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高二期末教学质量检测
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合
，再结合交集的定义求解即可.
【详解】由
，得
，解得
，
又
，所以
，
所以
，又
，
所以
.
故选：A.
2. 设复数
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
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【分析】利用复数的除法化简复数
，利用共轭复数的定义求解即可.
【详解】
，故
.
故选：D
3. 现有8 道四选一的单选题，甲对其中6 道题有思路，2 道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为
，
没有思路的题只能任意猜一个答案，猜对答案的概率为
．甲从这8 道题中随机选择1 道题，则甲做对这
道题的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全概率公式结合题意求解.
【详解】记事件
表示“考生答对题”，事件
表示“考生选到有思路的题”，
则该学生从这8 道题中随机选择1 道题，则他做对此题的概率为
.
故选：B
4. 等差数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A 356
B. 166
C. 246
D. 156
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质，由等差数列的求和公式，可得答案.
【详解】因为
，所以
.
故选：B.
5. 已知向量
与
的夹角为
，
，
，则
在
上的投影向量为（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用投影向量的定义求解即可.
【详解】因为向量
与
的夹角为
，
，
，
所以
在
上的投影向量为
.
故选：B
6. 定义一种运算
则函数
的最大值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 0
D.
【答案】A
【解析】
【分析】记
，利用函数单调性的性质可知
为定义域上的单调递增函数，
进而化简函数
的解析式，结合一次函数的单调性和指数函数的单调性可得出函数
的最大值.
【详解】记
，
由
为定义域上的单调递增函数，
为定义域上单调递减函数，
由单调性的性质可知
为定义域上的单调递增函数，
又
，故由
可得
，解得
；
由
可得
，解得
.
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所以
.
当
时，
；
当
时，则
，
.
综上所述，当
时函数
取到最大值为.
故选：A
7. 已知椭圆
的左､右焦点分别是
是坐标原点，
是
上第一象限的点.
若
的角平分线上一点
满足
，且
，则
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得
，延长
与
交于点
，根据几何关系求出
，结合离心率公式即
可进一步求解.
【详解】
根据题意可得
，延长
与
交于点
，由等腰三角形三线合一可知
，
由椭圆的定义可得
，所以
，
所以
，由
是
的中位线，
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可得
，所以
，解得
，
所以
的离心率为
.
故选：B.
8. 在体积为
的正四棱锥
中，
为底面
内的任意两点，则直线
与直
线
所成角的余弦值的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解.
【详解】设正四棱锥
的高为
，则
，解得
，
所以
.
由已知
，
，
，
设
，且
，又
，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
设直线
与直线
所成角为
，
所以当直线
与直线
平行或重合时，
取得最大值，最大值为
.
故选：A.
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二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 已知函数
的部分图象如图所示，且
的面积为
，则（ ）
A.
B. 函数
为奇函数
C.
在
上单调递增
D. 直线
为
图象的一条对称轴
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角形面积可得
，进而有函数的最小正周期与
判断A，从而求出
的表达式，再
由正弦函数的性质判断BCD.
【详解】设
的最小正周期为
，由图象可知，
，
即
，可得
，又
，所以
，解得
，故A 正确；
所以
.
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对于选项B：
，定义域为R 关于原点对称，
又
，所以函数
为奇函数，故B 正确；
对于选项C：令
，
，解得
，
，
所以函数
的单调递减区间是
，
，
当
时，函数
的单调递减区间是
，
又
，所以
在
上单调递减，故C 错误；
对于选项D：因为
，为最小值，
所以函数
的图象关于直线
对称，故D 正确；
故选：ABD
10. 为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量
的样本均值
，已知该新品种玉米的亩产量
服从正态分布
，则下列说法正确的是（
）
（若随机变量
服从正态分布
，则
A.
的值越大，亩产量不低于510 千克的样本越多B.
的值越大，亩产量不低于510 千克的样本越少
C. 若
，则
D. 若
，则
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【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正态分布的性质、对称性对每一选项进行计算判断即可.
【详解】因为新品种玉米的亩产量的样本均值为500，方差越大，数据越分散.
当
的值越大时，亩产量不少于490 千克且低于510 千克的样本越少，不低于510 千克的样本越多，A 正
确，B 错误.
因为
，
，
所以C，D 正确.
故选：ACD.
11. 若
是
上的连续函数，且
，则
.从几何上
看，若定义在
上的函数
连续且恒有
，则定积分
表示由直线
和曲线
所围成的图形的面积.已知花瓣曲线
，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线
上恰好存在8 个点到原点的距离为
B. 圆
与曲线
共有8 个公共点
C.
D. 曲线
围成的封闭区域的面积为
【答案】BCD
【解析】
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【分析】由
，解得
或
或
或
，可知曲
线
是由4 个抛物线组成，画出曲线
的图象，利用数形结合法结合两点间的距离公式、圆的标准方程及
定积分的定义逐一分析即可.
【详解】由
，得
，
所以
或
，即
或
或
或
，
画出曲线
，如图所示.
由
，解得
或
，设
，
对于
：
所以曲线
上恰好存在4 个点到原点的距离为
，故
错误；
对于
：由
，得圆
与曲线
共有8 个公共点，故
正确.
对于
：因为
（
为常数），
所以
，故
正确；
对于
：曲线
在第一象限围成的封闭区域的面积为：
，
根据曲线
的对称性可得曲线
围成的封闭区域的面积为
，故
正确.
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故选：BCD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 已知
，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】由二项式定理即可得解.
【详解】由二项式定理得
，
所以
.
故答案为：
.
13. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，
是
的导函数，则曲线
在点
处的曲率
．曲线
在点
处的曲率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数运算，结合曲率定义，即可求解.
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【详解】由
则
，
当
时，
，
所以曲线
在点
处的曲率为
.
故答案为：
14. 来自国外的博主A，B，C 三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5 个著名景点.他们
约定每人至少选择1 个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A 在北京故宫、西安兵马俑中至少
选择1 个，则不同的打卡方案种数为__________.
【答案】88
【解析】
【分析】应用分类加法原理结合部分平均分组及排列数组合数的计算求解.
【详解】当A 只选择北京故宫、西安兵马俑中的1 个，且只去1 个景点时，有
种选择，再将其他4
个景点分给B，C，有
种选择，共有
种选择；
当A 只选择北京故宫、西安兵马俑中的1 个，且去2 个景点时，有
种选择，再将其他3 个景点分
给B，C，有
种选择，共有
种选择；
当A 只选择北京故宫、西安兵马俑中的1 个，且去3 个景点时，有
种选择，再将其他2 个景点分
给B，C，有
种选择，共有
种选择；
当A 选择北京故宫、西安兵马俑这2 个且只去2 个景点时，只需将其他3 个景点分给B，C，有
种选择；
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当A 选择北京故宫、西安兵马俑且去3 个景点时，有
种选择，只需将其他2 个景点分给B，C，有
种选择，共有
种选择.
故共有88 种不同的打卡方案.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2025 年4 月13 日，2025 十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、
长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼
或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100 人，调查是否喜爱
马拉松，得到了如下
列联表：
单位：人
性别
马拉松
合计
喜爱
不喜爱
男
60
100
女
60
合计
200
（1）完成
列联表，并依据小概率值
的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5 人，再从这5 人中随机抽取3 人，记
其中女性人数为
，求
的分布列及期望．
附：
．
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10 828
【答案】（1）列联表见解析，可以推断喜爱马拉松与性别无关
（2）分布列见解析，
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【解析】
【分析】（1）完善列联表后求出卡方，根据临界值表可得相应的判断；
（2）根据超几何分布可求分布列及数学期望.
【小问1 详解】
由题意数据完善
列联表：
性
别
马拉松
合
计
喜
爱
不喜
爱
男
60
40
100
女
40
60
100
合
计
100
100
200
零假设为
：喜爱马拉松与性别无关.
经计算得
，
依据小概率值
的独立性检验，推断
成立，即可以推断喜爱马拉松与性别无关.
【小问2 详解】
由题意及分层抽样性质知5 人中，有3 个男运动员，2 个女运动员，故
，
；
；
.
所以
的分布列为
0
1
2
期望
.
16. 已知
，
，平面内一动点
满足
，设动点
的轨迹为
．
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（1）求
方程；
（2）若斜率为
的直线与
交于
，
两点，且
，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
【分析】（1）设动点
，根据
结合两点间距离公式运算求解；
（2）设直线
，根据垂径定理可得圆心到直线的距离
，列式求解即可.
【小问1 详解】
设动点
，
因为
，则
，
整理可得
，即
，
所以动点
的轨迹为
的方程为
.
【小问2 详解】
由（1）可知：曲线
是以圆心为
，半径
的圆，
设直线
，即
，
由题意可得：圆心到直线的距离
，
则
，解得
或
，
所以直线的方程为
或
.
17. 如图，在四棱锥
中，侧棱长均为
，四边形
是矩形，
.
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（1）证明：平面
平面
.
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明面面垂直，可通过证明线面垂直推导出面面垂直，即证明
平面
.
（2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后求得向量
的坐标，然后可求得平面
的法向量，最后根据向量夹角的余弦公式求得二面角的余弦值，从而可得到其正弦值.
【小问1 详解】
证明：连接
交于点
，记
的中点分别为
，连接
.
在
中，
是
的中点，所以
.
因为
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
在矩形
中，
.因为
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
，同理得
，所以
，即
.
因为
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以平面
平面
.
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【小问2 详解】
作
，垂足为
.以
为坐标原点，
分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
因为
，
，
所以
，
.
所以
.
设
是平面
的法向量，
则
即
可取
.
设
是平面
的法向量，
则
即
可取
.
，
.
故二面角
的正弦值为
.
18. 已知函数
.
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（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程.
（2）证明：
在
上单调递增.
（3）若
，证明：
.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式即得切线方程；
（2 ）将函数
求导得
，令
，将其求导可得
，即可得证；
（3）（证法一）利用（2）结论结合
，根据零点存在定理可得存在唯一实数
，使得
，利用
的单调性推得
的极小值为
，利用基本不等式证明
即可证得结论. （证法二）在
时，
将
等价转化为
，令
，则需证
，可先证当
时，
，再证
即得.
【小问1 详解】
当
时，
，
，
则
，
，
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故曲线
在点
处的切线方程为
，
即
；
【小问2 详解】
的定义域为
，则
，
令函数
，则
，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增；
【小问3 详解】
（证法一）由（2）得，
在
上单调递增，
因为
，由
，
，
可知存在唯一实数
，使得
，
即
，可得
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
上单调递增；
所以
的极小值为
，
当且仅当
时，等号成立，
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因为
，所以
，
所以
.
（证法二）当
时，
等价于
，
即
，
令
，则有
，
先证当
时，
，
令函数
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以当
时，
，即当
时，
得证；
再证
，
令函数
，则
，
当
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，即
得证；
综上，
，即当
时，
得证.
19. 已知双曲线
的左顶点为
，右焦点为
，
，
是
上的两点，线段
的
中点为
．当
时，
．
（1）求
的标准方程；
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（2）若
，求直线
的斜截式方程；
（3）若
，
，
三点不共线，且
，证明：直线
过定点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先由条件得到
，利用两点式斜率公式求得
，结合
求出
，即
可得解；
（2）利用点差法求直线的方程即可；
（3）设直线
，与双曲线方程联立，根据条件得
，再通过计算
得
或
，最后进行检验可得出定点.
【小问1 详解】
设双曲线的半焦距为
，则
，由题意
，
当
时，过点
且垂直于
轴的直线为
，
将
代入双曲线方程，得
，解得
；又
，则
，
又
，所以
，结合
，得
，
解得
或
，
所以
，所以双曲线
的标准方程为
；
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【小问2 详解】
易知直线
的斜率存在，设
，
则
，作差可得
，
所以
，
因为线段AB 的中点坐标为
，所以
，
所以
，所以直线
的斜率为
，
所以直线
的斜截式方程为
，即
.
小问3 详解】
由
，
，
三点不共线，故设直线
，
联立
，得
，
则
，
，
，
因为
，则
，所以
，则
，
因
，
，
所以
，
即
，
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即
，
即
，
得
，解得
或
，
若
，则直线
，过点
，不符合题意；
若
，则直线
，满足
，则过定点
，
则直线
过定点
.
