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专题二 能量与动量
第6 讲 功能关系和能量守恒题型总结
一．机械能
1．（2023•沙坪坝区校级开学）北斗卫星导航系统由地球同步静止轨道卫星a、与地球自转周期相同的倾
斜地球同步轨道卫星b，以及比它们轨道低一些的轨道卫星c 组成，它们均为圆轨道卫星。若轨道卫星c 与
地球同步静止轨道卫星a 在同一平面内同向旋转，已知卫星c 的轨道半径为r，同步卫星轨道半径为4r，地
球自转周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．卫星a 的发射速度大于地球第一宇宙速度，轨道运行速度小于地球第一宇宙速度
B．卫星a 与卫星b 具有相同的机械能
C．地球的质量为
D．卫星a 与卫星c 周期之比为8：1，某时刻两者相距最近，则经过
后，两者再次相距最近
变式一：2．（2024•山西模拟）滑雪运动深受人民群众喜爱，某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖
直面内的圆弧形滑道PQ，从滑道的P 点滑行到最低点Q 的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不
变，则运动员沿PQ 下滑过程中（ ）
A．所受摩擦力不变
B．所受支持力不变
C．重力做功的功率逐渐增大
D．机械能逐渐减小
变式二：3．（2023•天津模拟）如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，使卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，
然后在Q 点改变卫星速度，再使卫星进入地球同步轨道Ⅱ。以下判断正确的是（ ）
A．在轨道Ⅰ上通过Q 点的速度小于轨道Ⅱ上通过Q 点的速度
B．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的加速度等于在Q 点的加速度
C．该卫星在轨道Ⅱ上运行时的机械能小于在轨道Ⅰ上运行时的机械能
D．卫星由轨道Ⅰ变轨进入轨道Ⅱ，需在Q 点点火向速度的方向喷气
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二．机械能守恒定律
4．（2023•湖南二模）如图所示，一足够长的光滑斜面，倾角为θ，一弹簧上端固定在斜面的顶端，下端
与物体b 相连，物体b 上表面粗糙，在其上面放一物体a，a、b 间的动摩擦因数为μ（μ＞tanθ），将物体
a、b 从O 点由静止释放，释放时弹簧恰好处于自由伸长状态，当b 滑到A 点时，a 刚好相对b 开始滑动；
滑到B 点时a 刚好从b 上滑下，b 也恰好速度为零，设a、b 间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速
度为g。下列对物体a、b 运动情况的描述正确的是（ ）
A．从O 到A 的过程中，两者一直加速
B．经过A 点时，两者加速度大小是μgcosθ﹣gsinθ，方向沿斜面向下
C．从A 到B 的过程中，两者的加速度都在减小，速度也都在减小
D．经过B 点，a 掉下后，b 开始反向运动且能滑到开始下滑的O 点的上方
变式一：5．（2024•五华区校级模拟）跳台滑雪运动员在助滑段加速后，从起跳区a 位置处水平飞出，落
在着陆区内的b 点，不计空气阻力，如图所示。Ep、Ek、E、P 分别表示运动员在空中的重力势能、动能、
机械能、重力的功率，用t 表示运动员在空中的运动时间，则下列图像中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式二：6．（2024•甘孜州模拟）2023 年5 月30 日16 时29 分，神舟十六号载人飞船入轨后，成功对接于
空间站天和核心舱径向端口，形成了三舱三船组合体，此次任务将带去航天员驻留和消耗物资、维修备
件、推进剂和应用任务载荷样品，并带回在轨废弃物。飞船发射后会在停泊轨道（Ⅰ）上进行数据确认，
后择机经转移轨道（Ⅱ）完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化如下图所示，已知停泊轨道半
径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为T1，则
（ ）
A．飞船在停泊轨道（Ⅰ）上的速度大于7.9km/s
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B．飞船在停泊轨道（Ⅰ）与组合体在空间站轨道（Ⅲ）上的速率之比为（R+h）：R
C．飞船在转移轨道（Ⅰ）上正常运行的周期为T＝T1•
D．飞船在转移轨道（Ⅱ）上正常运行时，在Q 点的机械能和在空间站轨道（Ⅲ）上在Q 点的机械能相同
变式三：7．（2024•吉林一模）如图所示，甲球从O 点以水平速度v1抛出，落在水平地面上的A 点；乙球
从O 点以水平速度v2抛出，落在水平地面上的B 点，乙球与地面碰撞前后水平分速度不变，竖直分速度大
小不变，反弹后恰好也落在A 点。已知两球质量均为m，乙球落在B 点时速度与水平方向夹角为60°，不
计碰撞时间和空气阻力，以水平地面为重力势能零势能面，则下列说法正确的是（ ）
A．甲球落在A 点时速度与水平方向夹角为45°
B．甲、乙抛出时速度之比v1：v2＝
：1
C．甲、乙落地时速度之比为v 甲：v 乙＝3：1 D．甲、乙抛出时机械能之比为E 甲：E 乙＝3：1
变式四：8．（2023•盐山县校级模拟）如图所示，小滑块Q 的质量为m，P 的质量为2m，P、Q 通过轻质
定滑轮O（体积可忽略）用细线连接，Q 套在光滑水平杆上。用力拉动Q，使OQ 间的细线与水平方向的
夹角θ＝60°，此时OQ 长度为L，P、Q 处于静止状态。不计一切摩擦，P 不会与杆碰撞，重力加速度大小
为g，则释放Q 后Q 运动的最大速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式五：9．（2023•湖北模拟）如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性轻杆，O 端为固定转轴，杆可在
竖直平面内无摩擦地转动，杆的中心点及另一端各固定一个小球A 和B。已知两球质量相同，现用外力使
杆静止在水平方向，然后撤去外力，杆将摆下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中正确的是（ ）
A．B 球下落过程中机械能守恒 B．杆的弹力对A 球做正功，对B 球做负功
C．杆的弹力对A 球做负功，对B 球做正功
D．杆的弹力对A 球和B 球做功之和不为零
变式六：10．（2024•南通模拟）如图所示，固定的倾斜轨道倾角θ＝60°，其底端与竖直平面内半径为R
的圆弧轨道相切、相连接，位置P 为圆弧轨道的最低点。质量分别为2m、m 的小球A、B 用长L＝1.5R 的
轻杆通过轻质铰链相连，A 套在倾斜轨道上，B 套在固定的竖直轨道上，竖直轨道过圆弧轨道的圆心O。
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现A 受到一沿倾斜轨道向上的推力处于静止状态，此时轻杆与倾斜轨道垂直，撤去推力后，A 由静止沿倾
斜轨道、圆弧轨道运动。假设在运动过程中轻杆和竖直轨道不会碰撞，不计一切摩擦，重力加速度为g。
（1）求推力的大小F；（2）求A 运动至P 点时的速度大小vA；
（3）A 运动至P 点时，轨道对A 产生方向竖直向上、大小为FN的弹力，求此时B 的加速度大小aB。
变式七：11．（2024•嘉兴一模）羽毛球运动是一项深受大众喜爱的体育运动。某同学为研究羽毛球飞行
规律，找到了如图所示的羽毛球飞行轨迹图，图中A、B 为同一轨迹上等高的两点，P 为该轨迹的最高
点，则该羽毛球（ ）
A．在A、B 两点的速度大小相等
B．整个飞行过程中经P 点的速度最小
C．AP 段的飞行时间大于PB 段的飞行时间
D．在A 点的机械能大于B 点的机械能
变式八：12．（2024•重庆模拟）如图所示，用轻杆组成的正三角形OAB，边长为L，其中O 点连接在可
自由旋转的铰链上，A、B 两点各固定一质量为m 的小球（可视为质点）。AB 杆从竖直位置由静止释放，
转到AB 杆处于水平位置的过程中，不考虑空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．A 球机械能守恒，B 球机械能不守恒 B．AB 杆水平时，两球的速率均为
C．OA 杆对A 球不做功，AB 杆对A 球做正功
D．AB 杆转到水平位置的过程中，杆对A 球做的功为
变式九：（多选）13．（2024•泸州模拟）半径为R 的光滑圆形轨道用一轻杆固定于天花板，其质量为
1.5m。质量均为m 的相同小球静止在轨道最低位置。两球间夹有一压缩的微型轻弹簧，弹性势能为EP，两
小球之间距离可忽略不计，且与弹簧不栓接。现同时释放两个小球，弹簧完全弹开后，两球沿轨道内壁运
动刚好能到达轨道最高点。当小球沿轨道分别经过M、N 点时，小球与圆心的连线和竖直方向的夹角θ＝
53°，如图所示，此时轻杆的弹力大小为F。整个过程不计空气阻力，圆形轨道始终处于静止状态，取重力
加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则（ ）
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A．EP＝4mgR
B．EP＝5mgR
C．F＝0.06mg
D．F＝0.78mg
变式十：14．（2023 秋•安宁区校级期末）如图所示，质量为m 的物体A 压在放于地面上的竖直的劲度系
数为k1轻弹簧上，上端与劲度系数为k2的轻弹簧相连，轻弹簧k2上端与质量也为m 物体B 相连，物体B
通过轻绳跨过光滑的定滑轮与轻质小桶P 相连，A、B 均静止。现缓慢地向小桶P 内加入细砂，当弹簧k1
恰好恢复原长时，（小桶一直未落地）求： （1）小桶P 内所加入的细砂质量；
（2）小桶在此过程中下降的距离。
三．功能关系
15．（2024•天河区一模）弹弓是孩子们喜爱的弹射类玩具，其构造原理如图所示，橡皮筋两端点A、B 固
定在把手上，橡皮筋处于ACB 时恰好为原长状态，在C 处（AB 连线的中垂线上）放一固体弹丸，一手执
把，另一手将弹丸拉至D 点放手，弹丸就会在橡皮筋的作用下发射出去，打击目标。现将弹丸竖直向上发
射，已知E 是CD 中点，则（ ）
A．从D 到C 过程中，弹丸的机械能守恒B．从D 到C 过程中，弹丸的动能一直在增大
C．从D 到C 过程中，橡皮筋的弹性势能先增大后减小
D．从D 到E 过程橡皮筋对弹丸做功大于从E 到C 过程
变式一：16．（2024•吉林一模）如图所示，质量均为m 的木块A 和B，用一个劲度系数为k 的竖直轻质
弹簧连接，最初系统静止，重力加速度为g，现在用力F 向上缓慢拉A 直到B 刚好要离开地面，则这一过
程中弹性势能的变化量ΔEp和力F 做的功W 分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．0，
D．0，
变式二：17．（2024•南充模拟）蹦极是跳跃者把一端固定的长弹性绳绑在踝关节等处，从几十米高处跳
下的一种极限运动、如图为蹦极运动的示意图。弹性绳的一端固定在O 点，另一端和质量为60kg 的跳跃
者相连，跳跃者从距离地面45m 的高台站立着从O 点自由下落，到B 点弹性绳自然伸直，C 点加速度为
零，D 为最低点，然后弹起。运动员可视为质点，不计弹性绳的质量，整个过程中忽略空气阻力。则下列
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说法正确的是（ ）
A．跳跃者从O 到B 的运动为变加速直线运动
B．跳跃者从B 运动到C 的过程，始终处于失重状态
C．跳跃者从B 运动到C 的过程，减少的重力势能等于弹性绳增加的弹性势能
D．假设弹性绳索长20m，劲度系数为1000N/m，可以得到C 点与O 点的距离是26m
变式三：18．（2024•青羊区校级模拟）如图所示，固定光滑斜面顶端有一轻质光滑定滑轮，质量为m 的
物块P 和质量为3m 的物块Q 用轻质细绳相连，外力作用于P，使P、Q 均静止，某时刻撤去外力，当Q 下
降的高度为h 时，细绳断裂，重力加速度为g，sin37°＝0.6，P、Q 均可视为质点，斜面足够长，则
（ ）
A．物块P 沿斜面上升的最大高度为
B．当细绳断裂的瞬间，物块Q 的重力的功率为
C．在细绳断裂后，物块P 沿斜面向上运动的时间为
D．当物块P 运动至最高点时，物块Q 的机械能相对t＝0 时刻减少了
变式四：19．（2024•成都二模）如图，一质量为M＝2kg 的木板静止在水平地面上，一质量为m＝1kg 的
滑块（可视为质点）以v0＝2m/s 的水平速度从木板左端滑上木板，木板始终保持静止。木板足够长，滑块
与木板间的动摩擦因数为μ1＝0.3，木板与地面间的动摩擦因数为μ2（未知），重力加速度大小取g＝
10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．地面对木板的摩擦力方向水平向右
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B．地面对木板的摩擦力大小为9N
C．μ2可能为0.12
D．整个过程中，滑块与木板间因摩擦产生的热量为4J
变式五：20．（2024•安平县校级模拟）如图所示，A、B 两个木块静止叠放在竖直轻弹簧上，已知mA＝
mB＝1kg，轻弹簧的劲度系数为100N/m。若在木块A 上作用一个竖直向上的力F，使木块A 由静止开始以
2m/s2的加速度竖直向上做匀加速直线运动，从木块A 向上做匀加速运动开始到A、B 分离的过程中。弹簧
的弹性势能减小了1.28J，重力加速度g 取10m/s2。下列判断不正确的是（ ）
A．木块A 向上做匀加速运动的过程中，力F 的最大值是12N
B．木块A 向上做匀加速运动的过程中，力F 的最小值是4N
C．从A 向上做匀加速运动到A、B 分离的过程中，力F 对木块做功为0.64J
D．从A 向上做匀加速运动到A、B 分离的过程中，力F 对木块做功为0.96J
变式六：21．（2023 秋•天心区校级期末）气排球轻，很适合老年人锻炼身体。某退休工人在打气排球时
将一质量为m 的气排球以大小为v0的初速度竖直向上抛出，落回抛出点时的速度大小为v1。已知气排球在
运动过程中所受空气阻力的大小与其运动速度大小成正比。若选竖直向上方向为正方向，选取抛出点为重
力势能的零势能点，已知重力加速度大小为g，则下列加速度a 和速度v 随时间t 变化的图象以及动能Ek和
机械能E 随高度h 变化的图象正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式七：（多选）22．（2024•重庆模拟）如图甲所示，小物块（可以看成质点）以一定的初速度从倾角
为30°的斜面底端A 点沿斜面向上运动。选择地面为参考平面，上滑过程中，物块的机械能E 随物块离A
点距离s 的变化关系如图乙所示。小物块上滑时离A 最远距离为4m，重力加速度大小g 取10m/s2，则（
）
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A．物体的质量m＝2kg
B．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.3
C．物体上滑过程中的加速度大小a＝10m/s2
D．物体回到斜面底端时的速度为4m/s
变式八：（多选）23．（2024•乌鲁木齐模拟）如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的转轴O 上，另
一端与套在粗糙固定直杆A 处质量为m 的小球（可视为质点）相连，A 点到水平面的高度为h，直杆的倾
角为30o，OA＝OC，B 为AC 的中点，OB 等于弹簧原长，小球从A 处以加速度大小为aA由静止开始下
滑，第一次经过B 处的速度为v，运动到水平面C 处速度恰好为零；然后小球获得一初动能Ek由C 处以加
速度大小为aC沿直杆向上滑行，恰好能到达出发点A．已知重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，下列说法正确的是（ ）
A．小球下滑过程中，AB 段与BC 段摩擦力做功相等
B．Ek＝
mgh
C．弹簧具有的最大弹性势能为
mv2
D．aA﹣aC＝g
变式九：（多选）24．（2024•泸州模拟）机械臂广泛应用于机械装配。如图所示，某质量为m 的工件
（视为质点）被机械臂抓取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度为a 的匀加速直线运动，运动方
向与竖直方向间夹角为θ。在将工件提升竖直高度为h 的过程中（ ）
A．所用时间为
B．工件重力的瞬时功率保持不变
C．工件的机械能增大 D．机械臂对工件做的功大于工件动能的增加量
变式十：（多选）25．（2024•南充模拟）如图，已知传送带与水平方向成37°角，倾角也为37°的光滑斜
面固定于地面且与传送带良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25
（其余位置摩擦不计）。传送带顺时针匀速转动，速度v＝4m/s，两轮轴心相距L＝5m，B、C 分别是传送
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带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑。现将质量m＝1kg 的工件放在弹簧上，用力将弹簧压缩至A
点后由静止释放，工件离开弹簧从斜面顶端滑到传送带上的B 点时速度v0＝8m/s，A、B 间的距离x＝
1m。工件可视为质点，g 取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（ ）
A．弹簧的最大弹性势能Ep＝38J
B．工件刚滑上传送带时加速度a＝8m/s2
C．工件第一次从传送带底端上滑至最高点的时间t＝2s
D．工件第一次从传送带底端上滑至最高点的过程中因摩擦产生的热量Q＝10J
变式十一：26．（2023 秋•河西区期末）如图所示，在光滑的水平面上放置一个足够长木板B，在B 的左
端放有一个可视为质点的小滑块A，A、B 间的动摩擦因数μ＝0.4，A 的质量m＝1kg，B 的质量M＝2kg，
g＝10m/s2。现对A 施加F＝7N 的水平向右的拉力，1s 后撤去拉力F，求：
（1）撤去拉力F 前小滑块A 和长木板B 的加速度a1和a2；
（2）A 相对于B 静止时的速度v；
（3）A 相对于B 静止的整个过程中由于摩擦生成的热量（结果可以用分数表示）。
变式十二：27．（2023 秋•朝阳区校级月考）足够长的传送带倾斜放置，以大小为v＝2m/s 的恒定速率顺
时针转动，如图甲所示。质量m＝2kg 的小物块以初速度v0＝12m/s 从A 端冲上传送带又滑了下来，小物块
的速度随时间变化的图像如图乙所示，g＝10m/s2，小物块视为质点，求：
（1）小物块从冲上传送带到离开所用的时间；
（2）小物块与传送带间的动摩擦因数和传送带的倾角θ；
（3）0﹣2s 内小物块与传送带间因摩擦所产生的热量。
变式十三：（多选）28．（2024•顺庆区校级一模）从地面竖直向上抛出一小球（可视为质点），其机械
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能EA等于动能Ek与重力势能Ep之和。以地面为零势能参考面，该小球的机械能和重力势能随它离开地面
的高度h 的变化如图所示，g＝10m/s2，由图中数据可知（ ）
A．小球的质量为1.6kg
B．h＝2m 时，小球的动能Ek＝68J
C．整个运动过程中小球的机械能守恒
D．从地面至h＝5m，小球的动能减少100J
变式十四：29．（2024•重庆一模）如图所示，倾角为θ＝53°的光滑斜面底端固定一劲度系数为100N/m 的
轻弹簧，弹簧上端连接质量为5kg 的物块Q，Q 与平行斜面的轻绳相连，轻绳跨过轻质光滑定滑轮O 与套
在光滑竖直杆上的质量为0.8kg 的物块P 连接，图中O、B 两点等高，间距d＝0.3m。初始时在外力作用
下，P 在A 点静止不动，A、B 间距离h＝0.4m，此时轻绳中张力大小为50N。现将P 由静止释放，取g＝
10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：（1）P 上升至B 点时的速度大小；
（2）P 上升至B 点的过程中，Q 克服轻绳拉力做的功。
变式十五：30．（2023 秋•昌乐县期中）如图所示，水平传送带顺时针传送的速度v＝2m/s，与倾角为37°
的斜面的底端P 平滑连接，将一质量m＝1kg 的小物块从斜面上A 点由静止释放，小物块第一次滑上传动
带时恰好不会从传递带左端滑下。已知A、P 间的距离x0＝9m，物块与斜面、传送带间的动摩擦因数分别
为μ1＝0.5、μ2＝0.4，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）传送带左端到传送带右端的距离L；
（2）小物块第n（n 为整数且n≥2）次从斜面上运动到P 时的速度大小；
（3）小物块在整个运动过程中与斜面间因摩擦而产生的总热量Q。
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变式十六：31．（2023•广陵区校级开学）如图所示，水平地面上固定一倾角θ＝37°的斜面，一劲度系数k
＝100N/m 的轻质弹簧下端固定于斜面底端，上端与质量m＝1kg 的物体A 相连，A 的右边系一轻细线，细
线绕过轻质光滑的滑轮后与轻挂钩相连，A 与斜面间的动摩擦因数μ＝0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，将A 放置P 点时A 刚好不上滑。现将一质量M＝2.0kg 的物体B 轻挂在钩上，然后松手，在以后的整
个运动过程中A 未接触到滑轮、B 始终未接触地面与滑轮。已知弹簧的弹性势能的表达式为
（式中k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量），取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
求：
（1）A 在P 点时弹簧的压缩量x1；
（2）刚松手时细线中的张力大小F；
（3）在松手后的整个运动过程中，A 克服摩擦力所做的功W。
变式十七：32．（2024•全国一模）如图所示，轻弹簧上端固定在内壁光滑玻璃管顶部，下端栓接质量为
m 的小球，玻璃管与水平方向夹角为30°，玻璃管内径略大于小球直径，现将小球从弹簧原长处由静止释
放，小球运动过程中的加速度a 与弹簧伸长量x 的关系如图所示，其中图线与x 轴交点坐标x0为已知，弹
簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则（ ）
A．小球运动到最低点时，所受弹簧弹力大小为2mg
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B．弹簧的劲度系数为
C．小球沿管壁向下运动过程中动能最大值为
D．弹簧拉伸量为x0 时，弹性势能为
变式十八：33．（2024•碑林区校级二模）如图所示，一轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，自然
伸长时弹簧上端处于A 点。t＝0 时将小球从A 点正上方O 点由静止释放，t1时到达A 点，t2时弹簧被压缩
到最低点B。以O 为原点，向下为正方向建立x 坐标轴，以B 点为重力势能零点，弹簧形变始终处于弹性
限度内。小球在运动过程中的动能Ek、重力势能
、机械能E0及弹簧的弹性势能
变化图像可能正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式十九：（多选）34．（2024•市中区校级模拟）如图，一倾角为45°的光滑斜面固定在水平地面上，其
底端固定一劲度系数为k 的轻质弹簧，弹簧上端距斜面顶端距离为l。将质量为m 的物块（可视为质点）
从斜面顶端由静止释放，经时间t 弹簧的最大压缩量为
。已知弹簧弹性势能表达式为
，其中x 是是弹簧形变量，k 为弹簧劲度系数，则下列说法正确的是（ ）
A．物块速度最大时的压缩量为
B．物块的最大动能为
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C．物块运动过程中的最大加速度为
D．物块从与弹簧接触到速度为零的时间为
变式二十：（多选）35．（2024•碑林区校级二模）如图所示，甲、乙两传送带，倾斜于水平地面放置，
传送带上表面以同样恒定速率v 向上运动。现将一质量为m 的小物体（视为质点）轻轻放在A 处，小物体
在甲传送带上到达B 处时恰好达到传送带的速率y 小物块在乙传送带上到达离B 竖直高度为h 的C 处时达
到传送带的速率v。已知B 处离A 处的竖直高度皆为H。则在小物体从A 到B 的过程中（ ）
A．两种传送带对小物体做功相等
B．将小物体传送到B 处，甲图所示的系统中传送带消耗的电能比乙多
C．两种传送带与小物体之间的动摩擦因数不同
D．将小物体传送到B 处，甲图所示的系统中因摩擦而产生的热量比乙少
变式二十一：36．（2024•阆中市校级一模）如图，半径R＝1m 的光滑圆弧轨道ABC 与足够长的粗糙轨道
CD 在C 处平滑连接，O 为圆弧轨道ABC 的圆心，B 点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC 与OB 的夹角
分别为53°和37°。在高h＝0.8m 的光滑水平平台上，一质量m＝2kg 的小物块压缩弹簧后被锁扣K 锁住，
储存了一定量的弹性势能Ep，若打开锁扣K，小物块将以一定的水平速度v0向右滑下平台，做平抛运动恰
从A 点沿切线方向进入圆弧轨道，物块进入圆弧轨道后立即在A 处放一个弹性挡板（碰撞过程机械能不损
失）。已知物体与轨道CD 间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g 取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
求：（1）弹簧存储的弹性势能EP；（2）物体经过B 点时，对圆弧轨道压力FN的大小；
（3）物体在轨道CD 上运动的路程s。
变式二十二：37．（2024•宿迁一模）如图所示，足够长的竖直固定杆上套一劲度系数为k 的轻质弹簧，弹
簧下端悬挂质量为m 的物块B，上端连接一轻质小球，物块B 与杆间无摩擦，小球A 与杆之间的最大摩擦
力为1.2mg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，忽略空气阻力。求：
（1）B 静止时，弹簧伸长量x；（2）若将物块B 拉至弹簧原长处由静止释放，
①物块的最大速度vm；②整个过程中，因摩擦产生的内能Q。
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变式二十三：38．（2023•厦门模拟）如图甲所示，倾角θ＝30°的斜面固定在水平地面上，斜面上放置长
度L＝1m、质量M＝3kg 的长木板A，长木板的下端恰好与斜面底部齐平；一可视为质点、质量m＝1kg、
带电量q＝+1×10﹣5C 的物块B 放在木板上，与木板上端距离d1＝0.15m；与木板上端距离d2＝1m 的虚线ef
右侧存在足够宽匀强电场，电场方向垂直斜面向上。t＝0 时刻起，一沿斜面向上的恒力F 作用在长木板
上，1s 后撤去F，物块B 在0∼1s 内运动的v﹣t 图像如图乙所示，且物块B 在t＝1.3s 时速度恰好减为0。
已知物块与长木板间的动摩擦因数
，长木板与斜面间的动摩擦因数
，物块B 带电量始
终不变，重力加速度g 取10m/s2，求：（1）恒力F 的大小；（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）从t＝0 时刻起到木板下端再次与斜面底部齐平的过程中，物块B 与木板A 间因摩擦产生的热量。
39．（2024•成都模拟）图（a）为成都天府国际机场某货物传送装置实物图，简化图如图（b）所示，该
装置由传送带ABCD 及固定挡板CDEF 组成，固定挡板CDEF 与传送带上表面垂直，传送带上表面ABCD
与水平地面的夹角θ＝37°，CD 与水平面平行。传送带匀速转动时，工作人员将质量分布均匀的正方体货
物从D 点由静止释放，货物对地发生位移L＝10m 后被取走，货物在传送带上运动时的剖面图如图（c）所
示。已知传送带匀速运行的速度v＝1m/s，货物质量m＝10kg，其底部与传送带ABCD 的动摩擦因数为μ1
＝0.5，其侧面与挡板CDEF 的动摩擦因数为μ2＝0.25。（sin37°＝0.6，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻
力）。求：
（1）货物刚放上传送带时，其底面所受滑动摩擦力f1的大小及侧面所受滑动摩擦力f2的大小；
（2）货物在传送带上所经历的时间t 及传送装置多消耗的电能E；
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