文档文本内容
中国人民大学附属中学高三热身练习
数学
命题：高三数学组
本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合 ，由 得出 ，由子集的定义得出实数 的取值范围.
【详解】 集合 ,
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.
2. 若 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ，得 ，结合数量积的运算律求出 ，再根据向量的夹角公式即可
得解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以向量 与 的夹角为 .
故选：B.
3. 已知 的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A. B. 240 C. 60 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式系数之和可得 ，结合二项展开式分析求解.
【详解】由题意可知：二项式系数之和为 ，可得 ，
其展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以其展开式的常数项为 .
故选：B.
4. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判
定，即可求解.
【详解】对于A中， ，其中 ，但 的符号不确定，所以A不正确；
对于B中，例如 ，此时 ，所以B不正确；
对于C中，由函数 在 上为单调递减函数，
因为 ，所以 ，可得 ，所以C正确；
对于D中，例如 ，此时 ，所以D不正确.
故选：C.
5. 若双曲线 与 具有相同的渐近线，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两个双曲线的离心率，根据渐近线相等列式，代入离心率求解即可.
【详解】双曲线 的渐近线为 ， 的渐近线为 ，
由题可知 ，
所以 的离心率 .
故选：C.6. 已知函数 ，则不等式 的解集为( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得 ，然后分类讨论解不等式即得.
【详解】∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
综上所述， 的解集为 ．
故选: ．
7. 已知 ，若点P满足 ，则点P到直线 的距离的最
大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先确定 的轨迹以及直线 过的定点，再根据圆的性质特点求最值.
【详解】由 可得点 的轨迹为以线段 为直线的圆，圆心为 ，半径为 ，
又直线 ，其过定点 ，故距离的最大值为 .
故答案为：C
8. 在 中，角 所对的边分别为 .则“ 成等比数列”是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先将 代入余弦定理，利用基本不等式得到 ，从而得到 ，接着根据
得到 可能为钝角，不满足 成等比数列，从而得答案.
【详解】当 成等比数列时， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，所以 ，所以 ，充分性满足；
当 时， ，
而当 时， 为最长的边，不满足 成等比数列，必要性不满足.
则“ 成等比数列”是 的充分不必要条件.
故选：A.
9. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，
将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱 和 是两个完全相同的直三棱柱，侧棱 与 互相垂直平分， 交于点I， ， ，则点 到平面 的
距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点 到平面 的垂线段，在根
据已知条件得 ，解方程求出 即可.
【详解】取 中点 ，连接 ，过 作 的垂线交 的延长线于点 ，
取 中点 ，连接 ，
由已知， 、 分别为 、 中点，
因为 是直三棱柱，所以 ， 且 ，
所以 其 ，所以四边形 为平行四边形，又 ，所以 为矩形，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，所以点 到平面 的距离等于线段 的长度，设为 ；
，在 中， ，
所以 ，设角 ，则有 ，
因为四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为因为 是直三棱柱，所以 ，且 ，
所以 ， ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离是 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点 到平面 的垂线
段.
10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向
端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实
验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距 的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记
录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示. 和 分别是两个函数的极小值点.曲线a经过 和 ，曲线b经过 .已
知 ，并且从 时刻到 时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可
知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知 ，结合 分析求解即可.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
设动点P的轨迹与y轴重合，其在 时刻对应的点分别为 （坐标原点）， ，P的速度为
，
因为 ，可得 ，由题意可知： 均与y轴垂直，且 ，
作 垂足为 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 ；
又因为 ∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为 ，
所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：建系，设动点P的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长
度，进而分析求解.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若 是纯虚数，则实数a的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.
【详解】 ，
因为 是纯虚数，
所以 ，得 .
故答案为：
12. 已知抛物线 的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若 ，则直线AB的
方程为__________.
【答案】 或【解析】
【分析】先根据焦半径公式求出点 坐标，进而可得直线方程.
【详解】设 ，则 ，则 ，此时 ，
所以 或 ，又由已知 ，
直线AB的方程为 或 ，
整理得 或 .
故答案为： 或 .
13. 使 成立的一组a，b的值为 __________， __________.
【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意结合对数运算分析可得 ，取特值检验即可.
【详解】若 ，则 ，可得 ，
例如 符合上式.
故答案为：2；2.（答案不唯一）
14. 已知函数 ，若 是偶函数，则 __________；若圆面
恰好覆盖 图象的最高点或最低点共3个，则 的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】根据偶函数的对称性分析可知 ，即可得结果；结合对称性可知圆面在y轴右侧
仅覆盖1个 图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.
【详解】因为 是偶函数，则 ，
且 ，所以 ；
可得 ，设 的最小正周期为 ，
因为 和 均关于y轴对称，
可知圆面在y轴右侧仅覆盖 图象的1个最低点，
对于 ，令 ，解得 （不妨只考虑y轴右侧，舍负）；
可得 ，解得 ，
且 ，则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： ； .
15. 已知数列 的前n项和为 且 ，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：② ；③ ；④
.其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②
【解析】
【分析】①:先确定 最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到 ，再进一
步通过放缩判断；③④求出 ，然后举例排除.
【
详解】对于①： ，则 ，
则 ，即 ，
假设长度分别为 的三条线段可以构成一个直角三角形，
则 为斜边，所以 ，
所以 ，所以 或 ，与 矛盾，故①错误；
对于②： ，当且仅当 等号成立，
所以 ，所以 ，
所以 ，②正确；
对于③：由已知 ，此时 ，所以 不成立，③错
误；
对于④：由已知 ，此时 ，所以 不成立，
④错误.
故答案为：②.【点睛】关键点点睛：对于数列命题正误的判断，我们可以通过求出部分项，然后观察是否成立，从而达
到排除的目的.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，四边形ABCD为菱形， ，把 沿着BC折起，使A到 位置.
（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求点D到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取线段 的中点 ，连接 ，通过证明 面 可得结论；
（2）先证明出 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；
（3）斜线段的长度乘以线面角的正弦可得点到面的距离.
【小问1详解】
取线段 的中点 ，连接 ，
因为四边形ABCD为菱形，且 ，
所以 ， 为等边三角形，所以 ，又 面 ，
所以 面 ，又 面 ，
所以 ；
小问2详解】
【
由 ， 为边长为2的等边三角形可得 ，
所以 ，结合 面 可得 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系， ，
，
设面 的法向量为 ，直线 与平面 所成角为 ，
则 ，取 得 ，
，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
【小问3详解】
由（2）得点D到平面 的距离为 .17. 已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 的值；
（2）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 在 上的最大值，再从条件①、
条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①：
；条件②： ；条件③： 的面积为S，
且 .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】利用三角恒等变换整理可得 ，结合最小正周期分析求解；
以 为整体，结合正弦函数最值可得 .若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得 ，结合正弦函数分析求解；若选条
件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得
，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得 ，
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得 ，结合正弦函数分析求解.【小问1详解】
由题意可知： ，
因为函数 的最小正周期为 ，且 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）可知： ，
因为 ，则 ，
.
可知当 ，即 时， 取到最大值3，即
若条件①：因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，
可得 ，且 ，则 ，
可得 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；
若条件②；因为 ，
由正弦定理可得： ，
则 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
即 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；
若选③：因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 .
18. 某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为
高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为 ）；C工序的加工质量层次为高，
A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为 ）；其余均为
95级（表示最低过滤效率为 ）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，
其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层
次为高的个数为80个.
表①：表示加工一个口罩的利润.
100等
口罩等级 99等级 95等级
级
.
利润/元 2 1 0 5
（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；
（2）X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对
A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在
原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b
的值.
【答案】（1）0.3 （2）分布列见详解； 元
（3） （答案不唯一，满足 即可）
【解析】
【分析】（1）根据可得A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率，结合独立事件概率乘法公式分析求
解；
（2）由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，求相应的概率，进而可得分布列和期望；
（3）由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为 ，由题意可知：
Y的可能取值为 ，求相应的概率，进而可得期望，令 运算求解即可.
【小问1详解】设A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率分别为 ，
用频率估计概率可得： ，
记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件 ，
所以 .
【小问2详解】
由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，则有：
，
，
所以X的分布列为
X 2 1 0.5
P 0.3 0.5 0.2
X的期望 （元）.
【小问3详解】
由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为 ，
设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为 ，
由题意可知：Y的可能取值为 ，则有：
，
，
，
所以Y的期望 （元），
令 ，即 ，解得 ，例如 符合题意.
19. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，以线段 为直径的圆过C的上下顶
点，点 在C上，其中e为C的离心率.
（1）求椭圆C的方程和短轴长；
（2）点 在C上，且在x轴的上方，满足 ，直线 与直线 的交点为
P，求 的面积.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）线段 为直径的圆过C的上下顶点，得 ，即 ，然后计算离心率
从而点 代入 可得椭圆C的方程并可求短轴长；
（2）由题可知， 的面积等于 ，所以求 的值；由 ，得
，进而得点 的坐标关系，即 ，将点 代入C，求得 ，再由
，得 ，即 ，从而计算 的面积即可.
【小问1详解】
设 ，上下顶点分别为 .由以线段 为直径的圆过C的上下顶点，得 ，得 ，即 .
因为 ，即 ，所以 ，
由点 在C上，得 ， ，解得 ，
所以 ，则 ，
短轴长 .
【小问2详解】
根据题意，画出图象如图所示：
因为 ，所以 ，
又 ，则 ，即 ， .
设 ，
由 得 ，即 ，
因为点 在椭圆 上，
所以 ，即 ，
两式相减得， 即 ，，又点 在 轴的上方，所以 .
又 得 ，即 .
于是 .
20. 已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线为x轴，求a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数 的单调性；
（3） ，若 是 的极大值点，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2） 上单调递减， 上单调递增
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，然后根据 列式计算即可；
（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；
（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.
【小问1详解】
由已知 ，则 ，
由于曲线 在 处的切线为x轴，
所以 ，
所以 ；
【小问2详解】
当 时， ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
又当 时， 恒成立， ， ，
所以当 时 ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
【小问3详解】
由已知 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
又当 时， 恒成立，且 ，
当 时， ，即 在 上有且只有一个零点，设为 ，
当 ，即 ，解得 ，
此时若 ，解得 ， 在 上单调递减，
若 ，解得 或 ， 在 上单调递增，
此时 在 处取极小值，不符合题意，舍去；
当 ，即 ，解得 ，
此时若 ，解得 ， 在 上单调递减，
若 ，解得 或 ， 在 上单调递增，
此时 在 处取极大值，符合 是 的极大值点，
当 时，即 ，解得 ，此时 恒成立， 无极值点，
综上所述：a的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及
零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.
21. 给定正整数 ，设数列 是 的一个排列，对 ， 表示以 为首项
的递增子列的最大长度， 表示以 为首项的递减子列的最大长度.
（1）若 ， ， ， ， ，求 和 ；
（2）求证： ， ；
（3）求 的最小值.
【答案】（1） ，
（2）证明见解析 （3）当 为偶数时， 的最小值是 ；当 为奇数时， 的最小值
是 .
【解析】
【分析】（1）直接根据定义求解；
（2）分情况讨论证明 ，故可推知 和 不能同时为零，进而得到结论；
（3）对 的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.
【小问1详解】
以 为首项的最长递增子列是 ，以 为首项的最长递减子列是 和 .
所以 ， .
【小问2详解】对 ，由于 是 的一个排列，故 .
若 ，则每个以 为首项的递增子列都可以在前面加一个 ，
得到一个以 为首项的更长的递增子列，所以 ；
而每个以 为首项的递减子列都不包含 ，且 ，
故可将 替换为 ，得到一个长度相同的递减子列，所以 .
这意味着 ；
若 ，同理有 ， ，故 .
总之有 ，从而 和 不能同时为零，
故 .
【小问3详解】
根据小问2的证明过程知 和 不能同时为零，故 .
情况一：当 为偶数时，设 ，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列 ： ， .
则对 ，有 ， .
故此时 .
结合以上两方面，知 的最小值是 .情况二：当 为奇数时，设 ，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列 ： ， .
则对 ，有 ， .
.
故此时
结合以上两方面，知 的最小值是 .
综上，当 为偶数时， 的最小值是 ；当 为奇数时， 的最小值是 .
【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某
个数，再说明该表达式在某种情况下能取到，就得到了最小（或最大）值是，这便是“求最小（或最大）
值”的本质. 而在这个过程中，“想到的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，
包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，
“如何想到的取值”无需交代，不影响解答的正确性. 换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结
果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的. 在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接
化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大
值的原始定义和本质.
