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12 动量守恒定律
[-考点-01-] 动量和冲量
1．动量
(1)定义：物体的质量和速度的乘积．
(2)表达式：p＝mv.
(3)方向：与速度的方向相同．
2．动量的变化
(1)动量是矢量，动量的变化量Δp 也是矢量，其方向与速度的改变量Δv 的方向相同．
(2)动量的变化量Δp，一般用末动量p′减去初动量p 进行矢量运算，也称为动量的增量．
即Δp＝p′－p.
3．冲量
(1)定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量．
(2)公式：I＝FΔt.
(3)单位：N·s.
(4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同．
1．动量与动能的比较
动量
动能
物理意义
描述机械运动状态的物理量
定义式
p＝mv
Ek＝mv2
标矢性
矢量
标量
变化因素
合外力的冲量
合外力所做的功
大小关系
p＝
Ek＝
变化量
Δp＝Ft
ΔEk＝Fl
联系
(1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系
(2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发
生变化时动能不一定发生变化
2.冲量的计算方法
公式法
I＝FΔt，此方法仅适用于求恒力的冲量，无需考虑物体的运动状态
图像法
F－t 图像与t 轴围成的面积表示冲量，此法既可以计算恒力的冲量，也可
以计算变力的冲量
平均
若方向不变的变力大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，则力F
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值法
在某段时间t 内的冲量I＝t
动量
定理法
根据物体动量的变化量，由I＝Δp 求冲量，多用于求变力的冲量
典例1 (动量、动量的变化量与动能)下列关于物体的动量和动能的说法，正确的是( )
A．若两个物体的动量相同，它们的动能也一定相同
B．两物体中动能大的物体，其动量也一定大
C．物体的速度大小不变时，动量的变化量Δp 不一定为零
D．物体做曲线运动时，动量的变化量一定不为零
答案 C
解析 由动量p＝mv 和动能Ek＝mv2可解得Ek＝，若两个物体的动量相同，而质量不同，
则它们的动能不相同，A 错误；两物体中动能大的物体质量可能小，由p＝知，其动量不
一定大，B 错误；当物体的速度大小不变、方向变化时，Δp≠0，C 正确；当物体做曲线运
动时，动量的变化量Δp 可能为零，如做匀速圆周运动的物体运动一周时的Δp 为零，D 错
误．
典例2 (公式法求恒力的冲量)如图所示，质量为m 的滑块沿倾角为θ 的固定斜面向上滑
动，经过时间t1，速度为零并又开始下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中
受到的摩擦力大小始终为Ff，重力加速度为g.在整个运动过程中，下列说法正确的是(
)
A．重力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)sin θ
B．支持力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)cos θ
C．合外力的冲量为0
D．摩擦力的总冲量为Ff(t1＋t2)
答案 B
解析 重力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)，A 项错误；支持力对滑块的总冲量为mg(t1＋
t2)cos θ，B 项正确；整个过程中滑块的动量发生了改变，故合外力的总冲量不为0，C 项
错误；上滑过程和下滑过程摩擦力的方向相反，故若以沿斜面向上为正方向，摩擦力的总
冲量为Ff(t2－t1)，D 项错误．
典例3 (图像法求变力的冲量)一质点静止在光滑水平面上，现对其施加水平外力F，力F
随时间按正弦规律变化，如图所示，下列说法正确的是( )
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A．第2 s 末，质点的动量为0
B．第2 s 末，质点的动量方向发生变化
C．第4 s 末，质点回到出发点
D．在1～3 s 时间内，力F 的冲量为0
答案 D
解析 由题图可知，0～2 s 时间内F 的方向和质点运动的方向相同，质点经历了加速度逐
渐增大的加速运动和加速度逐渐减小的加速运动，所以第2 s 末，质点的速度最大，动量最
大，方向不变，故选项A、B 错误；2～4 s 内F 的方向与0～2 s 内F 的方向相反，该质点0
～2 s 内做加速运动，2～4 s 内做减速运动，所以质点在0～4 s 内的位移均为正，第4 s 末
没有回到出发点，故选项C 错误；在F－t 图像中，图线与横轴所围的面积表示力F 的冲量
的大小，由题图可知，1～2 s 内的面积与2～3 s 内的面积大小相等，一正一负，则在1～3
s 时间内，力F 的冲量为0，故选项D 正确．
典例4 (平均值法求变力的冲量)(多选)质量为m 的物体静止在光滑水平面上，从t＝0 时刻
开始受到水平力的作用，力F 与时间t 的关系如图所示，则( )
A．0～t0时间内水平力F 的冲量为
B．t0时刻物体的动量为F0t0
C．2t0时刻物体的速度为
D．2t0时刻物体的速度为
答案 AC
解析 在F－t 图像中，图线与横轴围成的面积表示冲量的大小，则由题图可知，0～t0时间
内水平力F 的冲量为I＝t0F0＝，故A 正确；由动量定理I 合＝Δp 可得，t0时刻物体的动量为
p＝Δp＝，故B 错误；由题图可知，力F 在0～2t0时间内的冲量为I′＝(t0＋2t0)F0＝，由动
量定理I 合＝Δp 可得2t0 时刻物体的动量为p′＝mv′＝，可得2t0 时刻物体的速度为v′
＝，故D 错误，C 正确．
1.关于动量，以下说法正确的是( )
A.做匀速圆周运动的质点，其动量不随时间发生变化
B.悬线拉着的摆球在竖直面内摆动时，每次经过最低点时的动量均相同
C.匀速直线飞行的巡航导弹巡航时动量始终不变
D.平抛运动的质点在竖直方向上的动量与运动时间成正比
答案 D
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解析 做匀速圆周运动的质点速度方向时刻变化，故动量时刻变化，A 项错误；摆球相邻
两次经过最低点时动量方向相反，故B 项错误；巡航导弹巡航时虽速度不变，但由于燃料
不断燃烧(导弹中燃料占其总质量的一部分，不可忽略)，从而使导弹总质量不断减小，导
弹动量减小，故C 项错误；平抛运动的质点在竖直方向上的分运动为自由落体运动，在竖
直方向的分动量p 竖＝mvy＝mgt，故D 项正确.
2.两个物体具有相同的动量，则它们一定具有( )
A．相同的速度
B．相同的质量
C．相同的运动方向
D．相同的动能
答案 C
解析 动量是矢量，动量相同，其大小和方向都得相同，故方向一定相同，而大小p＝
mv，如果质量不同，则速度不同，如果速度不同，则质量不同，故A、B 错误，C 正确；
由Ek＝知，动量相同，动能不一定相同，D 错误．
3.对于一定质量的某物体而言，关于其动能和动量的关系，下列说法正确的是( )
A．物体的动能改变，其动量不一定改变
B．物体动量改变，则其动能一定改变
C．物体的速度不变，则其动量不变，动能也不变
D．动量是标量，动能是矢量
答案 C
解析 物体的动能改变，则物体的速度大小一定改变，则其动量一定改变，A 错误；动量
表达式为p＝mv，动量改变可能只是速度方向改变，其动能不一定改变，故B 错误；物体
的速度不变，则其动量不变，动能也不变，C 正确；动量是矢量，动能是标量，D 错误．
4.质量为1 kg 的物体，在水平面内做直线运动，初速度大小为8 m/s.它在一个水平力作用下，
经一段时间后速度变为2 m/s，方向与初速度方向相反．则在这段时间内物体动量的变化量
为( )
A．10 kg·m/s，方向与初速度方向相反
B．10 kg·m/s，方向与初速度方向相同
C．6 kg·m/s，方向与初速度方向相反
D．6 kg·m/s，方向与初速度方向相同
答案 A
解析 规定初速度方向为正方向，物体初状态的动量为：p0＝mv0＝1 kg×8 m/s＝8
kg·m/s，末状态的动量为：pt＝mvt＝1 kg×(－2 m/s)＝－2 kg·m/s，则动量的变化量为：Δp
＝pt－p0＝－2 kg·m/s－8 kg·m/s＝－10 kg·m/s，负号表示动量变化量的方向与初速度方向相
反，A 正确．
5.如图所示，质量为m 的小滑块沿倾角为θ 的斜面向上滑动，经过时间t1速度变为零然后
又下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为Ff.在整个
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过程中，重力对滑块的总冲量为( )
A.mgsin θ(t1＋t2)
B.mgsin θ(t1－t2)
C.mg(t1＋t2)
D.0
答案 C
解析 根据冲量的定义式I＝Ft，因此重力对滑块的冲量应为重力乘作用时间，所以IG＝
mg(t1＋t2)，C 正确.
6.(2023·北京市丰台区检测)质量为m 的物块在光滑水平面上以速率v 匀速向左运动，某时
刻对物块施加与水平方向夹角为θ 的恒定拉力F，如图所示．经过时间t，物块恰好以相同
速率v 向右运动．在时间t 内，下列说法正确的是( )
A．物块所受拉力F 的冲量方向水平向右
B．物块所受拉力F 的冲量大小为2mv
C．物块所受重力的冲量大小为零
D．物块所受合力的冲量大小为Fcos θ·t
答案 D
解析 物块所受拉力F 的冲量为IF＝Ft，方向与水平方向夹角为θ，故A 错误；物块所受
重力的冲量为IG＝mgt≠0，故C 错误；由动量定理可知I 合＝2mv＝Ftcos θ，故B 错误，D
正确．
7.两个具有相同动量的物体A、B，质量分别为mA、mB，且mA＞mB，比较它们的动能，则(
)
A．物体B 的动能较大
B．物体A 的动能较大
C．动能相等
D．不能确定
答案 A
解析 由动量p＝mv 和动能Ek＝mv2，解得Ek＝，因为物体A、B 的动量相等，质量较大的
物体动能较小，所以物体B 的动能较大，A 正确．
8.(2021·滨州市博兴县高二上期中)一质量为2 kg 的物体，速度由向东3 m/s 变为向西3
m/s，在这个过程中该物体的动量与动能的变化量分别是( )
A．0、0
B．0、18 J
C．12 kg·m/s、0
D．12 kg·m/s、18 J
答案 C
解析 设向西为正方向，则物体的初速度v0＝－3 m/s，末速度v＝3 m/s，故这个过程中，
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该物体动量的变化量为Δp＝mv－mv0＝12 kg·m/s，方向向西；动能的变化量为ΔEk＝mv2－
mv0
2＝0，故C 正确，A、B、D 错误．
9.(多选)质量为0.5 kg 的物体，运动速度大小为3 m/s，它在一个变力作用下，经过一段时
间后速度大小变为7 m/s，则这段时间内动量的变化量可能为( )
A．5 kg·m/s，方向与初速度方向相反
B．5 kg·m/s，方向与初速度方向相同
C．2 kg·m/s，方向与初速度方向相反
D．2 kg·m/s，方向与初速度方向相同
答案 AD
解析 以初速度方向为正方向，如果末速度的方向与初速度方向相反，由定义式Δp＝
mv′－mv 得Δp＝0.5×(－7－3) kg·m/s＝－5 kg·m/s，负号表示Δp 的方向与初速度方向相
反，选项A 正确；如果末速度方向与初速度方向相同，由定义式Δp＝mv′－mv 得Δp＝
0.5×(7－3) kg·m/s＝2 kg·m/s，方向与初速度方向相同，选项D 正确．
10.(多选)(2023·深圳·期中)自P 点以某一速度竖直向上抛出的小球，上升到最高点Q 后又回
到P 的过程中，空气阻力大小不变，下列说法正确的是( )
A.上升过程中重力的冲量大于下降过程中重力的冲量
B.上升过程中动量的变化量小于下降过程中动量的变化量
C.上升过程中空气阻力的冲量小于下降过程中空气阻力的冲量
D.上升过程中合外力的冲量大于下降过程中合外力的冲量
答案 CD
解析 由于上升过程的合力大于下降过程的合力，所以上升过程加速度大于下降过程加速
度，a 上>a 下，而上升与下降过程位移大小相等，故vP 上>vP 下，t 上<t 下；重力的冲量大小：I
＝mgt，由于t 上<t 下，则上升过程中重力的冲量比下降过程中重力的冲量小，故A 错误；由
于vP 上>vP 下，而最高点的速度为0，可知上升过程中动量的变化量大于下降过程中动量的变
化量，故B 错误；同时由动量定理知，上升过程中合外力的冲量大于下降过程中合外力的
冲量，D 正确；空气阻力的冲量大小：I＝Fft，t 上<t 下，故C 正确.
11.如图所示，PQS 是固定于竖直平面内的光滑的圆弧轨道，圆心O 在S 的正上方．在O 和
P 两点各有一质量为m 的小物块a 和b，从同一时刻开始，a 自由下落，b 沿圆弧下滑．以
下说法正确的是( )
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A．a 比b 先到达S，它们在S 点的动量不相同
B．a 与b 同时到达S，它们在S 点的动量不相同
C．a 比b 先到达S，它们在S 点的动量相同
D．b 比a 先到达S，它们在S 点的动量相同
答案 A
解析 在两物块下落的过程中，都只有重力对物块做功，故机械能守恒，有mgh＝mv2，解
得v＝，所以在S 点，两物块的速度大小相同，即速率相同，由于竖直方向上a 的位移等于
b 的位移，但竖直方向上a 的平均加速度大，故到达S 点的时间ta＜tb，即a 比b 先到达S，
到达S 点时a 的速度竖直向下，而b 的速度水平向左，故两物块的动量不相同，故A 正确．
12.(多选)(2022·全国乙卷·20)质量为1 kg 的物块在水平力F 的作用下由静止开始在水平地面
上做直线运动，F 与时间t 的关系如图所示．已知物块与地面间的动摩擦因数为0.2，重力
加速度大小取g＝10 m/s2.则( )
A．4 s 时物块的动能为零
B．6 s 时物块回到初始位置
C．3 s 时物块的动量为12 kg·m/s
D．0～6 s 时间内F 对物块所做的功为40 J
答案 AD
解析 物块与地面间的摩擦力为Ff＝μmg＝2 N，对物块在0～3 s 时间内由动量定理可知(F
－Ff)t1＝mv3，代入数据可得v3＝6 m/s,3 s 时物块的动量为p＝mv3＝6 kg·m/s，故C 错误；
设3 s 后经过时间t2物块的速度减为0，由动量定理可得－(F＋Ff)t2＝0－mv3，解得t2＝1
s，所以物块在4 s 时速度减为0，则此时物块的动能也为0，故A 正确；在0～3 s 时间内，
对物块由动能定理可得(F－Ff)x1＝mv3
2，解得x1＝9 m,3～4 s 时间内，对物块由动能定理可
得－(F＋Ff)x2＝0－mv3
2，解得x2＝3 m,4～6 s 时间内物块开始反向运动，物块的加速度大
小为a＝＝2 m/s2，发生的位移大小为x3＝at3
2＝4 m<x1＋x2，即6 s 时物块没有回到初始位置，
故B 错误；0～6 s 时间F 对物块所做的功为W＝Fx1－Fx2＋Fx3＝40 J，故D 正确．
13.(多选)(2023·江西·模拟)从地面上以初速度v0竖直上抛一质量为m 的小球，一段时间后落
回地面，小球运动的速度随时间变化的规律如图所示.若运动过程中小球受到的阻力与其速
率成正比，v1为小球再次落回地面的速率，重力加速度大小为g.下列说法中正确的是( )
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A.小球上升过程中的平均速度小于
B.整个过程中阻力做功为mv－mv
C.小球上升和下降过程中重力的冲量大小相等
D.小球上升和下降过程中阻力的冲量大小相等
答案 AD
解析 上升过程若是匀减速运动，则平均速度为v＝，但由图可知，其速度—时间图象面积
小于匀减速运动的面积，即小球上升的位移小于匀减速上升的位移，则可得小球上升过程
中的平均速度小于，A 正确；小球整个过程重力势能变化为0，则根据动能定理可得阻力做
功为W＝mv－mv，B 错误；由题意可得，上升过程中，小球的加速度为a＝，下降过程的
加速度为a＝，又上升和下降的位移相同，且下降的加速度大小比上升的加速度大小小，
故下降的时间更长，由冲量的公式，即有IG＝mgt，则下降过程重力的冲量大小大于上升过
程重力的冲量大小，C 错误；由题意可得，阻力与速率的关系为f＝kv，故阻力的冲量大小
为If＝ft＝kvt＝kx，因为上升过程和下降过程位移相同，则上升和下降过程阻力的冲量大小
相等，D 正确.
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