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专题二 能量与动量
第5 讲 功功率动能定理题型总结
一．功
1．（2023•海淀区校级模拟）甲、乙两位同学玩跷跷板，当乙离开地面缓慢上升的过程中，跷跷板对乙的
作用力（ ）
A．对乙做正功
B．对乙不做功
C．大小逐渐增加
D．方向垂直于板面向上
变式一：（多选）2．（2024•重庆模拟）以下关于功和能的说法正确的是（ ）
A．功是矢量，能是标量
B．功和能都是标量
C．功是能量转化的量度
D．因为功和能的单位都是焦耳，所以功就是能
二．功的计算
（多选）3．（2024•乌鲁木齐模拟）如图所示，乌鲁木齐机场在传输旅客行李的过程中，行李从一个斜面
滑下。为防止行李下滑时速度过大，斜面上设置了一段“减速带”（行李与“减速带”间动摩擦因数较
大）。小梁的行李箱质量为m、长度为L，“减速带”的长度为2L，该行李箱与“减速带”间的动摩擦因
数为μ，斜面与水平面间的夹角为θ，重力加速度的大小为g，行李箱滑过“减速带”的过程中，不会发生
转动且箱内物品相对行李箱静止。设该行李箱质量分布均匀和不均匀的两种情况下滑过“减速带”的过程
中，克服“减速带”的摩擦力做的功分别为W1和W2。则（ ）
A．W1一定等于2μmgLcosθ
B．W1一定大于2μmgLcosθ
C．W2一定等于W1
D．W2可能大于W1
变式一：4．（2024•天河区一模）图甲中的辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水桶等部
分构成。图乙为工作原理简化图，辘轳绕绳轮轴半径r＝0.1m，水桶的质量M＝0.5kg，井足够深，忽略井
绳质量和因绳子缠绕导致轮轴的半径变化。某次从井中汲取m＝2kg 的水，轮轴由静止开始绕中心轴转动
从而竖直向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所示，重力加速度g＝10m/s2，则（ ）
A．10s 末水桶的速度大小为20m/s
B．水桶的速度大小随时间变化规律为v＝2t
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C．0～10s 内水柚上升的高度为20m D．0～10s 内井绳拉力所做的功为255J
变式二：（多选）5．（2024•深圳一模）节能电梯在无人时缓慢运行或静止不动，有人上电梯后，电梯先
加速后匀速运行。一乘客坐电梯下楼，始终与电梯保持相对静止，如图所示，则（ ）
A．加速时乘客所受的摩擦力方向水平向左
B．加速时乘客处于失重状态
C．下楼过程中电梯对乘客的作用力大于乘客对电梯的作用力
D．下楼过程中乘客受到的摩擦力始终做负功
三．功率、平均功率和瞬时功率
（多选）6．（2024•吉林一模）如图甲所示，“水上飞人”是一种水上娱乐运动。喷水装置向下持续喷
水，总质量为M 的人与喷水装置，受到向上的反冲作用力腾空而起，在空中做各种运动。一段时间内，人
与喷水装置在竖直方向运动的v﹣t 图像如图乙所示，水的反冲作用力的功率恒定，规定向上的方向为正，
忽略水管对喷水装置的拉力以及空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．t1～t2时间内，水的反冲作用力越来越大
B．水的反冲作用力的功率为Mgv2
C．t1时刻，v﹣t 图像切线的斜率为
D．t1﹣t2时间内人与喷水装置在竖直方向的运动高度为
变式一：7．（2024•南京模拟）一辆轿车在平直公路上由静止开始匀加速运动，达到额定功率后保持功率
不变，最终做匀速运动。轿车在行驶过程中受到的阻力恒定，关于轿车的速度v、功率P 随时间t 的变化规
律正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式二：8．（2024•西城区校级开学）电动平衡车作为一种电力驱动的运输载具，被广泛应用在娱乐、代
步、安保巡逻等领域。某人站在平衡车上以初速度v0在水平地面上沿直线做加速运动，经历时间t 达到最
大速度vm，此过程电动机的输出功率恒为额定功率P。已知人与车整体的质量为m，所受阻力的大小恒为
f。则（ ）
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A．
B．车速为v0时的加速度大小为
C．人与车在时间t 内的位移大小等于
D．在时间t 内阻力做的功为
变式三：9．（2024•顺庆区校级一模）如图所示，某煤矿有一水平放置的传送带，已知传动带的运行速度
为v0＝0.5m/s，开采出的煤块以50kg/s 的流量（即每秒钟有50kg 煤块从漏斗中落至传送带上）垂直落在传
送带上，并随着传送带运动。为了使传送带保持匀速传动，电动机的功率应该增加（ ）
A．500W
B．25W
C．12.5W
D．50W
四．机车启动的两种模型
10．（2023•海口一模）在通往某景区的公路上，一辆小汽车沿倾角为θ 的斜坡向上由静止启动，在前20s
内做匀加速直线运动，第20s 末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t 图像如图所示。已知汽车
的质量m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力和空气阻力的合力大小恒为车重的
，sinθ＝0.1，重力加速度
g＝10m/s2。则汽车的最大速为（ ）
A．25m/s
B．28m/s
C．30m/s
D．35m/s
变式一：11．（2024•安徽二模）为了确保汽车每次能安全顺利地通过一段陡峭的上坡路，小明通过观察
汽车在上坡时的加速度情况对其进行分析。已知汽车总质量m＝1500kg，汽车发动机的额定功率P＝
132kW，坡面与水平面夹角为θ＝37°，汽车在坡面受到的阻力恒为车重的0.4 倍，坡面足够长。某次该汽
车以加速度a＝1m/s2启动沿坡向上做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后保持功率不变直到汽车获得
最大速度时，汽车总位移为s＝40m。重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，求：（1）汽车保持匀加速直线
运动的最长时间；
（2）汽车从开始启动到速度达到最大值所用的时间（结果保留整数）。
变式二：12．（2023•浙江模拟）如图所示为某型号电动车在某次测试中的速度v 与牵引力F 大小的倒数图
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像（v﹣
），已知汽车在平直路面上由静止启动，阻力恒定，最终达到最大速度vm后以额定功率匀速行
驶，ab、cd 平行于v 轴，bc 反向延长线过原点O，汽车质量为M，已知M、F1、F2、vm，下列说法不正确
的是（ ）
A．汽车额定功率为F2vm
B．汽车从b 到c 过程做变加速运动
C．汽车匀加速运动持续的时间为
D．汽车从a 到b 过程克服阻力做功
五．重力势能的变化和重力做功的关系
13．（2022•广东模拟）升降机中有一质量为m 的物体，当升降机以加速度a 匀加速上升h 高度时，物体增
加的重力势能为（ ）
A．mgh
B．mgh+mah
C．mah
D．mgh﹣mah
变式一：14．（2022•广东模拟）如图所示，质量相同的A、B 两小球用长度不同的两轻绳悬于等高的
O1、O2点，绳长LA、LB的关系为LA＞LB，将轻绳水平拉直，并将小球A、B 由静止开始同时释放，取释
放的水平位置为零势能的参考面，则下列说法错误的是（ ）
A．在下落过程中，当两小球到同一水平线L 上时具有相同的重力势能
B．两小球分别落到最低点的过程中减少的重力势能相等
C．A 球通过最低点时的重力势能比B 球通过最低点时的重力势能小
D．A、B 两小球只要在相同的高度，它们所具有的重力势能就相等
六．动能
15．（2024•泉州模拟）在2023 年杭州亚运会女子铅球决赛中，我国运动员巩立姣以19.58m 的成绩成功卫
冕。运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试不同质昼和不同夹角的抛球感觉。如图，在某次训练中运动
员将质量m＝6kg 的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小v0＝10m/s，方向与水平夹角θ＝37°，铅
球离开手时离水平地面的高度h＝1.8m。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻
力。求铅球：（1）离开手瞬间的水平分速度大小v0x和竖直分速度大小v0y；
（2）上升到最高点的时间t 和离地面的最大高度H；（3）落地前瞬间的动能Ek。
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变式一：16.（2024•深圳一模）篮球运动员做定点投篮训练，篮球从同一位置投出，且初速度大小相等。
第1 次投篮篮球直接进篮筐，第2 次篮球在篮板上反弹后进筐，篮球反弹前后垂直篮板方向分速度等大反
向，平行于篮板方向分速度不变。轨迹如图所示。忽略空气阻力和篮球撞击篮板的时间，关于两次投篮说
法正确的是（ ）
A．两次投篮，篮球从离手到进筐的时间相同 B．篮球第1 次上升的最大高度比第2 次的大
C．篮球经过a 点时，第1 次的动能比第2 次的大 D．篮球两次进筐时，在竖直方向分速度相同
变式二：17．（2024•合肥一模）我国科学家团队在某个河外星系中发现了一对相互绕转的超大质量双黑
洞系统，这是迄今为止发现的第二例超大质量双黑洞绕转系统，两黑洞绕它们连线上某点做匀速圆周运
动。黑洞1、2 的质量分别为M1、M2。下列关于黑洞1、2 的说法中正确的是（ ）
A．半径之比为M1：M2
B．向心力之比为M1：M2
C．动能之比为M1：M2
D．角速度之比为1：1
变式三：18．（2024•山西模拟）质量为m、电荷量为q 的物块处于水平方向的匀强电场E 中，在电场力的
作用下，由静止开始在水平地面上做直线运动，E 与时间t 的关系如图所示。已知物块与地面间的动摩擦
因数为0.2，g＝10m/s2，则（ ）
A．t＝3s 时，物块的速率为3m/s
B．t＝4s 时，物块的动能为零
C．t＝6s 时，物块回到初始位置
D．0～6s 内，物块平均速度的大小为2m/s
变式四：19．（2024•市中区校级模拟）华为mate60 实现了手机卫星通信，只要有卫星信号覆盖的地方，
就可以实现通话。如图所示三颗赤道上空的通信卫星就能实现环赤道全球通信，已知三颗卫星离地高度均
为h，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．三颗通信卫星受到地球的万有引力的大小一定相等
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B．其中一颗质量为m 的通信卫星的动能为
C．能实现赤道全球通信时，卫星离地高度至少为2R
D．同一卫星在高轨道的动能大于在低轨道的动能
七．动能定理
20．（2023•铁东区校级二模）如图甲所示，质量0.5kg 的小物块从右侧滑上匀速转动的足够长的水平传送
带，其位移与时间的变化关系如图乙所示。图线的0～3s 段为抛物线，3～4.5s 段为直线，（t1＝3s 时x1＝
3m）（t2＝4.5s 时x2＝0）下列说法正确的是（ ）
A．传送带沿逆时针方向转动
B．传送带速度大小为1m/s
C．物块刚滑上传送带时的速度大小为2m/s
D．0～4.5s 内摩擦力对物块所做的功为﹣3J
变式一：（多选）21．（2024•安徽模拟）如图所示，实线是实验小组某次研究平抛运动得到的实际轨
迹，虚线是相同初始条件下平抛运动的理论轨迹。分析后得知这种差异是空气阻力影响的结果。实验中，
小球的质量为m，水平初速度为v0，初始时小球离地面高度为h。已知小球落地时速度大小为v，方向与水
平面成θ 角，小球在运动过程中受到的空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k，重力加速度为g。下列
说法正确的是（ ）
A．小球落地时重力的功率为mgv
B．小球下落的时间为
C．小球下落过程中的水平位移大小为
D．小球下落过程中空气阻力所做的功为
变式二：22．（2024•武汉模拟）轻绳的一端固定于O 点，另一端系一小球。现将轻绳拉直，让小球从与
O 点等高的A 点静止释放。不计空气阻力，重力加速度大小为g，小球从A 点运动到最低点B 的过程中（
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）
A．竖直方向上加速度的最大值为g，最小值为0
B．竖直方向上加速度的最大值为3g，最小值为g
C．竖直方向上的加速度最小时，重力的瞬时功率最大
D．竖直方向上的加速度最小时，重力的瞬时功率最小
变式三：23．（2024•南京模拟）如图所示，质量M＝8.0kg 的物块A 放置在水平地面上，上表面为光滑斜
面，斜面长L＝1m，与水平方向的夹角θ＝37°。质量m＝4.0kg 的小物块B 从斜面顶端由静止沿斜面下
滑，A 保持静止。A 与地面间的动摩擦因数为μ，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）求物块B 在斜面上运动的时间t； （2）B 在斜面顶端时，给A、B 相同的水平初速度，此后A、B
恰能一起以相同的加速度向左做匀减速运动，求A 与地面间的动摩擦因数μ；
（3）B 沿斜面下滑
，此时对A 施加水平向右的推力F，A、B 在水平方向的加速度相同，B 相对A 做匀
速直线运动，求B 下滑到底端的过程中推力F 做的功W。
变式四：24．（2024•合肥一模）如图甲所示，一小物块放置在水平台面上，在水平推力F 的作用下，物
块从坐标原点O 由静止开始沿x 轴运动，F 与物块的位置坐标x 的关系如图乙所示。物块在x＝2m 处从平
台飞出，同时撤去F，物块恰好由P 点沿其切线方向进入竖直圆轨道，随后刚好从轨道最高点M 飞出。已
知物块质量为0.5kg，物块与水平台面间的动摩擦因数为0.7，轨道圆心为O′，半径为0.5m，MN 为竖直
直径，∠PO′N＝37°，重力加速度g 取10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力。求：
（1）物块飞出平台时的速度大小；
（2）物块在圆轨道上运动时克服摩擦力做的功。
变式五：25．（2024•甘肃模拟）半径为R 的光滑圆环可绕过圆心的竖直轴OO′转动。质量为m 的小球套
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在圆环上，原长为1.5R 的轻质弹簧一端固定在小球上，另一端固定在圆环顶端O 点。整个系统静止时，小
球在O′点处于平衡且对圆环无压力。重力加速度为g。
（1）当圆环以角速度ω0转动时，小球在P 点相对圆环静止，∠POO′＝α，sinα＝0.6，求弹簧弹力的大小
及角速度ω0；（sin2α＝0.96，cos2α＝0.28）
（2）利用F﹣x 图像，证明小球从O′点运动到P 点的过程中，弹簧弹力（F＝﹣kx）所做的功为
，其中x1和x2分别为小球在O′和P 点处弹簧的伸长量；
（3）圆环开始转动后，小球受轻微扰动离开O′，当转速逐渐增大到ω0时，小球沿圆环缓慢上移到P 点
并相对圆环静止。求此过程中圆环作用在小球上的合力做的功。
变式六：26.（2024•重庆模拟）如图所示，质量均为m 的物块A 和B 用轻弹簧相连，放在光滑的斜面上，
斜面的倾角θ＝30°，B 与斜面底端的固定挡板接触，弹簧的劲度系数为k，A 通过一根绕过定滑轮的不可
伸长的轻绳与放在水平面上的物块C 相连，各段绳均处于刚好伸直状态，A 上段绳与斜面平行，C 左侧绳
与水平面平行，C 的质量也为m，斜面足够长，物块C 与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度为
g。现给C 与一个向右的初速度，当C 向右运动到速度为零时，B 刚好要离开挡板，求：
（1）物块C 开始向右运动的初速度大小；
（2）若给C 施加一个向右的水平恒力F1（未知）使C 向右运动，当B 刚好要离开挡板时，物块A 的速度
大小为v，则拉力F1多大？
（3）若给C 一个向右的水平恒力F2（未知）使C 向右运动，当B 刚好要离开挡板时，物块A 的加速度大
小为a，此时拉力F2做的功是多少？
变式七：27．（2024•吉林一模）我国航天员翟志刚、王亚平、叶光富于2022 年4 月16 日9 时56 分搭乘
神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。返回舱在离地面约6000m 的高空打开主伞（降落
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伞），在主伞的作用下返回舱速度从80m/s 降至10m/s，此后可视为匀速下降，当返回舱在距离地面1m 时
启动反推发动机，速度减至0 后恰落到地面上。设主伞所受的空气阻力为f＝kv，其中k 为定值，v 为速
率，其余阻力不计。已知返回舱（含宇航员）总质量为3000kg，主伞的质量忽略不计，忽略返回舱质量的
变化，重力加速度g 取10m/s2，设全过程为竖直方向的运动。求：
（1）在主伞打开后的瞬间，返回舱的加速度大小；
（2）若在反推发动机工作时主伞与返回舱之间的绳索处于松弛状态，则反推发动机在该过程中对返回舱
做的功。
变式八：28．（2024•江西模拟）无人快递车在水平路面上从静止开始做直线运动，经过160s 到达目的地
停止运动，快递车在整个运送过程中牵引力F 随时间t 的变化关系如图所示，图中F1和t1未知。假设快递
车与货物总质量m＝100kg，运行时所受阻力为自身重力的0.05 倍，重力加速度取g＝10m/s2，0～t1时间内
位移大小s1＝10m。求：（1）快递车在加速和减速过程中的加速度大小；
（2）快递车在整个运动过程中牵引力所做的功。
变式九：29．（2024•安徽模拟）为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建用于滑板训练的场
地。老师和同学们围绕物体在起伏地面上的运动问题，讨论并设计了如图所示的路面，其中AB 是倾角为
53°的斜面，凹圆弧
和凸圆弧
的半径均为R，且D、F 两点处于同一高度，B、E 两点处于另一高
度，整个路面无摩擦且各段之间平滑连接。在斜面AB 上距离水平面BE 高度为h（未知量）的地方放置一
个质量为m 的小球（可视为质点），让它由静止开始运动。已知重力加速度为g，取sin37°＝0.6，cos37°
＝0.8。
（1）当h＝0.6R 时，求小球经过最低点C 时，路面受到的压力；
（2）若小球一定能沿路面运动到F 点，求h 的取值范围；
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（3）在某次试验中，小球运动到
段的G 点时，重力功率出现了极大值，已知该点路面倾角θ＝37°，求
h 的值。
变式十：30．（2024•黑龙江一模）如图，倾角θ＝30°的直轨道AC 与光滑圆弧轨道CDEF 在C 处相切且
平滑连接，整个装置固定在同一竖直平面内。圆弧轨道的半径为R，DF 是竖直直径，O 点为圆心，E、
O、B 三点在同一水平线上。A、F 也在同一水平线上，两个小滑块P、Q（都可视为质点）的质量均为
m。已知滑块Q 与轨道AC 间存在摩擦力且动摩擦因数处处相等，但滑块P 与整个轨道间和滑块Q 与圆弧
轨道间的摩擦力都可忽略不计。同时将两个滑块P、Q 分别在A、B 两点由静止释放、之后P 开始向下滑
动，在B 点与Q 相碰。碰后P、Q 立刻一起向下且在BC 段保持匀速运动，已知P、Q 每次相碰都会立刻合
在一起运动但两者并不粘连，取重力加速度为g，求：
（1）两滑块进入圆弧轨道运动过程中对圆弧轨道的压力的最大值；
（2）Q 第一次沿斜面上滑的最大距离；
（3）滑块P 在轨道AC 上往复运动经过的总路程。
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