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中国人民大学附属中学高三热身练习
数学
命题：高三数学组
本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
的
1. 已知集合 ，若 ，则实数 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A. B. 240 C. 60 D.
.
4 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 若双曲线 与 具有相同的渐近线，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.6. 已知函数 ，则不等式 的解集为( )．
A. B. C. D.
7. 已知 ，若点P满足 ，则点P到直线 的距离的最
大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 在 中，角 所对的边分别为 .则“ 成等比数列”是 的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
9. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，
将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱 和 是两个完全相同的直三棱柱，侧
棱 与 互相垂直平分， 交于点I， ， ，则点 到平面 的
距离是（ ）
A. B. C. D.
10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向
端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实
验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距 的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记
录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示. 和 分别是两个函数的极小值点.曲线a经过 和 ，曲线b经过 .已
知 ，并且从 时刻到 时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可
知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A. B.
.
C D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若 是纯虚数，则实数a的值为__________.
12. 已知抛物线 的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若 ，则直线AB的
方程为__________.
13. 使 成立的一组a，b的值为 __________， __________.
14. 已知函数 ，若 是偶函数，则 __________；若圆面
恰好覆盖 图象的最高点或最低点共3个，则 的取值范围是__________.
15. 已知数列 的前n项和为 且 ，给出下列四个结论：①长度分别为
的三条线段可以构成一个直角三角形：② ；③ ；④.其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，四边形ABCD为菱形， ，把 沿着BC折起，使A到 位置.
（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求点D到平面 的距离.
17. 已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 的值；
（2）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 在 上的最大值，再从条件①、
条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①：
；条件②： ；条件③： 的面积为S，
且 .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
18. 某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为
高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层
次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为 ）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为 ）；其余均为
95级（表示最低过滤效率为 ）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，
其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层
次为高的个数为80个.
表①：表示加工一个口罩的利润.
100等
口罩等级 99等级 95等级
级
利润/元 2 1 0.5
的
（1）用样本估计总体，估计该厂生产 口罩过滤等级为100等级的概率；
（2）X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对
A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在
原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b
的值.
19. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，以线段 为直径的圆过C的上下顶
点，点 在C上，其中e为C的离心率.
（1）求椭圆C的方程和短轴长；
（2）点 在C上，且在x轴的上方，满足 ，直线 与直线 的交点为
P，求 的面积.
20. 已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线为x轴，求a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数 的单调性；（3） ，若 是 的极大值点，求a的取值范围.
21. 给定正整数 ，设数列 是 的一个排列，对 ， 表示以 为首项
的递增子列的最大长度， 表示以 为首项的递减子列的最大长度.
（1）若 ， ， ， ， ，求 和 ；
（2）求证： ， ；
（3）求的最小值.
