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2024 级“贵百河”12 月高二年级新高考月考测试
数学（人教版）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式计算即可.
【详解】 .
故选：C
2. 已知数列 ，则 是这个数列的第（ ）项
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得数列通项公式，据此可得答案.
【详解】由题可得数列通项公式为： .
则令 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
3. 已知直线 和平面 .若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定性质，结合充分条件、必要条件判断得解.
【详解】由 ， ，得 ；
是
反之，由 ， ，得 或 与 异面直线，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：C
4. 已知点 是抛物线 上的一点，设点 到直线 和 的距离分别为 ，
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线定义，将点 到 的距离转化为点 到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形
三边关系，可以得出 的最小值即为点 到直线 的距离，再结合点到直线的距离
公式即可求解.
【详解】由题意，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
因为点 在抛物线 上，所以 ，所以 .
联立方程组 得： ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 与抛物线 无公共点，
如图所示， 的最小值即为点 到直线 的距离，
所以最小值为 ，
即 的最小值为 .
故选：A
5. 若圆 上恰有三点到直线 的距离为2，则 的值为
A. 或2 B. 或 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-3）2=9，得到圆心坐标为（1，3），半径r=3，
若圆 上恰有三点到直线 的距离为2，则圆心到直线的距离为1，即
，解得k=
故选D
6. 如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于 1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个
铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质
量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成
等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物
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学科网（北京）股份有限公司体的质量为（ ）
A. 2两4铢 B. 2两14铢 C. 3两2铢 D. 3两12铢
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列、等比数列的知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设九枚铜环权按从小到大的顺序排列后的质量为 ，
由题意知 ， ， ，得 ，
则 ， ， ， 铢 两14铢．
故选：B
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，以
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用双曲线渐近线确定 ，由余弦定理可得 ，再由勾股定理得
，又由 确定 得 ，最后根据 求得
离心率 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】根据题意可知：点 在以 为圆心 为半径的圆上，所以 ；
根据双曲线渐近线方程为 有 ，
由双曲线中 ，可得 ，
在 中， ， ，
余弦定理有 ，解得 ；
有 ，所以 ；
在 中， ， ，所以 ，
所以双曲线离心率 .
故选：D
【点睛】方法点睛：
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等
式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
8. 已知 是定义域为 的单调递减函数，且存在函数 使得 .若 分别是方程
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学科网（北京）股份有限公司和 的根，则 （ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】将 化为 便可利用 的单调性解决.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，
即 .
因为 是定义域为 的单调递减函数，
所以函数 单调递减，
又因 ，
故 ，即 .
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记
“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ）
A. B.
C. A与B为互斥事件 D. A与B相互独立
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，利用古典概率、条件概率公式，结合互斥事件、相互独立事件的意义计算判断.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A， ，A正确；
对于B， ， ，B正确；
对于C，事件 可以同时发生，则A与B不互斥，C错误；
对于D， ，由选项AB知， ，则A与B相互不独立，D错误.
故选：AB
10. 已 知 ， 若 过 定 点 的 动 直 线 ： 和 过 定 点 的 动 直 线 ：
交于点 （ 与 ， 不重合），则以下说法正确的是（ ）
A. 点的坐标为 B.
C. D. 的最大值为5
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据直线方程求出定点 的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，三角函数辅助角求
最值即可得解.
【详解】因为 可以转化为 ，
故直线恒过定点 ，故A选项正确；
又因为 ： ，即 恒过定点 ，
由 和 , 满足 ，
所以 , 可得 , 故B选项正确；
所以 , 故C选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司因为 , 设 为锐角,
则 , ，
所以 ,
所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误.
故选：ABC.
11. 如图，正方体 的棱长为2，M为棱 的中点，N为棱 上的点，且
，则（ ）
A. 当 时， 平面
B. 当 时，点C到平面BDN的距离为
C. 当 时，三棱锥 外接球的表面积为
D. 对任意 ，直线 与 都是异面直线
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，对于A，直接求解平面 的法向量，判断 与法向量是否垂直即可，
对于B，直接求解平面 的法向量，利用距离公式求解，对于C，连接 交 于 ，过 作平面
的垂线，则外接球球心在此垂线上，然后利用勾股定理可求出球的半径，从而可求出表面积，对于
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学科网（北京）股份有限公司D，利用异面直线的定义判断即可.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
对于A， ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，所以 与 不垂直，所以 与平面 不平行，所以A错误，
对于B， ，设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，
所以点C到平面BDN的距离为 ，所以B正确，
对于C，连接 交 于 ，过 作平面 的垂线，则外接球球心 在此垂线上，设三棱锥
外接球的半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，所以三棱锥 外接球的表面积为
，所以C正确，
对于D，对任意 ，因为 在平面 内，点 在平面 外，且直线 与平
面 交于点 ，直线 不经过点 ，
所以直线 与 都 异是面直线，所以D正确，
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分.
12. 已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】设等差数列 的首项为 ，由题意列方程计算可得 ，根据等差数列前 项和公式计算即
可求解.
【详解】设等差数列 的首项为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
13. 已知空间向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则 ______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据共面向量定理可得 ，然后将坐标代入可求出 的值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， ， 共面，所以存在唯一实数 ，使 ，
即 ，
则 ，解得 ， ， .
故答案为：3
14. 函数 ，当 时， 的零点个数为_____________；若 恰有4
个零点，则 的取值范围是______________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】第一空：当 时 、 时 可得答案；第二空：
至多有2个零点，故 在 上至少有2个零点，所以 ；分 、 、
讨论结合图象可得答案.
【详解】第一空：当 时，当 时， ，解得 ；
当 时， ，无零点，
故此时 的零点个数是1；
第二空：显然， 至多有2个零点，故 在 上至少有2个零点，所以
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学科网（北京）股份有限公司；
①
若 恰有2个零点，则 ，此时 恰有两个零点，所以
，解得 ，
此时 ；
②
若 恰有3个零点，则 ，此时 ，
所以 恰有1个零点，符合要求；
③当 时， ，所以 恰有1个零点，
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学科网（北京）股份有限公司而 至少有4个零点，
此时 至少有5个零点，不符合要求，舍去.
综上， 或 .
故答案为：1； .
【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单调+存在求零点
个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余
弦定理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
16. 已知数列 满足 .
（1）证明 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 前 项的和 .
【答案】（1）证明见解析， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件可得 ，利用等比数列的定义推理得证，再求出等比数列通项公
式.
（2）由（1）得 ，再利用错位相减法求和即得.
【小问1详解】
由 ，得 ，而 ，
所以 是首项为5，公比为5的等比数列，则 ，即 .
【小问2详解】
由（1）得 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司于是 ，
两式相减得
，则 ，
所以数列 前 项的和 .
.
17 已知圆 .
（1）若 ，求圆 过点 的切线 的方程；
（2）当 时，过点 作直线 ，且直线 交圆 于点 ，直线 交圆 于点 ， ，若
，求 的最大值.
【答案】（1）切线 的方程为 或 ；（2）
【解析】
【分析】(1)当直线斜率不存在时，可直接得出直线方程；当直线斜率存在时，先设所求直线方程为
，由直线与圆相切，即可求出直线的方程;
(2)当m=0时，圆 方程为 ，设点 到直线 的距离分别为 ，由弦长的一半、
圆心的直线的距离、圆的半径三者满足勾股定理，可表示出 ，进而可求出其最大值.
【详解】（1）当直线 斜率不存在时，其方程为 ，满足题设；
当直线 斜率存在时，设其方程为 ，即
据题意，得
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学科网（北京）股份有限公司解得：
所以此时切线 的方程为
的
综上，所求切线 方程为 或 .
（2）当 时，圆 方程为
设点 到直线 的距离分别为 ，则
， ，
所以
所以
又因为
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 .
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的综合运用，属于中档试题.
18. 如图 1，在四边形 中， ， ．将四边形
沿 折起，使得 ，得到如图2所示的几何体．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；
（2）若 为 上一动点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取BE中点O，先证CO⊥面ABE，再由CO∥DG，证线面垂直即可；
（2）以E为中心建立空间直角坐标系，设F坐标，由空间向量计算二面角 求得F的坐标即可
得结果.
【小问1详解】
如图，取 的中点 ，连接 ，易得 ∥ ．
因为 ∥ ，故 ∥ ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ∥ ．
因为 面 ，所以 平面 ．
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学科网（北京）股份有限公司而 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 面 ，所以 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】
如图，过点 作直线 ∥ ，则直线 面 面 ，
又 ，所以直线 两两相互垂直，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
设 ，则 ， ．
设面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，即 ．
设面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
由图象可知二面角 为锐角，
所以 ，解得 或6（舍去），
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学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 .
19. 设 两点的坐标分别是 ，直线 相交于 ，且它们的斜率之积为 ，
点 的轨迹构成的曲线记为 ．
（1）曲线 的方程；
（2）若直线 与曲线 相交于不同的两点 ，点 是曲线 上的动点（异于
．
（i）当 时，若直线 斜率均存在，判断 是否一定是定值，并证明你的结论；
（ii）当点 的坐标为 时， ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）是定值，证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据题干直接列式即可求解；
（ 2 ） （ i ） 当 ， 设 ， 则 ， 表 示 出 并 利 用 点
都在曲线 上即可证明；（ii）设 ， 的中点为 ，直线 与曲
线 联立得到 的坐标，利用 得到 ，进而求出 ，再根据 即可
求出 的范围.
【小问1详解】
设点 坐的标为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司化简得 ，即 .
【小问2详解】
（i） （定值）.
证明如下：当 时，易得 两点关于原点对称，
设 ，则 ，
所以 ，
而 均在曲线 上，
所以 ，
从而 ，证毕.
（ii）由题意知，当 时，显然 ；
设 ， 的中点为 ，
由 ，
由 ，得 ①，
，则 ，
所以 ，因为 ，则 ，从而 ，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司而 ，所以 ，化简得 ，
由 得 ②，将 代入①，
则 ，得： ③，由②③得 ，
综上，实数 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司
