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高二期末教学质量检测
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 设复数
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 现有8 道四选一的单选题，甲对其中6 道题有思路，2 道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为
，
没有思路的题只能任意猜一个答案，猜对答案的概率为
．甲从这8 道题中随机选择1 道题，则甲做对这
道题的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 等差数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A. 356
B. 166
C. 246
D. 156
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5. 已知向量
与
的夹角为
，
，
，则
在
上的投影向量为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 定义一种运算
则函数
的最大值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 0
D.
7. 已知椭圆
的左､右焦点分别是
是坐标原点，
是
上第一象限的点.
若
的角平分线上一点
满足
，且
，则
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 在体积为
的正四棱锥
中，
为底面
内的任意两点，则直线
与直
线
所成角的余弦值的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 已知函数
的部分图象如图所示，且
的面积为
，则（ ）
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A.
B. 函数
为奇函数
C.
在
上单调递增
D. 直线
为
图象
一条对称轴
10. 为了解某新品种玉米
亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量
的样本均值
，已知该新品种玉米的亩产量
服从正态分布
，则下列说法正确的是（
）
（若随机变量
服从正态分布
，则
A.
的值越大，亩产量不低于510 千克的样本越多B.
的值越大，亩产量不低于510 千克的样本越少
C 若
，则
D. 若
，则
11. 若
是
上的连续函数，且
，则
.从几何上
看，若定义在
上的函数
连续且恒有
，则定积分
表示由直线
和曲线
所围成的图形的面积.已知花瓣曲线
，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线
上恰好存在8 个点到原点的距离为
B. 圆
与曲线
共有8 个公共点
C
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D. 曲线
围成的封闭区域的面积为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 已知
，则
______．
13. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，
是
的导函数，则曲线
在点
处的曲率
．曲线
在点
处的曲率为_________．
14. 来自国外的博主A，B，C 三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5 个著名景点.他们
约定每人至少选择1 个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A 在北京故宫、西安兵马俑中至少
选择1 个，则不同的打卡方案种数为__________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2025 年4 月13 日，2025 十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、
长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼
或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100 人，调查是否喜爱
马拉松，得到了如下
列联表：
单位：人
性别
马拉松
合计
喜爱
不喜爱
男
60
100
女
60
合计
200
（1）完成
列联表，并依据小概率值
的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？
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（2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5 人，再从这5 人中随机抽取3 人，记
其中女性人数为
，求
的分布列及期望．
附：
．
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
16. 已知
，
，平面内一动点
满足
，设动点
的轨迹为
．
（1）求
的方程；
（2）若斜率为
的直线与
交于
，
两点，且
，求直线的方程．
17. 如图，在四棱锥
中，侧棱长均为
，四边形
是矩形，
.
（1）证明：平面
平面
.
（2）求二面角
的正弦值.
18. 已知函数
.
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程.
（2）证明：
在
上单调递增.
（3）若
，证明：
.
19. 已知双曲线
左顶点为
，右焦点为
，
，
是
上的两点，线段
的
中点为
．当
时，
．
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（1）求
的标准方程；
（2）若
，求直线
的斜截式方程；
（3）若
，
，
三点不共线，且
，证明：直线
过定点．
