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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块5 动量各模块大招
第05 讲 弹簧的“爆炸”模型及人船模型与类人船模型
（解析版）
目录
【内容一】 弹簧的“爆炸”模型（秒杀）......................................................................................................1
【内容二】 人船模型构建...................................................................................................................................2
【内容三】 人船正规破解...................................................................................................................................3
【内容四】 人船秒杀破解...................................................................................................................................4
技巧总结
弹簧的“爆炸”模型
内容一：弹簧模型：
A 、B 组成的系统动量守恒：
mA v A=mB vB ①得：
v A
vB
= mB
mA ②
②式表明在爆炸过程中相互作用的两个物体间获得的速度与它们的质量成反比。
A
、B
组成的系统能量守恒：
EP=1
2 mA v A
2 + 1
2 mB vB
2
③
①式也可以写为：P A=PB ④又根据动量与动能的关系P=√2mE k 得
√2mA EkA=√2mB EkB ④进一步化简得：
EkA
EkB
= mB
mA ⑤
⑤式表明在爆炸过程中相互作用的两个物体间获得的动能与它们的质量成反比。
②⑤联立可得：
EkA=
mB
mA+mB
EP
EkB =
mA
mA+mB
EP
⑥
2、若原来A 、B 组成的系统以初速度v 在运动，运动过程中发生了爆炸现象则：
A 、B 组成的系统动量守恒：(mA+mB)v=mA v A+mB vB ⑦
A 、B 组成的系统能量守恒：
EP=1
2 mA v A
2 + 1
2 mB vB
2−1
2 （mA+mB）v=1
2
mA mB
mA+mB
(v A−vB)2
⑧
1
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人船模型
与类人船模型
内容二：【模型构建】如图所示，长为L、质量为M 的小船停在静水中，质量为m 的
人从静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人对地面的位移各为多少？
内容三：正规破解：以人和船组成的系统为研究对象，在水平方向不受外力作用，满
足动量守恒．设某时刻人的速度为v1，船的速度为v2，取人行进的方向为正，则有：
mv 1−Mv 2=0
上式换为平均速度仍然成立，即 m v1−M v2=0
两边同乘时间t，mv1t−M v2t=0，
设人、船位移大小分别为s1、s2，则有，ms 1=Ms 2 ①
由图可以看出：s1+s2=L ②
由①②两式解得
s1=
m
M +m L
，
s2=
M
M +m L
答案：
s1=
m
M +m L
，
s2=
M
M +m L
总结：人船模型中的动力学规律：由于组成系统的两物体受到大小相同、方向相反的
一对力，故两物体速度大小与质量成反比，方向相反。这类问题的特点：两物体同时
运动，同时停止。
人船模型中的动量与能量规律：由于系统不受外力作用，故而遵从动量守恒定律，又
由于相互作用力做功，故系统或每个物体动能均发生变化：力对“人”做的功量度
“人”动能的变化；力对“船”做的功量度“船”动能的变化。
内容四：秒杀前提：动量守恒定律
①当某系统不受外力，或所受合外力为零时，该系统动量之和保持不变（内力远大于
外力）
②列式：
③基本公式：
分析步骤：整体受力分析+运动分析定
+列动量守恒.
秒杀：标志：①
，②两部分运动方式为
③已知两部分
.
解题步骤：第一步：列动量守恒：
第二步：
s1 s2
2
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结论：
，
.
类人船模型：单方向动量守恒
例题演练
例1、两个小木块A 和B 中间夹着一轻质弹簧，用细线捆在一起，放在光滑的水平平
台上，某时刻剪断细线，小木块被弹开，落地点与平台边缘的水平距离分别为lA＝1
m，lB＝2 m，如图所示，则下列说法正确的是
A.木块A、B 离开弹簧时的速度大小之比v A:vB=1:2
B.木块A、B 的质量之比mA∶mB＝2 1∶
C.木块A、B 离开弹簧时的动能之比EkA∶EkB＝1 2∶
D.弹簧对木块A、B 的冲量大小之比IA∶IB＝1 2∶
解：两个木块被弹出离开桌面后做平抛运动，因下落的高度相等，所以运动的时间相
等。由l=v0t 及lA＝1 m，lB＝2 m 得v A:vB=1:2，故A 正确。
弹簧弹开两个物体的过程，对两个木块组成的系统，由动量守恒定律得：
mA v A=mB vB 得
v A
vB
= mB
mA
=1
2 ，故B 正确。
由
mA
mB
=2
1 ，根据
EkA
EkB
= mB
mA 可得：
EkA
EkB
=1
2 ，故C 正确。
由动量定理
I A
I B
=mA v A
mB vB
=1
D 错误。
例2、质量分别为3m 和m 的两个物体，用一根细线相连，中间夹着一个被压缩的轻质
弹簧，整个系统原来在光滑水平地面上以速度v0向右匀速运动，如图所示。后来细线
3
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断裂，质量为m 的物体离开弹簧时的速度变为2v0。求弹簧在这个过程中做的总功。
解：系统动量守恒(3m+m)v0=3mv +m⋅2v0①得
v=2
3 v0
弹簧在这个过程中做的总功等于它减少的弹性势能则由能量守恒
W =ΔE p=1
2 3m( 2
3 v0)2+ 1
2 m(2v0)2−1
2 (3m+m)v0
2=3m2
8m ( 2
3 v0−2v0)2=2
3 mv 0
2
例3、如图所示，光滑水平面上有质量均为
的
、
两个小物块（均视为质点），
、
用轻绳连接，中间有一压缩的较短轻弹簧（弹簧与物块不拴接）。开始时
、
均静止。在物块
右边一定距离处有一半径为
的固定光滑竖直半圆形轨道，半圆
形轨道与水平面相切于
点，物块
的左边静置着一个三面均光滑的斜面体（底部与
水平面平滑连接）。某一时刻细绳突然断开，物块
、
瞬间分离，A 向右运动，恰
好能过半圆形轨道的最高点
（物块
过
点后立即撤去），B 向左平滑地滑上斜面
体，在斜面体上上升的最大高度为
（
小于斜面体的高度）。已知重力加速度为
，
求：
(1)细绳断开前弹簧的弹性势能大小？
(2)斜面体的质量？
解：(1)在D 点，有
从弹开到D，由动能定理，有
弹簧释放瞬间由动量守恒定律，有
细绳断开前弹簧的弹性势能大小为
解得
4
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(2)B 滑上斜面体最高点时，对B 和斜面体，由动量守恒定律，有
由机械能守恒定律，有
解得
例4、在图示足够长的光滑水平面上，用质量分别为
和
的甲、乙两滑块将仅与
甲拴接的微型轻弹簧压紧后处于静止状态，乙的右侧有一固定的挡板
，现将两滑块
由静止释放，当弹簧恢复原长时，甲的速度大小为
，此时乙尚未与
相撞之后乙
与挡板
碰撞反弹后，不能再与弹簧发生碰撞。则挡板
对乙的冲量的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
解：释放弹簧过程，两滑块组成的系统动量守恒，设向左为正方向，由动量守恒定律
得
得
要使乙反弹后不能再与弹簧发生碰撞，碰后最大速度为v 甲，设向左为正方向，对乙，
由动量定理得
代入数据解得
故选B。
例5．如图所示，在光滑的水平桌面上有体积相同的两个小球A、B，质量分别为m＝
0.1 kg 和M＝0.3 kg，两球中间夹着一根压缩的轻弹簧，原来处于静止状态，同时放开
A、B 球和弹簧，已知A 球脱离弹簧时的速度为6 m/s，接着A 球进入与水平面相切、
半径为0.5 m 的竖直面内的光滑半圆形轨道运动，P、Q 为半圆形轨道竖直的直径，g
取10 m/s2。下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧弹开过程，弹力对A 的冲量大小大于对B 的冲量大小
B．A 球脱离弹簧时B 球获得的速度大小为2 m/s
C．A 球从P 点运动到Q 点过程中所受合外力的冲量大小为1 N·s
D．若半圆轨道半径改为0.9 m，则A 球不能到达Q 点
解：A．弹簧弹开两小球的过程，弹力相等，作用时间相同，根据冲量定义可知，弹
5
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力对A 的冲量大小等于对B 的冲量大小，A 错误；
B．由动量守恒定律得mv1＝Mv2解得A 球脱离弹簧时，B 球获得的速度大小为v2＝2
m/s 项B 正确；
C．设A 球运动到Q 点时速度为v，对A 球从P 点运动到Q 点的过程，由机械能守恒
定律得
解得v＝4 m/s
根据动量定理得I＝mv－（－mv1）＝1 N·s
即A 球从P 点运动到Q 点过程中所受合外力的冲量大小为1 N·s，C 正确；
D．若半圆轨道半径改为0.9 m，小球到达Q 点的最小速度为vC＝
＝3 m/s
对A 球从P 点运动到Q 点的过程，由机械能守恒定律
解得
小于小球到达Q 点的临界速度vC，则A 球不能到达Q 点，D 正确。
故不正确的选 A。
例6．如图所示，光滑水平面上有两个小球
、
用细绳相连，中间有一根被压缩的
轻弹簧，轻弹簧和小球不粘连，两个小球均处于静止状态。剪断细绳后由于弹力作用
两小球分别向左、向右运动，已知两小球的质量之比
，则弹簧弹开两小球
后，下列说法正确的是（ ）
A．两小球的动量之比
B．两小球的动量之比
C．两小球的速度之比
D．两小球的速度之比
解：AB．小球A、B 及弹簧，系统在剪断细绳前后动量守恒，根据动量守恒定律有
所以，弹簧弹开两小球后，两小球动量大小之比为
故AB 错误；
CD．由于弹簧弹开两小球后动量大小相等，即有
因为
所以可求得
故C 错误，D 正确。故选D。
例7．如图所示，静止在光滑水平面上的两辆小车用细线相连，中间有一个压缩了的
轻弹簧（与小车不栓接）。烧断细线后（ ）
6
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A．两车同时开始运动 B．在弹簧第一次恢复原长前，两车的动能减少
C．在弹簧第一次恢复原长前，两车的移动的距离之比增大
D．在弹簧第一次恢复原长的整个过程中，两车动量的变化相同
解：A．烧断细线后，两车同时开始运动，选项A 正确；
B．在弹簧第一次恢复原长前，两车的动能一直增加，选项B 错误；
C．在弹簧第一次恢复原长前，两车组成的系统动量守恒，则
平均动量也守恒，即
即
可得
即
两车的移动的距离之比不变，选项C 错误；
D．在弹簧第一次恢复原长的整个过程中，两车动量的变化大小相等，方向相反，选
项D 错误。故选A。
例8．如图所示，在光滑水平面上，有质量分别为
和m 的A、B 两滑块，它们中间
夹着一根处于压缩状态的轻质弹簧，由于被一根细绳拉着而处于静止状态。当剪断细
绳，在两滑块脱离弹簧之后，下列说法正确的是（ ）
A．两滑块的动能之比
B．两滑块的动量大小之比
C．弹簧对两滑块的冲量之比
D．弹簧对两滑块做功之比
解：A．根据动量守恒定律得
解得
两滑块速度大小之比为
两滑块的动能之比
A
错误；
B．两滑块的动量大小之比
故B 正确；
C．弹簧对两滑块的冲量之比
故C 错误；
D．弹簧对两滑块做功之比等于两滑块动能之比为1：3，故D 正确。故选BD。
例9、人船模型（1）模型图示
7
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（2）模型特点
①两物体满足动量守恒定律：mv 人－Mv 船＝____
②两物体的位移满足：m
－M
＝____， x 人＋x 船＝L，
得x 人＝
L，x 船＝
L
（3）运动特点
①人动则船___，人静则船___，人快船___，人慢船___，人左船____；
②人船位移比等于它们质量的______；人船平均速度（瞬时速度）比等于它们质量的
____，即
＝
＝
.
解：（1）[1]两物体满足动量守恒定律
[2]因为
两物体的位移满足
（2）[3][4][5][6][7] 人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右。
（3）[8]根据
则有
人船位移比等于它们质量的反比
[9]根据
则有
人船平均速度（瞬时速度）比等于它们质量的反比
例10、如图所示，质量为M 的小车静止在光滑的水平面上，小车AB 段是半径为R 的
四分之一光滑圆弧轨道，BC 段是水平粗糙轨道，两段轨道相切于B 点。一质量为m 的
滑块（可视为质点）从小车上的A 点由静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC 轨道，最
后恰好停在C 点。已知M=3m，滑块与轨道BC 间的动摩擦因数为
，重力加速度为
g。则下列说法正确的是（ ）
8
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A．滑块从A 滑到C 的过程中，滑块和小车组成的系统动量守恒
B．滑块滑到B 点时的速度大小为
C．滑块从A 滑到C 的过程中，小车的位移大小为
D．水平轨道的长度
解：A．滑块从A 滑到C 的过程中水平方向动量守恒，竖直方向上合为不为零，系统
动量不守恒，故A 错误；
B．滑块刚滑到B 点时速度最大，取水平向右为正方向，由水平方向动量守恒定律和机
械能守恒定律得
，
解得
，
滑块滑到B 点时的速度为
，故B 错误；
C．设全程小车相对地面的位移大小为s，根据题意可知全程滑块水平方向相对小车的
位移为R+L，则滑块水平方向相对地面的位移为
滑块与小车组成的系统在水平方向动量守恒，取水平向右为正方向，在水平方向，由
动量守恒定律得
已知
，解得
，
故
C 错误；
D．系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，对整个过程，由动量守恒定律得
解得
由能量守恒定律得
解得
故D 正确。故选
D。
例11．光滑水平面上放有一上表面光滑、倾角为
的斜面体A，斜面体质量为
、底
边长为
，如图所示。将一质量为
、可视为质点的滑块
从斜面的顶端由静止释放，
滑块
经过时间刚好滑到斜面底端。此过程中斜面对滑块的支持力大小为
，重力加
速度为
，则下列说法中正确的是（ ）
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A．
B．滑块下滑过程中支持力对
的冲量大小为
C．滑块
下滑的过程中A、
组成的系统水平方向动量守恒
D．此过程中斜面体向左滑动的距离为
解：A．当滑块B 相对于斜面加速下滑时，斜面A 水平向左加速运动，所以滑块B 相
对与地面的加速度方向不再沿斜面方向，即沿垂直斜面方向的合外力不再为零，所以
斜面对滑块的支持力
故A 错误；
B．滑块B 下滑过程中支持力对B 的冲量大小为
，故B 错误；
C．滑块B 下滑过程中A、B 组成的系统水平方向不受外力的作用，故A、
组成的系
统水平方向动量守恒，故C 正确；
D． 设A、B 水平位移大小分别为
、
，取水平向左为正方向，由动量守恒定律得
即有
又
解得
故D 错误。故选C。
例12．如图，质量为M 的小车静止在光滑的水平面上，小车
段是半径为R 的四分
之一光滑圆弧轨道，
段是长为L 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B 点，一质量为
m 的滑块在小车上从A 点由静止开始沿轨道滑下，然后滑入
轨道，最后恰好停在C
点。已知小车质量
，重力加速度为g。则滑块从A 运动到C 的过程中（ ）
A．滑块水平方向相对地面的位移大小为
B．小车相对地面的位移大小为
C．小车M 的最大速度
D．滑块克服摩擦力做的功在数值上等于滑块减少的机械能
解：AB．设滑块在小车上运动过程中某时刻的速度大小为v1，小车的的速度大小为
10
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v2，滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒，有
所以整个过程中，滑块与小车的平均速度满足
设滑块水平方向相对地面的位移大小为x1，小车相对地面的位移大小为x2，则
并且
解得
，
故AB 错误；
C．当滑块运动到B 点时速度最大（设为v1m），此时小车速度也最大（设为v2m），根
据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
，
故C 正确；
D．根据功能关系可知，滑块克服摩擦力做的功与小车动能的增加量之和等于滑块减
少的机械能，故D 错误。故选C。
例13．如图所示，质量m＝60kg 的人，站在质量M＝240kg 的车的一端，车长L＝
3m，均相对于水平地面静止，车与地面间的摩擦可以忽略不计，人由车的一端走到另
一端的过程中，（ ）
A．人对车的冲量大小大于车对人的冲量大小 B．车后退0.5m
C．即使人与车之间存在摩擦力，人与车组成的系统在水平方向仍然动量守恒
D．人的速率最大时，车的速率最小
解：A．人对车的作用力与车对人的作用力是作用力与反作用力的关系，它们大小相
等方向相反、作用时间相等，所以作用力的冲量大小相等、方向相反，故A 错误；
B．设车后退的距离为x ，则人的位移大小为
，人与车组成的系统在水平方向动
量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
则
代入数据得
故B 错误；
C．人与车间的摩擦力属于系统内力，人与车组成的系统在水平方向所受合外力为零，
人与车组成的系统在水平方向动量守恒，故C 正确；
D．人与车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
11
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m、M 一定，所以人的速率最大时，车的速率最大，故D 错误。故选
C。
例14．如图所示，光滑水平地面上静止一个质量为M 且上表面光滑的斜面体．现将一
个质量为m 的小滑块放置在斜面体顶端，使其由静止沿斜面滑下．已知斜面体底边长
为L，则以下判断正确是（ ）
A．下滑过程中小滑块的机械能守恒
B．小滑块下滑过程中，两物体组成的系统动量守恒
C．小滑块到达斜面底端时，斜面体水平向右运动的距离为
D．小滑块到达斜面底端时，小滑块水平向左运动的距离为
解：A．下滑过程中小滑块和斜面体组成的系统的机械能守恒，滑块的机械能不守恒，
选项A 错误；
B．小滑块下滑过程中，两物体组成的系统水平方向受合外力为零，则水平方向动量守
恒，竖直方向动量不守恒，则系统动量不守恒，选项B 错误；
CD．设小滑块到达斜面底端时，斜面体水平向右运动的距离为x，则由水平动量守恒
可知
解得
小滑块水平向左运动的距离为
选项C 错
误，D 正确。故选D。
例15．光滑水平面上放有一上表面光滑、倾角为
的斜面体A，斜面体质量为M、底
边长为L，如图所示。将一质量为m、可视为质点的滑块B 从斜面的顶端由静止释放，
滑块B 经过时间t 刚好滑到斜面底端，重力加速度为g，则下列说法中正确的是
（ ）
A．滑块B 下滑的过程中，A、B 组成的系统机械能不守恒，水平方向动量守恒
12
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B．滑块B 下滑到斜面体底端时，重力的瞬时功率为
C．滑块下滑过程中，支持力对B 做负功 D．此过程中滑块B 向右滑动的距离为
解：A．滑块B 下滑的过程中AB 组成的系统水平合力为零，动量守恒；只有重力做功，
则系统机械能守恒，选项A 错误；
B．滑块B 下滑的过程中AB 组成的系统机械能守恒，B 减小的重力势能转化成两物体
的动能，如果全部转化为B 的动能则
，
所以滑块
滑到底端的速度小于
，所以滑块
下滑到斜面体底端时重力的
瞬时功率小于
B 错误；
C．由于
滑块下滑过程中A 滑块向左运动，机械能增加，则滑块的机械能减小，即支
持力对B 做负功，C 正确。
D．由于AB 组成的系统水平动量守恒
，
解得
D 错误。
故选C。
例16．在光滑的水平地面上放有一质量为M 的半圆柱体，在其圆心正上方静止放有一
质量为m 的光滑小球。某时刻小球受到轻微扰动，由静止开始下滑。当m 与M 分离时，
m 的水平位移为
，则M 的位移为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：M 与m 水平方向动量守恒，由人船模型可得
解得
故选C。
例17．如图所示，质量均为M=2m 的木块A、B 并排放在光滑水平面上，A 上固定一根
轻质细杆，轻杆上端的小钉（质量不计）O 上系一长度为L 的细线，细线的另一端系
一质量为m 的小球C，现将C 球的细线拉至水平，由静止释放，下列说法正确的是（
13
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）
A．小球C 摆动过程中，木块A 和小球C 组成的系统动量守恒
B．小球C 第一次摆至最低点时，两木块刚好开始分离
C．两木块刚分离时小球C 的速度大小为
，方向向左
D．小球C 摆到左侧最高点时，细线恰好水平
解：A．小球C 摆动过程中，木块A 和小球C 组成的系统所受合外力不为零，动量不
守恒，故A 错误；
B．小球C 与木块A、B 组成的系统在水平方向动量守恒，小球第一次摆至最低点时，
A、B 整体的速度达到最大值，当C 继续向左摆动时，A 的速度将减小，而B 的速度不
变，所以小球第一次摆至最低点时，两木块刚好开始分离，故B 正确；
C．设两木块刚分离时小球C 的速度为vC，木块A、B 整体的速度为vAB，规定水平向
右为正方向，根据动量守恒定律有
①
对小球从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律有
②
联立①②解得
所以两木块刚分离时小球C 的速度大小为
，方向向左，故C 正确；
D．由于小球C 的一部分机械能转化为了两木块的机械能，所以小球C 不可能摆到与
O 点等高处，即细线不可能水平，故D 错误。故选BC。
例18．如图，载有物资的总质量为M 的热气球静止于距水平地面H 的高处，现将质量
为m 的物资以相对地面竖直向下的速度v0投出，物资落地时与热气球的距离为d。热
气球所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力。下列说法正确的是（ ）
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A．物资落地前，热气球与投出的物资组成的系统动量守恒
B．投出物资后热气球做匀速直线运动 C．d＝
D．
解：A．物资抛出之前，物资和气球受合力为零，物资抛出后，气球和物资受合外力
不变，则系统受合外力仍为零，则物资落地前，热气球与投出的物资组成的系统动量
守恒，选项A 正确；
B．投出物资后热气球受合力向上，则向上做匀加速直线运动，选项B 错误；
CD．设物资落地时与热气球上升的高度为h，则对物资和气球系统，由动量守恒定律
解得
则
选项C 正确，D
错误。故选AC。
对应题型精炼
一、多选题
1．如图所示，光滑水平面上有两辆小车，用细线（未画出）相连，中间有一个被压缩
的轻弹簧（与两小车未连接），小车处于静止状态，烧断细线后，由于弹力的作用两
小车分别向左、右运动。已知两小车的质量之比为
，下列说法正确的是（
）
A．弹簧弹开左右两小车的速度大小之比为
B．弹簧弹开后左右两小车的动量大小之比为
C．弹簧弹开过程左右两小车受到的冲量大小之比为
D．弹簧弹开过程弹力对左右两小车做功之比为
【答案】BD
【详解】A．两小车及弹簧系统所受合力为零，动量守恒，以水平向右为正方向，根
据动量守恒定律得
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解得
故A 错误；
B．由动量守恒定律知，弹簧弹开后左右两小车的动量大小相等，即弹簧弹开后左右两
小车的动量大小之比为
，故B 正确；
C．弹簧弹开过程中，左右两小车受到的弹力大小相等，作用时间相同，由
知，左右两小车受到的冲量大小之比为
，故C 错误；
D．由动能定理得，弹簧弹开过程弹力对左右两小车做功之比为
故D 正确。
故选BD。
2．如图，放在光滑水平桌面上的两个木块A、B 中间夹一被压缩的弹簧，当弹簧被放
开时，它们各自在桌面上滑行一段距离后飞离桌面落在地上，A 的落地点与桌边的水
平距离为0.5m，B 的落地点与桌边的水平距离为1m，那么（ ）
A．A、B 离开弹簧时的速度之比为
B．A、B 质量之比为
C．从释放到分离过程，A、B 所受弹簧弹力冲量之比为
D．从释放到分离过程，A、B 所受弹簧弹力做功之比为
【答案】AC
【详解】A．A 和B 离开桌面后做平抛运动，由于下落高度相同，故运动时间相等，
则A、B 离开弹簧时的速度之比为
故A 正确；
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B．两物体及弹簧组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得
则A、B 质量之比为
故B 错误；
C．未离开弹簧时，两物体受到的弹力大小相等，力的作用时间相等，则所受冲量大小
相等，则从释放到分离过程，A、B 所受弹簧弹力冲量之比为
，故C 正确；
D．从释放到分离过程，根据动能定理可得
可知A、B 所受弹簧弹力做功之比为
故D 错误。
故选AC。
3．如图甲所示，把两个质量相等的小车A 和B 静止地放在光滑的水平地面上。它们之
间装有被压缩的轻质弹簧，用不可伸长的轻细线把它们系在一起。如图乙所示，让B
紧靠墙壁，其他条件与图甲相同。烧断细线后，下列说法中正确的是（ ）
A．当弹簧的压缩量减小到原来一半时，甲图中小车A 和B 组成的系统的动量不为
零
B．当弹簧的压缩量减小到原来一半时，乙图中小车A 和B 组成的系统的动量不为
零
C．当弹簧恢复原长时，乙图中A 车速度是甲图中A 车速度的2 倍
D．从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，乙图中弹簧对B 车的冲量是甲图中弹簧
对B 车的冲量的
倍
【答案】BD
【详解】A．甲图中小车A 和B 组成的系统合外力为零，系统的动量守恒，系统的初
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动量为零，根据动量守恒定律可知，当弹簧的压缩量减小到原来一半时，小车A 和B
组成的系统的动量为零，故A 错误；
B．乙图中，当弹簧的压缩量减小到原来一半时，A 向左运动，动量不为零。B 静止，
动量为零，则乙图中小车A 和B 组成的系统的动量不为零，故B 正确；
C．设甲、乙的质量均为m，弹簧释放前的弹性势能为Ep。甲图中，设当弹簧恢复原
长时，A 车速度大小是vA，B 车速度大小是vB，取向左为正方向，由动量守恒定律得
根据机械能守恒得
联立解得
乙图中，当弹簧恢复原长时，A 车速度为vA′。根据机械能守恒得
联立解得
则
故C 错误；
D．从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，乙图中弹簧对B 车的冲量与弹簧对A 车的
冲量大小相等，对A 车，根据动量定理得，弹簧对A 车的冲量大小
甲图中弹簧对B 车的冲量大小为
则
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乙图中弹簧对B 车的冲量是甲图中弹簧对B 车的冲量的
倍，故D 正确。
故选BD。
4．如图所示，水平面上有两个木块，两木块的质量分别为m1、m2，且m2=2m1。开始
时两木块之间有一根用轻绳缚住的已压缩轻弹簧，烧断绳后，两木块分别向左、右运
动。若两木块m1和m2与水平面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1=2μ2，则在弹簧伸
长的过程中，两木块（ ）
A．动量大小之比为1 1∶
B．速度大小之比为2 1∶
C．动量大小之比为2 1∶
D．速度大小之比为1 1∶
【答案】AB
【详解】AC．左右两木块质量之比为
，弹簧解除锁定后各自运动所在地面间的动
摩擦因数之比为
，
向左运动，
向右运动，运动过程中所受滑动摩擦力分别为
，方向水平向右；
方向水平向左
则可知两物块所受摩擦力大小相等，方向相反，若将两物块及弹簧组成的看成一个系
统，可知该系统在弹簧解除锁定瞬间及之后弹簧伸长过程中动量守恒，设在弹簧伸长
的任意时刻
的动量为
，
的动量为
，根据动量守恒定律可得
即
则可知两物块的动量大小之比为
，故A 正确，C 错误；
BD．动量
而两物块的质量之比为
，则可知两物块在弹簧伸长过程中的速度大小之比为
，
故B 正确，D 错误。
故选AB。
5．在光滑的水平桌面上有质量分别为
、
的两个小球，中间夹着一
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个被压缩的具有
弹性势能的轻弹簧（弹簧与两球不拴接），原来处于静止状
态．现突然释放弹簧，球m 脱离弹簧后滑向与水平面相切、半径为R=1.125m 的竖直
放置的光滑半圆形轨道，如图所示，g 取
，则下列说法正确的是（ ）
A．球m 从轨道底端A 运动到顶端B 的过程中所受合外力冲量大小为
B．弹簧弹开过程，弹力对m 的冲量大小为
C．若半圆轨道半径可调，要使球m 能从B 点飞出轨道的半径最大为1.62m
D．M 离开轻弹簧时获得的速度为9m/s
【答案】AC
【详解】ABD．释放弹簧过程中系统动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，由动
量守恒得
由机械能守恒得
代入数据解得
即M 离开轻弹簧时获得的速度为3m/s；m 从A 到B 过程中，由机械能守恒定律得
解得
以向右为正方向，由动量定理得，球m 从轨道底端A 运动到顶端B 的过程中所受合外
力冲量大小为
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则合力冲量大小为3.0N•s，由动量定理得，弹簧弹开过程，弹力对m 的冲量大小为
故A 正确，BD 错误；
C．设圆轨道半径为r 时，球m 能从B 点飞出轨道的半径最大，即此时小球恰能从轨道
最高点飞出，则由A 到B 机械能守恒定律得
在最高点，由牛顿第二定律得
解得
r=1.62m
故C 正确。
故选AC。
6．如图所示，右端有半径为
的四分之一光滑圆弧面的长木板A 静止在光滑的
水平面上，圆弧的最低点与长木板水平部分相切，长木板A 的质量为0.2kg，水平部分
粗糙。在长木板右侧某处固定一个竖直挡板，质量为0.4kg 的小物块B 可视为质点，
从长木板圆弧面的最高点由静止释放，当物块刚滑离圆弧面时，长木板与挡板发生弹
性碰撞，当物块运动到长木板最左端时刚好与长木板相对静止，长木板水平部分长为
，重力加速度
。则下列说法正确的是（ ）
A．开始时长木板右侧离挡板的距离为0.1m
B．开始时长木板右侧离挡板的距离为0.2m
C．物块与长木板间的动摩擦因数是0.025
D．物块与长木板间的动摩擦因数是0.05
【答案】BC
【详解】AB．小物块B 从圆弧面的最高点由静止释放到刚滑离圆弧面时，小物块B 与
长木板A 组成系统满足水平方向动量守恒，设此过程小物块B 的水平位移大小为
，
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长木板A 的位移大小为
，则有
又
联立解得
可知开始时长木板右侧离挡板的距离为0.2m，故A 错误，B 正确；
CD．设小物块B 刚滑离圆弧面时，小物块B 的速度大小为
，长木板A 的速度大小为
，根据系统水平方向动量守恒可得
根据系统机械能守恒可得
解得
，
长木板与挡板发生弹性碰撞后，速度大小仍为
，方向向左；之后物块运
动到长木板最左端时刚好与长木板相对静止，根据动量守恒可得
根据能量守恒可得
联立解得物块与长木板间的动摩擦因数为
故C 正确，D 错误。
故选BC。
7．如图所示，一小车停在光滑水平面上，车上一人（相对小车位置始终不变）持玩具
枪向车的竖直挡板连续平射，所有子弹全部嵌在挡板内没有穿出，枪口到挡板的距离
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为
，嵌在挡板内子弹的质量小于人的质量，射击持续了一会儿后停止，下列说法正
确的是（ ）
A．所有子弹嵌入挡板后，小车的速度为零
B．子弹飞行的距离为
C．小车前进的距离大于
D．人后退的距离小于
【答案】AD
【详解】A．刚开始小车停在光滑水平面上，人、小车、子弹组成的系统初动量为零，
射击子弹的过程中，该系统所受合外力为零，即该系统动量守恒，因此可知该系统末
动量也一定为零，即所有子弹嵌入挡板后，小车的速度为零，故A 正确；
BCD．根据动量守恒定律可知，当子弹获得向前的速度时，小车一定获得向后的速度，
即速度方向一定相反，则根据运动性质可知，小车与子弹的位移之和应等于
，由此
可知，人后退的距离小于
，故BC 错误，D 正确。
故选AD。
二、单选题
8．如图所示，水平面左侧有一足够长的、相对水平面高为H 的光滑平台，质量为M
的滑块与质量为m 的小球之间有一个处于压缩且锁定状态的轻弹簧（弹簧不与滑块和
小球连接），系统处于静止状态。某时刻弹簧解除锁定，小球离开平台后做平抛运动，
落到水平面上时落点到平台的距离为s，重力加速度为g，则滑块的速度大小为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】小球射出时，设其速度为
，系统在水平方向上动量守恒，取向右为正方向，
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对系统在水平方向上，由动量守恒有
小球做平抛运动，有
联立解得
故选C。
9．用质量分布均匀的长方形光滑玻璃板AB 做成的跷跷板置于O 点上，左右两侧等高。
被轻质细绳锁定的C、D 小车之间放置一压缩轻质弹簧，已知轻质弹簧与小车不拴接，
将连有轻弹簧的C、D 小车静置于跷跷板上，左右两侧仍等高。烧断细线，则
（ ）
A．跷跷板向左侧倾斜
B．跷跷板向右侧倾斜
C．左右两侧仍等高
D．无法确定
【答案】C
【详解】C、D 小车静置于跷跷板上，令C、D 小车质量分别为m1、m2，由杠杆平衡可
知
烧断细线后，由系统动量守恒得
得出
所以
24
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综上得
所以左右两侧仍等高。
故选C。
10．如图所示，质量分别为
和
的A、B 两物体，与水平地面之间的
动摩擦因数分别为
和
，开始时两物体之间有一压缩的轻弹簧（不拴
接），并用细线将两物体拴接在一起放在水平地面上。现将细线剪断，则两物体将被
弹簧弹开，最后两物体都停在水平地面上，下列判断正确的是（ ）
A．在弹簧弹开两物体的过程中，两物体组成的系统动量不守恒
B．在弹簧弹开两物体的过程中，整个系统的机械能守恒
C．弹簧弹力对两物体的冲量相同
D．两物体一定同时停在地面上
【答案】D
【详解】A．在弹簧弹开两物体的过程中，A 物体所受的滑动摩擦力方向水平向右，大
小为
B 物体所受的滑动摩擦力方向水平向左，大小为
两物体组成的系统所受合外力为零，因此动量守恒，故A 错误；
B．在弹簧弹开两物体的过程中，整个系统克服摩擦力做功，机械能减小，故B 错误；
C．冲量为矢量，弹簧弹力对两物体的冲量等大反向，故C 错误；
D．弹簧对两物体的弹力大小相等，且两个物体同时离开弹簧，因此弹簧对两个物体
的冲量大小相等为I，设物体A、B 停止的时间为
、
，根据动量定理
，
由于
，因此
，故D 正确。
故选D。
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11．有一条捕鱼小船停靠在湖边码头，小船又窄又长，一位同学想用一个卷尺测量它
的质量。他进行了如下操作：首先将船平行码头自由停泊，然后他轻轻从船尾上船，
走到船头后停下，而后轻轻下船，用卷尺测出船后退的距离
和船长
。已知他自身
的质量为
，则船的质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，人在船上行走的过程中，人和船组成的系统动量守恒，设船
的质量为
，则有
由于初状态系统的动量为0，则人走船走，人停船停，人和船的运动时间相等，则有
即
解得
故选B。
三、解答题
12．如图所示，光滑轨道abcd 固定在竖直平面内，ab 部分水平，bcd 为半径
的半圆轨道，在b 处与ab 相切。在直轨道ab 上放着质量分别为
、
的物块A、B（均可视为质点），用轻质细绳将A、B 连接在一起，且A、B 间夹着一
根被压缩的轻质弹簧（未被拴接）。直轨道ab 左侧的光滑水平地面上停着质量
的小车，小车上表面与ab 等高。现将细绳剪断，之后A 向左滑上小车且恰好
没有从小车上掉下，B 向右滑动且刚好能到达半圆轨道上与圆心等高的c 点。物块A
与小车之间的动摩擦因数
，重力加速度大小
。
（1）当物块B 运动到圆弧轨道的最低点b 时，求轨道对物块B 的弹力大小
；
26
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（2）求小车的长度L。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意可知，物块B 到达c 点时速度为零，物块B 从b 点到c 点的过
程，根据动能定理有
物块B 在b 点时，根据牛顿第二定律有
解得
（2）释放弹簧的过程中物块A、B 的动量守恒，根据动量守恒定律有
设物块A 与小车共速的速度为v，根据动量守恒定律有
根据功能关系有
解得
13．如图所示，光滑水平面的左侧是倾角为
的粗糙斜面，右侧是半径为
的竖
直半圆形光滑轨道。可看作质点的物块A、B 放在水平面上，两者用细线相连，A、B
间有一压缩弹簧。某时刻烧断细线，A、B 被弹簧弹开，物块A 向左运动滑上斜面，
沿斜面上升的最大高度是
。物块B 向右运动进入半圆轨道，离开半圆轨道最高点
后又落在水平面上。已知物块A 质量为物块B 质量的2 倍，物块A 与斜面间的动摩擦
因数为0.25，重力加速度g 取
，
。求：
（1）物块A 被弹簧弹开时获得的初速度大小；
27
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（2）物块B 经过半圆轨道最高点时所受弹力与其重力之比；
（3）物块B 经过半圆轨道后落到水平面上的落点与半圆轨道最高点的水平距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设物块B 的质量为m，物块A 的质量为M，物块A 沿斜面上滑过程，
加速度的大小为
物块A 沿斜面上滑的距离
物块A 获得的初速度
（2）A、B 分离过程动量守恒
分离后物块B 的速度
设物块B 在最高点的速度为
，沿着半圆轨道上升到最高点机械能守恒
代入数据解得
设在最高点对轨道压力为F
代入数据解得
28
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（3）物块B 离开最高点后做平抛运动
在竖直方向有
落点与最高点的水平距离
代入数据解得
14．如图所示的水平地面上有a、b、O 三点。将一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的
ab 段水平，bcde 段光滑，cde 是以O 为圆心，R 为半径的一段圆弧，可视为质点的物
块A 和B 紧靠在一起，中间夹有少量炸药，静止于b 处，A 的质量是B 的2 倍。某时
刻炸药爆炸，两物块突然分离，分别向左、右沿轨道运动。B 到最高点d 时速度沿水
平方向，此时轨道对B 的支持力大小等于B 所受重力的
，A 与ab 段的动摩擦因数为
μ，重力加速度g，求：
（1）物块B 在d 点的速度大小；
（2）物块A 滑行的距离s；
（3）物块B 从脱离轨道后到落到水平地面所用的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设物块A 和B 的质量分别为mA和mB
解得
（2）设A、B 分开时的速度分别为v1、v2，系统动量守恒
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B 由位置b 运动到d 的过程中，机械能守恒
A 在滑行过程中，由动能定理
联立得
（3）设物块脱离轨道时速度为v，FN= 0
向心力公式
而
解得
脱离轨道时离地面的高度
离轨道时后做向下斜抛运动
竖直方向
解得
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15．如图所示，有一足够长的传送带以
的速率逆时针匀速转动，倾角
，
传送带在M 点与光滑水平地面平滑连接，有一半径
竖直光滑半圆轨道在N 点
与地面平滑连接，其中MN 间距足够大，一压缩的轻质弹簧被细线锁住，可视为质点
的A、B 两滑块分别紧靠左右两侧并处静止状态，某一时刻烧断细线，与轻质弹簧分离
后A 滑上传送带，B 恰好能通过半圆轨道最高点P，A、B 的质量分别为
、
，A 与传送带间的动摩擦因数为
，重力加速度g 取
，
。求：
（1）被压缩的轻质弹簧的弹性势能
；
（2）滑块A 在传送带上滑行最大距离；
（3）在保证能通过半圆轨道最高点情形下，半圆轨道的半径取不同值时B 落在水平面
上与N 之间距离的最大值。
【答案】（1）150J；（2）10m；（3）1.25m
【详解】（1）设与弹簧分离瞬间A、B 的速度分别为
、
，对A、B 与弹簧组成的系
统水平方向总动量守恒，以水平向右为正方向，则有
B 在半圆轨道最高点时有
对B 从N 到最高点P 过程由动能定理
解得
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负号表示方向水平向左
方向水平向右，由功能关系可知开始时被压缩的轻质弹簧的弹性势能
（2）对A 进行受力分析，A 沿传送带向上做匀减速直线运动，开始时由于
，则
由牛顿第二定律可知
减速到传送带运行速度后，同理可知有
直至减速为零，由此可知A 第一次沿传送带向上滑行的最大距离为
（3）令半圆轨道的半径为r 时B 落在水平面上时与N 之间距离最大，设通过P 点的速
度为
，选MN 面为零势能参考平面，则由机械能守恒有
解得
B 离开半圆轨道后做平抛运动，水平位移为
运动时间
则水平位移为
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当
时，水平位移最大，即
16．如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A、B、C，质量分别为
，
，
，其中B 与C 用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置
处于静止状态；A 和B 之间有少许塑胶炸药，现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的
能量有
转化为A 和B 的动能，A 和B 分开后，立刻取走A。求：
（1）A、B 分开时各自的速度大小；
（2）弹簧弹性势能的最大值；
（3）弹簧再次恢复原长时，B 的速度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由动量守恒
根据能量守恒
得
（2）弹簧最短时，弹性势能最大，B、C 共速，由动量守恒
根据机械能守恒
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解得，弹簧最大弹性势能为
（3）弹簧再次回复原长时，弹性势能为零，根据动量守恒和机械能守恒
，
得
17．如图（a），长木板C 放置于光滑水平地面，两滑块A、B 质量分别为
，
，放在C 上，三者都保持静止。两滑块与木板间的动摩擦因数均为
，t=0
时刻释放AB 间的微小弹性装置，装置储存的弹性势能为24J，此后滑块A、B 运动的
图像如图（b）所示，当t=4s 时A 与C 恰好相对静止，设最大静摩擦力等于滑动
摩擦力，取重力加速度
，求：
（1）释放弹性装置瞬间滑块A、B 的速度大小；
（2）滑块与木板间的动摩擦因数
和木板C 的质量；
（3）要使B 不滑落则木板C 至少有多长。
【答案】（1）2m/s，4m/s；（2）0.04，8kg；（3）30m
【详解】（1）释放弹性装置瞬间，滑块AB 的速度分别为v1、v2，则由动量守恒和能
量关系
解得
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v1=2m/s
v2=4m/s
（2）当t=4s 时A 与C 恰好相对静止，可知此时AC 的速度相等，设为v 方向向左，此
时B 的速度为v3=2.4m/s，方向向右，则由动量守恒
对物体A
对木板C
解得
μ=0.04
mC=8kg
v=0.4m/s
（3）4s 内A 向左的位移
C 向左的位移
B 向右的位移
从该时刻起到ABC 相对静止时，则由动量守恒定律可知，此时三者的速度均为零，则
此过程中B 向右的位移
AC 向左的加速度
位移
则木板的最小长度
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18．如图所示，足够长的光滑水平台面其右端紧接着一长1m 的水平传送带，传送带以
速度
顺时针匀速运动。A、B 两滑块的质量分别为
、
，滑块
之间压着一条轻弹簧（不与两滑块栓接）并用一根细线锁定，两者一起在平台上以速
度
向右匀速运动；突然，滑块间的细线瞬间断裂，两滑块与弹簧脱离时B 恰好
静止，A 继续向右运动，并滑上传送带，最终从右端离开传达带。已知物块与传送带
间的动摩擦因数
，
，求：
（1）两滑块与弹簧脱离时A 的速度；
（2）线断裂前弹簧的弹性势能
；
（3）滑块A 与传送带之间因摩擦产生的热量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设两滑块脱离弹簧时的速度分别为
、
，根据动量守恒定律有
则由
可得
（2）弹簧的弹性势能等于系统动能的变化量，则有
解得
（3）滑块A 在传送带上向右减速到与传送带共速，之后随传送带向右离开，设相对滑
动时间为，滑块A 的加速度大小为
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根据匀变速直线运动速度与时间的关系可得
解得
则滑块A 在传送带上向右减速到与传送带共速过程中，滑块A 与传送带各自的位移为
则滑块与传送带间的相对滑动路程为
在相对滑动过程中摩擦生热为
19．如图所示，表面光滑的水平面中间存在水平光滑凹槽
。质量为
、长
度
的木板
放置在凹槽内，其上表面恰好与水平面平齐。开始时木板
静置
在凹槽左端
处，其右端与凹槽右端
距离为
。水平面左侧有质量分别为
与
的物块
、
。二者之间锁定一压缩轻弹簧，其弹性势能为
。弹簧
解除锁定后，将
、
两物块弹开，物块
滑上木板
，当
刚滑到
右端时，
恰
好第一次碰到
点。已知物块与木板间的动摩擦因数
，重力加速度
取
，
求：
（1）物块
刚滑上木板
时的速度大小
；
（2）初始时木板
右端距
点的距离
；
（3）若
的质量减为
，则在
第
次碰撞
点时，木块
恰好滑到
右端，且此
时
。已知
不与
碰撞，与
的碰撞为弹性碰撞，求
与
的关系。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）弹簧解除锁定后，根据机械能守恒，可知A、B 物块弹开过程中弹性势
能转化为A、B 物块的动能，即
水平面光滑，则A、B 系统动量守恒，则A、B 物块动量大小相等
联立以上两式可得
（2）对B、C 分别受力分析得
，
对B、C 运动进行分析，二者运动位移之差为木板长度，即
解得
或
由于
时
不符合题意，需要舍弃。当
时
，
符合题意，故当
刚滑到
右端时
。此时木板的位移为
，即
（3）根据分析可得，每次木板与右侧
碰撞后均会以相同大小的速度向左减速运动，
假设木板第一次与
碰撞的时间为
，则根据匀变速直线运动规律可知，碰撞后木板
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向左以相同大小加速度减速到最左侧恰好速度为0，时间也是
。故第
次碰撞
点
时，木板恰好运动了
，而物块
的受力情况与运动情况和（2）中完全一致。
故
根据
，
得
又根据牛顿第二定律可得
，
则
故联立以上各式可得
又由于
，则
解得
故
可得
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则
，由于碰撞次数
为整数，则
可取值2，3。故
与
的关系为
20．如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A、B、C，质量分别为
mA=1kg，mB=1kg，mC=2kg，其中B 与C 用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处
于静止状态；A 和B 之间有少许塑胶炸药，现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能
量有E=9J 转化为A 和B 的动能，A 和B 分开后，立刻取走A。求
（1）弹簧弹性势能的最大值。
（2）弹簧再次恢复原长时，B 的速度。
【答案】（1）3J；（2）-1m/s
【详解】（1）塑胶炸药爆炸瞬间取A 和B 为研究对象，假设爆炸后瞬间A、B 的速度
大小分别为
、
，取向右为正方向，由动量守恒
爆炸产生的能量有9J 转化为A、B 的动能
解得
取BC 和弹簧为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短时B、C 达到共同速度
，此
时弹簧的弹性势能最大，设为
，由动量守恒
由能量守恒定律
解得
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（2）设B、C 之间的弹簧第一次恢复到原长时B、C 的速度分别为
和
，则由动
量守恒和能量守恒，有
解得
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