=0,
, y kx
= +2
有两组相等的实数解
(1) ? 5
有两组不相等的实数解
(2) ?
没有实数解
(3) ?
!
6
题12
若x2 xy y y2 xy x 求x y的值. 7
+ + =14, + + =28, +
8
题13
求证 存在整数x y 满足x2 xy y2 .
(1) : , , +4 + =2022
是否存在整数x y 满足x2 xy y2 请证明你的结论. $
(2) , , +4 + =2011?
9
题14
求方程 x2 xy y2 的所有正整数解.
2 +5 +2 =2006
717 四边形
第一期 平行四边形
题1
如图所示 已知平行四边形ABCD AD与BC之间的距离是AE AE AB
, , , =15cm,
与DC之间的距离是AF AF 且 EAF 求AB BC的长及平行四
, =30cm, ∠ =30°, 、
边形ABCD的面积.
A
D
B
E C
F
题1图
题2
如图所示 在平行四边形ABCD中 A A 是AB边的三等分点 C C 是CD
, , 1、 2 , 1、 2
边的三等分点 B 是BC边的中点 D 是AD边的中点 连接如图的线段 会在
, 1 , 1 , ,
原平行四边形中形成三个相同的小平行四边形 则其中的一个小平行四边形与原
,
平行四边形的面积比是多少
?
C C
D 1 2 C
D
1 B
1
A A A B
1 2
题2图
题3
如图所示 在平行四边形ABCD中 AB AD B M N 分别是AD
, ,2 = ,∠ =60°, 、 、
BC的中点 求 证 MN AC.
, : ⊥
A M D
O
B N C
题3图
72题4 如图所示 在平行四边形ABCD中 DE AB于点E BM MC DC 求证 2
, , ⊥ , = = , :
EMC BEM.
∠ =3∠
B E A
3
M
C D 4
题4图
题5
如图所示 在平行四边形ABCD中 BC AB DE AB M 是BC边的中点
, , =2 , ⊥ , ,
BEM 则 B的大小是多少
∠ =50°, ∠ ?
5
A E B
!
M
6
D C
题5图
7
题6
如图所示 在平行四边形ABCD中 直线FH与AB CD相交 过点A D C B
, , 、 , 、 、 、
向直线FH作垂线 垂足分别为点G F E H 求证 AG DF CE BH.
, 、 、 、 , : - = -
E
D C 8
F
H
$
A B
G
9
题6图
73题7
如图所示 在平行四边形ABCD 中 AE BC于点E E 恰为BC边的中点
, , ⊥ , ,
AE BE 点P在线段BE上 作EF DP于点F 连接AF 求证 DF EF
=2 , , ⊥ , , : - =
AF.
2
A D
F
B P E C
题7图
题8
如图所示 在平行四边形ABCD中 E为AD边上一点 F为AB边上一点 且
, , , ,
BE DF BE 与DF 相 交 于 点G 求 证 BGC
= , , :∠ D C
DGC.
=∠
G
E
A F B
题8图
题9
如图所示 在 ABC中 BAC AD BC于点D BG平分 ABC交
, Rt△ ,∠ =90°, ⊥ , ∠
AD于点E EF BC且交AC于点F.求证 AE CF.
, ∥ : =
A
G
E F
B D C
题9图
题10
如图所示 在平行四边形ABCD中 AE BC CF AD DN BM.求证 EF与
, , ⊥ , ⊥ , = :
MN互相平分.
A F
D
N
M
B E C
题10图
74题11 如图所示 在平面直角坐标系xOy中 已知直线PA是一次函数y x mm 2
, , = + ( >0)
的图像 直线PB是一次函数y x nn m 的图像 点P是两直线的交点
, =-3 + (> ) , ,
点A B C Q分别是两条直线与坐标轴的交点.
、 、 、
用mn分别表示点A B P的坐标及 PAB的度数.
(1) 、 、 、 ∠
若四边形PQOB的面积是11 且CQ AO 试求点P的坐标 并求出 3
(2) , ∶ =1∶2, ,
2
直线PA与PB的函数表达式.
(3) 在 (2) 的条件下 , 是否存在一点D , 使以A 、 B 、 P 、 D为顶点的四边形是平行
四边形 若存在 求出点D的坐标 若不存在 请说明理由.
? , ; ,
y 4
C
Q P
5
A O B x
!
题11图
6
题12
如图所示 在平面直角坐标系中有 ABC A AB AC A
, Rt△ ,∠ =90°, = , (-2,0)、
B Cd .
(0,1)、 (,2)
求d的值.
(1)
将 ABC沿x轴的正方向平移 在第一象限内B C两点的对应点B' C'正 7
(2) △ , 、 、
好落在某反比例函数图像上 请求出这个反比例函数和此时的直线C'B'的解析式.
,
(3)
在
(2)
的条件下
,
直线B'C'交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例
函数图像上的点P 使得四边形PGMC'是平行四边形 如果存在 请求出点M 和
, ? ,
点P的坐标 如果不存在 请说明理由.
; , 8
y
$
C G C′
B′
B
9
A O A′ x
题12图
75第二期 正方形
A D
题1
如图所示 已知点E是正方形ABCD的边CD上任意一点
, ,
过点E作EF AC于点F 延长BF交直线AE于点G 则
⊥ , , E
BGC . G
∠ =( )
. . F
A 30° B 45°
B C
. .
C 60° D 75°
题2
如图 所示 点E是正方形ABCD的边AD上一点
题1图
(1) (1) , ,
BF平分 EBC 交CD于点F 求证 BE AE CF.
∠ , , : = +
如图 所示 在正方形ABCD中 点E在DC的延长线上 点F在CB的延
(2) (2) , , ,
长线上 EAF 求证 DE BF EF.
,∠ =45°, : - =
F
A E D
A B
F
B C D C E
(1) (2)
题2图
题3
如图所示 P为正方形ABCD 内一点 PA PB PC A D
, , ∶ ∶ =
求 APB的度数.
1∶2∶3, ∠ P
B C
题3图
D C
题4
如图所示 在直角梯形ABCD 中 ABC BCD
, ,∠ =∠ =90°,
AB BC 点M在边BC上 使得 ADM 为正三角形
= =10, , △ ,
则 ABM与 DCM的面积和为多少.
△ △
M
A B
题4图
76题5 在边长为 的正方形ABCD中 点O是对角线AC的中点 P是对角线AC上一 2
4 , ,
动点 过点P作PF CD于点F 作PE PB交直线CD于点E 设PA x
, ⊥ , ⊥ , = ,
S
△
PCE=
y.
求证 DF EF.
(1) : =
当点P在线段AO上时 求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围.
(2) , 3
点P在运动过程中能否使 PEC为等腰三角形 如果能 请直接写出PA的
(3) △ ? ,
长 如果不能 请简单说明理由.
; ,
4
5
题6
如图 所示 已知A B为直线l上两点 点C为直线l上方一动点 连接AC !
(1) , 、 , , 、
BC 分别以AC BC为边向 ABC外作正方形CADF和正方形CBEG 过点D
, 、 △ ,
作DD l于点D 过点E作EE l于点E .
1⊥ 1, 1⊥ 1 6
如图 所示 当点E 恰好在直线l上时 此时E 与E 重合 试说明
(1) (2) , ( 1 ),
DD AB.
1=
在图 中 当D E两点都在直线l的上方时 试探求三条线段DD EE
(2) (1) , 、 , 1、 1、
AB之间的数量关系 并说明理由.
,
如图 当点E在直线l的下方时 请直接写出三条线段DD EE AB之 7
(3) (3), , 1、 1、
间的数量关系.不需要证明 .
( )
F
F
G
F
D D
C E C G C 8
G
D
l E l E 1 l
D A B E D A B (E) D A B $
1 1 1 1 1 E
(1) (2) (3)
题6图
9
77题7
如图 所示 四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组
(1) ,
成的平面图形.如图 所示 点P是边BC上一点 PH BC交BD于点H 连
(2) , , ⊥ ,
接AP交BD于点E 点F为DH的中点 连接AF.
, ,
求证 四边形ABCD为正方形.
(1) :
当点P在线段BC上运动时 PAF的大小是否会发生变化 若不变 请求
(2) ,∠ ? ,
出 PAF的值 若变化 请说明理由.
∠ ; ,
求证 BE2 DF2 EF2.
(3) : + =
A D A D
F
H
E
B C B P C
(1) (2)
题7图
题8
如图所示 在正方形ABCD中 点E在边AB上 点E与点A B不重合 过点E
, , ( 、 ),
作FG DE FG与边BC相交于点F 与边DA的延长线相交于点G.
⊥ , ,
由几个不同的位置 分别测量BF AG AE的长 从中你能发现BF AG
(1) , 、 、 , 、 、
AE之间具有怎样的数量关系 并证明你所得到的结论.
?
连接DF 如果正方形的边长为 设AE x DFG的面积为y 求y与x
(2) , 2, = ,△ ,
之间的函数解析式 并写出函数的定义域.
,
如果正方形的边长为 FG的长为5 求点C到直线DE的距离.
(3) 2, ,
2
D C
F
A B
E
G
题8图
78题9 如图所示 在正方形ABCD中 AB E为BC边延长线上的一点 连接DE 2
, , =4, , ,
BF DE 垂足为点F BF与边CD交于点G 连接EG.设CE x.
⊥ , , , =
求 CEG的度数.
(1) ∠
当BG 时 求 AEG的面积.
(2) =25 , △
如果AM BF AM与BC相交于点M 四边形AMCD的面积为y 求y关于
(3) ⊥ , , , 3
x的函数解析式 并写出它的定义域.
, A D
G F
4
B M C E
题9图
5
题10
如图所示 在正方形ABCD中 AB 点E是边CD上的任意一点 不与C D
, , =4, ( 、
重合 将 ADE沿AE翻折至 AFE 延长EF交边BC于点G 连接AG.
), △ △ , ,
求证 ABG AFG. !
(1) :△ ≌△
若设DE x BG y 求y与x的函数关系式 并写出自变量x的取值范围.
(2) = , = , ,
连接CF 若AG CF 求DE的长. 6
(3) , ∥ ,
A D
E
F
7
B C
G
题10图
题11
如图所示 在 ABC中 AB AC BC .点D是边AB上的点 DE BC
8
, △ , = =5, =6 , ∥
交AC于点E.
$
求三角形ABC的面积.
(1)
若点D在AB上移动 点D不与点A 点B重合 以DE为边 在点D E的
(2) ( 、 ), , 、
下方作正方形DEFG.设AD x ABC与正方形ABCD重叠部分的面积为S 9
= ,△ ,
试求S关于x的函数解析式
,
并写出定义域.
在 中 连接BG.当 BDG是等腰三角形时 请直接写出AD的长.
(3) (2) , △ ,
A
D E
B C
题11图
79题12
已知 ABC为等边三角形 AB P是AB边上的一个动点 与A B不重合
△ , =6, ( 、 ),
过点P作AB的垂线与BC相交于点D 以D为正方形的一个顶点 在 ABC内
, , △
作正方形DEFG 其中点D 点E在BC上 点F在AC上.
, 、 ,
设BP的长为x 正方形DEFG的边长为y 写出y关于x的解析式以及定
(1) , ,
义域.
当BP 时 求CF的长.
(2) =2 ,
GDP是否可能成为直角三角形 若能 求出BP的长 若不能 请说明
(3)△ ? , ; ,
理由.
A
P
G F
B D E C
题12图
题13
小杰和他的同学成立了一个 爱琢磨 学习小组 有一次 他们碰到这样一道题
“ ” , , :
已知正方形ABCD 点E F G H 分别在边AB BC CD DA上 若EG
“ , 、 、 、 、 、 、 , ⊥
FH 则EG FH.
, = ”
经过思考 大家给出了以下两个方案
, :
甲 过点A作AM HF交BC于点M 过点B作BN EG交CD于点N
( ) ∥ , ∥ ;
乙 过点A作AM HF交BC于点M 作AN EG交CD延长线于点N
( ) ∥ , ∥ ;
小杰和他的同学顺利地解决了该题后 大家琢磨着想改变题目的条件 做更多的
, ,
探索
……
对小杰遇到的问题 请在甲 乙两个方案中任选一个 加以证明.
(1) , 、 ,
如果把条件中的 EG FH 改为 EG与FH 的夹角为 并假设正方形
(2) “ ⊥ ” “ 45°”,
ABCD的边长为 FH的长为 5 试求EG的长.
1, ,
2
A H D A H D
G
E
G E
B F C B F C
(1) (2)
题13图
802
第三期 长方形与菱形
题1
两个长为 宽为 的矩形ABCD和矩形EFGH 如图 所示摆放在直线l上
2, 1 (1) ,
DE .将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角 α 将矩形EFGH 绕点
=2 (0°< <90°), 3
E逆时针旋转相同的角度.
当两个矩形旋转到顶点C F重合时 见图 求 DCE α的度数及点C
(1) 、 , (2), ∠ ,∠
到直线l的距离.
利用图 思考 在旋转的过程中 矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方
(2) (3) : , 4
形时 α的值是多少.
,
B G
B C F G C(F) B M G
F C
A H
A H N
l l l 5
A D E H D E D E
(1) (2) (3)
!
题1图
6
题2
小冬遇到一个有趣的问题 长方形台球桌ABCD的边长分别为AB BC .点
: =3, =5
P在AD上 且AP .一球从点P处沿与AD夹角为θ的方向击出 分别撞击 7
, =2 ,
AB BC CD各一次后到达点P .已知每次撞击桌边时 撞击前后的路线与桌边
、 、 0 ,
所成的角相等 入射角等于反射角 如图 所示.小冬的思考是这样开始的 如
( ), (1) :
图 所示 将矩形ABCD沿直线AB折叠 得到矩形ABCD 由轴对称的知识
(2) , , 1 1, ,
发现QE QR PE PQ QR.请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列
= , = + 8
问题
:
(1)
当点P
0
与点P重合时
,
求此球从点P经过撞击到达点P
0
的总长度.
$
当点P 与点A重合时 图 求此球从点P经过撞击到达点P 的总长度.
(2) 0 [ (3)], 0
C R B C R B E C C R B 9
1
S
Q
S
Q Q
θ
D P P 0 A D P A D 1 D P A(P 0 )
(1) (2) (3)
题2图
81题3
矩形ABCD中 AD AB 将矩形ABCD沿某直线折叠 使点A的对应点
, =5, =3, ,
A'落在线段BC上 再打开得到折痕EF.
,
当A'与B重合时 图 求线段EF的长 当折痕EF过点D时 图 求
(1) [ (1)], ; [ (2)],
线段EF的长.
观察图 和图 设BA' x 则
(2) (3) (4), = ,
若四边形AEA'F是菱形 求x的取值范围.
① ,
在 的条件下 利用图 证明四边形AEA'F是菱形.
② ① , (4)
A D A D(F) A F D A F D
E F E
B(A′) C B A′ C B(E) A′ C B E A′ C
B′
(1) (2) (3) (4)
题3图
题4
如图 所示 矩形纸片ABCD的边长分别为a ba b 点M N 分别为边
(1) , 、 ( < ), 、
AD BC上两点 点A C除外 连接MN.
、 ( 、 ),
如图 所示 分别沿ME NF将MN 两侧纸片折叠 使点A C分别落在
(1) (2) , 、 , 、
MN上的点A' C'处 直接写出ME与NF的位置关系.
、 ,
如图 所示 当MN BC时 仍按 中的方式折叠 请分别求出四边形
(2) (3) , ⊥ , (1) ,
A'EBN 与四边形C'FDM的周长 用含a的代数式表示 并判断四边形A'EBN
( ),
与四边形C'FDM周长之间的数量关系.
如图 所示 若对角线BD与MN交于点O 分别沿BM DN将MN两侧纸
(3) (4) , , 、
片折叠 折叠后 点A C恰好都落在点O处 并且得到的四边形BNDM是菱形
, , 、 , ,
请你探索a b之间的数量关系.
、
在 情况下 当a 时 求菱形BNDM的面积.
(4) (3) , = 3 ,
A M D A M D A M D A M D
C′
C′ F
a F E A′
E O
b A′
B N C B N C B N C B N C
(1) (2) (3) (4)
题4图
82题5 将边长OA OC 的矩形OABC放在平面直角坐标系中 顶点O为坐标原 2
=8, =10 ,
点 顶点C A分别在x轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E 连接CE 将
, 、 , ,
EOC沿CE折叠.
△
如图 所示 当点O落在AB边上的点D处时 求点E的坐标.
(1) (1) , ,
如图 所示 当点O落在矩形OABC内部的点D处时 过点E作EG x轴
(2) (2) , , ∥ 3
交CD于点H 交BC于点G.求证 EH CH.
, : =
在 的条件下 设H mn 写出m与n之间的关系式.
(3) (2) , ( ,),
如图 所示 将矩形OABC变为正方形 OC 当点E为AO的中点时
(4) (3) , , =10, ,
点O落在正方形OABC内部的点D处 延长CD交AB于点T 求此时AT的
, ,
4
长度.
y y y
D B B T B
A A A
D
D
E 5
E
E G
H
O C x O C x O C x !
(2)
(1) (3)
6
题5图
7
8
题6
通常 把长与宽之比为 的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题
$
, 2 :
将一张标准纸ABCDAB BC 对开 如图 所示 所得的矩形纸片ABEF
(1) ( < ) , (1) ,
是标准纸.请给予证明. 9
(2) 在一次综合实践课上 , 小明尝试着将矩形纸片ABCD ( AB < BC ) 进行如下
操作
:
第一步 沿过点A的直线折叠 使点B落在AD边上点F处 折痕为AE 见图
, , , [ (2)
甲
];
第二步 沿过点D的直线折叠 使点C落在AD边上点N处 折痕为DG 见图
, , , [ (2)
乙 .此时点E恰好落在AE边上的点M处
] ;
第三步 沿直线DM折叠 见图 丙 此时点G恰好与点N重合.
, [ (2) ],
请你研究 矩形纸片ABCD是否是一张标准纸 请说明理由.
, ?
83不难发现 将一张标准纸如图 所示一次又一次对开后 所得的矩形纸片都
(3) , (3) ,
是标准纸.现有一张标准纸ABCD AB BC 问第 次对开后所得标准纸
, =1, = 2, 5
的周长是多少 探索并直接写出第 次对开后所得标准纸的周长.
? 2013
A D A F
B C B E
(1)
A F D A N F D A N F D
M M
G G
B E C B E C B E C
(2)
A D A D
B C B C
(3)
题6图
题7
如图所示是一个边长为 的等边三角形和一个菱形的组合图形 菱形的边长为等
1 ,
边三角形边长的一半 以此为基本单位 可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图
, ,
形 图 依此规律继续拼下去 图 则第n个图形的周长是 .
[ (2)], [ (3)],
(1) (2) (3)
题7图
84题8 如图所示 AOP BOP PC OA PD OA 若PC 则PD等于 2
,∠ =∠ =15°, ∥ , ⊥ , =4,
多少
?
B
C P 3
O D A
题8图
4
题9
如图所示 在菱形纸片ABCD中 A 折叠菱形纸片ABCD 使点C落在
, ,∠ =60°, ,
DPP为AB中点 所在的直线上 得到经过点D的折痕DE 则 DEC的大小为
( ) , , ∠
多少
?
D C
5
E
P !
A B
C′
题9图 6
题10
如图 (1) 所示 , 在矩形ABCD中 , 把 ∠ B 、∠ D分别翻折 , 使点B 、 点D恰好落在
对角线AC上的点E F处 折痕分别为CM AN.
、 , 、
求证 ADN CBM.
(1) :△ ≌△ 7
请连接MF NE 证明四边形MFNE是平行四边形.四边形MFNE是菱形
(2) 、 ,
吗 请说明理由.
?
点P Q是矩形的边CD AB上的两点 连接PQ CQ MN 如图 所示
(3) 、 、 , 、 、 , (2) ,
若PQ CQ PQ MN 且AB BC 求PC的长度.
= , ∥ , =4cm, =3cm,
8
D N C D N P C
$
E F E F
9
A M B A M Q B
(1) (2)
题10图
85题11
如图所示 一个直角三角形纸片的顶点A在 MON的边OM 上移动 移动过程
, ∠ ,
中始终保持AB ON于点B AC OM 于点A. MON 的角平分线OP分别交
⊥ , ⊥ ∠
AB AC于D E两点.
、 、
点A在移动的过程中 线段AD和AE有怎样的数量关系 并说明理由.
(1) , ?
点A在移动的过程中 若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的
(2) ,
直线对称 判断并说明以A D F E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形
, 、 、 、 ?
若 MON 猜想线段AC AD OC之间有怎样的数量关系 直接写出
(3) ∠ =45°, 、 、 ,
结果 不用证明.
,
M
A
P
E
D
O B C N
题11图
题12
已知 ABC是等边三角形 点D是射线BC上的一个动点 点D不与点B C重
△ , ( 、
合 ADE是以AD为边的等边三角形 过点E作BC的平行线 分别交射线
),△ , ,
AB AC于点F G 连接BE.
、 、 ,
如图 所示 当点D在线段BC上时
(1) (1) , ,
试说明 AEB ADC.
① :△ ≌△
探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形 并说明理由.
② ,
如图 所示 当点D在BC的延长线上时 探究四边形BCGE是怎样特殊的
(2) (2) , ,
四边形 并说明理由.
,
在 的情况下 当点D运动到什么位置时 四边形BCGE是菱形 并说明
(3) (2) , , ?
理由.
A
A
B
C D
E F G
B D C E G
(1) (2)
题12图
86题13 如图所示 在菱形ABCD 中 B EAF BAE 求 CEF的 2
, ,∠ =∠ =60°,∠ =20°, ∠
度数. A
B D
E
F
C 3
题13图
4
A
题14 如图所示 在菱形ABCD中 DAB 点E平分 5
, ,∠ =120°, P
DC 点P在BD上 且PE PC 那么AB边的最大 B D
值是 , . , + =1, E
!
C
题15
如图 所示 在 ABC 中 AB BC AC .
(1) , △ , = =5, =6 题14图
ECD是 ABC沿BC方向平移得到的 连接AE AC 6
△ △ , 、
和BE相交于点O.
判断四边形ABCE是怎样的四边形 说明理由.
(1) ,
如图 所示 P是线段BC上一动点 不与点B C重合 连接PO并延长交
(2) (2) , ( 、 ),
线段AE于点Q QR BD 垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动
, ⊥ , 7
而发生变化 若变化 请说明理由 若不变 求出四边形PQED的面积.
? , ; ,
A E A Q E
O
O
8
B C D B P RC D
(1) (2)
$
题15图
9
87题16
我们给出如下定义 若一个四边形的两组邻边分别相等 则称这个四边形为筝形
: ,
四边形 把这两条相等的邻边称为这个四边形的筝边.
,
写出一个你所学过的特殊四边形中是筝形四边形的图形的名称 .
(1)
如图 所示 已知格点 小正方形的顶点 O A B 请你
(2) (1) , ( ) (0,0), (0,3), (3,0),
画出以格点为顶点 OA OB为边的筝形四边形OAMB.
, 、
如图 所示 在筝形ABCD 中 AD CD AB BC 若 ADC
(3) (2) , , = , = , ∠ =60°,
ABC 求证 AB2 BD2.
∠ =30°, :2 =
y
B
A
A
O B x D C
(1) (2)
题16图
88第四期 梯形 2
题1
如图所示 在梯形ABCD中 AB CD E是BC的中点 EF AD于点F AD
, , ∥ , , ⊥ , =
EF 则梯形ABCD的面积是多少
4, =5, ?
D C 3
F
E
A B 4
题1图
5
题2
如图所示 在梯形ABCD中 AD BC 点E在BC上 AE BE 点F是CD的
, , ∥ , , = ,
中点 , 且AF ⊥ AB.若AD =2 . 7, AF =4, AB =6, 则CE的长为多少 ?
!
A D
6
F
B E C
题2图
7
题3
如图所示 在梯形ABCD中 已知AB DC AE DC AE BD AC
, , ∥ , ⊥ , =12, =15, =
则梯形ABCD的面积是多少
20, ?
8
A B
$
D E C 9
题3图
89题4
如图所示 在梯形ABCD中 AD BC BD CD BDC AD BC
, , ∥ , = ,∠ =90°, =3, =
求AB的长.
8,
A D
O
B C
题4图
题5
如图所示 在梯形ABCD中 AD BC AC BD AC BD 若E是BC
, , ∥ , ⊥ , =5, =12,
上的一点 BE . 则DE的长为多少
, =65, ?
A D
B E C
题5图
题6
如图所示 在梯形ABCD中 AD BC AD BC AC BD 则此
, , ∥ , =2, =8, =6, =8,
梯形的面积是多少
?
A D
O
B C
题6图
题7
如图所示 在梯形ABCD中 AB CD A B AB p CD q E F
, , ∥ ,∠ +∠ =90°, = , = , 、
分别为ABCD的中点 求EF的长.
、 ,
D F C
A E B
题7图
90题8 如图所示 在梯形ABCD中 AD BC DCB BD CD 过点C作CE 2
, , ∥ ,∠ =45°, ⊥ , ⊥
AB于点E 交对角线BD于点F 点G为BC中点 连接EG AF 求证 CF
, , , 、 , : =
AB AF.
+
A D
E F
3
B G C
题8图
4
题9
如图所示 在等腰梯形ABCD中 CD AB 对角线AC BD相交于O AOD
, , ∥ , 、 ,∠
点S P Q分别为OD OA BC的中点.
=120°, 、 、 、 、
5
判断 SPQ的形状并证明你的结论.
(1) △
若AB CD 求 PQS的面积.
(2) =5, =3, △
S CD !
若 △ PQS 7 求 的值. D C
(3) S = , AB
△ AOD 8
S
6
O
Q
P
7
A B
题9图
题10
如图所示 在直角梯形COAB中 CB OA 以O为原点建立直角坐标系 A C
, , ∥ , , 、
的坐标分别为A C CB D为OA的中点 动点P自A点出发 8
(10,0)、 (0,8), =4, ,
沿A B C O的线路移动 速度为 个单位 秒 移动时间为x秒.
→ → → , 1 / ,
动点P在从A到B的移动过程中 设 APD的面积为S 试写出S与x的函 $
(1) , △ ,
数关系式 并求S的最大值.
,
几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成 的两部分 求出此时点P的
(2) 1∶3 ? 9
坐标.
y
C B
P
O D A x
题10图
91题11
如图 所示 在等腰梯形ABCD中 AD BC EF是梯形中位线.AB BC
(1) , , ∥ , =4, =
B .
6,∠ =60°
求点E到BC的距离.
(1)
点P为线段EF上的一个动点 过点P作PM BC 垂足为M 过点M 作
(2) , ⊥ , ,
MN AB交折线ADC于点N 连接PN 设EP x.
∥ , , =
当点N在线段AD上时 图 设四边形ABMN的面积为y 求y关于x的
① [ (2)], ,
函数解析式 并写出定义域.
,
当点N在线段DC上时 图 是否存在点P 使 PMN为等腰三角形 若
② [ (3)], , △ ?
存在 请直接写出所有满足要求的x的值 若不存在 请说明理由.
, ; ,
A D A ND A D
N
P P
E F E F E F
B C B M C B M C
(1) (2) (3)
题11图
题12
如图所示 在等腰梯形ABCD中 AD BC AB CD AD BC .
, , ∥ , = =50, =75, =135
点P从点B出发沿折线段BA AD DC以每秒 个单位长的速度向点C匀速运
5
动 点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒 个单位长的速度匀速运动 过点Q
; 3 ,
向上作射线QK BC 交折线段CD DA AB于点E.点P Q同时开始运动 当
⊥ , 、 ,
点P与点C重合时停止运动 点Q也随之停止.设点P Q运动的时间是t秒t
, 、 (>
.
0)
当点P到达终点C时 求t的值 并指出此时BQ的长.
(1) , ,
当点P运动到AD上时 求t为何值能使PQ DC
(2) , ∥ ?
设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S 分别求出当点E在CD DA上运动
(3) , 、
时 S与t的函数关系式 不必写出t的取值范围 .
, ( )
PQE能否成为直角三角形 若能 写出t的取值范围 若不能 请说明
(4)△ ? , ; ,
理由.
K
A D
P E
B Q C
题12图
922
8 概率相关
第一期 概率初步(1) 3
题1
在某校乒乓球比赛中 李东同学顺利进入总决赛 且个人技艺高超 有同学预测
, , ,
李东夺冠的可能性是 对此说法理解正确的是 .
“ 80%”, ( ) 4
.李东夺冠的可能性较小
A
.李东和他的对手比赛 局时 他一定会赢 局
B 10 , 8
.李东夺冠的可能性较大
C
.李东肯定会赢
D
5
题2
甲 乙两名同学在一次 用频率估计概率 的实验
、 “ ” 40%
中统计了某一结果出现的频率 绘出的统计图如
, 30%
图所示 则符合这一结果的实验可能是 . !
, ( ) 20%
.从一装有 个白球和 个红球的袋子中任取
A 2 1 1 10%
个球 取到红球的概率 6
, 0 200 600
.掷一枚正六面体的骰子 出现 点的概率
B , 1 题2图
C
.抛一枚硬币
,
出现正面的概率
.任意写一个整数 它能被 整除的概率
D , 2
题3
一个不透明的口袋里有 张形状完全相同的卡片 分别写有数字 口袋 7
4 , 1、2、3、4,
外有
2
张卡片
,
分别写有数字
2、3
.现随机从口袋里取出
1
张卡片
,
这张卡片与口
袋外的 张卡片上的数能构成三角形的三边长的概率是 .
2 ( )
.1 .1 .3 .
A B C D 1
4 2 4
8
题4
在一个不透明的布袋中 共有若干个红球 黑球 白球 除颜色外 它们的形状
, 、 、 , , 、
大小 质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出 个球 记下颜色后放回布袋中
、 1 , ; $
摇匀后再随机摸出 个球 记下颜色 如此大量摸球实验后 小新发现其中摸出
1 , …… ,
红球的频率稳定于 摸出黑球的频率稳定于 对此实验 他总结出下列
20%, 50%, ,
9
结论 若进行大量摸球实验 摸出白球的频率稳定于 若从布袋中任意
:① , 30%;②
摸出 个球 该球是黑球的概率最大 若再摸球 次 必有 次摸出的是红
1 , ;③ 100 , 20
球.其中正确的结论是 .
( ) A E D
. .
A ①②③ B ①②
. . M
C ①③ D ②③
N
题5
小江玩投掷飞镖的游戏 他设计了一个如图所示的靶子
, ,
点E F分别是矩形ABCD 的两边AD BC上的点 B F C
、 、 ,
EF AB 点M N是EF上任意两点 则投掷一次 飞 题5图
∥ , 、 , ,
93镖落在阴影部分的概率是 .
( )
.1 .2 .1 .3
A B C D
3 3 2 4
题6
若自然数n使得三个数的加法运算n n n 产生进位现象 则称n为
“+(+1)+(+2)” ,
连加进位数 .例如 不是 连加进位数 因为 不产生进位现象
“ ” ,2 “ ”, 2+3+4=9 ;4
是 连加进位数 因为 产生进位现象 是 连加进位数 因为
“ ”, 4+5+6=15 ;51 “ ”,
产生进位现象.如果从 这 个自然数中任取一
51+52+53=156 0,1,2,…,99 100
个数 那么取到 连加进位数 的概率是 .
, “ ” ( )
.. .. .. ..
A 088 B 089 C 090 D 091
题7
六一儿童节期间 小丁去儿童乐园的概率是1 小李和小聪去儿童乐园的概率分
, ,
4
别为1和1 假定三人的行动相互之间没有影响 那么这段时间内三人中至少有
, ,
3 2
一人去儿童乐园的概率为 .
( )
.1 .1 .3 .23
A B C D
24 9 4 24
题8
石头 剪刀 布 是广为流传的游戏 游戏时 甲 乙双方每次出 石头 剪刀
“ 、 、 ” , , 、 “ ”“ ”
布 三种手势中的一种 规定 石头 胜 剪刀 剪刀 胜 布 布 胜 石头 同
“ ” , “ ” “ ”,“ ” “ ”,“ ” “ ”,
种手势不分胜负.假定甲 乙两人每次都是等可能地出这三种手势 用画树形图和
、 ,
列表的方法分别求一次游戏中两人出同种手势的概率和甲获胜的概率.
题9
某厂为新型号电视机上市举办促销活动 顾客每购买一台该型号电视机 可获得
, ,
一次抽奖机会 该厂拟按 设大奖 其余 为小奖.厂家设计的抽奖方案是
, 10% , 90% :
在一个不透明的盒子中 放入 个黄球和 个白球 这些球除颜色外都相同 搅
, 10 90 , ,
匀后从中任意摸出 个球 摸到黄球的顾客获得大奖 摸到白球的顾客获得小奖.
1 , ,
厂家请教了一位数学教师 他设计的抽奖方案是 在一个不透明的盒子中 放入
, : , 2
个黄球和 个白球 这些球除颜色外都相同 搅匀后从中任意摸出 个球 摸到的
3 , , 2 ,
个球都是黄球的顾客获得大奖 其余的顾客获得小奖.该抽奖方案符合厂家的设
2 ,
奖要求吗 请说明理由.
?
94题10 在一个不透明的盒子里 装有四个分别标有数字 的小球 它们的形状 2
, 1、2、3、4 , 、
大小 质地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一个小球 记下数字为x 放回
、 , ;
盒子摇匀后
,
再由小华随机取出一个小球
,
记下数字为y.
求小明 小华各取一次小球所确定的点x y 落在反比例函数y 4的图像上
(1) 、 (, ) =x
3
的概率.
求小明 小华各取一次小球所确定的数x y满足y 4的概率.
(2) 、 、 <x
4
5
!
6
7
8
$
9
95第二期 概率初步(2)
题1
多选题 已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为1 则下列说法正确的是 .
( ) , ( )
2
.连续抛一枚均匀硬币 次必有 次正面朝上
A 2 1
.连续抛一枚均匀硬币 次都有可能正面朝上
B 10
.大量反复抛一枚均匀硬币 平均每 次出现 次左右反面朝上
C , 100 50
.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
D
题2
赵爽弦图 是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼
“ ”
成的大正方形.如图所示是一个 赵爽弦图 飞镖板的示意图
“ ” ,
其直角三角形的两条直角边的长分别是 和 .小明同学距飞
2 4
镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖 假设投掷的飞镖均扎在飞镖
(
板上 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域 含边线 的概
), ( ) 题2图
率是 .
( )
.1 .1 .1 .1
A B C D
2 4 5 10
题3
在不透明的口袋中 有四个形状 大小 质地完全相同的小球 四个小球上分别标
, 、 、 ,
有数字1 1 现从口袋中任取一个小球 并将该小球上的数字作为平面
,2,4,- , ,
2 3
直角坐标系中点P的横坐标 且点P在反比例函数y 1图像上 则点P落在正
, =x ,
比例函数y x图像上方的概率是 .
= ( )
.1 .3 . .1
A B C 0 D
4 4 2
题4
某小组共有 名学生 其中女生 名 现选举 名代表 至少有 名女生当选的概
10 , 3 , 2 , 1
率是 .
( )
.7 .8 .3 .2
A B C D
15 15 5 5
题5
如图所示为一个污水净化塔内部 污水从上方入
,
口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表
面 流向如图中箭头所示 每一次水流流经三角
, ,
形两腰的机会相同 经过四层净化后流入底部的
,
个出口中的一个.下列判断 个出口的出水
5 :①5
量相同 号出口的出水量与 号出口的出水 1 2 3 4 5
;②2 4
量相同
;③1
号
、2
号
、3
号出水口的出水量之比 题5图
约为 若净化材料损耗速度与流经其
1∶4∶6;④
表面水的数量成正比 则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角
,
形材料使用时间的 倍 其中正确的判断有 .
8 , ( )
. 个 . 个 . 个 . 个
A 1 B 2 C 3 D 4
96题6
有一技术难题 甲单独解决的概率为1 乙单独解决的概率为1 现两人单独解决
2
, , ,
2 3
难题 则此难题能被解决的概率是 .
,
题7
一个密码箱的密码 每个数位上的数都是从 到 的自然数 若要使不知道密码的
, 0 9 ,
人一次就拨对密码的概率小于 1 则密码的位数至少需要 位.
, 3
2010
题8
设有一关于x的一元二次方程x2 ax b2 .若a是从 四个数中任
+2 + =0 0、1、2、3
取的一个数 b是从 三个数中任取的一个数 求上述方程有实根的概率.
, 0、1、2 ,
4
题9 一个箱子中有红 黄 白三色球各 只 每次从中任取 只 又放回地抽取 5
、 、 1 , 1 , 3
次.求
:
只全是红球的概率.
!
(1)3
只颜色全相同的概率.
(2)3
只颜色不全相同的概率.
(3)3 6
只颜色全不相同的概率.
(4)3
7
题10
小沈准备给小陈打电话 由于保管不善 电话本上小陈的手机号码中有两个数字
, ,
已模糊不清.如果用x y表示这两个看不清的数字 那么小陈的手机号码为 8
, ,
139 x 370 y 580( 手机号码由 11 个数字组成 ), 小沈记得这 11 个数字之和是 20 的整
数倍.求小沈一次拨对小陈手机号码的概率. $
9
97参 考 答 案 与 提 示
1
第一期
. .
1 D
. 组.提示 有以下三种情况 x y
2 (1)3 : +3 = 3+93=43+63=73+33=103,
{x {x {x
所以 1=3 2=48 3=147 共有 组解.
y , y , y , 3
1=27 2=12 3=3
组.提示 方程两边平方 化简得x y y x y为正整数 所以 y是个完全
(2)4 : , =1998+ -2 1998 , , , 1998
{x {x {x {x
平方数 故 1=222 2=888 3=0 4=1998所以有 组整数解.
, y , y , y , y , 4
1=888 2=222 3=1998 4=0
. 3 .提示 先提取公因式 再利用完全平方公式.
3 (1)2+1 : ,
a
1- .提示 注意a的取值范围 以及去掉绝对值后正负号.
(2) a : ,
1+
. .提示 已知等式的右边为有理数 则左边必为平方差公式 得到x y 再通过原式变形 即可
458 : , , =- , ,
得到值.
{m {m n
. =1.提示 由题意知 + -2=1 解此方程可求出值.
5 (1)n : , m n ,
=2 3 -2 +2=1
.提示 由题意得 x y y x 又y是偶数 y 为偶数 则x y
(2)-4,-2,0,2,4 : 3 + = +6, =2, , +6 , 4 + -2
x y 从而求出y的所有可能值.
≥0,2 - ≥0,
.1.提示 由已知得x a a y 即y a 代入左边可知 a 则原等式可变为
6 : - >0, - >0, - <0, , =0,
3
x y 解得x y 代入所求式子即可.
- - =0, =- ,
7
.
1
.提示
:
根据二次根式有意义的条件
,
可得a
≥1,
化简得a2
-
a
-2
a2
-
a
+1=0,
a
=
1± 5
(
负
2
值舍去 a . 所以[a] .
), ≈1618, =1
. 个.提示 由题意得 由 如果是同类二次根式 其被开方数一定为 则
8 (1)5 : , 2000=205, , 5, 1000<
5
x2
<2000,
所以x可取
15,16,17,18,19,
共
5
个.
x.提示 两根式为同类二次根式 有两种情况 ax是最简二次根式 a 3 舍
(2)- 3 : , ① 2 , = ( );
2
ax不是最简二次根式 则 ax开方后为 x 当a 时 ax x 则 x ax
② 2 , 2 3 , =6 , 2 =2 3 , -3 3 + 2 =
x x x.
-3 3 +2 3 =- 3
{a a
9
.不正确.提示
:
a
+
a2
-2
a
+1=
a
+
a
-1 =
2
a
-1(≥1)
,
因为该同学所求得的答案为1
,
所
1(<1) 2
以a a 1的解与a 不一致 所以不正确.
≥1,2 -1= ≥1 ,
2
. 1. 1. n 1 n 1 证明略.
10 ①5 ② 14+ ③ +n =(+1) n ,
6 16 +2 +2
..提示 原式 所以a b 代入计算即可.
115 : =3- 2,1<3- 2<2, =1, =2- 2,
982
12 .提示 : 因为 39- 432=6- 3,4<6- 3<5, 所以b =2- 3,2 b +b 1 =6- 3,(6- 3)2 =
39- 432, 即可得证.
第二期
3
1 . (1)6+ 2 .提示 : 原式 =2 3+ 5- ( 12+1)2 =2 3+ (3-1)2 =2 2+ 3
.
= 8+2 12= 6+ 2
(2)
2
(
a2
+
a
+1+
a2
-
a
+1)
.
2
4
提示 原式 2+2
a2
+2 1+
a2
+
a4
(
a2
+
a
+1)+2 (
a2
+
a
+1)(
a2
-
a
+1)+(
a2
-
a
+1)
: = =
2 2
=
2
(
a2
+
a
+1+
a2
-
a
+1)
.
2
{ a
2(1≤ ≤2) .提示 化简 原式 a a 再分类讨论. 5
(3) a a : , =1+ -1+ 1- -1 ,
2 -1(>2)
.5 11.提示 由条件得x 1 原式 1 1 5 11.
2 - : +x=2, = - = - !
5 11 x 1 x 1 5 11
+x+3 +x+9
n n
. 501.提示 1 1 +1- 1 1 6
31- : n n n n = nn n n = nn =n- n ,
1002 (+1) + +1 (+1)( +1+ ) (+1) +1
æ ö æ ö æ ö
所以原式 ç 1÷ ç1 1÷ ç 1 1 ÷ 1 501.
=è1- ø+è - ø+…+è - ø=1- =1-
2 2 3 2003 2004 2004 1002
. .提示 原式 (3+22)-(3+ 6) (1+ 2)2 - 3(1+ 2) .
4 (1)1+ 2 : = = =1+ 2
7
1+ 2- 3 1+ 2- 3
3+1.提示 设原式 (3+ 2)(2+1) x 则1 1 1 .
(2) : = = , x= + = 3-1
2 (3+ 2)+(2+1) 3+ 2 2+1
(3)20 .提示 : 化简 , 原式 = [ ( a -1) 2 -2 a -1+1 ] + [ ( b -2) 2 -4 b -2+4 ]
=- 1 [ ( c -3) 2 -6 c -3+9 ] , 8
2
因此有 a -1-1=0, b -2-2=0, c -3-3=0, 故a + b + c =2+6+12=20 .
5
.
(1)-1
.提示
:
由已知化简x
= 17-1,
x2
+2
x
-16=0,
则原式
=
x3( x2
+2
x
-16)-
x
(
x2
+2
x
-
$
16)+(
x2
+2
x
-16)-1=-1
.
(2) t =2 .提示 : 化简x , y , 原式 =20( x + y )2 + xy =320 t2 +320 t +81=2001, 9
解得t
=2
或
-3(
舍
)
.所以
,
当t
=2
时
,
代数式
20
x2
+41
xy
+20
y2 的值为
2001
.
6 .a2 +2 .提示 : 由已知得 ( x -2)2 = ( a +a 1 ) 2 , x2 -4 x = a -a 1 =a 1 - a , 由此化简原式.
..提示 a3 1 3 所以原式 a3 +3 a2 +3 a +1 ( 1 ) 3 .
71 : (2-1)=2-1=1,a= 2-1, = a3 -1= 1+a -1=1
8
.
2
.提示
:
设x
= 2+ 2+ 2+ 2+… ,
则x2
=2+ 2+ 2+ 2+ 2+… ,
所以
,
x2
=2+
x
,
解得x
1=-1(
舍
),
x
2=2,
即
2+ 2+ 2+ 2+… =2
.
9
.
(1)2+ 3- 5
.提示
:
设
2=
a
,3=
b
,5=
c
,
则
2
ab
=26,
a2
+
b2
-
c2
=0,
99所以 2 ab 2 ab + a2 + b2 - c2 ( a + b )2 - c2 ( a + b + c )( a + b - c ) .
a b c= a b c = a b c = a b c = 2+ 3- 5
+ + + + + + + +
a
(2)2
.提示
:
根据式子的特点
,
采用换元法
,
令x
=
-1
,
得到a
=3
x2
+1,
原式变形为
3
3
3
x2
+1+(
x2
+3)
x
+
3
3
x2
+1-(
x2
+3)
x
,
化简整理出结果即可.
. .提示 化简 原式 (3- 2)(3+ 2+ 6) .
10 3- 2 : , = = 3- 2
3+ 2+ 6
11 . 5 .提示 : 已知 ( x -4)2 =3, 即x2 -8 x =-13, 将此式代入原式化简 , 则原式整理为
x2( x2
-8
x
)+2
x
(
x2
-8
x
)+14(
x2
-8
x
)+130
x
+23 -13
x2
-26
x
-182+130
x
+23
=
-13+15 2
-13(
x2
-8
x
)-159 10 .
= = =5
2 2
a a a
. .提示 设a 局部换元求值 原式 1+ +2( +1- ) a
12 2005 : =2004, , = a a a +
+ +1+ +2
a a a a a
( +1- )( +1+ + +2) a a a a a .
= a a a + = +1- + = +1= 2005
+ +1+ +2
第三期
1
.
1
组.提示
:
设 a2
-42=
m
-
n
,
得m
+
n
=
a2, mn
= 8,
又因为a
、
m
、
n为正整数
,
则
①
若
8=1×8,
则a2
=
m
+
n
=9,
a
=3,
满足条件
;②
若
8=2×4,
则a2
=
m
+
n
=6,
a
= 6,
不满足条件.
所以这样的a m n的取值只有 组.
、 、 1
.x y z .提示 将原方程变形为x y z x y z 配方得
2 =1, =2, =3 : + + -2 -2 -1-2 -2=0,
( x -1)2 +( y -1-1)2 +( z -2-1)2 =0, 得x =1, y =2, z =3 .经检验 , x =1, y =2, z =3 是原方
程的根.
3 .n =2 .提示 : 由已知得xy =1, x2 + y2 =98, 所以x + y =10, 而x =( n +1- n )2,
y =( n +1+ n )2, 得x + y =4 n +2,4 n +2=10, 解得n =2 .
a b b a
. 1 和 2 -1 .提示 由已知条件和 a b 得 原式 - a b .
4 -a2( a
+1)
a2( a
+1)
: 0< - =a<1 , =ab [1-(- )]
a
当ab同为正数时 原式 1 当ab同为负数时 原式 2 -1 .
① 、 , =-a2( a
+1)
;② 、 , =a2( a
+1)
3a 3b 3c
5
.
1
.提示
:
设ax3
=
by3
=
cz3
=
k3, 则
x
1
=k,y
1
=k,z
1
=k,
于是
3 (k3 k3 k3 ) 3
1 1 1 1 3a 3b 3c 1 1 1 1 .
x+y+z=k( + + )=k x+y+z = x+y+z=1
.提示 x 2 2 2 2
6 : = + + +…+
1+1 2+ 2 3+ 3 100+ 100
æ ö
ç 1 1 1 1 ÷ .
>2è + + +…+ ø=2( 101-1)>2×9=18
2+1 3+ 2 4+ 3 101+ 100
同理 x 2 2 2 2
, = + + +…+
1+1 2+ 2 3+ 3 100+ 100
æ ö
ç 1 1 1 1 ÷
<2è + + +…+ ø
1+1 2+1 3+ 2 100+ 99
( )
1 19 故 x .
=2 + 2-1+ 3- 2+…+ 100- 99 =2× =19, 18< <19
2 2
100x 2
7
.提示
:
设a
1-
b2
-
b
1-
a2
=
x
,
且a
1-
b2
+
b
1-
a2
=1,
则a
1-
b2
=
1+
,
b
1-
a2
2
=
1- x
,
所以a2(1- b2)- b2(1- a2)= (1+ x )2 -(1- x )2
=
x
=
a2
-
b2.
2 4
{
a b2 b a2
由 1- + 1- =1
,
得
2
a
1-
b2
=1+
a2
-
b2, 即
(
a
- 1-
b2)2
=0
.即可得证.
a
1-
b2
-
b
1-
a2
=
a2
-
b2
3
nn
8 . (1) s 1= 3
2
, s 3= 1
1
3
2
, s n= n (
(
n +
+
1)
1
+
)
1.
n 1 .提示 s 3 7 13 n ( n +1)+1
(2) +1-n : = + + +…+ nn
+1 2 6 12 (+1)
4
1 1 1 1
=1+ +1+ +1+ +…+1+nn
2 6 12 (+1)
( )
n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 .
= + 1- + - + - +…+n-n = +1-n
2 2 3 3 4 +1 +1
..提示 第一项与最后一项相加得
94 :
9a 9a8 9a
(
9a8
+
a
)
9a8( 9a
+
a
)
5
9a + a+9a8 + a= ( 9a + a )( 9a8 + a ) + ( 9a8 + a )( 9a + a ) =1
同理可得 第二项与倒数第二项的和也是 所以原式 .
, 1, =1+1+1+1=4 !
. 提示 左右两边分子有理化 从而比较大小. .提示 根据 中的得到的结
10 (1) : , (2)1> 27- 19 : (1)
论 .
,1= 25- 16> 25+2- 16+2= 27- 18> 27- 19 6
. 1 .提示
112003- :
2003
s 1 1 1 1 1 1 1 1
= 1+ + + 1+ + + 1+ + +…+ 1+ +
1×1 2×2 2×2 3×3 3×3 4×4 2002×2002 2003×2003
9 49 169
(2002×2003)2
+2002×2002+2003×2003
7
=
4
+
36
+
144
+…+ (2002×2003)2
( )
1 1 1 1
=1×2002+ + + +…+
2 6 12 2002×2003
( )
1 1 1 1 1 1 .
=2002+ 1- + - +…+ - =2003-
2 2 3 2002 2003 2003 8
所以 与s最接近的整数是 .
, 2003
a b
12 . (1)5 .提示 : 利用立方根公式 a2 a 1 b b2=a3 - b3 , 则f ( x )= 1 ( 3x +1- 3x -1), $
+ + - 2
故原式 1 3 3 3 3 3 3 1 3 3 .
= [(2- 0)+(4- 2)+…+( 1000- 998)]= ( 1000- 0)=5
2 2 9
{x m2
(2)108
.提示
:
设
x
-116=
n2 ,
化简得y
=
m
+
n
=108
.
+100=
2
第一期
1 .m =-2, x 1= x 2=- 1.
2
2
.提示
:
首先将ax2
+
bx
(
x
-1)=
cx2
-2
b化简整理成
(
a
+
b
-
c
)
x2
-
bx
+2
b
=0,
然后根据一元二次
101方程的定义证明.
3 . 3+22 .提示 : 因为x3- a +3 x -10=0 和x3 b -4 +6 x +8=0 都是一元二次方程 , 所以a =1, b =2, 代
入上式后再利用平方差公式进行计算.
. x x x x x x x n x . 共同特
4 (1)① 1=-1, 2=1,② 1=-2, 2=1,③ 1=-3, 2=1,④ 1=- , 2=1 (2)
点有 都有一个根为 都有一个根为负整数 两个根都是整数根等 写出一条即可 .提示 利用因式分解法
: 1, , ( ) :
分别解方程 求出结果 分析方程的解与因式之间的关系 总结出共同特点.
, , ,
.x .提示 根据二次根式有意义的条件 即可求得a的值 进而求得b的值 再解方程即可.
5 =± 2 : , , ,
. .
62000
a a
.当a 且a 时 x +1 x 当a 时 x 当a 时 x .提示 分类讨论.
7 ≠0 ≠1 , 1= a , 2=a ; =0 , =0; =1 , =2 :
-1
8
.x
=
b
a
3或x
=
a
b
3 . 提示
:(
ax
-
b3)( bx
-
a3)=0, ax
-
b3
=0
或bx
-
a3
=0,
因为ab
≠0,
所以a
≠0
且b 所以x
b3或x a3
.
≠0, =a =b
9
.x
=-5
或x
=3
. 提示
:
由
(
x
-2)(
x
+4)(
x
-1)(
x
+3)=84
可得
,(
x2
+2
x
-8)(
x2
+2
x
-3)=
84, 则 ( x2 +2 x )2 -11( x2 +2 x )-60=0, 所以 ( x2 +2 x -15)( x2 +2 x +4)=0, 因为x2 +2 x +4>0, 所以
x2
+2
x
-15=0,
则
(
x
+5)(
x
-3)=0,
所以x
1=-5,
x
2=3
.
.y .提示 首先根据ab满足的关系式 求出ab的值 然后解出c 最后解关于y的方程.
10 =±2 : , , , , ,
11
.
①2- 6
.
②0
.提示
:(1)
当
2
x
-1>0,
x
>
1时
,
方程
①
可化为x2
-2
x
-3=0;
当x
=
1时
,
应
2 2
舍去
;
当x
<
1时
,
方程
①
可化为x2
+2
x
-5=0
.所以方程
①
的解是x
1=3,
x
2=-1- 6,
故方程
①
的所
2
有根之和为
3+(-1- 6)=2- 6
.
(2)
当x
>0
时
,
原方程可化为x2
-
x
-4=0;
当x
=0
时
,
应舍去
;
当
x
<0
时
,
原方程可化为x2
+
x
-4=0
.故方程的所有根之和为
0
.
c
. a b c .提示 本题关键是利用方程a b c 变化得到a b c a 6- t
12 (1) = = =2 : + + =6 + =6- , = + ,
2
c
b
=
6-
-
t
①,
将
①
代入a2
+
b2
+
c2
=12②
中
,
就把三元方程转化成二元方程.
2
s s s s
(2)
8.提示
:
设x2
= +
t
,
y2
= -
t
,- ≤
t
≤ ,
代入原方程可得10
≤
s
≤
10
,
则
s
1
+s
1
5 2 2 2 2 13 3 max min
8.
=
5
第二期
1
.
(1)
n
>-
1.
(2)
n
=0,
n
=
3
,
或n
=4
.提示
:(1)
由题意得
,
方程的判别式
Δ=
b2
-4
ac
>0,
解关
2 2
于n的不等式. 利用配方法解方程 然后根据n的范围和限制条件 方程的两实根都是整数 来求n
(2) , “ ”
的值.
2
.
(1)-2<
p
<0
.
(2)
当p
=1
时
,
x
1=
x
2=-1
是原方程的根.提示
:
用换元法
,
令 x2
+2
x
+2
p
=
y 求p的范围 从而求出两实根.
, ,
.a b 1.
3 =1, =-
2
.k 或k .提示 本题转化成 已知若干方程中至少有一个有实数根 求参数的值或范围 的问题.
4 ≤1 ≥4 : “ , ”
根据题意 当 k 时 方程无实数根 当k 或k 时 方程有实数根.
, 1< <4 , , ≤1 ≥4 ,
1022
.m 3或m 1.
5 ≤- ≥-
2 4
6
.
(1)2011
.
(2)1- 3
.提示
:(1)
根据一元二次方程解的定义
,
将x
=
a代入原方程
,
即可求得a2
-4
a
值
,
然后将a2
-4
a的值整体代入所求的代数式并求值即可.
(2)
先利用公式法求得原方程的解
,
根据已知条
件可知a值 然后将其代入化简后的代数式求值即可.
,
7
.
(1)-
2
<
b
<-
1.
(2)
4. 提示
:(1)
先根据c是一元二次方程ax2
+2
bx
+
c
=0
的实数根
,
把c 3
3 2 5
代入此方程可得到关于abc的方程 根据c 可得到ac b 再由不等式的基本性质即可求出b
、 、 , >0 +2 +1=0,
的取值范围.
(2)
设x
1
为公共根
,
则x2
1+2
bx
1+
c
=4
x2
1+4
bx
1+
c
=0,
得x
1=
2b
,
再代入x2
1+2
bx
1+
c
=
3
4
0
中
,
得c
=
8b2, 从而求出结果.
9
8
.
0
或1.提示
:
将原式化为kx2
-(3
k
-2)
x
-1=0,
由于原方程只有一个实数解
,
显然
,
当k
=0
时
,
2
成立 ; 当 Δ=(3 k -2)2 +4 k =0 时 , k无解.当该方程的其中一个根为 1 或 0 时 , 将x =1 代入方程中得k =
1 经检验成立.将x 代入方程得 舍 .综上 k 或1. 5
, =0 -1=0( ) , =0
2 2
. a 或a .提示 设两根为x x.当x x 时 为等边三角形 当x x 时 此时x 为
90< ≤8 =9 : 1, 2 1= 2 , ; 1< 2 , 2
腰 x 为底边.则a的取值范围是 a 或a . !
, 1 0< ≤8 =9
.提示 根据b c ab a cb c a以及判别式的运用可证得.
10 : - < , + > , + >
11 . 2 m -3 .提示 : 由 Δ=4( m2 +2 m +1)-4( m2 +5)>0, 得m >2, 则化简得 2 m -3 . 6
. k . .提示 根据题意 要使方程有两个不相等的实数根 必有 可得k
12 (1)-2≤ <2 (2)4 :(1) , , Δ>0,
的取值范围 注意分析二次根式有意义的条件 得 k . 由 得到k的取值范围 化简绝对值与
, , -2≤ <2 (2) (1) ,
二次根式 即可得出结果.
,
13 . (1) 提示 : 需要证明y2 -4 xz ≥0, 由题设 , x (-1)2 + y (-1)+ z =0 .可知 ,-1 是方程xa2 + ya + z
=0 的一个实根 , 所以 ,Δ=(- y )2 -4 xz ≥0 . (2) 提示 : 当c =2 a时 , 不等式恒成立.当c ≠ a时 , 需要证明 7
( a - b )2 -( c -2 a )(2 b - c )≥0, 以 ( c -2 a ),2( a - b ),(2 b - c ) 为系数构造一元二次方程.当x =1 时 , 则方
程的 Δ=[2( a - b )]2 -4( c -2 a )(2 b - c )≥0 恒成立.综上 , 不等式恒成立.
第三期
8
x x
1 .x2 1+ x2 2=( x 1+ x 2)2 -2 x 1 x 2,x 1 +x 1 = x 2+ x 1 ,(1+ x 1)(1+ x 2)=1+( x 1+ x 2)+ x 1 x 2,
1 2 1 2
$
( x 1- x 2)= ( x 1+ x 2)2 -4 x 1 x 2, x3 1+ x3 2=( x 1+ x 2)3 -3 x 1 x 2( x 1+ x 2) .
. 1.提示 将方程整理为一般形式 根据方程有解得到根的判别式的值大于等于 列出关于m的
2 - : , 0,
2 9
不等式 求出不等式的解集得到m的范围.根据两根满足的关系式 利用绝对值的代数意义化简 即可求出
, , ,
满足题意的值.
.提示 由韦达定理可证.
3 :
..提示 由韦达定理 得a b ab m 则
41 : , + =1, = ,
a3
+
b3
+3(
a3b
+
ab3)+6( a3b2
+
a2b3)
=( a + b )3 -3 ab ( a + b )+3 ab [( a + b )2 -2 ab ]+6( ab )2( a + b )
=1 3 -3 m +3× m ×(1 2 -2× m )+6× m2 ×1=1 .
. 略. 满足条件的正数k不存在.提示 要证无论k取何值 这个方程总有两个实数根 即
5 (1) (2) :(1) , ,
是证明方程的判别式 即可. 本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查 可用k的式子表示
Δ≥0 (2) ,
103原式 求得k的值 然后判断是否满足实际意义.
, ,
.提示 设关于x的一元二次方程的两个实根为x x x x .由韦达定理 x x a
6 : 1, 2( 1 > 2 ) , 1+ 2=- ,
xx b.所以 a b a b x x xx .因为 x x x x
1 2= + = - + = 1+ 2 + 1 2 <1 1 - 2 ≤ 1+ 2 ,
xx x x 所 以 x x x x x x xx 所 以
1 2 = 1 · 2 , 1 - 2 + 1 · 2 ≤ 1+ 2 + 1 2 <1,
x x .因为 x 所以 x x 所以 x x .所以当
( 1 -1)( 2 +1)<0 2 +1>0, 1 -1<0, 1 <1, 2 < 1 <1
a
+
b
<1
时
,
方程x2
+
ax
+
b
=0
的两根的绝对值均小于
1
.
7 .提示 : 利用根与系数的关系得到α + β, αβ, 然后计算.因为 ( α - n )(β - n )<0, 即可得到这个方程的
两根中 有一个比n大 另一个比n小.
, ,
b b a b b a
.c (2 - ).提示 将两个式子相减得到一根后将这个根代入两个方程的任何一个得c (2 - ).
8 = a : = a
9
.m
=-3,
n
=-
3.提示
:
设x
1,
x
2
为方程mx2
+3
x
-2
n
=0
的两个根
,
则x
1+
x
2=-m
3
,
x
1
x
2=
2
ï ì m
3
n m n
ïn=
2 1 1 1 2 可得í2 3 从而求得m和n的值.
-m;x +x = ,xx = , ï m n,
1 2 3 1 2 3 ï 2
î-n=
2 3
m
10 .m =-2, x =3 .提示 : 设x 1 是方程的根 , 则x2 1+ mx 1-3= x 1 2 -4 x 1- m +1=0, 得x 1= 4- m
4+
(
m
≠-4),
再将x
1
代入原方程
,
得m3
+2
m2
+16
m
+32=0,
解得m
=-2
.
( ) ( )
. s m m 9 . .提示 由韦达定理和根的判别式易得s m m 9 .
11 (1) =9-2 < (2)21 :(1) =9-2 <
4 4
(2) x3 1+8 x 2= x 1(3 x 1-1)+8 x 2=3 x 1 2 - x 1+8 x 2=8 x 1-3+8 x 2=21 .
..
120
.531.
13
760
第四期
b c
1
.5.提示
:
因甲看错了二次项系数
,
设所解的方程为a
1
x2
+
bx
+
c
=0,
于是有
6=a
-
,8=a ,
得
3 1 1
b c b
- =
.设乙看错了一次项系数的符号
,
则他所解的方程为ax2
-
bx
+
c
=0,
得
3=a
.则原方程的判别
3 4
式为b2
-4
ac
=
b2
-4·
b
·
(
-
4
b)
=
25
b2
≥0,
与题设矛盾
;
若乙看错二次项系数则同理可证
,
与题设矛
3 3 9
b c b c
盾.故乙看错的只是常数项
,
即他所解的方程为ax2
+
bx
-
c
=0,
则
-1+4=-a,
-
a =-4,
因此 +
a
2
=
3
3c c
- +2
4 5.
c =
3 3
4
. 由于x x 则k 7不是整数 因为不是偶系二次方程. 存在实数c 使得
2 (1) 1=-4, 2=3, ||= , (2) <0,
2
k
b2
-4
c
为正整数即可.
||=
2
. m 且m .提示 由于两个方程都有根 可以利用它们的判别式求出y n 或y n
3 -7≤ ≤10 ≠0 : , 1= -2 2=
及m m .由于 y y 得 n .再由根与系数的关系和已知条件得出m n的关系式
≥-7, ≠0 -2≤ 1< 2≤4, 0≤ ≤4 ,
m =-14-4 y 1+2 y 2 2 =-14-4 n +8+2 n2 =2( n -1)2 -8 .由 0≤ n ≤4, 得 -8≤ m ≤10, 因为m ≥-7,
104m 所以 m 且m . 2
≠0, -7≤ ≤10 ≠0
4
.
1<
a
+
b
<
4
3 ,
8
9 <
a2
+
b2
<1
.提示
:
由ab和a
+
b的形式
,
比较容易联想到韦达定理
,
构造以
a
+
b
,
ab为系数的一元二次方程
,
由条件去探求a
+
b和a2
+
b2 的范围.
5
.提示
:
本题利用代入消元法
,
把z消去
,
构造成关于x的一元二次方程
,
将该方程变为x2
+(
y
-
a
)
x
+
(
y2
-
ay
+
a2 )
=0
.由
Δ≥0,
得
0≤
y
≤
2a
,0≤
x
≤
2a
,0≤
z
≤
2a. 3
4 3 3 3
.提示 本题利用根与系数的关系 把m n视为所构造的新方程的两个根 即m n是一元二次
6 : , ,- , ,-
方程x2 -8 x +( l2 +16)=0 的两个实数根 , 由判别式 Δ≥0 得到l =0, 进而mn =-16, 有n =-4, m =4,
即m n l .
+ + =0
.提示 本题用代入消元法 因为不可能三个数全为负 也不可能仅有一个数为负 否则与abc 矛 4
7 : , , , =1
盾.又a b c 因此又不可能三个数全为正 因此必是两负一正.分类讨论 逐步缩小范围.可知a b
+ + =0, , , ,
为方程x2
+
cx
+c
1
=0
的两根
,
则
Δ=
c2
-c
4
≥0,
c
≥
3
4>
3.
2
..提示 由xyz x y z 知x y z的符号为一正两负 不妨设z 则x y .
84 : =2>0, + + =0 , , , >0, <0, <0
5
所以x
+
y
=-
z
,
xy
=z
2.x
,
y是方程t2
+
zt
+z
2
=0
的两根
,
因此有
Δ=
z2
-z
8
≥0,
即z3
≥8,
所以z
≥
.又因为 x y x y x y z
2 + =- - =-(+ )= ≥2, !
所以 | x |+| y |+| z |≥4 .当x =-1, y =-1, z =2 时 , xyz =2, x + y + z =0 且 | x |+| y |+| z |=4 .
9
.提示
:
由a
+
x
=
k得a
-
k
+
x
=0,
可知关于t的一元二次方程at2
-
kt
+
x
=0
一定有一个实数根为
6
1 .于是 Δ=(- k )2 -4 ax ≥0, 即ax ≤
k2
.同理可证明by ≤
k2
, cz ≤
k2
.由a , b , c , x , y , z为正数知k >0,
4 4 4
所以ax by cz 3
k2
k2.
+ + ≤ 4 <
( )
10
.5.提示
:
显然n
≠0,
因此
7
n2
+5
n
-3=0
可化为
3 n
1 2
-5n
1
-7=0,
由mn
≠1
知m
≠n
1
,
又
7
3
因为
3
m2
-5
m
-7=0,
所以m
、n
1是关于x的方程
3
x2
-5
x
-7=0
的两个不等实根.根据根与系数的关系
,
得m 1 5.
+n=
3
注 以上 个小题都运用了根与系数关系构造方程的思想 在解方程 证明恒等式 证明不等式等方
( : 5 , 、 、 8
面都有应用.
)
{α {α {α {α
11 .
β
1=0 , 或
β
2=6 , 或
β
3=-2 , 或
β
4=-8.提示 : 本题的关键是使用αβ + α + β +1=( α +1)(β +1), $
1=6 2=0 3=-8 4=-2
该公式为韦达定理和因式分解建立了联系.
设方程的两根为α 、β, 则α + β =6- a , αβ = a.两式相加 , 得 : α + β + αβ =6 .所以α + β + αβ +1=7, 即 9
{α {α {α
( α +1)(β +1)=7 .因为α 、β均为整数且 7 为质数 , 所以 +1=1 , 或 +1=7 , 或 +1=-1 , 或
β +1=7 β +1=1 β +1=-7
{α
+1=-7 解之可得这两个根.
,
β
+1=-1
12 .提示 : 解已知方程 , 得α =-( n +1)+ n2 -4 n +6,β =-( n +1)- n2 -4 n +6 .
下面进行分类讨论.
① 当n =1 时 , α =-2+ 3,β =-2- 3, 则α和β的整数部分分别为 -1、-4, 此时以它们的整数部
分为根的方程是y2
+5
y
+4=0;
105② 当n =2 时 , α =-3+ 2,β =-3- 2, 则α和β的整数部分分别为 -2、-5, 此时以它们的整数部
分为根的方程是y2
+7
y
+10=0;
③ 因为n2 -4 n +6=( n -2)2 +2, 当n ≥3 时 ,( n -2)2 <( n -2)2 +2<( n -1)2, 所以n -2<
n2
-4
n
+6<
n
-1,
n2
-4
n
+6
的整数部分n
-2
.当n
≥3
时
,
α的整数部分为 -3,β的整数部分为
-2
n
+1,
此时以它们的整数部分为根的方程是y2
+2(
n
+1)
y
+3(2
n
-1)=0
.
. 提示 无论x取何值 方程总有两个实数根 是假命题.
13 (1) :“ , ”
举一个反例 如当k 时 原式可化为x 解得x 只有一个实数根.
, =0 , -2=0, =2,
由于k 可知方程为一元二次方程 先求出两根之和与两根之积的表达式 再代入x x x
≠0, , , 1(1- 2)+ 2
k2解答.
k 或k .
< (2) >1+ 3 <0
2
14 . -37 .提示 : 因为p = q =3, 所以pq - r4 =3 3 -(22)4 =-37 .
. k 5. k 1.提示 利用一元二次方程根的判别式就可以得到关于k的不等式 解不
15 (1) ≤ (2) = :(1) ,
12 4
等式即可求出k的取值范围. 先利用根与系数的关系判断出x 与x 同号 再根据 x x
(2) 1 2 , 2 1 =5-2 2 ,
可以得到关于k的方程 然后解方程即可求出k的值.
,
16 . (1)80 .提示 : c 3= a3 + b3 =( a + b )[( a + b )2 -3 ab ]=2×[2 2 -3×(-12)]=80 . (2) 提示 : c n +1=
an +1 + bn +1 =( a + b )( an + bn )- ab ( an -1 + bn -1)=2 c n+12 c n -1 .
3
第一期
{m2
.m .提示 根据题意得 -3=1 解得m .
1 =2 : , m , =2
2 -1>0
.z .
2 =-33
. 千米 千米 时. 2小时.
3 (1)180 ,60 / (2)
3
. y 2x 能 P 或P .提示 注意不要漏解. 因为点A的横坐标为 且
4 (1) =- ,(2) , (5,0) (-5,0) : (1) 3,
3
AOH 的面积为 所以点A的纵坐标为 点A的坐标为 而正比例函数y kx经过点A 所
△ 3, -2, (3,-2), = ,
以由 k 解得k 2 即正比例函数的解析式是y 2x. 由于 AOP的面积为 点A的坐
3 =-2 =- , =- (2) △ 5,
3 3
标为 所以OP 所以点P的坐标为 或 .
(3,-2), =5, (5,0) (-5,0)
æ ö æ ö æ ö æ ö
.P ç 3 1÷ P ç3 1÷ P ç3 3÷ P ç1 3÷.提示 注意不要漏解.由于等腰三角
5 1è- ,- ø, 2è , ø, 3è , ø, 4è , ø :
2 2 2 2 2 2 2 6
形的腰长不明确 所以分以下三种情况讨论求解 OP OA AP OA 线段OA的垂直平分线与
, ,① = ,② = ,③
直线的交点.
æ ö
在直线y 3x上作OP OA 可得符合条件的P P 点 坐标分别为P ç 3 1÷
① = = , 1、 2 , 1è- ,- ø,
3 2 2
æ ö
P ç3 1÷ 以A 为圆心 为半径作弧交直线y 3x于点P 点P 符合条件 P 坐标为
2è , ø;② ,1 = 3, 3 , 3
2 2 3
æ ö æ ö
ç3 3÷ 线段OA的垂直平分线交直线y 3x于点P 点P 符合条件 P 点坐标为ç1 3÷.
è , ø;③ = 4, 4 , 4 è , ø
2 2 3 2 6
106. y .x. x . 分钟. 2
6 (1) =06 (2)0≤ ≤35 (3)35
. 千米. y x x . 千米.
7 (1)200 (2) =200 (0≤ ≤128)(3)9000
.Q .提示 设点Q的坐标为a a .首先要求出三角形的顶点和高 由已知条件联立两直线的
8 (2,8) : (,4 ) ,
a (a )
方程求出三角形顶点坐标 从而求出三角形的底和高分别为 -6 和 a 则S 1 -6 a
, a+6 4 , = a+6 ·4 =
1- 2 1-
10
a2
.再根据函数的性质令t a 则原式为
(
t 1
)
从而求出最小值 . 3
a = -1, 10· +t+2 , 40
-1
. y 3x x . y 9 x . x x .
9 (1) = (0< ≤3)(2) = (3≤ ≤6)(3) =1, =8
2 2
第二期
4
( ) ( )
. k . Q 9 或Q 9 .提示 注意不要漏解 y轴负半轴亦有一解.
1 (1) =9 (2) ,4 - ,-4 : ,
4 4
2
.S
1=
S
2
.提示
:
由反比例函数可知xy
=2,
所以S
△ AOA'=1,
S
△ BOB'=1,
y
两边减去 POA'的面积.
△
3 .k =2 .提示 : 连接OE , 由反比例函数性质可知S △ AOD= S △ EOC, D为AB A D B 5
x x y
的中点 , 所以S梯形OABE= S梯形ODBC=3, 设D ( x , y ), 则S梯形OABE= (+2 )× E
2 !
=3,
xy
=2
.
( ) ( )
4 . (1) B (3,3), k =9 . (2) P 6, 3 或P 3 ,6 .提示 :(1) 由正方形 O C x 6
2 2
OABC的面积为 可知BC BA .故B .又点B在函数y k 题3答案图
9, = =3 (3,3) =x
k x 的图像上 将B 代入 得k .
(>0, >0) , (3,3) , =9
k
本题注意多解及分类讨论.因为点P是函数y k x 图像上任意一点 所以应分点P在
(2) =x(>0, >0) ,
7
点B右侧和左侧两种情况.
{mn {m
=9 =6
当点P在点B右侧时 即m 时 S 27 有 解得 .
, ≥3 , =9-m, m n 9 , n 3
( -3)= =
2 2
{mn { 8
=9 m 3
当点P在点B左侧时 当 m 时 S m 有 解得 = .
, 0< <3 , =9-3 , n m 9 , 2
(-3) = n
2 =6 $
( ) ( )
故点P的坐标为 3 或 3 .
6, ,6
2 2
. .提示 借助三角形的性质 数形结合即可. 9
5 (26,0) : ,
设点A的坐标为 ( x A, yA), 由等边三角形OAB可知yA= 3 x A .又反比例函数y = 3 x 3 ( x >0) 的图像
ì ï ï yA= 3 x A { x
过点A ( x A, yA), 所以yA= 3 x A 3.联立
î
í ïïyA= 3
x
A
3 , 得 yA A
=
=
3
3.所以点A的坐标为 (3,3), 点B的坐标
ì ï ï yC= 3( x C-23)
为 (23,0) .设C的坐标为 ( x C, yC), 同理可得 3( x C-2 3)= yC .联立
î
í ïïyC=
3
x
C
3
, 得
107{
x
C= 6+ 3 所以点C的坐标为 .故点D的坐标为 .
, (6+ 3,32-3) (26,0)
yC=32-3
6
.S
=
k
1-
k
2
.提示
:
利用图像的割补
,
设P
(
m
,
n
),
则mn
=
k
1,
得A
、
B两点坐标.由S四边形PAOB=
S四边形PEOD- S
△
OEA-
S
△
OBD
得出答案.
7
.
2
.提示
:
因为S
△ AOC=
S
△ BOD=2
.
5,
S矩形MDOC=3, 所以S阴影
=
S
△ AOC+
S
△ BOD-
S矩形MDOC=2 .
( ) ( )
..提示 设P a a 则A 4 a B 2 a 故AB 6 S 1 6 a .
83 : (0, )(>0), -a, , a, , =a, △ ABC= ·a· =3
2
( ) k
.y 2.提示 设长方形AOCB的长为a 宽为b 则Pa 1b 有1b 故k 1ab.又点Q
9 =x : , , , , =a, =
2 2 2
k
在边AB上
,
可令Q
(
x
0,
b
),
代入y
=x,
得x
0=
1a.所以S阴影
=
ab
-
1
·
1ab
-
1
·
1ab
=2,
得1ab
2 2 2 2 2 2
即k .
=2, =2
. . ..提示 由于旋转 则DD' CD' BB' BC.又A 则C .将C
10 (1)6 (2)27 :(1) , =2 , =2 (-1,6), (2,3)
点坐标代入函数关系式求得解. 由第 问中正方形的性质可得A' 从而可得E点坐标.
(2) (1) (5,0),
.a 或a .提示 注意有两个解.点A平移后的坐标为 a 点B平移后的坐标为
11 =2 =5 : (-1+ ,3),
a 所以 a 或 a .
(-2+ ,1), 3(-1+ )=3 1×(-2+ )=3
n n n
.n .提示 1
12 =2012 :nn +n n +…+n n = ,
(+1) (+1)(+2) (+2011)(+2012) 2
( ) ( )
n 1 1 1 1 1 1 1 所以n 1 1 1 n .
n-n +n -n +…+n -n = , n-n = , =2012
+1 +1 +2 +2011 +2012 2 +2012 2
x
. y 3 +1. 2. 万元.提示 设投入改造经费x万元 则
13 (1) =x (2)①8+y ②3 : ,
+1
[( x ) x ] x ( x ) x
3 +1 . x 3 +1 1 3 +1 3 +1 3 +1 x ..
8+2÷x ×15+ ÷x × ×x - 8+2÷x ×x - =95
+1 +1 2 +1 +1 +1
x
. y 450 x . ..
14 (1) = +x(70≤ ≤110)(2)111
18
( ) x x
提示 y x 1 450 450 x . 根据材料得 450时有最小值 解得x
:(1) = +x2 = +x(70≤ ≤110)(2) , +x , =
18 18 18
代入方程得解.
90,
. y 200 x y x x . . .
15 (1) =x(1≤ ≤5), =20 -60(>5)(2)8 (3)5
. 吨. b c d .提示 利用待定系数法求出函数解析式y 960 再解方程
16 (1)960 (2) =160, =120, =6 : =x ,
组即可.
. 秒.提示 作NA x轴于点A.
176 : ⊥
第三期
. k . x 或 x .
1 (1) =16 (2) >8 -8< <0
k
.y x 36.提示 设y kx y 2k k 将值代入解出k k.
2 =5 +x2 : 1= 1 , 2=x(1, 2≠0), 1, 2
. k . P P P P .提示 以点A或点B为直角顶点得
3 (1) =-1 (2) (0,2), (0,-2), (0,2), (0,- 2) :
出两个解 再以P为直角顶点得出两个解.
,
..
4π
{y x
= , {x {x
..提示 利用交点获取信息 联立方程组 解得 =1,或 =-1,于是点A 点
52 : , y 1 y y . (1,1)
=x, =1, =-1
1082
C
(-1,-1),
则AB
=
CD
=1,
BD
=1-(-1)=2,
所以S四边形ABCD= S
△ ABD+
S
△ BCD=
1AB
·
BD
+
1CD
·
BD
2 2
AB BD .
= · =2
( k)
. B m . 可以是矩形 mn k.提示 曲线与四边形的结合.
6 (1) - ,-m (2) , = :
( k)
因为A m B与A关于原点对称. 由双曲线的中心对称知OA OB OP OQ 所以四
(1) ,m , (2) = , = , 3
边形APBQ是平行四边形.当OA OP时 四边形APBQ是矩形.
= ,
( k)
由点Pn ,n , 所以由勾股定理 , 且m ≠ n , k >0, 故mn = k时 , 四边形APBQ是矩形.由于 ∠ AOP
所以四边形APBQ不可能是正方形.
<90°,
4
y
7 . 15 15小时.提示 : 将图中的坐标点分别代入方程得t 1= 1 , t 2=16, P
16 16
( ) A
则t 1 15 小时 .
=(16-1)+ 1- 16 =15 16 ( )
O C D x
8 . (1) y = 1 x 2. (2) S =9 .提示 : S △ AOP= S △ OPC+ S梯形PCDA- S △ AOD B 5
=
S梯形PCDA .
9
.
(1)
k
=8
.
(2)
P
(2,4)
或P
(8,1)
.提示
:
注意两解
,
反比例函数图 题8答案图
!
像是关于原点O的中心对称图形 , OA = OB , OP = OQ , 所以四边形APBQ
( )
是平行四边形.所以S △ POA= 1S平行四边形APBQ=6 .设P m ,m 8 ( m >0 且m ≠4), 若 0< m <4, S △ POA= 6
4
S梯形PEFA=6, 解得m
=2(
负解舍去
);
若m
>4,
解得m
=8(
负解舍去
)
.
k (k k )
10 . (1) y =x 6. (2) 不能.提示 :(1) 设b n=n, 则S n= 1 ×1×( b n- b n +1)= 1 n-n =
2 2 +1
k( ) k( )
1 1 .S S S S 1 1 1 1 1 180 解得k . 7
n-n 1+ 2+ 3+…+ 60= 1- + - +…+ - = , =6
2 +1 2 2 2 3 60 61 61
( )
由 可知 S 1 1 则有S S S S
(2) (1) , n=3 n-n +1 , 1+ 2+ 3+…+ n
( ) n
1 1 1 1 1 3 .
=31- + - +…+n-n =n <3
2 2 3 +1 +1
8
4
$
第一期
9
.提示 首先根据中位线定理得到EF BD EF 1BD 从而可以证出 FCD CFE 再根据直
1 : ∥ , = , ∠ =∠ ,
2
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 得到CE 1AD 从而进一步得到EF EC 利用等边对等角证
, = , = ,
2
出 ECF CFE 也就得到了 FCD ECF.
∠ =∠ , ∠ =∠
. 提示 证明 ABN ADN 即可得出结论. .提示 先判断MN是 BDC的中位线 从
2 (1) : △ ≌△ , (2)41 : △ ,
而求出CD , 由 (1) 可得AD = AB =10, 从而计算得到周长.
.证明 如图所示 连接AC取中点P 连接PE PF.由条件易得PF AD 同理PE BC 从而得到
3 : , , 、 ∥ , ∥ ,
H PFE BGE PEF.又因为AD BC 所以PF PE 因此 AHE BGE.
∠ =∠ ,∠ =∠ > , > , ∠ <∠
109H
G
D
M
D
C
F C
N
P Q
A E B A P E B
题3答案图 题4答案图
.提示 如图所示 连接AC BD.先利用中位线定理得出PQ 1AC MN 1AC 即MN PQ
4 : , 、 , , ,
2 2
得到四边形PQMN为平行四边形 再证 AEC DEB 从而得到PQ 1AC 1BD PN 所以四边
, △ ≌△ , = = = ,
2 2
形PQMN为菱形.
.证明 如图 所示 取AC的中点G 连接GN GD.在 CAF中 GN是中位线 所以GN
5 :(1) (1) , , 、 △ , , ∥
AF 得到 CNG是等边三角形 CN GN.在 ABC中 易得 GD BC 易得DG CM.在 DNG中
, △ , = △ , 2 = , = △ ,
DGN DGC NGC ACB MCN 得到 DGN CMN 易得 DNM
∠ =∠ +∠ =60°+180°-∠ =∠ , △ ≌△ (SAS), ∠ =
.因此 DMN是等边三角形. 如图 所示 连接QN PM.由条件易得 NQ CE PM QNM
60° △ (2) (2) , 、 2 = =2 ,∠
PMN 所以 DNQ PMD 得到 QND PMD.因此DP DQ.
=∠ , ∠ =∠ , △ ≌△ =
F F
Q
P
N N
E E
M M
G C C
A D B A D B
(1) (2)
题5答案图
A
.提示 延长AB CF交于点E.由AD是 BAC的角平分线 且
6 : 、 ∠ ,
CF ⊥ AD , 易得 △ AFE ≌△ AFC (ASA), 从而得到 △ AEC为等腰三角形. B DM
又因为M为BC中点
,
则MF为
△
CBE的中位线
,
即MF
=
1BE.因此
E F C
2
MF 1 AC AB . 题6答案图
= ( - )
2
.EH 1AC.提示 取BC边中点F 连接DE DF.因为D E F分别
7 = : , 、 、 、 A
2
是边AB 、 AC 、 BC的中点 , 所以DE ∥ BC且DE = 1BC , DF ∥ AC且DF = D E
2
1AC EC 1AC 所以四边形DFCE是平行四边形 EDF C.因为
, = , ,∠ =∠ P
2 2 B H F C
C PDQ 所以 PDQ EDF 所以 PDF QDE.又AC BC 所
∠ =∠ , ∠ =∠ , ∠ =∠ = , Q
以DE DF 因为PD QD 所以 PDF QDE.所以 DEQ DFP.因
= , = , △ ≌△ ∠ =∠ 题7答案图
为DE BC DF AC 所以 DEQ EHC DFP C.所以 C
∥ , ∥ , ∠ =∠ ,∠ =∠ ∠ =
1102
EHC 所以EH EC 即得到EH 1AC.
∠ , = , =
2
.提示 本题利用内错角相等 两直线平行 以及全等三角形的判定和性质 等角对等边 中位线的判
8 : , , , ,
定. 因为BD CD 所以 BCD .而 所以 BCD CD AB. 在 BDE和
(1) = , ∠ =∠1 ∠1=∠2, ∠ =∠2, ∥ (2) △
ACE中 因为DE CE DEB CEA BE AE 所以 BDE ACE. 因为 BDE ACE
△ , = ,∠ =∠ , = , △ ≌△ (3) △ ≌△ ,
所以 ACE BDE 所以 ACH BCH.又因为CH AB 所以
∠4=∠1,∠ =∠ =90°, ∠ =90°-∠ ⊥ , ∠2= 3
BCH 所以 ACH AF CF.因为 AEC ECF ACH
90°-∠ , ∠ =∠2=∠1=∠4, = ∠ =90°-∠4,∠ =90°-∠ ,
又 ACH 所以 AEC ECF 一个为 的外角 一个为 HCA的外角 CF EF
∠ =∠4, ∠ =∠ ( ∠2、∠3 , ∠4、∠ ), = ,
EF AF.因为O为AB的中点 所以OF为 ABE的中位线 所以OF 1BE.
= , △ , =
2
.提示 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 得到CE BC 从而得到 CBE 4
9 :(1) , = , ∠ =
CEB.再根据等角的余角相等证明 FBE FEB 得到BF EF.根据等角的余角相等以及等角对等边
∠ ∠ =∠ , =
再进一步证明EF DF 最后得到BF DF. 由 中得到的BF FD 而BC CA 所以CF AD
= , = (2) (1) = , = , ∥ ,
即AE ∥ CF.若AC ∥ EF , 则AC = EF , 所以BC = BF.所以BA = BD ,∠ A =45° .因此 0°<∠ A <90°, 且
A 时 四边形ACFE为梯形. 如图所示 作GH BD 垂足为H 则GH AB.因为DG
∠ ≠45° , (3) , ⊥ , , ∥ = 5
1DA 所以DH 1DB.又F为BD中点 所以H 为DF的中点 GH 为DF的中垂线 GDF
, = , , ,∠ =
4 4
GFD.因为点 G 在ED 上 所以 EFD GFD.而 EFD FDE DEF 所以
∠ , ∠ ≥ ∠ ∠ + ∠ + ∠ =180°, !
GFD FDE DEF EDF EDF .又 A EDF 所以 A
∠ +∠ +∠ ≤180°,3∠ ≤180°,∠ ≤60° ∠ +∠ =90°, 30°≤∠ <
90° .因此 , 当 30°≤∠ A <90° 时 , DE上存在点G , 满足条件DG = 1DA. 6
4
F
E A
A
A 7
E D
M N
C G C B M
N
E
B F H D M H G D B C
题9答案图 题10答案图 题11答案图
8
.提示 如图所示 延长BA到点F 使AF AB 延长ED到G 使DG DE 连接CF BG 延长
10 : , , = ; , = ; 、 ,
FE交CD于N 交直线BG于H.易证 ECF GCB 易得FE DG 所以FE与BG垂直且相等.易得 $
, △ ≌△ , ⊥ ,
AM DM是 BEF和 BEG的中位线 可得AM DM AM DM.
、 △ △ , = , ⊥
11 .提示 : 如图所示 , 延长AM 、 CB交于点D , 容易证明 △ AMB ≌△ DMB , 得到AB = DB.延长AN 、 9
a b c
BC交于E 同样得到AC EC MN 1DE 所以MN + + .
, = , = , =
2 2
. 提示 证法一 如图 所示 延长AB交CF于点D 则易知 ABC与 BCD均为等腰直角
12 (1) : (1) , , △ △
三角形 所以AB BC BD.点B为线段AD的中点 又因为点M为线段AF的中点 所以BM为 ADF
, = = , , △
的中位线 BM CF.
, ∥
证法二 如图 所示 延长BM交EF于D.根据在同一平面内 垂直于同一直线的两直线互相平行
(2) , , ,
可得AB EF 再根据两直线平行 内错角相等 可得 BAM DFM.根据中点定义可得AM MF 然
∥ , , , ∠ =∠ = ,
后利用 角边角 证明 ABM和 FDM全等.再根据全等三角形对应边相等可得AB DF 而BE CE
“ ” △ △ = , = -
BC DE EF DF 从而得到 BDE是等腰直角三角形.根据等腰直角三角形的性质求出 EBM
, = - , △ ∠ =45°,
111从而得到 EBM ECF 再根据 同位角相等 两直线平行 证明MB CF即可.
∠ =∠ , “ , ” ∥
D E
E F E F G F
M M
M
B B B
A D A A D
C C C
(1) (2) (3)
题12答案图
2a 2a.提示 解法一 如图 所示 延长AB交CF于点D 则易知 BCD与 ABC为等腰
(2) , : (3) , , △ △
2 2
直角三角形 所以AB BC BD a AC CD a.点B为AD中点 又点M为AF中点 所以BM
, = = = , = = 2 , , =
1DF.分别延长FE与CA交于点G 则易知 CEF与 CEG均为等腰直角三角形 所以CE EF GE
, △ △ , = = =
2
a CG CF a.点E为FG中点 又点M为AF中点 ME 1AG.因为CG CF a AC CD
2 , = =22 , , = = =22 , =
2
a 所以AG DF a BM ME 1 a 2a.
= 2 , = = 2 , = = × 2 =
2 2
解法二 因为CB a CE a 所以BE CE CB a a a 而 ABM FEM 所以BM
= , =2 , = - =2 - = , △ ≌△ , =
DM.又 BED是等腰直角三角形 所以 BEM是等腰直角三角形 BM ME 2BE 2a.
△ , △ , = = =
2 2
G
E E
B D B
A A
M M
C F C D F
(4) (5)
题12答案图
提示 证法一 如图 所示 延长AB交CE于点D 连接DF 则易知 ABC与 BCD均为等腰
(3) : (4) , , , △ △
直角三角形 所以AB BC BD AC CD.点B为AD中点 又点M为AF中点 所以BM 1DF.延
, = = , = , , =
2
长FE与CB交于点G 连接AG 则易知 CEF与 CEG均为等腰直角三角形 所以CE EF EG CF
, , △ △ , = = ,
CG.点E为FG中点 又点M为AF中点 所以ME 1AG.在 ACG与 DCF中 AC CD ACG
= , , = △ △ , = ,∠
2
DCF CG CF 所以 ACG DCF 所以DF AG 则BM ME.
=∠ =45°, = , △ ≌△ (SAS), = , =
证法二 如图 所示 延长BM交CF于D 连接BE DE.利用 同旁内角互补 两直线平行 求出
(5) , , 、 “ , ”
AB CF 再根据 两直线平行 内错角相等 求出 BAM DFM.根据中点定义可得AM MF 然后利
∥ , “ , ” ∠ =∠ = ,
用 角边角 证明 ABM和 FDM全等 再根据 全等三角形对应边相等 可得AB DF BM DM 再根
“ ” △ △ , “ ” = , = ,
据 边角边 证明 BCE和 DFE全等.根据全等三角形可得BE DE BEC DEF 然后求出
“ ” △ △ = ,∠ =∠ ,
BED CEF 再根据等腰直角三角形的性质证明结论即可.
∠ =∠ =90°,
1122
第二期
.提示 假设AB AC 则 ABC ACB.由图可知 点D 点C在直线AB的同侧 所以 DBC
1 : ≥ , ∠ ≤∠ , 、 , ∠ <
ABC ACB DCB 所以BD CD 因此AB BD AC CD 与已知矛 A
∠ ≤∠ <∠ , > , + > + ,
盾 所以AB AC.
, <
2 .提示 : 假设PB = PC , 则 ∠ PBC =∠ PCB ; 又AB = AC , 所以 ∠ ABC = 3
ACB ABP ACP.所以 ABP ACP APB APC 这与 APB
∠ ,∠ =∠ △ ≌△ ,∠ =∠ , ∠
≠∠ APC矛盾 , 因而PB = PC不成立 , PB ≠ PC. B M D C
.提示 假设结论不成立 则点M在线段CD上.如图所示 延长AM到点N
3 : , , ,
使AM MN 连接BN.在 AMC和 NMB中 BM CM AMC BMN
= , △ △ , = ,∠ =∠ , 4
AM MN 所以 AMC NMB 则 MAC MNB BN AC.根据点
= , △ ≌△ (SAS), ∠ =∠ , =
M在线段CD 上 有 BAM MAC 所以 MNB BAM BN AB 即 N
, ∠ >∠ , ∠ <∠ , > , 题3答案图
AC > AB , 这与AB > AC矛盾.因而假设是错误的 , 点M不在线段CD上.
.提示 连接DE 假设BD和CE互相平分 所以四边形EBCD是平行四边形 所以BE CD.因为
4 : , , , ∥
在 ABC中 点D E分别在边AC AB上 由于AC不可能平行于AB 与已知矛盾 故假设不成立 即
△ , 、 、 , , , , 5
BD和CE不可能互相平分.
. t 或 .提示 S 1PC CQ 1 t t tt 解得t t .所以当
5 (1)=1s 2s : △ PCQ= · = (3- )·2=(3- )=2, 1=1,2=2 !
2 2
时间t为
1s
或
2s
时
,
S
△ PCQ=2cm
2.
( )
(2)
分三种情况
:①
当
0<
t
≤2
时
,
S
=-
t2
+3
t
=-
t
-
3 2
+
9
;
6
2 4
( )
②
当
2<
t
≤3
时
,
S
=
4
5
t2
-
1
5
8t
+6=
4
5
t
-
9
4
2
+
3
2
9
0 ;
( )
③
当
3<
t
≤4
.
5
时
,
S
=-
3t2
+
27t
-
42
=-
3t
-
9 2
+
15.
5 5 5 5 2 4
7
有.分三种情况 在 t 时 当t 3 S有最大值 S 9
(3) :① 0< ≤2 , = , , 1= ;
2 4
在 t 时 当t S有最大值 S 12
② 2< ≤3 , =3, , 2= ;
5
在 t .时 当t 9 S有最大值 S 15
③ 3< ≤45 , = 2 , , 3= 4 ; 8
因为S 1< S 2< S 3, 所以t = 9时 , S有最大值 , S max= 15.
2 4 $
C C C
P P
P
Q
9
A B A H Q B A Q H B
(1) (2) (3)
题5答案图
. AD CD BD.如图 所示 延长CD至点E 使DE DA.可证明 EAD是等边三角形.连
6 (1) + = (1) , , = △
接AC
,
可证明
△
BAD
≌△
CAE
,
故AD
+
CD
=
DE
+
CD
=
CE
=
BD.
(2)
BD
≤
PA
+
PD
+
PC.提示
:
如图
所示 在四边形ABCD外侧作正三角形AB'D 可证明 AB'C ADB 得B'C DB.因为四边形
(2) , , △ ≌△ , =
AB'DP符合 中条件 所以B'P AP PD.连接B'C 若满足题中条件的点P在B'C上 则B'C
(1) , = + ,① , =
PB' PC 所以B'C AP PD PC 即BD PA PD PC. 若满足题中条件的点P不在B'C上 因
+ , = + + , = + + ② ,
113为B'C PB' PC 所以B'C AP PD PC 即BD PA PD PC.综上 BD PA PD PC.
< + , < + + , < + + , ≤ + +
A D A D
B′
P
A E A M N
P
Q M N
P
D
B C B C
B B D
Q
C C
(1) (2) (1) (2)
题6答案图 题7答案图
. PQ PB.提示 过P点作MN BC分别交边AB DC于点M N.在正方形ABCD中 AC为
7 (1) = : ∥ 、 、 ,
对角线 所以AM PM.又AB MN 所以MB PN.因为 BPQ 所以 BPM NPQ .又
, = = , = ∠ =90°, ∠ +∠ =90°
MBP BPM 所以 MBP NPQ MBP NPQ 所以PB PQ y
∠ +∠ =90°, ∠ =∠ ,Rt△ ≌Rt△ , = ;(2) =
æ ö
1x2 - 2 x +1 ç è0≤ x ≤ 2 ø ÷.提示 : 因为S四边形PBCQ= S △ PBC+ S △ PCQ .因为AP = x , 所以AM = 2x.所以
2 2 2
æ ö
CQ
=
CD
-2
NQ
=1- 2
x.又S
△ PBC=
1BC
·
BM
=
1
·1·
ç
è1-
2x÷
ø=
1
-
2x
,
S
△ PCQ=
1CQ
·
PN
2 2 2 2 4 2
æ ö æ ö
= 1 ·(1- 2 x )· ç è1- 2x ø ÷ = 1x2 - 32x + 1 , 所以y = 1x2 - 2 x +1 ç è0≤ x ≤ 2÷ ø;
2 2 2 4 2 2 2
可能 分以下两种情况 当点P与点A重合时 点Q与点D重合 PQ QC 此时x . 当点
(3) , :① , , = , =0 ②
Q在DC的延长线上 且CP CQ时 有NQ AM PM 2x CP x CN 2CP 2x
, = , = = = , = 2- , = =1- ,
2 2 2
æ ö
CQ
=
QN
-
CN
=
2x
-
ç
è1-
2x
ø
÷
= 2
x
-1
.所以当
2-
x
= 2
x
-1
时
,
x
=1
.
2 2
. 提示 由题意得 当m n时 四边形AOBC是正方形.如图 所示 在OA上取一点G 使AG
8 (1) : , = , (1) , ,
BE 则OG OE.所以 EGO 从而 AGE .由BF是外角平分线 得 EBF 所以
= , = ∠ =45°, ∠ =135° , ∠ =135°,
AGE EBF.因为 AEF 所以 FEB AEO .在 AEO中 因为 EAO AEO
∠ =∠ ∠ =90°, ∠ +∠ =90° Rt△ , ∠ +∠
所以 EAO FEB AGE EBF EF AE.
=90°, ∠ =∠ ,△ ≌△ , =
y y
F
A C A C
G F
O E B x O E B H x
(1) (2)
题8答案图
不存在.提示 假设存在点E 使EF AE.设Ea 作FH x轴于H 见图 .由 知
(2) : , = (,0), ⊥ , (2) (1)
EAO FEH 于是 AOE EHF 所以FH OE EH OA.因此点F的纵坐标为a 即
∠ =∠ , Rt△ ≌Rt△ , = , = ,
FH a.由BF是外角平分线知 FBH 所以BH FH a.又由Cm n 有OB m 所以BE
= ,∠ =45°, = = ( , ) = , =
OB OE m a EH m a a m.又EH OA n 所以m n 这与已知m n相矛盾.因此在边
- = - , = - + = = = , = , ≠
OB上不存在点E 使EF AE成立.
, =
114ì ïï BA
=
BE 2
. 等腰直角. 等腰 α. 结论仍然成立.提示 在 ABF和 EBC中 由í ABF EBC
9 (1) (2) , (3) : △ △ , ïï∠ =∠ ,
îBF BC
=
得 ABF EBC 所以AF CE AFB ECB.因为M N分别是AF CE的中点 所以FM
△ ≌△ , = ,∠ =∠ 、 、 , =
CN 结合 BC BF 所以 MFB NCB 得 BM BN MBF NBC.因此 MBN
( = ), △ ≌ △ , = ,∠ = ∠ ∠ =
MBF FBN FBN NBC FBC. D F 3
∠ +∠ =∠ +∠ =∠
N
. AM DE AM 1DE. 结论仍然成立.提示 如图所示 延长 P
10 (1) ⊥ , = (2) : ,
2 E
CA至点F , 使FA = AC , FA交DE于点P , 并连接BF.因为DA ⊥ BA , EA ⊥ A
AF 所 以 BAF DAF EAD. 在 FAB 和 EAD
, ∠ = 90° + ∠ = ∠ △ △
ì ïï FA
=
AE 4
中 í BAF EAD B M C
,
î
ïï
B
∠
A DA
=∠ ,
题10答案图
=
得 FAB EAD .所以BF DE F AEN.所以 FPD F APE AEN
△ ≌△ (SAS) = ,∠ =∠ ∠ +∠ =∠ +∠ =90°
注 EA CF 因此FB DE.又CA AF CM MB 所以AM FB 中位线 且AM 1FB 所以 5
( : ⊥ ), ⊥ = , = , ∥ ( ) = ,
2
AM ⊥ DE , AM = 1DE.
2 !
. QFC .提示 不妨设BP AB 如图 所示 因为 BAP
11 (1)30°,60°;(2)∠ =60° : > 3 , (2) , ∠ =
BAE EAP EAP EAQ QAP EAP EAP 所以 BAP EAQ.在
∠ +∠ =60°+∠ ,∠ =∠ +∠ =60°+∠ , ∠ =∠
6
ABP和 AEQ中AB AE BAP EAQ AP AQ 所以 ABP AEQ 所以 AEQ
△ △ = ,∠ =∠ , = , △ ≌△ (SAS), ∠ =
ABP 所以 BEF AEQ AEB 所以 QFC EBF BEF
∠ =90°, ∠ =180°-∠ -∠ =180°-90°-60°=30°, ∠ =∠ +∠
.事实上 当BP AB时 如图 情形 不失一般性 结论仍然成立 不分类讨论可以
=30°+30°=60° ( , ≤ 3 , (1) , , ,
不扣分 .
)
7
y 3x x .提示 在图 中 过点F作FG BE于点G.因为 ABE是等边三角形 所
(3) = + 3(>0) : (2) , ⊥ △ ,
2
以BE AB 由 得 EBF .在 BGF中 BG BE 所以BF EF .因为
= =23, (1) ∠ =30° Rt△ , = = 3, =2, =2
2
ABP AEQ 所以QE BP x QF QE EF.过点Q作QH BC 垂足为H.在 QHF中
△ ≌△ , = = , = + ⊥ , Rt△ ,
y QH 3x x 即y关于x的函数关系式是y 3x x . 8
= = (+2)(>0), = + 3(>0)
2 2
. BD CE AM AN MAN BAC.提示 因为在图 中 DE BC AB AC 易
12 (1)① = ;② = ,∠ =∠ : (1) , ∥ , = , $
ì ïï AB
=
AC
得AD AE.在图 中 ABD与 ACE中 í BAD CAE 得 ABD ACE 所以BD CE
= (2) ,△ △ ,ïï∠ =∠ , △ ≌△ , = ,
îAD AE 9
=
ACE ABD.在 DAM与 EAN中 因为DM 1BD EN 1CE BD CE 所以DM EN 因
∠ =∠ △ △ , = , = , = , = ,
2 2
为 AEN ACE CAE ADM ABD BAD 所以 AEN ADM.又AE AD 所以
∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ +∠ , ∠ =∠ = ,
ADM AEN AM AN DAM EAN.所以 MAN DAE BAC 从而有AM AN
△ ≌△ , = ,∠ =∠ ∠ =∠ =∠ , = ,
MAN BAC. AM kAN MAN BAC.
∠ =∠ (2) = ,∠ =∠
第三期
. .提示 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 取AB中点E时 OE 1 AB
11+ 2 : , , = , =1,
2
115又因为ED 所以OD OE DE .
= 2, ≤ + =1+ 2
. .提示 如图所示 延长AD BC交
2 (1)43-4 (2)63 :(1) , 、 A D
O
于点O 因为 B A 所以 O 所以OA AB
, ∠ =90°,∠ =60°, ∠ =30°, =2 =
8,
OC
=2
CD
=4
.由勾股定理得
,
OB
=
OA2
-
AB2
=43,
所以
C
BC OB OC .
= - =43-4 B
延长AD BC交于点E 因为 B A AB
(2) , , ∠ =90°,∠ =60°, =4,
题2答案图
所以BE 所以S .因为 B C A
=43, △ ABE=83 ∠ =∠ =90°,∠ =60°,
所以 CDE DCE .因为CD 所以DE 所以S .因为S 所以
∠ =90°,∠ =60° =2, =23, △ DCE=23 △ ABE=83,
四边形ABCD面积 S S .
= △ ABE- △ DCE=63
.提示 因为 BAC B C 所以 C B .设AB a 则BC a 根据勾股
3 : ∠ =90°,∠ =2∠ , ∠ =30°,∠ =60° = , =2 ,
定理AC
= 3
a
,
所以AC2
=3
a2, AB2
+
AB
·
BC
=3
a2, 所以AC2
=3
a2
=
AB2
+
AB
·
BC.
4
.提示
:
过点A作BC边的垂线AD
,
AB2
=
BD2
+
AD2, AP2
=
PD2
+
AD2, 两式相减
,
得AB2
-
AP2
=
BD2
-
PD2
=(
BD
+
PD
)·(
BD
-
PD
)
.因为
△
ABC是等腰三角形
,
所以AD同时也是BC的平分线
,
即
BD
=
CD
,
BD
+
PD
=
CD
+
PD
=
PC
,
BD
-
PD
=
PB
,
所以AB2
-
AP2
=
PB
·
PC.
.提示 设正方形的边长为 k.因为正方形ABCD 所以AB AD BC CD k B C D
5 : 4 , = = = =4 ,∠ =∠ =∠
=90°
.因为F是CD的中点
,
所以CF
=
DF
=2
k
,
AF2
=
AD2
+
DF2
=20
k2.因为CE
=
BC
×
1
,
所以CE
4
=
k
,
BE
=
BC
-
CE
=3
k
,
所以EF2
=
CF2
+
CE2
=4
k2
+
k2
=5
k2, AE2
=
AB2
+
BE2
=16
k2
+9
k2
=25
k2,
因此AE2
=
AF2
+
EF2
=25
k2, 所以
∠
EFA
=90°
.
6
.
①
a2
+
b2
>
c2.
②
a2
+
b2
<
c2.提示
:(1)
在
Rt△
ABD和
Rt△
ACD中
,
设CD
=
x
,
则b2
-
x2
=
AD2 = c2 -( a - x )2, 整理得a2 + b2 = c2 +2 ax.因为 2 ax >0, 所以a2 + b2 > c2. (2) 在 Rt△ ABD 和
Rt△ BDC中 , 设CD = x , 则c2 -( b + x )2 = BD2 = a2 - x2, 整理得a2 + b2 = c2 -2 bx , 因为 2 bx >0, 所以
a2 b2 c2.
+ <
7
.当点P在图
(2)
中的位置时
,
PA2
+
PC2
=
PB2
+
PD2; 当点P在图
(3)
中的位置时
,
PA2
+
PC2
=
PB2 PD2.
+
P
A D A M D A D
O
P
B P C B N C B Q C
(1) (2) (3)
题7答案图
提示 如图 所示 过点P 作MN AD 于点M 交BC于点N.因为在矩形ABCD 中
:(1) (2) , ⊥ , ,
AD
∥
BC
,
MN
⊥
AD
,
所以MN
⊥
BC.因为在
Rt△
AMP中
,
PA2
=
PM2
+
MA2, 在
Rt△
BNP中
,
PB2
=
PN2
+
BN2, 在
Rt△
DMP中
,
PD2
=
DM2
+
PM2, 在
Rt△
CNP中
,
PC2
=
PN2
+
NC2, 所以PA2
+
PC2
=
PM2
+
MA2
+
PN2
+
NC2, PB2
+
PD2
=
PM2
+
DM2
+
BN2
+
PN2.因为 MN
⊥
AD
,
MN
⊥
BC
,
DC
⊥
BC
,
所以四边形MNCD是矩形
,
所以MD
=
NC
,
同理AM
=
BN
,
所以PM2
+
MA2
+
PN2
+
NC2
=
PM2
+
DM2
+
BN2
+
PN2, 即PA2
+
PC2
=
PB2
+
PD2.
如图 所示 过点P作PQ BC交ADBC于点O 点Q.因为在矩形ABCD中 AD BC
(2) (3) , ⊥ 、 、 , ∥ ,
116PQ
⊥
BC
,
所以PQ
⊥
AD.因为在
Rt△
AOP中
,
PA2
=
AO2
+
PO2, 在
Rt△
PQB中
,
PB2
=
PQ2
+
QB2, 在 2
Rt△
POD中
,
PD2
=
DO2
+
PO2, 在
Rt△
CQP中
,
PC2
=
PQ2
+
QC2, 所以PA2
+
PC2
=
PO2
+
OA2
+
PQ2
+
QC2,
PB2
+
PD2
=
PQ2
+
QB2
+
DO2
+
PO2.因为PQ
⊥
AD
,
PQ
⊥
NC
,
DC
⊥
BC
,
所以四边形OQCD是矩形
,
所以OD
=
QC
,
同理AO
=
BQ
,
所以PA2
+
PC2
=
PB2
+
PD2.
.提示 连接BM 因为MP AB 所以 BPM和 APM为直角三角形.在 BMP APM和
8 : , ⊥ , △ △ Rt△ ,Rt△
Rt△ BCM中 , 根据勾股定理有 , PB2 = BM2 - MP2, MP2 = AM2 - AP2, BM2 = BC2 + CM2.所以BP2 = 3
(
BC2
+
CM2)-( AM2
-
AP2)= BC2
+
CM2
-
AM2
+
AP2, 所以BP2
=
AP2
+
BC2.
9 .提示 : 作CN ⊥ CA , 交AF的延长线于点N , 则 ∠ NCF =∠ MCF =45° .AD = AE , AC = AB ,
DAC EAB 则 ABE ACD ABE ACD 所以 AEB CMF 则 GEM GME 得
∠ =∠ , △ ≌△ ,∠ =∠ , ∠ =∠ , ∠ =∠ ,
EG MG.因为 ABE CAN AB AC BAE ACN 所以 MCF NCF FN FM 故
= ∠ =∠ , = ,∠ =∠ =90°, △ ≌△ , = , 4
BG AF FG.
= +
10 .提示 : 如图所示 , 构造一个边长为 ( a + b )、( c + d ) 的矩形ABCD , 在 A a E b D
c
Rt△
ABE 中
,
BE
=
AE2
+
AB2, 所以BE
=
a2
+
c2
+
d2
+2
cd
;
在
F
Rt△
BCF中
,
BF
=
BC2
+
CF2
=
a2
+
b2
+
d2
+2
ab
;
在
Rt△
DEF中
, d
EF
=
DE2
+
DF2
=
b2
+
c2; 在
Rt△
BEF 中
,
BE
+
EF
>
BF
,
即 5
a2
+
c2
+
d2
+2
cd
+
b2
+
c2
>
a2
+
b2
+
d2
+2
ab.
B C
11 . (1) k =4 . (2)8 . (3) 能 , Q (4,1), P (1,0) .提示 :(1) 过点A作 题10答案图 !
AM x轴于点M AN y轴于N 则AM AN 所以设Aa a 代入y
⊥ , ⊥ , = , (, ),
k
x 中 a 所以A 代入y 中 得y 4 则k . 6
=3 -4 , =2, (2,2), =x , =x, =4
(2) 因为A (2,2), 所以AO2 =2 2 +2 2 =8, 又因为y =3 x -4, x =0 时 , y =-4, 所以C (0,-4), 所以
CO2
=16,
在
Rt△
AOD中
,
AD2
=
OA2
-
OD2, 又在
Rt△
COD中
,
CD2
=
OC2
-
OD2, 所以CD2
-
AD2
=
OC2 OA2 .
- =16-8=8
y y y 7
N A A A
Q
O PM B x O D B x O P B x
8
C C $
(1) (2) (3)
9
题11答案图
能 如图 过点B作BQ x轴于点B 交双曲线于点Q 旋转到此时 射线AB交双曲线于Q
(3) , (3), ⊥ , , ,
时 PAQ为等腰直角三角形.因为在 AOP 和 ABQ 中 OAP BAQ OA AB AOP
,△ △ △ ,∠ =∠ , = ,∠ =
∠
ABQ
,
所以
△
AOP
≌△
ABQ
,
所以
△
PAQ为等腰直角三角形
,
此时x
Q=
x
B=4,
所以y
=1,
所以
Q 所以OP QB 所以P .
(4,1), = =1, (1,0)
. 变小. 问题 当AD 时 FC AB.问题 当AD 31 时 以线段
12 (1) (2) ①: =(12-43)cm , ∥ ②: = cm ,
6
AD FC BC的长度为三边长的三角形是直角三角形.问题 不存在.
、 、 ③:
提示 因为 B A BC 所以AC .因为 FDE DEF
:① ∠ =90°,∠ =30°, =6cm, =12cm ∠ =90°,∠ =45°,
117DE 所以DF .如图 所示 连接FC 设FC AB 所以 FCD A 所以在
=4cm, =4cm (1) , , ∥ , ∠ =∠ =30°,
FDC中 DC 所以AD AC DC 时 FC AB. 设AD x 在 FDC
Rt△ , =43cm, = - =(12-43)cm , ∥ ② = , Rt△
中 , FC2 = DC2 + FD2 =(12- x )2 +16 .因为AC =12cm, DE =4cm, 所以AD ≤8cm .
C C
F
30°
15°
E F 15°
15° P
D E
D
A B A B
(1) (2)
题12答案图
(Ⅰ) 当FC为斜边时 , 由AD2 + BC2 = FC2 得 , x2 +6 2 =(12- x )2 +16, x = 31 ;
6
(Ⅱ) 当AD为斜边时 , 由FC2 + BC2 = AD2 得 ,(12- x )2 +16+6 2 = x2, x = 49 >8( 不合题意舍去 );
6
(Ⅲ) 当BC为斜边时 , 由AD2 + FC2 = BC2 得 , x2 +(12- x )2 +16=36, x2 -12 x +62=0, 方程无解 ,
所以由 得 当x 31 时 以线段AD FC BC的长度为三边长的三角形是直角三角形.
(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ) , = cm , 、 、
6
不存在这样的位置 使得 FCD .假设 FCD 因为 EFC 作 EFC的平分线
③ , ∠ =15° ∠ =15°, ∠ =30°, ∠ ,
交AC于点P 则 EFP CFP DFE EFP 所以PD PC PF FD
, ∠ =∠ =15°,∠ +∠ =60°, =43cm, = =2 =
所以PC PD 所以不存在这样的位置 使得 FCD .
8cm, + =8+43>12, , ∠ =15°
13 . (1) E (0,1) . (2)① A'B2 + BE'2 =2( m -1)2 +27 . y y
( ) B B
E' . E' 6 .
(1,1)② ,1
7
提示 如图 所示 因为点A 点B 所
:(1) (1) , (-2,0), (0,4),
以OA OB .因为 OAE OBA EOA AOB E
=2, =4 ∠ =∠ ,∠ =∠ = E E′
所以OE 所以点E的坐标为
90°, =1, (0,1);
如图 所示 连接EE'.由题设知 AA' m A O x A A′ O O′ x
(2)① (2) , =
(0< m <2), 则A'O =2- m.在 Rt△ A'BO中 , A'B2 =(2- m )2 + (1) (2)
2 m2 m .因为 A'E'O'是 AEO沿x轴向右平移得到
4= -4 +20 △ △
的 所以 BEE' EE' m.又因为BE OB OE 所
, ∠ =90°, = = - =3,
以BE'2
=
E'E2
+
BE2
=
m2
+9,
所以A'B2
+
BE'2
=2
m2
-4
m
+ B′
29=2( m -1)2 +27 .当m =1 时 , A'B2 + BE'2 可以取得最小值 , 题13答案图
此时 点E'的坐标是 .
, (1,1)
如图 所示 过点A作AB' x 并使AB' BE .易证 AB'A' EBE' 所以A'B BE'
② (2) , ⊥ , = =3 △ ≌△ , + =
A'B B'A'.当点B A' B'在同一条直线上时 A'B BE'取得最小值.因为AA' 6 所以AA' EE'
+ 、 、 , + = , = =
7
( )
6 所以点E'的坐标是 6 .
, ,1
7 7
1185 2
第一期
a b b c c a
..提示 + + + p 若a b c 则p 若a b c 则p .
1B :c = a = b = ,① + + ≠0, =2;② + + =0, =-1
当p 时 y px q过第一 二 三象限 当p 时 y px p过第二 三 四象限 综上所述 3
=2 , = + 、 、 ; =-1 , = + 、 、 , ,
y = px + p一定过第二 、 三象限.
2
.
A
.提示
:
依题意
,Δ=
p2
+4
q
>0,
k
<0,
b
>0,
所以一次函数的图像一定经过第一
、
二
、
四象限.
. .
3 A
..提示 满足已知条件的 条直线最多有 个交点 增加 条直线与这 条直线最多有 个交点
4B : 6 10 , 1 6 6 , 4
再增加 条直线与前 条直线最多有 个交点 一直增加到第 条直线与前 条直线最多有 个交点
1 7 7 …… 10 9 9 ,
所以这 条直线的交点最多有 个 .
10 10+6+7+8+9=40( )
{y bx a
..提示 由方程组 = + 的解可知两直线的交点为 a b 而图 中交点的横坐标是负数
5B : y ax b (1, + ), (A) ,
= +
不对 图 中交点的横坐标是 不等于 不对 图 中交点的纵坐标是大于a且小于b的数 不等于 5
; (C) 2 1, ; (D) ,
a b 不对.故选 .
+ , B
6 .正方形 ,2 .提示 : 当x ≥1, y ≥1 时 , y =- x +3; 当x ≥1, y <1 时 , y = x -1; 当x <1, y ≥1 时 , !
y x 当x y 时 y x .
= +1; <1, <1 , =- +1
由此知 曲线围成的图形是正方形 其边长为 面积为 .
, , 2, 2 6
.y x y 1x .提示 设正比例函数y kx 一次函数y ax b.因为点B在第三象限 横坐
7 = , =- -3 : = , = + ,
2
标为 -2, 设B (-2, yB), 其中yB<0, 因为S △ AOB=6, 所以1 AO ·| yB|=6, 所以yB=-2, 把点
2
B 代入正比例函数y kx 得k .把点A B 代入y ax b 所以y x
(-2,-2) = , =1 (-6,0), (-2,-2) = + , = , 7
y 1x 即所求.
=- -3
2
.y x y 3.提示 因为一次函数y x b过点B 且点B的横坐标为 所以y b 又 1
8 = +2, =x : = + , 1, =1+ ,
2
× OC × BC = 1 ×1×( b +1)= 3 , 解得b =2, 所以B (1,3), 所以一次函数的解析式为y = x +2 .又因为 8
2 2
y k 过点B 所以k .
=x , =3 $
{ k b {k
. x .提示 直线y kx b经过A和B两点 则有 - + =2 解得 =1 则不等式
9 -1< <0 : = + , k b , b ,
-3 + =0 =3 9
x kx b 可化为 x x 解得 x .
- +1< + <3 - +1< +3<3, -1< <0
.y 3x .提示 根据题意 得A B AB DAB .
10 = -23 : , (2,0), (0,23), =4,∠ =120°
3
因为 DCA OC OA OB .在 DOC中 OD 所以C D .设直
∠ =30°, = + =6 Rt△ , =23, (6,0), (0,-23)
线CD的解析式为y kx 所以 k 因此y 3x .
= -23, 0=6 -23, = -23
3
{x {x
. 提示 将一次函数变化为x m x y 令 +2=0 解得 =-2 即恒过点
11 (1) : (+2) -2 - -3=0, x y , y ,
2 + +3=0 =1
. m .提示 当 m 时 y 不合题意 当 m 时 m 可得
(-2,1) (2) =3 : =2 , =1, ; >2 , -2>0,
119{ m m { m m
2( -2)+2 -3=5 解得m 当m 时 m 可得 2( -2)+2 -3=4 无解.所以m .
m m , =3; <2 , -2<0, m m , =3
-2+2 -3=4 -2+2 -3=5
. 或 .提示 由一次函数中y随x的增大而增大 可知 k 解得k 1.又因为它的图像与
121 2 : , 2 -1>0, >
2
x轴的交点坐标为 k 与y轴的交点坐标为 则它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面
(1-2 ,0), (0,1),
k
积是S 1 k 1 k 3 解得k .而反比例函数y 2-3 的图像在第二 四象限
= × 1-2 ×1= (2 -1)≤ , ≤2 = x 、 ,
2 2 2
则 k 即k 2.综上 k的整数值为 或 .
2-3 ≤0, > , 1 2
3
. B . y 1x .提示 由题意可知 CB BD CO OA AD 将CO
13 (1) (3,5)(2) =- +5 : ,3( + )=( + + ), =5,
3
OA 代入 得BD AD 所以D 直线方程为y 1x .
=3 , =1, =4, (3,4), =- +5
3
14
.a
=
3-8.提示
:
由已知可得A
(3,0),
B
(0,1),
OA
= 3,
OB
=1,
故AB
=
OA2
+
OB2
=2
.
2
因此 S 1 .连接PO 则S S S S 1 a 1 1
, △ ABC= ×2×2=2 , △ ABP= △ PBO+ △ ABO- △ APO= ×1×||+ × 3- ×
2 2 2 2
a a
1 3 3.又S S 所以 3 3 解得a 3-8.
3× =- + - △ ABP= △ ABC, - + - =2, =
2 2 2 4 2 2 4 2
第二期
t
. .提示 根据题意 有t 50×80k 所以k 32t.
1 : , = 2 , =
2 160 5
t t
因此两个城市间每天的电话通话次数为T k 80×100 32 5 .
BC= × 2 = × =
320 5 64 2
aq2 bp2
. - .
2 bp aq
2( - )
. x .提示 已知一次函数y kx b和y mx n的图像交于点P 从图像上可以
3 -3< <-1 : = + = + (-1,3),
看出 当x 时 y mx n kx b y 又 mx n
, <-1 , = + < + = , 0< + ,
所以x 因此解集为 x .
>-3, -3< <-1
. .
4 A
5
.
(1)25cm,20cm;2h,2.5h.(2)
y甲
=-
25x
+25
.y乙
=-8
x
+20
.
2
x 10.提示 由题意得 25x x 解得x 10.
(3) = : - +25=-8 +20, =
9 2 9
. W x W的最大值为 元 最小值为 元.提示 由题设知 市 市
6 (1) =-800 +17200, 13200 , 10000 : ,A 、B 、
市发往 市的机器台数分别为x x x 发往 市的机器台数分别为 x x x .易得
C D , ,18-2 , E 10- ,10- ,2 -10
W x x x x x x x 所以当x
=200 +300 +400(18-2 )+800(10- )+700(10- )+500(2 -10)=-800 +17200, =9
时 W取到最小值 元 当x 时 W取到最大值 元.
, 10000 ; =5 , 13200
W x y W的最大值为 元 最小值为 元.提示 由题设知 从 市
(2) =-500 -300 +17200, 14200 , 9800 : , A 、
市 市发往 市的机器台数分别为x y x y 发往 市的机器台数分别是 x y
B 、C D , ,18- - , E 10- ,10- ,
x y .易得W x x y y x y x y
+ -10 =200 +800(10- )+300 +700(10- )+400(19- - )+500( + -10)=
x y 当x y 时 W 所以W 的最小值为 元 当x y 时
-500 -300 +17200, =10, =8 , =9800, 9800 ; =0, =10 ,
W 所以W的最大值为 元.
=14200, 14200
. x y . x y .提示 设预计购买甲 乙商品的单价分别为a元和b元
7 (1) +2 =186 (2) =76, =55 :(1) 、 ,
120ax by . 2
+ =1500 ①
又因为甲商品单价上涨 .元 乙商品单价上涨 元 并且甲商品减少 个后总金额多了 元 所以
15 , 1 , 10 29 ,
a . x b y .
(+15)(-10)+(+1)=1529 ②
再由 甲商品单价上涨 元 而数量比预计少 个 乙商品单价上涨仍是 元 得a x b y
“ 1 , 5 , 1 ” (+1)(-5)+(+1)
. .
=15635 ③
联立 得x y . 3
①,②,③ +2 =186
依题意有 x y 及x y 解得 y 2.
(2) ,205<2 + <210 +2 =186, 54< <55
3
由于y是整数 得y 从而x .
, =55, =76
( )
.提示 点Q在OC上时 Q 8t 6t 点Q在CB上时 Q t .
8 :(1)① , , ; , (2-1,3) 4
5 5
显然点Q在CB上 由平行四边形的知识可得 只需OP CQ 所以由 t t 得t .
② , , = , 2-5= , =5
t
先求梯形的周长为 可得t vt 所以v 16- 点Q所经过的路程s t.
(2)① 32, + =16, = t , =16-
能.显然点Q应在CB上 梯形的面积为 t秒Q点运动的路程为 t 则BQ
② , (10+14)×3÷2=36, 2, =
5
t t
t t AP t 可得[(14- )+(16-2)]×3
10-(2-5)=15-2, =14- , =18,
2
( ) ( )
解得t = 17 , 则BQ = 11 , Q点坐标为 31 ,3 ; AP = 25 , P点坐标为 17 ,0 . !
3 3 3 3 3
.提示 y 3x . 因为点D为线段BC的中点 所以D 解得t 3秒.
9 :(1) = +5 (2) , (4,8), =
4 2 6
当P在OA上时 S 1 t t t
(3) , = × ×8=4 (0< ≤8);
2
当P在AB上时 S t t
, =-2+48 (8< ≤19);
当P在BD上时 S 8t 184 t
, =- + (19< <24);
5 5 7
10 . (1) y =- 1x +3 . (2) 直角三角形.提示 : P (4,1) 与C的横坐标一致.
2
( )
存在 P P P P 18 6 .提示 如图所示 当 PCO 时
(3) , 1(4,1), 2(0,3), 3(2,2), 4 , : , ∠ =90° ,
5 5
( )
P
1(4,1);
当
∠
POC
=90°
时
,
P
2(0,3);
当
∠
OPC
=90°
时
,
令P
3
a
,-
1a
+3 ,
则PO2
+
PC2
=
OC2,
8
2
( ) ( )
即a2
+23-
1a 2
+(
a
-4)=16,
解得a
1=2,
a
2=
18
,
故P
3(2,2),
P
4
18
,
6 .
$
2 5 5 5
y
y
B(P) P′ P
2 9
P
3 B
P 4P D
1
A
A H O C x
O H C x
题10(3)答案图 题11答案图
. y 3x . m 15. 存在 a 或a 4.提示 设直线AB的解析式为y
11 (1) = +3 (2) = (3) , =4 = :(1) =
4 4 3
kx 把x y 代入得 k 解得k 3 所以直线的解析式是y 3x .
+3, =-4, =0 ,-4 +3=0, = , = +3
4 4
121由已知得点P'的坐标是 m 点P m 所以m 15.
(2) (-1,- ), (1, ), =
4
当点P在第一象限时 若 AP'C P'A P'C 如图所示 过点P'作P'H x轴于点H
(3) ,① ∠ =90°, = , , ⊥ ,
所以PP' CH AH P'H 所以 a 1a 则a 4.
= = = , 2 = (+4), =
2 3
若 P'AC P'A AC 则PP' AC 所以a .
② ∠ =90°, = , = , =4
若 P'CA 则点P'点P都在第一象限内 这与条件矛盾 所以 P'CA不可能是以点C为直
③ ∠ =90°, 、 , , △
角顶点的等腰直角三角形 所以所有满足条件的a的值为a 或a 4.
, =4 =
3
. k . l 1m m m 或m .提示 因为点A 在
12 (1) =-2 (2)① =4- (0≤ <8);② =4 =4-42 :(1) (4,0)
2
直线y kx 上 所以 k 解得k
= +8 , 0= ×4+8, =-2;
如图 所示 由 得直线AB的解析式为y x 当点P在OB上运动时 由x 解
(2)① (1) , (1) =-2 +8, , =0,
得y 所以B 所以 m .
=8, (0,8), 0≤ <8
设cx y 由y m x 解得x 1m 即所求l与m的函数关系式为l 1m
(, ), = =-2 +8, =4- >0, =4-
2 2
m .
(0≤ <8)
( )
②
如图
(2)
所示
,
当
0<
m
<8
时
,
S
=
1PC
·
PO
= 4-
1m
·
m
=-
1m2
+2
m
,
由
-
1m2
+2
m
=
2 2 4 4
.解得m m
4 1= 2=4;
如图 所示 当m 时 同 可求得PC 1m 又PO m 所以S 1PC PO
(3) , <0 , ① =4- , =- , = · =
2 2
( )
4-
1m
·(-
m
),
由1m2
+2
m
=4,
解得m
1=4+42>0(
舍去
),
所以m
2=4-42
.
2 4
综上 当m 或m 时 S .
, =4 =4-42 , =4
y
y y
B
B B
P C P C
O A x
O A x O A x P C
(1) (2) (3)
题12答案图
. 提示 过点E F分别作y轴 x轴的垂线 垂足分别为D C 图略 则 AOB FCA
13 (1) : 、 、 , 、 ( ), △ 、△ 、
DBE都是等腰直角三角形.设Pa b 则FC b ED a AF b BE a 所以AF BE
△ (, ), = , = , = 2 , = 2 , · =
b a ab 又b 1 即 ab 所以AF BE .
2 · 2 =2 , =a, 2 =1, · =1
2
æ ö
ç 2 2÷.提示 设平行于AB的直线l的解析式为y x b 因为平行于AB的直线与双曲线
(2)è , ø : =- + ,
2 2
{y x b
=- + ,
只有一个公共点
,
所以方程组
y 1
只有一组解
,
消元得
2
x2
-2
bx
+1=0
.
=x
2
122ì ï 2
ïx
=
2
,
由
Δ=4
b2
-8=0,
得b
= 2(
舍去b
=- 2)
.所以方程组的解为í
ï
2
î
ïy
=
2
,
2
æ ö
即公共点的坐标为ç 2 2÷.
è , ø
2 2 3
( )
14 . (1) y =- 1x + 10. (2) t = 1时 , S max= 5.提示 : S =- 1t2 + 1t + 1 =- 1 t - 1 2 + 5 ,
3 9 2 8 2 2 2 2 2 8
( )
当t
=
1时
,
存在最大值S
max=
5.
(3)
E
1,
3 .提示
:
要使OD2
+
DE2 的算术平方根取最小值
,
则OE
2 8 4
( )
最小
,
那么BE最大
,
BE
=-
t2
+
t
,
当t
=
1时
,
BE最大
,
此时E
1,
3 . 4
2 4
第三期
.1004.
1
2009 5
. .提示 联立两方程可得.
2C :
( )
.k.提示 将原一次函数关系式变形为y k 1 x 1 因为 k 所以k 1
3 : = -k +k, 0< <1, -k = !
k k
(+1)(-1) 该一次函数的值随x的增大而减小 当 x 时 最大值为k.
k <0, , 1≤ ≤2 ,
6
注 解决本题的关键在于先判断自变量x的系数的正负 再确定其最值
( : , )
.a 7 b .提示 把x 代入原方程并整理得b k a 要使等式b k a不
4 = , =-4 : =1 (+4)=7-2 , (+4)=7-2
2
{b
论k取什么实数均成立 只有同时满足 +4=0,
, a
7-2 =0,
7
解之得a 7 b .
= , =-4
2
.y x或y 1x.提示 注意有两解的存在.
5 =-2 =- 2 :
{ m m
. m .提示 由题意 得 2×2-4( -3)=16- >0,得m y
6 (1) <3 : , xx m <4 8
1 2= -3<0,
且m <3, 所以m的取值范围是m <3 . D C
E
m .直线AD的函数解析式为y x .提示 由题意可求 $
(2) =0 = 3 +33 :
得 OCB CAB 所以BC BO AB BC BO.所以AO BO
∠ =∠ =30°, =2 , =2 =4 =3 ,
从而得x x. A F O B x
1=-3 2 9
又因为x x .联立解得x x .代入x x m
1+ 2=-2 1=-3, 2=1 1· 2= -3,
得m .
=0 题6答案图
过点D作DF x轴于点F.从图中可得到A B两点坐标为A
⊥ 、 (-3,0),
B 所以BC AB OC .因为 DAB CBA 所以DF CO AF BO OF
(1,0), =2, =4, = 3 △ ≌△ , = = 3, = =1, =
AO AF 则点D的坐标为 .因此直线AD的函数解析式为y x .
- =2, (-2,3) = 3 +33
x
.y .提示 由题意得 当x 时 y 当y 时 x 所以OA OB 所以
7 =- +3 : , =0 , =8; =0 , =6, =6, =8,
2
AB = 6 2 +8 2 =10 .根据已知得到BM = B'M , AB' = AB =10, 所以OB' =4 .设BM = x , 则B'M = x ,
OM =8- x.在 Rt△ B'MO中 , x2 =(8- x )2 +4 2, 解得x =5, 所以OM =3, 所以M (0,3) .设直线AM的
123{ b x
解析式为y kx b 得 3= , 所以k 1 b 因此y .
= + , k b =- , =3, =- +3
0=6 + , 2 2
{
f 1 m ( )
.gm (0)=m ( ≥1), 提示 fx mx 1 x m 1 x 1 因为当m 时
8 ( )= : ()= +m(1- )= -m +m, ≥1 ,
f m m .
(1)= (0< <1)
m 1 fx 为递增函数或常值函数 所以fx 在 x 上的最小值为f 1.又因为当 m
-m≥0, () , () 0≤ ≤1 (0)=m 0<
时 m 1 f x 为递减函数 所以f x 在 x 上的最小值为f m 所以
<1 , -m<0, ( ) , ( ) 0≤ ≤1 (1)= ,
{
f 1 m
gm (0)=m ( ≥1),
( )=
f m m .
(1)= (0< <1)
. .提示 y值即为平面直角坐标系内x轴上的点x 到点 和点 的距离之和的最小
910 : (,0) (0,-2) (8,4)
值 , 此时y min= 8 2 +(-2-4)2 =10 .
. .提示 与题 相同 y值即为平面直角坐标系内x轴上的点x 到点 和点
102 10 : 9 , (,0) (3,-4) (5,2)
的距离之和的最小值 , 此时y min= (3-5)2 +(-4-2)2 =2 10 .
. .提示 令y 3x 中x 得点B坐标为 .
11 (1)2 : =- +1 =0, (0,1)
3
令y
=0,
得点A坐标为
(3,0),
由勾股定理得
|
AB
|=2,
所以S
△ ABC=2
.
提示 不论a取任何实数 BOP都可以以BO 为底 点P到y轴的距离 为高 所以
(2) : ,△ =1 , 1 ,
S 1 为常数.
△ BOP= ,
2
提示 当点P在第四象限时 因为S 3 S 3a 所以S S S S
(3) : , △ ABO= , △ APO= , △ ABP= △ ABO+ △ APO- △ BOP
2 2
S 即 3 3a 1 解得a 5 当点P在第一象限时 同理可得a .
= △ ABC=2, + - =2, =1- 3, , =1+ 3
2 2 2 3
12 . (1) B (23,2), C (23,0) .提示 : 因为 | OA -2|+( OC -23)2 =0, 所以OA =2, OC =23, 则
B C .
(23,2), (23,0)
y x .提示 因为 ABC AB'C 所以AB AB' CB' CB .
(2) = 3 -4 : △ ≌△ , = =23, = =2
{
因为A C 所以设B'的坐标为x y 则 x2 +( y -2)2 =(23)2,
(0,2), (23,0), (, ),
(23- x )2 + y2 =2 2,
解得B'的坐标为 由两点式解出BB'的解析式为y x .
(3,-1), = 3 -4
æ ö
提示 假如存在这样的点P 设Pa a Dç23 ÷.
(3) : , (,3 -4), è ,0ø
3
K K 解得a 故P .
① AD· PA=-1, =33, (33,5)
æ ö
② K AD· K PD=-1; 解得a = 53 , 故Pç è 53 ,1ø ÷.
3 3
æ ö
③
K
AP·
K
PD=-1(
此方程无解
),
故P
(33,5)
或P
è
ç53
,1
÷
ø
.
3
(m ) (m n m n)
. A n B P - +2 .
13 (1) (- ,0), ,0 , ,
2 3 3
ì ïm
ï + n =2, {m ( )
Q n .根据题意得í2 所以 =2, P 1 4 所以直线PA的解析式为
(2) (0, ) ïm n n , ,
î
ï +2
-
1n2
=
5
,
=1, 3 3
3 2 6
124y x 直线PB的解析式为y x . 2
= +1, =-2 +2
.提示 作CQ x轴 垂足为点Q 利用等腰直角三角形的性质证明 ABO BCQ 根据全等
14 :(1) ⊥ , , △ ≌△ ,
三角形的性质求OQ CQ的长 确定C点坐标 由A C 可知 直线AC的解析式为y
, , , (0,2), (-3,1) , =
1x .
+2
3
同 的方法证明 BCH BDF 再根据线段的相等关系证明 BOE DGE 从而得出结论.
(2) (1) △ ≌△ , △ ≌△ , 3
(3) 依题意确定P点坐标 , 可知 △ BPN中BN边上的高 , 再由S △ PBN= 1S △ BCM, 求出BN , 进而得出
2
( )
N 13 .
- ,0
3
4
6
第一期
. x .
1 -2≤ ≤2 5
.k .
2 <6
. x . x 841. x 3.
3 (1) =1 (2) = (3) = !
144 5
x
4
.x
= 2
.提示
:
令y
= x2 ,
则原方程转化为x
+
y
=22 ①,
所以经整理得到x2
+
y2
=
x2y2,
-1 6
再由完全平方式和
①
式
,
有x2y2
+2
xy
-8=0,
即
(
xy
-2)(
xy
+4)=0,
因为xy
≥0,
所以xy
=2 ②,
联
立 与 有 x y .
① ② , = = 2
.a .提示 经化简 x a只有一解.
5 =0 : , +1 =
.x .
6 =0
7
.x 25.提示 等式两边同时乘以 x x.
7 = : +
16
8
.无解.提示
:
设 3
3
x
-2=
a
,
3
4-3
x
=
b
,
所以有a3
+
b3
=2
.化原方程为a
+
b
=-1,
又因为
a3
+
b3
=(
a
+
b
)(
a2
-
ab
+
b2), 所以ab
=1,
即 3
3
x
-2·
3
4-3
x
=1,
最后解得x
=1,
经检验
,
x
=1
不
是原方程的解 故原方程无解.
,
8
.a .
9 =5
10
.x
=±
10
21
.提示
:
令 3
5+
x
=
a
,
3
5-
x
=
b
,
则a
+
b
=
3
5,
a3
+
b3
=10,
则a2
-
ab
+
b2
= $
9
2
3
25,
a2
+2
ab
+
b2
=
3
25,
最终解得ab
=-
13
25,
则x
=±
10
21
.
3 9 9
3x a 3x a
11
.x
=
65a.提示
:
易证当x
=
a时
,
得a
=0
.两边同除以 3x2
-
a2, 得
x
+
a+4 x
-
a=5
.令y
=
63 - +
3x a 3x a
+ 则y 4 y y .当y 时 a 故舍去 当y 时 + 得x 65a.故
x a, +y=5, 1=1, 2=4 =1 , =0, ; =4 , x a=4, =
- - 63
x 65a.
= 63
12
.x
1=-
3
,
x
2=-3
.提示
:
令u
=
x
+2+
x2
+4
x
+3,u
1
=
x
+2-
x2
+4
x
+3,
化为u5
-u
32
5
4
=31,
即u10
-31
u5
-32=0,
解得u
1=-1,
u
2=2,
从而求得x
1=-
3
,
x
2=-3
.
4
125.x .提示 求式 x x 2 x x 2 经过整理即可解出.
13 =2 : (2 + 10-3 )=1+ (2 + 7-3 ),
14
.x
=-
1.提示
:
设a
=
x2
+2,
b
=
x2
+2
x
+3,
且a2
-
b2
=-2
x
-1,
所以将x
=
a2
-
b2
+1
,
2 -2
代入原式 经整理都是ab的式子 解得b a x 1.
, 、 , = , =-
2
第二期
{x {x {x {x
1
.
y
1=4
; y
2=-4
; y
3=4
; y
4=-3.提示
:
分解因式
3
x2
-
xy
-4
y2
-3
x
+4
y
=(
x
+
y
)(3
x
-
1=3 2=-3 3=-3 4=4
{x y {x y
y x y 即x y x y 只需解 3 -4 =0 + -1=0即可.
4 )-(3 -4 )=0, (+ -1)(3 -4 )=0, x2 y2 , x2 y2
+ =25 + =25
ì ì
ï ï
.í
ïx
1=
2
3 í
ïx
2=-
3
2
{x
3=-1
{x
4=1 .提示 原式化为
{
(
x
-4
y
)(
x
+
y
)=0 解之即可.
2 î ï ïy 1= 1 ; î ï ïy 2=- 1 ; y 3=1 ; y 4=-1 : ( x +2 y )2 =1 ,
6 6
ì
ï
{x
ïx
2=
34
3 . y 1=2 ; í ï 5.提示 : 方程化为 4( x +1)2 -9( y -1)2 =36,( x +1)-( y -1)=3 .
1=1 î ïy 2= 29
5
ì
ï
{m2 n2 {m
ïm
2=
39
令x m y n 则方程组为 4 -9 =36 解得 1=3 í 5.代入解之即可.
+1= , -1= , m n , n ,ï
- =3 1=0 î ïn 2= 24
5
{x {x {x {x {x2 x A {AB {A
. 1=2 2=-5 3=1 4=-4.提示 令 +3 = 则 =40 解得 =10或
4 y ; y ; y ; y : x y B , A B , B
1=2 2=9 3=9 4=14 + = + =14 =4
{A
=4 接着解出x y即可.
B , ,
=10
{x {x {x {x {x y u {u {u
. 1=2 2=3 3=1 4=5.提示 令 + = 解得 1=5 2=6 接着解出x y即可.
5 y ; y ; y ; y : xy v , v , v , ,
1=3 2=2 3=5 4=1 = 1=6 2=5
{x {x {x y A {A
. 1=2 2=8.提示 令 + = 求出 =10 接着解方程组即可.
6 y ; y : xy B , B ,
1=8 2=2 = =4
ì
ï
x 24
ï =
ï 7
.í .
7 ïy 19
=
ïï 5
îz
=22
ì ï ï x 1=0 ï ì ï x 2=-2 ì ïï( x +1)( y +1)=2
8 .í ïï y 1=1; í ïï y 2=-3 .提示 : 原式化为í ïï ( y +1)( z +1)=6, 三式相乘得[ ( x +1)( y +1)( z +1) ] 2 =36 .
îz îz îz x
1=2 2=-4 (+1)(+1)=3
.k .
9 ≤3
10 . (1) 提示 :Δ=(2 k -3)2 ≥0 . (2)10 .提示 : 分两种情况考虑.首先 , 当a 、 b中有一个为 4 时 , 代入方
程组
,
解得k
=2
.
5,
此时方程化为x2
-6
x
+8=0,
解得x
1=4,
x
2=2
是方程的根
,
所以三角形周长为
4+4+2=10;
其次
,
当a
=
b时
,
判别式为零
,
k
=1
.
5,
此时方程化为x2
-4
x
+4=0,
则x
1=
x
2=2,
但
4,
构不成三角形 因此不符合条件.综上 ABC的周长为 .
2,2 , ,△ 10
126. k . k 且k . k . 2
11 (1) =1 (2) <1 ≠0 (3) >1
12 . 6 或 -7 .提示 : 由已知得 ( x + y )2 + x + y =42,( x + y +7)( x + y -6)=0, 故x + y +7=0 或
x y 解之即可.
+ -6=0,
13
.
(1)
x
=43,
y
=1
满足方程.
(2)
不存在整数x和y.证明
:
由于x2, y2 除以
4
的余数都是
0
或
1,
故
(
x2
+
y2) 除以
4
的余数为
0
或
1
或
2,
而
2011
除以
4
的余数为
3,
所以不存在满足条件的正整数x和y.
{x {x
3
. =28或 =3.提示 x y x y 设x y 得 x y x y x y
14 y y :(2 + )(+2 )=2×17×59, ≥ ≥1, 2 + ≥ +2 > + >
=3 =28
{x y {x y {x y {x {x
.所以只有三种情况 2 + =59 2 + =118 2 + =1003 解得 =28或 =3.
1 ,x y ;x y ;x y , y y
+2 =34 +2 =17 +2 =2 =3 =28
4
7
第一期
1
.AB
=30cm,
BC
=60cm,
S
=900cm
2.提示
:
利用
∠
EAF
=30°
求出AD
,
并求出
∠
B
,
从而求出BC
和AB 再运用公式求出面积. 5
,
. .提示 设平行四边形ABCD的面积为 则平行四边形BBDD 的面积为1 平行四边形
21∶8 : 1, 1 1 ,
2
!
BBDD 两端的两个三角形面积和等于所求小平行四边形的面积 小平行四边形的面积是1 1 1.
1 1 , × =
4 2 8
.提示 如图所示 连接AN 由AB 1BC BN B 可知 A M D 6
3 : , , = = ,∠ =60°,
2
ABN是等边三角形 则AN BN NC 即 NAC NCA 得 ANB
△ , = = , ∠ =∠ , ∠ O
NAC NCA NAC BAC BAN NAC 从而
=∠ +∠ =2∠ =60°,∠ =∠ +∠ =90°,
证得四边形ABNM是平行四边形 即AB MN CON BAC . B N C
, ∥ ,∠ =∠ =90°
4
.提示
:
如图所示
,
延长EM 交DC的延长线于点F
,
连接DM
,
证 题3答案图
7
MCF MBE 所以M是EF的中点.由于AB CD及DE AB 可
△ ≌△ , ∥ ⊥ ,
知 DEF是直角三角形 DM为斜边的中线 得 F MDC CMD EMC F MCF F
△ , , ∠ =∠ =∠ ,∠ =∠ +∠ =∠ +
MDC CMD F.由AB CD得 F BEM.
∠ +∠ =3∠ ∥ ,∠ =∠
. .提示 如图所示 取AD的中点N 连接MN MD NE NE 1AD 1BC CM MN
5100° : , , 、 、 , = = = , =
2 2 8
CD MN是DE的中垂线 ME MD 得 EMN MDC 即 BEM EMN MDC DMN
, , = , △ ≌△ , ∠ =∠ =∠ =∠ =
由CD AB 1BC CM 得 CMD MDC BME EMN 所以 B $
50°, = = = , ∠ =∠ =50°,∠ =180°-3∠ =30°, ∠ =
2
.
150°-50°=100°
9
B E A
A E B E
N
D
C
F
M
M H
N
A B
M
G
F C D D C
题4答案图 题5答案图 题6答案图
127.提示 如图所示 过点D作DM AG 交AG于点M 过点B作BN EC交EC于点N 证 AMD
6 : , ⊥ , , ⊥ , △
CNB 得AM NC AM AG DF NC CE BH.
≌△ , = , = - , = -
.提示 如图所示 作AG AF 交DP于点G AE BE BC AD AEP EFP
7 : , ⊥ , , =2 = = ,∠ =∠ =90°,
PEF EPF PEF AEF 得 ADG AEF EPF FAE GAD AFE AGD
∠ +∠ =∠ +∠ , ∠ =∠ =∠ ,∠ =∠ ,△ ≌△ ,
即AF AG EF DG 所以 AFG是等腰直角三角形 DF DG GF EF FG AF FG DF
= , = , △ , = + = + ,2 = =
EF.
-
.提示 如图所示 连接CE CF 过点C分别作CM BE CN DF 垂足分别为点M 点N.设在
8 : , 、 , ⊥ , ⊥ , 、
BEC中BC边上的高为h 则S 1BC h 1S 1BE CM 同理得S 1S
△ , △ BCE= × = ABCD= × , △ CDF= ABCD=
2 2 2 2
1DF CN 得CM CN 证 CGM CGN BGC DGC.
× , = , Rt△ ≌Rt△ ,∠ =∠
2
D C
N
A D
A
G
G
E
E F
G M
F
B P E C A F B B D H C
题7答案图 题8答案图 题9答案图
.提示 如图所示 过点G作GH BC 垂足为点H 连接EH 证 ABG HBG 即AB HB
9 : , ⊥ , , , △ ≌△ , = ,
AGB BGH 于是可证 ABE HBE 即AE HE BEA BEH 由此可得 AEG
∠ =∠ , △ ≌△ , = ,∠ =∠ , ∠ =
GEH.再由AD GH 得 AEG BGH 即 AGB AEG GEH 可知EH AC 所以四边形
∠ ∥ , ∠ =∠ , ∠ =∠ =∠ , ∥ ,
EHCF是平行四边形 证得EH CF AE.
, = =
.提示 如图所示 连接EM FN 证 ABE CDF 得BE DF 可证 BEM DFN
10 : , 、 , Rt△ ≌Rt△ , = , △ ≌△ ,
得ME NF 连接MF EN 然后证 MAF NCE 得MF NE 即四边形ENFM是平行四边形.
= , 、 , △ ≌△ , = ,
(n ) (n m n m)
. PAB A m B P - +3 .提示 在直线y x m中 令
11 (1)∠ =45°, (- ,0), ,0 , , : = + ,
3 4 4
n (n )
y 得x m 则A m .在直线y x n中 令y 得x 则B C n .由
=0, =- , (- ,0) =-3 + , =0, = , ,0 , (0, )
3 3
{y = x + m , 得P (n - mn +3 m) .在直线y x m中 令x 得y m 则 m m 即有
y x n , = + , =0, = , |- |=| |,
=-3 + , 4 4
( )
AO QO 则 AOQ是等腰直角三角形 得 PAB . P 1 9 PA的函数表达式为y x
= , △ , ∠ =45° (2) , , = +4,
2 2
n m
PB的函数表达式为y x .提示 由CQ AO 得n m m 即n 3m 得 +3
=-3 +6 : ∶ =1∶2, (- )∶ =1∶2, = , =
2 4
(n ) ( ) ( )
9m
,
S四边形PQOB= S
△ PAB-
S
△ AOQ=
1
+
m 9m
-
1m2
=
11
,
得m
=4,
即n
=6,
得P 1
,
9
,
即
8 2 3 8 2 2 2 2
( )
直线PA的函数表达式为y x 直线PB的函数表达式为y x . 存在 D 13 9
= +4, =-3 +6 (3) , 1 , 、
2 2
( ) ( )
D 11 9 D 5 9 .提示 如图所示 过点P作直线PM平行于x轴 过点B作AP边的平
2 - , 、 3 - ,- : , ,
2 2 2 2
行线交PM于点D 过点A作BP边的平行线交PM于点D 过点A B分别作直线BP AP的平行线交
1, 2, 、 、
( )
于点D . PD AB且BD AP 此时PD AB 得D 13 9 PD AB且AD BP 此时
3 ① 1∥ 1∥ , 1= , 1 , ;② 2∥ 2∥ ,
2 2
128PD AB 得D ( 11 9 ) BD AP且AD BP 再由B 得yBD x 同理可得 2
2= , 2 - , ;③ 3∥ 3∥ , (2,0), 3= -2,
2 2
yAD x 由 {y = x -2, 得D ( 5 9 ) .
2=-3 -12, y x 3 - ,-
=-3 -12, 2 2
y
3
C
D
M D Q P 1
2
y
P(P′)
G
4
A F D A O E B x C K E Q C′
B′
N B
A′
M
N A O H FM(M′) x
B E C D 3
题10答案图 题11答案图 题12答案图
5
. d .提示 如图所示 作CN x轴于点N 由NC OA AC AB 得 CNA
12 (1) =-3 : , ⊥ , = =2, = , Rt△ ≌
AOB 则AN BO NO NA AO 且点C在第二象限 得d . !
Rt△ , = =1, = + =3, , =-3
k
y 1x .提示 设反比例函数为y 点C'和B'在该反比例函数图像上 设C'e 则
(2) =- +3 : =x, , (,2),
3 6
k
B'
(
e
+3,1),
把点C'和B'的坐标分别代入y
=x,
得k
=2
e
,
k
=
e
+3,
得e
=3,
k
=6,
所以反比例函数解
析式为y 6 得点C' B' .设直线C'B'的解析式为y ax b 把C'和B'两点坐标代入得
=x, (3,2)、 (6,1) = + ,
{a b
3 a + b =2 , 解得直线C'B'的解析式为y =- 1x +3 . 7
6 + =1 3
( ) ( ) ( )
存在 P 6 M 9 .提示 设Q是GC'的中点 由G C' 得Q 3 5 .
(3) ,
5
,5 ,
5
,0 : , (0,3)、 (3,2),
2
,
2
如图所示 过点Q作直线l与x轴交于M'点 与函数y 6交于P'点.若四边形P'GM'C'是平行四边形
, , =x ,
8
则有P'Q QM' 易知点M'的横坐标大于3 点P'的横坐标小于3 作P'H x轴于点H QK y轴于
= , 2 , 2 , ⊥ , ⊥
点K P'H与QK交于点E 作QF x轴于点F 则 P'EQ QEM' 设EQ FM' t 则点P'的横坐 $
, , ⊥ , △ ≌△ , = = ,
( )
标为3 t 点P'的纵坐标为 12 点M'的坐标是 3 t 得P'E 12 5.由P'Q QM' 得
- , t, + ,0 , = t- = ,
2 3-2 2 3-2 2 9
( ) ( ) ( ) ( )
P'E2
+
EQ2
=
QF2
+
FM'2, 即 12
t-
5 2
+
t2
=
5 2
+
t2, 解得t
=
3
,
得P' 6
,5 ,
M' 9
,0 ,
3-2 2 2 10 5 5
则点P'为所求的点P
,
点M'为所求的点M.
第二期
..
1B
.提示 如图 所示 延长EA至点G 使AG FC 连接BG 证明 AGB CFB 再证明
2 :(1) (1) , , = , , △ ≌△ ,
EGB GBE.等量代换 如图 所示 在DC边上截取DG 使得DG BF 连接AG 证明
∠ =∠ ( )(2) (2) , , = , ,
ADG ABF 再证明 EAG EAF.
△ ≌△ , △ ≌△
129F
G A E D
A D
A B
F
P
B C D G C E P′
(1) (2) B C
题2答案图 题3答案图
. .提示 如图所示 过点B作BP' BP 使BP' BP 连接AP' PP' 易证 P'AB PCB
3135° : , ⊥ , = , , , △ ≌△ ,
所以AP' PC.设PA k 则PB k PC AP' k.在 PBP'中 P'PB 且P'P k.在
= = , =2 , = =3 Rt△ ,∠ =45°, =22
△
AP'P中
,
有AP'2
=
PP'2
+
PA2, 所以
∠
APB
=135°
.
. .提示 如图所示 过点A作AE CD 与CD的延长线交于点E 则AE BC AB
4150(2- 3) : , ⊥ , , = = =
易证 AED ABM 所以ED BM CD CM.设CM x 则BM x.由勾股定理得
10, Rt△ ≌Rt△ , = , = = , =10-
x2 + x2 = DM2 = AM2 =10 2 +(10- x )2, 解得x =10(3-1) .故S △ MCD+ S △ ABM= 1x2 +5(10- x ) .
2
A D A D
P
E D C F
O E
P
F
M B G C B C
(1) (2)
A B E
题4答案图 题5答案图
. 提示 如图 所示 过点P作PG BC交BC于点G 连接PD
5 (1) : (1) , ⊥ , ;
易证 PBA PDA 因而PD PB
△ ≌△ , = ;
再证 PBG PEF PE PB 则PE PD
△ ≌△ , = , = ;
结合PF CD 则DF EF.
⊥ , =
x
(2)
y
=
1x2
-32
x
+8(0<
x
<22)
.提示
:
因为AP
=
x
,
CP
=42-
x
,
PF
=
CF
=
PG
=4-
.
2 2
x æ xö
DF
=
DC
-
CF
= ,
CE
=
CF
-
EF
=
CF
-
DF
=4- 2
x.y
=
1
è
ç
4-
÷
ø(4- 2
x
)=
1x2
-32
x
+8
2 2 2 2
x .
(0< <22)
提示 当点E与点D重合时 PCE是等腰三角形 PA 当点E在线段DC上时 PC PE
(3) : ,△ , =0; , > >
PF FC EC 此时 PCE不可能是等腰三角形 当点E与点C重合时 不存在 PCE 当点E在点CD
= > , △ ; , △ ;
x
延长线上时 PC PE.因为DF EF 且 PCE 则只有PC EC 而PC x CF
, = = , ∠ >90°, = , =42- , =4- ,
2
x x æ xö
则DF EF 故CE EF CF ç ÷ x 因此 x x 得到x .
= = , = - = -è4- ø= 2 -4, 42- = 2 -4, =4
2 2 2
. 提示 因为四边形CADF CBEG是正方形 所以AD CA DAD CAB .因为
6 (1) : 、 , = ,∠ 1+∠ =90°
DD AB 所以 DAD ADD 所以 ADD CAB.在 ADD 和 CAB中 DDA
1⊥ , ∠ 1+∠ 1=90°, ∠ 1=∠ △ 1 △ ,∠ 1 =
130ABC ADD CAB AD CA 所以 ADD CAB DD AB. 2
∠ ,∠ 1=∠ , = , △ 1≌△ , 1=
AB AH BH DD EE .提示 如图 所示 过点C作CH AB于点H 因为DD AB
(2) = + = 1+ 1 : (1) , ⊥ , 1⊥ ,
所以 DDA CHA 所以 DAD ADD .因为四边形CADF是正方形 所以 DAD
∠ 1 =∠ =90°, ∠ 1+∠ 1=90° , ∠ 1+
CAH 所以 ADD CAH 在 ADD 和 CAH中 ADD CAH 所以DD AH 同
∠ =90°, ∠ 1=∠ , △ 1 △ ,△ 1≌△ , 1= ,
理 EE BH 所以AB AH BH DD EE .
, 1= , = + = 1+ 1
(3) AB = AH - BH = DD 1- EE 1 .提示 : 过点C作CH ⊥ AB于点H , 因为DD 1⊥ AB , 所以 ∠ DD 1 A 3
CHA 所以 DAD ADD .因为四边形CADF是正方形 所以 ADD CAH.在
=∠ =90°, ∠ 1+∠ 1=90° , ∠ 1=∠
△ ADD 1 和 △ CAH中 ,△ ADD 1≌△ CAH , 所以DD 1= AH.同理 , EE 1= BH , 所以AB = AH - BH =
DD EE .
1- 1
F F 4
G
F
D D
C
E C G C
D G
l E l E 1 l
D A H B E D A B (E) D A B H
1 1 1 1 1 E
5
(1) (2) (3)
题6答案图
.提示 因为四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形 所 !
7 :(1) ,
以AD AB DC BC A 所以四边形ABCD是正方形
= = = ,∠ =90°, ;
不变.连接PF 并延长PF交CD的延长线于点M 连接AM 如图 所示.因为 C
(2) , , , (1) ∠ =90°, 6
PH BC 所以 PHF MDF.因为F为DH中点 所以HF DF 又 FHP FDM 所以PF
⊥ , ∠ =∠ , = , △ ≌△ , =
MF PH DM.因为 BHP HBP 所以BP PH DM BP.在 ABP和 ADM中 ABP
, = ∠ =45°=∠ , = , = △ △ ,△
ADM 所以AP AM BAP MAD.因为 DAB 所以 PAM 是等腰直角三角形.因为
≌ , = ,∠ =∠ ∠ =90°, △
PF MF 所以 EAF 即当点P在线段BC上运动时 PAF的大小不会发生变化 PAF .
= , ∠ =45°, ,∠ ,∠ =45°
在AM上截取AN AE 连接NF 如图 所示 因为 ABD是等腰直角三角形 所以 ABD 7
(3) = , , (2) , △ , ∠ =
∠ ADB =45°, 因为在 △ BAE和 △ DAN中 ,△ BAE ≌△ DAN , 所以 ∠ NDF =45°+45°=90°, 在 Rt△ DNF
中
,
由勾股定理得
:
ND2
+
DF2
=
NF2,∠ NAF
=∠
EAF
=45°
.在
△
NAF 和
△
EAF 中
,△
NAF
≌
△ EAF , 所以EF = FN.因为ND2 + DF2 = NF2, DN = BE , 所以BE2 + DF2 = EF2.
M N M 8
A D A D
$
F F
H H 9
E E
B P C B P C
(1) (2)
题7答案图
8 . (1) 提示 : 如图 (1) 所示 , 过点F作FH ⊥ DA , 垂足为点H , 因为四边形ABFH是矩形 , 所以FH =
AB DA 因为DE FG 所以 FHG DAE 所以HA AG AE.因为BF HA 所以BF AG
= , ⊥ , △ ≌△ , + = = , +
AE.
=
131(2)
y
=
4+
x2
(0<
x
<2)
.提示
:
因为
△
FHG
≌△
DAE
,
所以FG
=
DE
=
AD2
+
AE2
= 4+
x2, 所
2
以解析式为 y 4+
x2
定义域为 x .
: = , 0< <2
2
8.提示 如图 所示 连接CE 作CP DE于点P S 1CD AD 所以S
(3) : (2) , , ⊥ , △ CDE= × =2, △ CDE=
5 2
1DE CP 因为DE FG 5 所以1 5 CP 所以CP 8 因此点C到直线DE的距离
× =2, = = , × × =2, = ,
2 2 2 2 5
为8.
5 D C D C
P
H F F
A B A B
E E
G G
(1) (2)
题8答案图
. CEG .提示 因为四边形ABCD是正方形 所以 BCD DCE .因为BF DE
9 (1)∠ =45° : , ∠ =∠ =90° ⊥ ,
所以 GFD 所以 GBC CDE.因为 BGC GBC 所以 CDE DEC 所以
∠ =90°, ∠ =∠ ∠ +∠ =90°, ∠ +∠ =90°,
BGC DEC.所以在 BCG和 DCE中 BCG DCE 则 CEG .
∠ =∠ △ △ ,△ ≌△ , ∠ =45°
.提示 在 BCG中 BC BG 利用勾股定理 得CG 所以BE 所以S
(2)2 : Rt△ , =4, =25, , =2, =6, △ AEG
=
S四边形ABED- S
△ ABE-
S
△ ADG-
S
△ DEG=2
.
y x .提示 由AM BF BF DE 易得AM DE.于是 由AD BC 可知四边形
(3) =-2 +16 : ⊥ , ⊥ , ∥ , ∥ ,
AMED是平行四边形 所以AD ME .由CE x 得y x 定义域为 x .
, = =4 = , =-2 +16, 0< <4
. 提示 因为四边形ABCD为正方形 所以 D B AB AD.
10 (1) : , ∠ =∠ =90°, = A D
因为 ADE沿AE翻折至 AFE 所以AD AF D AFE 所以在
△ △ , = ,∠ =∠ =90°,
ABG和 AFG中 AB AF 所以 ABG AFG. E
Rt△ Rt△ , = , △ ≌△
y -4 x +16 x .提示 因为 ADE AFE ABG AFG F
(2) = x (0< <4) : △ ≌△ ,△ ≌△ ,
+4
所以EG FE FG.因为AB 所以BC CD .因为DE x BG y 所以
= + =4, = =4 = , = , B C
EC
=4-
x
,
GE
=
x
+
y
,
GC
=4-
y
,
因此在
Rt△
EGC中
,
CG2
+
CE2
=
GE2, 所以 G
x 题10答案图
y -4 +16 x .
= x (0< <4)
+4
4.提示 如图所示 因为AG CF 所以 AGB FCG AGF GFC 因为 ABG
(3) : , ∥ , ∠ =∠ ,∠ =∠ , △ ≌
3
AFG 所以 AGB AGF 从而得到 FCG GFC 所以CG GF 所以y .把y 代入y
△ , ∠ =∠ , ∠ =∠ , = , =2 =2 =
x
-4 +16 得x 4 所以DE 4.
x , = , =
+4 3 3
.提示 如图 所示 作AH BC于点H 显然BH AH S 1 BC AH .
11 :(1) (1) , ⊥ , =3, =4, △ ABC= × × =12
2
设AD x k DE k AM k MH AH AM k.
(2) = =5 , =6 , =4 , = - =4-4
如图
(2)
所示
,
当
4-4
k
>6
k时
,
即
0<
x
<2
时
,
S
=
DE2
=
36
x2
(0<
x
<2);
25
132如图 所示 当 k k时 即 x 时 S DE MH 24
x
24
x2
x .
2
(3) , 4-4 ≤6 , 2≤ <5 , = × = - (2≤ <5)
5 5
AD 20或25或125.
(3) =
7 11 73
A
A A 3
D E
D E D E M
B C
H
G F
B C B C
H H G F
(1) (2) (3)
4
题11答案图
. y x x .提示 在 BDP中 PBD BP x BD x.在
12 (1) =(3-3)+9-33(0< <3) : Rt△ ,∠ =60°, = , =2
EFC中 FCE EF y CE 3y.BC BD DE CE x y 3y 则y x
Rt△ ,∠ =60°, = , = = + + =2 + + =6, =(3-3)+
3 3 5
x . CF . GDP .当DP GP时 图 GD x y 得
9-33(0< <3)(2) =2(3-1)(3)∠ =60° ⊥ [ (1)], =23 = ,
BP 当GD GP时 图 GD 3x y 得BP 30-63.
=6-33; ⊥ [ (2)], = = , = !
2 11
N
6
H A H D
A D
A A
G
N
G F E
P G F E G 7
P
B D E C B D E C B M F C P B M F C
(1) (2) (1) (2)
题12答案图 题13答案图
8
. 提示 选乙方案证明.如图 所示 过点A作AM HF交BC于点M 作AN EG交CD延
13 (1) : (1) , ∥ , ∥
长线于点N 则AM HF AN EG.由正方形ABCD和EG FH 可得 BAM DAN.因为AB
, = , = ⊥ ,∠ =∠ =
$
AD 所以 ABM ADN AM AN 因而HF AM AN EG.
, △ ≌△ , = , = = =
EG 10.提示 如图 所示 过点A作AM HF交BC于点M 作AN EG交CD于点N.
(2) = 3 : (2) , ∥ , ∥ 9
将 AND绕点A旋转到 APB.AM FH 5 BM 1 由EG与FH的夹角为 易知 MAN
△ △ = = 2 , = 2 , 45° ∠ =45°,
PAM PAB BAM DAN BAM MAN 所以 APM ANM 因而PM NM.设
∠ =∠ +∠ =∠ +∠ =∠ , △ ≌△ , =
DN
=
x
,
则NC
=1-
x
,
MN
=
PM
=
1
+
x.由勾股定理
,
MN2
=
MC2
+
CN2, 解得x
=
1
,
所以
2 3
EG 10.
= 3
133第三期
. .提示 过点C作CM DE于点M 由CD FE DE
1 (1)60°,30°,3 : ⊥ , = = B C(F) G
得到 CDE为等边三角形 则 DCE CM 得到α .
=2, △ , ∠ =60°, = 3, =30°
.提示 由四边形MFNC为正方形 而矩形ABCD绕点D顺时针旋
(2)45° : , A H
转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度 得到NF NC FNC l
, = ,∠ =90°, D M E
则 DNE ND NE 得到 NDE NED 所以α .
∠ =90°, = , ∠ =∠ =45°, =45° 题1答案图
. .提示 如图 所示 将原题图 中的矩形ABCD沿CD翻
2 (1)2 34 : (1) , (2)
折 找到点R关于CD的对称点R' 连接R'P 过点P作PF BC于点F.根据反射角等于入射角 可判断
, , , ⊥ ,
PER'是等腰三角形 根据勾股定理 求出PE的长度 即可确定此球从点P经过撞击到达P 的总长度.
△ , , , 0
R′ C R F B E C
1
Q
D P A D
1
题2答案图(1)
.提示 如图 所示 将矩形ABCD沿CD翻折 找到点R关于CD的对称点R' 连接R'A
(2)65 : (2) , , , ,
AP PM PM MN
交PE于点M 过点M作MN AD于点N 根据 2 1 得出 1 再由EF
, ⊥ , ER'=ME= = , PE=EF= , =
10 5 6
求出MN.在 PMN中利用勾股定理求出PM 继而可得出PE 也可得出此球从点P经过撞击到达
3, Rt△ , ,
点P 的总长度.
0
R′ C R B E C
1
M Q
D P N A F D
1
题2答案图(2)
. 5 10.提示 在原题图 中 由于矩形对折 则EF AD 图 中 根据折叠的性质得
3 (1)5, : (1) , , = =5; (2) ,
3
到DC AB A'F AD .在 A'CF中 利用勾股定理可计算出A'C 设AE t 则BE
= =3, = =5 Rt△ , =4, = , =
t EA' t.在 EBA'中 利用勾股定理得t 5 然后在 AEF中 利用勾股定理即可计算
3- , = Rt△ , = , Rt△ ,
3
出EF.
x .提示 当折痕EF过B点时 四边形AEA'F是正方形 BA'最小 此时BA' BA
(2)①3≤ ≤5 : , , , = =3;
当点A的对应点A'落在点C时 BA' BA'最大 于是得到x的取值范围是 x 四边形AEA'F是
, =5, , 3≤ ≤5,
菱形.
提示 根据折叠的性质得到EA EA' FA FA' AEF A'EF 根据平行线的性质可得
② : = , = ,∠ =∠ ,
AFE A'EF 则有 A'EF A'FE 于是A'E A'F 易得AE A'E A'F AF 根据菱形的判定
∠ =∠ , ∠ =∠ , = , = = = ,
定理即可得到结论.
. ME FN.提示 先根据翻折变换的性质得到 EMN 1 AMN FNC' 1 MNC 再由
4 (1) ∥ : ∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,
2 2
平行线的性质可得到 AMN MNC 最后由平行线的判定定理即可得到ME FN.
∠ =∠ , ∥
a a 相等.提示 由折叠得知EA EA' 根据四边形A'EBN是矩形 即可求出四边形A'EBN
(2)2 ,2 , : = , ,
134的即四边形C'FDM的周长. 2
(3) b = 3 a.提示 : 根据折叠的性质可知OD = CD = OB = a , 在 △ BCD中利用勾股定理即可求出b
的值.
(4)23
.提示
:
当a
= 3
时
,
CD
= 3,
BC
=3,
在菱形BNDM中
,
DN
=
BN
,
设DN
=
BN
=
x
,
则
CN x.在 DCN中利用勾股定理即可求出DN的长 利用菱形的面积公式即可求出答案.
=3- △ ,
. .提示 根据翻折变换的性质以及勾股定理 先得出BD的长 从而可求出AD 进而得出 3
5 (1)(0,5) : , , ,
AE EO之间的关系 即可得到点E的坐标.
、 ,
提示 利用平行线的性质以及等角对等边证明.
(2) :
(3)
m
=
1n2
+5
.提示
:
根据点H的坐标得出CH
=
m
,
HG
=5-
m
,
CG
=
n
,
进而利用勾股定理求出
20 4
m与n的关系即可.
..提示 首先得出 ATE DTE 进而得出AT DT.设AT x 则BT x TC
(4)25 : Rt△ ≌Rt△ , = = , =10- , =
10+
x
,
在
Rt△
BTC中
,
BT2
+
BC2
=
TC2, 即可求出AT.
. 是标准纸.提示 证明矩形ABEF的长与宽之比为 .
6 (1) : 2
是标准纸.提示 由图形折叠 利用 ABE AFE和勾股定理证明矩形ABCD的长与宽之比 5
(2) : , △ ≌△
为 .
2
2+ 2 1+ 2.提示 利用第 的结论进行规律探索. !
(3) , 1006 : (1)
4 2
( )
第 次对开 周长为 1
1 , 21+ 2 =2+ 2; 6
2
第 次对开 周长为 ( 1 1 )
2 , 2 + 2 =1+ 2;
2 2
( )
第 次对开 周长为 1 1 2
3 , 2 + 2 =1+ ;
2 4 2
( ) 7
第 次对开 周长为 1 1 1+ 2
4 , 2 4 + 4 2 = 2 ;
( )
第 次对开 周长为 1 1 2+ 2
5 , 2 4 + 8 2 = 4 ……
则第 次对开后所得标准纸的周长是2+ 2.
5 8
4
第 次对开后所得标准纸的周长为1+ 2.
2013 1006 $
2
.n +1.
72
..提示 如图所示 过点P作PM OB交AO于点M 可得 CPO POD 再结合题目可得四边
82 : , ∥ , ∠ =∠ , 9
形COMP为菱形 即可得PM 又由CO PM可得 PMD 由直角三角形性质即可得PD.
, =4, ∥ ∠ =30°,
D C
B
C P E
P
A B
O M D A C′
题8答案图 题9答案图
. .提示 如图所示 连接BD 由菱形的性质及 A 得到三角形ABD为等边三角形 P为
975° : , , ∠ =60°, ,
135AB的中点 利用三线合一得到DP为角平分线 进而得到 ADP ADC C 从而求
, , ∠ =30°,∠ =120°,∠ =60°,
出 PDC 由折叠的性质得到 CDE PDE 利用三角形的内角和定理即可求出 DEC的
∠ =90°, ∠ =∠ =45°, ∠
度数.
提示 由矩形和翻折对称的性质 用 即可得到 AND CBM.
10(1) : , “ASA” △ ≌△
提示 根据 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 的判定即可证明.
(2) : “ ”
(3) PC =2cm .提示 : 设DN = x , 则由S △ ADC= S △ AND+ S △ NAC 可得DN = BM. M
过点N作NH AB于点H 则由勾股定理可得NM 从而根据平行四边形的
⊥ , , A
性质和已知的PQ = CQ , 即可求得CQ.因此 , 在 △ CBQ中 , 应用勾股定理求得 E P
BQ 从而求得PC . D
=1cm, =2cm
. 提示 由AB ON AC OM 根据两锐角互余 易证得 AED
11 (1) : ⊥ , ⊥ , , ∠ = O B F C N
ADE 然后根据等角对等边的性质 即可得AD AE.
∠ , , =
提示 如图所示 连接DF EF 由点F与点A关于直线OP对称 E 题11(2)答案图
(2) : , 、 , , 、
D在OP上 可证得AE FE AD FD 又由AD AE 根据由四条边都相
, = , = , = ,
等的四边形是菱形 即可得四边形ADFE是菱形.
,
提示 由四边形ADFE是菱形得AE EF AD OA OF 又由 MON 根据等腰直角三
(3) : = = , = , ∠ =45°,
角形的性质 易得OA AC OK 则可证得OC AC AD.
, = = , = +
. 提示 因为 EAB BAD BAD DAC 所以 EAB DAC 又EA DA
12 (1)① : ∠ +∠ =∠ +∠ =60°, ∠ =∠ , = ,
BA CA 故 AEB ADC. 平行四边形.提示 根据 可知 EBC DCA ABC 那么
= , △ ≌△ ② : ① ,∠ =∠ +∠ =120°,
EBC BCG 于是EB GC 又EG BC 故BCGE为一平行四边形.
∠ +∠ =180°, ∥ , ∥ ,
平行四边形.提示 与 类似 容易证明 AEB ADC 则 ABE ACD 于是
(2) : (1) , △ ≌△ , ∠ =∠ =120°,
CBE ACB 进而BE GC 又BC EG 从而得证.
∠ =∠ =60°, ∥ , ∥ ,
BC CD时.提示 欲使其成为菱形 只需BE BC 又BE CD 故只需选取D点使BC CD
(3) = : , = , = , =
即可.
. .提示 如图所示 连接AC 显然 ABC是等边三角形 即AB AC AD FAD EAC
1320° : , , △ , = = ,∠ =∠ =
ACB ADF 可证 ACE ADF 得 EAF是等边三角形 且 AEC AFD
40°,∠ =∠ =60°, △ ≌△ , △ , ∠ =∠ =80°,
CEF AEC AEF .
∠ =∠ -∠ =80°-60°=20°
A A
P
B D B D
E F E
C C
题13答案图 题14答案图
.23.提示 如图所示 连接AP AE 得PE PC PE PA AE 3AD 3AB.
14 : , 、 , + = + =1≥ ≥ =
3 2 2
. 菱形.提示 利用平移的知识可得到四边形ABCE是平行四边形 进而根据AB BC可得该四
15 (1) : , =
边形为菱形. B
不变 .提示 利用证明三角形全等可得四边形PQED的面积
(2) ,24 : A
为三角形BED的面积 所以不会改变 进而利用三角形的面积公式求出
, ;
四边形PQED的面积.
. 正方形 或矩形等 . 60°
16 (1) ( ) D C
略.
(2) E
(3)
提示
:
如图所示
,
根据图形作辅助线CE
,
连接AE
、
BE
,
看出 题16答案图
136CEB为等边三角形 ABE为直角.利用勾股定理进行证明即可. 2
△ ,∠
第四期
. .提示 如图所示 延长DE交AB的延长线于点G 过点G作GH FE 交FE的延长线于点H
120 : , , ⊥ , ,
证 CED BGE 再证 GHE DFE 可知S S .
△ ≌△ , △ ≌△ , ABCD= AGHF
2 . 2 . 3 .提示 : 如图所示 , 延长AF 、 BC交于点G , 证 △ AFD ≌△ GFC , 由勾股定理求出BG , 再证AE = 3
GE BE 则CE BC BE . ..
= , = - =73-5=23
A D
D C
F A B
E F 4
H
A B G B E C G D E F C
题1答案图 题2答案图 题3答案图
5
. .提示 如图所示 过点B作BF BC于点F 在 AEC中 求得CE 同理得DF
3150 : , ⊥ , Rt△ , =16, =9,
DF CE CD EF CD AB .
+ = + = + =25
!
. .提示 如图所示 作AE BC于点E 作DF BC于点F 四边形AEFD是矩形 AE DF
4 17 : , ⊥ , ⊥ , , = ,
EF
=
AD
=3
.由
△
BDC是等腰直角三角形
,
得DF
=
1BC
=
BF
=4=
AE
,
BE
=1,
则AB
=
AE2
+
BE2
6
2
.
= 17
...提示 如图所示 过点D作DQ AC交BC的延长线于点Q 得BQ EQ . BEDE
565 : , ∥ , =13, =65= , =
1BQ ..
=65
2
7
A D A D
A D
O O
8
B E F C B E C Q B C E
题4答案图 题5答案图 题6答案图
$
. .提示 如图所示 过点D作DE AC 交BC的延长线于点E 设在 BDE中BE边上的高为h
624 : , ∥ , , △ ,
也是梯形的高 ,△ BDE是直角三角形 , S △ BDE= 1BD × DE = 1BE × h , 得h =4 . 8, 从而可求得面积. 9
2 2
p q
. - .提示 如图所示 过点F分别作FG AD FH BC交AB D F C
7 : , ∥ , ∥
2
于G H.四边形ADFG FHBC都是平行四边形 AG DF q CF
、 、 , = = = =
2
HB , 即 AE = EB , 得 GE = EH ,∠ A = ∠ FGH ,∠ B = ∠ FHG , A G E H B
A B FGH FHG 即 FGH 是直角三角形 得EF 题7答案图
∠ +∠ =∠ +∠ =90°, △ , =
p q
1GH 1 AB AG HB - .
= ( - - )=
2 2 2
137.提示 如图所示 在CF上截取CH BA 连接DH EBF EFB A D
8 : , = , ,∠ +∠
DFC DCF 得 EBF DCF 再由BD CD CH BA 得 E F
=∠ +∠ =90°, ∠ =∠ , = , = ,
ABD HCD AD DH HDC ADB DBC HDB
△ ≌△ , = ,∠ =∠ =∠ =45°,∠ = H
BDC HDC ADB 得 ADF HDF AF HF 即CF
∠ -∠ =45°=∠ , △ ≌△ , = , =
CH HF AB AF. B G C
+ = +
. 提示 如图所示 连接SCPB 因为四边形ABCD为等腰梯形 所
题8答案图
9 (1) : , 、 , ,
以AD BC ADC BCD 又DC CD 所以 ADC BCD 则 ODC
= ,∠ =∠ , = , △ ≌△ , ∠ = D C
OCD OD OC 即 ODC是等腰三角形 而 AOD 则 DOC 所
∠ , = , △ , ∠ =120°, ∠ =60°,
以 △ ODC是等边三角形 , 因为S为OD的中点 , 所以CS ⊥ DO.同理BP ⊥ AP , 又 S
因为Q为BC的中点 即SQ为 BSC斜边上的中线 所以PS 1AD SQ O
, Rt△ , = , =
2 Q
1BC PQ 1BC 故可得 SPQ是等边三角形.
, = , △
2 2 P
493.提示 如图所示 作DE AB 垂足为点E 因为AB CD
(2) : , ⊥ , , =5, =3,
16 A E B
所以AE = 5-3 =1, BE =5-1=4, DE =4 3 .在 Rt△ ADE 中 , AD = 题9答案图
2
AE2
+
DE2
=7,
PS
=
PQ
=
SQ
=
7
,
所以S
△ PQS=
493.
2 16
(3)
1.提示
:
设CD
=
a
,
AB
=
b
(
a
<
b
),
BC2
=
SC2
+
BS2
=
a2
+
b2
+
ab
,
S
△ SPQ=
3
(
a2
+
b2
+
ab
),
2 16
S
又
S △
△
A
P
O
Q
D
S
=
7
8 ,
S
△ AOD=
S
△ BOC=
1
2
CS
×
OB
=
1
2 × 2
3a
×
b
= 4
3ab
,
即
2
a2
-5
ab
+2
b2
=0,
所以
(
a
-2
b
)(2
a
a CD
b a b不合题意舍去 或 a b 化简得 1 故 1.
- )=0, =2( ) 2 = , b= , AB=
2 2
. S 10x 100 x .提示 APD的底为AD 高的值与点P的纵坐标值相等.当点
10 (1) =- + ,0≤ ≤4 :△ =5,
3 3
P在AB上 即 x 时 设直线AB的解析式为y kx b 则 k b k b k 4 b
, 4< ≤10 , = + , 10 + =0,4 + =8, =- , =
3
y
40 所以y 4x 40.S 5 10x 100.当点P在BC上 即 x 时 y 所以S S最
, =- + = =- + , 0≤ ≤4 , =8, =20,
3 3 3 2 3 3
大为 .
20
( )
. P . 84 .提示 梯形ABCO的面积为 把它分成 份 其中的一份为 .若梯形CODP
(2)58, 58, : 56, 4 , 14
15
的面积占 份 CP x OD OC 于是有1 x x . 不合题意 舍去 若 APD
1 , = , =5, =8, ×8(+5)=14, =-15( , ); △
2
( )
的面积是 则有 10x 100 x . y 84 P . 84 .
14, - + =14, =58, = , 58,
3 3 15 15
. . y x x . 存在点P 此时x的值为
11 (1)3 (2)① =23 +23(0< <2)② , A D
.提示
2、5- 3、4 :
(1) 如图所示 , 作EH ⊥ BC交BC于点H , BE =2,∠ B =60°, 故BH =1, E F
即点E到BC的距离EH .
= 3
设MN EF交于Q PM PMN 即PQ 于是BM B H C
(2)① , , = 3,∠ =30°, =1,
EQ x 于是y x . 题11答案图
= = +1, =23 +23
138由已知 AD EF PM . 2
② , =2, =4, = 3
若PM PN 即 PMN PNM 因 MNC为等边三角形 故 PNC PF
(a) = = 3, ∠ =∠ =30°, △ , ∠ =90°, =
x PN PF 3 即 x 3 即x .
4- , = ·
2
, (4- )·
2
= 3, =2
MP MN 则MC MP x EP .
(b) = , = = 3, = =5- 3
NP MN MC x EP 即点P与点F重合 . 3
(c) = , =1, = =4( )
所以存在点P 此时x的值为 .
, 2、5- 3、4
12
.
(1)
t
=35(
秒
),
此时BQ
=30
.
(2)
t
=
125.
(3)
S
=6
t2.
(4)
能
,0<
t
≤25
且t
≠
155或t
=35
.
8 8
提示 t 秒 时 点P到达终点C.此时 QC 所以BQ的长
:(1) =(50+75+50)÷5=35( ) , , =35×3=105, 4
为 .
135-105=30
(2) 若PQ ∥ DC , 又AD ∥ BC , 则四边形PQCD为平行四边形 , 从而PD = QC , 由QC =3 t , BA + AP
=5 t , 得 50+75-5 t =3 t , 解得t = 125.经检验 , 当t = 125时 , 有PQ ∥ DC.
8 8
(3)① 当点E在CD上运动时 , 分别过点A 、 D作AF ⊥ BC交BC于点F , DH ⊥ BC交BC于点H , 如 5
图 所示 则四边形ADHF为矩形 且 ABF DCH 从而FH AD 于是BF CH .所以
(1) , , △ ≌△ , = =75, = =30
DH
=
AF
=40
.又QC
=3
t
,
从而QE
=4
t.所以S
=
S
△ QCE=
1QE
·
QC
=6
t2.
!
2
当点E在DA上运动时 过点D作DH BC交BC于点H 如图 所示 由 知DH CH
② , ⊥ , (2) , ① =40, =
30,
又QC
=3
t
,
从而ED
=
QH
=
QC
-
CH
=3
t
-30,
所以S
=
S梯形QCDE= 1
(
ED
+
QC
)
DH
=120
t
-600
. 6
2
K K
A D A P E D
P E
7
B G F H Q C B Q H C
(1) (2)
题12答案图
PQE能成为直角三角形.当 PQE为直角三角形时 t的取值范围是 t 且t 155 或
(4)△ △ , 0< ≤25 ≠ , 8
8
t .
=35
① 当点P在BA ( 包括点A ) 上 , 即 0< t ≤10 时 , 过点P作PG ⊥ BC交BC于点G , 则PG =4 t , 又有 $
QE t PG 易得四边形PGQE为矩形 此时 PQE总能成为直角三角形.
=4= , , △
当点PE都在AD 不包括点A但包括点D 上 即 t 时 由QK BC和AD BC可知
② 、 ( ) , 10< ≤25 , ⊥ ∥ ,
9
此时 PQE为直角三角形 但点PE不能重合 即 t t 解得t 155.
,△ , 、 , 5-50+3-30≠75, ≠
8
当点P在DC上 不包括点D但包括点C 即 t 时 由ED 可知 点P在
③ ( ), 25< ≤35 , >25×3-30=45 ,
以QE 为直径的圆的外部 故 EPQ不会是直角 由 PEQ DEQ 可知 PEQ一定是锐角 对于
=40 , ∠ , ∠ <∠ , ∠ ,
PQE PQE CQE 只有当点P与C重合 即t 时 PQE PQE为直角三角形.综上
∠ ,∠ ≤∠ , , =35 ,∠ =90°,△
所述 当 PQE为直角三角形时 t的取值范围是 t 且t 155 或t .
, △ , 0< ≤25 ≠ , =35
8
1398
第一期
. .提示 概率反映的是某一事件发生的可能性的大小.
1C :
. .提示 图中所示的频率稳定在 左右.
2 A : 33%
. .提示 共有 四种可能.其中能构成三角形的有
3C : 1、2、3;2、2、3;3、2、3;4、2、3 2、2、3;3、2、3;
三种情况 则概率是3.
4、2、3 ,
4
..提示 利用频率估计概率.
4B :
. .提示 四边形ABFE内阴影部分是四边形ABFE面积的一半 四边形DCFE内阴影部分是四边
5C : ,
形DCFE面积的一半.
. .提示 按照规律 可知 不是连加进位数 其他都是.
6 A : , 0,1,2,10,11,12,20,21,22,30,31,32 ,
概率为 . .
088
. .提示 所有机会均等的可能共有 种 三人中至少有一人去的情况有 种.
7C : 24 , 18
.1 1.提示 本题考查用列表法或画树形图法求概率.为书写方便 解答时用S表示 石头 用J
8 , : ( , “ ”,
3 3
表示 剪刀 用B表示 布
“ ”, “ ”)
列表如下
:
乙
S J B
甲
S S S S J S B
(, ) (, ) (, )
J J S J J J B
(, ) (, ) (, )
B B S B J B B
( , ) ( , ) ( , )
树形图如下
:
S J B
S J B S J B S J B
所有可能的结果共 种 而且每种结果出现的可能性相同.
9 ,
则P 出同种手势 3 1 P 甲获胜 3 1.
( )= = , ( )= =
9 3 9 3
.符合.提示 利用树形图法分析
9 :
1 2 1 2 3
2 1 2 3 1 1 2 3 1 2 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2
1402
从图中可以看出 P 摸到的 个球都是黄球 1.
, ( 2 )=
10
. 3.提示 可能出现的结果共有 个 它们出现的可能性相等.满足点x y 落在反比例函数
10 (1) : 16 , (, )
16
的图像上的结果有 个 即 .
3 , (1,4),(2,2),(4,1)
5.提示 满足结果的有 个 即 .
(2) : 5 , (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1) 3
16
第二期
. 提示 概率是反映事件发生机会的大小的概念 只是表示发生的机会的大小 机会大也不一定
1BCD. : , ,
发生.
4
. .提示 求阴影部分与总面积之比.
2C :
( ) ( ) ( ) ( )
. .提示 点P的坐标可能为 1 1 1 1 .
3 A : ,2 ,2, ,4, , - ,-3
2 2 4 3
( )
落在y x图像上方的只有 1 .
= ,2
2 5
..提示 总结果数为 种.当有 名男生 名女生时共有 种 当有两名女生时共有 种 共计
4B : 45 1 1 21 ; 3 ,
种.
24
..提示 根据题意分别得出各出水口的出水量是解题的关键. !
5B :
( ) ( )
.2.提示 都不能解决问题的概率为 1 1 1 则问题能被解决的概率为2.
6 : 1- 1- = ,
3 2 3 3 3 6
..提示 每位上的数都是 个.则一次拨对的概率是1 当有 位数时 概率为 1 当有 位数
74 : 10 ; 3 , ; 4
10 1000
时 概率为 1 .
,
10000
.3.提示 总结果数为 个 能使方程有实根的情况有 种.
8 : 12 , 9 7
4
. 1.提示 P 1×1×1 1.
9 (1) : 1= =
27 3×3×3 27
1.提示 P P 1.
(2) : 2=3 1=
9 9
8.提示 P P 8. 8
(3) : 3=1- 2=
9 9
2.提示 P 3×2×1 2. $
(4) : 4= =
9 3×3×3 9
.1.提示 共有 x y x y x y x y x y 共
10 : ① =0, =4;② =1, =3;③ =2, =2;④ =3, =1;⑤ =4, =0
5 9
五种情况.
141
